PRISMA FISIKA, Vol. III, No. 2 (2015), Hal ISSN :

Transkripsi

1 PRISMA FISIKA, Vol. III, No. (5), Hal ISSN : 7-84 SIMULASI ORBIT PLANET DALAM TATA SURYA DENGAN METODE EULER, LEAPFROG DAN RUNGE-KUTTA Suraina ), Yudha Arman ), Boni Pahlanop Lapanporo ) ) Jurusan Fisika Fakultas Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Tanungpura Pontianak * yudhaarman@gmail.com Astrak Telah dilakukan simulasi gerak planet yang saling erinteraksi satu sama lain dan erinteraksi dengan matahari. Simulasi ini ertuuan untuk mengetahui perandingan hasil integrasi gerak planet dalam tata surya dengan metode Euler, Leapfrog dan Runge-Kutta orde 4. Dari pemodelan yang telah dilakukan terlihat ahwa lintasan orit planet hasil simulasi metode Leapfrog leih presisi dari pada metode Euler dan Runge Kutta orde 4. Error energi total dari metode Leapfrog uga leih kecil yaitu -,7. Sedangkan error energi total dari metode Euler dan Runge-Kutta orde 4 erturut-turut adalah seesar -,49 dan -,44. Kata kunci : Persamaan dinamika Newton, model gerak planet, energi total. Pendahuluan Dalam pandangan heliosentris planetplanet cenderung ergerak mengelilingi matahari. Lintasan planet mengelilingi matahari seenarnya adalah elips seagaimana yang dikemukakan oleh seorang ahli matematika dan astronomi dari Jerman ernama Johanes Kepler (57-6). Ia uga menunukkan ahwa planet tidak ergerak dengan kelauan konstan tetapi ergerak leih cepat ketika erada dekat dengan matahari. Lintasan dan gerak planet di dalam tata surya dielaskan dalam tiga hukum Kepler. Ketiga hukum tentang gerak planet terseut adalah : pertama, semua planet ergerak dalam orit ellips dengan matahari erada di salah satu fokusnya. Kedua, garis yang menghuungkan tiap planet ke matahari menyapu luasan yang sama dalam waktu yang sama. Ketiga, kuadrat periode tiap planet seanding dengan pangkat tiga arak rata-rata planet terhadap matahari (Tipler, 998). Pada era modern, hukum Kepler digunakan untuk mengaproksimasi orit satelit dan endaenda yang mengorit matahari seperti planet luar dan asteroid. Hukum-hukum ini pada dasarnya menaarkan gerakan dua enda yang saling mengorit satu sama lain. Kaian tentang lintasan dan gerak planet dapat disimulasikan dengan metode komputasi. Simulasi ini akan menggamarkan agaimana gerak yang dihasilkan oleh planet meliputi kecepatan dan posisi setiap saat yang dialami oleh planet. Salah satu hal yang menarik dari simulasi terseut adalah memandingkan model gerak planet dengan eragai metode serta menganalisis aplikasi metode terseut dalam simulasi delapan planet yang saling erinteraksi satu sama lain dan dengan matahari. Simulasi ini ertuuan untuk mengetahui perandingan hasil integrasi gerak planet dalam tata surya dengan metode Euler, Leapfrog dan Runge-Kutta orde 4. Simulasi ini dapat digunakan untuk mengetahui profil dari gerak planet melalui analisis solusi numerik yang didapatkan dengan ketiga metode terseut serta dapat memerikan informasi mengenai metode teraik yang dapat digunakan untuk menyelesaikan model gerak planet.. Metodologi. Model Gerak Planet Kaian simulasi orit planet dalam tata surya dengan metode Euler, Leapfrog dan Runge-Kutta orde 4 tidak lepas dari analisis dan perhitungan persamaan differensial iasa. Persamaan yang digunakan dalam penelitian ini adalah persamaan dinamika Newton untuk interaksi delapan uah planet dan matahari yang dituliskan seagai erikut : dvx GMx Gmm xm x Gmv xv x dt r rm rv () Gmr xr x Gm x x Gms xs x rr r rs Gmu xu x Gmn xn x dan 74

