OBSERVER UNTUK SISTEM KONTROL LINIER KONTINU

Transkripsi

1 Jurnal Matematika UNAND Vol 5 No 1 Hal ISSN : c Jurusan Matematika FMIPA UNAND OBSERVER UNTUK SISTEM KONTROL LINIER KONTINU SUKMA HAYATI, ZULAKMAL Program Studi Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Andalas, Kampus UNAND Limau Manis Padang, Indonesia, nyuma kamiya@yahoocom Abstrak Dalam makalah ini dikaji syarat agar diperoleh persamaan observer untuk suatu sistem kontrol linier kontinu Estimasi yang baik memenuhi ē(t) bila t, atau stabil asimtotik Kestabilan asimtotik sistem ē diperoleh apabila bagian riil dari semua nilai eigen matriks (A LC) bernilai negatif Bentuk eksplisit matriks L dapat diperoleh apabila memenuhi syarat tertentu yang dipaparkan pada paper ini Kata Kunci: Observer, estimasi error, stabil asimtotik 1 Pendahuluan Diberikan suatu kontrol linier sebagai berikut : ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t), (11) y(t) = Cx(t) dimana A R n n, B R n 1, dan C R 1 n Pada sistem (11), x(t) R n menyatakan vektor keadaan (state), u(t) R menyatakan input (control), dan y R menyatakan output Suatu observer untuk sistem (11) didefinisikan sebagai persamaan berikut: x(t) = A x(t) + Bu(t) + L(y(t) ŷ(t)), (12) untuk suatu matriks L R n dimana x(t) R n, ŷ(t) = C x(t) Vektor x(t) memiliki peran sebagai estimator untuk x(t), dengan estimasi error ē(t) = x(t) x(t) Estimasi yang baik mestilah memenuhi ē(t) bila t, atau x(t) x(t) bila t Dalam makalah ini dikaji syarat yang menjamin agar persamaan (12) merupakan suatu observer yang baik untuk sistem (11) 2 Observer untuk Sistem Kontrol Linier Kontinu Persamaan (12) merupakan observer yang baik untuk sistem kontrol linier (11) apabila ē = x x (21) 96

2 Observer untuk Sistem Kontrol Linier Kontinu 97 untuk t Dari (21) diperoleh ē = ẋ x = (A LC)ē (22) Jelas bahwa (22) merupakan suatu sistem persamaan diferensial linier orde 1 yang kestabilan asimtotiknya ditentukan oleh matriks A LC Bila sistem ē(t) = (A LC)ē(t) stabil asimtotik, yaitu bagian riil dari semua nilai eigen (A LC) adalah negatif, maka ē(t) untuk t, sehingga x(t) merupakan observer yang baik untuk ẋ(t) Dengan demikian diperlukan informasi tentang bentuk eksplisit dari matriks L sedemikian sehingga bagian riil dari semua nilai eigen matriks (A LC) adalah negatif Bentuk eksplisit L dapat dicari dengan menggunakan bentuk dual dari (11) yaitu Jika u = ē, maka (23) dapat ditulis menjadi yang solusinya adalah ē = A T ē + C T u (23) ē = (A T C T )ē (24) ē(t) = e (AT C T )tē() (25) Dari (25) terlihat bahwa ē(t) jika bagian riil dari semua nilai eigen matriks (A T C T ) adalah negatif Teorema berikut menginformasikan syarat yang menjamin eksistensi matriks L sedemikian sehingga nilai eigen (A T C T ) dapat dibuatkan sesuai keinginan Teorema 21 [2] Jika (A T, C T ) adalah terkontrol lengkap maka terdapat matriks L R n 1 sedemikian sehingga nilai eigen dari matriks (A T C T ) dapat ditempatkan secara sebarang Bukti Sistem (A T, C T ) diubah menjadi bentuk kanonik terkontrol menggunakan transformasi Q, yaitu Q = M C W dimana M C adalah matriks keterkontrolan M C = [ C T A T C T (A T ) n 1 C T, ] a n 1 a n 2 a 1 1 a n 2 a n 3 1 W =, a dan a i, i = 1, 2,, n adalah koefisien dari polinomial karakteristik si A T = s n + a 1 s (n 1) + + a n 1 s + a n

