Bab 2. Teori Dasar. 2.1 Erlanger Program Kongruen

Transkripsi

1 Bab 2 Teori Dasar 2.1 Erlanger Program Erlanger program digunakan untuk menjelaskan geometri. Erlanger program memungkinkan pengembangan yang seragam dan perbandingan geometri yang berbeda. Membandingkan dua geometri diantaranya berarti menentukan apakah konsep dari satu geometri adalah seluruhnya termasuk di dalam yang geometri yang lain. Erlanger Program menyediakan sebuah rangka untuk mengklasi kasikan berbagai ide geometri dan menyediakan sebuah teknik pembuktian seragam yang dapat dipakai untuk semua teorema dari semua geometri Kongruen Dua bentuk disebut kongruen dalam pengukuran Euclidean jika dua bentuk adalah sama: sisi yang bersesuaian mempunyai panjang yang sama, sudut yang bersesuaian memiliki ukuran yang sama dan sebagainya. Bentuk-bentuk kongruen mempunyai sifat geometri yang sama, sehingga sebarang pernyataan benar mengenai satu bentuk adalah otomatis benar untuk sebarang bentuk kongruen. Kongruen dalam pengukuran Euclidean di adopsi dalam Erlanger program, sehingga dua bentuk kongruen jika mengawetkan ukuran. Geometri dimulai den- 4

2 BAB 2. TEORI DASAR 5 gan bidang (atau himpunan yang lain) tanpa aksioma, postulat atau sebarang ide pengukuran. Geometri dapat diklasi kasikan dengan berbagai cara mende nisikan kongruen. Hubungan kongruen harus mempunyai tiga sifat berikut: (a) A = A untuk sebarang bentuk A (re eksi). (b) Jika A = B, maka B = A (simetri). (c) Jika A = B dan B = C, maka A = C (transitif) De nisi dari Sebuah Geometri Misalkan dua bentuk A dan B. A dan B kongruen (ditulis A = B) jika dan hanya jika A = f (B) = ff (z) : z dalam Ag dimana f adalah transformasi kongruen. Dari sifat-sifat di atas diterjemahkan menjadi syarat transformasi kongruen sebagai berikut: (a) fungsi identitas f (z) = z adalah sebuah transformasi kongruen, (b) jika f (z) adalah sebuah transformasi kongruen, maka f bisa diinverskan dan f 1 adalah juga sebuah transformasi kongruen, (c) jika f (z) dan g (z) adalah transfomrasi kongruen, maka komposisi f (g (z)) adalah transformasi kongruen. Ini mengarahkan kepada de nisi berikut: De nisi 1 Misal S adalah sebuah himpunan tidak kosong. Sebuah grup transformasi G adalah sebuah koleksi dari transformasi T : S! S sehingga (a) G tertutup terhadap komposisi, (b) G memuat identitas, dan

3 BAB 2. TEORI DASAR 6 (c) transformasi dalam G bisa diinverskan dan inversnya dalam G De nisi 2 Setiap geometri (S; G) terdiri atas sebuah himpunan tidak kosong S dan sebuah grup transformasi G. De nisi 3 Sebuah bentuk dalam geometri (S; G) adalah sebarang A subhimpunan dari himpunan S. Dua bentuk A dan B adalah kongruen jika terdapat sebuah transformasi T dalam G sehingga T (A) = B, dimana T (A) dide nisikan dengan rumus T (A) = ft z : z adalah sebuah titik dari Ag. 2.2 Geometri Euclidean Bagian terpenting dalam geometri adalah grup transformasi G. Grup transformasi G menentukan karakter dari geometri. De nisi 4 Misal E 2 adalah bidang Euclidean termasuk 1, dan misal F adalah grup transformasi dari himpunan transformasi yang berbentuk T (z) = ze i + b dengan adalah konstanta Real dan b adalah konstanta kompleks. (E 2 ; F ) adalah model geometri Euclidean. Pasangan Model geometri Euclidean pada de nisi di atas merupakan geometri dengan transformasi perputaran (rotasi) dilanjutkan dengan pergeseran (translasi). Selanjutnya akan ditunjukkan geometri (E 2 ; F ) adalah sebuah geometri. (a) Misalkan T; S 2 F dengan T (z) = ze i + b dan S (z) = ze i + c

