Pendugaan Parameter Model Produksi Constant Elasticity of Subtitutions (CES) dengan Metode Kuadrat Terkecil Nonlinear

Transkripsi

1 Vol., 017 Pedugaa Parameter Model Produksi Costat Elasticity of Subtitutios (CES) dega Metode Kuadrat Terkecil Noliear Dia Kuriasari 1*, Noferdis Setiawa, Warsoo 3 da Yeftaus Atoio 4 Jurusa Matematika, Fakultas Matematika da Ilmu Pegetahua Alam Uiversitas Lampug Jl. Soemarti Brojoegoro No.1 Rajabasa, Badar Lampug dia.kuriasari@fmipa.uila.ac.id Abstrak Tujua dari peelitia ii adalah memperoleh ilai dugaa dari model produksi Costat Elasticity Subtitutios (CES) secara itrisik oliear. Model produksi CES didefiisika dega θ4 Y = θ 1 θ x 3 1 θ3. Metode kuadrat terkecil oliear diguaka utuk meduga model produksi CES. Persamaa yag diperoleh dega metode kuadrat terkecil oliear tidak dapat diselesaika secara aalitik. Utuk meyelesaika masalah tersebut diguaka metode iteratif Newto Raphso. Model produksi CES yag diperoleh dari hasil studi dega megguaka data adalah Y = (0.4053x x ) Simulasi yag dilakuka dega metode ii meujuka bias utuk masig-masig parameter adalah θ 1 =-1.01, θ = , θ 3 = da = Hasil tersebut meujuka metode kuadrat terkecil oliear cekup baik utuk meduga parameter pada model produksi CES. Kata kuci: model oliear, CES, ewto Raphso, metode kuadrat terkecil oliear. 1 Pedahulua Model oliear dapat dibedaka mejadi dua yaitu model oliear pada variabel da model oliear pada parameter. Model oliear pada parameter dapat dibagi mejadi dua yaitu model oliear secara itrisik liear (itrisically liear) da oliear secara itrisik oliear (itrisically oliear). Model oliear secara itrisik liear adalah model yag dapat ditrasformasi kedalam betuk liier dega megguaka fugsi logaritma atural l. Sedagka model oliear secara itrisik oliear adalah model yag tidak dapat ditraformasi kedalam betuk liear. Model oliear secara itrisik oliear (itrisically oliear) bayak ditemuka pada model-model ekoomi salah satuya adalah model produksi Costat Elasticity of Subtitutios (CES). Pada model oliear secara itrisik oliear tidak dapat diduga secara lagsug seperti pada persamaa liear atau oliear secara itrisik liear. Oleh karea itu, dalam makalah ii dibahas tetag pedugaa parameter model produksi Costat Elasticity Of Subtitutios (CES) dega metode kuadrat terkecil oliear. Tujua dari peelitia ii adalah (1) Meduga parameter model oliear secara itrisik oliear dega megguaka metode kuadrat terkecil oliear (Noliear Least Square); () Medapatka ilai dugaa bagi parameter model oliear secara itrisik oliear dega metode Newto Raphso. Metode kuadrat terkecil oliear memperoleh peduga bagi parameter dega memiimumka jumlah kuadrat dari galat sehigga diperoleh persamaa ormal. Solusi dari persamaa ormal tersebut meghasilka peduga bagi parameter. Persamaa ormal kadagkala meghasilka persamaa ormal yag oliear. Pada kasus ii, pedugaa parameter model produksi CES dega metode kuadrat terkecil oliear meghasilka persamaa yag tidak dapat diselesaika secara eksak sehigga dilakuka peyelesaia secara umerik dega metode Newto Raphso utuk medapatka ilai-ilai dugaa parameter model produksi CES. Utuk memverifikasi hasil pedugaa yag diperoleh, maka dilakuka simulasi dega membagkitka data utuk variabel X1, X, da Y. Mauscript received 0 Sepetember 017, revised 9 September 017 I - 61 Copyright 017 FT - UHAMKA. - All rights reserved

