Beberapa Pertidaksamaan Tipe Ostrowski
|
|
- Yohanes Agusalim
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 Beberapa Pertidaksamaan Tipe Ostrowski Rani Fransiska Departemen Marematika, FMIPA UI, Kampus UI Depok 1644 Abstrak Pertidaksamaan Ostrowski adalah suatu pertidaksamaan integral untuk fungsi yang kontinu dan turunannya terbatas Pertidaksamaan tipe Ostrowski adalah hasil pengembangan dari pertidaksamaan Ostrowski Penelitian ini bertujuan untuk mempelajari beberapa pertidaksamaan tipe Ostrowski Fungsi yang digunakan adalah fungsi yang turunan pertamanya kontinu variasi terbatas dan kontinu mutlak Abstract Ostrowski s inequality is an integral inequality for continuous functions and its derivative is bounded Ostrowski type inequalities is developed from Ostrowski s inequality This research is studying about the Ostrowski type inequalities, especially for continuous function of bounded variation and absolutely continuous function Keywords : absolutely continous, continuous bounded variation, ostrowski type inequality, Riemann-Stieltjes integral 1 PENDAHULUAN Kelas fungsi kontinu adalah kelas fungsi yang terpenting di analisis riil Istilah kontinu digunakan oleh Newton untuk mendeskripsikan sebuah kurva mulus Setelah itu, Bolzano di tahun 117 dan Cauchy di tahun 11 mengidentifikasi kekontinuan sebagai sifat penting dari fungsi dan mengajukan beberapa definisi Kemudian, di sekitar tahun 170, Weiertrass mendefinisikan fungsi kontinu dengan menggunakan pendekatan limit (Bartle, 000) Terdapat beberapa jenis fungsi kontinu, di antaranya fungsi kontinu seragam, kontinu variasi terbatas, dan kontinu mutlak Masing-masing fungsi tersebut memiliki sifat-sifat tersendiri dan ada beberapa yang terdapat hubungan implikasi Pada tahun 193, Ostrowski memperkenalkan sebuah pertidaksamaan integral untuk fungsi yang kontinu dan turunan pertamanya terbatas Pertidaksamaan ini dikenal dengan pertidaksamaan Ostrowski (Mitrinovic & Pecaric, 1994) Pertidaksamaan integral yang dihasilkan dari pengembangan pertidaksamaan Ostrowski disebut pertidaksamaan tipe Ostrowski Rumusan masalah dalam skripsi ini adalah bagaimana bentuk pertidaksamaan tipe Ostrowski? Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah studi literatur Tujuan yang ingin dicapai dalam penelitian ini adalah mempelajari beberapa bentuk pertidaksamaan tipe Ostrowski LANDASAN TEORI Pada bagian ini diberikan definisi dan teorema mengenai ruang L [a, b], fungsi variasi terbatas, fungsi kontinu mutlak, dan integral Riemann-Stieltjes yang akan digunakan pada bagian pembahasan Definisi 1 Untuk sebarang p R, dengan p 1, ruang Banach L [a, b] adalah ruang yang berisi semua fungsi kontinu bernilai riil di [a, b] dengan norm yang didefinisikan sebagai x = x(t) dt (Kreyszig, 199) Selanjutnya adalah definisi dari fungsi variasi terbatas Definisi Misalkan f: [a, b] R dan P = {x, x,, x, x } partisi dari [a, b] Variasi dari fungsi f atas partisi P didefinisikan sebagai (f, P) = f(x ) f(x ) Variasi dari fungsi f di [a, b] didefinisikan sebagai (f) = sup (f, P) sup (f, P) adalah supremum terhadap semua partisi P dari [a, b] Jika (f) berhingga, maka f disebut fungsi variasi terbatas di [a, b] BV adalah himpunan semua fungsi yang terdefinisi di [a, b] dan variasi terbatas di [a, b] 1 Beberapa pertidaksamaan tipe, Rani Fransiska, FMIPA UI, 013
2 Berikut adalah keunikan dari fungsi variasi terbatas Akibat 3 Fungsi f: [a, b] R adalah fungsi variasi terbatas jika dan hanya jika f dapat dinyatakan sebagai hasil pengurangan dua fungsi tak turun Lebih jauh, f fungsi kontinu variasi terbatas jika dan hanya jika f dapat dinyatakan sebagai hasil pengurangan dua fungsi kontinu yang tak turun Berikut ini adalah definisi dari fungsi kontinu mutlak Definisi 4 Sebuah fungsi f dikatakan kontinu mutlak di [a, b] jika untuk sebarang ε > 0 yang diberikan, terdapat δ > 0 sedemikian sehingga f(β ) f(α ) < ε, dengan [α, β ], [α, β ],, [α, β ] adalah kumpulan berhingga subinterval dari [a, b] yang tidak saling berpotongan dan (β α ) < δ Sifat berikutnya menjamin bahwa jika suatu fungsi kontinu mutlak maka fungsi tersebut adalah fungsi variasi terbatas Teorema 5 Jika f fungsi kontinu mutlak di [a, b], maka f adalah fungsi variasi terbatas di [a, b] Variasi suatu fungsi yang kontinu mutlak dapat dihubungkan dengan nilai integral dari mutlak turunan pertama fungsi tersebut Teorema 6 Jika f kontinu mutlak di [a, b] dan x [a, b], maka π (x) = (f) kontinu mutlak dan berlaku π (x) = f (t) dt (Folland, 1999) Sebelum masuk kepada definisi fungsi yang terintegrasi secara Riemann-Stieltjes, dibahas terlebih dahulu mengenai jumlah Riemann-Stieltjes Definisi 7 Misalkan f dan α adalah fungsi bernilai riil yang domainnya adalah interval tutup [a, b] dengan fungsi f dan α terbatas di [a, b] Ambil partisi P = {x, x,, x, x } dari [a, b] Pilih t sedemikian sehingga x t x untuk i = 1,,, n, maka f(t ) [α(x ) α(x )] disebut jumlah Riemann-Stieltjes dari f terhadap α dan relatif terhadap P Himpunan dari semua nilai yang mungkin dari jumlah tersebut (dengan f, α, dan P tetap) dinyatakan sebagai S(f, α, P) Selanjutnya, diberikan definisi fungsi yang terintegralkan secara Riemann-Stieltjes Definisi Misalkan fungsi f dan α terdefinisi dan terbatas di [a, b] Dengan menggunakan notasi S(f, α, P) s ketika P 0 atau lim S(f, α, P) = s dimana s R, yang artinya jika diberikan sebarang ε > 0 terdapat δ > 0 sedemikian sehingga jika P < δ maka S(f, α, P) (s ε, s + ε) Jika limitnya ada, maka fdikatakan terintegralkan secara Riemann-Stieltjes terhadap α di [a, b] atau "f RS(α) di [a, b]" dan notasi s = f(x) dα(x) digunakan dan dibaca sebagai integral Riemann- Stieltjes dari a ke b dari f terhadap α Fungsi f disebut sebagai integran sedangkan α disebut sebagai integrator Selanjutnya diberikan beberapa sifat dari integral Riemann-Stieltjes Sifat yang pertama mengenai sifat linear dari integral Riemann-Stieltjes terhadap integratornya Teorema 9 Jika f RS(α) dan f RS(β) di [a, b], maka untuk sembarang c, c R diperoleh f RS(c α + c β) di [a, b] dan berlaku f d(c α + c β) = c f dα + c f dβ (Apostol, 004) Sifat selanjutnya membahas mengenai syarat cukup fungsi yang terintegrasi secara Riemann- Stieltjes Syarat cukupnya adalah integran merupakan fungsi yang terbatas dan diskontinu di berhingga titik sedangkan integratornya adalah fungsi yang kontinu dan tak turun Teorema 10 Jika f adalah fungsi terbatas di [a, b] dengan jumlah titik diskontinu yang berhingga dan α adalah fungsi kontinu dan tak turun di [a, b], maka f RS(α) di [a, b] (Rudin, 1976) Sifat berikutnya membahas nilai integral Riemann-Stieltjes jika integrannya adalah fungsi terbatas dan integratornya adalah fungsi variasi terbatas Ternyata nilainya dapat dikaitkan dengan hasil perkalian dari supremum integrannya dan variasi dari integratornya Teorema 11 Misalkan f RS(α) di [a, b] dengan α fungsi kontinu variasi terbatas di [a, b] maka f dα (Lang, 1991) sup [,] f(t ) (α) Beberapa pertidaksamaan tipe, Rani Fransiska, FMIPA UI, 013
