PERBANDINGAN REGRESI BINOMIAL NEGATIF DAN REGRESI CONWAY- MAXWELL-POISSON DALAM MENGATASI OVERDISPERSI PADA REGRESI POISSON

Transkripsi

1 JURNAL GANTANG Vol. II, No. 1, Maret 17 p-issn , e-issn Tersedia Olie di: PERBANDINGAN REGRESI BINOMIAL NEGATIF DAN REGRESI CONWAY- MAXWELL-POISSON DALAM MENGATASI OVERDISPERSI PADA REGRESI POISSON Lusi Eka Afri Program Studi Pedidika Matematika FKIP Uiversitas Pasir Pegaraia 17 Abstrak Regresi Biomial Negatif da regresi Coway-Maxwell-Poisso merupaka solusi utuk megatasi overdispersi pada regresi Poisso. Kedua model tersebut merupaka perluasa dari model regresi Poisso. Meurut Hide da Demetrio (7, terdapat beberapa kemugkia terjadi overdispersi pada regresi Poisso yaitu keragama hasil pegamata keragama idividu sebagai kompoe yag tidak dijelaska oleh model, korelasi atar respo idividu, terjadiya pegelompoka dalam populasi da peubah teramati yag dihilagka. Akibatya dapat meyebabka pedugaa galat baku yag terlalu redah da aka meghasilka pedugaa parameter yag bias ke bawah (uderestimate. Peelitia ii bertujua utuk membadiga model Regresi Biomial Negatif da model regresi Coway-Maxwell-Poisso (COM-Poisso dalam megatasi overdispersi pada data distribusi Poisso berdasarka statistik uji devias. Data yag diguaka dalam peelitia ii terdiri dari dua sumber data yaitu data simulasi da data kasus terapa. Data simulasi yag diguaka diperoleh dega membagkitka data berdistribusi Poisso yag megadug overdispersi dega megguaka bahasa pemrograma R berdasarka karakteristik data berupa µ, peluag muculya ilai ol (p serta ukura sampel (. Data dibagkitka bergua utuk medapatka estimasi koefisie parameter pada regresi biomial egatif da COM-Poisso. Kata Kuci: overdispersi, regresi biomial egatif, regresi Coway-Maxwell-Poisso Abstract Negative biomial regressio ad Coway-Maxwell-Poisso regressio could be used to overcome over dispersio o Poisso regressio. Both models are the extesio of Poisso regressio model. Accordig to Hide ad Demetrio (7, there will be some over dispersio o Poisso regressio: observed variace i idividual variace caot be described by a model, correlatio amog idividual respose, ad the populatio group ad the observed variables are elimiated. Cosequetly, this ca lead to low stadard error estimatio ad to dowward bias parameter estimatio (uderestimate. This study aims to compare the Negative Biomial Regressio model ad Coway-Maxwell-Poisso (COM- Poisso regressio model to overcome over dispersio of Poisso distributio data based o deviace test statistics. The data used i this study are simulatio data ad applied case 79

