ISOMORFISME SUBGRUP SIMETRI DARI BIDANG BERATURAN CABANG-n DENGAN GRUP DIHEDRAL SKRIPSI. Oleh: ZUHAIRINI TRIWULANDARI NIM.

Transkripsi

1 ISOMORFISME SUBGRUP SIMETRI DARI BIDANG BERATURAN CABANG- DENGAN GRUP DIHEDRAL SKRIPSI Oleh: ZUHAIRINI TRIWULANDARI NIM JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM MALANG 2011

2 ISOMORFISME SUBGRUP SIMETRI DARI BIDANG BERATURAN CABANG- DENGAN GRUP DIHEDRAL SKRIPSI Diajuka Kepada: Fakultas Sais da Tekologi Uiversitas Islam Negeri Maulaa Malik Ibrahim Malag Utuk Memeuhi Salah Satu Persyarata dalam Memperoleh Gelar Sarjaa Sais (S.Si) Oleh: ZUHAIRINI TRIWULANDARI NIM JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM MALANG 2011

3 ISOMORFISME SUBGRUP SIMETRI DARI BIDANG BERATURAN CABANG- DENGAN GRUP DIHEDRAL SKRIPSI Oleh: ZUHAIRINI TRIWULANDARI NIM Telah Diperiksa da Disetujui utuk Diuji Taggal: 15 Juli 2011 Pembimbig I Pembimbig II Wahyu Heky Irawa, M. Pd NIP Dr. H. Ahmad Barizi, M.A NIP Megetahui, Ketua Jurusa Matematika Abdussakir, M.Pd NIP

4 ISOMORFISME SUBGRUP SIMETRI DARI BIDANG BERATURAN CABANG- DENGAN GRUP DIHEDRAL SKRIPSI Oleh: ZUHAIRINI TRIWULANDARI NIM Telah Dipertahaka di Depa Dewa Peguji Skripsi da Diyataka Diterima sebagai Salah Satu Persyarata utuk Memperoleh Gelar Sarjaa Sais (S.Si) Taggal: 22 Juli 2011 Susua Dewa Peguji Tada Taga 1. Peguji Utama : Usma Pagalay, M.Si NIP Ketua Peguji : Evawati Alisah, M.Pd NIP Sekretaris Peguji : Wahyu Heky Irawa, M.Pd NIP Aggota : Dr. H. Ahmad Barizi, MA NIP Megetahui da Megesahka, Ketua Jurusa Matematika, Abdussakir, M.Pd NIP

5 PERNYATAAN KEASLIAN TULISAN Saya yag bertada taga di bawah ii: Nama : Zuhairii Triwuladari NIM : Jurusa Fakultas : Matematika : Sais da Tekologi meyataka dega sebearya bahwa skripsi yag saya tulis ii bear-bear merupaka hasil karya saya sediri, buka merupaka pegambil-aliha data, tulisa, atau pikira orag lai yag saya akui sebagai hasil tulisa atau pikira saya sediri, kecuali dega mecatumka sumber cuplika pada daftar pustaka. Apabila dikemudia hari terbukti atau dapat dibuktika skripsi ii hasil jiplaka, maka saya bersedia meerima saksi atas perbuata tersebut. Malag, 15 Juli 2011 Yag membuat peryataa, Zuhairii Triwuladari NIM

6 MOTTO Sesugguhya sesudah kesulita itu ada kemudaha. (Q.S. Al Isyirah : 6)

7 PERSEMBAHAN Dega segeap rasa syukur alhamdulillah, karya tulis ii peulis persembahka kepada: Ayahada Hardjito Ibuda Wartilah Kholikul Ihsa Ria Rahmawati Wahyu Wijayato

8 KATA PENGANTAR Alhamdulillah, puji syukur ke hadirat Allah SWT yag telah memberika rahmat, taufik, da hidayah-nya sehigga peulis dapat meyelesaika skripsi ii dega baik. Shalawat serta salam seatiasa terlatuka kepada Nabi Muhammad SAW yag telah meujukka jala yag lurus da jala yag diridhoi-nya yaki agama Islam. Skripsi ii dapat terselesaika dega baik berkat batua, bimbiga, da motivasi dari berbagai pihak. Peulis megucapka terima kasih da haya dapat memberika ucapa da doa, semoga Allah SWT membalas semua kebaika da meyiari jala yag diridhoi-nya, khususya kepada: 1. Prof. Dr. H. Imam Suprayogo selaku Rektor Uiversitas Islam Negeri (UIN) Maulaa Malik Ibrahim Malag. 2. Prof. Drs. Sutima B. Sumitro, SU, DSc selaku Deka Fakultas Sais da Tekologi Uiversitas Islam Negeri (UIN) Maulaa Malik Ibrahim Malag. 3. Abdussakir, M.Pd selaku Ketua Jurusa Matematika Fakultas Saitek Uiversitas Islam Negeri (UIN) Maulaa Malik Ibrahim Malag. 4. Wahyu Heky Irawa, M.Pd sebagai dose wali da dose pembimbig matematika yag telah bayak memberika tutua da araha sehigga peulisa skripsi ii dapat terselesaika. 5. Dr.H.Ahmad Barizi, M.A selaku Dose Pembimbig Itegrasi Matematika da Islam yag telah bayak memberi araha kepada peulis.

9 6. Segeap dose Jurusa Matematika Fakultas Sais da Tekologi yag telah bayak membatu dalam peyelesaia skripsi ii. 7. Kedua orag tua peulis Ayahada Hardjito da Buda Wartilah yag dega restuya, doaya, harapa-harapa serta pegorbaaya mejadika peulis utuk tidak meyerah dalam keadaa bagaimaapu, termasuk dalam peyelesaia skripsi ii. 8. Saudara-saudara peulis Kholikul Ihsa, da Ria Rahmawati yag dega doa serta dukugaya mejadika peulis semaki bersemagat dalam peulisa skripsi ii. 9. Tema-tema Jurusa Matematika yag telah bayak membatu dalam peyelesaia peulisa skripsi ii. 10. Semua pihak yag terlibat baik secara lagsug maupu tidak lagsug pada proses terselesaikaya peulisa skripsi ii. Semoga Allah SWT membalas kebaika semuaya. Ami. Malag, 15 Juli 2011 Peulis

10 DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL... i HALAMAN PENGAJUAN... ii HALAMAN PERSETUJUAN... iii HALAMAN PENGESAHAN... iv PERNYATAAN KEASLIAN TULISAN... v MOTTO... vi PERSEMBAHAN... vii KATA PENGANTAR... viii DAFTAR ISI... x DAFTAR GAMBAR... xiii DAFTAR TABEL... xv ABSTRAK... xvi ABSTRACT... xvii BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakag Rumusa Masalah Tujua Peelitia Mafaat Peelitia Batasa Masalah Metode Peelitia Sistematika Peulisa... 8 BAB II KAJIAN PUSTAKA 2.1 Kajia Isomorfisme Subgrup Simetri dari Bidag Beratura Cabag- dega Grup Dihedral dalam Perspektif Islam Fugsi (Pemetaa) Defiisi Fugsi Fugsi Ijektif... 17

11 2.2.3 Fugsi Surjektif Fugsi Bijektif Grup Operasi Bier Defiisi Grup Tabel Cayley Subgrup Rotasi da Refleksi pada Bidag Grup Simetri- da Grup Permutasi Homomorfisme Isomorfisme Grup Dihedral BAB III PEMBAHASAN 3.1 Subgrup Simetri dari Segitiga Bercabag -Segitiga Subgrup Simetri dari Segitiga Bercabag 1-Segitiga Subgrup Simetri dari Segitiga Bercabag 2-Segitiga Subgrup Simetri dari Segitiga Bercabag 3-Segitiga Sifat-sifat yag dibagu Subgrup Simetri dari Segitiga Bercabag -Segitiga Isomorfisme Subgrup Simetri dari Segitiga Bercabag -Segitiga dega Grup Dihedral Subgrup Simetri dari Segiempat Bercabag -Segiempat Subgrup Simetri dari Segiempat Bercabag 1-Segiempat Subgrup Simetri dari Segiempat Bercabag 2-Segiempat Subgrup Simetri dari Segiempat Bercabag 3-Segiempat Sifat-sifat yag dibagu Subgrup Simetri dari Segiempat Bercabag -Segiempat... 87