3 Sifat selanjutnya yaitu hubungan antara integral Riemann dengan integral Riemann-Stieltjes ketika integratornya adalah fungsi yang turunannya kontinu Teorema 1 Misalkan f RS(α) di [a, b] dan turunan α, yaitu α kontinu di [a, b] Maka Integral Riemann f(x)α (x)dx ada dan berlaku f(x) dα(x) = f(x)α (x) dx (Apostol, 004) Seperti pada integral Riemann, integral Riemann- Stieltjes juga mengenal integrasi parsial Berikut formulanya Teorema 13 Jika f RS(α) di [a, b], maka α RS(f) di [a, b] dan memenuhi f(x)dα(x) = f(x)α(x) b α(x)df(x) a Selanjutnya dibuktikan pertidaksamaan Cauchy- Schwarz untuk integral Riemann berlaku Teorema 14 Misal fungsi f dan g adalah fungsi yang terintegralkan Riemann di [a, b], maka f(x)g(x)dx (Bartle & Sherbert, 000) 3 PEMBAHASAN f(x)g(x) dx f (x)dx g (x)dx Pertidaksamaan Ostrowski adalah pertidaksamaan yang ditemukan dan dibuktikan pertama kali oleh seorang matematikawan bernama A M Ostrowski pada tahun 193 (Cerone, 199) Pertidaksamaan ini adalah pertidaksamaan integral untuk fungsi yang kontinu dan turunannya terbatas Berikut isi dari pertidaksamaan Ostrowski Teorema 31 Misalkan f: [a, b] R dengan f kontinu dan terturunkan di [a, b] dimana turunan pertamanya, f (a, b) R terbatas, dengan f sup (,) f (t) < Maka untuk setiap x [a, b], berlaku f(x) 1 f(t) dt x () () f (1) (Dragomir & Wang, 199) Bukti: Misalkan f kontinu dan terturunkan di [a, b] Ambil sebarang x [a, b] sehingga f(x) 1 f(t) dt = 1 1 = (t a)df(t) + (t b)df(t) p(x, t)f (t) dt, () t a, t [a, x], dengan p(x, t) = t b, t (x, b] Agar sesuai dengan ruas kiri dari (1), ambil nilai mutlak dari () Dengan menggunakan sifat nilai mutlak suatu integral dan karena untuk setiap t [a, b] berlaku f (t) f, maka diperoleh f(x) 1 f(t) dt 1 = p(x, t)f (t) dt 1 p(x, t) f (t) dt f p(x, t) dt (3) Selanjutnya, hitung p(x, t) dt terlebih dahulu p(x, t) dt = t a dt + t b dt = x x() + Dengan mensubstitusi hasil p(x, t) dt ke pertidaksamaan (3), maka f(x) 1 f(t) dt f p(x, t) dt = f x x() + = f () 1 4 x + () Pertidaksamaan tipe Ostrowski selanjutnya adalah hasil penemuan dari Zheng Liu (00) Terdapat tiga pertidaksamaan tipe Ostrowski yang dibuktikan, yaitu untuk fungsi yang turunan pertamanya adalah fungsi kontinu mutlak dan kontinu variasi terbatas Mulamula dibuktikan Lema 3 karena ketiga pertidaksamaan tipe Ostrowski selanjutnya menggunakan lema ini Lebih spesifik lagi, ketiga pertidaksamaan selanjutnya menggunakan nilai mutlak dari ruas kanan persamaan (4) 3 Beberapa pertidaksamaan tipe, Rani Fransiska, FMIPA UI, 013
4 Lema 3 Misalkan f: [a, b] R sedemikian sehingga f fungsi kontinu variasi terbatas di [a, b] Maka untuk setiap x [a, b] dan θ [0,1] berlaku K(x, t) df (t) = f(t)dt () (1 θ)f(x) + θ +(1 θ)() x f (x), (4) dengan 1 (t a)[(t a) θ()], t [a, x], K(x, t) = 1 (t b)[(t b) + θ()], t (x, b] (Liu, 00) Bukti: Berdasarkan definisi K(x, t), maka K(x, t) terbatas dan diskontinu di satu titik yaitu di titik x Berdasarkan premis, f adalah fungsi kontinu variasi terbatas di [a, b] Dengan menggunakan Akibat 3, maka f dapat dinyatakan sebagai hasil pengurangan dua fungsi kontinu yang tak turun Misal, untuk setiap t [a, b], f (t) = π(t) v(t) dimana π, v fungsi kontinu tak turun di [a, b] Dengan Teorema 10 mengenai syarat cukup fungsi yang terintegralkan secara Riemann-Stieltjes, karena K fungsi yang diskontinu di berhingga titik dan π dan v adalah fungsi kontinu yang tak turun maka K RS(π) dan K RS(v) di [a, b] Dengan menggunakan sifat linear integral Riemann- Stieltjes terhadap integratornya, Teorema 9 menjamin K RS(π v) di [a, b] yang artinya, K RS(f ) di [a, b] sehingga integrasi parsial Riemann-Stieltjes pada Teorema 13 dapat digunakan Selanjutnya, untuk setiap x [a, b] dan θ [0,1] berlaku K(x, t) df (t) = K(x, t) df (t) + K(x, t) df (t) (5) Masing-masing suku di sebelah kanan dihitung dengan menggunakan rumus integrasi parsial untuk integral Riemann-Stieltjes, sehingga untuk suku pertama K(x, t) df (t) = f (x)k(x, x) f (a)k(x, a) f (t) dk(x, t) = 1 f (x)[(x a) θ(x a)()] f (x)dk(x, t) (6) Karena K(x, t) terturunkan dan turunannya kontinu di [a, x], maka dengan Teorema 1 dapat dihubungkan dengan integral Riemannnya, menjadi f (t) dk(x, t) = f (t) K (x, t) dt = f (t) (t a) θ () dt θ = f (t)(t a)dt = f(t)(t a) f(t)dt = f(x)(x a) f(t)dt () f (t)dt θ ()[f(x) f(a)] θ ()[f(x) f(a)] Dengan mensubstitusikan hasil tersebut, (6) menjadi K(x, t) df (t) = 1 f (x)[(x a) θ(x a)()] f(x)(x a) + f(t)dt + θ ()[f(x) f(a)] Sedangkan suku kedua ruas kanan (5) adalah K(x, t)df (t) = f (b)k(x, b) f (x)k(x, x) f (t) dk(x, t) = 1 f (x)[(x b) + θ(x b)()] f (t) dk(x, t) (7) Kemudian dikaitkan lagi dengan integral Riemannnya, f (t) dk(x, t) = f (t) K (x, t) dt θ = f (t)(t b)dt + = f(t)(t b) f(t)dt () f (t)dt + θ ()[f(b) f(x)] θ = f(x)(x b) f(t)dt + ()[f(b) f(x)] Dengan mensubstitusikan hasil tersebut ke (7), diperoleh K(x, t) df (t) = 1 f (x)[(x b) + θ(x b)()] + f(x)(x b) + f(t)dt θ ()[f(b) f(x)] 4 Beberapa pertidaksamaan tipe, Rani Fransiska, FMIPA UI, 013
