OPERATOR SELF ADJOINT PADA RUANG HILBERT

Transkripsi

1 OPERATOR SELF ADJOINT PADA RUANG HILBERT Gunawan Universitas Muhammadiah Purwokerto, Abstrat. In this artile, will disuss definition, examples, algebra properties, and some harateristi of self-adjoint operators on Hilbert spae. In the Hilbert spae there are tpes of bounded linear operators suh as adjoint operators and self-adjoint operators. To investigate harateristi of self-adjoint operator required onepts of Hilbert spae, operators on Hilbert spaes, Riesz representation theorem, and adjoint operators on Hilbert spae. It then takes a thought to investigate the harateristi of self-adjoint operators. Disussion of self-adjoint operators more emphasis on understanding the definition, algebra properties, and harateristi of self-adjoint operators on Hilbert spae. The results obtained are algebra properties of self-adjoint operators suh as addition, subtration, salar multipliation, and multipliation of self-adjoint operators. In addition, some harateristi assoiated with self-adjoint operators on Hilbert spae. Kewords : Riesz representation theorem, adjoint operators, self adjoint operators, Hilbert spae. Abstrak. Pada artikel ini akan dibahas mengenai definisi, ontoh, sifat- sifat aljabar, dan beberapa karakteristik operator self adjoint pada ruang Hilbert. Pada ruang Hilbert terdapat jenis-jenis operator linear terbatas diantarana operator adjoint dan operator self adjoint. Untuk menelidiki karakteristik operator self adjoint diperlukan konsep ruang Hilbert, operator pada ruang Hilbert, Teorema representasi Riesz, dan operator adjoint pada ruang Hilbert. Hal tersebut kemudian membawa pemikiran untuk menelidiki karakteristik operator self adjoint. Pembahasan mengenai operator self adjoint lebih ditekankan pada memahami definisi, sifat- sifat aljabar, dan karakteristik operator self adjoint pada ruang Hilbert. Hasil penelitian ang diperoleh adalah sifatsifat aljabar operator self adjoint diantarana sifat penjumlahan, pengurangan, perkalian dengan skalar, dan perkalian operator self adjoint. Selain itu, beberapa karakteristik ang berkaitan dengan operator self adjoint pada ruang Hilbert. Kata kuni: teorema representasi Riesz, operator adjoint, operator self adjoint, ruang Hilbert. 1 Pendahuluan Di dalam analisis khususna analisis fungsional, beberapa ruang ang sering dibiarakan adalah ruang linear, ruang bernorma, ruang Banah, ruang pre- Hilbert, dan ruang Hilbert. Ruang pre-hilbert merupakan ruang linear X ang dilengkapi dengan fungsi ang memetakan setiap anggota X X ke suatu bilangan kompleks dan memenuhi aksioma-aksioma tertentu. Fungsi inilah ang kemudian dikenal dengan produk skalar (inner produt) pada X. Ruang pre- Hilbert ang lengkap disebut ruang Hilbert. Pemetaan dari suatu ruang linear ke ruang linear ang lain atau dari suatu ruang linear ke ruang linear ang sama disebut operator. Diberikan ruang Hilbert X dan Y atas lapangan ang sama, aitu F. Lapangan F ang dimaksud pada tulisan ini adalah atau. Operator T : X Y dikatakan linear jika untuk setiap x, X dan F berlaku T ( x ) T ( x) T ( ) dan T ( x) T ( x). Operator linear T : X Y dikatakan 1