12 3.2.5 Isomorfisme Subgrup Simetri dari Segiempat Bercabag -Segiempat dega Grup Dihedral BAB IV PENUTUP 4.1 Kesimpula Sara DAFTAR PUSTAKA

13 DAFTAR GAMBAR Gambar 2.1 : Kehidupa Lebah Gambar 2.2 : Fugsi f dari himpua A ke B Gambar 2.3 : Fugsi Ijektif dari himpua A ke B Gambar 2.4 : Fugsi Surjektif dari himpua A ke B Gambar 2.5 : Fugsi Bijektif dari himpua A ke B Gambar 2.6 : Rotasi da Refleksi Segitiga Bercabag 1-Segitiga Gambar 2.7 : Rotasi Sejauh Segitiga Bercabag 1-Segitiga Gambar 2.8 : Rotasi Sejauh Segitiga Bercabag 1-Segitiga Gambar 2.9 : Rotasi Sejauh Segitiga Bercabag 1-Segitiga Gambar 2.10 : Refleksi Terhadap Sumbu S 1 Segitiga Bercabag 1-Segitiga 27 Gambar 2.11 : Refleksi Terhadap Sumbu S 2 Segitiga Bercabag 1-Segitiga 28 Gambar 2.12 : Refleksi Terhadap Sumbu S 3 Segitiga Bercabag 1-Segitiga 29 Gambar 2.13 : Rotasi da Refleksi Segiempat Bercabag 1-Segiempat Gambar 2.14 : Rotasi Sejauh 90 0 Segiempat Bercabag 1-Segiempat Gambar 2.15 : Rotasi Sejauh Segiempat Bercabag 1-Segiempat Gambar 2.16 : Rotasi Sejauh Segiempat Bercabag 1-Segiempat Gambar 2.17 : Rotasi Sejauh Segiempat Bercabag 1-Segiempat Gambar 2.18 : Refleksi Terhadap Sumbu S 1 Segiempat Bercabag 1-Segiempat Gambar 2.19 : Refleksi Terhadap Sumbu S 2 Segiempat Bercabag 1-Segiempat Gambar 2.20 : Refleksi Terhadap Sumbu S 3 Segiempat Bercabag 1-Segiempat Gambar 2.21 : Refleksi Terhadap Sumbu S 4 Segiempat Bercabag 1-Segiempat Gambar 2.22 : Simetri pada Dihedral Gambar 3.1 : Segitiga Bercabag 1-Segitiga Gambar 3.2 : Segitiga Bercabag 2-Segitiga Gambar 3.3 : Segitiga Bercabag 3-Segitiga... 51

14 Gambar 3.4 : Segitiga Bercabag -Segitiga Gambar 3.5 : Segiempat Bercabag 1-Segiempat Gambar 3.6 : Segiempat Bercabag 2- Segiempat Gambar 3.7 : Segiempat Bercabag 3- Segiempat Gambar 3.8 : Segiempat Bercabag - Segiempat... 87

15 DAFTAR TABEL Tabel 2.1 : Tabel Cayley Grup A Tabel 2.2 : Tabel Operasi pada Himpua Bilaga Bulat Modulo 3 dega Rotasi pada Grup Simetri Tabel 3.1 : Tabel Cayley Subgrup Simetri dari Segitiga Bercabag -Segitiga Tabel 3.2 : Tabel Cayley Grup Dihedral Tabel 3.3 : Tabel Cayley Subgrup Simetri dari Segiempat Bercabag -Segiempat Tabel 3.4 : Tabel Cayley Grup Dihedral

16 ABSTRAK Triwuladari, Zuhairii Isomorfisme Subgrup Simetri dari Bidag Beratura Cabag- dega Grup Dihedral. Skripsi. Jurusa Matematika. Fakultas Sais da Tekologi Uiversitas Islam Negeri Maulaa Malik Ibrahim Malag. Pembimbig: (I) Wahyu Heky Irawa, M.Pd (II) Dr. H. Ahmad Barizi, M.A Kata kuci: Segitiga bercabag -segitiga, segiempat bercabag -segiempat, Isomorfisme, subgrup simetri, grup dihedral Beberapa pokok bahasa dalam aljabar adalah isomorfisme. Isomorfisme adalah suatu pemetaa dari himpua grup pertama ke himpua grup kedua yag memeuhi homomorfisme da bersifat bijektif. Himpua bagia dari grup disebut subgrup. Subgrup dalam pembahasa ii adalah subgrup simetri dari bidag beratura cabag- yaitu segitiga bercabag - segitiga da segiempat bercabag -segiempat dega operasi komposisi. Bidag beratura tersebut buka bidag beratura pada umumya, melaika bidag beratura cabag- yaitu perkembaga dari bidag beratura pada umumya. Bidag beratura cabag- ii mempuyai karakteristik tertetu seperti mempuyai pola bayakya titik sudut terluar, bayakya seluruh titik sudut, bayakya bidag beratura, bayakya sikel dari rotasi da refleksi pada bidag beratura cabag-. Subgrup simetri dari bidag beratura cabag- ii dimugkika aka isomorfik dega grup dihedral. Peetua pola pola tersebut dilakuka dega meetuka gambar bidag beratura cabag-, pelabela, sikel dari rotasi da refleksiya, megaalisa gambar, membuat pola-pola umumya, membuktika pola-pola tersebut, meetuka isomorfisme subgrup simetri dari bidag beratura cabag-. Peelitia tersebut meghasilka pola-pola bayakya titik sudut terluar, bayakya seluruh titik sudut, bayakya bidag beratura, bayakya sikel dari rotasi da refleksi, serta isomorfisme subgrup simetri dari bidag beratura cabag- dega grup dihedral.

17 ABSTRACT Triwuladari, Zuhairii Isomorphism Subgroup of Symmetry from - Brach Regular Sector with Dihedral Group. Thesis. Mathematics Departmet. Sciece ad Techology Faculty, Islamic State Uiversity of Maulaa Malik Ibrahim Malag. Advisors: (I) Wahyu Heky Irawa, M.Pd (II) Dr. H. Ahmad Barizi, M.A Key Words : -Triagle triagle braches, -four agle four agle braches, Isomorphism, symmetry subgroup, dihedral group. Several of topics i algebra is isomorphism. Isomorphism is cartography from first compilatio group to secod compilatio group filled homomorphism ad has bijectif characteristic. Sub set from grup is subgrup. The subgroup i this discussio is symmetry subgroup from brach- regular sector, they are -triagle triagle braches ad -four agle four agle brach with compositio operatio. Regular sectio above is ot regular sectio i commo, but -sectio regular sectio, that is the developmet from regular sectio i commo. This braches- regular sectio has specific characteristic. It has amout of outer part of corer poit, amout of corer poit, amout of regular sectio, amout of sikel from rotatio ad reflectio i brach- regular sectio. This symmetry subgroup from brach- regular sectio is estimated will be isomorphic with dihedral group. The determiatio of those patters is doe with determiate sectio picture of -regular picture sectio, labelig, sikel from rotatio ad its reflectio, caalize the picture, make commoly patters, proof those patters, determiate isomorphism of symmetry subgroup from brach- regular sectio. The research above produce accout of patters of outer part of corer poit, accout of all corer poit, accout of regular sectio, accout of sikel from rotatio ad reflectio, ad also isomorphism symmetry subgroup from brach- regular sectio ad dihedral group.