5 Jika hasil dari (6) dan (7) dijumlahkan, maka (5) menjadi K(x, t) df (t) = 1 f (x)[(x a) θ(x a)()] f(x)(x a) + f(t)dt + θ ()[f(x) f(a)] 1 f (x)[(x b) + θ(x b)()] +f(x)(x b) + f(t)dt = f(t)dt () f(x)(1 θ) + θ +f (x)()(1 θ) x θ ()[f(b) f(x)] f(b) + f(a) Pertidaksamaan yang dibahas pertama adalah tipe Ostrowski untuk fungsi yang turunan pertamanya fungsi kontinu variasi terbatas Berikut isi dari pertidaksamaannya Teorema 33 Misalkan f: [a, b] R sedemikian sehingga f fungsi kontinu variasi terbatas di [a, b] Untuk a x dengan θ [0,1], berlaku f(t)dt () (1 θ)f(x) + θ (1 θ) x f (x) (x b) 4θ()(b x) + θ () + 4(x b) 4θ()(b x) θ () (f ), () dan untuk < x b dengan θ [0,1], berlaku f(t)dt () (1 θ)f(x) + θ (1 θ) x f (x) (x a) 4θ()(x a) + θ () + 4(x a) 4θ()(x a) θ () (f ), (9) (Liu, 00) Bukti: Perhatikan bahwa premis dari Teorema 33 sama dengan Lema 3, yaitu sama-sama untuk f fungsi kontinu variasi terbatas di [a, b] Jadi, persamaan (4) pada Lema 3 dapat digunakan Berdasarkan Teorema 11, karena integrannya, yaitu fungsi K(x, t) terbatas dan integratornya yaitu f (t) kontinu variasi terbatas, maka dengan mengambil nilai mutlak dari persamaan (311) diperoleh f(t)dt () (1 θ)f(x) + θ (1 θ) x f (x) = K(x, t) df (t) sup [,] K(x, t) (f ) (10) Dengan menggunakan definisi K(x, t) yang terdapat pada Lema 3, maka (t a)[(t a) θ()], t [a, x], K(x, t) = (t b)[(t b) + θ()], t (x, b] Misalkan K(x, t) didefinisikan sebagai berikut: K (x, t) = (t a)[(t a) θ()], t [a, x] dan K (x, t) = (t b)[(t b) + θ()], t (x, b] Untuk mencari sup [,] K(x, t) terdapat beberapa kandidat titik, yaitu titik stasioner, titik batas, dan titik yang mendekati titik batas Titik stasioner dari K (x, t) yaitu t = a + () dan dari K (x, t) yaitu t = b () K (x, t) memiliki tiga titik kritis, yaitu titik a, t, dan x dengan nilai fungsi K (x, a) = 0, K (x, t ) = θ (), K (x, x) = 1 (x a) θ (x a)() K (x, t) memiliki dua titik kritis, yaitu titik t dan b dengan nilai fungsi K (x, t ) = θ (), K (x, b) = 0, dan titik yang mendekati titik batas x dengan nilai K (x, x ) = lim K (x, t) = 1 (x b) + θ (x b)() Selanjutnya, muncul dua kandidat nilai supremum yang mungkin pada setiap interval a, dan, b sehingga digunakan formula berikut: A + B A B sup K(x, t) = max {A, B} = + [,] Perhatikan bahwa K (x, x) K (x, x ) = 1 (x a) θ (x a)() 1 (x b) θ (x b)() = () x (1 θ) 5 Beberapa pertidaksamaan tipe, Rani Fransiska, FMIPA UI, 013
6 Kasus 1, misalkan a x Akan dibuktikan untuk θ [0,1], berlaku A = K (x, x ) dan B = () a Untuk θ 0, 1 Perhatikan untuk K (x, x ) = (x b)[(x b) + θ()] dengan x maka (x b) + θ() θ 1 () 0 Jadi, untuk θ 0, 1 diperoleh K (x, x ) = 1 (x b)[(x b) + θ()] 0 Misalkan K (x, x) 0, maka K (x, x) K (x, x ) = K (x, x) K (x, x ) 0 K (x, x ) K (x, x) Diperoleh yang menjadi kandidat supremum adalah K (x, x ) dan () Misalkan K (x, x) < 0, maka K (x, x) K (x, x ) = K (x, x) K (x, x ) = K (x, x) + K (x, x ) 0 K (x, x ) = K (x, x ) K (x, x) Diperoleh yang menjadi kandidat supremum adalah K (x, x ) dan () Jadi, terbukti bahwa untuk θ 0, 1, A = K (x, x ) dan B = () b Untuk θ 1, 1 Perhatikan untuk K (x, x) = (x a)[(x a) θ()] dengan x maka (x a) θ() 1 θ() < 0 Jadi untuk θ 1, 1 diperoleh K (x, x) = 1 (x a)[(x a) θ()] 0 Misalkan K (x, x ) > 0, maka K (x, x) K (x, x ) = K (x, x) K (x, x ) = K (x, x) + K (x, x ) 0 K (x, x ) = K (x, x ) K (x, x) Diperoleh yang menjadi kandidat supremum adalah K (x, x ) dan () Misalkan K (x, x ) 0, maka K (x, x) K (x, x ) = K (x, x) + K (x, x ) = K (x, x ) K (x, x) 0 K (x, x) K (x, x ) Selanjutnya, K (x, x) dibandingkan dengan () θ () K (x, x) = θ () + K (x, x) = 1 (x a) θ (x a)() + θ () = 1 (x a) θ () 0 () Jadi, () K (x, x) = K (x, x) (11) K (x, x) K (x, x ) Diperoleh yang menjadi supremum adalah () Jadi, terbukti bahwa untuk θ 1, 1, A = K (x, x ) dan B = () Berdasarkan uraian di a dan b, untuk a x dan θ [0,1] diperoleh yang menjadi kandidat supremum adalah A = K (x, x ) dan B = () Dengan mensubstitusi hasil tersebut ke sup [,] K(x, t), diperoleh A + B A B sup K(x, t) = + [,] = (x b) 4θ()(b x) + θ () + 4(x b) 4θ()(b x) θ () (1) Substitusi (1) ke (10) maka f(t)dt () (1 θ)f(x) + θ (1 θ) x f (x) (x b) 4θ()(b x) + θ () + 4(x b) 4θ()(b x) θ () (f ) Kasus, misalkan < x b Untuk θ [0,1], dengan pembuktian yang analog dengan kasus 1, diperoleh supremum yang mungkin adalah A = K (x, x) dan B = () Kemudian disubstitusi ke sup [,] K(x, t), diperoleh K(x, t) sup [,] = (x a) 4θ()(x a) + θ () + 4(x a) 4θ()(x a) θ () (13) 6 Beberapa pertidaksamaan tipe, Rani Fransiska, FMIPA UI, 013
7 Substitusi (13) ke (10) maka f(t)dt () (1 θ)f(x) + θ (1 θ) x f (x) (x a) 4θ()(x a) + θ () + 4(x a) 4θ()(x a) θ () (f ) Pertidaksamaan tipe Ostrowski selanjutnya berlaku untuk fungsi yang turunan pertamanya adalah fungsi kontinu mutlak Terdapat hubungan antara Teorema 34 dan Teorema 33 karena fungsi yang kontinu mutlak pasti juga fungsi variasi terbatas Teorema 34 Misalkan f: [a, b] R sedemikian sehingga f kontinu mutlak di [a, b] Untuk a x dengan θ [0,1], berlaku f(t)dt () (1 θ)f(x) + θ (1 θ) x f (x) (x b) 4θ()(b x) + θ () + 4(x b) 4θ()(b x) θ () f", (14) dan untuk < x b dengan θ [0,1], berlaku f(t)dt () (1 θ)f(x) + θ (1 θ) x f (x) (x a) 4θ()(x a) + θ () + 4(x a) 4θ()(x a) θ () f", (15) dengan f" = f (t) dt (Liu, 00) Bukti: Karena f adalah fungsi yang kontinu mutlak di [a, b], maka berdasarkan Teorema 5, f fungsi kontinu variasi terbatas di [a, b] Oleh karena itu, Teorema 35 dapat digunakan Dengan membandingkan pertidaksamaan (14) dengan () dan pertidaksamaan (15) dengan (9), diperoleh bahwa yang akan dibuktikan adalah (f ) = f Berdasarkan Teorema 6, karena f adalah fungsi yang kontinu mutlak di [a, b], maka variasi f di [a, b] dapat dinyatakan dengan (f ) = f (t) dt Karena f fungsi kontinu variasi terbatas di [a, b], maka (f ) = f (t) dt memiliki nilai yan berhingga, sehingga diperoleh (f ) = f (t) dt = f Tidak semua fungsi yang turunan pertamanya kontinu mutlak, turunan keduanya adalah anggota L [a, b] Pertidaksamaan tipe Ostrowski terakhir serupa dengan pertidaksamaan di Teorema 34, yaitu untuk fungsi yang turunan pertamanya kontinu mutlak, tetapi ada syarat tambahan, yaitu turunan keduanya adalah anggota L [a, b] Teorema 35 Misalkan f: [a, b] R sedemikian sehingga f adalah fungsi yang kontinu mutlak di [a, b] dan f L [a, b] Maka x [a, b] dan θ [0,1] berlaku f(t)dt () (1 θ)f(x) + θ (1 θ) x 1 [(1 θ)() x + θ 3θ + 1 (b a) x + f (x) θ 1 θ () ] f" (16) dengan f f (t) (Liu, 00) Bukti: Karena f adalah fungsi yang kontinu mutlak di [a, b], maka f fungsi variasi terbatas di [a, b], jadi Lema 3 dapat digunakan f(t)dt () (1 θ)f(x) + θ +(1 θ)() x = K(x, t)f (t) dt = K(x, t)f (t) dt K (x, t)dt = K (x, t) = K (x, t) [f (t)] dt f (x) dt f (t) dt dt f (17) Selanjutnya, untuk menyelesaikan (17) akan dihitung terlebih dahulu 4 K (x, t) dt = [(t a) θ(t a)()] dt + [(t b) + θ(t b)()] dt 7 Beberapa pertidaksamaan tipe, Rani Fransiska, FMIPA UI, 013
