BAB III HASIL DAN PEMBAHASAN

Transkripsi

1 BAB III HASIL DAN PEMBAHASAN Pada bab ini akan dijelaskan hal-hal yang berhubungan dengan masalah dan bagaimana mengeksplorasinya dengan logaritma diskret pada menggunakan algoritme Exhaustive Search Baby-Step Giant-Step Pollard s rho Pohlig-Hellman dan Index Calculus MASALAH LOGARITMA DISKRET PADA FINITE FIELD FINITE FIELD Galois Field adalah nama populer untuk field dengan jumlah elemen terbatas finite Disebut Galois Field sebagai penghargaan terhadap Evariste Galois yang menemukan hubungan antara grup dan persamaan polinomial Galois berorder Field dinotasikan dengan integer positif atau bisa juga dinotasikan ℤ maka menurut Teorema 8 Jika prima dan adalah integer modulo p berbentuk field berorder Setiap operasi aritmetikanya dilakukan dalam modulo agar hasilnya tetap berada dalam daerah Selanjutnya pembahasan akan difokuskan pada adalah perluasan field Berdasarkan Teorema ℤ Berdasarkan Definisi ℤ [x] adalah himpunan semua polinomial dalam peubah x dengan koefisien dalam ℤ merupakan sebuah ring di bawah operasi penjumlahan dan perkalian polinomial Misalkan ℤ [ ] maka berdasarkan Teorema ada Jika ada seperti ini maka p olinomial tak konstan atas sedemikian sehingga disebut algebraic atas ℤ Definisi Selanjutnya berdasarkan Teorema 4 jika deg ℤ ℤ merupakan { ruang vektor } ℤ adalah field Misalkan ℤ berderajad atas ℤ berdimensi- dengan maka basis ℤ[ ]adalah polinomial irredusibel atas maka menurut Teorema 4 adalah suatu ideal

2 dengan { [ℤ]} Selanjutnya berdasarkan Teorema 4 ℤ [ ]/ adalah finite field berorder dengan operasi penjumlahan dan perkalian polinomial dilakukan dalam modulo Dari uraian di atas dan berdasarkan Teorema 7 dan Teorema 8 maka ℤ dapat setiap dinyatakan ℤ dalam bentuk dan ℤ adalah polinomial irredusibel berderajad 4 atas ℤ dan ℤ [ ]/ { unik Contoh Finite Field secara dimana ℤ [ ]/ ℤ { untuk semua } dan ℤ[ ]berderajad jika diberikan polinomial irredusibel { maka } } Dari uraian di atas ada beberapa cara yang dapat dilakukan untuk merepresentasikan elemen-elemen diantaranya adalah dengan representasi grup siklik representasi polinomial representasi vektor dan representasi himpunan Representasi grup siklik : dimana dengan {} Representasi polinomial dalam peubah dimana ℤ Representasi vektor : [ 4 Representasi himpunan : { ] dengan : ℤ } dengan Cara merepresentasikan elemen-elemen adalah generator dengan representasi himpunan mengacu pada tesis Rosdiana 9 Representasi himpunan selanjutnya diperlukan pada saat komputasi untuk menentukan masalah logaritma diskret Pada contoh di atas cara merepresentasikan elemen-elemen adalah

3 dengan representasi grup siklik dan representasi polinomial Tabel berikut memperlihatkan elemen-elemen Tabel Elemen-elemen dalam beberapa representasi Representasi Representasi Representasi Representasi Himpunan Vektor Grup Siklik Polinomial {} [] {} [] {} [] 4 {} [] 5 {} [] 6 {} [] 4 7 {} [] 5 8 {} [] 6 9 {} [] 7 {} [] 8 {} [] 9 {} [] {} [] 4 {} [] 5 {} [] 6 {} [] 4 No dilakukan terhadap polinom yang tidak Setiap operasi aritmetika dapat direduksi lagi irredusibel dalam ℤ Secara umum dapat dituliskan sebagai adalah polinomial irredusibel atas ℤ berderajad berikut Misalkan operasi penjumlahan dan perkalian dalam berikut : dapat didefinisikan sebagai Penjumlahan Jika dengan maka Perkalian Maka dimana mod

4 Jika dengan Maka dimana s mod ini dihitung dengan Penjumlahan dan perkalian dalam menggunakan algoritme standar untuk integer dan aritmetika polinomial Unsur identitas penjumlahannya adalah polinomial dan unsur identitas perkaliannya adalah polinomial Pengurangan adalah invers dari penjumlahan; jika maka invers penjumlahan dari adalah solusi unik untuk persamaan dinotasikan pada dalam dari pada dinotasikan pada Selanjutnya maka invers perkalian pembagian adalah invers dari perkalian; jika adalah solusi unik untuk persamaan Invers perkalian dalam dapat dihitung secara efisien dengan menggunakan Algoritme Euclidean yang Diperluas Dalam pembahasan selanjutnya akan dibahas tanpa elemen {} membentuk grup di bawah operasi perkalian dinotasikan dengan Definisi 9 MASALAH LOGARITMA DISKRET PADA adalah grup siklik yang berorder Berdasarkan Teorema merupakan grup siklik maka terdapat suatu Karena yang disebut elemen primitif Jika generator yang membangun diberikan dan diketahui order dari elemen primitif dari adalah maka ℴ Teorema 9 sehingga : { dan berdasarkan Teorema 6 } semuanya berbeda Berdasarkan Definisi 4 dan Definisi 44 jika diberikan grup siklik berorder generator polinomial irredusibel atas ℤ Logaritma diskret unik sedemikian sehingga : mod dan dengan basis adalah adalah integer

5 dan bagaimana menentukan rentang disebut masalah logaritma diskret Nilai pada yang merupakan solusi masalah logaritma diskret mod dijamin ada Teorema 46 Menentukan masalah logaritma diskret menjadi sulit apabila order grup multiplikatif besar Karena itu diperlukan suatu teknik tertentu untuk menyelesaikannya Beberapa teknik yang dapat digunakan untuk menentukan masalah logaritma diskret ini adalah Algoritme Exhaustive Search Baby-Step Giant-Step Pollard s rho Pohlig Hellman dan Index Calculus Dalam Menezes et el 997 kelima algoritme tersebut dikenakan pada grup siklik G umum sedangkan pada tulisan ini dikenakan pada sistem aritmatik grup multiplikatif SOLUSI MASALAH LOGARITME DISKRET PADA Untuk menentukan masalah logaritma diskret diatas ada beberapa algoritme yang bisa digunakan diantaranya adalah Algoritme Exhaustive Search Baby-Step Giant-Step Pollard s rho Pohlig-Hellman dan Index Calculus Algoritme untuk menentukan masalah logaritma diskret dalam Menezes et al 997 dijelaskan secara umum dalam grup siklik berhingga generator ℤ berorder dengan dan untuk pendekatan yang lebih konkrit dipilih grup multiplikatif berorder dimana operasi grupnya adalah operasi perkalian modulo Pada tulisan ini algoritme-algoritme tersebut dieksplorasi untuk menentukan masalah logaritma diskret pada Solusi Masalah Logaritma Diskret pada Exhaustive Search dengan Algoritme Ide dasar Algoritme Exhaustive Search adalah Definisi Masalah Logaritma Diskret Definisi 44Misalkan algebraic atas ℤ maka adalah polinomial irredusibel atas ℤ dan { Menentukan masalah logaritma diskret pada sehingga } dengan Algoritme Exhaustive Search adalah dengan mencoba semua kemungkinan nilai sampai ditemukan yang benar artinya jika dipangkatkan

