Analisa Kestabilan Bebas Penyakit pada Penyebaran Demam Berdarah Menggunakan Model Host Vector

Transkripsi

1 EMINA NAIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 05 Analisa Kestailan Beas Penakit pada Penearan Demam Berdarah Menggunakan Model ost Vector Kasus: Dua erotpe Eminugroho atna ari Nikenasih Binatari FMIPA UNY T - Astrak Tujuan dari penelitian ini adalah mementuk model matematika demam erdarah dengan mengasumsikan setelah semuh dari sakit maka dapat kemali rentan terhadap penakit dalam hal ini diatasi untuk dua serotpe Model ang dientuk tidak hana mempertimangkan populasi host tetapi juga vector dengan mempertimangkan adana peredaan laju kesemuhan antara terinfeksi pertama dengan ang kedua Berdasarkan model diahas tiga titik ekuilirium aitu eas penakit endemic hana pada serotpe pertama dan endemic hana pada serotpe kedua Menggunakan net generating matriks diperoleh dua jenis asic reproduction numer elanjutna perilaku solusi model di sekitar titik ekuilirium dianalisa menggunakan MAPLE asil menunjukkan ahwa jika asic reproduction numer kurang dari satu maka titik ekuilirium eas penakit stail asimtotik local Jika asic reproduction numer leih dari satu maka ketiga titik ekuilirium tidak stail Kata kunci: model ost Vector titik ekuilirium stail I PENDAULUAN eperti ang telah diketahui ahwa demam erdarah merupakan penakit ang sering muncul pada musim pancaroa Virus dengue merupakan penea penakit demam erdarah ini Transmisi demam erdarah dimulai dari manusia ang telah terinfeksi demam erdarah digigit namuk Aedes Aegpti sehat Akiatna virus juga akan erada dalam tuuh namuk Virus mempunai masa inkuasi 4 0 hari di dalam tuuh namuk elanjutna namuk sehat ini diseut seagai namuk terinfeksi Apaila namuk terinfeksi menggigit manusia sehat maka dengan masa inkuasi 4 5 hari seelum akhirna gejala pertama demam erdarah muncul ang meneakan manusia sehat ini diseut terinfeksi Penelitian mengenai pemodelan matematika penearan demam erdarah telah anak dilakukan Dimulai dari [] ang memahas tentang model penearan demam erdarah dimana populasi diagi menjadi tiga kelas aitu kelas rentan kelas terinfeksi dan kelas semuh dari penakit Penelitian ini leih difokuskan pada populasi manusia saja seagai host dari penakit demam erdarah Namun pada kenataanna namuk Aedes Aegpti seagai vector penakit mempunai peranan penting dalam penearan demam erdarah Untuk itu perlu dientuk suatu model host-vector untuk menjawa permasalahan ini Esteva [] telah memahas mengenai hal ini Pada model ini masih diasumsikan host ang telah semuh dari sakit tidak dapat kemali rentan terhadap penakit Padahal virus penea demam erdarah mempunai empat serotpe ang ereda aitu DEN DEN DEN3 dan DEN4 Jika seseorang telah terinfeksi oleh salah satu serotpe maka dapat terinfeksi kemali dengan serotpe ang ereda Jadi model dikemangkan dengan mengasumsikan host ang telah semuh dapat kemali rentan Pada penelitian ang telah dilakukan oewono [3] masih elum memedakan kelas rentan dengan kemungkinan serotpe ang ereda ementara James [4] memahas model host-vector dengan memisahkaan kelas rentan dengan dua serotpe ang ereda namun masih mengasumsikan ahwa laju kesemuhan dari terinfeksi pertama sama dengan ang terinfeksi kedua Untuk itu dalam makalah ini akan dientuk model host-vector dengan memisahkan kelas rentan antara ang pernah terinfeksi pertama dengan infeksi kedua juga diasumsikan ahwa laju kesemuhan dari terinfeksi pertama ereda dengan ang kedua Berdasarkan model ang diperoleh perilaku solusi di sekitar titik ekuilirium akan diamati menggunakan MAPLE

