Keterbatasan Lokal Suatu Operator Superposisi Pada Ruang Barisan Real. Lina Nurhayati, Universitas Sanggabuana

Transkripsi

1 Keterbatasan Lokal Suatu Operator Superposisi Pada Ruang Barisan Real Lina urhayati, Universitas Sanggabuana Abstrak Misalkan P suatu operator superposisi terbatas dan T adalah fungsional aditif terbatas pada ruang barisan. Jika P atau T dikenakan pada suatu ruang barisan klasik, maka akan terbentuk suatu ruang barisan baru yang disebut ruang barisan Musielak-Orlicz (l M ). Secara khusus tulisan ini membahas sifat keterbasan lokal suatu operator superposisi terbatas (fungsional aditif terbatas) di titik tertentu pada ruang barisan real, serta sifat keterbatasan operator atau fungsional pada interval terbatas. Kata Kunci : Operator superposisi terbatas, fungsional aditif, ruang barisan klasik, dan ruang barisan Musielak-Orlicz. Pendahuluan Banyak orang yang tertarik akan kajian mengenai ruang barisan, khususnya mengenai ruang barisan klasik dan fungsional, sehingga banyak diteliti orang. Diantaranya ruang barisan l p merupakan ruangbarisan klasik yang lengkap, di bahas oleh E. Kreyzig [3]. Selanjutnya, E. Sumiaty [4] berhasil menunjukan bahwa ruang barisan fungsional dan ruang barisan operator pada suatu ruang Hilbart merupakan ruang yang lengkap dan kompak. Ttemuan lainnya tentang ruang barisan yang dikemukakan L.P.Yee, [8], S.D Uunoningsih dan pluciennik [9], S.D Unoningsih dan L.P Yee [10] Berdasarkan hasil kajian di atas, ternyata ruang barisan ang berbentuk sangan di pengaruhi oleh suatu fungsi yang membwa suatu barisan klasik ke ruang barisan lain ( real maupun kompleks), yang di antaranya adalah oprator superpoisi terbatas dan fungsi yang membawa barisan tersebut ke barisan real atau kompleks yang disebut barisan Musielak-Orlicz. Berkaitan dengan hal tersebut, untuk melakukan penelitian mengenai ruang barisan yang di bangun oleh fungsional adiitif terbatas T dari sutu ruang barisan klasik ke ruang barisan real atau kompleks (yang di sebut ruang barisn Musielak-Orlicz), terlebih ahulu harus meneliti oprator seperposisi dan fungsional aditif terbatas, yang di jadikan dasar dan sebagai pengantar untuk malakukan penelitian selanjutnya mengenai ruang barisan Musielak-Orlicz Tujuan Penelitian Penelitian ini bertujuan menyelesaikan masalah bagaimana cara membentuk suatu ruang barisan Musielak_Orlicz dari suatu ruang dengan memperhatikan (1) Sifat-sifat yang berlaku pada operator superposisi terbatas dan terbatas lokal () Teorema keterbatasan operator superposisi dan Pluciennik (3) Sifat ketaksamaan young untuk l p dan (4) Sifat dasar fungsional aditif terbatas. Manfaat Penelitian Manfaat dari penelitian ini adalah untuk memperdalam kajian mengenai ruang barisan klasik serta menambah oengetahuan mengenai operator serta fungsional. Pembahasan Definisi 1 himpunan X Φ, dan suatu fungsi d didefinisikan pada X X, sehingga untuk setiap x, y, z X memenuhi : 1. d bernilai real, dan d(x, y) 0. d(x, y) = 0 jika dan hanya jika x = y 3. d(x, y) = d(y = x) (simetri) 4. d(x, y) d(x, z) + d(z, y) (ketaksamaan segitiga). d disebut metrik (fungsi jarak), dan himpunan X yang dilengkapi dengan metrik d dinotasikan dengan (X, d) atau X disebut Ruang metrik. 1