4 BAB 2. TEORI DASAR 7 dengan adalah konstanta Real dan b; c adalah konstanta kompleks. Sehingga T (S (z)) = ze i + c e i + b = ze i2 + ce i + b misalkan ce i + b = d T (S (z)) = ze i2 + d dengan adalah konstanta Real dan d adalah konstanta kompleks. Karena T S adalah transformasi rotasi dilanjutkan dengan translasi, jadi T S adalah transformasi dalam F. (b) Misalkan = 0 dan b = 0, maka T (z) = z adalah transfomasi identitas. Jadi F mempunyai identitas. (c) Misalkan T 1 (z) = ze i g adalah transformasi invers dari T, dengan g = be i dan adalah konstanta Real dan g; b adalah konstanta kompleks. Karena T 1 adalah transformasi rotasi dilanjutkan dengan translasi, sehingga T 1 2 F, maka T 1 (T (z)) = ze i + b e i g = ze i e i + be i be i = z dan T T 1 (z) = ze i g e i + b = ze i e i ge i + b = ze i e i be i e i + b = z b + b = z

5 BAB 2. TEORI DASAR 8 Jadi T 1 adalah transformasi invers dari T. Jadi F memuat invers. Berdasarkan (a)-(c) di atas maka (E 2 ; F ) adalah model geometri Euclidean. 2.3 Ruang Euclidean Ruang Euclidean mempunyai aspek aljabar dan geometri. Dalam aspek aljabar ruang Euclidean mempunyai sifat vektor di R 2. Ruang vektor R 2 memenuhi sifat berikut. De nisi 5 Ruang vektor (R 2 ; +; ) adalah himpunan tidak kosong R 2 dengan operasi biner + : R 2 R 2! R 2 dan sebuah operasi : RR 2! R 2 yang memenuhi sifat berikut. Untuk setiap x; y; z 2 R 2 berlaku (x + y) + z = x + (y + z) : (sifat asosiatif) Untuk setiap x; y 2 R 2 berlaku x + y = y + x: (sifat komutatif) Terdapat 0 2 R 2 untuk setiap x 2 R 2 sehingga berlaku x+0 = x: (identitas) Terdapat x 2 R 2 untuk setiap x 2 R 2 sehingga berlaku x + ( x) = 0: (invers) Terdapat 1 2 R untuk setiap x 2 R 2 sehingga berlaku 1 x = x: Untuk setiap c 2 R dan untuk setiap x; y 2 R 2 berlaku c (x + y) = cx + cy: (sifat distributif) Untuk setiap c; d 2 R dan untuk setiap x 2 R 2 berlaku (c + d) x = cx + dx: Untuk setiap c; d 2 R dan untuk setiap x 2 R 2 berlaku c (dx) = (cd) x: Ruang Euclidean secara aljabar sama denan ruang vektor sehingga penyelesaian untuk persamaan a + x = b dan x + a = b; untuk a; b 2 R 2 (2.1)