2 IBN II PEMBENTUKAN MODEL Pada agian ini akan diahas mengenai pementukan model demam erdarah dengan memperhatikan populasi host dan vector Didefinisikan untuk total populasi host dan V untuk total populasi vector Populasi host diagi menjadi kelas ang rentan terhadap demam erdarah aik serotpe ang pertama maupun kedua kelas terinfeksi oleh serotpe pertama I kelas terinfeksi oleh serotpe kedua I kelas rentan oleh serotpe kedua setelah terinfeksi oleh serotpe pertama kelas rentan oleh serotpe pertama setelah terinfeksi oleh serotpe kedua kelas terinfeksi oleh serotpe kedua setelah semuh dari serotpe pertama I kelas terinfeksi oleh serotpe pertama setelah semuh dari serotpe kedua I kelas ang semuh dari penakit ementara pada populasi vector tidak didefinisikan kelas semuh karena virus dengue akan ada di dalam tuuh namuk sepanjang hidupna Populasi vector diagi menjadi kelas ang rentan terhadap virus dengue aik serotpe pertama maupun kedua Y kelas terinfeksi oleh serotpe pertama Y I dan kelas terinfeksi oleh serotpe kedua Y I Jika untuk menatakan anakna gigitan per namuk per hari maka untuk V namuk akan ada V gigitan namuk per hari Jadi manusia akan menerima seanak V gigitan namuk per hari V Y Banakna gigitan dari namuk ang terinfeksi oleh serotpe pertama per hari adalah I V Jika menatakan laju transmisi dari namuk ke manusia maka laju infeksi manusia ang rentan terhadap V YI serotpe pertama adalah vh V Karena satu namuk akan menggigit mendapat virus dengue untuk serotpe pertama seesar ke namuk seesar ( ) untuk ang kedua adalah Berikut dierikan diagram transferna per hari per manusia maka satu namuk per hari akan I + I Jika laju transmisi dari manusia maka laju infeksi per namuk ang rentan terhadap serotpe pertama adalah I + I elanjutna untuk laju kesemuhan setelah terinfeksi pertama dinotasikan dan vh V Y V I I V YI V I V Y vh V I I V YI V I ( I + I ) Y Y I I I Y I GAMBA DIAGAM TANFE MODEL

3 EMINA NAIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 05 Diasumsikan ahwa kematian akiat demam erdarah sangat kecil sehingga tidak diperhitungkan Laju kelahiran untuk populasi host diasumsikan konstan dan sama dengan kematian alami Dinotasikan dengan µ Demikian juga laju kelahiran untuk populasi vector diasumsikan konstan dan sama dengan kematian alami Dinotasikan dengan α Jadi model matematikana adalah d V YI V YI µ vh µ V V () d I V YI I µ I V () d I V YI I µ I V (3) d V YI I vh µ V (4) d V YI I vh µ V (5) d I V YI I µ I V (6) d I V YI I µ I V (7) d I + I µ (8) edangkan untuk populasi vector dengan I I I I dy αv ( I + I ) ( I + I ) αy (9) dy I ( I + I ) α Y I (0) dy I ( I + I ) α Y I () dengan Y + YI + YI V Jika diamil I I I I I I I Y YI YI I I I I V V V d µ V vh I V vh I µ () d I V vh I I µ I () d I V vh I I µ I (3) d V I vh I µ (4) d V I vh I µ (5) d I V vh I I µ I (6) d I V vh I I µ I (7) d I + I µ (8) 3

4 IBN dengan edangkan untuk populasi vector I I I I d α ( I + I ) ( I + I ) α (9) d I ( I + I ) α I (0) d I ( I + I ) α I () dengan + + I I III AIL DAN PEMBAAAN Pada agian ini akan diahas mengenai titik ekuilirium sistem () dan analisa kestailan di sekitar titik ekuilirium Titik-titik ekuilirium ang diahas adalah titik ekuilirium eas penakit titik ekuilirium endemic pada serotpe pertama dan pada serotpe kedua A Titik Ekuilirium Pemahasan mengenai titik ekuilirium akan dijelaskan melalui lemma erikut Lemma Bukti a Jika 0 maka diperoleh titik ekuilirium eas penakit I I I I I I I Jika I 0 I 0 0 I 0 0 I 0 maka diperoleh titik ekuilirium endemic hana pada serotpe pertama ( I I0) µ α V dengan µ V µ + α vh I V vh µ + α V ( µ + ) α V µ µ V µ µ α vh vh vh V V µ α vh µ I µ V µ α V µ α vh c Jika I 0 I 0 0 I 0 0 I 0 maka diperoleh titik ekuilirium endemic hana pada serotpe kedua ( 0 I I ) µ V µ + α vh I V vh µ dengan + α V ( µ + ) α V µ µ V µ µ α vh vh vh V µ + α vh V µ I µ α V µ V µ α V µ α vh a Jika ruas kanan dari masing-masing persamaan pada sistem () sama dengan nol maka dari () diperoleh dan pada (9) diperoleh edangkan erturut-turut pada () (8) dan (0) () diperoleh 0 Jadi diperoleh titik ekuilirium eas penakit I I I I I I I Jika I 0 I 0 0 I 0 0 I 0 maka dengan mengamil nol di ruas kanan dari (0) diperoleh (3) α I I Jika ruas kanan () sama dengan nol dan mensustitusi (3) ke () maka diperoleh 4