6 akan sama dengan dinotasikan dalam mod mod Atau dengan bahasa sederhana untuk menentukan masalah logaritma diskret kalikan dengan sampai ditemukan Banyaknya langkah dalam proses perkalian ini adalah Selama proses perkalian jika ditemukan maka direduksi ke mod dan dalam proses reduksi berlaku aturan penjumlahan dan perkalian dalam Selanjutnya dari dan diperoleh : log Jadi log mod Berikut Algoritme Exhaustive Search yang dieksplorasi dari Definisi Masalah Logaritma Diskret secara umum Definisi 44 Algoritme Algoritme Exhaustive Search untuk menentukan masalah logaritma diskret pada Input : dan Output : logaritma diskret berorder generator grup multiplikatif Untuk setiap p olinomial irredusibel atas ℤ berderajad log mod hitung nilai Setelah langkah ke- dimana Solusi dari mod mod maka proses berhenti mod adalah mod 4

7 Dalam Menezes et al 997 nilai harapan kompleksitas waktu Algoritme Exhaustive Search adalah Algoritme Exhaustive Search ini diimplementasikan dengan bantuan sofware Maple dapat dilihat pada Lampiran Contoh Menentukan masalah logaritma diskret pada grup multiplikatif dengan Algoritme Exhaustive Search Diketahui : adalah generator grup multiplikatif log Tentukan Solusi : dan mod dibangun oleh suatu polinomial Grup multiplikatif irredusibel atas ℤ Diketahui adalah generator grup multiplikatif adalah perkalian dalam modulo Perkalian dari elemen-elemen sehingga sebab dalam ℤ Grup multiplikatif kemungkinan nilai mod berorder 7 artinya ada 7 6 yang memenuhi mod nilai yang benar yang memenuhi Tabel Representasi Polinomial mod Kita akan coba untuk setiap kemungkinan nilai mod Dengan Algoritme Exhaustive Search akan dicari nilai berderajad 7 mod mod mod sedemikian sehingga 6 sampai ditemukan untuk dengan mod 5

8 mod Dengan 6 Pada saat diperoleh kongruensi demikian diperoleh solusi dari mod mod 7 log mod mod adalah Karena Algoritme Exhaustive Search ini metodenya yaitu dengan mencoba semua kemungkinan solusi yang ada maka solusi yang tepat secara pasti akan ditemukan Namun kelemahannya adalah kompleksitas waktu yang besar sehingga tidak efisien digunakan untuk menyelesaikan masalah logaritma diskret dalam berorder besar Oleh karena itu diperlukan metode lain agar penyelesaian masalah logaritma diskret pada kasus yang relatif besar menjadi lebih efisien untuk 6

9 dengan Algoritme Solusi Masalah Logaritma Diskret pada Baby-Step Giant-Step Algoritme Baby-Step Giant-Step pertama kali dipublikasikan oleh Shanks pada tahun 97 Algoritme ini merupakan time-memory trade-off dari Algoritme Exhaustive Search yakni situasi dimana memori komputer digunakan untuk mengurangi biaya dan waktu eksekusi program Menezes et al 997 yang Berikut analisis Algoritme Baby-Step Giant-Step untuk dieksplorasi dari Algoritme Baby-Step Giant-Step untuk grup siklik Misalkan dengan order adalah sebuah generator grup siklik adalah dan polinomial irredusibel berderajad atas ℤ Masalah logaritma diskret adalah menentukan sedemikian log sehingga umum mod Untuk menentukan mod dengan Algoritme Baby-Step Giant-Step ada dua fase log yang harus dilewati yaitu fase baby-step dan fase giant-step Ide dasarnya adalah membagi { dengan } sampai ditemukan dalam himpunan Langkah pertama menentukan nilai dimaksudkan untuk menentukan batas minimal banyaknya representasi polinomial yang akan disimpan dalam memori komputer Langkah mod kedua polinomial sebanyak { adalah < membentuk tabel dengan pasangan dimaksudkan untuk menentukan representasi yang akan disimpan di memori komputer yakni } Untuk membentuk tabel pasangan mod dapat digunakan Algoritme Exhaustive Search Selanjutnya representasi polinomial polinomial disimpan dalam memori komputer Penyimpanan representasi polinomial polinomial ini disebut fase baby-step Langkah ketiga Algoritme Baby-Step Giant-Step adalah menentukan nilai dan sedemikian sehingga adalah dengan membagi ditemukan mod untuk suatu dengan representasi polinomial yang merupakan salah satu anggota { Caranya sampai } Banyak 7

10 langkah dalam proses pembagian ini adalah Dalam proses pembagian ini berlaku aturan penjumlahan dan perkalian polinomial dalam Untuk menentukan nilai polinomial dan : dengan cara membagi sama artinya dengan mengalikan dengan representasi dengan polinomial Kalau cara kedua ini yang digunakan maka langkah pertama adalah menentukan dengan menggunakan Algoritme Euclidean yang Diperluas Selanjutnya kalikan dengan representasi polinomial sampai diperoleh ini disebut fase giant-step menghitung nilai Proses Jika sudah ditemukan nilai dan maka selanjutnya dapat ditentukan nilai logaritma diskret Berdasarkan Definisi Logaritma Diskret : mod log Sehingga dari dan diperoleh : mod log Jadi solusi dari Algoritme mod adalah log log mod Algoritme Baby-Step Giant-Step untuk menentukan masalah logaritma diskret pada Input : generator grup siklik dan Output : logaritma diskret berorder dan p olinomial irredusibel atas ℤ berderajad log mod 8

11 Menetapkan nilai Bentuk tabel dengan pasangan Hitung kemudian tetapkan nilai mod dimana Bentuk tabel dengan pasangan nilai dari 4 Solusi dari mod adalah mod sampai diperoleh mod Dalam Menezes et al 997 nilai harapan kompleksitas waktu Algoritme Implementasinya dengan bantuan sofware Baby-Step Giant-Step adalah Maple dapat dilihat pada Lampiran Contoh Menentukan masalah logaritma diskret pada grup multiplikatif dengan Baby-Step Giant-Step Diketahui : log Tentukan Penyelesaian : adalah generator grup multiplikatif Order dari dan mod adalah 7 7 Artinya banyaknya representasi polinomial Jadi akan disimpan di memori komputer minimal adalah { } polinomial irredusibel atas ℤ dengan sehingga : mod yang yakni generator mod mod 9

12 Tabel Representasi Polinomial mod dengan untuk Representasi polinomial mod maka polinomial Pada Tabel ini terlihat jika mod Menentukan nilai mod yang Agar mudah mod Untuk menentukan direduksi ke memenuhi tentukan kongruensi terlebih dahulu gunakan Algoritme Euclidean Diperluas : mod Jadi