6 BAB 2. TEORI DASAR 9 adalah x = b a. Persamaan (2.1) mempunyai satu penyelesaian karena ruang vektor mempunyai sifat komutatif. Untuk melengkapi ruang Euclidean, maka ruang vektor mempunyai norm yang dide nisikan dari hasil kali dalam ruang vektor R 2. De nisi 6 Misalkan sebarang x; y 2 R 2 dengan x = (x 1 ; x 2 ) dan y = (y 1 ; y 2 ) dan x 1 ; x 2 ; y 1 ; y 2 2 R, hasil kali dalam adalah x y = x 1 y 1 + x 2 y 2 : Berdasarkan de nisi hasil kali dalam di atas dide nisikan norm. De nisi 7 Misalkan sebarang x 2 R 2 dengan x = (x 1 ; x 2 ) dan x 1 ; x 2 2 R, norm x adalah kxk = (x x) 1 2 = qx x 2 2 yang memenuhi sifat berikut: kxk 0 untuk setiap x 2 R 2. Jika kxk = 0, maka x = 0: (vektor nol) kcxk = jcj kxk untuk setiap x 2 R 2 dan setiap c 2 R. Sehingga jarak antara dua titik x; y 2 E 2 dalam ruang Eulcidean (E 2 ) adalah d (x; y) = kx yk : Jadi ruang Euclidean adalah ruang vektor yang dilengkapi dengan fungsi jarak d (metrik). Konsep jarak adalah hal penting dalam geometri. Teorema 8 Jarak antara dua titik dalam ruang Euclidean memenuhi sifat berikut. Untuk setiap x; y 2 E 2, berlaku d (x; y) 0: Untuk setiap x; y 2 E 2, berlaku d (x; y) = 0 jika dan hanya jika x = y:

7 BAB 2. TEORI DASAR 10 Untuk setiap x; y 2 E 2, berlaku d (x; y) = d (y; x) : Untuk setiap x; y; z 2 E 2, berlaku d (x; y) + d (y; z) d (x; z) : Identitas dalam ruang Euclidean adalah kx + yk 2 = kxk 2 + kyk 2 + 2x y (2.2) dengan x; y 2 E 2. Pembuktian identitas dalam ruang Euclidean (persamaan (2.2)) terdapat dalam Lampiran B. Jika x; y saling tegak lurus maka diperoleh teorama Pythagoras kx + yk 2 = kxk 2 + kyk 2 : Identitas polarisasi dalam ruang Euclidean adalah kx + yk 2 kx yk 2 = 4x y (2.3) dengan x; y 2 E 2. Pembuktian identitas polarisasi dalam ruang Euclidean (persamaan (2.3)) terdapat dalam Lampiran B Garis Garis dalam geometri Euclidean adalah vektor yang menghubungkan pasangan titik. Sebuah garis yang melalui dua titik a; b 2 E 2 memenuhi persamaan berikut: r (t) = a + t ( a + b) (2.4) dengan t 2 R. Jika t = 0 merupakan titik a dan jika t = 1 merupakan titik b. Jadi untuk t 2 [0; 1] merupakan segmen garis dari a ke b, lihat gambar 2.1.

8 BAB 2. TEORI DASAR 11 Gambar 2.1 Segmen garis Untuk sebarang vektor v 2 E 2, dide nisikan v = ftv : t 2 Rg adalah sebuah arah merupakan himpunan semua vektor yang tidak nol. Jika p adalah sebarang titik di E 2 dan v adalah vektor tidak nol, maka l = fx : x p 2 vg atau l = p + v disebut garis yang melalui p dengan arah v, lihat gambar 2.2. Gambar 2.2 Garis l = p + v Misalkan terdapat dua vektor u dan v di E 2, maka sudut antara u dan v adalah u v = cos (2.5) dengan 2 [0; ], lihat gambar 2.3. Gambar 2.3 Sudut antara u dan v

9 BAB 2. TEORI DASAR Aturan Cosinus dalam Ruang Euclidean Misalkan a; b; c adalah titik pada segitiga Euclidean, dan A = b c; B = a c; C = a b merupakan sisi-sisi pada segitiga Euclidean, juga ; ; adalah sudut dengan sisi yang bersesuaian (lihat gambar 2.4), maka Gambar 2.4 Segitiga Euclidean kck 2 = ka bk 2 = ka + c c bk 2 = k(c b) + (a c)k 2 = k( A) + Bk 2 berdasarkan persamaan identitas dalam ruang Euclidean (2.2), diperoleh kck 2 = k Ak 2 + kbk ( A) B berdasarkan persamaan (2.5) maka = kak 2 + kbk ( A) B, sifat norm = kak 2 + kbk 2 2A B A kak B kbk = cos, sehingga kck 2 = kak 2 + kbk 2 2 kak kbk cos : (2.6) Persamaan di atas merupakan hukum cosinus dalam ruang Euclide. Jika A; B saling tegak lurus maka akan diperoleh Teorema Pythagoras sebagai berikut: kck 2 = kak 2 + kbk 2 :