18 BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakag Al-Qur a adalah kitab suci yag dituruka sebagai petujuk da pedoma bagi kehidupa mausia. Al-Qur a telah memberika kepada mausia kuci ilmu pegetahua tetag duia da akhirat serta meyediaka peralata utuk mecari da meeliti segala sesuatu agar dapat megugkapka da megetahui keajaiba dari kedua duia itu (Rahma, 1992:12). Hal itu karea luasya ilmu Allah sagat tidak terbatas da meliputi semua perkara. Dalam Al- Qur a hal tersebut telah dijelaska pada surat Al-Kahfi ayat 109 yag berbuyi: Artiya: Katakalah: Sekiraya lauta mejadi tita utuk (meulis) kalimatkalimat Tuhaku, sugguh habislah lauta itu sebelum habis (ditulis) kalimat-kalimat Tuhaku, meskipu Kami datagka tambaha sebayak itu (pula) (Q.S. Al-Kahfi/18: 109). Ayat tersebut mejelaska bahwa kita sebagai umat muslim diwajibka utuk mempelajari ilmu pegetahua, karea dega mempelajari ilmu pegetahua diharapka bisa meambah keyakia terhadap kekuasaa-nya serta mempertebal keimaa kita terhadap Allah. Matematika termasuk salah satu ilmu pegetahua yag bayak dikaji da diterapka pada berbagai bidag. Matematika dapat dikataka Quee of Sciece karea matematika meempati posisi yag cukup petig dalam kajia-kajia 1

19 2 ilmu yag lai. Matematika sebearya telah diciptaka sejak zama dahulu, mausia haya meyimbolka feomea-feomea yag ada dalam kehidupa sehari-hari. Mausia diaugerahi Allah petujuk dega kedataga sekia rasul utuk membimbig mereka. Allah juga megaugerahka akal agar mereka berpikir tetag kebesara Tuha. Semua augerah itu termasuk dalam sistem yag sagat tepat, teliti, da rapi yag telah ditetapka Allah SWT. Dalam Al- Qura surat Al-Furqaa ayat 2: Artiya: Yag kepuyaa-nya-lah kerajaa lagit da bumi, da dia tidak mempuyai aak, da tidak ada sekutu bagiya dalam kekuasaa(nya), da dia telah meciptaka segala sesuatu, da dia meetapka ukuraukuraya dega serapi-rapiya (Q.S. Al-Furqaa/25: 2). Dalam kehidupa sehari-hari, mausia tidak lepas dari berbagai masalah yag meyagkut berbagai aspek peyelesaiaya perlu pemahama melalui suatu metode da ilmu batu tertetu. Matematika merupaka salah satu cabag ilmu yag medasari berbagai macam ilmu lai. Matematika juga merupaka alat utuk meyederhaaka peyajia da pemahama masalah (Purwato, 1998:1). Seirig dega perkembaga zama, keilmua matematika juga berkembag dalam kosep da peerapaya, baik peerapa dalam kehidupa sehari-hari maupu dalam hubugaya dega disipli ilmu laiya. Matematika mempuyai beberapa cabag keilmua yag masig-masig mempuyai peerapa dalam hubugaya dega berbagai disipli ilmu lai da dalam

20 3 kehidupa sehari-hari. Salah satu dari cabag-cabag ilmu tersebut adalah Aljabar abstrak. Aljabar abstrak merupaka bagia dari ilmu matematika yag berkembag dega pesat karea berhubuga dega himpua, da sifat struktur-struktur di dalamya. Salah satu yag dipelajari dalam ilmu aljabar abstrak adalah teori tetag grup. Grup adalah sebuah pasaga beruruta (G, ) dimaa G adalah sebuah himpua da " " adalah sebuah operasi bier pada G yag memeuhi aksiomaaksioma tertetu yaitu tertutup, bersifat assosiatif, memuat idetitas, da memuat ivers dari setiap elemeya. Dalam aljabar abstrak juga dipelajari tetag isomorfisme, grup simetri da grup dihedral. Isomorfisme adalah suatu pemetaa dari himpua grup pertama ke himpua grup kedua yag memeuhi homomorfisme da bersifat bijektif. Grup simetri merupaka grup yag himpuaya terdiri dari simetri-simetri segi- beratura dega operasi komposisi yag memeuhi grup. Sedagka grup dihedral adalah himpua simetri-simetri dari segi- beratura dega operasi komposisi yag memeuhi aksioma-aksioma grup. Pada grup terdapat beberapa sub himpua yag merupaka grup yag disebut subgrup. Subgrup dalam peelitia ii adalah subgrup simetri dari bidag beratura cabag-. Bidag beratura tersebut buka bidag beratura pada umumya, melaika perkembaga dari bidag beratura pada umumya. Dari bidag beratura cabag- tersebut apakah aka terbetuk suatu pola? Bagaimaa pola yag terbetuk? Da apakah subgrup simetri dari bidag beratura cabag- tersebut dimugkika aka isomorfik dega grup dihedral?

21 4 Berdasarka latar belakag tersebut maka peulis tertarik utuk megkaji tetag isomorfisme subgrup simetri dari bidag beratura cabag- dega grup dihedral dega harapa dapat lebih memperdalam materi yag berhubuga dega peelitia tersebut. Hasil dari peelitia ii dapat dijadika teorema sebagai tambaha pustaka perkuliaha, khususya bidag aljabar abstrak. 1.2 Rumusa Masalah Berdasarka latar belakag yag telah diuraika di atas, rumusa masalah dalam peelitia ii adalah: 1. Bagaimaa pola bayakya titik sudut terluar pada bidag beratura cabag-? 2. Bagaimaa pola bayakya titik sudut pada bidag beratura cabag-? 3. Bagaimaa pola bayakya bidag beratura cabag- pada bidag beratura cabag-? 4. Bagaimaa pola bayakya sikel rotasi da refleksi subgrup simetri dari bidag beratura cabag-? 5. Bagaimaa isomorfisme subgrup simetri dari bidag beratura cabag- dega grup dihedral. 1.3 Tujua Peelitia Berdasarka rumusa masalah di atas, tujua dari peelitia ii adalah: 1. Megetahui da mediskripsika pola bayakya titik sudut terluar pada bidag beratura cabag-.

22 5 2. Megetahui da mediskripsika pola bayakya titik sudut pada bidag beratura cabag-. 3. Megetahui da mediskripsika bayakya bidag beratura cabag- pada bidag beratura cabag-. 4. Megetahui da mediskripsika pola bayakya sikel rotasi da refleksi subgrup simetri dari bidag beratura cabag-. 5. Megetahui da mediskripsika isomorfisme subgrup simetri dari bidag beratura cabag- dega grup dihedral. 1.4 Mafaat Peelitia Hasil peelitia ii diharapka dapat memberika mafaat bagi: 1. Peeliti Peeliti memperoleh tambaha pegetahua tetag Aljabar abstrak, khususya tetag isomorfisme, subgrup simetri, da grup dihedral. Selai itu, peeliti juga memperoleh tambaha wawasa peelitia tetag isomorfisme subgrup simetri dari bidag beratura cabag- dega grup dihedral. 2. Lembaga Bagi lembaga, sebagai tambaha pustaka utuk baha perkuliaha tetag isomorfisme, subgrup simetri, da tetag grup dihedral. Selai itu, juga sebagai tambaha pustaka utuk rujuka peelitia tetag isomorfisme subgrup simetri dari bidag beratura cabag- dega grup dihedral.