13 Tabel Hasil Perhitungan dengan : mod Representasi Polinomial : Pada saat 4 Jadi solusi mod diperoleh nilai log untuk mod dengan 47 Tiga algoritme berikut Algoritme Baby-Step Giant-Step Algoritme Baby-Step Giant-Step Algoritme Naif Square juga dieksplorasi dari Algoritme Baby-Step Giant-Step untuk grup siklik umum dengan Algoritme Solusi Masalah Logaritma Diskret pada Baby-Step Giant-Step Misalkan dengan order adalah sebuah generator grup siklik adalah dan polinomial irredusibel berderajad atas ℤ Masalah logaritma diskret adalah menentukan sedemikian log sehingga log mod Untuk menentukan mod dengan Algoritme Baby-Step Giant-Step juga ada dua fase yang harus dilewati yaitu fase baby-step dan fase giant-step Ide dasarnya adalah membagi { dengan sampai ditemukan } Langkah pertama menentukan nilai dalam himpunan dimaksudkan untuk menentukan batas minimal banyaknya representasi polinomial disimpan dalam memori komputer Sebenarnya boleh kurang atau lebih dari yang akan tidak harus sama dengan tergantung dari kapasitas memori komputer yang digunakan tetapi pada tulisan ini untuk komputasi diambil nilai

14 Langkah mod sebanyak kedua adalah < membentuk tabel dengan pasangan dimaksudkan untuk menentukan polinomial yang akan disimpan di memori komputer yakni { } dapat digunakan Algoritme Untuk membentuk tabel pasangan mod Exhaustive Search Selanjutnya representasi polinomial polinomial disimpan ini disebut fase dalam memori komputer Penyimpanan polinomial polinomial baby-step Langkah ketiga Algoritme Baby-Step Giant-Step adalah menentukan nilai dan sedemikian sehingga adalah dengan membagi untuk suatu mod dengan representasi polinomial yang merupakan salah satu anggota { Caranya sampai ditemukan } Banyak langkah dalam proses pembagian ini adalah Dalam proses pembagian ini berlaku aturan penjumlahan dan perkalian polinomial dalam Proses menghitung nilai : ini disebut fase giant-step Jika sudah ditemukan nilai dan maka selanjutnya dapat ditentukan nilai logaritma diskret Berdasarkan Definisi Logaritma Diskret : log mod Sehingga dari dan diperoleh : mod log Jadi solusi dari mod adalah log log mod

15 Algoritme Algoritme Baby-Step Giant-Step untuk menentukan masalah logaritma diskret pada Input : dan Menetapkan nilai Bentuk tabel dengan pasangan kemudian tetapkan nilai mod dimana Bentuk tabel dengan pasangan nilai dari 4 Solusi dari mod adalah mod log Hitung berorder p olinomial irredusibel atas ℤ berderajad Output : logaritma diskret generator grup multiplikatif mod sampai diperoleh mod Dalam Menezes et al 997 nilai harapan kompleksitas waktu Algoritme Implementasinya dengan bantuan sofware Baby-Step Giant-Step adalah Maple dapat dilihat pada Lampiran 4 Contoh 4 Menentukan masalah logaritma diskret pada grup multiplikatif dengan Baby-Step Giant-Step Diketahui : adalah generator grup multiplikatif Penyelesaian : adalah Order dari dan mod log Tentukan 7 7 Artinya banyaknya representasi polinomial Jadi akan disimpan di memori komputer minimal adalah { } polinomial irredusibel atas ℤ dengan sehingga : mod yang yakni generator mod

16 mod Representasi polinomial yang akan disimpan di memori komputer dapat dilihat pada Tabel hal Menentukan nilai yang mod Agar mudah menentukan memenuhi kongruensi terlebih dahulu tentukan mod dengan menggunakan Algoritme Euclidean yang Diperluas : Jadi Tabel 4 dengan : mod mod Representasi Polinomial : 4 untuk mod Jadi solusi α α α α Pada saat Hasil Perhitungan 6 diperoleh nilai log mod dengan

17 dengan Algoritme 4 Solusi Masalah Logaritma Diskret pada Baby-Step Giant-Step Misalkan adalah dengan order irredusibel berderajad atas menentukan adalah sebuah generator grup multiplikatif ℤ Masalah dan polinomial logaritma sedemikian sehingga diskret log adalah mod mod seperti halnya pada Algoritme log Untuk menentukan Baby-Step Giant-Step dan Algoritme Baby-Step Giant-Step Algoritme BabyStep Giant-Step juga harus melewati fase baby-step dan fase giant-step Ide dasarnya adalah membagi < dengan sampai ditemukan integer positif salah satu anggota himpunan { Langkah pertama menentukan nilai < dengan } < ; adalah dimaksudkan untuk menentukan batas minimal banyaknya representasi polinomial yang akan disimpan di memori komputer mod dimana Langkah kedua representasi polinomial { adalah membentuk tabel dengan pasangan dimaksudkan untuk menentukan yang akan disimpan di memori komputer yakni } Sama seperti pada algoritme Baby-Step Giant-Step untuk membentuk tabel pasangan mod juga dapat digunakan Algoritme Exhaustive Search Fase ini disebut fase baby-step Langkah ketiga Algoritme Baby-Step Giant-Step adalah menentukan nilai { dan < sedemikian sehingga Caranya adalah membagi sampai ditemukan dimana mod untuk suatu dengan representasi polinomial merupakan salah satu anggota } Dalam proses pembagian ini berlaku aturan penjumlahan Banyak langkah dalam proses dan perkalian polinomial dalam pembagian ini adalah : 5

18 ini disebut fase giant-step Proses menghitung nilai Jika sudah ditemukan nilai dan maka selanjutnya dapat ditentukan nilai logaritma diskret Berdasarkan Definisi Logaritma Diskret : mod log Sehingga dari dan diperoleh : mod log Jadi solusi mod log log mod dari adalah Algoritme 4 Algoritme Baby-Step Giant-Step untuk menentukan masalah logaritma diskret pada Input : berorder generator grup multiplikatif dan Output : logaritma diskret Tetapkan nilai Bentuk Mencari nilai 4 untuk suatu tabel Solusi dari p olinomial irredusibel atas ℤ berderajad log dengan < dan mod pasangan mod dan sedemikian sehingga < mod adalah mod mod dimana 6

19 Nilai harapan kompleksitas waktu Algoritme Baby-Step Giant-Step Menezes et al 997 Implementasinya dengan bantuan sofware adalah Maple dapat dilihat pada Lampiran 5 dengan Baby-Step Giant-Step Diketahui : Penyelesaian : dan mod log Tentukan adalah generator grup multiplikatif Contoh 5 Menentukan masalah logaritma diskret pada grup siklik irredusibel atas ℤ Ambil Jadi banyaknya representasi polinomial yang akan disimpan di memori komputer yaitu { sebanyak } generator maka Representasi polinomial yang akan disimpan di memori komputer dapat dilihat pada Tabel hal dan yang memenuhi kongruensi Selanjutnya menentukan nilai mod Agar mudah menentukan mod Ambil menentukan Jadi dan terlebih dahulu tentukan Sehingga diperoleh 8 Untuk gunakan Algoritme Euclidean yang Diperluas : mod Selanjutnya tentukan terlebih dahulu mod untuk 7

20 Tabel 5 Hasil Perhitungan dengan : 4 5 Pada saat Sehingga : mod 5 diperoleh kongruensi : mod ; mod untuk mod : 8 7 dan mod 7 47 mod 7 ada 6 Pada contoh ini banyaknya proses pembagian hingga ditemukan langkah Langkah ini lebih banyak jika dibandingkan dengan banyaknya langkah pada contoh 4 yang menggunakan Algoritme Baby-Step Giant-Step Dari contoh ini terlihat bahwa jika representasi polinomial yang disimpan di memori komputer besar maka proses pembagian sampai diperoleh representasi polinomial { } akan lebih cepat banyaknya langkah lebih sedikit begitu juga sebaliknya 5 Solusi Masalah Logaritma Diskret pada Naif Square Misalkan adalah dengan Algoritme dengan order adalah sebuah generator grup siklik dan polinomial irredusibel berderajad atas ℤ Masalah logaritma diskret adalah menentukan sedemikian log sehingga log mod Untuk menentukan mod seperti halnya pada Algoritme Baby-Step Giant-Step Algoritme Baby-Step Giant-Step dan Algoritme Baby-Step Giant-Step Algoritme Naif Square juga harus melewati fase baby-step dan fase giant-step Ide 8