2 D. Kuriasari, N. Setiawa, Warsoo & Y. Atoio I - 6 Ladasa Teori.1 Model Noliear Model oliear merupaka betuk hubuga atara peubah pejelas yag tidak liear dalam parameter. Secara umum model oliear ditulis sebagai berikut: y i = f(x i, Θ) + ε i ; i = 1,,..., (1) dega, y i : peubah respo ke-i. f(. ) : fugsi oliear x i : peubah pejelas respo ke-i Θ : parameter ε i ; galat ke-i ε i diasumsika salig bebas idepede meyebar ormal dega ilai tegah 0 da ragam σ. Model oliear dapat dibagi mejadi dua yaitu model oliear secara itrisik liear (itrisically liear) da oliear secara itrisik oliear (itrisically oliear). Model yag secara itrisik liear adalah model oliear yag dapat ditrasformasi mejadi betuk liear sedagaka model yag secara itrisik oliear yaitu model yag tidak bisa ditrasformasi mejadi betuk liear [1].. Model Produksi Costa Elasticity of Subtitutios (CES) Fugsi costat elasticity of subtitutio disigkat dega CES dikembagka oleh Arrow, Cheery, Miha, da Solow (1961) []. Elastisitas subtitusi adalah ukura bagaimaa perusahaa dega mudah mesubtitusika satu iput dega iput laiya utuk mejaga tigkat produksi pada level yag sama. Model produksi CES didefiisika sebagai berikut : Y = θ 1 (θ x 3 1 ) () dimaa Y=output, x 1 =iput kapital, x =iput teaga kerja, dega θ 1 >0, 0<θ <1, da -1 serta (x 1, x ) merupaka iput bivariat. θ 1 diyataka sebagai parameter efisiesi, θ sebagai parameter distribusi, sebagai parameter subtitusi, da sebagai parameter retur to scale. Berikut model produksi CES diyataka dalam betuk logaritma atural: l Y = l θ 1 + l(θ x 1 + (1 θ )x ) (3) Dapat dilihat model produksi CES pada Persamaa (3) tidak dapat ditrasformasi kedalam betuk liear..3 Pedugaa Parameter Pedugaa parameter adalah proses utuk meduga atau meaksir parameter populasi yag tidak diketahui berdasarka iformasi dari sampel. Kriteria peduga yag baik adalah takbias, ragam miimum, kosiste, statistik cukup da kelegkapa [3]. Berikut ii haya aka dibahas dua kriteria peduga yag baik, yaitu tak bias da ragam miimum karea diaggap sudah cukup melihat suatu peduga yag baik. 1. Suatu statistik dikataka peduga tak bias dari parameter θ apabila ilai harapa peduga sama dega parameter θ, sebalikya jika ilai harapa statistik tersebut tidak sama dega parameter θ maka disebut peduga θ yag berbias.. Suatu peduga dikataka memiliki ragam miimum apabila peduga tersebut memiliki ragam yag kecil. Apabila terdapat lebih dari satu peduga, peduga yag efisie adalah peduga yag memiliki ragam terkecil. Besarya galat pedugaa diyataka sebagai bias da didefiiska oleh: Bias θ i = E(θ i ) θ i [4]..4 Metode Pedugaa Kuadrat Terkecil Noliear (Noliear Least Square) Misalka model oliear yag didefiisika dega betuk: Y = fx 1, x,..., x p + ε (4) Misalka = (x 1, x,..., x p ), Θ = θ 1, θ,..., θ p maka model pada persamaaa (1) dapat dituliska sebagai: Y = f(x, Θ) + ε (5) dega asumsi E(ε) = 0, Var(ε) = σ, da ε~n(0, σ ) maka jumlah kuadrat galat utuk model oliear di atas didefiisika