2 terbatas jika terdapat konstanta M 0 sehingga T ( x) Unisda Journal Mathematis and Computer Siene M x untuk setiap x X. Himpunan semua operator linear terbatas dari X ke Y ditulis B X, Y. Lebih B X X dituliskan B X atau BY. lanjut, dalam hal X = Y,, Diberikan ruang Hilbert H atas lapangan F, himpunan semua operator linear terbatas dari H ke H ditulis BH, dan T B( H ). Lapangan F ang dimaksudkan di tulisan ini adalah (bilangan kompleks). Operator linear kontinu T ang memiliki sifat T T dengan T adjoint operator T disebut sebagai operator positif. Pada ruang Hilbert terdapat jenis-jenis operator linear terbatas diantarana operator adjoint dan operator self adjoint. Untuk menelidiki karakteristik operator self adjoint diperlukan konsep ruang Hilbert, operator pada ruang Hilbert, teorema representasi Riesz, dan operator adjoint pada ruang Hilbert. Hal tersebut kemudian membawa pemikiran untuk menelidiki karakteristik operator T ang memiliki sifat T T dengan T adjoint operator T. Pembahasan mengenai karakteristik operator self adjoint pada tulisan ini, lebih ditekankan pada memahami definisi, sifat- sifat aljabar, dan karakteristik operator self adjoint pada ruang Hilbert. Rumusan masalah ang dibuat adalah bagaimana karakteristik atau sifat-sifat operator self adjoint. Dalam penelitian ini hana dibatasi pada ruang Hilbert. Tujuan penelitian ini adalah untuk memberikan pemahaman dan pengetahuan mengenai sifat- sifat dan karakteristik operator self adjoint pada ruang Hilbert. Pembahasan mengenai operator self adjoint pada ruang Hilbert bermanfaat membantu mengembangkan ilmu matematika dan aplikasina, khususna analisis fungsional. Pembahasan tentang operator self adjoint pada ruang Hilbert diawali dengan pendefinisian teorema representasi Riesz, operator adjoint, dan operator self adjoint, kemudian dilanjutkan dengan pembahasan mengenai karakteristik operator self adjoint pada ruang Hilbert. Dalam pendefinisian operator adjoint diperlukan penjelasan mengenai teorema representasi Riesz. Untuk pembahasan tentang konsep ruang Hilbert, operator adjoint, dan operator self adjoint diau dari buku [3], [4], dan [1]. Selanjutna, dalam pembahasan mengenai operator pada ruang Hilbert diperlukan penjelasan mengenai konsep konsep pemetaan linear kontinu pada ruang bernorma diau dari buku [3] dan [4]. Selanjutna, [1] dalam bukuna seara lengkap membahas tentang operator pada ruang Hilbert. Pembahasan mengenai karakteristik operator self adjoint pada ruang Hilbert diau dari buku [] dan [4]. Hasil dan Pembahasan Pada bab ini dibahas tentang definisi, ontoh, sifat-sifat aljabar, dan karakteristik operator self adjoint pada ruang Hilbert. Untuk menelidiki karakteristik operator self adjoint pada ruang Hilbert, terlebih dahulu akan disampaikan mengenai teorema representasi Riesz, operator adjoint, dan beberapa sifat operator self adjoint pada ruang Hilbert.

3 .1 Operator Adjoint Pada Ruang Hilbert Unisda Journal Mathematis and Computer Siene Untuk dapat mendefinisikan operator adjoint, dalam sub-bab berikut terlebih dahulu dibahas mengenai eksistensi representasi Riesz. Selain itu, dalam sub-bab berikut dipahami bahwa BH adalah himpunan semua operator linear terbatas pada ruang Hilbert H. Teorema 1 (Teorema Representasi Riesz). Diketahui H ruang Hilbert. Jika T sebarang fungsional linear terbatas pada H maka terdapat dengan tunggal H sehingga T( x) x,, x H. Diketahui T sebarang fungsional linear terbatas. Misalkan A N( T) x H : T ( x) 0. Diperoleh A ruang bagian tertutup H. Karena A ruang bagian tertutup dari H, maka H A A. Selanjutna, 1) Jika T = O maka diambil sehingga teorema terbukti. ) Jika T O maka A H. Karena jika A = H maka untuk sebarang x H berakibat T = O. Oleh karena itu, A H maka A. Jadi, dapat diambil \. Karena A A z A diperoleh : T( z). z T( z) z, z, z, z T( z). z z T( z). z maka T() z. Dibentuk A, z Untuk A, maka, T( ). Untuk x H, x dapat ditulis sebagai T ( x) T ( x) T ( x) x x, dengan x A, sebab T ( ) T ( ) T ( ) T ( x) T ( x) x = T ( x) T ( ) 0. T ( ) T ( ) T( x) Karena x orthogonal terhadap, maka : T( ) T( x) x, 0 T( ) T( x) x,, 0 T( ) T( x) x,, T( ) x, T ( x) 3