2 Definisi Diberikan ruang barisan X. 1. Fungsi pada X disebut norma-f, jika untuk setiap x, y X memenuhi: a. X 0 dan X = 0 jika dan hanya jika x = θ b. 1. Jika n 0 (n ), maka n X 0 (n ). jika X n 0 (n ), maka X n 0 (n ), untuk setiap R. Rumus barisan x yang dilengkapi dengan norma-f disebut ruang bernorma-f 3. Ruang Frechet atau ruang F adalah ruang bernorma-f yang lengkap. Definisi 3 Diberikan ruang barisan X 1. orma- B dari x X, ditulis X Adalah norma-f yang memenuhi sifat homogen x = x Untuk setiap R Definisi 4 Diberikan ruang vektor X 1. sebuah norma pada ruang vektor X adalah fungsi bernilai real pada X yang dinotasikan dengan, sehingga untuk setiap x, y X dan R memenuhi: (1) X 0 dan X = 0 jika dan hanya jika x = θ () x = x (3) x + y = x + y. sebuah matrik d pada X yang dibentuk oleh norma pada X didefinisikan oleh d(x, y) = x y 3. ruang bernorma X adalah ruang vektor yang dilengkapi dengan matrik yang dibentuk oleh norma, dinotasikan oleh (X, ) 4. ruang bernorma adalah ruang benorma-b Akibat 1 Ruang Banach adalah ruang bernorma yang lengkap Definisi 5 Ruang barisan X disebut ruang FK, jika X merupakan ruang Frechet dari barisan real, sehingga untuk setiap k, P k kontinu dengan P k (x) = x k untuk setiap x X. Definisi 6 Ruang baraisan X disebut ruang BK, jika X merupakan ruang Banach dari bilangan real, sehingga, untuk setiap k, P k kontinu dengan P k (x) = x k untuk x X Diberikan. Berdasarkan definisi 5 dan 6 diperoleh hubungan yang disajikan dalam teorema berikut; Teorema 1 Jika X ruang BK, Maka X ruang FK X ruang BK berarti X ruang Banach Dari barisan real, sehingga untuk setiap k, P k kontinu dengan P k (x) = x k untuk x X. Berdasarkan definisi 3 (3), maka X merupakan ruang bernorma-b yang lengkap, dan berdasarkan definisi 3 (1) maka ruang bernorma-b yang lengkap adalah ruang bernorma-f yang memenuhi sifat homogen x = x, yang juga lengkap. Berdasarkan definisi (3) maka X merupakan ruang Frechet. Dengan mengambil k di atas, untuk setiap k P k kontinu dengan P k 9x) = x k untuk setiap x X. Definisi 7 Sebuah ruang Frechet X ddari barisan real disebut memiliki sifat AK, jika X memuat semua barisan hingga dan x x 0, ( )

3 Teorema Jika ruang Frechet X mempunyai sifat x x, untuk setiap x X, maka X merupakan ruang FK Teorema 3 Jika ruang Frechet X mempunyai sifat x x dan sifat AK, maka sup x = x untuk setiap x X. X mempunyai sifat AK berarti X memuat semua barisan hingga dan x x 0, ( ). Karena x x 0 berarti untuk setiap ε > 0 ada k ε, sehingga untuk k ε berlaku x x < ε. Khususnya, jika ε = 1, maka ada k 1 sehingga untuk k 1 berlaku x x < 1. Dari ketaksamaan segitiga, diperoleh