Teorema Titik Tetap di Ruang Norm-2 Standar

Transkripsi

1 Teorema Titik Tetap di Ruang Norm- Standar Muh. Nur Universitas Hasanuddin Abstract Pada tulisan ini, akan dipelajari ruang norm- standar, yakni ruang hasil kali dalam yang dilengkapi dengan norm- standar. Setelah itu, ditunjukkan ekuivalensi antara norm baru yang diperoleh dari norm- standar dan norm pada ruang hasil kali dalam. Lebih jauh lagi menunjukkan norm- standar adalah lengkap. Dengan menggunakan hasil ini, akan dibuktikan Teorema Titik Tetap di norm- standar. Kata kunci: Ruang norm- standar, Ruang hasil kali dalam, Teorema Titik Tetap 1. Pendahuluan Konsep tentang ruang norm- pertama kali dikembangkan oleh Gähler pada pertengahan tahun 1960 dan ruang hasil kali dalam- pertama kali diperkenalkan oleh Diminnie, Gähler dan White pada tahun Sementara perumuman untuk n dikembangkan oleh Misiak ditahun Pada tahun 001, H. Gunawan, M. Mashadi 1] mempelajari hubungan antara ruang Banach- dengan ruang Banach dan membuktikan teorema titik tetap dengan mendefinisikan suatu norm baru dengan menggunakan dua buah vektor basis. Misalkan X adalah ruang Vektor real berdimensi d dimana d. Suatu fungsi bernilai riil tak negatif yang didefenisikan sebagai suatu pemetaan, : X X R, sehingga untuk setiap x, y, z X memenuhi sifat-sifat dibawah ini: 1. x, y = 0 jika dan hanya jika x dan y bergantung liner;. x, y = y, x ; 1

2 3. x, αy = α x, y untuk setiap α R; 4. x, y + z x, y + x, z, disebut sebagai norm- di X, dan pasangan (X,, ) disebut suatu ruang norm-. Dengan menggunakan definisi ini, diperoleh x, y 0 dan x, y + αx = x, y untuk setiap x, y X dan α R. Barisan (x n ) di ruang norm- (X,, ) dikatakan konvergen ke-x dalam norm- jika dan hanya jika untuk setiap z X, lim x n x, z = 0. Dengan kata lain x disebut limit barisan dari x n, apabila untuk setiap z X dan setiapε > 0 terdapat n 0 N sehingga x n x, z < ε untuk setiap n n 0, dan (x n ) dikatakan Cauchy apabila untuk setiap z X dan untuk setiap ε > 0 terdapat n 0 N sehingga x m x n, z < ε untuk setiap m, n n 0. Jika setiap barisan Cauchy di (X,, ) konvergen ke suatu x di X maka X dikatakan lengkap. Limit dari suatu barisan yang konvergen dalam norm- senantiasa tunggal. Andaikan x dan x adalah limit dari x n dimana x x. Untuk setiap ε > 0 pilih n 0 N sehingga x n x, z < ε dan x n x, z < ε untuk setiap n n 0. Pilih ε = 1 x x, z dimana x x, z bebas linear sehingga x x, z x x, z + x n x, z < 1 x x, z 1 + x x, z = x x, z. Ini mustahil terjadi akibatnya limitnya tunggal. Dalam tulisan ini kita akan mempelajari norm- standar pada ruang Hilbert lalu membuktikan norm- standar adalah lengkap dengan mendefinisikan norm baru dengan menggunakan buah vektor yang bebas linear. Dengan kenyataan ini kita akan membuktikan teorema titik tetap pada norm- standar.. Hasil Utama.1 Norm- Standar Misalkan (X,, ) merupakan hasil kali dalam, definisikan x, y s = x, x x, y y, x y, y 1

