MATERI ALJABAR LINEAR LANJUT RUANG VEKTOR

Transkripsi

1 MATERI ALJABAR LINEAR LANJUT RUANG VEKTOR Disusun oleh: Dwi Lestari, M.Sc JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA 01

2 MATERI ALJABAR LINEAR 1. Ruang vektor. Subruang vektor 3. Kombinasi linear dan bebas linear 4. Basis dan Dimensi 5. Ruang baris dan Ruang kolom 6. Ruang hasil kali dalam 7. Orthogonalitas, basis ortonormal 8. Transformasi Linear, Matrik transformasi 9. Nilai eigen dan vektor eigen IV V Referensi/Sumber Bahan A. Wajib Anton, H Elementary Linear Algebra. New York: John Wiley and Sons. B. Anjuran Setiadji, Pengantar Aljabar Linear. Diktat Kuliah. Evaluasi No Komponen Bobot (%) 1 Partisipasi Kuliah 10 Tugas-tugas 5 3 Ujian Tengah Semester 30 4 Ujian Semester 35 Jumlah 100 %

3 BAB I RUANG VEKTOR Sebelum sampai pada definisi ruang vektor secara abstrak, lebih dulu diperkenalkan pengertian lapangan (field). Lapangan adalah suatu sistem aljabar dengan dua operasi yang dinamakan addisi (dinotasikan +) dan multiplikasi (dinotasikan. ), yang memenuhi aksioma-aksioma berikut ini : 1. Terhadap addisi: a. Tertutup b. Assosiatif c. Terdapat elemen netral d. Setiap elemen mempunyai invers e. Komutatif. Terhadap multiplikasi: a. Tertutup b. Assosiatif c. Terdapat elemen satuan d. Setiap elemen tak nol mempunyai invers e. Komutatif Sebagai contoh struktur aljabar yang merupakan lapangan yang sering dijumpai yaitu: a. (, +,.) merupakan himpunan bilangan riil terhadap penjumlahan dan perkalian bilangan riil. b. (, +,.) merupakan himpunan bilangan kompleks terhadap penjumlahan dan perkalian bilangan kompleks. c. (, +,.) merupakan himpunan bilangan rasional terhadap penjumlahan dan perkalian bilangan rasional. DEFINISI Diberikan himpunan tak kosong V bersama dengan suatu operasi pada V. Diberikan suatu lapangan (field) (R, +,.). Diberikan suatu operasi perkalian skalar : R V V. Himpunan V disebut ruang vektor atas R terhadap oeprasi perkalian skalar jika memenuhi aksioma-aksioma berikut ini: 1. ( u, v V ) u + v V. ( u, v V ) u + v = v + u ( u, v, w V ) u + v + w = ( u + v) + w 3. ( ) 4. ( 0 )( ) u V ( ( u) V ) u ( u) V v V + v = v + = v ( ) + = 0 6. α R,u V αu V α, β,u V α + β u = αu + βu 7. R ( ) 8. R,, ( ) 9. α β R α ( β ) = ( αβ ) α u v V α u + v = αu + αv u = u,,u V u u

4 Contoh: Buktikan bahwa skalar. R merupakan ruang vektor terhadap operasi penjumlahan dan perkalian Bukti: 1. Ambil sebarang ( x1, y1 ),( x, y ) berlaku ( x1, y1 ) + ( x, y) = ( x1 + x, y1 + y) R R (, ) + (, ) = ( +, + ). x1 y1 x y x1 x y1 y 3. [ ] = ( x + x, y + y ) 1 1 = ( x, y ) + ( x, y ) R ( x, y ) + ( x, y ) + ( x, y ) = ( x + x, y + y ) + ( x, y ) , ( x, y ) berlaku = ( x + x + x, y + y + y ) = ( x, y ) + ( x + x, y + y ) 3 3 [ ] = ( x, y ) + ( x, y ) + ( x, y ) ( x, y ) + 0 = ( x, y ) 3 3 SIFAT KOMUTATIF SIFAT ASOSIATIF ADA ELEMEN IDENTITAS ( x, y ) + 0 = ( x, y ) 0 = ( x, y ) ( x, y ) = ( x x, y y ) = (0,0) 5. Jadi, terdapat 0 = (0, 0) sehingga ( x1, y1 ) + 0 = ( x1, y1 ). ( x, y ), p R berlaku ( x, y ) + p = 0 ( x, y ) + p = 0 ADA ELEMEN INVERS ( x, y ) + ( p, q) = (0,0) p = (0,0) ( x, y ) p = (0 x,0 y ) = ( x, y ) ( x, y ), ( x, y ) berlaku ( x, y ) + ( x, y ) = 0 Jadi,