3 98 Sukma Hayati, Zulakmal Definisikan variabel keadaan baru ê dengan ē = Qê Jika rank(m C ) adalah n (berarti sistem terkontrol lengkap), maka matriks Q memiliki invers Sehingga persamaan sistem ē = A T ē + C T u menjadi dimana dan ê = Q 1 A T Qê + Q 1 C T u (26) 1 1 Q 1 A T Q = 1 a n a n 1 a n 2 a 1 (27) Q 1 C T = (28) 1 Persamaan (27) dan (28) merupakan bentuk kanonik terkontrol Kemudian akan dibuktikan jika sistem terkontrol lengkap, maka dimungkinkan untuk memilih nilai eigen yang diinginkan, misalkan s = s 1, s = s 2,, s = s n Persamaan karakteristiknya berubah menjadi Tulis (s s 1 )(s s 2 ) (s s n ) = s n + α 1 s (n 1) + + α (n 1) s + α n = (29) Q = [ δ n δ n 1 δ 1 ] (21) Bila u = Qê digunakan untuk mengontrol sistem (26), maka diperoleh persamaan Persamaan karakteristik dari (211) adalah ê = Q 1 A T Qê Q 1 C T Qê (211) si Q 1 A T Q + Q 1 C T Q = (212) Persamaan karakteristik ini sama dengan persamaan karakteristik untuk sistem ē = A T ē + C T u dengan u = ē yang digunakan sebagai kontrol, yaitu ē = A T ē + C T u Persamaan karakteristik untuk sistem (213) adalah = (A T C T )ē (213) si A T + C T = Q 1 (si A T + C T )Q = si Q 1 A T Q + Q 1 C T Q =

4 Observer untuk Sistem Kontrol Linier Kontinu 99 Substitusikan persamaan (27), (28), dan (21) ke dalam persamaan karakteristik (212) diperoleh si Q 1 A T Q + Q 1 C T Q 1 1 = si [ ] + δn δ n 1 δ 1 1 a n a n 1 a n 2 a 1 1 s 1 s = a n + δ n a n 1 + δ n 1 s + a 1 + δ 1 = s n + (a 1 + δ 1 )s (n 1) + + (a n 1 + δ n 1 )s + (a n + δ n ) = Persamaan karakteristik ini sama dengan persamaan karakteristik (29) Sehingga dengan menyamakan koefisiennya diperoleh a 1 + δ 1 = α 1 a 2 + δ 2 = α 2 a n + δ n = α n = [ α n a n α n 1 a n 1 δ 1 a 1 ] Q 1 Berikut ini akan dikemukakan langkah-langkah untuk mendapatkan matriks L Misalkan nilai eigen yang diinginkan adalah s = s 1, s = s 2,, s = s n Persamaan karakteristik dari A = A T C T adalah si A T L = (s s 1 )(s s 2 ) (s s n ) = s n + α 1 s n α n 1 s + α n = untuk suatu skalar α i, i = 1, 2,, n Berdasarkan teorema Cayley-Hamilton untuk A, maka berlaku φ(a ) = A n + α 1 A n α n 1 A + α n I = (214)

