PENGUJIAN INTERCEPT PADA UJI SATU ARAH MAKSIMUM UNTUK TESTS TERKAIT NON-SAMPLE PRIOR INFORMATION

Transkripsi

1 UNIVERSITAS DIPONEGORO 3 ISBN: PENGUJIAN INTERCEPT PADA UJI SATU ARAH MAKSIMUM UNTUK TESTS TERKAIT NON-SAMPLE PRIOR INFORMATION Budi Pratiko da Arlida Widiaa Jurusa MIPA Matematika Usoed Purwokerto bpratikto@gmail.com Abstract This research studied testig the itercept for oe-side hypothesis (maximum) o a simple liear regressio of tests that related to o-sample prior iformatio (NSPI). The tests, amely urestricted test (UT), restricted test (), ad prelimiary-test test (PTT), are used. The maximum power ad miimum size are cosidered as a good test. A simulatio study is preseted for showig a graphically compariso of the tests. The result show that the NSPI did ot give a sigificat ifluece. It meas that the PTT was ot be a alterative choice betwee UT ad, but they still follow the cocept of the previous research. Keywords: Liear model, power, ad size.. Pedahulua Umumya iferesi statistics dilakuka megguaka data sampel. Iferesi statistik dapat berupa estimasi atau uji hipotesis. Kualitas estimator da pegujia hipotesis dapat ditigkatka megguaka o-sample prior iformatio (NSPI). NSPI adalah iformasi tetag parameter populasi yag tidak berhubuga dega data sampel. NSPI diperoleh dari sumber yag dapat dipercaya, misalya studi sebelumya atau pegetahua ahli atau pegalama dari para peeliti. Bacroft (944, 964) adalah peeliti pertama yag megguaka NSPI utuk estimasi parameter. Kemudia dilajutka oleh Bacroft da Ha (968) da Saleh (6), da lai-lai. Selajutya, Tamura (965), Saleh da Se (978, 98), serta Yuus da Kha (), megguaka NSPI utuk testig (pegujia) hipotesis pada kasus o parametrik. Setelah itu Pratiko () megguaka NSPI utuk testig hipotesis pada kasus parametrik. Peelitia ii adalah pegembaga peelitia sebelumya dari peelitia Pratiko () yag diterapka pada hipotesis yag berbeda, yaitu oe-side hypothesis (maximum). Pratiko () megkaji tests yag terkait dega NSPI, yaitu urestricted test (UT), restricted test (), da pre-test test (PTT), utuk testig oeside hypothesis (miimum). Pada kasus ii, peelitia difokuska utuk testig itercept pada model regresi liier sederhaa, Y X e, dimaa Y adalah respose, adalah parameter 77

2 UNIVERSITAS DIPONEGORO 3 ISBN: itercept, adalah parameter slope, X adalah predictor, da e adalah error term yag berdistribusi ormal. Model regresi yag terkait pegujia ii adalah model regresi utuk kasus variasi tidak diketahui (ukow variace) sedemikia higga distribusi terkait adalah t da bivariate t distributio.. Power (kuasa) uji adalah peluag meolak hipotesis ol ( H ) ketika ilai parameter yag sebearya terletak pada alterative hypotesis (H ), sedagka size (ukura) uji adalah ilai power ketika ilai parameter yag sebearya terletak pada H. Selajutya, tests ( UT,, PTT) yag memiliki ilai power maksimum da size miimum diguaka sebagai metode uji yag releva/terbaik. Software R diguaka utuk meggambarka grafik UT, da PTT yag diguaka sebagai graphically aalisis. Pada bagia, dipresetasika proposed tests da modifikasi tests beserta distribusi samplig yag meyertaiya. Power da size dipaparka pada bagia 3. Bagia 4, meggambarka simulasi studi da plot UT,, da PTT. Kemudia, kesimpula da sara diberika di bagia 5.. Proposed Tests.. UT Megacu pada Pratiko (), test utuk kasus NSPI tidak terdapat dalam slope ( ), pada pegujia hipotesis satu arah (maksimum), H: versus H : T, adalah UT ˆ s ˆ s ˆ X S XX /, () s ˆ Yi Y atau akar dari mea square error (MSE) yag dega i merupaka estimator dari variasi eror model regresi liear sederhaa, da slope diestimasi dari data sampel. Test (statistik uji) Persamaa () megikuti distribusi ˆ Studet-t dega derajat bebas (-). Pada Persamaa () X s S XX / dihitug dari 78

3 UNIVERSITAS DIPONEGORO 3 ISBN: data sampel. Meurut Pratiko (), kuasa da ukura PTT berdistribusi gabuga UT PT PT dari T, T da T, T. Kemudia, didefiiska hipotesis alteratif H, yaitu / K : b, b, λ. Dalam hal ii, λ,, b. Pada, da b Semetara itu, pada,. K sebagai ragkaia K ilai b H ilai b b da. Selajutya, didefiisika samplig statistik uji dari UT da distribusiya pada yaitu K, X dega k s. S UT UT X T T s S UT T, k xx XX ().. Jika NSPI terdapat pada slope (diketahui/fixed), yaitu b, maka test terkait NSPI yag diguaka adalah. Statistik uji utuk adalah T s s. (3) derajat bebas (-). Selajutya, pada K, y b da b statistik uji, dari diberika oleh T T T y. y b s X s X (4) 79