5 SIFAT 1 5 merupakan sifat GRUP KOMUTATIF terhadap penjumlahan. SIFAT TERTUTUP Terhadap perkalian 6. Ambil sebarang α R dan ( x1, y1 ) R berlaku skalar α ( x, y ) = ( α x, α y ) R 7. ( α + β )(, ) = ( α + β ),( α + β ) x1 y1 x1 y1 ( α x β x, α y β y ) = + + = ( α x, α y ) + ( β x, β y ) = α( x, y ) + β ( x, y ) 8. α [( x1, y1) + ( x, y) ] = α ( x1 + x, y1 + y ) = ( α x + α x, α y + α y ) 9. α [ β ( x, y )] = α ( β x, β y ) = = 1 1 = ( α x, α y ) + ( α x, α y ) = α( x, y ) + α( x, y ) ( αβ x1, αβ y1 ) αβ ( x, y ) 1 (, ) = (1,1 ) = (, ) 10. x1 y1 x1 y1 x1 y1 SIFAT ASOSIATIF Sifat 7 dan 8 SIFAT DISTRIBUTIF SIFAT 6 10 merupakan sifat dengan operasi perkalian skalar. KES: R merupakan RUANG VEKTOR. TUGAS: Selidikilah apakah himpunan berikut membentuk ruang vektor bentuk operasi jumlah dan perkalian yang didefinisikan. 1. Himpunan. Himpunan A = {( x, y) R x + y = 0} dengan definisi: ( x, y) + ( x ', y ') = ( x + x ', y + y ') α ( x, y) = ( α x, α y) R dengan definisi: ( x, y) + ( x ', y ') = ( x + x ' + 1, y + y ') α ( x, y) = ( α x, α y) 3. Diberikan M ( ) =,,,. Buktikan bahwa M ( ) merupakan ruang vektor! 4. Buktikan =,,,, merupakan ruang vektor atas.

6 5. Buktikan =,, 1 merupakan ruang vektor atas. 6. Latihan 4. halaman 141 TEOREMA: Jika V ruang vektor atas R : Bukti: a. α 0 = 0, α R b. 0 v = 0, v V c. 1 v = v, v V d. α v = 0, maka α = 0 atau v = 0 (i) Bukti yang d sebagai latihan (ii) Ambil sebarang α R dan V, perhatikan 1 = = (0 + 1) = (0 ) + (1 ) = (0 ) + sehingga diperoleh + (- = 0 + (- 0 = 0 = 0 0 = 0 Jadi terbukti bahwa 0 = 0. (iii) Sekarang perhatikan + (-1 ) = (1 ) (-1 ) = (1 + (-1)) = 0 = 0 = dengan menggunakan sifat kanselasi dari kiri, maka diperoleh bahwa (-1 ) =. (iv) α 0 = α = α 1 1 = α ((1 + (-1)) ) = α. 1 1 = (α.0) = 0

7 = 0. SUB RUANG VEKTOR Definisi: V ruang vektor, W V W dikatakan sub ruang vektor dari V jika W terhadap operasi yang sama pada V, W membentuk ruang vektor. Contoh : A = x y R x + y = {(, ) 0} A sub ruang vektor dari R atau A R. TEOREMA: V ruang vektor dan W V, berlaku W subruang vektor dari V jika dan hanya jika: i) ii) u, v W berlaku u + v W α R, u W berlaku αu W

8 KUIS: 1. Diberikan 3 {(,, ) R } B = x y z x + y = z Tentukan apakah B ruang vektor atau bukan?. V: himpunan semua fungsi kontinu bernilai real dengan operasi berikut f(x) + g(x) = (f+g) (x) dan α f ( x) = ( α f )( x)