21 dasarnya adalah mengalikan dalam himpunan dengan sampai ditemukan menentukan batas minimal banyaknya representasi polinomial yang akan disimpan di memori komputer kedua adalah representasi polinomial { membentuk mod dimana < dimaksudkan untuk Langkah pertama menentukan nilai Langkah tabel dengan pasangan dimaksudkan untuk menentukan yang akan disimpan di memori komputer yakni } Sama seperti pada Algoritme Baby-Step Giant-Step Algoritme Baby-Step Giant-Step dan Baby-Step Giant-Step untuk membentuk tabel pasangan mod pada Algoritme Naif Square juga dapat digunakan Algoritme Exhaustive Search Fase ini disebut fase baby-step Langkah ketiga Algoritme Naif Square adalah menentukan nilai sedemikian sehingga dengan mengalikan anggota { untuk suatu mod dengan sampai ditemukan Caranya adalah yang merupakan salah satu } Dalam proses perkalian ini berlaku aturan Banyak langkah dalam penjumlahan dan perkalian polinomial dalam proses perkalian ini adalah Proses menghitung nilai ini disebut fase giant-step Jika sudah ditemukan nilai maka selanjutnya dapat ditentukan nilai logaritma diskret Berdasarkan Definisi Logaritma Diskret : log mod Sehingga dari dan diperoleh : mod 9

22 Menentukan mod adalah Jadi solusi dari mod log mod caranya dengan menggunakan Algoritme Euclidean yang Diperluas Algoritme 5 Algoritme Naif Square untuk menentukan masalah logaritma diskret pada Input : generator grup multiplikatif dan Bentuk tabel log dengan mod pasangan Mencari nilai sedemikian sehingga Menentukan 4 Solusi dari p olinomial irredusibel atas ℤ berderajad Output : logaritma diskret berorder mod mod dimana untuk suatu mod mod adalah mod Dalam Menezes et al 997 nilai harapan kompleksitas waktu Algoritme Naif Square adalah Implementasinya dengan bantuan sofware Maple dapat dilihat pada Lampiran 6 Contoh 6 Menentukan masalah logaritma diskret pada grup siklik dengan Naif Square Diketahui : generator grup multiplikatif Tentukan log Penyelesaian : dan mod 4

23 adalah Order dari dan 7 Diketahui berlaku aturan penjumlahan dan perkalian generator Karena pada dalam mod maka Representasi polinomial yang akan disimpan di memori komputer dapat dilihat pada Tabel hal dengan mod Selanjutnya menentukan mod Tabel 6 Hasil Perhitungan Jadi Sehingga : 9 mod 7 mod diperoleh pada saat dengan untuk mod 4 9 mod Representasi polinomial 8 9 dan mod mod 7 47 Pada algoritme ini banyaknya langkah perhitungan yang diperlukan untuk memperoleh relatif besar jika dibandingkan dengan banyaknya langkah pada Algoritme Baby-Step Giant-Step Baby-Step Giant-Step dan Baby-Step GiantStep Kelebihannya adalah Naif Square tidak serumit Baby-Step Giant-Step 4

24 Baby-Step Giant-Step dan Baby-Step Giant-Step karena hanya memerlukan invers integer tidak memerlukan invers himpunan Kelemahan Algoritme Baby-Step Giant-Step Baby-Step Giant-Step Baby-Step Giant-Step dan Naif Square adalah memerlukan banyak memori ketika grup berorder besar Metode Pollard s rho menyederhanakannya dengan algoritme probabilistik dengan perkiraan kompleksitas waktu yang sama tetapi memerlukan memori penyimpanan yang lebih sedikit 6 Solusi Masalah Logaritma Diskret pada Pollard s rho dengan Algoritme Algoritme Pollard s rho adalah algoritme untuk memecahkan masalah logaritma diskret dan masalah faktorisasi integer ditemukan oleh John Pollard pada tahun 975 Efektif digunakan untuk pemfaktoran bilangan komposit dengan faktor kecil Algoritme ini didasarkan pada Algoritme Floyd s Cycle-Finding dan pada pengamatan bahwa seperti pada Birthday Paradox Problem dua bilangan dan adalah kongruen modulo ln dengan peluang 5 setelah langkah ke Agar lebih mudah untuk memahami Algoritme Pollard s rho terlebih dahulu akan kita kaji tentang Algoritme Floyd s Cycle-Finding dan Birthday Paradox Floyd s Cycle-Finding Algoritme Floyd s Cycle-Finding ditemukan oleh Robert W Floyd pada tahun 967 Algoritme Floyd s Cycle-Finding digunakan untuk menemukan cycle dalam barisan { sampai sehingga pasangan } dengan membandingkan elemen-elemen ditemukan Lemma 48 menjelaskan hubungan antara Algoritme Floyd s CycleFinding dengan Algoritme Pollard s rho Lemma tersebut menunjukkan bahwa dalam barisan bilangan yang dibangkitkan oleh sebuah fungsi yang memetakan sebuah himpunan hingga ke himpunan hingga menjamin adanya satu atau lebih bilangan yang sama Dalam barisan bilangan yang dibangkitkan tersebut terjadi pengulangan modulo 4

25 Floyd s Cycle Finding digunakan untuk menemukan sedemikian sehingga Birthday Paradox mod dan Diasumsikan bahwa dalam tahun terdiri dari 65 hari Berapa banyak orang yang harus ada sehingga peluang orang memiliki hari ulang tahun yang sama adalah? Pertanyaan tersebut menjadi dasar dari Birthday Paradox Kunci untuk memahami permasalahan ini adalah dengan berpikir bahwa peluang tidak ada orang yang memiliki ulang tahun yang sama adalah peluang bahwa orang ke- akan memiliki ulang tahun yang berbeda dengan orang ke- dan akan berbeda dengan orang ke- dan seterusnya Semakin banyak orang yang dilibatkan maka peluang tidak adanya orang dengan tanggal ulang tahun yang sama akan semakin kecil Untuk menghitung peluang ini kita abaikan variasi tahun kabisat terdapat orang kembar dan asumsi bahwa 65 tanggal akan memiliki kemungkinan yang sama Misalkan banyaknya hari dalam satu tahun adalah akan dihitung peluang ulang tahun yang sama yaitu peluang 65hari Pertama orang tidak akan memiliki tanggal ! 65! 65 Orang ke- memiliki tanggal ulang tahun yang berbeda dengan orang ke- dengan peluang kejadian orang ke- harus memiliki tanggal ulang tahun yang berbeda dengan orang pertama dengan peluang kejadian dan seterusnya Peluang setidaknya orang dari kelompok tersebut memiliki tanggal ulang tahun yang sama adalah komplemen dari peluang tanggal ulang tahun semua orang akan berbeda yaitu : 65! 65! 65 4

26 Misalkan adalah peluang bahwa dari banyaknya orang akan menghasilkan sedikitnya tanggal hari ulang tahun yang sama Dapat dilihat bahwa ! 65! 65 Dengan menggunakan rumus di atas ternyata nilai akan melebihi 5% ketika perhitungannya dapat dilihat di tabel berikut : Tabel 7 Hasil Perhitungan Birthday Paradox