3 maka x, y s merupakan norm- standar pada X. Salah satu contoh norm- standar pada ruang l dimana ruang l adalah ruang Hilbert dengan hasil kali dalam yang didefinisikan oleh x, y = j=1 x jy j. Sehingga kita dapat mendefinisikan fungsi, di l sebagai berikut: x, y = det ( j=1 x j j=1 y jx j j=1 x jy j j=1 y j )] 1 ( = 1 det untuk lebih jelasnya lihat ]. Sebelum kita membahas kekonvergenan pada norm- mengakibatkan kekonvergenan dalam norm ataupun sebaliknya, maka pertama-tama kita mendefinisikan suatu norm sebagai berikut: x 1 = x, a 1 + x, a ] 1 dimana {a 1, a } adalah himpunan yang bebas linear pada ruang Hilbert H dan x H. Kita dapat mengamati bahwa (i) x 1 0 dan x 1 = 0 jika dan hanya jika x = 0, (ii) αx 1 = α x 1 dan (iii) x + y 1 x 1 + y 1. Akibatnya x = x, b 1 + x, b ] 1 dimana {b 1, b } hasil Gram- Schmidt dari {a 1, a } merupakan norm pada H. Proposisi 1 Jika adalah norm pada H dan, adalah norm- standar pada H maka untuk setiap x H, j k x j y j x k y k ) 1 x x Bukti. Ambil x H sebarang, Karena {b 1, b } adalah himpunan ortonormal pada H sehingga x, b 1 = x x, b 1 dan x, b = x x, b. Menurut ketaksamaan bessel x, b i x diperoleh i=1 x x x, b 1 + x x, b = x, b 1 + x, b.. Kekonvergenan norm- standar menggunakan vektor bebas linear Pada bagian ini kita akan membuktikan dalam norm- standar dapat diwakili dengan menggunakan buah vektor yang bebas linear, untuk itu kita punya 3

4 Lema Suatu barisan (x n ) konvergen ke x pada H di norm- standar jika dan hanya jika lim x n x, b 1 = 0 dan lim x n x, b = 0. Bukti. Kita cukup membuktikan jika lim x n x, b i = 0 untuk i = 1, maka diperoleh y H lim x n x, y = 0. Menurut ketaksamaan Hadamard x, y x y untuk lebih jelasnya lihat 4] serta lema sebelumnya diperoleh x n x, y x n x y x n x, b 1 + x n x, b ] 1 y Karena x n x, b i untuk n 0 diperoleh x n x, y 0. Karena {b 1, b } hasil Gram-Schmidt dari {a 1, a } sehingga kita punya Lema 3 lim x n x, a 1 = 0 dan lim x n x, a = 0 jika dan hanya jika lim x n x, b 1 = 0 dan lim x n x, b = 0. Lebih jauh suatu barisan (x n ) konvergen ke-x pada 1 jika dan hanya jika (x n) konvergen ke-x pada, dan (x n) adalah barisan Cauchy pada 1 jika dan hanya jika (x n ) adalah barisan Cauchy pada. Bukti. Diketahui b 1 = ka 1 dan b = l 1 a 1 +l a sehingga x, b 1 = k x, a 1 dan x, b = x, l 1 a 1 + l a l 1 x, a 1 + l x, a sedangkan x, a = x, s 1 b s b 1 s 1 x, b 1 + s x, b dengan s 1 = 1 l dan s = l 1 l k sehingga lim x n x, a 1 = 0 dan lim x n x, a = 0 mengakibatkan lim x n x, b 1 = 0 dan lim x n x, b = 0, begitu juga sebaliknya. Teorema 4 Suatu barisan (x n ) di H konvergen ke x pada norm- standar di H jika dan hanya jika lim x n x, a 1 = 0 dan lim x n x, a = 0 dimana {a 1, a } bebas linear..3. Kelengkapan Norm- Standar dengan Norm Pada bagian ini kita membahas kelengkapan norm- standar dengan menggunakan norm biasa pada ruang Hilbert serta membuktikan teorema titik tetap pada norm- standar, tapi sebelumnya kita buktikan ekuivalensi norm baru dengan norm. 4