23 6 3. Pembaca Pembaca memperoleh pegetahua tambaha megeai salah satu materi disipli ilmu matematika, yaitu bidag aljabar abstrak, khususya tetag isomorfisme subgrup simetri dari bidag beratura cabag- dega grup dihedral. 1.5 Batasa Masalah Batasa masalah dalam peelitia ii diataraya obyek peelitia yag diguaka dalam peelitia ii adalah: a. Obyek peelitia yag diguaka dalam peelitia ii adalah bidag beratura cabag- utuk segitiga beratura da segiempat beratura, grup dihedral yag diguaka adalah dihedral-6 (D 6 ) da dihedral-8 (D 8 ) da simetri yag diguaka adalah simetri putar (rotasi) da simetri lipat (refleksi) yag dituliska dalam betuk permutasi. b. Peelitia ii haya difokuska pada peetua pola bayakya titik sudut terluar, titik sudut, segitiga, segimpat, sikel rotasi, sikel refleksi, dari segitiga bercabag -segitiga da segiempat bercabag -segiempat serta pembuktia pola tersebut. c. Peelitia ii juga difokuska pada isomorfisme subgrup simetri dari bidag beratura cabag- dega grup dihedral. 1.6 Metode Peelitia Dalam peelitia ii metode yag diguaka adalah metode peelitia kepustakaa (library research) atau kajia pustaka, yaki melakuka

24 7 peelitia utuk memperoleh data-data da iformasi-iformasi serta objek yag diguaka dalam pembahasa masalah tersebut. Studi kepustakaa merupaka peampila argumetasi pealara keilmua utuk memaparka hasil olah pikir megeai suatu permasalaha atau topik kajia kepustakaa yag dibahas dalam peelitia ii. Adapu lagkah-lagkah yag aka diguaka oleh peulis dalam membahas peelitia ii adalah sebagai berikut: 1. Merumuska masalah 2. Megumpulka literatur atau iformasi yag berkaita dega isomorfisme, grup simetri, bidag beratura, grup dihedral. 3. Megidetifikasi defiisi, teorema, da cotoh-cotoh yag terkait lagsug maupu yag medukug pegambila kesimpula pada peelitia ii dari berbagai literatur. 4. Megaalisa data yag meliputi lagkah-lagkah berikut: a. Meggambar bidag segitiga yag dikembagka mejadi bercabag segitiga sampai -cabag da segiempat yag dikembagka mejadi bercabag segiempat sampai -cabag. b. Memberika label pada segitiga bercabag -segitiga da segiempat bercabag -segiempat. c. Mecari rotasi da refleksi dari segitiga bercabag -segitiga da segiempat bercabag -segiempat. d. Meyataka permutasi dari rotasi da refleksi segitiga bercabag - segitiga da segiempat bercabag -segiempat dalam betuk permutasi.

25 8 e. Mecari pola umum dari bayakya titik sudut terluar, titik sudut, segitiga, segiempat, sikel rotasi da sikel refleksi dari betuk segitiga bercabag -segitiga da segiempat bercabag -segiempat. f. Mecari subgrup dari himpua simetri tersebut. g. Meetuka isomorfisme subgrup simetri dari segitiga bercabag - segitiga da segiempat bercabag -segiempat dega grup dihedral-6 da dihedral-8. h. Membuat kesimpula da melaporka. 1.7 Sistematika Peulisa Agar peulisa peelitia ii sistematis da mempermudah pembaca memahami tulisa ii, peulis membagi tulisa ii ke dalam empat bab sebagai berikut: 1. BAB I PENDAHULUAN Bab ii membahas tetag latar belakag, rumusa masalah, batasa masalah, tujua peelitia, mafaat peelitia, metode peelitia, da sistematika peulisa. 2. BAB II KAJIAN PUSTAKA Bab ii membahas tetag teori-teori yag berhubuga dega peelitia yaitu tetag segitiga bercabag -segitiga, segiempat bercabag -segiempat, rotasi, refleksi, subgrup simetri, isomorfisme da grup dihedral.

26 9 3. BAB III PEMBAHASAN Bab ii membahas tetag aalisis peetua pola diperoleh berupa bayakya titik sudut terluar, titik sudut, segitiga, segiempat, sikel rotasi, sikel refleksi, pola-pola umum beserta buktiya da isomorfisme subgrup simetri dari bidag beratura cabag- dega grup dihedral. 4. BAB IV PENUTUP Bab ii berisi kesimpula dari materi yag dibahas da sara peeliti utuk pembaca da peeliti selajutya.

27 BAB II KAJIAN PUSTAKA 2.1 Kajia Isomorfisme Subgrup Simetri dari Bidag Beratura Cabag- dega Grup Dihedral dalam Perspektif Islam Secara umum beberapa kosep dari disipli ilmu telah dijelaska dalam Al-Qur a, salah satuya adalah matematika. Kosep dari disipli ilmu matematika yag ada dalam Al-Qur a diataraya adalah masalah statistik, logika, pemodela, da aljabar. Teori tetag grup, dimaa defiisi dari grup sediri adalah suatu struktur aljabar yag diyataka sebagai (G, ) dega G takkosog da " " adalah operasi bier pada G yag memeuhi sifat-sifat assosiatif, memuat idetitas, da memuat ivers dari setiap eleme dalam grup tersebut. Himpua-himpua dalam grup mempuyai aggota yag juga merupaka makhluk dari ciptaa-nya. Sedagka operasi bier merupaka iteraksi atara makhluk-makhluk-nya, da sifat-sifat yag harus dipeuhi merupaka aturaatura yag telah ditetapka oleh Allah, artiya sekalipu makhluk-nya beriteraksi dega sesama makhluk ia harus tetap berada dalam koridor yag telah ditetapka oleh Allah. Kajia megeai himpua sudah ada dalam Al-Qur a. Misalya kehidupa mausia yag terdiri dari berbagai macam gologa. Dimaa gologa juga merupaka himpua karea himpua sediri merupaka kumpula objekobjek yag terdefiisi. 10

28 11 Dalam Al-Qur a surat Al-fatihah ayat 7 meyebutka: Artiya: (yaitu) jala orag-orag yag telah Egkau beri ikmat kepada mereka; buka (jala) mereka yag dimurkai da buka (pula jala) mereka yag sesat (Q. S. Al-Fatihah/1: 7). Ayat di atas mejelaska bahwa mausia terbagi mejadi tiga kelompok, yaitu (1) kelompok yag medapat ikmat dari Allah, (2) kelompok yag dimurkai, da (3) kelompok yag sesat (Abdussakir, 2007: 79). Ayat ii melukiska permohoa mausia kepada Allah utuk membimbigya ke jala orag-orag yag diberi ikmat oleh-nya, seperti ikmat berupa petujuk, kesuksesa, kepemimpia orag-orag yag bear, pegetahua, amal yag baik, yaitu jala lurus para abi, orag-orag sholeh, da semua orag yag medapat ikmat, rahmat, da kemuraha-nya. Jala yag lurus adalah ajara tauhid, agama kebeara, da keimaa kepada peritah Allah. Ayat ii juga memperigatka kepada mausia tetag adaya dua jala yag meyimpag di hadapa mausia yaitu jala orag-orag yag medapatka murka-nya da orag-orag yag tersesat. Dalam aljabar abstrak juga dipelajari tetag isomorfime, yaitu suatu pemetaa dari himpua grup pertama ke himpua grup kedua yag memeuhi homomorfisme da bersifat bijektif. Dalam perspektif islam, kajia isomorfisme dapat kita lihat dalam surat A-Nahl ayat 97 sebagai berikut:

29 12 Artiya: Baragsiapa yag megerjaka amal saleh, baik laki-laki maupu perempua dalam keadaa berima, maka sesugguhya aka Kami berika kepadaya kehidupa yag baik [839] da sesugguhya aka Kami beri balasa kepada mereka dega pahala yag lebih baik dari apa yag telah mereka kerjaka (Q.S. A-Nahl/16: 97). Dari ayat diatas dijelaska bahwa ada 2 gologa yaitu laki-laki da perempua dimaa dalam islam tidak ada perbedaa dalam medapatka pahala, dega kata lai bahwa pahala yag didapat, baik laki-laki maupu perempua adalah sama, selai itu hakekat dari peciptaaya pu juga sama yaitu diciptaka dari usur sari pati taah, da sama-sama beribadah kepada Allah swt. Sedagka yag membedaka dari kedua gologa tersebut yaitu faktor jeis kelamiya. Kembali pada grup, salah satu grup dari materi dalam aljabar abstrak adalah grup simetri, berkaita dega itu maka Purwato (2007: 393) mejelaska bahwa alam di sekitar kita meampakka diri dalam betukya yag simetri. Aeka buga da dedaua di kebu da di tama-tama buga, juga seragga-seragga seperti semut, lebah, da kupu-kupu yag megerumuiya. Kita aka medapatka bahwa betuk da pola wara sagat serasi da simetri. Seperti halya tubuh mausia juga dijadika dalam keadaa setimbag atara bagia demi bagia sehigga memugkika mausia bergerak licah. Tubuh mausia bagia kiri da bagia kaa tampak setimbag atau tepatya simetri. Dua mata mausia ada di kaa da di kiri pada jarak yag sama dari garis yag membelah mausia mejadi dua bagia yag sama persis. Semua aggota tubuh yag berjumlah dua seperti teliga, lubag hidug, taga, da kaki berada dalam