x x < x x < 1, untuk setiap k 1 sehingga berlaku x < x + 1, untuk setiap k 1. Jika Sup x = Sup { x 1, x,, x 1, x + 1}, maka x < Sup x * untuk setiap. Sehimgga berlaku juga x < x + 1 Sup x, diperoleh x < Sup x. karena x x maka x < Sup x = x diperoleh Sup x ** x. Dari * dan ** diperoleh Sup x = x untuk setiap x X. Definisi 8 Sebuah ruang barisan X yang bernorma-f disebut mempunyai GHP, z n(k) X k=1. jika untuk sembarang Berkaitan dengan definisi 8, untuk suatu ruang bernorma yang lengkap ternyata mempunyai GHP yang disajikan pada teorema berikut: Teorema 4 Sebarang ruang bernorma lengkap mempunyai GHP Diberikan X sebarang ruang banach, akan ditunjukkan bahwa X mempunyai GHP jika dan hanya jika untuk setiap barisan blok {z n } dngan z n 0, (n ), ada subbarisan {n(k)} dari Z + sehingga k=1 z n(k) X. Diambil sembarang barisan blok {z n } X dengan z n 0, (n ) yang berarti untuk setiap ε > 0 ada n 0 sehingga n n 0 maka {z n } < ε. Didefinisikan sebuah barisan x n = n k=1 z n(k) maka berlaku x n x m = n k=1 z i(k) m k=1 z i(k) = n k=1 z i(k) n z i(k) < ε k=m+1 (n m 1) sehingga {x n } merupakan barisan Cauchy. Karena X Merupakan ruang banach, maka {x n } konvergen ke suatu x X. Akibatnya k=1 z n(k) = x X. Oleh karena barisan blok yang diambil sebarang, maka untuk setiap barisan blok {z n } X, dengan z n 0, (n ), ada subbarisan {n(k)} dari Z sehingga k=1 z n(k) = x X yang berarti ruang X mempunyai GHP. Definisi 9 X sebuah ruang barisan bernorma-f disebut mempunyai SGHP, jika untuk sembarang barisan blok {z n } dengan { z n } n 1 terbatas, ada subbarisan {n(k)} dari Z sehingga berlaku z n(k) X Operator dan Fungsional Operator merupakan pemetaaan dari ruang bernorma X ke dalam ruang bernorma Y. Khususnya, untuk sebuah operator yang memetakan dari suatu ruang bernorma X ke Y yang didefinisikan oleh P(x) = P g (x) = {g(k, x k )} k 1 Y untuk setiap x = {x k } X disebut sebagai operator superposisi. Berlainan dengan operator, fungsional merupakan pemetaan dari ruang bernorma X ke dalam skalar field real atau kompleks. Fungsional T didefinisikan pada sebuah ruang barisan X disebut aditif ortogonal, jika T(x + y) = T(x) + T(y) dimana x = {x k }, y = {y k }, dan x k y k = 0, untuk setiap k. Keterbatsan Pada Operator Superposisi k=1 3

4 Diberikan X dan Y ruang barisan bernorma. Sebuah operator superposisi P g : X Y yang didefinisikan oleh P(x) = P g (x) = {g(k, x k )} k 1 Y untuk setiap x = {x k } X. Asumsikan g(k, 0) = 0 untuk setiap k Z +, maka P(x χ E ) = P(x)χ E, untuk setiap E Z +, khususnya P(X ) = P[ x k e k ] = g(k, x k )e k k=1 k=1. Definisi 10 Operator superposisi P: X Y terbatas jika dan hanya jika sup 1. x P(x) <, untuk setiap > 0.. untuk setiap > 0,ada β > 0 sehingga, jika x maka P(x) β Definisi 11 Operator superposisi P: X Y terbatas lokal pada 0 jika dan hanya jika ada > 0 dan β > 0 sehingga jika x maka P(x) β. Definisi 1 Operator superposisi P: X Y terbatas lokal pada