8 = (1 θ)() x + θ 3θ + 1 () x + θ 1 θ () K(x, t) dt Dengan mensubstitusi mensubstitusi hasil di atas ke (17), maka diperoleh f = 1 [(1 θ)() x + θ 3θ + 1 (b a) x + θ 1 θ () ] f" 4 KESIMPULAN Pertidaksamaan Ostrowski adalah hasil pengembangan dari pertidaksamaan tipe Ostrowski Setelah mempelajari beberapa pertidaksamaan tipe Ostrowski pada bagian pembahasan, diperoleh tiga pertidaksamaan Ketiga pertidaksamaan tersebut berkaitan karena karakteristik fungsinya juga berhubungan Yang membedakan ketiga pertidaksamaan tersebut adalah norm yang diperoleh dari karakteristik fungsinya Suatu fungsi dapat memenuhi beberapa pertidaksamaan asalkan karakteristik fungsinya terpenuhi [3] Kreyszig, E (199) Intoductory Functional Analysis with Applications New York: John Wiley & Sons, Inc [4] Randolph, J E (196) Basic Real and Abstract Analysis New York and London: Academic Press [5] Folland, G B (1999) Real Analysis Modern Techniques and Their Applications (nd ed) New York: John Wiley & Sons, Inc [6] Apostol, T M (004) Mathematical Analysis (nd ed) Hong Kong: Pearson Education Asia Limited and China Machine Press [7] Rudin, W (1976) Principal of Mathematical Analysis (3rd ed) New York: McGraw-Hil, Inc [] Lang, S (1991) Real and Functional Analysis (3rd ed) New York: Springer [9] Dragomir, SS, & Wang, S (199) Applications of Ostrowski's Inequality to the Estimation of Error Bounds for Some Special Means and for Some Numerical Quadrature Rules Appl Math Lett, Vol 11, 1, [10] Liu, Z (00) Some Ostrowski Type Inequalities Mathematical and Computer Modelling, 4, UCAPAN TERIMAKASIH Terimakasih kepada bapak Arie Wibowo, SSi, MSi selaku dosen pembimbing yang telah meluangkan waktu, tenaga, dan pikiran hingga akhirnya penelitian ini selesai Selain itu, terimakasih juga kepada Rizky Reza Fauzi yang sudah memberikan banyak masukan dan menjadi teman diskusi DAFTAR ACUAN [1] Bartle, RG, & Sherbert, DR (000) Introduction to Real Analysis (3rd ed) New York: John Wiley & Sons, Inc [] Mitrinovic, D S, Pecaric, JE, & Fink, A M (1994) Inequalities for Functions and their Integrals and Derivatives Dordrecht: Kluwer Academics Beberapa pertidaksamaan tipe, Rani Fransiska, FMIPA UI, 013
9 Beberapa pertidaksamaan tipe, Rani Fransiska, FMIPA UI, 013 9
10 10 Beberapa pertidaksamaan tipe, Rani Fransiska, FMIPA UI, 013
BAB 1 PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Permasalahan
BAB 1 PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Permasalahan Ilmu pengetahuan merupakan hal yang mengalami perkembangan secara terus-menerus. Diantaranya teori integral yaitu ilmu bidang matematika analisis yang
Lebih terperinciII. LANDASAN TEORI ( ) =
II. LANDASAN TEORI 2.1 Fungsi Definisi 2.1.1 Fungsi Bernilai Real Fungsi bernilai real adalah fungsi yang domain dan rangenya adalah himpunan bagian dari real. Definisi 2.1.2 Limit Fungsi Jika adalah suatu
Lebih terperinciIntegral Baire-1 Stieltjes, Henstock-Stieltjes dan Riemann-Stieltjes. The Stieltjes Integrals of Baire-1, Henstock and Riemann
Integral Baire-1 Stieltjes, Henstock-Stieltjes dan Riemann-Stieltjes Kalfin D Muchtar 1, Jullia Titaley 2, Mans L Mananohas 3 1 Program Studi Matematika, FMIPA, UNSRAT Manado, kalfin_muchtar@yahoocom 2
Lebih terperinciDEFINISI TIPE RIEMANN UNTUK INTEGRAL LEBESGUE 1. Drajad Maknawi 2 dan Muslich 3 Jurusan Matematika FMIPA UNS. Abstrak
DEFINISI TIPE RIEMANN UNTUK INTEGRAL LEBESGUE 1 An-2 1. PENDAHULUAN Drajad Maknawi 2 dan Muslich 3 Jurusan Matematika FMIPA UNS Abstrak Tujuan dari tulisan ini adalah membahas tentang integral Lebesgue
Lebih terperinciANALISIS REAL 2 SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ANALISIS
ANALISIS REAL 2 SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ANALISIS UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2010 2 KATA PENGANTAR Bismillahirrahmanirrahim Segala puji bagi Allah Rabb semesta alam. Shalawat serta salam
Lebih terperinciBAB II DASAR TEORI. Di dalam BAB II ini akan dibahas materi yang menjadi dasar teori pada
BAB II DASAR TEORI Di dalam BAB II ini akan dibahas materi yang menjadi dasar teori pada pembahasan BAB III, mulai dari definisi sampai sifat-sifat yang merupakan konsep dasar untuk mempelajari Fungsi
Lebih terperinciSifat Barisan Subhimpunan Tutup di Ruang Metrik yang Completion-nya adalah Ruang Atsuji
Sifat Barisan Subhimpunan Tutup di Ruang Metrik yang Completion-nya adalah Ruang Atsuji Hendy Fergus A. Hura 1, Nora Hariadi 2, Suarsih Utama 3 1 Departemen Matematika, FMIPA UI, Kampus UI Depok, 16424,
Lebih terperinciPENGANTAR ANALISIS FUNGSIONAL
PENGANTAR ANALISIS FUNGSIONAL SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ANALISIS UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2010 2 KATA PENGANTAR Bismillahirrahmanirrahim Segala puji bagi Allah Rabb semesta alam. Shalawat
Lebih terperinciMA3231 Analisis Real
MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017
Lebih terperinciYOHANA SUWANDI NIM 83950
INTEGRAL MCSHANE TUGAS AKHIR untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar sarjana sains YOHANA SUWANDI NIM 83950 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI
Lebih terperinciBAB III INTEGRAL LEBESGUE. Pada bab sebelumnya telah disebutkan bahwa ruang dibangun oleh
BAB III INTEGRAL LEBESGUE Pada bab sebelumnya telah disebutkan bahwa ruang dibangun oleh fungsi-fungsi terukur dan memenuhi sifat yang berkaitan dengan integral Lebesgue. Kajian mengenai keterukuran suatu
Lebih terperinciCARA LAIN PEMBUKTIAN TEOEMA ARZELA-ASCOLI DAN HUBUNGANNYA DENGAN EKSISTENSI PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL (SUATU KAJIAN TEORITIS)
CARA LAIN PEMBUKTIAN TEOEMA ARZELA-ASCOLI DAN HUBUNGANNYA DENGAN EKSISTENSI PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL SUATU KAJIAN TEORITIS) Sufri Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Universitas Jambi Kampus
Lebih terperinciKEKONVERGENAN BARISAN DI RUANG HILBERT PADA PEMETAAN TIPE-NONSPREADING DAN NONEXPANSIVE
Jurnal Matematika UNAND Vol. 2 No. 1 Hal. 42 51 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND KEKONVERGENAN BARISAN DI RUANG HILBERT PADA PEMETAAN TIPE-NONSPREADING DAN NONEXPANSIVE DEBI OKTIA HARYENI
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Analisis merupakan salah satu cabang matematika yang mempelajari antara lain barisan, limit, deret, kekontinuan, kekonvergenan, integral, dan yang lainnya.