30 13 posisi simetri kaa-kiri (Purwato, 2007: 393). Kesetimbaga da kesimetria ii juga telah ditegaska dalam Al-Qur a surat Al-Ifithar ayat 7: Artiya : Yag telah meciptaka kamu lalu meyempuraka kejadiamu da mejadika (susua tubuh)mu seimbag (Q.S. Al-Ifithar/82: 7). Ayat ii mejelaska bahwa alam semesta beserta isiya diciptaka oleh Allah secara sempura da seimbag. Sehigga dari kaduga surat Al-Ifithar ayat 7 terbukti ada hubugaya dega grup simetri. Berkaita dega grup simetri, himpua bagia dari grup simetri yag disebut subgrup simetri. Dalam hal ii subgrup simetri yag diguaka adalah subgrup simetri dari bidag beratura cabag- dimaa bidag beratura cabag- tersebut merupaka suatu bidag yag setiap titik sudutya membetuk bidag baru sesuai dega bidag semula sebayak -cabag, sehigga bidag beratura tersebut aka meghasilka betuk bidag beratura yag sama dega bidag semula. Semaki bayak cabagya maka semaki besar bidag beratura yag terbetuk, da begitu juga sebalikya semaki sedikit cabagya maka semaki kecil bidag beratura yag terbetuk, yag membedaka besar da kecilya bidag beratura hayalah jumlah cabagya. Hal ii dapat diaalogika dega kehidupa lebah. Sebagaimaa firma Allah dalam surat A-Nahl ayat 68 da 69:

31 14 Artiya: "Da Tuhamu mewahyuka kepada lebah, "Buatlah sarag-sarag di bukit-bukit, di poho-poho kayu, da di tempat-tempat yag dibiki mausia, kemudia makalah dari tiap-tiap (macam) buah-buaha da tempuhlah jala Tuhamu yag telah dimudahka (bagimu). Dari perut lebah itu keluar miuma (madu) yag bermacam-macam waraya, di dalamya terdapat obat yag meyembuhka bagi mausia. Sesugguhya pada yag demikia itu bear-bear terdapat tada (kebesara Tuha) bagi orag-orag yag memikirka"(q.s. A- Nahl/16: 68,69). Gambar 2.1 Kehidupa lebah Ayat tersebut mejelaska bahwa allah memeritahka lebah utuk membuat sarag-sarag di bukit-bukit, di poho-poho kayu, da di tempattempat yag di biki mausia. Kemudia memeritahka lebah memaka buahbuaha yag sudah disediaka Allah swt. Lalu lebah tersebut aka meghasilka madu yag bermafaat bagi mausia yaitu sebagai obat yag dapat meyembuhka mausia. Apabila kaduga yag terdapat dalam surat A-Nahl ayat 68 da 69 tersebut kita aalogika dega kosep matematika diatas maka terdapat

32 15 hubuga yaitu dapat kita lihat dari betuk sarag pada lebah yag berupa katog-katog berbetuk heksagoal atau segieam beratura. Semaki besar sarag lebah, maka semaki bayak katog-katog berbetuk heksagoal yag dibagu lebah. Da begitu juga sebalikya semaki kecil sarag lebah, maka semaki sedikit katog-katog berbetuk heksagoal yag dibagu lebah, dimaa baik yag saragya besar maupu kecil betuk da ukuraya sama, yag membedaka adalah jumlah katog-katog berbetuk heksagoal yag ada didalamya. Dalam kaduga surat A-Nahl ayat 68 da 69 juga dijelaska bahwa lebah aka meghasilka madu yag bermafaat bagi mausia yaitu sebagai obat yag dapat meyembuhka mausia, dimaa lebah tersebut meghasilka madu yag berasal dari sari pati buga yag memberi mafaat bagi mausia yag berarti bahwa umat islam diajurka mecari sesuatu yag halal da memberi mafaat bagi orag lai. Adapu represetasi dari korespodesi satu-satu pada subgrup simetri dega grup dihedral, seperti halya dega kerjasama atau gotog royog atara lebah satu dega lebah yag lai dalam membagu katog-katog berbetuk heksagoal yag diguaka utuk megisi madu. Kumpula katog heksagoal yag dibuat oleh lebah itu ketika berkumpul sempura maka aka salig berdempeta atara satu dega yag laiya, seperti halya sebuah perumaha yag dibagu oleh mausia aka salig berdekata satu dega yag laiya. Sehigga dari pejelasa diatas dapat kita ketahui bahwa terbukti adaya hubuga atara kosep matematika diatas dega kosep isi kaduga surat A-Nahl ayat 68 da 69.

33 Fugsi (Pemetaa) Defiisi Fugsi Diberika himpua tak kosog A da B, θ: A B dikataka suatu pemetaa (fugsi) dari A ke B jika semua a A mempuyai pasaga tepat satu di B. (Whitelaw, 1995:47) Cotoh: Misalka A = {a, b, c} da B = {x, y, z} Misalka f : A B didefiisika seperti pada diagram berikut ii. A a b c f B x y z A Gambar 2.2 Fugsi f dari himpua A ke B B Pada pemetaa ii dapat dikataka bahwa f a = x, f b = z, da f(c) = y. Pemetaa f ii dapat pula ditulis sebagai himpua pasaga terurut: f = {(a, x), (b, z), (c, y)}. Misalka diketahui dua himpua S da T yag keduaya tak hampa. Pemetaa f dari S ke dalam T, kita tulis f : S T, adalah suatu cara yag megaitka setiap usur x S dega satu usur y T. Pegaita ii kita tadai dega f : x y. (Arifi, 2000:6) Pada hakekatya setiap usur di S dapat dikaitka dega palig sedikit satu usur di Y. Misalka usur x S dikaitka dega usur y 1 da y 2 di T yag berbeda. Hal seperti ii tidak dapat terjadi pada pemetaa f : S T. Dega

34 17 demikia, pegaita f : x y utuk semua usur x S aka didefiisika pemetaa f : S T jika da haya jika setiap x S dikaitka dega satu y T. (Arifi, 2000:6-7) Fugsi Ijektif Misalka f adalah fugsi dari A ke B. Fugsi f disebut fugsi 1-1 jika utuk setiap x, y A dega f(x) = f(y), maka x = y. Dega kata lai dapat diyataka bahwa fugsi f adalah 1-1 jika utuk setiap x, y A dega x y, maka f(x) f(y). Fugsi 1-1 serig juga disebut dega fugsi ijektif (Bartle ad Sherbert, 2000: 8). Cotoh: A f B a 1 b 2 3 Gambar 2.3. Fugsi Ijektif dari himpua A ke B Fugsi Surjektif Misalka A da B adalah himpua, da f adalah fugsi dari A ke B. Fugsi f disebut fugsi Oto jika R(f) = B. Jadi, f: A B disebut fugsi Oto jika utuk setiap y B maka ada x A sehigga f(x)= y. Fugsi Oto serig disebut juga fugsi surjektif atau fugsi Pada (Bartle ad Sherbert, 2000: 8).

35 18 Cotoh: A f B a 1 b 2 c Gambar 2.4 Fugsi Surjektif dari himpua A ke B Fugsi Bijektif Suatu fugsi yag sekaligus ijektif da surjektif disebut fugsi bijektif (Bartle ad Sherbert, 2000: 8). Cotoh: A f B a 1 b 2 c 3 Gambar 2.5 Fugsi Bijektif dari himpua A ke B 2.3 Grup Operasi Bier Dummit da Foote (1980: 17) meyebutka defiisi dari operasi bier sebagai berikut: 1. Operasi bier " " pada suatu himpua G adalah suatu fugsi : G G G. Utuk setiap a, b G dapat dituliska a b utuk (a, b). 2. Suatu operasi bier " " pada suatu himpua G adalah assosiatif jika utuk setiap a, b, c G, a b c = a b c.