5 1 Sukma Hayati, Zulakmal Perhatikan identitas berikut : A = (A T ) C T A 2 = A A = (A T ) 2 A T (C T ) (C T ) A A n = A n 1 A = (A T ) n (A T ) n 1 (C T ) (A T ) n 2 (C T ) A (A T ) n 3 (C T ) (A ) 2 (A T )(C T ) A n 2 (C T ) A n 1 Substitusikan identitas tersebut ke persamaan (214), sehingga diperoleh persamaan berikut : φ(a T ) = (C T )(α n 1 + α n 2 A + + α 1 A n 2 A n 1 ) +(A T )(C T )(α n A n 2 ) + +(A T ) n 3 (C T )(α 1 A + + A 2 ) (A T ) n 2 (C T )(α A ) + (A T ) n 1 (C T ) [ ] = (C T ) (A T )(C T ) (A T ) n 1 (C T ) α n 1 + α n 2 A + + α 1 A n 2 A n 1 α n A n 2 [ (C T ) (A T )(C T ) (A T ) n 1 (C T ) ] 1φ(A T ) = α n 1 + α n 2 A + + α 1 A n 2 A n 1 α n A n 2 Kemudian kalikan kedua sisi dengan [ 1 ], diperoleh persamaan berikut : [ ] [ ] 1φ(A 1 (C T ) (A T )(C T ) (A T ) n 1 (C T ) T ) α n 1 + α n 2 A + + α 1 A n 2 A n 1 = [ 1 ] α n A n 2 = atau dapat ditulis sebagai = [ 1 ] M 1 C P ch,a (AT ), (215)

6 Observer untuk Sistem Kontrol Linier Kontinu 11 dimana M C adalah matriks keterkontrolan dan P ch,a (AT ) = φ(a T ) adalah polinomial karakteristik untuk matriks A Dengan demikian diperoleh L = ( ) T = Pch,A T (AT L )(M 1 T C )T (216) 1 Persamaan (216) menunjukkan bahwa terdapat matriks L R n 1, sehingga nilai eigen matriks A T C T dapat ditempatkan secara sebarang Dengan perkataan lain (12) merupakan observer yang baik untuk sistem (11) 3 Kesimpulan Diberikan suatu kontrol linier sebagai berikut : ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t), y(t) = Cx(t) (31) dimana A R n n, B R n 1, dan C R 1 n Pada sistem (31), x(t) R n menyatakan vektor keadaan (state), u(t) R menyatakan input (control), dan y R menyatakan output Suatu observer untuk sistem (31) didefinisikan sebagai persamaan berikut : x(t) = A x(t) + Bu(t) + L(y(t) ŷ(t)), (32) untuk suatu matriks L R n dimana x(t) R n, ŷ(t) = C x(t) Error antara x(t) dengan estimator x(t) dinamakan error estimasi ē(t), yaitu ē(t) = x x, yang dibangun dari persamaan error dinamik ē(t) = ẋ(t) x(t) Apabila ē(t) = (A LC)ē(t) stabil asimtotik, yaitu bagian riil nilai eigen (A LC) <, maka ē(t) untuk t, dan x(t) dikatakan observer yang baik untuk ẋ(t) Bagian riil nilai eigen (A LC) dapat ditempatkan sebarang, yaitu apabila terdapat matriks L R n 1 sebagai berikut L = ( ) T = P T ch,a (AT )(M 1 C )T (33) 1 Daftar Pustaka [1] Anton, H dan Rorres, C 24 Aljabar Linier Elementer Edisi Kedelapan Jilid 1 Penerbit Erlangga, Jakarta [2] Antsaklis, P J dan Michel, A N 27 A Linear Systems Primer Birkhauser, Boston [3] Hendricks E, Ole J dan P H Soronsen 28 Linear System Control Springer, Berlin

7 12 Sukma Hayati, Zulakmal [4] Ogata, K 22 Modern Control Engineering, Fourth Edition Prentice-Hall, New Jersey [5] Bastian G dan N Dautrebande 1999 Positive linier Observers for Positive Linear Systems Proceedings European Control Conference ECC 99, Paper F371 [6] Luenberger, BG 1979 Introduction to Dynamics System John Wiley and Sons, California [7] Golan, JS 27 The Linear Algebra A Beginning Graduate Student Ought to Know Second Edition Springer, Dordrecht