2 JURNAL GANTANG. Maret 17; II(1: 79 7 p-issn e-issn data. The simulatio data were obtaied by geeratig the Poisso distributio data cotaiig over dispersio usig the R programmig laguage based o data characteristic such as μ, the probability (p of zero value ad the sample size (. The geerated data is used to get the estimated parameter coefficiet of the egative biomial regressio ad COM-Poisso. Keywords: overdispersio, egative biomial regressio ad Coway-Maxwell-Poisso regressio I. Pedahulua Aalisis regresi merupaka aalisis statistika yag bertujua utuk memodelka hubuga atara variabel respo Y dega satu atau lebih variabel prediktor X. Asumsi variabel respoya adalah data kotiu yag megikuti distribusi ormal. Namu dalam aplikasiya, bayak ditemuka peelitia yag megguaka variabel respo yag berupa data cacah (cout data. Aalisis regresi yag meyataka pola hubuga atara variabel respo berupa data cacah dega variabel prediktor adalah regresi Poisso (Camero da Trivedi: 199. Aalisis regresi Poisso memiliki asumsi ilai tegah yag sama dega ragamya yag dikeal dega istilah equidispersi. Aka tetapi, pada beberapa peelitia ditemuka kodisi ragam lebih besar daripada ilai tegahya atau disebut gejala overdispersi (McCullagh & Nelder 199. Meurut Hide da Demetrio (7, terdapat beberapa kemugkia tidak dipeuhiya asumsi equidispersi tersebut yaitu keragama hasil pegamata keragama idividu sebagai kompoe yag tidak dijelaska oleh model, korelasi atar respo idividu, terjadiya pegelompoka dalam populasi da peubah teramati yag dihilagka. Akibatya sigifikasi dari pegaruh peubah prediktor mejadi berbias ke atas (overestimate. Meurut Famoye et al (4, regresi Poisso tidak sesuai utuk memodelka data overdispersi. Pedekata klasik yag dapat diguaka utuk memodelka kasus overdispersi pada model regresi Poisso adalah dega memuat parameter tambaha yag memiliki distribusi Gamma di dalam ilai tegah sebara Poisso utuk megakomodasi kelebiha ragam dari pegamata (McCullagh & Nelder 199. Peubah ii memiliki sebara gamma dega asumsi ilai tegah 1 da ragam φ dalam ilai rataa sebara Poisso. Dari pedekata ii diperoleh distribusi campura Poisso Gamma yag dikeal dega distribusi Biomial Negatif. Lord ( telah memodelka kasus kecelakaa sepeda motor megguaka model Poisso-Gamma dega efek ilai rata-rata sampel redah da ukura sampel kecil pada pedugaa parameter dispersi tetap. Hal itu meujukka bahwa petig pedekata model Poisso-Gamma megatasi kasus ovedispersi pada model Poisso dega ilai rata-rata sampel redah da ukura sampel kecil. Sellers da Shmueli (1 juga memberika alteratif utuk kasus overdispersi pada model Poisso berupa perluasa model regresi Poisso yaitu model regresi Coway- Maxwell-Poisso (COM-Poisso. Model regresi COM-Poisso memiliki dua parameter yaitu parameter regresi (β da dispersi (ν. Kelebiha distribusi ii adalah memiliki fleksibilitas dalam memodelka berbagai kasus data overdispersi maupu uderdispersi da memiliki sifat yag membuat metodologis mearik da bergua dalam praktekya. Pada peelitia ii aka dilakuka tahapa estimasi parameter da statistik uji devias pada model Regresi Biomial Negatif da model regresi Coway-Maxwell-Poisso (COM-Poisso serta membadigka kedua model tersebut dalam megatasi overdispersi pada data berdistribusi Poisso berdasarka statistik uji devias.

3 Afri: Perbadiga Regresi Biomial Negatif da ( II. Metode Peelitia Peelitia ii megkaji tahapa estimasi parameter utuk dua model regresi yag merupaka alteratif model utuk megatasi overdispersi pada data cacah yag memiliki sebara Poissso yaitu Model regresi biomial egatif da model regresi COM-Poisso. Metode pedugaa parameter yag diguaka adalah metode pedugaa kemugkia maksimum (Maximum Likelihood. Metode ii memaksimumka fugsi kemugkia dari fugsi kemugkia biomial egatif da COM- Poisso dega cara mediferesialka masigmasig berturut-turut sebagai berikut : L(β, φ y, x = { Γ(y i + φ 1 Γ(φ 1 y i! L(β, φ y, x ( φμ y i i ( 1 + φμ i = { [exp(x i T β] y [exp(x T i β] υ φμ i ν (π υ 1 (y! υ (exp (υ[exp(x i T β] 1 υ φ 1 } υ } Data yag diguaka dalam peelitia ii terdiri dari dua sumber data yaitu data simulasi da data kasus terapa. Data simulasi yag diguaka pada peelitia ii diperoleh dega membagkitka data berdistribusi Poisso yag megadug overdispersi dega megguaka bahasa pemrograma R. Data kasus terapa yag diguaka pada peelitia ii adalah data sekuder yag diperoleh Rumah Sakit Umum Kabupate Roka Hulu yaitu data bayakya komplikasi peyakit Diabetes Mellitus sebagai variabel respo. Sedagka variabel pejelas adalah X 1 sebagai usia, X sebagai obesitas, X 3 sebagai jeis kelami, X 4 sebagai riwayat Diabetes Mellitus, X 5 sebagai gula darah da X sebagai tesi. Lagkah-lagkah aalisis yag dilakuka sebagai berikut : 1. Eksplorasi variabel respo Y. Megaalisis data terapa megguaka metode Regresi Poisso yaitu utuk memeriksa terjadiya overdispersi pada regresi Poisso. 3. Jika terjadi overdispersi dilajutka megaalisis data terapa megguaka metode regresi biomial egatif da metode regresi COM-Poisso megguaka metode kemugkia maksimum melalui iterasi Newto Raphso. 4. Membadigka metode regresi biomial egatif da metode regresi COM-Poisso dega statistik uji devias. Uji sigifikasi parameterya dega megguaka uji Wald. Hipotesis utuk parameter koefisie β k (Fleiss et al. 3 adalah: β k = H 1 β k Dega statistik uji Wald : G β = { β k sê(β k } statistik G β aka megikuti sebara χ dega derajat bebas 1. Kriteria keputusa yag diambil yaitu meolak, jika G β χ (α;1. Simpaga baku diperoleh megguaka matriks simetris iformasi Fisher I(β (McCulloch da Searle 1, dega rumus sebagai berikut : I(β ll(β ll(β ll(β β β β 1 β β k ll(β = ll(β β 1 β 1 β k ll(β ( β k ragam dari β [I(β] 1, sehigga simpaga baku = [I(β] 1. Peilaia terhadap model regresi dapat dilihat dari devia (deviace sebagai berikut (Gill 1 : D = l [ L(y β(u i, v i ] L(y μ 1