4 UNIVERSITAS DIPONEGORO 3 ISBN: PTT Jika NSPI terdapat pada slope tetapi ucertai (diduga sebesar b ), maka uji terkait NSPI yag diguaka adalah PTT. Pada PTT didahului dega pre-test (PT), yaitu uji T H : = b vs H : b, sedemikia higga statistik uji PT adalah * * ˆ b ˆ b s s / S PT, (5) ˆ XX S X X da s Y Yˆ. Jika dega XX i i i i * H PT ditolak, maka guaka UT utuk meguji H karea UT berkorelasi dega PT, jika tidak demikia maka yag diguaka. Secara sama, Persamaa (.5) berdistribusi Studet-t dega derajat bebas (-). Secara jelas, bahwa PT da UT berkorelasi, sedagka PT da tidak berkorelasi, sehigga kemudia power da size dari PTT pada tigkat sigifikasi 3 diberika sebagai kombiasi dari kodisi tersebut (Pratiko, ). 3. Power ad Size 3.. UT Megacu Pratiko () da Persamaa (.), power UT pada tigkat sigifikasi, adalah UT PT t, K UT t UT PT t, k da size UT diberika sebagai UT t UT P T t H :, P T t. UT, (6) (7) 3.. Selajutya, dega megguaka cara yag sama seperti pada UT, utuk tigkat sigifikasi, maka diperoleh power ad size sebagai berikut. 8

5 UNIVERSITAS DIPONEGORO 3 ISBN: λ PT t, K t P T t, b X X P T t,. s y s y (8) t P T t H :, X PT t,. sy (9) 3.3. PTT Megacu Pratiko () da kodisi UT da PT (berkorelasi) da da PT (tidak berkorelasi) sebagaimaa diyataka pada subbagia.3., maka power da size dari PTT pada tigkat sigifikasi 3 diberika sebagai λ PT t,, T t, PT t,, T t, PTT PT UT PT t 3 3 SXX m t3,, t, ; s k S X XX m t3,, t, ;. s s y SXX Pada Persamaa (), m t 3,, t, ; s k S X XX m t3,, t, ;, adalah probabiltas bivariat Studet-t s s y yag didefiisika dega da, ;, a a () PT UT PT UT () m a a f t t dt dt PT PT m a, a ; f t, t dt dt. () 3 a a3 da 8

6 UNIVERSITAS DIPONEGORO 3 ISBN: UT PT Nilai koefisie korelasi atara T da T, adalah, da size dari PTT diyataka sebagai,, 3 P T a T a H P T a T a H PTT PT UT PT t m t t m t t X 3,,, ; 3,,, ;, s y dega a, a,da a 3 adalah bilaga riil. (3) 4. Simulatio Study Awal dari peelitia ii adalah aka meerapka pada data riil yag memeuhi testig oe-side hypothesis (maksimum), amu hal ii sulit dilakuka karea ketidak tersediaa yag cukup pada data riil yag memeuhi kodisi tersebut. Selajutya, peelitia ii difokuska pada data pembagkita dari R package 3.., dega, 5, ilai X i di geerate dari ormal mea da stadar deviasi 3 (tidak harus berdistribusi), da i dibagkitka dari distribusi ormal dega da variasi. 4. Power of the Tests Grafik utuk kuasa uji dari UT,, da PTT didasarka pada Persamaa utuk koefisie korelasi, da ilai ( lambda) yag berbeda. Grafik (Gambar ) meujuka bahwa semaki besar ilai, maka ilai kuasa dari UT semaki besar, da UT tidak bergatug pada. semaki besar sebagaimaa ilai, membesar, da semaki kecil ketika ilai maka semaki kecil. Hal ii berarti bahwa kuasa dari tidak maksimum da cederug tidak optimal (baik). Semetara itu, PTT semaki besar sebagaimaa ilai semaki besar. Artiya PTT semaki baik. Secara jelas, terlihat bahwa ketika da kuasa dari UT da PTT selalu lebih besar daripada kuasa dari. 8

7 UNIVERSITAS DIPONEGORO 3 ISBN: Gambar. Kuasa dari UT,, da PTT versus dega Nilai Berbeda. Gambar di bawah ii adalah grafik kuasa dari UT,, da PTT utuk ilai da yag berbeda-beda. Gambar 3 adalah variasi grafik PTT. 83

8 UNIVERSITAS DIPONEGORO 3 ISBN: Gambar. Kuasa dari UT,, da PTT versus dega,;,4;,7; da, serta,7. Gambar 3. Kuasa dari PTT versus dega,; da,;,4;,7;,9. 84