x 0 X jika dan hanya jika ada > 0 dan β > 0 sehingga jika x x 0 maka P(x) P(x 0 ) β. Definisi 13 Operator superposisi P: X Y terbatas lokal jika dan hanya jika P terbatas lokal pada setiap x X. Teorema 5 Jika Operator superposisi P: X Y terbatas maka : X Y terbatas lokal. : P terbatas berarti untuk setiap > 0 ada β > 0 sehingga, jika x maka P(x) β. Diberikan sebarang x 0 X. Karena P terbatas maka untuk 1 > 0 dengan 1 = > 0 ada β > 0 sehingga jika x 0 = maka berlaku P(x 0 ) β. Jika x x 0 =, dari ketaksamaan segitiga x x 0 x x 0 diperoleh x x x 0 + x 0 + = maka ada β > 0 tersebut di atas sehingga berlaku P(x) P(x 0 ) P(x) + P(x 0 ) β + β = β. Akibatnya, ada = > 0 dan β > 0 sehingga jika x x 0 maka berlaku P(x) P(x 0 ) β, yang berarti P terbatas lokal pada x 0. Karena x 0 sebarang maka P terbatas lokal pada setiap x X. Definisi 14 Untuk setiap k, g(k, ) terbatas jika dan hanya jika untuk setiap > 0, ada β > 0 sehingga jika t, t [, ], maka berlaku g(k, t) β. Dapat dikatakan juga bahwa g(k, ) jika dan hanya jika g(k, ) terbatas pada setiap interval terbatas. 4

5 Teorema 6 Untuk setiap k, g(k, ) terbatas jika dan hanya jika g(k, ) terbatas local. ( ) ambil sembarang t 0 R. Pilih > 0 dengan > t 0. Karena g(k, ) terbatas maka ada β > 0, sehingga jika t diperoleh g(k, t) β. Akibatnya, g(k, t 0 ) β. Misalkan t t 0, karena t t 0 t t 0 maka berlaku t t t 0 + t 0 + = sehingga g(k, t) β diperoleh, g(k, t) g(k, t 0 ) g(k, t) + g(k, t 0 ) β + β = β.akibatnya ada 1 = > 0 dan β 1 = β > 0, sehingga jika t t 0 1 maka berlaku g(k, t) g(k, t 0 ) β 1. Hal tersebut berarti bahwa g(k, ) terbatas local pada t 0 R. Karena t 0 sebarang, maka g(k, ) terbatas local untuk setiap t 0 R. ( ) diberikan [a, b] R. Ambil sebarang t 0 [a, b], dimana g(k, ) terbatas pada interval (t 0 (t 0 ), t 0 + (t 0 )) yang merupakan cover terbuka dari [a, b] berdasarkan teorema sebarang interval tertutup dan terbatas K = [a, b] adalah kompak. Kemudian menurut definisi [a, b] mempunyai subcover berhingga. Akibatnya g tertutup dan terbatas pada [a, b]. Berikut ini akan disajikan suatu lemma yang akan membantu dalam pembuktian teorema plucieninik. Lemma 1 Jika P: X Y terbatas local, maka g(k, ) terbatas pada setiap interval terbatas, untuk setiap k. Untuk sembarang t 0 R, ada e k untuk suatu nilai k, sehingga berlaku t 0 e k X. Misalkan t 0 e k = x 0 X. Ditetapkan nilai k, dan diberikan > 0 dan t 0 R. Karena P terbatas local maka ada > 0 sehingga, t t 0 = e k 1 > 0, e K > 0. Karena t t 0 diperoleh e k tek t 0 e k β, maka berlaku P(te k ) P(t 0 e k ) β untuk suatu β > 0. karena P operator superposisi berarti P(te k ) = g(k, t)e k = g(k, t) e k sehingga g(k, t) = P(tek ), e k ek > 0 *. Perhatikan ketaksamaan segitiga P(te k ) P(t 0 e k ) P(te k ) P(t 0 e k ) ekiuvalen dengan P(te k ) P(te k ) P(t 0 e k ) + P(t 0 e k ) karena e k > 0 untuk setiap k maka P(tek ) β + g(k, t e k e k 0) dari persamaan * diperoleh g(k, t 0 ) β + g(k, t e k 0) berarti untuk setiap 1 = > 0 ada e k β 1 = β e k + g(k, t 0) >0. Jika t t 0 e k = 1 maka berlaku g(k, t) β e k + g(k, t 0) = β 1 yang berarti g(k, ) terbatas pada interval [t 0, t e k 0 + ] karena t e k 0 R sebarang, maka g(k, ) terbatas pada setiap interval terbatas di R. Teorema 7 (T.Plucieninik) Diberikan ruang barisan bernorma X dan Y. jika X mempunyai GHP dan x x, untuk setiap. Y memenuhi Sup y = y, dan P: X Y operator ssuperposisi yang didefinisikan oleh P(x) = P g (x) = {G(k, x k )} k 1 Y untuk setiap x X, g(k, ) terbatas pada setiap interval terbatas (untuk setiap k), maka P terbatas local pada 0. 5

6 Ambil sembarang > 0 maka ada β > 0 yang didefinisikan β 1 = sup {g(k, t): t e k }, karena g(k, ) terbatas pada setiap interval terbatas maka β k < +, untuk setiap k. Untuk x berlaku x k e k = x k e k x k e k x, diperoleh x k dengan e k ek > 0. Akibatnya P(x ) = k=1 g(k, x k )e k k=1 g(k, x k ) e k k=1 e k β k = a n. ** Selanjutnya, andaikan P tidaka terbatas local pada 0, berarti untuk setiap > 0 dan β > 0, ada x X sehingga berlaku x tetapi P(x) > β. Ambil sembarang > 0 maka ada β > 0 dan ada barisan blok {x n } X, dengan x n 0 dan x n tetapi P(xn ) > a n + n untuk setiap n, dengan a n = k=1 β k e k. Ambil n 1 = 1, maka berlaku P(x n 1) > a n1 + n 1. kemudian ambil n > n 1, maka berlaku P(x n 1) n > a n1 + n 1 dimana P(x n 1) n menotasikan barisan hingga dari P(x n 1). Ambil n 3 > n maka berlaku P(x n ) n 3 > a n + n sehingga secara umum berlaku P(x n i) n i+1 > a ni + n i. ***. Dari persamaan ** diperoleh P(x n i) n i+1 > a ni, (i = 1,,3, ) ****. Dari ketaksamaan *** dan **** diperoleh P(x n i) n i+1,n i+1 = P(x n i) n i+1 P(x n i) n i P(x n i) n i+1 P(x n i) n i > a ni + n i a ni = n i untuk setiap i. Didefinisikan sebuah barisan blok n i {z i } X sebagai berikut: Z i = {0,,0, x ni+1, 0, }, untuk i = 1,, 3,. Karena x x, maka diperoleh z i x n i 0, (n ). Karena X mempunyai GHP, maka ada subbarisan {i(k)} sehingga berlaku z = k=1 z i(k) X akibatnya P(z) 1 P(zi(k) > 1 n i(k), untuk setiap k. Hal tersebut kontradiksi dengan P(z) Y, ini berarti P terbatas local pada 0. Teorema 8 Diberikan ruang barisan bernorma X dan Y. Jika X mempunyai GHP dan X X untuk setiap. Y memenuhi sup Y = Y dan P: X Y, g(k, ) terbatas pada setiap interval terbatas (untuk setiap k), maka P terbatas lokal. : Ambil sembarang x (0) X. Pilih > 0 dengan > 4 x (0). Karena g(k, ) terbatas, maka ada β > 0 yang didefinisikan oleh β k = sup { g(k, x k ) g (k, x k (0) ) : xk x k (0) e k } dengan β k < +, sehingga berdasarkan pembuktian teorema T. Pluciennik jika x dengan x k n e k maka berlaku P(x ) a dengan a n = k=1 β k e k. Akibatnya, P(x (0), ) a. Misalkan x (n) x (0), dengan x (0) 4 k x k diperoleh e k x(n) x (0) x (n) x (0) dan berlaku x (n) x (n) x (0) + x (0) =, sehingga P(x ) a. Akibatnya, P(x ) P(x (0), ) P(x ) + P(x (0), ) a + a = a. Selanjutnya, andaikan P tidak terbatas lokal