Lebih terperinciSEBUAH VARIASI BARU METODE NEWTON BERDASARKAN TRAPESIUM KOMPOSIT ABSTRACT
SEBUAH VARIASI BARU METODE NEWTON BERDASARKAN TRAPESIUM KOMPOSIT Vera Alvionita Harahap 1, Asmara Karma 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Lebih terperinciBAB II KAJIAN TEORI. memahami sifat-sifat dari barisan fungsi. Pada bab ini akan diuraikan materimateri
BAB II KAJIAN TEORI Analisis kekonvergenan pada barisan fungsi, apakah barisan fungsi itu? Apakah berbeda dengan barisan pada umumnya? Tentunya sebelum membahas mengenai barisan fungsi, apa saja jenis
Lebih terperinciFakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawidya Pekanbaru (28293), Indonesia.
METODE SIMPSON-LIKE TERKOREKSI Ilis Suryani, M. Imran, Asmara Karma Mahasiswa Program Studi S Matematika Laboratorium Matematika Terapan, Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Lebih terperinciPENGANTAR ANALISIS REAL
Seri Analisis dan Geometri No. 1 (2009), -15 158 (173 hlm.) PENGANTAR ANALISIS REAL Oleh Hendra Gunawan Edisi Pertama Bandung, Januari 2009 2000 Dewey Classification: 515-xx. Kata Kunci: Analisis matematika,
Lebih terperinciNughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc Department of Mathematics FMIPA UNS
Lecture 5. Integral A. Masalah Luas (The Area Problem) Sebelumnya kita pernah mempelajari rumus-rumus luas dari beberapa bentuk geometri. Misalnya, luas daerah persegi panjang adalah panjang kali lebar,
Lebih terperinciFakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawidya Pekanbaru (28293), Indonesia.
INTEGRASI NUMERIK TANPA ERROR UNTUK FUNGSI-FUNGSI TERTENTU Irma Silpia 1, Syamsudhuha, Musraini M. 1 Mahasiswi Jurusan Matematika Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Lebih terperinciTeorema Titik Tetap di Ruang Norm-2 Standar
Teorema Titik Tetap di Ruang Norm- Standar Muh. Nur Universitas Hasanuddin Abstract Pada tulisan ini, akan dipelajari ruang norm- standar, yakni ruang hasil kali dalam yang dilengkapi dengan norm- standar.
Lebih terperinciBAB V KEKONVERGENAN BARISAN PADA DAN KETERKAITAN DENGAN. Pada subbab 4.1 telah dibahas beberapa sifat dasar yang berlaku pada koleksi
BAB V KEKONVERGENAN BARISAN PADA DAN KETERKAITAN DENGAN Pada subbab 4.1 telah dibahas beberapa sifat dasar yang berlaku pada koleksi semua fungsi yang terintegralkan Lebesgue, 1. Sebagaimana telah dirumuskan
Lebih terperinciKALKULUS MULTIVARIABEL II
Pada Bidang Bentuk Vektor dari KALKULUS MULTIVARIABEL II (Minggu ke-9) Andradi Jurusan Matematika FMIPA UGM Yogyakarta, Indonesia Pada Bidang Bentuk Vektor dari 1 Definisi Daerah Sederhana x 2 Pada Bidang
Lebih terperinci3 LIMIT DAN KEKONTINUAN
Menurut Bartle dan Sherbet (1994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun oleh berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan,
Lebih terperinciFUNGSI DELTA DIRAC. Marwan Wirianto 1) dan Wono Setya Budhi 2)
INTEGRAL, Vol. 1 No. 1, Maret 5 FUNGSI DELTA DIRAC Marwan Wirianto 1) dan Wono Setya Budhi ) 1) Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Katolik Parahyangan, Bandung
Lebih terperinci0. Pendahuluan. 0.1 Notasi dan istilah, bilangan kompleks
0. Pendahuluan Analisis Fourier mempelajari berbagai teknik menganalisis sebuah fungsi dengan menguraikannya sebagai deret atau integral fungsi tertentu (yang sifat-sifatnya telah kita kenal dengan baik,
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Integral Lebesgue merupakan suatu perluasan dari integral Riemann.
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Integral Lebesgue merupakan suatu perluasan dari integral Riemann. Sebagaimana telah diketahui, pengkonstruksian integral Riemann dilakukan dengan cara pemartisian
Lebih terperinciSOLUSI NUMERIK UNTUK PERSAMAAN INTEGRAL KUADRAT NONLINEAR. Eka Parmila Sari 1, Agusni 2 ABSTRACT
SOLUSI NUMERIK UNTUK PERSAMAAN INTEGRAL KUADRAT NONLINEAR Eka Parmila Sari 1, Agusni 2 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika 2 Laboratorium Matematika Terapan, Jurusan Matematika Fakultas Matematika
Lebih terperinciFOURIER Oktober 2014, Vol. 3, No. 2, KONSEP FUNGSI SEMIKONTINU. Malahayati 1
FOURIER Oktober 2014, Vol. 3, No. 2, 117 132 KONSEP FUNGSI SEMIKONTINU Malahayati 1 1 Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Sunan Kalijaga Jl. Marsda Adisucipto No. 1 Yogyakarta 55281
Lebih terperinciRUANG LIPSCHITZ. Departemen Pendidikan Matematika FPMIPA UPI. *Surel: : (, ) Ϝ
RUANG LIPSCHITZ Muhammad Rifqi Agustian 1), Rizky Rosjanuardi 2), Endang Cahya 3) 1), 2), 3) Departemen Pendidikan Matematika FPMIPA UPI *Surel: Muhammadrifqyagustian@yahoo.co.id ABSTRAK. Diberikan ruang
Lebih terperinciRuang Norm-n Berdimensi Hingga
Jurnal Matematika Integratif. Vol. 3, No. 2 (207), pp. 95 04. p-issn:42-684, e-issn:2549-903 doi:0.2498/jmi.v3.n2.986.95-04 Ruang Norm-n Berdimensi Hingga Moh. Januar Ismail Burhan Jurusan Matematika dan
Lebih terperinci: D C adalah fungsi kompleks dengan domain riil
BAB 4. INTEGRAL OMPLES 4. Integral Garis ompleks Misalkan ( : D adalah fungsi kompleks dengan domain riil b D [ a, b], maka integral (, dimana ( x( + iy( dapat dengan mudah a b dihitung, yaitu a i contoh
Lebih terperinci10. Transformasi Fourier
10. Transformasi Fourier Dalam beberapa bab ke depan, kita akan membahas transformasi Fourier, sifatsifatnya, dan aplikasinya. Seperti halnya pada pembahasan deret Fourier, pendekatan yang diambil dalam
Lebih terperinciANALISIS KEKONVERGENAN GLOBAL METODE ITERASI CHEBYSHEV ABSTRACT
ANALISIS KEKONVERGENAN GLOBAL METODE ITERASI CHEBYSHEV Poppy Hanggreny 1, M. Imran, Zulkarnain 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Laboratorium Matematika Terapan, Jurusan Matematika Fakultas Matematika
Lebih terperinciSOLUSI NUMERIK PERSAMAAN INTEGRAL VOLTERRA-FREDHOLM NONLINEAR MENGGUNAKAN FUNGSI BASIS BARU ABSTRACT
SOLUSI NUMERIK PERSAMAAN INTEGRAL VOLTERRA-FREDHOLM NONLINEAR MENGGUNAKAN FUNGSI BASIS BARU Vanny Octary 1 Endang Lily 2 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika 2 Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika
Lebih terperinciVariabel Banyak Bernilai Real 1 / 1
Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real Turunan Parsial dan Turunan Wono Setya Budhi KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB Variabel Banyak Bernilai Real 1 / 1 Turunan Parsial dan Turunan Usaha pertama untuk
Lebih terperinciKajian Fungsi Metrik Preserving
Kajian Fungsi Metrik Preserving A 2 Binti Mualifatul Rosydah Politeknik Perkapalan Negeri Surabaya Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya Jalan Teknik Kimia Kampus ITS Sukolilo Surabaya 6 Abstrak
Lebih terperinciKESTABILAN PERSAMAAN FUNGSIONAL JENSEN.