5 Proposisi 5 Norm ekuivalen dengan norm biasa di H. Artinya x x x Bukti. Karena ( x ) = x, b 1 + x, b sehingga pada Proposisi-1 kita peroleh x x. Sebaliknya dengan menggunakan ketaksamaan Hadamard dimana b i = 1 untuk i = 1, diperoleh x x. Teorema 6 Barisan (x n ) di H pada ruang norm- standar (H,, ) jika dan hanya jika barisan itu konvergen di norm (H, ), dan barisan (x n ) di H Cauchy di ruang norm- standar (H,, ) jika dan hanya jika barisan itu Cauchy di norm (H, ). Bukti. Misalkan (x n ) konvergen ke-x dalam norm- (H,, ), sehingga menurut Lema - diperoleh lim x n x, b 1 = 0 dan lim x n x, b = 0, akibatnya lim x n x = 0, karena dan ekuivalen diperoleh lim x n x = 0. Sebaliknya ambil y H sebarang, karena (x n ) konvergen ke-x dalam norm (H, ), artinya untuk setiap ε > 0 terdapat n 0 N sehingga x n x < ε y untuk setiap n n 0 dan menurut ketaksamaan hadamart kita punya x n x, y x n x y = ε untuk setiapn n 0 Dengan cara yang sama dengan mengganti x menjadi x m diperoleh (x n ) di H Cauchy pada norm- mengakibatkan Cauchy pada norm ataupun sebaliknya. Konsekuensinya, kita punya hasil sebagai berikut Akibat 7 Ruang (H,, ) adalah lengkap. Dengan menggunakan hasil-hasil diatas kita peroleh Teorema 8 Misalkan (H,, ) ruang banach- dan {a 1, a } himpunan bebas linear serta T : H H memenuhi T x T y, a i k x y, a i untuk tiap x, y, a i H dimana i = 1, dan k = (0, 1) konstan, maka T mempunyai titik tetap yang tunggal. 5

6 Bukti. karena x 1 = x, a 1 + x, a ] 1 merupakan norm pada H, karena equivalen dengan sehingga adalah lengkap, lebih jauh lagi menurut Lema-3 diperoleh 1 adalah lengkap. Selanjutnya ( Tx T y 1) = Tx T y, a 1 + T x T y, a k x y, a 1 + k x y, a = k ( x y 1 ) T x T y 1 k x y 1 x, y X ini berarti T kontraktif terhadap 1 mempunyai titik tetap yang tunggal. karena (H, 1 ) lengkap maka T 3. Kesimpulan Setiap ruang hasil kali dalam- merupakan ruang norm-. Namun secara umum, ruang norm- bukanlah ruang hasil kali dalam-. Dengan Kesamaan Jajaran Genjang dapat diketahui apakah suatu ruang norm- juga merupakan ruang hasil kali dalam-. Norm- standar merupakan luas jajar genjang yang direntang oleh x 1, x pada ruang hasil kali dalam. Telah dibuktikan bahwa norm baru yang diperoleh dari norm- standar ekuivalen dengan norm pada ruang hasil kali dalam. Norm- standar adalah lengkap. Telah dibuktikan juga teorema titik tetap dengan menggunakan sebarang vektor a 1, a yang bebas linear pada norm- standar. 4. Daftar Pustaka 1] H. Gunawan dan M. Mashadi : On n-normed Spaces, Int. J. Math. Sci. 7 (001), ] H. Gunawan: The space of p-summable sequences and its natural n- Norm, Bull. Austral. Math. Soc. 64 (001), ] H. Gunawan and M. Mashadi: On Finite-dimensional -Normed Space, Soochow J. Math. 7 (001), ] E. Kreyszig: Introductory Functional Analysis with Application, John Wiley dan Sons. Inc. New York, ] N. Young: An introduction to Hilbert space, Cambridge University Press, (1998). 6