pada x (0), berarti untuk setiap > 0 dan β > 0, ada x X sehingga berlaku x x 0 tetapi P(x) P(x 0 ) > β. Ambil sembarang > 0 dan β > 0 dan ada barisan blok {x (n) } X, dengan x (n) x (0) 0 dan x (n) x (0) tetapi P(x ) P(x (0), ) > a 4 n + n, untuk setiap n. Secara sama dengan pembuktian Teorema T. Pluciennik, maka didapat P(x n i) n i+1,n i+1 P(x (0) ) n i+1,n i+1 > n ( ), untuk setiap i. Didefinisikansebuah barisan blok (n i ) xni +1 (n i ) xni+1 {z i } X yaitu z i (0) (0) = {0,, 0, x ni +1,, x ni+1, 0, }, i = 1,, 3,.... Karena x x, maka diperoleh z i x (n i ) x (0) 0, (i ). Karena X mempunyai GHP, maka ada subbarisan {i(k)} sehingga berlaku z = k=1 z i(k) X dan P(z + x (0) ) P(x (0) ) Y tetapi dari (*) diperoleh P(z + x (0) ) P(x (0) ) > 1 n i(k) untuk setiap k. Hal tersebut kontradiksi dengan P(z) Y. Jadi haruslah P terbatas lokal. 6

7 Teorema 9 Diberikan ruang barisan bernorma X dan Y. Ruang barisan X mempunyai GHP dan X X untuk setiap. Y memenuhi sup Y = Y dan operator superposisi P: X Y, dengan g(k, 0) = 0 untuk setiap k. P terbatas lokal jika dan hanya jika g(k, ) terbatas pada setiap interval terbatas (untuk setiap k). : ( ) Karena P terbatas lokal pada 0, berarti ada > 0 dan β > 0 sehingga jika x maka P(x) β. Karena g(k, 0) = 0 untuk setiap k, diperoleh jika x maka berlaku P(x) = k=1 g(k, x k ) e k β ini berarti pula untuk x k. Diperoleh g(k, x k ) e k = g(k, x k ) e k k=1 g(k, x k ) e k β untuk setiap k. Sehingga berlaku g(k, x k ) β = e k β 1, e k > 0. Akibatnya ada > 0 dan β 1 = β e k > 0, sehingga jika x k maka g(k, x k ) β 1 yang berarti g(k, ) terbatas pada setiap interval terbatas di R(untuk setiap k). ( ) Jika g(k, ) terbatas pada setiap interval terbatas di R, maka berdasarkan Teorema 8 operator P terbatas lokal untuk setiap k. Teorema 10 (T. Pluciennik) Diberikan ruang barisan bernorma X dan Y. Ruang barisan X mempunyai sifat X X untuk setiap dan SGHP. Y memenuhi sup Y = Y dan operator superposisi P: X Y dengan g(k, 0) = 0 untuk setiap k. Fungsi g(k, ) terbatas pada setiap interval terbatas (untuk setiap k) jika dan hanya jika P terbatas. ( ) Andaikan P tidak terbatas maka ada > 0 sehingga untuk setiap β > 0 ada x X dengan x tetapi P(x) > β, maka ada barisan {x (n) } X sehingga x (n), tetapi P(x (n) ) > a n + n untuk setiap n dimana a = [sup { g(k, t) : t k=1 }] e k ek. Ambil n 1 = 1 maka berlaku P(x (n1) ) > a n1 + n 1, karena sup y = y maka dapat diambil n > n 1 sehingga berlaku P(x (n 1 ) ) n > a n1 + n 1 selanjutnya ambil n 3 > n maka berlaku P(x (n ) ) n3 > a n + n dan seterusnya, sehingga secara umum berlaku P(x (n i ) ) n i+1 > a ni + n i, i = 1,, 3, (#) Secara sama dengan pembuktian Teorema 7 maka diperoleh P(x (n i ) ) ni a ni,, i = 1,, 3, (##). Dari ketaksamaan (#) dan (##) diperoleh P(x (n i ) ) n i+1,n i+1 = P(x (n i ) ) n i+1 P(x (n i ) ) ni P(x (n i ) ) n i+1 P(x (n i ) ) ni > a ni + n i a ni = n i untuk setiap i. Didefinisikan barisan blok