KESTABILAN PERSAMAAN FUNGSIONAL JENSEN Hilwin Nisa, Hairur Rahman, 3 Imam Sujarwo Jurusan Matematika, Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang jurusan Matematika, Universitas Islam Negeri
Lebih terperinciCatatan Kuliah KALKULUS II BAB V. INTEGRAL
BAB V. INTEGRAL Anti-turunan dan Integral TakTentu Persamaan Diferensial Sederhana Notasi Sigma dan Luas Daerah di Bawah Kurva Integral Tentu Teorema Dasar Kalkulus Sifat-sifat Integral Tentu Lebih Lanjut
Lebih terperinciMETODE ORDE-TINGGI UNTUK MENENTUKAN AKAR DARI PERSAMAAN NONLINEAR ABSTRACT
METODE ORDE-TINGGI UNTUK MENENTUKAN AKAR DARI PERSAMAAN NONLINEAR I. P. Edwar, M. Imran, L. Deswita Mahasiswa Program Studi S Matematika Laboratorium Matematika Terapan, Jurusan Matematika Fakultas Matematika
Lebih terperinciBarisan dan Deret Agus Yodi Gunawan
Barisan dan Deret Agus Yodi Gunawan Barisan. Definisi. Barisan tak hingga adalah suatu fungsi dengan daerah asalnya himpunan bilangan bulat positif dan daerah kawannya himpunan bilangan real. Notasi untuk
Lebih terperinciBAGIAN KEDUA. Fungsi, Limit dan Kekontinuan, Turunan
BAGIAN KEDUA Fungsi, Limit dan Kekontinuan, Turunan 51 52 Hendra Gunawan Pengantar Analisis Real 53 6. FUNGSI 6.1 Fungsi dan Grafiknya Konsep fungsi telah dipelajari oleh Gottfried Wilhelm von Leibniz
Lebih terperinciTRANSFORMASI LINIER PADA RUANG BANACH
TRANSFORMASI LINIER PADA RUANG BANACH Nur Aeni, S.Si., M.Pd Jurusan Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, UINAM nuraeniayatullah@gmail.com ABSTRAK Info: Jurnal MSA Vol. 2 No. 1 Edisi: Januari Juni
Lebih terperinciTEOREMA TITIK TETAP BANACH
TEOREMA TITIK TETAP BANACH Esih Sukaesih Abstrak Ruang Banach menjamin setiap barisan akan konvergen ke vektor di ruang tersebut. Barisan iterasi yang kontraktif menjamin bahwa barisan tersebut akan konvergen
Lebih terperinciNilai mutlak pada definisi tersebut di interpretasikan untuk mengukur jarak dua
II. LANDASAN TEORI 2.1 Limit Fungsi Definisi 2.1.1(Edwin J, 1987) Misalkan I interval terbuka pada R dan f: I R fungsi bernilai real. Secara matematis ditulis lim f(x) = l untuk suatu a I, yaitu nilai
Lebih terperinciAnalisis Riil II: Diferensiasi
Definisi Turunan Definisi dan Teorema Aturan Rantai Fungsi Invers Definisi (Turunan) Misalkan I R sebuah interval, f : I R, dan c I. Bilangan riil L dikatakan turunan dari f di c jika diberikan sebarang
Lebih terperinciBAB III PEMBAHASAN. Bab III terbagi menjadi tiga sub-bab, yaitu sub-bab A, sub-bab B, dan subbab
BAB III PEMBAHASAN Bab III terbagi menjadi tiga sub-bab, yaitu sub-bab A, sub-bab B, dan subbab C. Sub-bab A menjelaskan mengenai konsep dasar C[a, b] sebagai ruang vektor beserta contohnya. Sub-bab B
Lebih terperinciKALKULUS MULTIVARIABEL II
KALKULUS MULTIVARIABEL II Integral Garis Medan Vektor dan (Minggu ke-8) Andradi Jurusan Matematika FMIPA UGM Yogyakarta, Indonesia 1 Integral Garis Medan Vektor 2 Terkait Lintasan Teorema Fundamental untuk
Lebih terperinci3 LIMIT DAN KEKONTINUAN
Menurut Bartle dan Sherbet (1994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun dari berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan,
Lebih terperinciTINJAUAN PUSTAKA. Dalam bab ini akan dibahas beberapa konsep mendasar meliputi ruang vektor,
II. TINJAUAN PUSTAKA Dalam bab ini akan dibahas beberapa konsep mendasar meliputi ruang vektor, ruang Bernorm dan ruang Banach, ruang barisan, operator linear (transformasi linear) serta teorema-teorema
Lebih terperinciLIMIT DAN KEKONTINUAN
LIMIT DAN KEKONTINUAN Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 37 Topik Bahasan 1 Limit Fungsi 2 Hukum Limit 3 Kekontinuan Fungsi (Departemen
Lebih terperinciF. RANCANGAN KEGIATAN BELAJAR MENGAJAR
F. RANCANGAN KEGIATAN BELAJAR MENGAJAR No. (TIU) : 1. Pendahuluan Mahasiswa dapat memahami pengertian dan konsep himpunan, fungsi dan induksi matematik, mampu menerapkannya dalam penyelesaian soal dan
Lebih terperinciFOURIER Oktober 2014, Vol. 3 No. 2, KONSEP DASAR RUANG METRIK CONE. Yogyakarta
FOURIER Oktober 014, Vol. 3 No., 146 166 KONSEP DASAR RUANG METRIK CONE A. Rifqi Bahtiar 1, Muchammad Abrori, Malahayati 3 1,, 3 Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, UIN Sunan Kalijaga
Lebih terperinciPENGGUNAAN METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN UNTUK MENYELESAIKAN PERMASALAHAN PADA KALKULUS VARIASI ABSTRACT
PENGGUNAAN METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN UNTUK MENYELESAIKAN PERMASALAHAN PADA KALKULUS VARIASI Febrian Lisnan, Asmara Karma 2 Mahasiswa Program Studi S Matematika 2 Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika
Lebih terperinciKonvergensi Barisan dan Teorema Titik Tetap
JURNAL SAINS DAN SENI ITS Vol. 5 No. (016) 337-350 (301-98X Print) A-59 Konvergensi Barisan dan Teorema Titik Tetap pada Ruang b-metrik Cahyaningrum Rahmasari, Sunarsini, dan Sadjidon Jurusan Matematika,
Lebih terperinciVARIABEL KOMPLEKS SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ALJABAR & ANALISIS
VARIABEL KOMPLEKS SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ALJABAR & ANALISIS UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2009 2 DAFTAR ISI DAFTAR ISI 2 1 Sistem Bilangan Kompleks (C) 1 1 Pendahuluan...............................