36 19 3. Jika " " operasi bier pada suatu himpua G, eleme-eleme a, b G dikataka komutatif jika a b = b a. Dikataka " " (atau G) komutatif jika utuk setiap a, b G, a b = b a. Cotoh: Misalka B = himpua bilaga bulat. Operasi + (pejumlaha) pada B merupaka operasi bier, sebab operasi + merupaka pemetaa dari B B B, yaitu (a, b) B B maka (a + b) B. Jumlah dua bilaga bulat adalah suatu bilaga bulat pula. Operasi (pembagia) pada B buka merupaka operasi bier pada B sebab terdapat (a, b) B B sedemikia sehigga (a b) B, misalya (3,4) B B da (3: 4) B Defiisi Grup Himpua tak-kosog G dikataka grup jika dalam G terdapat operasi bier yag diyataka dega " ", sedemikia sehigga meurut Herstei (1975:28) : 1. Utuk setiap a, b, c G megakibatka a b c = a b c (sifat assosiatif) 2. Terdapat suatu eleme e G sedemikia sehigga a e = e a = a utuk setiap a G (e adalah eleme idetitas di G) 3. Utuk setiap a G, terdapat suatu eleme a 1 G sedemikia sehigga a a 1 = a 1 a = e (a 1 adalah ivers dari a di G). Cotoh: Z adalah himpua bilaga bulat, (Z, +) adalah grup karea berlaku:

37 20 1. Utuk setiap a, b Z maka (a + b) Z. Jadi, operasi + adalah operasi bier pada Z atau dega kata lai, operasi + tertutup di Z. 2. Utuk setiap a, b, c Z maka a + b + c = a + b + c. Jadi, Z dega operasi + (pejumlaha) memeuhi sifat assosiatif. 3. Terdapat eleme idetitas yaitu 0 Z sedemikia sehigga a + 0 = 0 + a = a, utuk setiap a Z. 4. Utuk setiap a Z terdapat a 1 yaitu ( a) Z sedemikia sehigga a + a = a + a = 0 Eleme ( a) adalah ivers dari a. Karea himpua Z dega operasi + (pejumlaha) memeuhi aksioma-aksioma grup, maka (Z, +) adalah grup. Grup (G, ) dikataka abelia (komutatif) jika utuk setiap a, b G berlaku a b = b a (Arifi, 2000: 36). Cotoh: Selidiki apakah (Z,+) merupaka grup abelia. Diketahui (Z,+) adalah grup, misal m, Z, maka m + = + m Jadi (Z,+) adalah grup komutatif Tabel Cayley Dalam sebuah grup seatiasa melibatka haya satu operasi tertetu. Pedefiisia dari operasi pada suatu himpua tak kosog merupaka salah satu syarat cukup utuk dapat megkotruksi suatu struktur grup. Pedefiisa operasi

38 21 pada himpua berhigga (fiite) dapat dilakuka dega cara yag mudah yaitu dega membuat tabel yag berisi hasil operasi dari masig-masig dua eleme di himpua tersebut. Tabel ii disebut tabel Cayley (Suladra, 1996: 55). Cotoh: Misalka A grup dega operasi pada himpua tersebut adalah operasi bier " ". Himpua A = e, a didefiisika operasi pada A adalah a a = e ; e adalah eleme idetitas, sehigga dapat dibuat tabel Cayley sebagai berikut: Tabel 2.1: Tabel Cayley Grup A e a e e a a a e Dari tabel tersebut, e adalah eleme idetitas, sehigga e a = a e = a da agar himpua A merupaka suatu grup dega operasi " ", maka eleme a harus mempuyai ivers (balika) a 1 sedemikia sehigga a a 1 = a 1 a = e. Sehigga diperoleh a 1 = a. 2.4 Subgrup Sub himpua tak-kosog H dari suatu grup G dikataka subgrup dari G jika H membetuk grup terhadap operasi yag sama pada grup G (Herstei, 1975: 37).

39 22 Herstei (1975: 37) meyataka dalam sebuah teorema bahwa suatu sub himpua tak-kosog H dari grup G adalah subgrup dari grup G jika da haya jika meurut Herstei (1975: 38) berlaku: 1. a, b H maka a b H 2. a H maka a 1 H Bukti: Utuk membuktika teorema tersebut, perlu dibuktika kodisi perlu da cukup bagi subgrup. Kodisi perlu bagi subgrup adalah jika H, (G, ) maka a, b H berlaku a b H da a 1 H. Sedagka kodisi cukup bagi subgrup adalah jika H G, H da a b 1 H maka H, (G, ). Kodisi perlu: H, (G, ) maka a, b H berlaku a b H da a 1 H Diketahui H, (G, ) maka H adalah sebuah grup, sehigga memeuhi aksioma-aksioma grup yaitu utuk setiap a, b, c H, maka berlaku sifat assosiatif, H memuat eleme idetitas, da H memuat ivers dari setiap elemeya. Aka ditujukka bahwa utuk setiap a, b, c H berlaku a b H da a 1 H. Karea H adalah grup. Karea H grup maka berlaku sifat ketertutupa yaitu utuk setiap a, b H maka a b H da H juga memuat ivers dari setiap elemeya yaitu a 1, b 1 H. Karea a 1, b 1 H maka berlaku a b 1 H atau a 1 b H (sifat tertutup terhadap operasi " "). Jadi kodisi perlu bagi subgrup telah terpeuhi. Kodisi cukup: Diketahui H G, H da a b 1 H

40 23 Aka ditujukka bahwa H, (G, ). H adalah sub himpua dari G yag memeuhi (1) da (2). Utuk meujukka bahwa H subgrup perlu ditujukka bahwa e H da bahwa berlaku sifat assosiatif utuk semua eleme dari H. Karea sifat assosiatif berlaku di G, maka hal ii juga terpeuhi utuk sub himpua dari G yaitu H. Jika a H, meurut (2), a 1 H da dega (1), e = a a 1 H. Sehigga kodisi cukup bagi subgrup terpeuhi. Sehigga teorema terbukti. Cotoh: Misal G grup bilaga bulat terhadap operasi + (pejumlaha), H sub himpua yag terdiri dari kelipata 5. Maka H adalah subgrup dari grup G. Subgrup yag terdiri dari idetitas saja atau semua eleme suatu grup disebut subgrup trivial. Sedagka subgrup selai idetitas da semua eleme suatu grup disebut subgrup sejati. 2.5 Rotasi da Refleksi Pada Bidag Rotasi adalah proses memutar bagu geometri yag ditetuka oleh arah da besar sudut rotasi. Sedagka refleksi adalah suatu pecermia (meurut peulis).

41 24 Cotoh rotasi da refleksi utuk segitiga bercabag 1-segitiga sebagai berikut: ROTASI REFLEKSI S 2 1 S S 1 Gambar 2.6 Rotasi da Refleksi Segitiga Bercabag 1-Segitiga Adapu rotasi da rerfleksi dari segitiga bercabag 1-segitiga sebagai berikut: 1) α 1 = rotasi sejauh (Searah Jarum Jam) Sebelum Rotasi Sesudah Rotasi Gambar 2.7 Rotasi Sejauh Segitiga Bercabag 1-Segitiga Jika segitiga bercabag 1-segitiga diputar sejauh maka: Titik 1 aka meempati posisi titik 2 Titik 2 aka meempati posisi titik 3

42 25 Titik 3 aka meempati posisi titik 1 da seterusya higga titik 9 aka meempati posisi titik 7 Ditulis: α 1 = 1 2 ; 4 5 ; ; 5 6 ; ; 6 4 ; 9 7 Peulisa diatas dapat juga diyataka dalam betuk sikel yaitu: α 1 = (1 2 3) (4 5 6) (7 8 9) 2) α 2 = rotasi sejauh (Searah Jarum Jam) Sebelum Rotasi Sesudah Rotasi Gambar 2.8 Rotasi Sejauh Segitiga Bercabag 1-Segitiga Jika segitiga bercabag 1-segitiga diputar sejauh maka: Titik 1 aka meempati posisi titik 3 Titik 2 aka meempati posisi titik 1 Titik 3 aka meempati posisi titik 2 da seterusya higga titik 9 aka meempati posisi titik 8 Ditulis:

43 26 α 2 = 1 3 ; 4 6 ; ; 5 4 ; ; 6 5 ; 9 8 Peulisa diatas dapat juga diyataka dalam betuk sikel yaitu: α 2 = (1 3 2) (4 6 5) (7 9 8) 3) α 3 = rotasi sejauh (Searah Jarum Jam) Sebelum Rotasi Sesudah Rotasi Gambar 2.9. Rotasi Sejauh Segitiga Bercabag 1-Segitiga Jika segitiga bercabag 1-segitiga diputar sejauh maka: Titik 1 aka meempati posisi titik 1 Titik 2 aka meempati posisi titik 2 Titik 3 aka meempati posisi titik 3 da seterusya higga titik 9 aka meempati posisi titik 9 Ditulis: α 3 = 1 1 ; 4 4 ; ; 5 5 ; ; 6 6 ; 9 9

44 27 Peulisa diatas dapat juga diyataka dalam betuk sikel yaitu: α 3 = (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) = 1 4) β 1 = refleksi terhadap sumbu S 1 Sebelum Refleksi Sesudah Refleksi S Gambar 2.10 Refleksi Terhadap Sumbu S 1 Segitiga Bercabag 1-Segitiga Jika segitiga bercabag 1-segitiga direfleksi terhadap sumbu S 1 maka: Titik 1 aka meempati posisi titik 1 Titik 2 aka meempati posisi titik 3 Titik 3 aka meempati posisi titik 2 da seterusya higga titik 9 aka meempati posisi titik 5 Ditulis: β 1 = 1 1 ; 4 7 ; ; 5 9 ; ; 6 8 ; 9 5 Peulisa diatas dapat juga diyataka dalam betuk sikel yaitu: β 1 = (2 3) (4 7) (5 9) (6 8)

45 28 5) β 2 = refleksi terhadap sumbu S 2 Sebelum Refleksi Sesudah Refleksi S Gambar 2.11 Refleksi Terhadap Sumbu S 2 Segitiga Bercabag 1-Segitiga Jika segitiga bercabag 1-segitiga direfleksi terhadap sumbu S 2 maka: Titik 1 aka meempati posisi titik 3 Titik 2 aka meempati posisi titik 2 Titik 3 aka meempati posisi titik 1 da seterusya higga titik 9 aka meempati posisi titik 4 Ditulis: β 2 = 1 3 ; 4 9 ; ; 5 8 ; ; 6 7 ; 9 4 Peulisa diatas dapat juga diyataka dalam betuk sikel yaitu: β 2 = (1 3) (4 9) (5 8) (6 7)

46 29 6) β 3 = refleksi terhadap sumbu S 3 Sebelum Refleksi Sesudah Refleksi S Gambar 2.12 Refleksi Terhadap Sumbu S 3 Segitiga Bercabag 1-Segitiga Jika segitiga bercabag 1-segitiga direfleksi terhadap sumbu S 3 maka: Titik 1 aka meempati posisi titik 2 Titik 2 aka meempati posisi titik 1 Titik 3 aka meempati posisi titik 3 da seterusya higga titik 9 aka meempati posisi titik 6 Ditulis: β 3 = 1 2 ; 4 8 ; ; 5 7 ; ; 6 9 ; 9 6 Peulisa diatas dapat juga diyataka dalam betuk sikel yaitu: β 3 = (1 2) (4 8) (5 7) (6 9)

47 30 Sedagka cotoh rotasi da refleksi segiempat bercabag 1-segiempat adalah sebagai berikut: ROTASI REFLEKSI S 4 S S S 2 Gambar 2.13 Rotasi da Refleksi Segiempat Bercabag 1-Segiempat Adapu rotasi dari segiempat bercabag 1-segiempat sebagai berikut: 1) α 1 = rotasi sejauh 90 0 Sebelum Rotasi Sesudah Rotasi Gambar 2.14 Rotasi Sejauh 90 0 Segiempat Bercabag 1-Segiempat

48 31 Jika segiempat bercabag 1-segiempat diputar sejauh 90 0 maka: Titik 1 aka meempati posisi titik 2 Titik 2 aka meempati posisi titik 3 Titik 3 aka meempati posisi titik 4 Titik 4 aka meempati posisi titik 1 da seterusya higga titik 16 aka meempati posisi titik 13 Ditulis: α 1 = 1 2 ; 5 6 ; 9 10 ; ; 6 7 ; ; ; 7 8 ; ; ; 8 5 ; 12 9 ; Peulisa di atas dapat juga diyataka dalam betuk sikel yaitu: α 1 = ( ) ( ) ( ) ( ) 2) α 2 = rotasi sejauh Sebelum Rotasi Sesudah Rotasi Gambar 2.15 Rotasi Sejauh Segiempat Bercabag 1-Segiempat

49 32 Jika segiempat bercabag 1-segiempat diputar sejauh maka: Titik 1 aka meempati posisi titik 3 Titik 2 aka meempati posisi titik 4 Titik 3 aka meempati posisi titik 1 Titik 4 aka meempati posisi titik 2 da seterusya higga titik 16 aka meempati posisi titik 14 Ditulis: α 2 = 1 3 ; 5 7 ; 9 11 ; ; 6 8 ; ; ; 7 5 ; 11 9 ; ; 8 6 ; ; Peulisa di atas dapat juga diyataka dalam betuk sikel yaitu: α 2 = (1 3) (2 4) (5 7) (6 8) (9 11) (10 12) (13 15) (14 16) 3) α 3 = rotasi sejauh Sebelum Rotasi Sesudah Rotasi Gambar 2.16 Rotasi Sejauh Segiempat Bercabag 1-Segiempat

50 33 Jika segiempat bercabag 1-segiempat diputar sejauh maka: Titik 1 aka meempati posisi titik 4 Titik 2 aka meempati posisi titik 1 Titik 3 aka meempati posisi titik 2 Titik 4 aka meempati posisi titik 3 da seterusya higga titik 16 aka meempati posisi titik 15 Ditulis: α 3 = 1 4 ; 5 8 ; 9 12 ; ; 6 5 ; 10 9 ; ; 7 6 ; ; ; 8 7 ; ; Peulisa di atas dapat juga diyataka dalam betuk sikel yaitu: α 3 = ( ) ( ) ( ) ( ) 4) α 4 = rotasi sejauh Sebelum Rotasi Sesudah Rotasi Gambar 2.17 Rotasi Sejauh Segiempat Bercabag 1-Segiempat

51 34 Jika segiempat bercabag 1-segiempat diputar sejauh maka: Titik 1 aka meempati posisi titik 1 Titik 2 aka meempati posisi titik 2 Titik 3 aka meempati posisi titik 3 Titik 4 aka meempati posisi titik 4 da seterusya higga titik 16 aka meempati posisi titik 16 Ditulis: α 4 = 1 1 ; 5 5 ; 9 9 ; ; 6 6 ; ; ; 7 7 ; ; ; 8 8 ; ; Peulisa di atas dapat juga diyataka dalam betuk sikel yaitu: α 4 = (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) 5) β 1 = refleksi terhadap sumbu S 1 Sebelum Refleksi Sesudah Refleksi S Gambar 2.18 Refleksi Terhadap Sumbu S 1 Segiempat Bercabag 1-Segiempat

52 35 Jika segiempat bercabag 1-segiempat direfleksi terhadap sumbu S 1 maka: Titik 1 aka meempati posisi titik 1 Titik 2 aka meempati posisi titik 4 Titik 3 aka meempati posisi titik 3 Titik 4 aka meempati posisi titik 2 da seterusya higga titik 16 aka meempati posisi titik 6 Ditulis: β 1 = 1 1 ; 5 13 ; 9 9 ; ; 6 16 ; ; ; 7 15 ; ; ; 8 14 ; ; 16 6 Peulisa di atas dapat juga diyataka dalam betuk sikel yaitu β 1 = (1) (2 4) (3) (5 13) (6 16) (7 15 ) (8 14) (9) (10 12) (11) 6) β 2 = refleksi terhadap sumbu S 2 Sebelum Refleksi Sesudah Refleksi S Gambar 2.19 Refleksi Terhadap Sumbu S 2 Segiempat Bercabag 1-Segiempat