sebagai berikut: S(θ) = {Y i f(x; Θ)} (6) Nilai dugaa kuadrat terkecil bagi θ aka dilambagka dega θ. Nilai dugaa ii adalah ilai θ yag memiimumka S(θ). Utuk memperoleh ilai dugaa kuadrat terkecil θ yaitu dega mediferesialka jumlah kuadrat galat terhadap θ. Hasilya membetuk persamaa ormal dega betuk: {Y i f(x, θ)} f(ξ, θ ) = 0 (7) θ i persamaa tersebut disebut persamaa ormal utuk model oliear [5]..5 Metode Newto Raphso Apabila dalam proses pedugaa parameter didapat persamaa akhir yag oliear maka pedugaa parameter didekati dega metode umerik. Metode yag cukup bayak diguaka utuk meyelesaika system persamaa oliear adalah metode Newto Raphso. Metode Newto Raphso adalah metode utuk meyelesaika persamaa oliear secara iteratif. Copyright 017 FT-UHAMKA. - All rights reserved Semiar Nasioal TEKNOKA ke -, Vol., 017

3 D. Kuriasari, N. Setiawa, Warsoo & Y. Atoio I - 63 Jika θ 0 merupaka ilai awal dari θ atau θ 0 merupaka ilai ke-1 dari θ, maka dapat dimisalka θ 0 = θ 1 da θ = θ i+1 dega ilai awal i = 0. Metode ii dapat diperluas utuk meyelesaika persamaa dega lebih dari satu parameter. Misal θ 1, θ,..., θ maka iterasiya sebagai berikut: θ i+1 = θ i [H 1 g] (8) Vektor gradiet atau vector turua pertama jumlah kuadrat terhadap parameter-parameter dilambagka dega g(θ) yaitu: S(Ɵ) θ 1 g(ɵ) = S(Ɵ) θ = S(Ɵ) θ S(Ɵ) θ (9) Matriks Hessia atau matrikks turua kedua dari jumlah kuadrat terhadap masig-masig parameter dilambagka dega H(θ) yaitu: (a) Meetuka ilai awal utuk i = 0, da meetuka kriteria utuk kekovergea iterasi yaitu ketika SΘ i 1 S(Θ i ). (b) Meetuka θ yag dipilih ketika memeuhi kodisi tersebut yaitu θ i = θ i 1 H 1 g(θ i ) Algoritma dega metode Newto Raphso dalam betuk diagram alir ditampilka oleh Gambar Megguaka software statistika utuk meduga parameter model oliear produksi CES. Iput Data Iput Θ Iput Model S(Ɵ) θ 1 θ 1 θ 1 θ H(Ɵ) = θ θ 1 θ θ θ θ 1 θ θ θ 1 θ θ θ S(Ɵ) θ (10) Meetuka g(θ) i=0 3 Metodologi Peelitia Peelitia ii dilakuka utuk medapatka ilai pedugaa parameter pada model produksi CES (Costat Elasticity of Substitutio) yaitu θ 1, θ,, da dega megguaka metode Kuadrat Terkecil Noliear (Noliear Least Square). Kemudia megguaka software statistika utuk meduga parameter model oliear produksi CES. Adapu lagkah-lagkah yag aka dilakuka adalah: 1. Medefiisika model produksi CES.. Meetuka jumlah kuadrat galat dari produksi CES. 3. Meduga parameter θ 1, θ,, da model oliear produksi CES dega megguaka metode Kuadrat Terkecil Noliear (Noliear Least Square) yaitu (a) Memiimumka jumlah kuadrat galat dega kosep diferesial utuk memperoleh persamaa ormal. (b) Megidetifikasi betuk persamaa ormal yag berbetuk oliear. 4. Meyelesaika persamaa yag tidak dapat diselesaika secara eksak dega Metode Newto Raphso yaitu: Apakah SΘ i 1 S(Θ i )? Copyright 017 FT-UHAMKA. - All rights reserved Semiar Nasioal TEKNOKA ke -, Vol., 017 i=i+1 Tidak θ i = θ i 1 H 1 g(θ i ) Ya Gambar 1 Diagram alir pedugaa parameter model oliear dega metode Newto Raphso 4 Hasil da Pembahasa Θ = Θ i 4.1. Pedugaa Model Produksi CES dega Metode Kuadrat Terkecil Noliear. Fugsi produksi Costat Elasticity of Subtitutio (CES) yaitu : 4 Y i = Q = θ 1 [θ x 3 ] (11) Pedugaa parameter dega megguaka metode Kuadrat Terkecil yaitu memiimumka jumlah kuadrat