4 JURNAL GANTANG. Maret 17; II(1: 79 7 p-issn e-issn III. Hasil da Pembahasa Estimasi Parameter Model Regresi Biomial Negatif Pedugaa parameter pada model regresi biomial egatif megguaka metode kemugkia maksimum (Maximum Likelihood Estimatio. Lagkah awal dalam pedugaa parameter adalah membetuk fugsi kemugkia (likelihood fuctio sebagai berikut: L(β, φ y, x = { Γ(y i + φ 1 Γ(φ 1 y i! ( φμ y i i ( 1 + φμ i φμ i φ 1 } Estimasi parameter β diperoleh dega mediferesialka logaritma atural fugsi kemugkia diyataka secara matematis sebagai berikut: ll(β y j, x j β ( l ( Γ(y j + φ 1 Γ(φ 1 Γ(y j y j l(φμ j (y j + φ 1 l(1 + φμ j = β = j=1 Hasilya berupa fugsi oliier yag berbetuk implisit maka peyelesaiaya dilakuka secara iterasi umerik Newto-Raphso. Secara diyataka sebagai berikut: β (m+1 = β ( m H (m 1 (β (m g (m (β (m dega g T (β (m = ( ll(β, ll(β, ll(β,, ll(β φ β β 1 β k g (β (m (k+x1 = ( 3 { l(1 + φμ j + Ψ(φ 1 Ψ(y j + φ 1 φ + y j μ j φ(1 + φμ j } j=1 3 [x j, ( y j μ j ] 1 + φμ j j=1 3 [x j,1 ( y j μ j ] 1 + φμ j j=1 3 H(β (m (k+1x(k+1 = [x j,k ( y j μ j ] 1 + φμ j j=1 ll(β ll(β φ ll(β φ β φ β k ll(β ll(β β β β k ( ll(β β k Statistik uji deviace model regresi biomial egatif diyataka secara matematis sebagai berikut: D = l [ L(y β (u i, v i ] L(y μ y i = [y i l ( μ i(u i, v i + (1 + y i l ( 1 + μ i(u i, v i 1 + y i ] Estimasi Parameter Model Regresi COM- Poisso Pedugaa parameter model regresi COM- Poisso megguaka pedekata kemugkia maksimum (maximum likelihood. Fugsi kemugkia dari fugsi peluag COM-Poisso sebagai berikut: L(β, φ y, x = { [exp(x i T β] y [exp(x T i β] υ 1 ν (π υ 1 (y! υ (exp (υ[exp(x i T β] 1 υ υ }