Lebih terperinciCatatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I
Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Oleh Hendra Gunawan, Ph.D. Departemen Matematika ITB Sasaran Belajar Setelah mempelajari materi Kalkulus Elementer I, mahasiswa diharapkan memiliki (terutama):
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Integral tipe Stieltjes merupakan salah satu topik yang banyak dipelajari dalam matematika analisis. Beberapa di antaranya adalah integral Riemann-Stieltjes,
Lebih terperinciANALISIS KEKONVERGENAN PADA BARISAN FUNGSI
34 Jurnal Matematika Vol 6 No 1 Tahun 2017 ANALISIS KEKONVERGENAN PADA BARISAN FUNGSI THE CONVERGENCE ANALYZE ON THE SEQUENCE OF FUNCTION Oleh: Restu Puji Setiyawan 1), Dr. Hartono 2) Program Studi Matematika,
Lebih terperinciKEKONVERGENAN LEMAH PADA RUANG HILBERT
KEKONVERGENAN LEMAH PADA RUANG HILBERT Moch. Ramadhan Mubarak 1), Encum Sumiaty 2), Cece Kustiawan 3) 1), 2), 3) Departemen Pendidikan Matematika FPMIPA UPI *Surel: ramadhan.101110176@gmail.com ABSTRAK.
Lebih terperinciMA3231. Pengantar Analisis Real. Hendra Gunawan, Ph.D. Semester II, Tahun
MA3231 Pengantar Analisis Real Semester II, Tahun 2016-2017 Hendra Gunawan, Ph.D. Tentang Mata Kuliah MA3231 Mata kuliah ini merupakan mata kuliah wajib bagi mahasiswa program studi S1 Matematika, dengan
Lebih terperinciANALISIS REAL 1 SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ANALISIS
ANALISIS REAL 1 SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ANALISIS UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2010 2 KATA PENGANTAR Bismillahirrahmanirrahim Segala puji bagi Allah Rabb semesta alam. Shalawat serta salam
Lebih terperinci3 LIMIT DAN KEKONTINUAN
Menurut Bartle dan Sherbet (994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun oleh berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan, kekonvergenan
Lebih terperinciMatematika I : Limit. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79
Matematika I : Limit Dadang Amir Hamzah 2015 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 1 / 79 Outline 1 limit Introduction to Limit Rigorous Study of Limits Limit Theorem Limit Involving Trigonometric
Lebih terperinciBAB III FUNGSI TERUKUR LEBESGUE. Setelah dibahas mengenai ukuran Lebesgue dan beberapa sifatnya pada
BAB III FUNGSI TERUKUR LEBESGUE Setelah dibahas mengenai ukuran Lebesgue dan beberapa sifatnya pada Bab II, selanjutnya pada bab ini akan dipelajari gagasan mengenai fungsi terukur Lebesgue. Gagasan mengenai
Lebih terperinciKAJIAN TEOREMA TITIK TETAP PEMETAAN KONTRAKTIF PADA RUANG METRIK CONE LENGKAP DENGAN JARAK-W
J. Math. and Its Appl. ISSN: 1829-605X Vol. 8, No. 2, November 2011, 43 49 KAJIAN TEOREMA TITIK TETAP PEMETAAN KONTRAKTIF PADA RUANG METRIK CONE LENGKAP DENGAN JARAK-W Sunarsini. 1, Sadjidon 2 Jurusan
Lebih terperinciEKSISTENSI TITIK TETAP DARI SUATU TRANSFORMASI LINIER PADA RUANG BANACH
EKSISTENSI TITIK TETAP DARI SUATU TRANSFORMASI LINIER PADA RUANG BANACH Nur Aeni Prodi Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, UINAM nuraeniayatullah@gmailcom Info: Jurnal MSA Vol 3 No 1 Edisi: Januari
Lebih terperinciBAB II TEOREMA NILAI RATA-RATA (TNR)
BAB II TEOREMA NILAI RATA-RATA (TNR) Teorema nilai rata-rata menghubungkan nilai suatu fungsi dengan nilai derivatifnya (turunannya), dimana TNR merupakan salah satu bagian penting dalam kuliah analisis
Lebih terperinciMETODE ITERASI BARU BERTIPE SECANT DENGAN KEKONVERGENAN SUPER-LINEAR. Rino Martino 1 ABSTRACT
METODE ITERASI BARU BERTIPE SECANT DENGAN KEKONVERGENAN SUPER-LINEAR Rino Martino 1 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawidya
Lebih terperinciKALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia
KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia BAB II. FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN Fungsi dan Operasi pada Fungsi Beberapa Fungsi Khusus Limit dan Limit
Lebih terperinciTITIK TETAP NADLR FUNGSI MULTI NILAI KONTRAKTIF PADA RUANG METRIK ( ) Rinurwati Jurusan Matematika FMIPA-ITS Jl. Arif Rahman Hakim Surabaya 60111
TITIK TETAP NADLR FUNGSI MULTI NILAI KONTRAKTIF PADA RUANG METRIK ( ) Rinurwati Jurusan Matematika FMIPA-ITS Jl. Arif Rahman Hakim Surabaya 60111 Abstract. In this paper was discussed about Nadlr fixed
Lebih terperinciIntegral Tak Tentu. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Integral Tak Tentu M PENDAHULUAN Drs. Hidayat Sardi, M.Si odul ini akan membahas operasi balikan dari penurunan (pendiferensialan) yang disebut anti turunan (antipendiferensialan). Dengan mengikuti
Lebih terperinciPenerapan Aproksimasi Fejer dalam Membuktikan Teorema Weierstrass
Vol. 11, No. 2, 139-148, Januari 2015 Penerapan Aproksimasi Fejer dalam Membuktikan Teorema Weierstrass NaimahAris 1, Jusmawati M 2,Islamiyah Abbas 3, Abstrak Dalam tulisan ini dibahas pembuktian teorema
Lebih terperinciKALKULUS MULTIVARIABEL II
Definisi KALKULUS MULTIVARIABEL II (Minggu ke-7) Andradi Jurusan Matematika FMIPA UGM Yogyakarta, Indonesia Definisi 1 Definisi 2 ontoh Soal Definisi Integral Garis Fungsi f K R 2 R di Sepanjang Kurva
Lebih terperinciMENGHITUNG BANYAKNYA BILANGAN PRIMA YANG LEBIH KECIL DARI ATAU SAMA DENGAN SUATU BILANGAN BULAT n ABSTRACT
MENGHITUNG BANYAKNYA BILANGAN PRIMA YANG LEBIH KECIL DARI ATAU SAMA DENGAN SUATU BILANGAN BULAT n Polorida 1, Asli Sirait, Musraini M. 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Dosen Jurusan Matematika Fakultas
Lebih terperinciDefinisi. Turunan (derivative) suatu fungsi f di sebarang titik x adalah. f merupakan fungsi baru yang disebut turunan dari f (derivative of f).