4 D. Kuriasari, N. Setiawa, Warsoo & Y. Atoio I - 64 galat (S(Ɵ)) dega cara meuruka jumlah kuadrat galat tersebut terhadap masig-masig parameter kemudia disamadegaka ol. Jumlah kuadrat utuk model (11) adalah: 4 S(Ɵ) = Y i θ 1 [θ x 3 ] (1) Pedugaa parameter-parameter model produksi CES diperoleh dega cara memiimumka jumlah kuadrat seperti pada Persamaa (1) yaitu dega mediferesialka jumlah kuadrat tersebut terhadap masig-masig parameter pada model produksi CES. Y i θ 1 θ x 3 + (1 θ )x [θ x 4 ] = 0 (13) Dega cara yag sama yaitu mediferesialka terhadap θ,, da maka diperoleh persamaa ormal utuk θ,, da pada persamaa (14), (15), da (16) berikut ii: Y i θ 1 θ x 3 + (1 θ )x θ 4 θ 1 (x 3 x ) θ x 3 ( ) = 0 (14) Y i θ 1 θ x 3 + (1 θ )x + (1 θ )x θ x θ 4θ x 3 l x l x θ x 3 θ 4 lθ x 3 = 0 (15) θ 1 θ x 3 + (1 θ )x + (1 θ )x Y i 1 1 θ x l[θ x + (1 θ )x ] = 0 (16) Persamaa (13), (14), (15), da (16) tidak dapat diselesaika secara eksak, utuk itu diperluka metode iterasi utuk medapatka dugaa bagi parameter θ 1, θ, da. Sehigga utuk medapatka ilai dugaa bagi parameter θ 1, θ, da dapat megguaka metode Newto Raphso. Metode Newto Raphso adalah salah satu metode iteratif yag serig diguaka karea tigkat kovergesiya palig cepat dibadigka dega metode lai. Metode ii megguaka vektor gradie atau vektor turua pertama dari jumlah kuadrat terhadap parameter-parameter (g(ɵ)) da turua kedua dari jumlah kuadrat terhadap parameterparameterya atau disebut matriks Hessia (H(Ɵ)). Berikut ii vektor gradie da matriks Hessia utuk model produksi CES dega parameter θ 1, θ,, da. S(Ɵ) θ 1 S(Ɵ) g(ɵ) = S(Ɵ) θ = θ S(Ɵ) (17) S(Ɵ) S(Ɵ) θ 1 θ 1 θ H(Ɵ) = θ 1 θ 1 θ 1 θ 1 θ θ θ θ θ θ 1 θ θ 1 θ θ 4 S(Ɵ) (18) Sehigga proses iterasi yag dilakuka adalah sebagai berikut : θ i+1 = θ i [H 1 g] (19) Utuk memudahka melakuka iterasi dega metode Newto-Raphso. Utuk meduga parameter Persamaa (11) maka diguaka segugus data. Data yag diguaka dalam peelitia ii didapat dari buku (Rasidi & Boar, 006) []. Gugus data terdiri dari iput modal (X 1 ), iput teaga kerja (X ), da tigkat produksi (Y). Copyright 017 FT-UHAMKA. - All rights reserved Semiar Nasioal TEKNOKA ke -, Vol., 017

5 D. Kuriasari, N. Setiawa, Warsoo & Y. Atoio I - 65 Nilai awal grid bertujua utuk meetuka ilai awal yag baik. Pemiliha ilai awal yag baik megguaka grid yaitu dega cara memilih ilai yag memiliki jumlah kuadrat terkecil. Berikut ii hasil iterasi Newto Raphso yag diperoleh dega megguaka ilai awal yag dipilih berdasarka jumlah kuadrat yag palig kecil dega megguaka grid yaitu θ 1 = 15, θ = 0.5, = 0.5 da = 0.5. Tabel 1. Hasil proses iterasi dega ilai awal θ 1 = 15, θ = 0.5, = 0.5 da = 0.5 Iter θ 1 θ Sum of Squares Hasil pada Tabel 1 meampilka bayakya iterasi yag dilakuka higga berheti atau koverge dega megguaka metode Newto Raphso. Baris iterasi ke- 0 merupaka ilai awal yag dipilih. Proses iterasi dilakuka terus meerus sampai memeuhi kriteria kekovergea yaitu apabila SΘ i 1 S(Θ i ). Proses tersebut koverge pada iterasi ke-13 da ilai pada iterasi ke-13 diguaka sebagai ilai dugaa bagi parameter