9 UNIVERSITAS DIPONEGORO 3 ISBN: Gambar Gambar 3 dega meujuka bahwa grafik PTT berubah sebagaimaa ilai berubah, yaitu PTT semaki besar jika ila ilai semaki besar. Simulasi grafik meujuka bahwa grafik kuasa dari UT,, da PTT ketika adalah similar. 4. Size of the Tests dibawah ii. Size of the tests (UT,, da PTT) pada kasus ii disajika pada Gambar 4 Gambar 4. Size of tests (UT, da PTT) Gambar 5. Ukura uji dari PTT versus dega,;,4;,7; da,9 serta ukura uji dari PTT versus dega,;,4;,7; da,9. 85

10 UNIVERSITAS DIPONEGORO 3 ISBN: Berdasarka Gambar 4, ukura UT berilai kosta karea tidak bergatug tehadap ilai, da, sedagka ukura bergatug terhadap ilai, bertambah besar ketika ilai bertambah besar. Kemudia, ukura PTT bergatug terhadap ilai da, da tidak bergatug terhadap ilai. Ukura PTT bertambah besar ketika ilai bertambah besar, demikia juga ketika ilai. Gambar 5 memberika iformasi bahwa semaki kecil ilai, maka semaki kecil pula ilai kuasa dari PTT, dega demika tidak similar utuk koefisie korelasi positip da egatip. Selajutya, disajika grafik dega sumbu x-ya adalah agar dapat meggambarka lebih jelas perbadiga besarya ukura uji dari UT,, da PTT. Gambar 6. Ukura dari UT,, da PTT versus dega,;,4;,7; da. 86

11 UNIVERSITAS DIPONEGORO 3 ISBN: Berdasarka Gambar 6, ilai ukura dari da PTT bertambah kecil ketika ilai lebih kecil, sedagka ukura uji dari UT selalu kosta. Ketika ilai, ukura uji dari UT selalu lebih besar dari ukura da PTT. 5. Kesimpula da Sara 5.. Kesimpula Hasil riset meujuka bahwa ilai power of the tests (UT, da PTT) relatif kecil, da hal ii dapat diaggap sebagai idikator bahwa hasil riset ii relatif sigificat berbeda dega previous research (Pratiko, ) pada kodisi. Keyataa tersebut berkesa bahwa NSPI tidak berpegaruh terhadap pemiliha tests sebagaimaa hasil pada peelitia sebelumya pada testig, H : versus H :, dimaa PTT mejadi piliha terbaik daripada da UT. Namu, secara kosep da graphical aalysis (megabaika besara ilai power), hasil riset masih megikuti kosep testig dega megguaka NSPI, yaitu PTT adalah piliha terbaik dari kedua tests UT da. Hal ii ditujuka bahwa ilai power da size PTT cederug terletak atara UT da. Akhirya, megacu dari riset ii da previous research, maka dapat dipahami bahwa NSPI sagat dekat pada aplikasi data riil yag cederug positip. 5. Sara Sebaikya dicobaka pada data riil, yag kemudia dibadigka relevasiya dega teori, da juga perlu dilakuka utuk berbagai variasi kajia secara teori hipotesis da relevasiya dega kodisi-kodisi yag harus dipeuhi baik baik pada data riil ataupu teori distribusi da hipotesis. DAFTAR PUSTAKA Bacroft, T.A. (944). O Biases i Estimatio Due to The Use of The Prelimiary Tests of Sigificace. Aals Of Mathematical Statistics. 5, 9-4. Bacroft, T.A. (964). Aalysis ad Iferece for Icompletely Specified Models Ivolvig The Use of The Prelimiary Test(s) of Sigificace. Biometrics, (3), Ha, C.P. da Bacroft, T.A. (968). O Poolig Meas Whe Variace Is U-Kow. Joural of America Statistical Associatio, 63,

12 UNIVERSITAS DIPONEGORO 3 ISBN: Pratiko, B. (). Tests of Hypotesis for Liear Regressio Models with No Sample Prior Iformatio. Disertasi, Uiversity of Souther Queeslad. Saleh, A. K. Md. E. (6). Theory of Prelimiary Test ad Stei-Type Estimatio with Applicatios. Wiley, New Jersey. Saleh, A.K. Md. E. da Se, P.K. (997). Noparametric Estimatio of Locatio Parameter After a Prelimiary Tests o Regressio. Aals of Statistical, 6, Saleh, A. K. Md. E.da Se, P.K. (98). Noparametric Tests for Locatio After Parameter a Prelimiary Tests o Regressio. Commuicatio i Statistics- Theory ad Methods, (6), Tamura, R. (965). Noparametric Ifereces With a Prelimiary Test. Bull. Math. Stat., Yuus, R.M. da Kha, S. (). Icreasig Power Of The Test Through Pre-Test A Robust Method. Commuicatios i Statistics Theory ad Method, 4,