10 BAB 2. TEORI DASAR Geometri Mobius Grup transformasi yang digunakan dalam geometri Mobius sangat luas, termasuk semua grup transformasi dari semua geometri non-euclidean. De nisi 9 Misal C + dengan bidang kompleks termasuk 1, dan misal M adalah himpunan transformasi berbentuk T (z) = az + b cz + d dengan a, b, c, dan d adalah konstanta kompleks, dan ad bc 6= 0 (determinan dari T ), M disebut transformasi Mobius. Pasangan (C + ; M) adalah model geometri Mobius. Untuk menunjukkan bahwa geometri Mobius adalah sebuah geometri, harus dijelaskan bahwa (a) Transformasi Mobius M mempunyai komposisi transformasi yang berada dalam M. Misalkan T; S 2 M yaitu dan T (z) = az + b cz + d S (z) = ez + f gz + h dengan a; b; c; d; e; f; g; h adalah konstanta kompleks, ad fg 6= 0. Sehingga dengan T (S (z)) = a c ez+f gz+h ez+f gz+h + b = + d (ae + bg) z + (af + bh) (ce + dg) z + (cf + dh) bc 6= 0 dan eh (ae + bg) (cf + dh) (af + bh) (ce + dg) = acef + adeh + bcfg + bdgh acef adf g bceh bdgh = adeh + bcfg adfg bceh = ad (eh fg) bc (eh fg) = (ad bc) (eh fg)

11 BAB 2. TEORI DASAR 14 karena ad bc 6= 0 dan eh fg 6= 0, maka (ae + bg) (cf + dh) (af + bh) (ce + dg) 6= 0: Berarti komposisi dari dua transformasi Mobius adalah transformasi Mobius. Jadi M mempunyai komposisi transformasi. (b) Misalkan a = d = 1 dan b = c = 0, maka diperoleh transformasi T (z) = z: Jadi M mempunyai transformasi identitas. (c) Misalkan T 1 adalah transformasi invers dari T dengan ad T 1 2 M, dengan maka T 1 (z) = dz b cz + a T 1 (T (z)) = d az+b b cz+d c cz+d az+b + a = d (az + b) b (cz + d) c (az + b) + a (cz + d) = adz + bd bcz bd acz bc + acz + ad = (ad bc) z (ad bc) = z bc 6= 0 sehingga dan T T 1 (z) = a cz+a dz b + b dz b c cz+a + d = a (dz b) + b ( cz + a) c (dz b) + d ( cz + a) = adz ab bcz + ab cdz bc cdz + ad = (ad bc) z (ad bc) = z