yaitu θ 1 =11.135, θ = , θ 3 = , da = 0.87 dega ilai S(Ɵ 13 ) sebesar 980. Sehigga dapat dibetuk model produksi CES sebagai berikut : Y = 11.1(0.41x x ) (0) Utuk memperoleh iformasi tetag keragama dari model maka dilakuka aalisis ragam pada model persamaa (0). Hasil dari aalisis ragam diperoleh sebagai berikut: Tabel. Aalisis ragam dari model pada persamaa (0) Source DF Sum of Square Mea Square Model Error Ucorrected Total Jumlah kuadrat tegah model di peroleh dari perbadiga atara jumlah kuadrat model dega derajat bebas model, dega ilai kuadrat tegah model sebesar Pada galat model, diketahui derajat bebasya 1 dega jumlah kuadratya sebesar 980. Artiya, kesalaha model yag didapat sebesar jumlah kuadrat galat yaitu 980. Tabel 3. Selag kepercayaa utuk θ 1, θ, θ 3, da Parameter Dugaa Std. Error Approksimasi 95%CI θ θ Tabel 3 meampilka selag kepercayaa utuk masigmasig parameter. Utuk parameter θ 1, selag kepercayaa 95% bagi dugaaya atara da dega galat sebesar Kita juga dapat percaya sebesar 95% bahwa ilai dugaa θ berada diatara da dega ilai kesalaha sebesar Utuk parameter galat yag diperoleh sebesar 0.88 dega 95% selag kepercayaa atara sampai Kita percaya 95% bahwa dugaa bagi berada pada sampai SIMULASI Selajutya utuk memverifikasi hasil aalisis diatas dilakuka simulasi dega membagkitka data utuk variabel X1, X, da Y. Pembagkita data dilakuka berdasarka ilai rata-rata da simpaga baku masigmasig variabel dari data pada buku (Rasidi & Boar, 006) megikuti distribusi ormal []. Data yag dibagkitka berukura 30 da diulag sebayak 10 kali, sehigga diperoleh 10 set data. Dega megguaka ilai awal yaitu θ 1 = 15, θ =0.6, = -0.3 da = 0.5 []. diperoleh ilai dugaa bagi parameter model produksi CES utuk masigmasig set data, ditampilka pada Tabel 4. Tabel 4. Hasil aalisis dega megguaka data hasil radom SET Sum Of θ DATA 1 θ Square Berdasarka hasil aalisis ragam pada Tabel, diperoleh iformasi bahwa derajat bebas dari model adalah 4. Derajat bebas meyataka bayakya iformasi yag bebas diguaka utuk medapatka jumlah kuadrat dega kata lai terdapat 4 parameter yag diguaka utuk memperoleh jumlah kuadrat Jumlah kuadrat model diperoleh dega mesubtitusika ilai dugaa yag didapat ke dalam persamaa jumlah kuadrat selisih atara pegamata ke-i, yaitu Y i dega ilai tegahya Y. Jumlah kuadrat yag diperoleh sebesar Dari hasil pedugaa diatas kita tetuka ilai rata-rata masig-masig parameter dari 10 set data da kemudia dijadika sebagai ilai pedugaa bagi parameter model produksi CES. Diperoleh ilai dugaa utuk θ 1 = , θ = Copyright 017 FT-UHAMKA. - All rights reserved Semiar Nasioal TEKNOKA ke -, Vol., 017

6 D. Kuriasari, N. Setiawa, Warsoo & Y. Atoio I , θ 3 = , da = Sehigga dapat dibetuk model produksi CES berdasarka data hasil radom berdasarka data pada tabel 1. sebagai berikut : Y = 10.19(0.39x x ) (1) Dega parameter distribusi θ = sehigga koefisie (1 θ ) = Kombiasi iput model (X 1 ) da teaga kerja (X ) utuk meghasilka produksi ragka baja masig-masig 39.99% da 60.01%. Retur to scale model adalah 8.7%, yag megidikasika bahwa jika dega meggadaka kedua iput aka meigkatka produksi ragka baja sebesar 8.7%. Elastisitas substitusi 1 = 