di X sebagai berikut : Z i (n = {0,, 0, x i ) (n ni +1,, i ) xni+1, 0, }, untuk i = 1,, 3,... dengan sup i z i < + dan z i x n i. karena X mempunyai SGHP, maka ada subbarisan {i(k)} sehingga z = k=1 z i(k) Hal tersebut kontradiksi dengan P(z) Y. Jadi haruslah P terbatas. X dan P(z) 1 P(zi(k) ) 1 n i(k) untuk setiap k. ( ) Karena P terbatas dan berdasarkan Teorema 9, maka g(k, ) terbatas pada setiap interval terbatas (untuk setiap k). 7

8 Keabsahan masih berlaku jika menggantikan x x dengan x λ x untuk setiap dan suatu λ > 0, serta sup Y = Y. Sebagai contoh jika x = {x k } b ν dengan x = x 1 + k=1 x k+1 x k < + maka diperoleh sup x x 1 x. Kesimpulan Pada suatu ruang barisan bernorma X dan Y didefinisikan suatu operator superposisi P g : X Y oleh P(x) = P g (x) = {g(k, x k )} k 1 R untuk setiap x = {x k } X. Operator superposisi tersebut memiliki beberapa definisi keterbatasan, diantaranya operator superposisi terbatas, terbatas local pada 0, terbatas local pada x 0 X, dan terbatas local. Berdasarkan beberapa lemma dan teorema yang sudah dibuktikan, keterbatasan pada operator superposisi tersebut memiliki suatu hubungan, diantaranya: (1) jika operator superposisi terbatas maka P terbatas local, () fungsi g terbatas, jika dan hanya jika g terbatas local, (3) jika P terbatas local, maka g terbatas pada setiap interval terbatas, (4) jika X mempunyai GHP dan x x untuk setiap. Y memenuhi Sup y = y, g terbatas pada setiap interval terbatas, maka P terbatas local pada 0 dan terbatas local, (5) ruang barisan X mempunyai GHP dan x x untuk setiap. Y memenuhi Sup y = y dan operator superposisi P: X Y dengan g(k, 0) = 0 untuk setiap k. P terbatas local jika dan hanya jika g(k, ) terbatas pada setiap interval terbatas (untuk setiap k), dan (6) ruang barisan X mempunyai GHP dan x x untuk setiap, dan SGHP. Y memenuhi Sup y = y dan operator superposisi P: X Y dengan g(k, 0) = 0 untuk setiap k. fungsi (k, ) terbatas pada setiap interval terbatas untuk setiap k, jika dan hanya jika P terbatas. Referensi A.C. Zaanen.(1997). Introductory to operator theory in Riesz Spaces. ew York: Springer Verlag. C.L. Devito.(1990). Functional Analysis and Linear Operation Theory. ew York: Addison Wesley Publishing Company. E.Kreyzig.(1978). Introduction Functional Analysis Aplications. ew York: John Wiley & Son. E. Sumiati. (000). Ruang Barisan Fungsional dan Operator. Yogyakarta: Tesis, UGM. H.L.Royden.(1989) Real Analysis (Third Edition) ew York: Macmillan Publishing Company. I.J. Maddox.(1970) Element of Functional Analysis. London: Cambridge University Press. J.B. Conway.(1990) A Course in Functional Analysis. ew York : Spinger Verlag. L.P.Yee.(1993). Sequence Spaces and Gliding Hump Property. USA: in Manuscript US and ew Mexico State Universsity USA. S.D. Unoningsih, R. Pluciennik, and L.P. Yee. (1995). Boundedness of Superposition Operator on Sequence Space. Journal of Prace Mathematics. XXXV (1),