27 Jadi dalam teori probabilitas birthday paradox menyatakan bahwa dari suatu kelompok dengan anggota orang yang dipilih secara acak maka peluang setidaknya ada orang yang memiliki tanggal ulang tahun yang sama adalah lebih dari 5% Semakin besar semakin meningkat tajam peluang yang diperolehnya Pada percobaan orang yang ke- saja peluangnya sudah mencapai Padahal secara umum peluang percobaan untuk menghasilkan sedikitnya tanggal hari ulang tahun yang sama dijamin akan bernilai satu ketika banyaknya percobaan tersebut sama atau lebih besar dari input yang ada Dalam kasus ini besarnya input adalah 65 Karena peluang ini lebih besar dari yang diperkirakan oleh sebagian besar orang maka disebut sebagai paradox Hal inilah yang menjadi motivasi dari Birthday Paradox Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa Birthday Paradox digunakan untuk menjamin bahwa mulai adanya satu atau lebih bilangan yang sama dalam barisan bilangan sedikitnya setelah langkah ke- ln dengan peluang lebih dari setengah yang dieksplorasi Berikut analisis Algoritme Pollard s rho untuk dari Algoritme Pollard s rho untuk grup siklik Misalkan berorder umum adalah grup multiplikatif dibawah operasi perkalian irredusibel berderajad menentukan masalah menemukan generator dan polinomial atas ℤ Ide dari Algoritme Pollard s rho untuk logaritma diskret pada barisan { } untuk mod log Langkah pertama adalah mempartisi grup multiplikatif partisi subset yang kira-kira berukuran sama Berikut contoh pendefinisian keanggotaan himpunan menjadi Misal adalah himpunan semua polinomial derajadnya kelipatan sisa himpunan semua polinomial derajadnya kelipatan sisa adalah adalah adalah himpunan semua polinomial derajadnya kelipatan sisa Pendefinisian keanggotaan yang tepat penting untuk menghindari ketidakmerataan pendistribusian anggota ke dalam subset-subsetnya Karena jika pendistribusiannya tidak merata akan mengakibat hasil komputasi logaritma diskret yang diperoleh salah atau bahkan yang lebih parah tidak akan ditemukan pada barisan { } Selain 45

28 contoh tersebut masih ada 5 kemungkinan kombinasi pendefinisian yang bisa digunakan Lebih jelas bisa dilihat di tabel berikut : Tabel 8 Beberapa Kemungkinan Pendefinisian Keanggotaan Himpunan Sisa dari derajad polinomial kelipatan tiga untuk No Selanjutnya berdasarkan bangkitkan barisan dengan untuk Algoritme Pollard s rho : Algoritme Floyd s Cycle-Finding kita secara acak dengan iterasi menggunakan fungsi sampai ditemukan Karena berhingga maka barisan { } akhirnya menjadi periodik membentuk siklus yakni ada index terkecil untuk semua sehingga untuk beberapa kemudian seperti pada gambar berikut Hankerson 4 disebut tail length dan disebut cycle length dari barisan Kita definisikan fungsi sebagai berikut : : ℤ ℤ ℤ ℤ 46

29 dengan integer jika jika jika harus memenuhi bentuk Selanjutnya setiap tripel Bandingkan tripel sedemikian sehingga log Diketahui jika jika Jika sudah ditemukan Jika gcd solusi maka Algoritme 6 sebagai berikut : maka : maka persamaan menjadi berorder maka dari Karena sampai ditemukan suatu nilai artinya dan Dimulai maka dengan mendefinisikan tripel awal yakni untuk mod mod mempunyai invers sehingga diperoleh mod Algoritme Pollard s rho untuk menentukan masalah logaritma diskret pada Input : berderajad log Output : logaritma diskret Bagi grup multiplikatif dan generator grup multiplikatif Bentuk barisan berorder polinomial irredusibel atas ℤ mod menjadi partisi himpunan yaitu barisan dengan iterasi menggunakan fungsi dan barisan yang didefinisikan : 47

30 4 Bandingkan nilai dari atau jika jika jika definisikan Untuk diperoleh 5 dan jika jika sedemikian sehingga Kemudian dengan aturan perkalian dan aturan logaritma dengan basis persamaan di atas menjadi 6 Jika log r log log β mod mod mod log mod maka sehingga diperoleh persamaan sehingga menjadi didapatkan dan solusi logaritma diskret adalah : mod Dalam Menezes et al 997 nilai harapan kompleksitas waktu Algoritme Implementasinya dengan bantuan sofware Pollard s rho ini adalah Maple dapat dilihat pada Lampiran 7 Contoh 7 Menentukan masalah logaritma diskret pada grup multiplikatif dengan Pollard s rho Diketahui : Tentukan generator grup multiplikatif log Penyelesaian : dan mod dipartisi menjadi himpunan yaitu dan ; himpunan semua polinomial derajadnya kelipatan tiga sisa himpunan semua polinomial derajadnya kelipatan tiga sisa himpunan semua polinomial derajadnya kelipatan tiga sisa Misalkan ambil Didefinisikan : sehingga 48

31 mod mod mod jika jika jika mod mod jika jika jika mod mod yang memenuhi persamaan Nilai-nilai untuk pada tabel berikut dan Tabel 9 Hasil Perhitungan jika jika jika untuk dapat dilihat dengan pada dimana dengan 49

32 Diperoleh : 7 mod 5 mod 7 mod mod 7 mod Contoh 8 mod Diketahui : generator grup multiplikatif Jadi log Penyelesaian : dan mod log Tentukan Cara penyelesaiannya sama seperti pada Contoh 7 tetapi dengan mengambil 5 sehingga Tabel Hasil Perhitungan 9 dan mod 5 mod 55 mod Contoh 9 Diketahui : generator grup multiplikatif log Tentukan dengan pada mod mod 9 mod Jadi log dan mod 5

33 Penyelesaian : Cara penyelesaiannya sama seperti pada Contoh 7 dan 8 tetapi dengan mengambil 5 sehingga dan Tabel Hasil Perhitungan pada dengan mod 4 mod 54 mod Diketahui : generator grup multiplikatif log Penyelesaian : dan mod Sama seperti pada Contoh 7 dan mod 4 5 mod Contoh Tentukan ; dipartisi menjadi himpunan yaitu himpunan semua polinomial derajadnya kelipatan tiga sisa himpunan semua polinomial derajadnya kelipatan tiga sisa himpunan semua polinomial derajadnya kelipatan tiga sisa Misalkan ambil 4 sehingga 5

34 Didefinisikan : dan pada tabel berikut Tabel Hasil Perhitungan i dan untuk jika jika jika dapat dilihat dengan pada dimana dengan jika x S jika x S jika x S mod mod yang memenuhi persamaan mod n mod n Nilai-nilai untuk jika jika jika 4 5 Diperoleh : mod 5 mod 5 mod 5 7 mod mod 5 9 Contoh mod Diketahui : generator grup multiplikatif Jadi log Tentukan log Penyelesaian : 9 dan mod 5

35 7 sehingga Misalkan ambil Tabel Hasil Perhitungan i Karena dan dengan pada 4 mod 5 mod 5 maka tidak mempunyai invers modulo Sehingga dalam kasus ini tidak bisa ditentukan yang benar Contoh Diketahui : Tentukan generator grup multiplikatif log dan mod Penyelesaian : Cara penyelesaiannya sama seperti pada Contoh dan Misalkan ambil sehingga dan Tabel 4 Hasil Perhitungan i pada dengan 4 4 mod 5 4 mod 5 5