5 Afri: Perbadiga Regresi Biomial Negatif da ( Diferesial logaritma atural fugsi kemugkia merupaka suatu fugsi oliier yag berbetuk implisit. Maka solusi yag diguaka utuk meyelesaika persamaa tersebut adalah megguaka metode umerik yaitu metode umerik Newto Raphso. Persamaa Newto Raphso secara umum dapat dituliska sebagai berikut: ( β m+1 υ m+1 = ( β m υm ll(β β + ll(β ( β v ll(β β v ll(β υ 1 ll(β β ll(β ( υ Dega diferesial pertama logaritma atural fugsi kemugkia ll(β υ ll(β β j = y i x ij x ij [exp(x T i β] 1 υ = υ + l(π + 1 (1 1 υ x ij + (x i T β[exp(x T i β] 1 υ υ [exp(x i T β] 1 υ l(y! + x i T β υ Diferesial kedua logaritma atural fugsi kemugkia ll(β β = x ij [exp(x T i β] 1 υ υ ll(β β j v ll(β υ = x ij [exp(x T i β] 1 υ υ = υ + [ (x i T β [exp(x i υ 3 T β] 1 υ + x ij υ ( x i T β υ 3 ] Iterasi terus dilakuka higga mecapai peduga parameter yag koverge. Statistik uji deviace model regresi COM-Poisso sebagai berikut : d i = [y i υ log ((y i + υ 1 υ / (μ i + υ 1 υ + log (Z ((μ i + υ 1 υ υ, υ /Z ((y i + υ 1 υ υ, υ ] Kajia Simulasi Karakteristik data simulasi dilakuka terhadap µ,, da p. Hasil yag dicobaka meujukka bahwa muculya ilai p berpegaruh terhadap µ. Nilai µ yag dicobaka utuk., 1, da. Kodisi overdispersi pada variabel respo Y yag distribusi Poisso ditujukka dega histogram pada Gambar 1 ketika variabel Y memiliki µ=1 dega p=.1,.3, da.7. berdasarka Gambar 1 terlihat bahwa keaika ilai p, maka aka terjadi perubaha ilai µ yag sigifika yaitu distribusi memiliki bayak ilai ol berlebih. Hal ii salah satu idikasi adaya overdispersi pada data cacah berdistribusi Poisso. (a p=. 1 (b p=.3 (c p=.7 Gambar 1 Histogram peubah Y Hasil uji khi-kuadrat dega taraf sigifikasi sebesar 5% dega kombiasi ilai µ,, p disajika pada Tabel. Kodisi ii ditujukka dega semaki besar ilai µ, maka persetase distribusi Poisso mecapai % sedagka persetase distribusi laiya mecapai medekati %. Idikasi peluag ol berlebih yag meyebabka terjadiya overdispersi pada 3

6 JURNAL GANTANG. Maret 17; II(1: 79 7 p-issn e-issn data cacah, sehigga data tidak lagi megikuti suatu distribusi Poisso. Semaki besar µ da p utuk setiap yag dicobaka meujukka terjadiya overdispersi. Tabel 1. Persetase khi-kuadrat terhadap kombiasi λ,,p p=.1 p=.3 p= Poiss λ o els Poiss e o els Poiss e o els e Kodisi overdispersi berpegaruh pada perubaha distribusi data. Dalam hal ii diestimasi bahwa distribusi yag cocok adalah distribusi biomial egatif da distribusi COM-Poisso. Peelusura dilakuka dega uji Pearso khi-kuadrat terhadap derajat bebas. Hasilya disajika pada Tabel bahwa rasio τ yag kurag dari satu meujukka bahwa overdispersi dapat diatas oleh kedua model tersebut. Aka tetapi jika dibadigka kedua model regresi biomial egatif memiliki rasio τ lebih besar dibadigka model regresi COM- Poisso. Tabel. Rasio dispersi terhadap regresi Biomial Negatif da COM-Poisso p=.1 p=.3 p=.7 λ BN CO M-P BN CO M-P BN CO M-P Kajia Terapa Data terapa yag diguaka adalah data bayakya komplikasi peyakit Diabetes Mellitu dari suatu pasie di Rumah Sakit Umum di Kabupate Roka Hulu. Idikasi data bayakya komplikasi peyakit ii megikuti suatu distribusi Poisso ditujukka secara visual pada plot kuatil ormal da histogram pada Gambar. Plot kuatil meujukka distribusi data tidak megkuti garis lurus da histogram terlihat tidak simetris, sehigga plot data ii meujukka peyimpaga dari distribusi ormal. (a (b Gambar (a Plot kuatil-kuatil ormal