5 EMINA NAIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 05 µ α (4) V Jika ruas kanan () sama dengan nol dan mensutitusikan (4) ke () maka diperoleh I Jika (5) disutitusikan ke (3) maka diperoleh µ V µ α (5) V µ α I vh µ V µ + α (6) V µ vh Jika ruas kanan (4) sama dengan nol dan mensutitusikan (6) ke (4) maka diperoleh V µ + α (7) V µ elanjutna jika ruas kanan (9) sama dengan nol dan mensutitusikan (6) ke (9) maka diperoleh + α V ( µ + ) α V µ µ V µ µ α vh vh vh (8) Jadi terukti untuk titik ekuilirium endemic untuk serotpe pertama dengan erturut-turut seperti pada (4) (6) (7) (8) (5) I I c Jika I 0 I 0 0 I 0 0 I 0 maka dengan mengamil nilai nol di ruas kanan dari (9) diperoleh atau ( ) I α I 0 (9) α I I Jika (3) diamil sama dengan nol dan (9) disutitusikan maka diperoleh atau V µ α vh I I I 0 µ α (0) V Jika () diamil sama dengan nol dan (0) disustitusikan maka diperoleh atau V µ α µ α µ vh I 0 µ V V I Jika () disustitusi ke (9) maka diperoleh µ V µ α () V µ α vh 5

6 IBN I µ V µ + α V µ vh Jika (9) diamil sama dengan nol dan () disustitusikan maka diperoleh + α V ( µ + ) α V µ µ V µ µ α vh vh vh Jika ruas kanan (5) sama dengan nol dan mensutitusikan () maka diperoleh V µ () (3) V µ + α (4) Jadi terukti titik ekuilirium endemic untuk serotpe kedua dengan seperti pada (0) () (4) (3) () I I erturut-turut B Basic eproduction Numer Berikut akan dierikan langkah-langkah untuk mendapatkan asic reproduction numer menggunakan net generating matri seperti ang telah dilakukan oleh Driessche [5] Dientuk matriks F ang entrientrina adalah suku-suku ang masuk ke kelas-kelas terinfeksi selanjutna diamil turunanna terhadap masing-masing kelas pada saat ( ) V V V V I vh I vh I vh I ( I I ) ( I I ) + + I I I I I I V V V V I I ( ) ( ) I I I I I I + + I I I I I I V V V V I I I I ( I + I ) ( I + I ) I I I I I I F V V V V I I I I ( I + I ) ( I + I ) I I I I I I V V V V I I I I ( I + I ) ( I + I ) I I I I I I V V V V I I I I ( I + I ) ( I + I ) I I I I I I ( ) F V V elanjutna dientuk matriks L ang entri-entrina adalah suku-suku ang keluar dari kelaskelas terinfeksi selanjutna diamil turunanna terhadap masing-masing kelas pada saat ( ) 6

7 EMINA NAIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 05 + µ ) I + µ ) I + µ ) I + µ ) I ( α I ) ( α I ) I I I I I I + µ ) I + µ ) I + µ ) I + µ ) I ( α I ) ( α I ) I I I I I I + µ µ ) I + µ ) I + µ ) I + µ ) I ( α I ) ( α ) I 0 µ I I I I I I µ L + µ ) I + µ ) I + µ ) I + µ ) I ( α I ) ( α I ) µ 0 0 I I I I I α 0 I + µ ) I + µ ) I + µ ) I + µ ) I ( α I ) ( α I ) α I I I I I I + µ ) I + µ ) I + µ ) I + µ ) ( α I ) ( α I ) I ( ) I I I I I I dan inverse dari matriks L adalah µ µ L + µ µ α α L Dicari matriks G aitu hasil perkalian antara matriks F dan α α α G α V ( + µ ) V ( + µ ) Basic eproduction Numer adalah nilai eigen teresar dari matriks G erkenaan dengan serotpe pertama dan kedua erturut-turut ditunjukkan pada (5) vh vh α + µ α + µ α + µ V α + µ V (5) Untuk menunjukkan jumlah host terinfeksi erikutna jika ang terinfeksi pertama diseakan oleh serotpe pertama edangkan menunjukkan jumlah host terinfeksi erikutna jika ang terinfeksi pertama diseakan oleh serotpe kedua C Kestailan di ekitar Titik Ekuilirium Pemahasan mengenai kestailan di sekitar titik ekuilirium akan diahas melalui Gamar 3 menggunakan nilai nilai parameter seperti ang tampak pada Tael Karena laju kematian diasumsikan sama dengan laju kelahiran sementara angka harapan hidup penduduk Indonesia rata-rata 70 Untuk namuk mempunai angka harapan hidup minggu hari tahun maka nilai µ seesar 7