12 BAB 2. TEORI DASAR 15 sehingga T 1 adalah transformasi invers di M. Jadi M mempunyai transformasi invers. Berdasarkan (a)-(c) maka geometri Mobius (C + ; M) adalah sebuah geometri. Teorema yang akan dijelaskan berikut sangat penting. Ini menjelaskan kebebasan gerak dengan transformasi Mobius. Lemma 10 Jika T bukan transformasi identitas, maka T hanya mempunyai satu atau dua titik tetap. Sebuah transformasi Mobius dengan tiga atau lebih titik tetap adalah transformasi identitas. Teorema 11 (Teorema dasar geometri Mobius) Terdapat tepat sebuah transformasi yang memetakan tiga bilangan kompleks yang berbeda z 1 ; z 2 ; z 3 ke tiga bilangan kompleks yang berbeda w 1 ; w 2 ; w 3. Bukti. Diklaim bahwa terdapat sebuah tranformasi Mobius yang memetakan tiga bilangan kompleks z 1 ; z 2 ; z 3 ke tiga bilangan tertentu 1; 0; 1. Berarti, yang harus dilakukan adalah mencari sebuah transformasi Mobius T sehingga T (z 1 ) = 1; T (z 2 ) = 0; T (z 3 ) = 1 Jika T dapat mentransformasikan sebarang bilangan z 1 ; z 2 ; z 3 yang diberikan, maka dengan menempatkan w 1 ; w 2 ; w 3 di z 1 ; z 2 ; z 3 diperoleh sebuah transformasi S sehingga S (w 1 ) = 1; S (w 2 ) = 0; S (w 3 ) = 1 Maka komposisi U = S 1 T adalah transformasi yang diinginkan karena U (z 1 ) = S 1 (T (z 1 )) = S 1 (1) = w 1 U (z 2 ) = S 1 (T (z2)) = S 1 (0) = w 2 U (z 3 ) = S 1 (T (z 3 )) = S 1 (1) = w 3 Kemudian akan dibuktikan bahwa terdapat transformasi U adalah tunggal. Misalkan V adalah sebuah transformasi lain yang memetakan z 1 ke w 1,z 2 ke w 2, dan

13 BAB 2. TEORI DASAR 16 z 3 ke w 3. Maka V 1 U mempunyai tiga titik tetap. Berdasarkan lemma sebelumnya V 1 U haruslah transformasi identitas, maka V = U. Kemudian akan ditentukan transformasi T, yang memetakan z 1 ; z 2 ; z 3 1; 0; 1. Transformasi tersebut adalah: sehingga bukti dari teorema lengkap. T (z) = z z 2 z z 3 z 1 z 3 z 1 z 2 (2.7) Persamaan (2.7) sangat penting dalam transformasi Mobius, yang dide nisikan sebagai berikut: De nisi 12 Cross ratio adalah fungsi dari empat konstanta kompleks dengan z 1 ; z 2 ; z 3 T (z) = z z 2 z z 3 z 1 z 3 z 1 z 2 adalah konstanta tetap, maka cross ratio adalah transformasi Mobius yang tepat memetakan z 1 ke 1, z 2 ke 0, dan z 3 ke 1: ke Geometri Hiperbolik Geometri hiperbolik terlihat sangat nyata, hampir lazim, dengan garis lurus, jarak, lingkaran, dan segitiga dengan geometri Euclide. Dengan menggunakan de nisi cross ratio diatas, berikut ini dide nisikan geometri hiperbolik. De nisi 13 Misal D= fz : jzj < 1g adalah cakram satuan dalam bidang kompleks, dan misal H adalah sebuah himpunan transformasi dari D yang berbentuk T (z) = z z 2 z z 3 z 1 z 3 z 1 z 2 (2.8) dengan z 1 ; z 2 ; z 3 adalah konstanta tetap dan z; z 1 ; z 2 ; z 3 2 D. Pasangan (D;H) adalah model geometri hiperbolik. Himpunan D disebut bidang hiperbolik. Grup H adalah grup hiperbolik. Karena H adalah sebuah grup dari M dan D adalah sebuah subhimpunan dari C +, geometri hiperbolik adalah sebuah subgeometri dari geometri Mobius. Oleh