36 Karena gcd 5 maka tidak mempunyai invers modulo Sehingga dalam kasus ini tidak bisa ditentukan yang benar Dari Contoh dan terlihat bahwa penentuan adalah pangkat dari generator akan sangat berpengaruh pada keberhasilan untuk menentukan logaritma diskret pengambilan yang benar Tetapi jika kita lihat Contoh 7 8 dan 9 yang berbeda tidak mempengaruhi keberhasilan dalam menentukan logaritma diskret Ini sebenarnya berhubungan dengan order grup ; siklik dengan berorder prima maka walaupun Jika berbeda tetap akan diperoleh hasil yang tepat dan sebaliknya jika berorder komposit maka memilih harus berhati-hati agar ditemukan yang benar Berikut beberapa kemungkinan yang dapat terjadi akibat dari ketidaktepatan pemilihan generator pada grup Jika maka tidak mempunyai invers modulo Sehingga tidak bisa ditentukan logaritma diskret gcd berorder komposit yang benar ; adalah order grup Jika gcd maka tidak mempunyai invers modulo Sehingga tidak bisa ditentukan logaritma diskret yang benar atau logaritma diskret yang diperoleh tidak tepat Selain pemilihan pangkat generator hal penting yang juga harus diperhatikan dalam Algoritme Pollard s rho ini adalah cara mempartisi grup siklik menjadi himpunan bagian Pembagian grup harus seacak mungkin agar pendistribusian anggota tidak menumpuk pada satu himpunan bagian karena akan berpengaruh untuk keberhasilan penentuan logaritma diskret yang tepat Perhatikan bahwa himpunan bagian ini tidak harus subgrup dari grup multiplikatif 7 Solusi Masalah Logaritma Diskret pada Pohlig-Hellman dengan Algoritme Algoritme Pohlig-Hellman adalah sebuah algoritme yang digunakan untuk mengkomputasi logaritma diskret dalam sebuah kelompok multiplikatif yang pangkatnya bukan merupakan bilangan prima yang aman Algoritme ini didasari oleh Teorema Sisa Cina 54

37 Berikut analisis Algoritme Pohlig-Hellman untuk dieksplorasi dari Algoritme Pohlig-Hellman untuk grup siklik umum adalah grup siklik dibawah operasi perkalian berorder Misalkan yang generator irredusibel berderajad atas ℤ dan Berdasarkan Teorema Dasar Aritmetika polinomial dapat difaktorkan atas kuasa prima : dimana adalah bilangan prima berbeda dan Ide dari Algoritme Pohlig Hellman untuk menentukan masalah logaritma log diskret dahulu menentukan mod adalah menemukan mod untuk setiap mod dengan terlebih menggunakan Teorema Sisa Cina Artinya komputasi dilakukan pada subgrup berorder prima berpangkat integer positif Perhatikan masalah logaritma diskret pada grup mod berikut : adalah solusi dari masalah tersebut sehingga menurut Definisi Masalah Logaritma Diskret y dinyatakan dalam modulo dinotasikan y mod Karena mod mod adalah bilangan prima berbeda maka berdasarkan Teorema Sisa Cina diperoleh sistem kongruensi berikut : untuk setiap mod Selanjutnya untuk menentukan nilai nilai Misal dimana dan maka terlebih dahulu ditentukan maka menjadi : dapat diekspresikan dalam q- mod 4 yang direpresentasikan sebagai : 55

38 dimana Perhatikan untuk persamaan 4 5 juga dapat diekspresikan sebagai untuk beberapa integer Sehingga diperoleh : Selanjutnya menghitung Nilai diperoleh dari : mod 6 dengan menggunakan Algoritme Exhaustive Search atau Baby-Step Giant-Step Bukti persamaan 6 : mod mod mod maka diperoleh Jika langkah selanjutnya adalah menentukan dengan menggunakan persamaan 5 Cara untuk menentukan Tetapkan untuk dan definisikan mod Adalah mudah untuk menghitung Jika mod mod mod dengan menggunakan persamaan 6 > setelah nilai diketahui maka dan kemudian hitung sama seperti menentukan Kemudian untuk menghitung perumuman persamaan 6 berikut : gunakan 56

39 Bukti persamaan 7 : mod Perhatikan bahwa Oleh karena itu mod mod mod mod dapat dihitung dari dengan menggunakan 6 dan 8 Setelah semua mod Gauss diperoleh Algoritme 7 log mod mod mod mod 7 mod mod nilai dengan diketahui : 8 dapat dihitung secara bergantian diketahui maka diperoleh kongruensi Selanjutnya dengan menggunakan Algoritme mod Algoritme Pohlig Hellman untuk menentukan masalah logaritma diskret pada Input : generator grup siklik dan berorder p olinomial irredusibel berderajad atas ℤ 57

40 log Output : logaritma diskret Cari faktorisasi prima dari Untuk setiap terlebih dahulu tentukan koefisien berikut: Masukkan nilai Menentukan Definisikan 4 Untuk 4 Untuk setiap hitung Ambil hitung dimana sebagai hasil nilai sedemikian Selanjutnya definisikan ; Gunakan Algoritme Gauss untuk menghitung integer mod maka dengan langkah-langkah mod untuk mod dengan nilai Kemudian tentukan nilai Sehingga diperoleh sehingga dimana Untuk menentukan nilai mod tentukan dan setiap 5 yaitu mod dan sehingga Dalam Menezes et al 997 nilai harapan kompleksitas waktu Algoritme Pohlig Hellman adalah log Implementasinya dengan bantuan sofware Maple dapat dilihat pada Lampiran 8 Contoh Menentukan masalah logaritma diskret pada grup multiplikatif dengan Pohlig-Hellman Diketahui : generator grup multiplikatif Tentukan log mod dan 58

41 Penyelesaian : berorder dengan Grup Selanjutnya akan ditentukan mod 7 dan dahulu Definisikan dan mod 9 dimana mod 5 mod Sebelumnya harus ditentukan terlebih Untuk ; 4 mod mod mod Dengan menggunakan Algoritme Exhaustive Search diperoleh : dan mod mod mod Dengan menggunakan Algoritme Exhaustive Search diperoleh : Jadi : dan Untuk mod 9 5 dan mod berarti i mod 59

42 mod Dengan menggunakan Algoritme Exhaustive Search diperoleh : Jadi : dan 7 dan mod 5 Untuk mod ii berarti mod mod Dengan menggunakan Algoritme Exhaustive Search diperoleh : Jadi : 6 dan dan 6 6mod 7 4 Untuk mod iii berarti mod mod Dengan menggunakan Algoritme Exhaustive Search diperoleh : Jadi : dan 7 7mod 7 iv 6

43 Dari i ii iii dan iv diperoleh sistem kongruensi: mod 9 mod 5 6mod 7 7mod Selanjutnya menyelesaikan sistem kongruensi di atas dengan menggunakan Teorema Sisa Cina dan Algoritme Gauss mod 9 maka 585 mod 7 maka mod 5 maka 89 5 mod maka mod mod 495 mod 495 log Jadi mod Contoh 4 Menentukan masalah logaritma diskret pada grup siklik dengan Pohlig Hellman Diketahui : generator grup multiplikatif log Tentukan Penyelesaian : Grup berorder dengan mod 9 dan Definisikan Untuk dan mod Selanjutnya akan ditentukan dahulu dimana mod 7 mod 7 mod 7 Sebelumnya harus ditentukan terlebih ; 4 6