8 IBN sehingga nilai α seesar 4 hari edangkan nilai leih esar diandingkan Karena untuk infeksi kedua seringkali leih fatal diandingkan dengan ang pertama [6] TABEL NILAI PAAMETE Parameter Nilai eferensi µ [7] α [8] 05 [] 055 [4] vh 049 [4] vh 03 [4] 048 [] 0 Diasumsikan Leih lanjut melalui sistem () dientuk matriks Jacoian V V V V I vh I µ V V I µ V V I 0 µ V V 0 0 vh I µ V V vh I µ J V V I 0 µ V V I 0 µ µ α α α elanjutna nilai-nilai parameter ang tampak di Tael disutitusi pada matriks J serta diamil pada ( I I0) dan ( 0 I I ) saat erturut-turut Jika V 5000 dan 0000 disustitusi pada (5) maka diperoleh nilai sementara diperoleh untuk V dan 00 Menggunakan hasil perhitungan ini maka diperoleh nilai-nilai eigen seperti tampak pada Tael erikut Titik Ekuilirium ( ) TABEL NILAI-NILAI EIGEN DAI MATIK J DI ETIAP TITIK EKUILIBIUM ITEM () Titik Ekuilirium ( I I ) Titik Ekuilirium ( I I ) < > > > i i i i stail asimtotik lokal tidak stail tidak stail tidak stail Kesimpulan ang sama juga diperoleh untuk 8

9 EMINA NAIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 05 Berikut dierikan Gamar dan 3 untuk menunjukkan perilaku solusi dari istem () menggunakan MAPLE Berdasarkan Gamar untuk nilai 0 < maka mula-mula populasi kelas rentan turun hingga hari ke-0 tetapi untuk t akhirna menuju edangkan populasi kelas terinfeksi menuju 0 al ini dikarenakan tidak cukupna kelas rentan ang isa diinfeksi Artina penakit demam erdarah semakin lama semakin menghilang edangkan dari Gamar 3 kelas turun leih cepat dan untuk kelas terinfeksi tetap ada di alam Artina penakit demam erdarah selalu ada Leih lanjut proporsi untuk kelas terinfeksi serotpe kedua I + I leih tinggi diandingkan dengan I + I al ini wajar terjadi karena seringkali seseorang ang terinfeksi demam erdarah ang kedua leih fatal diandingkan seelumna GAMBA PEILAKU OLUI UNTUK < GAMBA 3 PEILAKU OLUI UNTUK > 0 0 IV IMPULAN Model matematika untuk penearan demam erdarah dengan mempertimangkan tidak hana populasi host tetapi juga vector dierikan dalam istem () Model ini juga memedakan antara laju kesemuhan antara ang terinfeksi oleh serotpe pertama dan kedua Berdasarkan model diahas tiga titik ekuilirium aitu titik ekuilirium eas penakit endemic oleh serotpe pertama dan endemic oleh serotpe kedua Menggunakan MAPLE tampak ahwa untuk asic reproduction numer erkenaan dengan serotpe pertama dan kedua kurang dari satu maka titik ekuilirium eas penakit stail asimtotik local ementara jika leih dari satu maka ketiga titik ekuilirium menjadi tidak stail DAFTA PUTAKA [] oward Weiss "The I model and the Foundations of Pulic ealth" MATerials MATemàtics vol 7 pp [] Lourdes Esteva and Cristoal Vargas "Analsis of a Dengue Disease Transmission Model" Mathematical Biosciences vol 50 pp [3] Ed oewono and Asep K upriatna "A Two-dimensional Model for the Transmission of Dengue Fever Disease" Bulletin of the Malasian Mathematical ciences ociet vol 4 pp [4] Ashan James "Coeistence of Two erotpes of Dengue Virus with and without easonal Variation" McMaster Universit Canada 03 [5] P van den Driessche and James Watmough "eproduction Numers and u-threshold Endemic Equiliria for Compartmental Models of Disease Transmission" Mathematical Biosciences vol 80 pp [6] Padmalal Gurugama Pankaj Garg Jennifer Perera Ananda Wijewickrama and uranjith L eneviratne "Dengue Viral Infections" Indian Journal of Dermatolog vol 55 no pp Jan-Mar 00 [7] Badan Pusat tatistik (05) Angka arapan idup Penduduk Beerapa Negara (tahun) [Online] [8] Zhilan Feng and Jorge Velasco ernandez "Competitive Eclusion in a Vector-ost Model for the Dengue Fever" Journal of mathematical Biolog vol 35 pp