Lecture 5. Derivatives C A. Turunan (derivatives) Sebagai Fungsi Definisi. Turunan (derivative) suatu fungsi f di sebarang titik x adalah f ()() (x) = lim. f merupakan fungsi baru yang disebut turunan
Lebih terperinciDASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA
(Bekal untuk Para Sarjana dan Magister Matematika) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. December 26, 2007 Misalkan f kontinu pada interval [a, b]. Apakah masuk akal untuk membahas luas daerah
Lebih terperinciKetaksamaan Cauchy-Schwarz, Ketaksamaan Bessel, dan Kesamaan Parseval di Ruang n-hasilkali Dalam Baku. Hendra Gunawan
Ketaksamaan Cauchy-Schwarz, Ketaksamaan Bessel, dan Kesamaan Parseval di Ruang n-hasilkali Dalam Baku Hendra Gunawan Departemen Matematika, ITB, Bandung 40132 hgunawan@dns.math.itb.ac.id 1 Abstrak Beberapa
Lebih terperinciBab III. Integral Fungsi Kompleks
Bab III Integral Fungsi ompleks Integrasi suatu fungsi kompleks f() = u + iv dilakukan pada bidang Argand, sehingga integrasinya menyerupai integral garis pada integral vektor. Hal ini terjadi mengingat
Lebih terperinciMETODE DEKOMPOSISI ADOMIAN UNTUK MENYELESAIKAN PERMASALAHAN NILAI BATAS PADA PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL NONLINEAR ABSTRACT
METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN UNTUK MENYELESAIKAN PERMASALAHAN NILAI BATAS PADA PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL NONLINEAR Birmansyah 1, Khozin Mu tamar 2, M. Natsir 2 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika
Lebih terperinciPenerapan Aproksimasi Fejer dalam Membuktikan Teorema Weierstrass
Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi 1 Penerapan Aproksimasi Fejer dalam Membuktikan Teorema Weierstrass Islamiyah Abbas 1, Naimah Aris 2, Jusmawati M 3. Abstrak Dalam skripsi ini dibahas pembuktian
Lebih terperinciAyundyah Kesumawati. April 29, Prodi Statistika FMIPA-UII. Deret Tak Terhingga. Ayundyah. Barisan Tak Hingga. Deret Tak Terhingga
Kesumawati Prodi Statistika FMIPA-UII April 29, 2015 Akar Barisan a 1, a 2, a 3, a 4,... adalah susunan bilangan-bilangan real yang teratur, satu untuk setiap bilangan bulat positif. adalah fungsi yang
Lebih terperinci11. FUNGSI MONOTON (DAN FUNGSI KONVEKS)
11. FUNGSI MONOTON (DAN FUNGSI KONVEKS) 11.1 Definisi dan Limit Fungsi Monoton Misalkan f terdefinisi pada suatu himpunan H. Kita katakan bahwa f naik pada H apabila untuk setiap x, y H dengan x < y berlaku
Lebih terperinciPENGHITUNGAN VEKTOR-KHARAKTERISTIK SECARA ITERATIF MENGGUNAKAN TITIK TETAP BROUWER
J. Math. and Its Appl. ISSN: 829-65X Vol. 8, No. 2, November 2, 8 PENGHITUNGAN VEKTOR-KHARAKTERISTIK SECARA ITERATIF MENGGUNAKAN TITIK TETAP BROUWER Subiono Jurusan Matematika FMIPA Institut Teknologi
Lebih terperinciMA3231 Analisis Real
MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017
Lebih terperinciITERASI TIGA LANGKAH PADA PEMETAAN ASIMTOTIK NON- EKSPANSIF
ITERASI TIGA LANGKAH PADA PEMETAAN ASIMTOTIK NON- EKSPANSIF Agung Anggoro, Siti Fatimah 1, Encum Sumiaty 2 Departemen Pendidikan Matematika FPMIPA UPI *Surel: agung.anggoro@student.upi.edu ABSTRAK. Misalkan
Lebih terperinciEKUIVALENSI INTEGRAL BOCHNER DENGAN INTEGRAL MCSHANE KUAT UNTUK FUNGSI DENGAN NILAI DI DALAM RUANG BANACH. Y.D. Sumanto Jurusan Matematika FMIPA UNDIP
EKUIVALENSI INTEGRAL BOCHNER DENGAN INTEGRAL MCSHANE KUAT UNTUK FUNGSI DENGAN NILAI DI DALAM RUANG BANACH Y.D. Sumanto Jurusan Matematika FMIPA UNDIP Abstrak Integral McShane fungsi-fungsi bernilai real
Lebih terperinciDefinisi 4.1 Fungsi f dikatakan kontinu di titik a (continuous at a) jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada,
Lecture 4. Limit B A. Continuity Definisi 4.1 Fungsi f dikatakan kontinu di titik a (continuous at a) jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada, (2) lim f(x) ada, (3) lim f(x) =
Lebih terperinciINTEGRASI NUMERIK DENGAN METODE KUADRATUR GAUSS-LEGENDRE MENGGUNAKAN PENDEKATAN INTERPOLASI HERMITE DAN POLINOMIAL LEGENDRE
Jurnal Matematika UNAND Vol. 5 No. 1 Hal. 148 153 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND INTEGRASI NUMERIK DENGAN METODE KUADRATUR GAUSS-LEGENDRE MENGGUNAKAN PENDEKATAN INTERPOLASI HERMITE DAN
Lebih terperinciJURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA
DESKRIPSI MATA KULIAH : ANALISIS REAL II KODE MK : MT 410 Mata kuliah ini dimaksudkan untuk memberi kemampuan pada mahasiswa tentang konsep-konsep matematika mengenai limit fungsi, kekontinuan fungsi,
Lebih terperinciPEMBENTUKAN POLINOMIAL ORTOGONAL MENGGUNAKAN PERSAMAAN INTEGRAL NONLINEAR. Susilawati 1 ABSTRACT
PEMBENTUKAN POLINOMIAL ORTOGONAL MENGGUNAKAN PERSAMAAN INTEGRAL NONLINEAR Susilawati 1 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawidya
Lebih terperinciUJI KONVERGENSI. Januari Tim Dosen Kalkulus 2 TPB ITK
UJI KONVERGENSI Januari 208 Tim Dosen Kalkulus 2 TPB ITK Uji Integral Teorema 3 Jika + k= u k adalah deret dengan suku-suku tak negatif, dan jika ada suatu konstanta M sedemikian hingga s n = u + u 2 +
Lebih terperinciSYARAT SYARAT FUNGSI DI RUANG METRIK AGAR RUANG METRIKNYA MEMILIKI ATSUJI COMPLETION
SYARAT SYARAT FUNGSI DI RUANG METRIK AGAR RUANG METRIKNYA MEMILIKI ATSUJI COMPLETION Azki Nuril Ilmiyah Departemen Matematika, FMIPA UI, Kampus UI Depok 16424 azki.nuril@ui.ac.id ABSTRAK Nama Program Studi
Lebih terperinciIntegral Kompleks. prepared by jimmy 752A4C6B. wp.me/p4scve-e. jimlecturer
Integral Kompleks prepared by jimmy hasugian 752A4C6B @jimlecturer jimlecturer wp.me/p4scve-e Review Analisis Kompleks Sebuah Fungsi Kompleks disebut Analitik dalam domain tertentu, jika fungsi tersebut
Lebih terperinciDASAR-DASAR TEORI RUANG HILBERT
DASAR-DASAR TEORI RUANG HILBERT Herry P. Suryawan 1 Geometri Ruang Hilbert Definisi 1.1 Ruang vektor kompleks V disebut ruang hasilkali dalam jika ada fungsi (.,.) : V V C sehingga untuk setiap x, y, z
Lebih terperinciBab II Konsep Dasar Metode Elemen Batas
Bab II Konsep Dasar Metode Elemen Batas II.1 II.1.1 Kalkulus Dasar Teorema Gradien Misal menyatakan domain pada ruang dimensi dua dan menyatakan batas i x + j 2 2 x 2 + 2 2 elanjutnya, penentuan integral
Lebih terperinciHIMPUNAN KUBIK ASIKLIK DAN KUBUS DASAR
Jurnal Matematika UNAND Vol. 2 No. 4 Hal. 43 49 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND HIMPUNAN KUBIK ASIKLIK DAN KUBUS DASAR WIWI ULMAYANI Program Studi Matematika, Fakultas Matematika dan
Lebih terperinciCNH2B4 / KOMPUTASI NUMERIK
CNH2B4 / KOMPUTASI NUMERIK TIM DOSEN KK MODELING AND COMPUTATIONAL EXPERIMENT 1 REVIEW KALKULUS & KONSEP ERROR Fungsi Misalkan A adalah himpunan bilangan. Fungsi f dengan domain A adalah sebuah aturan
Lebih terperinciKetunggalan titik Tetap Pemetaan Kondisi Tipe Kontraktif pada Ruang Banach
Ketunggalan titik Tetap Pemetaan Kondisi Tipe Kontraktif pada Ruang Banach Badrulfalah 1,Khafsah Joebaedi 2 1 Departemen Matematika FMIPA Universitas Padjadjaran badrulfalah@gmail.com 2 Departemen Matematika
Lebih terperinciSIFAT P-KONVEKS PADA RUANG FUNGSI MUSIELAK-ORLICZ TYPE BOCHNER. Yulia Romadiastri
Jurnal Matematika Murni dan Terapan εpsilon Vol. 07, No.01, 013, Hal. 1 1 SIFAT P-KONVEKS PADA RUANG FUNGSI MUSIELAK-ORLICZ TYPE BOCHNER Yulia Romadiastri Program Studi Tadris Matematika Fakultas Tarbiyah
Lebih terperinci