44 dan mod mod Diperoleh mod dan mod Diperoleh Jadi : dan Untuk mod dan berarti mod mod mod mod 7 7 dan Jadi diperoleh mod mod i mod mod 6

45 Diperoleh Jadi : dan mod 7 Untuk 9 dan ii mod berarti mod mod Diperoleh Jadi : dan mod 9 Untuk 4 7 dan iii mod berarti mod Diperoleh Jadi : dan mod 7 mod Dari i ii iii dan iv diperoleh sistem kongruensi: mod 7 mod 7 iv 6

46 mod 9 mod 7 Selanjutnya menyelesaikan sistem kongruensi di atas dengan menggunakan Teorema Sisa Cina dan Algoritme Gauss mod 7 maka mod 7 maka mod 7 maka 6 mod 9 maka mod mod 64 mod 64 log Jadi mod Contoh 5 Menentukan masalah logaritma diskret pada grup multiplikatif dengan Pohlig Hellman Diketahui : generator grup multiplikatif Penyelesaian : Grup berorder dengan Selanjutnya akan ditentukan ditentukan terlebih dahulu Definisikan Untuk 7 dan : dan mod log Tentukan 7 dimana mod 7 Sebelumnya harus mod mod 64

47 5 mod Dengan menggunakan Algoritme Exhaustive Search atau Baby-Step Giant-Step diperoleh : Sehingga log 5 dan mod 5 5mod 7 Pada Contoh 5 grup multiplikatif untuk menentukan logaritma diskret berorder prima sehingga hanya memerlukan nilai dari diperoleh dengan mencoba semua kemungkinan nilai Nilai yang ada; 6 sampai ditemukan yang benar Pelacakan lengkap seperti ini masih efektif dilakukan karena berorder kecil Jika untuk menentukan logaritma diskret berorder prima besar dengan Algoritme Pohlig Hellman tidak begitu efektif karena ordernya tidak bisa difaktorkan menjadi faktor prima yang tidak bisa difaktorkan menjadi faktor prima smooth Dalam hal order maka menentukan logaritma diskret bisa langsung menggunakan Algoritme Exhaustive Search Baby-Step Giant-Step atau Pollard s rho dengan Algoritme 8 Solusi Masalah Logaritma Diskret pada Index Calculus Misalkan menentukan adalah generator grup siklik log berorder dan Untuk dengan Algoritme Index Calculus umum diantaranya adalah menentukan faktorisasi dari suatu generator berpangkat dengan Masalah pemfaktoran ini menjadi bagian penting dalam Algoritme Index Calculus Karena itu agar lebih mudah memahami Algoritme Index Calculus pada terlebih dahulu akan kita pelajari tentang faktorisasi polinomial ℤ[ ] 8 Faktorisasi Polinomial Diberikan polinomial bagaimana memfaktorkan ℤ[ ] Masalah faktorisasi polinomial adalah sehingga untuk 65

48 setiap adalah polinomial irredusibel atas ℤ [ ]dan setiap Menezes et al 997 Pada tulisan ini faktorisasi polinomial dibatasi pada polinomial-polinomial atas ℤ [ ] dan solusi faktorisasi polinomial akan dikerjakan dalam beberapa tahap Tahap pertama adalah faktorisasi bebas kuadrat kedua faktorisasi bebas kuadrat berderajad ketiga faktorisasi berderajad terakhir faktorisasi lengkap Faktorisasi Bebas Kuadrat Definisi 8 Misalkan ℤ[ ] Maka bebas kuadrat jika tidak ada pengulangan faktor yakni tidak terdapat polinomial membagi sedemikian sehingga adalah dan gcd untuk berderajad Faktorisasi bebas kuadrat dari dimana setiap dan adalah polinomial bebas kuadrat Menezes et al 997 ℤ[ ] adalah merupakan Perhatikan bahwa setiap polinomial polinomial monik Definisi yang berhubungan dengan polinomial monik dapat dilihat pada Definisi 9 Bagian faktorisasi bebas kuadrat ini menunjukkan bagaimana masalah memfaktorkan polinomial direduksi ke masalah pemfaktoran satu atau lebih polinomial monik bebas kuadrat Ide dasarnya sama dengan ide Algoritme Barlekamp s Q-Matrix Misalkan adalah polinomial monik atas ℤ [ ] berderajad mempunyai faktor irredusibel berbeda Berlekamp s Q-Matrix untuk memfaktorkan Himpunan polinomial : Algoritme didasarkan pada fakta berikut ℬ { ℤ[ ]/ mod } adalah ruang vektor berdimensi atas ℤ Karena ℬ adalah ruang vektor maka ℬ memiliki basis sebut saja basisnya adalah ℱ { setiap faktor berbeda sedemikian sehingga Faktor gcd Matrix menentukan dan dari membagi dan ada tetapi } Untuk ℱ dan ℤ tidak membagi dapat dipisah dengan menghitung Menezes et al 997 Pada Algoritme Berlekamp s Q yaitu dengan menggunakan atau melibatkan 66

49 matriks identitas sedangkan pada tulisan ini digunakan pelacakan probabilistik metode trial and error Selanjutnya Algoritme Berlekamp s Q-Matrix dapat dilihat di Landasan Teori Algoritme 6 Misalkan ℤ[ ] dengan atas ℤ dan misalkan berderajad m embagi Misalkan dengan ℤ [ ] sedemikian sehingga dan adalah karakteristik dari ℤ [ ] adalah polinomial irredusibel monik maka mod Polinomial mempunyai d an mod akar Teorema 47 Berdasarkan fakta yang digunakan Algoritme Berlekamp Q-Matrix hal 66 dan berdasarkan Teorema 47 m embagi pada ℤ [ ] Karena gcd gcd menjadi : diperoleh gcd gcd Ditulis gcd gcd Algoritme faktorisasi bebas kuadrat dirancang untuk mendapatkan salah satu dimana Berikut Algoritme Faktorisasi Bebas Kuadrat Algoritme Faktorisasi Bebas Kuadrat Algoritme Faktorisasi Bebas Kuadrat adalah algoritme untuk menentukan faktorisasi bebas kuadrat dari polinomial monik bebas kuadrat dengan mengambil atau mengekstrak satu faktor saja atas ℤ Algoritme Faktorisasi Bebas Kuadrat dilakukan dalam tahap Tahap pertama adalah menguji apakah polinomial input merupakan polinomial monik bebas kuadrat atau bukan Algoritme 8 dengan cara menginput Jika adalah mod polinomial bebas kuadrat maka akan ditemukan 67

50 Algoritme 8 Algoritme Faktorisasi Bebas Kuadrat Input : polinomial monik gcd Output : dimana mod ℎ ℎmod gcd adalah salah satu anggota mod dan integer sedemikian sehingga Untuk dari sampai diperoleh 4 ℤ[ ]berderajad lakukan : Algoritme 8 diimplementasikan dengan bantuan software Maple dapat dilihat pada Lampiran Contoh 6 Diketahui : Tentukan apakah Penyelesaian : ℤ [ ] dengan adalah polinomial monik bebas kuadrat Misalkan : mod mod Selanjutnya dilakukan penjumlahan dan perkalian diperoleh Berikut perhitungan ℎ mod dan ℎ sampai dan 68