7 Afri: Perbadiga Regresi Biomial Negatif da ( (b Histogram data Hubuga atara bayakya komplikasi peyakit Diabetes Mellitus da faktor-faktor yag mempegaruhiya dapat diketahui megguaka aalisis regresi Poisso. Adapu faktor-faktor yag berkorelasi terdiri dari X 1 sebagai usia, X sebagai obesitas, X 3 sebagai jeis kelami, X 4 sebagai riwayat Diabetes Mellitus, X 5 sebagai gula darah da X sebagai tesi. Kriteria yag diguaka utuk megetahui adaya koliieritas atar variabel pejelas dega megguaka Variace Iflatio Factor (VIF pada Tabel 3. Tabel 3. Nilai VIF Variabel Pejelas Variabel VIF X 1.19 X 1.45 X X 4.45 X X 3. Myers (199 bahwa atar variabel dikataka salig bebas apabila ilai VIF kurag dari 1. Hasilya meujukka bahwa tidak ada multikoliieritas atar variabel pejelas karea ilai statistik VIF kurag dari 1. Variabel Tabel 4. Estimasi Model Regresi Poisso Estimasi Itercept -1.5 Std. Error - 19,17 Usia -. -,3 Obesitas 1.47,9 Jeis Kelami Riwayat DM.3,9.3,1 Gula Darah -.1 -,3 Tesi -.9 -,3 W i Keputusa Tolak Hasil dari Pearso khi-kuadrat diperkuat dega rasio τ sebesar Hal ii meujukka bahwa model regresi Poisso yag megalami overdispersi ii tidak cocok diguaka utuk memodelka data bayakya komplikasi peyakit Diabetes Mellitus. Model regresi biomial egatif merupaka salah model yag dapat megatasi overdispersi pada model regresi Poisso. Model ii merupaka campura dari Poisso da Gamma. Estimasi parameter model ditampilka pada Tabel 5. Tabel 5. Estimasi model regresi Biomial Negatif Variabel Estimasi Std. Keputusa W Error i Itercept ,17.55 Usia Tolak Obesitas Tolak Jeis Kelami.3,9.34 Riwayat DM Tolak Gula Darah Tolak Tesi -.9 -,3 3. Pada tabel 4 terlihat bahwa variabel yag mempuyai pegaruh sigifika terhadap model adalah usia, obesitas, riwayat DM da gula darah. Hasil dari Pearsokhi-kuadrat diperkuat dega rasio τ sebesar.9 yag meujukka bahwa rasio τ berilai kurag dari 1. Hal ii berarti model regresi biomial egatif dapat megatasi overdispersi pada data cacah yag megikuti distribusi Poisso. Model regresi Coway-Maxwell-Poisso (COM-Poisso merupaka perluasa model regresi Poisso memiliki dua parameter yaitu yag memiliki parameter regresi (β da dispersi (ν. Kelebiha distribusi ii adalah memiliki fleksibilitas dalam memodelka berbagai kasus data overdispersi maupu uderdispersi da memiliki sifat yag membuat metodologis mearik da bergua dalam praktekya. Model ii merupaka campura dari Poisso da Gamma. Estimasi parameter model ditampilka pada Tabel. 5