4 Unisda Journal Mathematis and Computer Siene Diperoleh T( x) x,, x H. Selanjutna akan dibuktikan tunggal. Diambil sebarang ' setiap x H diperoleh: x, x, ' x, x, ' 0 x, ' 0 ' 0 ' H maka T( x) x, ', x H. Karena T ( x) x, maka untuk Jadi, tunggal. Dengan demikian T( x) x,, x H. Teorema. Diketahui H dan K ruang Hilbert. Untuk setiap T : H K operator linear kontinu, maka terdapat dengan tunggal operator linear kontinu T : K H sehingga untuk setiap x H dan K, berakibat T ( x), x, T ( ). Diambil sebarang T L ( H, K) dan K. Dibentuk fungsional pada H dengan ( x) T( x),, x H. Fungsional merupakan fungsional linear kontinu pada H sebab: 1) Untuk setiap x1, x H dan skalar diperoleh: x x T( x x ), T( x ), T( x ), ( x ) ( x ) dan x T( x ), T ( x ), ( x ) ) Untuk setiap x H diperoleh: ( x) T( x), T ( x) T x Karena untuk setiap K, merupakan pemetaan linear kontinu pada H, maka menurut Teorema 1, terdapat dengan tunggal ' H sehingga untuk setiap x H berlaku ( x) x, '. Berarti jelas bahwa untuk setiap K menentukan dengan tunggal ' H. Jadi terdapat operator T ( ) ', K. Oleh karena itu diperoleh : x T x x x T ( ) ( ),, ', ( ) T : K H dengan Jelas bahwa T tunggal. Selanjutna, operator T linear dan kontinu, sebab : 1) Untuk setiap 1, K, x H, dan, skalar diperoleh: x T T x, ( 1 ) ( ), 1 ) Untuk setiap x H diperoleh: = T ( x), T ( x), 1 = T ( x), T ( x), 1 = x, T ( ) x, T ( ) x, T ( ) x, T ( ) 1 1 4

5 Unisda Journal Mathematis and Computer Siene a. Jika x maka, 0 T ( ) T ( ), T ( ), TT ( ) T T ( ) 0. b. Jika x maka, T ( x) T ( x), T ( x) x, TT ( x) T x T ( x) T x T x ( ). Diambil M T. Diperoleh M 0, sehingga T ( x) M x. Jadi, T terbatas. Dengan demikian, terbukti bahwa untuk setiap T L ( H, K) terdapat dengan tunggal T L (, ) K H sehingga: T( x), x, T ( ), x H dan K. Definisi 1. Operator linear kontinu disebut operator adjoint dari T. T seperti ang dijelaskan pada Teorema. Setelah disampaikan mengenai operator adjoint, berikut ini akan dibahas sifatsifat operator adjoint pada ruang Hilbert. Teorema 3. Diketahui H dan K ruang Hilbert. Jika S, T L H, K maka pernataan- pernataan berikut ini berlaku. a. T ( ), x, T ( x), untuk setiap xh, K b. S T S T T T. d. T T dan λ skalar, a. Diambil sebarang xh, K. T x x T T x T x ( ),, ( ) ( ),, ( ). b. Diambil sebarang x H ( S T) ( x), x x,( S T)( x) x, S( x) T( x) = x, S( x) x, T( x) S ( x), x T ( x), x ( S T )( x), x. Jadi, ( S T) S T.. Diambil sebarang x H. 5