51 Tabel 5 Hasil Perhitungan 5 terus berlangsung sehingga tidak akan ditemukan Akibatnya dan nilainya sama dengan Pada saat ℎ ℎ 4 dengan Pengulangan akan mod bukan merupakan polinomial monik bebas kuadrat sehingga untuk memfaktorkan membutuhkan algoritme lain bisa digunakan Algoritme 4 Contoh 7 Diketahui dengan : Tentukan apakah Penyelesaian : Misalkan : perhitungan ℎ ℎ mod ℎ ℤ [ ] dan sampai ℎ mod Selanjutnya dilakukan penjumlahan dan perkalian Berikut adalah polinomial monik bebas kuadrat mod diperoleh dan 69

52 ℎ ℎ ℎ ℎ Pada saat maka gcd nilainya sama dengan maka Selanjutnya karena ditetapkan sama dengan mod Dan karena ditemukan adalah merupakan polinomial monik bebas kuadrat Sehingga selanjutnya untuk mengekstrak faktor bebas kuadrat dari polinomial d apat menggunakan Algoritme 9 berikut Algoritme 9 berikut adalah algoritme untuk menentukan faktorisasi ℤ[ ]dengan hanya bebas kuadrat dari polinomial monik bebas kuadrat mengambil satu faktor saja Algoritme 9 Algoritme Faktorisasi Bebas Kuadrat Input : polinomial monik bebas kuadrat Output : gcd { ℤ[ ]berderajad dimana } adalah salah satu anggota sedemikian gunakan Algoritme 8 dengan input dan Untuk dari dengan langkah selama t atau gunakan Algoritme 8 dengan input Hasilnya adalah sehingga lakukan: dan 7

53 Algoritme 9 diimplementasikan dengan bantuan software Maple dapat dilihat pada Lampiran Contoh 8 Diketahui Tentukan faktorisasi bebas kuadrat dari Penyelesaian : Selanjutnya tentukan diperoleh Ambil hasil Algoritme ℤ[ ] Ulangi langkah ini dengan input 5 diperoleh dan menggunakan Algoritme 8 dengan input diperoleh dan dan Ulangi dengan input Algoritme Faktorisasi Bebas Kuadrat Deskripsi : Menentukan faktorisasi bebas kuadrat dari polinomial monik bebas kuadrat d engan hanya mengambil satu faktor saja Input : polinomial monik Output : gcd { ℤ[ ]berderajad dimana } dan integer positif adalah salah satu anggota sedemikian sehingga gunakan Algoritme 9 dengan input Untuk dari selama deg lakukan : gunakan Algoritme 9 dengan input Hasinya adalah Algoritme diimplementasikan dengan bantuan software Maple dapat dilihat pada Lampiran Contoh 9 Diketahui 7 ℤ [ ] dan 7

54 Tentukan faktorisasi bebas kuadrat dari Penyelesaian : dengan input perhitungan menggunakan Algoritme 9 Selanjutnya karena deg adalah Jadi Contoh Diketahui 4 dengan input Selanjutnya karena ℤ [ ] dan perhitungan menggunakan Algoritme 9 deg sebelumnya dengan input karena Penyelesaian : Tentukan faktorisasi bebas kuadrat dari 7maka satu faktor bebas kuadrat dari 4 maka ulangi lagi dan prosedur 4 Dan ternyata adalah polinomial irredusibel berderajad 7 maka walaupun proses perhitungan menggunakan Algoritme 9 terus diulang yang berderajad sama tidak akan pernah ditemukan suatu faktor dari dengan 4 Jadi perhitungan untuk mengambil atau mengekstrak satu faktor bebas kuadrat berderajad 4dari polinomial g agal Faktorisasi Bebas Kuadrat Berderajad Algoritme Faktorisasi Bebas Kuadrat Berderajad mengambil semua faktor bebas kuadrat berderajad adalah algoritme untuk dengan menggunakan Algoritme Faktorisasi Bebas Kuadrat Algoritme Algoritme Faktorisasi Bebas Kuadrat Berderajad Input : polinomial monik bebas kuadrat positif ℤ[ ]berderajad dan integer 7

55 Output : deg dibagi dengan < lakukan : Untuk dari selama gunakan Algoritme dengan input hasil bagi Hasil dan dan Algoritme diimplementasikan dengan bantuan software Maple dapat dilihat pada Lampiran 4 Contoh Diketahui : Tentukan : faktorisasi bebas kuadrat berderajad dari 7 Penyelesaian : Set Tentukan input Tentukan Tentukan input Untuk menentukan 7 Diperoleh : Untuk menentukan dan 4 dan input 7 Diperoleh : Untuk menentukan dan 7 Diperoleh : gunakan Algoritme dengan gunakan Algoritme dengan gunakan Algoritme dengan 7

56 Jadi : Algoritme Faktorisasi Faktor Berderajad faktor berderajad misal ini akan mengekstrak semua dan suatu faktor yang merupakan suatu polinomial monik bebas tidak berderajad tetapi kuadrat Jika bukan merupakan polinomial monik bebas kuadrat maka pemfaktoran gagal seperti pada kasus atau Contoh Faktorisasi Berderajad Algoritme Faktorisasi Berderajad satu faktor berderajad adalah algoritme untuk menentukan beserta pengulangan atau pangkatnya dengan memanfaatkan hasil Algoritme dan sifat gcd himpunan Input pada algoritme ini tidak harus polinomial monik bebas kuadrat Berikut algoritme pendukung sebelum masuk ke Algoritme Faktorisasi Berderajad yakni Algoritme dan Algoritme Algoritme Algoritme Sisa Bagi Input : polinomial Output : sisa bagi Set ℤ[ ]dan integer oleh deg log Jika < maka ambil hasil Jika > maka lakukan langkah berikut : Ambil hasil mod mod 74

57 Algoritme dimaksudkan untuk menentukan sisa pembagian oleh diimplementasikan dengan bantuan software Maple dapat dilihat pada Lampiran 5 Contoh Sisa Bagi untuk kasus deg > Diketahui Tentukan mod Penyelesaian : dan Karena deg 6 > 4 maka adalah mod Contoh Sisa Bagi untuk kasus deg < Diketahui Tentukan mod dan 4 Penyelesaian : Karena deg 8 < 6 maka langkah pertama adalah menentukan deg 8 Kemudian hitung mod mod mod Jadi sisa baginya adalah log Algoritme Algoritme Sisa Bagi Input : polinomial Output : sisa bagi Set Jika : ℤ[ ]dan integer sisa bagi oleh oleh perhitungan gunakan Algoritme Suku pertama polinomial Jika suku pertama ℎ ℎ: adalah maka lakukan langkah berikut adalah maka lakukan langkah berikut Ambil hasil : 75

58 Jika suku pertama tidak sama dengan maka lakukan langkah berikut : a Ambil hasil tidak sama dengan maka lakukan Suku pertama polinomial langkah berikut Jika suku pertama sama dengan suku pertama lakukan langkah berikut ℎ maka ℎ: Ambil hasil : Jika suku pertama tidak sama dengan suku pertama lakukan langkah berikut maka : Ambil hasil Algoritme dimaksudkan untuk menentukan sisa pembagian oleh diimplementasikan dengan bantuan software Maple dapat dilihat pada Lampiran 6 Contoh 4 Sisa Bagi Diketahui Tentukan sisa bagi Penyelesaian : oleh Berdasarkan Contoh Karena suku pertama polinomial dengan maka : : mod adalah dan suku pertama : dan tidak sama 76