1 =.1. Hal ii 1+ρ ( ) meujuka bahwa iput-iput mudah disubstitusika. Koefisie dugaa parameter efisiesi θ 1 = 11.13, yag megidikasika presetase perubaha tekologi (perubaha yag disebabka buka oleh modal da iput teaga kerja). Artiya bahwa peigkata produksi ragka baja disebabka oleh perubaha tekologi sebesar 11.13%. Selajutya aka diperiksa kestabila parameterparameter yag diperoleh melalui simulasi. Nilai-ilai parameter pada Persamaa (0) diaggap sebagai ilai parameter sebearya, sedagka ilai-ilai parameter pada persamaa (1) sebagai ilai dugaa parameter Persamaa (0). utuk memeriksaya dilakuka perhituga bias bagi masig-masig parameter dega megguaka rumus berikut : Bias θ i = E(θ i ) θ i. () Bias dari suatu parameter adalah suatu ilai yag meyataka seberapa jauh suatu peduga (statistik) meyimpag dari parameterya. Nilai ii merupaka selisih atara ilai harapa bagi parameterya dega pedugaya. Semaki dekat dega ol dapat disimpulka semaki baik suatu peduga utuk meduga parameter. Da apabila ilai biasya 0 dapat diartika bahwa peduga yag diperoleh adalah peduga tak bias. Berdasarka perhituga diperoleh bias-bias bagi masig-masig parameter θ 1 =-1.01, θ = , θ 3 = da = Utuk parameter θ 1 da θ didapat bias dega ilai egatif. Artiya ilai dugaa yag didapat dari hasil simulasi memiliki ilai parameter yag lebih kecil dari ilai parameter sebearya atau disebut dega uder estimatio. 5 Simpula da Sara Berdasarka uraia sebelumya, kesimpula yag dapat diambil adalah sebagai berikut: 1. Pedugaa model oliear yaitu model produksi CES dega megguaka metode oliear kuadrat terkecil tidak dapat diselesaika secara eksak maka diguaka metode umerik yaitu metode Newto Raphso.. Dari peilitia yag dilakuka didapat ilai dugaa utuk model produksi CES dega megguaka data pada tabel 1 adalah θ 1 = , θ = , θ 3 = , da = 0.87 dega kuadrat galat sebesar 980. da dari ilai dugaa tersebut dapat dibetuk model produsi CES seperti pada persamaa (0). 3. Dari peilitia yag dilakuka didapat ilai dugaa utuk model produksi CES dega megguaka data hasil radom adalah θ 1 = , θ = , θ 3 = , da = da dari ilai dugaa tersebut dapat dibetuk model produsi CES seperti pada persamaa (1) 4. Bias bagi masig-masig parameter sebagai berikut θ 1 = -1.01, θ = , θ 3 = da = Hasil ii meujuka metode kuadrat terkecil oliear cukup baik utuk meduga model CES. Kepustakaa [1] Draper, N. Da Smith, H Aalisis Regresi Terapa edisi kedua. Sumatri B, peerjemah. Jakarta: Gramedia, terjemaha dari: Applied Regressio aalysis. [] Sitepu, K. Rasidi da Siaga, M. Boar Aplikasi Model Ekoometrika. Program studi Ilmu Ekoomi Pertaia Sekolah Pascasarjaa Istitut Pertaia Bogor. Bogor. [3] Hoog, R.V. da Alle T. Craig Itroductio to Mathematical Statistics. Fifth editio. Prictice-Hall Iterasioal Ic, New Jersey. [4] Usma, Mustofa da Warsoo Teori Model Liear da Aplikasiya. Siar Baru Algesido. Badug. [5] Novalia Pedugaa Parameter Model Noliier. Fakultas Matematika da Ilmu Pegetahua Alam. Uiversitas Lampug, Badar Lampug. [6] Seber, G.A.F da Wild, C.J Noliear Regressio. Departemet of statistics. Uiversity Aucklad, New Zealad. Copyright 017 FT-UHAMKA. - All rights reserved Semiar Nasioal TEKNOKA ke -, Vol., 017