6 Unisda Journal Mathematis and Computer Siene ( T ) ( x), x x, T ( x) x, T ( x) T ( x), x ( T ) x, x. Jadi, ( T) T. d. Diambil sebarang x H. ( T ) ( x), x x, T ( x) T( x), x. Jadi, ( T ) T. Teorema 4. Diketahui H, K, dan L ruang Hilbert. Jika T L H, K, maka ST T S S L K L Diambil sebarang x H.. ( ST ) ( x), x x, ST( x) S ( x), T( x) T S ( x), x. dan Jadi, ( ST ) T S.. Karakteristik Operator Self Adjoint Pada Ruang Hilbert Berikut ini akan disamapaikan mengenai karakteristik operator self adjoint pada ruang Hilbert. Pembahasan mengenai karakteristik operator self adjoint lebih difokuskan pada definisi, sifat- sifat aljabar, dan sifat- sifat lain ang berkaitan dengan operator self adjoint pada ruang Hilbert. Definisi. Diketahui H ruang Hilbert dan T B( H). Operator T dikatakan self- adjoint jika T T. Teorema 5. Diketahui H ruang Hilbert dan S, T B( H). Jika S, T self adjoint maka 1) S T ) T, 3) ST, dengan ST TS masing- masing merupakan self adjoint. 1) Diambil sebarang x H. ( S T)( x), x S( x) T( x), x S( x), x T( x), x x, S ( x) x, T ( x) =, ( ), ( ) ( ), ( ), ( ), ( ), x S x x T x S x x T x x S T x x S T x x Jadi, S T ( S T). Dengan demikian, S T self adjoint. ) Diambil sebarang x H. Tx, x x, T x x, T x x, Tx T ( x), x ( T ) x, x Jadi, T ( T). Dengan demikian, T self adjoint. 6

7 Unisda Journal Mathematis and Computer Siene 3) Diambil sebarang x H. ST ( x), x T ( x), S ( x) x, T S x x, TS( x) x, ST ( x) ( ST ) ( x), x Jadi, ST ST. Dengan demikian, ST self adjoint. Teorema 6. Diketahui H ruang Hilbert dan T B( H). Pernataan- pernataan berikut ekuivalen: 1) T self adjoint ) T( x), x, T( ), x, H 3) T( x), x x, T ( x), x H 4) T( x), x bilangan real, x H. 1) ) Diambil sebarang x, H. Diperoleh: T ( x), T ( x), x, T ( ). Jadi, T( x), x, T( ), x, H. ) 3) Jelas dari ang diketahui. 3) 4) Diambil sebarang x H : T( x), x x, T ( x) T ( x), x. Diperoleh T( x), x bilangan real x H. 4) 1) Diambil sebarang x H : T( x), x T( x), x x, T( x) T ( x), x self adjoint).. Jadi, untuk setiap x H, 3 Kesimpulan T T (T Berdasarkan pembahasan di atas, kesimpulan ang dapat diambil adalah jika diberikan H ruang Hilbert atas lapangan F, maka operator linear kontinu T dikatakan self adjoint apabila operator T memenuhi sifat T T, dengan T operator adjoint T. Lebih lanjut, apabila dan S, T B( H ) self adjoint, maka S T, T, dan ST merupakan operator self adjoint. Selain itu, jika T operator self adjoint, maka T( x), x real, x H. Daftar Pustaka [1] Berberian, S.K Introdution to Hilbert Spaes. Oxford Universit Press. New York. [] Furuta, T. 00. Invitation to Linear Operators. Talor and Franis. New York. [3] Kreszig, E Introdutor Funtional Analsis with Appliations. John Wile and Sons. New York. [4] Weidmann, J Linear Operators in Hilbert Spaes. Springer-Verlag. New York. 7