53 36 Jika segiempat bercabag 1-segiempat direfleksi terhadap sumbu S 2 maka: Titik 1 aka meempati posisi titik 3 Titik 2 aka meempati posisi titik 2 Titik 3 aka meempati posisi titik 1 Titik 4 aka meempati posisi titik 4 da seterusya higga titik 16 aka meempati posisi titik 8 Ditulis: β 2 = 1 3 ; 5 15 ; 9 11 ; ; 6 14 ; ; ; 7 13 ; 11 9 ; ; 8 16 ; ; 16 8 Peulisa di atas dapat juga diyataka dalam betuk sikel yaitu: β 2 = (1 3) (2) (4) (5 15) (6 14) (7 13) (8 16) (9 11) (10) (12) 7) β 3 = refleksi terhadap sumbu S 3 Sebelum Refleksi Sesudah Refleksi S Gambar 2.20 Refleksi Terhadap Sumbu S 3 Segiempat Bercabag 1-Segiempat

54 37 Jika segiempat bercabag 1-segiempat direfleksi terhadap sumbu S 3 maka: Titik 1 aka meempati posisi titik 2 Titik 2 aka meempati posisi titik 1 Titik 3 aka meempati posisi titik 4 Titik 4 aka meempati posisi titik 3 da seterusya higga titik 16 aka meempati posisi titik 7 Ditulis: β 3 = 1 2 ; 5 14 ; 9 10 ; ; 6 13 ; 10 9 ; ; 7 16 ; ; ; 8 15 ; ; 16 7 Peulisa di atas dapat juga diyataka dalam betuk sikel yaitu: β 3 = (1 2) (3 4) (5 14) (6 13) (7 16) (8 15) (9 10) (11 12) 8) β 4 = refleksi terhadap sumbu S 4 Sebelum Rotasi Sesudah Rotasi S Gambar 2.21 Refleksi Terhadap Sumbu S 4 Segiempat Bercabag 1-Segiempat

55 38 Jika segiempat bercabag 1-segiempat direfleksi terhadap sumbu S 4 maka: Titik 1 aka meempati posisi titik 4 Titik 2 aka meempati posisi titik 3 Titik 3 aka meempati posisi titik 2 Titik 4 aka meempati posisi titik 1 da seterusya higga titik 16 aka meempati posisi titik 5 Ditulis: β 4 = 1 4 ; 5 16 ; 9 12 ; ; 6 15 ; ; ; 7 14 ; ; ; 8 13 ; 12 9 ; 16 5 Peulisa di atas dapat juga diyataka dalam betuk sikel yaitu: β 4 = (1 4) (2 3) (5 16) (6 15) (7 14) (8 13) (9 12) (10 11) 2.6 Grup Simetri- da Grup Permutasi- Fugsi satu-satu dari suatu himpua berhigga ke himpua tersebut disebut permutasi. Bayakya eleme dari himpua berhigga tersebut disebut derajat permutasi. Misalka S = {a 1, a 2,, a } adalah himpua berhigga yag terdiri dari eleme yag berbeda da misalka f adalah fugsi satu-satu dari S ke S, maka sesuai defiisi f adalah permutasi berderajat. Misalka S adalah himpua berhigga yag terdiri dari eleme yag berbeda, maka terdapat sebayak! cara meyusu eleme-eleme S. Dega kata lai, bayakya permutasi berderajat yag berbeda yag terdefiisi pada S adalah!. Himpua

56 39 yag terdiri dari! permutasi berderajat yag berbeda disebut himpua simetri dari permutasi berderajat da diyataka dega S (Raisighaia da Aggarwal, 1980: 115). Misalka adalah sebarag himpua tak kosog da misal S adalah himpua yag memuat semua fugsi-fugsi bijektif dari ke (atau himpua yag memuat permutasi dari ). Himpua S dega operasi komposisi atau (S, ) adalah grup. Operasi komposisi adalah operasi bier pada S karea jika α: da β: adalah fugsi-fugsi bijektif maka α β juga fugsi bijektif. Operasi " " yag merupaka komposisi fugsi adalah bersifat assosiatif. Idetitas dari S adalah permutasi 1 yag didefiisika oleh 1(a) = a, a. Utuk setiap α: maka terdapat fugsi ivers yaitu α: yag memeuhi α α 1 = α 1 α = 1. Dega demikia semua aksioma grup telah dipeuhi oleh S dega operasi " ". Grup (S, ) disebut sebagai grup simetri pada himpua (Dummit da Foote,1991: 28). Himpua simetri- terdiri! eleme yag merupaka permutasipermutasi yag berbeda. Sehigga dapat dikataka bahwa permutasi berderajat merupaka sub himpua dari himpua simetri-. Himpua permutasi- dega operasi " " da memeuhi aksioma-aksioma grup disebut grup permutasi- da diyataka dega (P, ). Grup permutasi- merupaka subgrup dari grup simetri-. Himpua permutasi- merupaka himpua simetri- yag terdiri dari rotasi (perputara) da refleksi (pecermia) suatu segi- beratura. Grup permutasi- terdiri dari 2 eleme yaitu eleme yag meujukka rotasi da eleme refleksi (Dummit da Foote, 1991: 28).

57 Homomorfisme Grup Misal (G, o) da (G, *) adalah grup da φ G G maka, φ dikataka homomorfisme jika φ a o b = φ a φ b a, b G. (Raisighaia da Aggarwal, 1980: 252). Bila diketahui bahwa struktur-struktur yag diberika adalah grup, maka f secara sigkat cukup disebut dega homomorfisme, da (G, ) disebut homomorfik terhadap (H, ) (Mushetyo, 1991:135). Cotoh: Misalka Z suatu grup dega operasi tambah da Z. Maka pegaita f x = x utuk setiap x Z aka medefiisika f Z Z yag sekaligus megawetka operasi grup, karea utuk semua x da y di Z berlaku, f x + y = x + y = x + y = f x + f(y) Jadi pemetaa f suatu homomorfisme grup. 2.8 Isomorfisme Defiisi Misalka (G, ) da (G, ) adalah grup, pemetaa f G G memeuhi sifat f a b = f a f b, a, b G maka grup (G, ) isomorfik ke grup (G, ), yag diotasika dega (G, ) (G, ) (Raisighaia da Aggarwal,1980: 141). Cotoh: Misalka B = {0, 1, 2} adalah himpua bilaga bulat modulo 3. B terhadap pejumlaha modulo 3 merupaka suatu grup. G = {R, R 2, R 3 = 1} yaitu

58 41 suatu grup operasi simetri dari segitiga samasisi dega R adalah rotasi terhadap pusat segitiga dega sudut putar Tabel 2.2: Tabel Operasi pada Himpua Bilaga Bulat Modulo 3 dega Rotasi pada Grup Simetri Tabel (B, + 3 ) Tabel (G, ) Pemetaa φ B G didefiisika oleh φ 0 = I, φ 1 = R, da φ 2 = R 2 φ = φ 0 = I = R. R 2 = φ 1. φ(2) Jadi φ suatu homomorfisme, ampak bahwa φ adalah suatu pemetaa satu-satu da oto, maka φ suatu isomorfisme. Jadi B isomorfik dega G dapat diotasika B G. Teorema 1 Misalka (G, ) isomorfik pada grup (G, ) da f G G adalah isomorfisme maka peta idetitas di G adalah idetitas di G. (Raisighaia da Aggarwal, 1980: 144). Bukti: Misal e adalah idetitas di G maka f(e) adalah idetitas di G, a G maka berlaku: a f e = f e a = a Jika a G maka f adalah fugsi satu-satu, sehigga a G maka f a = a, a da e eleme G. Jadi a e = e a = a.