14 BAB 2. TEORI DASAR 17 karena itu setiap pernyataan benar dalam geometri Mobius adalah benar juga dalam geometri hiperbolik. Bagaimanapun, setiap bentuk dalam geometri hiperbolik mempunyai bentuk kongruen yang lebih sedikit daripada dalam geometri Mobius (karena geometri hiperbolik mempunyai transformasi lebih sedikit daripada geometri Mobius). Model geometri hiperbolik dengan himpunan D disebut model Poincare. Jarak dua titik z 1 ; z 2 dide nisikan sebagai berikut: 2 D dalam geometri hiperbolik (geometri Poincare) 0 d (z 1 ; z 2 ) = 1 + z 2 z z 1 z 2 A 1 z 2 z 1. 1 z 1 z 2 Sehingga jarak suatu titik z 2 D terhadap titik pusat cakram satuan adalah: d (0; z) = ln 1 + jzj. 1 jzj Garis lurus Dalam geometri Mobius, kita hanya mempelajari satu bentuk cline (lingkaran Euclide dan garis lurus Euclide). Dalam geometri hiperbolik tidak menjadi masalah bahwa semua cline kongruen. Sebagai contoh: lingkaran satuan adalah tepat satu, berarti tidak ada lingkaran lain atau garis lurus Euclide yang kongruen terhadap lingkaran satuan. (Tentu saja, lingkaran satuan tidak benarbenar dalam bidang hiperbolik.) Contoh kedua adalah sebuah himpunan lingkaran yang tegak lurus terhadap cakram satuan. Himpunan lingkaran ini memainkan hukum dari garis lurus dalam geometri hiperbolik, sebagaimana dijelaskan de nisi dan teorema berikut. De nisi 14 Garis lurus hiperbolik adalah diameter lingkaran atau lingkaran dalam bidang kompleks yang memotong cakram satuan dengan sudut siku-siku.

15 BAB 2. TEORI DASAR 18 Gambar 2.5 Bidang hiperbolik dan beberapa garis lurus hiperbolik Teorema 15 Dalam geometri hiperbolik, semua garis lurus hiperbolik adalah kongruen. Dua titik dalam bidang hiperbolik menentukan tepat sebuah garis lurus hiperbolik. Bukti. Simetri adalah kunci dari bukti ini. Misal T adalah sebuah transformasi dari geometri hiperbolik. Misal z adalah titik simetri terhadap z yang berhubungan terhadap cakram satuan. Karena simetri diawetkan semua transformasi Mobius, titik T z dan T z akan simetri yang berhubungan dengan lingkaran diperoleh dengan menggunakan T ke cakram satuan. Tetapi T memetakan cakram satuan ke dirinya. Bukti teorema di atas, juga membuktikan lemma berikut ini. Lemma 16 Setiap transformasi dari geometri hiperbolik memetakan setiap pasangan titik simetri yang berhubungan dengan cakram satuan ke pasangan titik simetri lain yang berhubungan dengan cakram satuan. Sekarang, misal C adalah sebarang garis lurus, dan misal z 0 sebarang titik di bidang hiperbolik pada C. Karena C adalah sebuah cline yang tegak lurus terhadap cakram satuan, C juga harus melalui titik z0 yang diluar cakram satuan dan simetri terhadap z 0 yang berhubungan dengan cakram satuan. Misal T adalah sebuah transformasi dari grup hiperbolik membawa z 0 ke 0 seperti dalam persamaan (2.8). Titik simetri z0 akan dikirim ke 1. Maka