8 JURNAL GANTANG. Maret 17; II(1: 79 7 p-issn e-issn Tabel. Estimasi model regresi COM-Poisso Variabel Estimas i Itercept -.53 Usia.7 Obesitas.3 Jeis Kelami. Riwayat DM.1 Gula Darah.474 Tesi.11 υ.34 Std. Erro r , , 3 W i Keputusa Tolak 4. Tolak Tolak 5.97 Tolak Tolak Pada tabel 5 terlihat bahwa variabel yag mempuyai pegaruh sigifika terhadap model adalah usia, obesitas, riwayat DM, gula darah da tesi. Hasil dari Pearsokhi-kuadrat diperkuat dega rasio τ sebesar.5 yag meujukka bahwa rasio τ berilai kurag dari 1. Hal ii berarti model regresi biomial egatif COM-Poisso dapat megatasi overdispersi pada data cacah yag megikuti distribusi Poisso. Perbadiga dari hasil aalisis regresi Biomial egatif da COM-Poisso pada kajia terapa meujukka bahwa kedua model ii dapat megatasi overdispersi padadata cacah yag megikuti distribusi Poisso. Hal ii ditujukka pada uji Pearso khi-kuadrat pada taraf yata α =.5 dega rasio τ pada kedua model kurag dari 1. Berdasarka uji Wald meujukka bahwa model biomial egatif da COM-Poisso memberika keputudsa yag sama bahwa variabel usia, obesitas, riwayat DM, gula darah berpegaruh yata terhadap variabel respo Y yaitu bayak komplikasi peyakit Diabetes Mellitus. Peetua model terbaik dari kedua model yaitu model regresi biomial egatif da COM- Poisso dilakuka berdasarka statistik deviace terkecil pada Tabel 7. Tabel 7. Statistik Deviace Model Deviace Regersi Biomial Negatif 3.47 Regresi COM-Poisso.51 Kajia terapa berupa eksplorasi da pegujia variabel respo Y, pegujia overdispersi serta evaluasi estimasi berdasarka statistik deviace meujukka bahwa model regresi COM-Poisso lebih baik dibadigka model regresi Biomial Negatif dalam megatasi overdispersi pada data cacah yag megikuti distri busi Poisso. Regresi COM-Poisso dapat meaggulagi faktor-faktor yag mempegaruhi bayakya komplikasi peyakit Diabetes Mellitus. IV. Kesimpula Estimasi model regresi biomial egatif da model regresi COM-Poisso megguaka metode kemugkia maksimum (Maximum Likelihood meghasilka persamaa o liier yag diselesaika dega metode umerik Newto Raphso. Kajia overdispersi terhadap data simulasi dari kombiasi λ,, p yag dicobaka meujukka bahwa model regresi COM-Poisso memberika hasil yag lebh baik dibadigka dega model regresi biomial egatif dalam megatasi overdispersi pada data yag berdistribusi Poisso. Kajia overdispersi terhadap terapa pada kasus faktor-faktor yag mempegaruhi bayak komplikasi peyakit Diabetes Mellitus dega megguaka regresi COM-Poisso lebih baik daripada regresi biomial egatif dalam megatasi overdispersi pada variabel yag berdistribusi Poisso. Faktor yag mempegaruhi bayakya komplikasi peyakit Diabetes Mellitus adalah usia, obesitas, riwayat DM, gula darah da tesi.

9 Afri: Perbadiga Regresi Biomial Negatif da ( Daftar Pustaka Agresti A.. Categorical Data Aalysi Secod Editio. New York: Joh Wiley & Sos. Camero A.C da Trivedi P.K Regressio aalysis of cout data. Cambridge: Cambridge Uiversity Press. Draper NR ad H Smith Applied Regressio Aalysis. New York: Joh Wiley & Sos. Hardi JW, Hilbe JM. 7. Geeralized Liier Models ad Extesios. Texas: Stata Press. Hilbe JM.. Negative Biomial Regressio. New York: Cambridge Uiversity Press. Hide J, Dem etrio CGB Overdispersio: Models ad Estimatio. Computatioal Statistics ad Data Aalisis 7: Jai M.K, Lyegar S R K, ad Jai R K. 4. Numerical methods. New Delhi: New Age. Lord D.. Modelig motor vehicle crashes usig poisso-gamma models: examiig the effect of low sample mea value ad small sample size o the estimatio of the fixed dispersio parameter. Accidet Aalysis & Prevetio, 3(4: Kowlto K, Solomo G. 9. Mosquito-Bore Degue Feer Threat Spreadig i the Americas. New York: Natural Resources Defese Coucil Issue Paper. McCullagh P, Nelder JA Geeralized Liear Models Secod Editio, Lodo: Chapma ad Hall. McCulloch CE, Searle SR. 1. Geeralized Liear ad Mixed Models. Caada: Joh Wiley & Sos, Ic. Osgood D Waye.. Poisso-Based Regressio Aalysis of Aggregate Crime Rates. Joural of Quatitative Crimiology 1: Setyorii E.. Pemodela Regresi Poisso Pada Materal Mortality di Jawa Timur. Surabaya: Tugas Akhir Jurusa Statistika FMIPA ITS. Sellers, K.F., Shmueli G. A 1. Flexible Regressi o Model for Cout Data. Aals of Applied Statistics, 1, i press. ( Shmueli G, Tmika, J Borle ad P Boatwright. 5. A useful Distributio for Fittig Discerete Data: Revival of The Coway-Maxwell-Poisso Distributio. Applied Statistics. Joural of Royal Statistical 54(1:

10 JURNAL GANTANG. Maret 17; II(1: 79 7 p-issn e-issn