16 BAB 2. TEORI DASAR 19 dari itu, T (C) adalah sebuah garis lurus Euclide tegak lurus terhadap cakram satuan dan melalui titik pusat. Dengan kata lain, T (C) adalah sebuah diameter dari cakram satuan. Selanjutnya T mentransformasikan C, dan membuat T (C) menjadi x-absis. Aksi dari T diilustrasikan dalam gambar 2.6. Gambar 2.6 Menempatkan sebuah garis lurus dalam posisi standar dalam geometri hiperbolik Ini membuktikan bahwa setiap garis lurus hiperbolik C kongruen terhadap sebuah garis lurus standar yang spesi k: x-absis. Karena itu, semua garis lurus hiperbolik adalah kongruen. Kemudian, misal z 1 dan z 2 adalah sebarang dua titik dalam bidang hiperbolik. Untuk membuktikan bahwa terdapat sebuah garis lurus hiperbolik yang unik melalui z 1 dan z 2, kita dapat menempatkan z 1 dan z 2 dalam sebarang posisi kongruen yang sesuai. Gunakan kebebasan gerak yang sama sebagai dalam bagian pertama dari bukti, kita dapat menempatkan z 1 di titik asal dan kemudian mentransformasikan z 2 ke sebuah titk di suatu tempat sepanjang x-absis positif. Sekarang, setiap garis lurus hiperbolik melalui 0 juga melalui titik simetri 1 yang berhubungan dengan cakram satuan. Dengan kata lain, setiap garis lurus hiperbolik melalui 0 (= z 1 ) adalah sebuah garis lurus Euclide biasa (diameter cakram satuan). Dari geometri Euclide, terdapat sebuah garis lurus Euclide melalui z 1 (= 0) dan z 2 (pada x-absis positif). (Garis ini merupakan x-absis). Karena itu, dalam kasus z 0 = 0, garis lurus Euclide melalui z 1 adalah sama seperti garis lurus

17 BAB 2. TEORI DASAR 20 hiperbolik, ini membuktikan teorema Paralelisme Dalam geometri Euclide, garis paralel dide nisikan sebagai garis yang tidak pernah berpotongan. Berdasarkan de nisi tersebut maka diperoleh de nisi paralelisme dalam geometri hiperbolik sebagai berikut: De nisi 17 Titik pada cakram satuan disebut titik ideal. Dua garis hiperbolik disebut paralel jika tidak berpotongan dalam D tetapi mempunyai satu titik ideal bersama. Dua garis hiperbolik disebut hiperparalel jika tidak berpotongan di dalam D dan tidak mempunyai titik ideal bersama. Gambar 2.7 Jenis paralel Gambar 2.7 menunjukkan sebuah diameter cakram satuan, sebuah garis paralel terhadap diameter cakram satuan, dan beberapa garis hiperparalel terhadap diameter cakram satuan. Catatan bahwa dua garis hiperparalel terhadap sebuah garis mungkin berpotongan, sebuah keadaan yang tidak pernah terjadi dalam geometri Euclide. Garis paralel dan garis hiperparalel untuk selanjutnya disebut garis paralel. Untuk menyelidiki postulat paralel, misalkan sebuah garis srq dan sebuah titik p tidak di srq. Akan diasumsikan (dengan menggunakan sebuah transformasi jika perlu) bahwa sebuah titik p pada titik asal. Sekarang buat sebuah garis tegak lurus dari p ke garis srq, diperoleh seperti gambar 2.8.

18 BAB 2. TEORI DASAR 21 Gambar 2.8 Sudut paralel Perhatikan bahwa terdapat dua garis melalui p paralel terhadap srq yaitu pq dan ps. Jika sebuah sinar melalui p membuat sudut dengan pr sama dengan, maka ps akan paralel terhadap srq. Sudut disebut sudut paralel. Jika sebuah sinar melalui p membuat sudut lebih besar dari, maka garis tersebut hiperparalel terhadap srq, dan jika garis melalui p membuat sebuah sudut kurang dari, maka garis tersebut memotong srq. Sudut paralel selalu lancip. Ini dapat dilihat dengan melihat pada segitiga pqr dalam gambar 2.8 (menggunakan garis lurus qr). Segitiga ini mempunyai sebuah sudut tumpul di r, dimana sudut di p (dimana sudut paralelisme) haruslah lancip. Ini mendemonstrasikan kegagalan dari postulat paralel Euclide: garis hiperbolik pr memotong dua garis hiperbolik pq dan srq dalam suatu cara bahwa jumlah dari sudut interior (, tambah sudut siku-siku di r antara garis hiperbolik pr dan srq) adalah kurang dari dua sudut siku-siku. Kemudian, dua garis pq dan srq tidak berpotongan dalam bidang hiperbolik.