2 PRISMA FISIKA, Vol. III, No. (5), Hal ISSN : 7-84 dv GMy dt r r r y m m v v m v Gm y y r r s s rr r rs u u n n () dimana M adalah massa matahari, m m massa merkurius, mv massa venus, mr massa mars, m massa upiter, ms massa saturnus, mu massa uranus, mn massa neptunus, sedangkan G adalah konstanta gravitasi. Persamaan () dan () merupakan persamaan gerak planet umi dalam komponen x dan y yang akan diselesaikan secara numerik. Untuk persamaan gerak planet yang lain, variael x dan y digantikan dengan variale x dan y yang ersesuaian. Jarak antara dua planet dapat dihitung menggunakan persamaan erikut : r x x y y () dengan x dan y merupakan posisi planet pada idang x dan y, x dan y merupakan posisi planet pada idang x dan y. Untuk memudahkan perhitungan atas awal yang digunakan adalah y dan x r, dimana y dan x merupakan posisi awal planet dalam arah x dan y, sedangkan r merupakan arak ratarata planet dengan matahari. Berikut data planet yang digunakan dalam simulasi ini yang meliputi data arak rata-rata planet ke matahari dan periode setiap planet. Tael. Data planet yang digunakan dalam hukum III Kepler Jarak rata-rata Periode Planet dari matahari (Earth Years) (AU) Merkurius,87,4 Venus,7,65 Bumi,, Mars,5,88 Jupiter 5,,86 Saturnus 9,59 9,5 Uranus 9,8 84, Neptunus,6 65 (Gould, 98). Metode Euler Metode euler merupakan metode yang paling sederhana untuk menyelesaikan masalah nilai awal (Sahid, 4). Kondisi atau syarat atau nilai awal (x, y ) digunakan untuk menghitung esarnya slope (atau tangent arah) y(x) pada x = x. Prinsip metode euler adalah hampiran kurva penyelesaian di sekitar yi dengan garis yang melalui (x i, y i). Hampiran selanutnya di y i+ adalah asis titik pada garis hampiran terseut yang memiliki asis y i+. Metode Euler digunakan untuk menyelesaikan persamaan () dan (), sehingga: kecepatan dalam arah x, i i GMx Gmm xm x vx, vx, ( r rm Gmv xv x Gmr xr x r r v r s s r rs Gmu xu x Gmn xn x ) (4) posisi dalam arah x, i i i x x v t (5) x, kecepatan dalam arah y, i i GMy Gm y y vy, vy, ( r r m m m Gm y y Gm y x v v r r rv rr s s r rs u u n n ) (6) posisi dalam arah y, i i i y y v t (7) y,. Metode Leapfrog Integrator leapfrog merupakan salah satu contoh integrator symplectic. Dalam integrator leapfrog terdapat dua operator utama untuk memisahkan energi potensial dan energi kinetik pada persamaan Hamiltonian, yaitu operator drift dan kick (Dehnen dan Read, ). Algoritma Leapfrog yang ersesuaian dengan persamaan () dan () dituliskan seagai erikut kecepatan dalam arah x, GMx Gmm xm x r rm Gmv xv x Gmr xr x (8) r i i v rr vx, vx, t Gm x x Gms xs x r r s Gmu xu x Gmn xn x posisi dalam arah x, i i i x x v t (9) x, 75

3 PRISMA FISIKA, Vol. III, No. (5), Hal ISSN : 7-84 kecepatan dalam arah y, GMy Gmm ym y r rm Gmv yv y Gmr yr x ) r i i v rr vy, vy, t Gm y y Gms ys y r r s Gmu yu y Gmn yn y posisi dalam arah y, i i i y y v t () y,.4 Metode Runge-Kutta Metode Runge Kutta merupakan suatu metode yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial secara numerik atau pendekatan sehingga mendapatkan penyelesaian yang leih signifikan daripada penyelesaian secara analitik. Metode Runge Kutta merupakan salah satu algoritma pemecahan diferensial dengan prinsip deret Taylor. Metode ini mencapai keakuratan dari suatu pendekatan Taylor tanpa memerlukan turunan-turunan tingkat tinggi (Matthew dan Fink, 4). Metode Runge-Kutta diuat untuk mendapatkan ketelitian yang leih tinggi dan keleihan dari metode ini adalah ahwa untuk memperoleh hasil-hasil terseut hanya diperlukan nilai-nilai fungsi di titik-titik semarang yang dipilih pada suatu interval agian (Wahyudin, 987). Pada metode Runge Kutta, semakin tinggi ordenya semakin tinggi pula tingkat ketelitian yang akan didapatkan. Di sisi lain, parameter yang diperlukan uga akan leih anyak. Pada umumnya, penyelesaian persamaan diferensial iasa akan menggunakan metode Runge Kutta orde-4. Runge Kutta orde-4 memutuhkan satu nilai awal untuk memulainya (y) dan potongan dari empat perhitungan deret Taylor (Suparno, 8). Metode Runge Kutta orde 4 uga digunakan untuk menyelesaikan persamaan () dan (), sehingga kecepatan dalam arah x, i i v x vx k k k k4 t () 6 posisi dalam arah x, i i i x x vx t () dengan a. GMx Gm x x k m m v v r r r rm rv rr s s u u n n r rs. c. d. GMx k ( r r r m m v v m v Gm x x r r s s rr r rs ).5k t u u n n GMx k ( m m v v r rm rv Gm x x r r s s rr r rs ).5k t u u n n GMx k ( m m v v 4 r rm rv Gm x x r r s s rr r rs ) k t u u n n kecepatan dalam arah y, i i v y vy k k k k4 t (4) 6 posisi dalam arah y, i i i y y v t (5) Dengan a.. c. d. y GMy Gm y y k m m v v r r r rm rv rr s s u u n n r rs GMy k ( r r r m m v v m v Gm y y r r s s rr r rs ).5k t u u n n GMy k ( m m v v r rm rv Gm y y r r s s rr r rs ).5k t u u n n GMy k ( m m v v 4 r rm rv Gm y y r r s s rr r rs ) k t u u n n 76

4 PRISMA FISIKA, Vol. III, No. (5), Hal Energi Total Planet Pada simulasi gerak planet ini uga akan diandingkan nilai galat (eror) energi total planet ketika mengelilingi matahari yang dihasilkan oleh metode Euler, Leapfrog dan Runge-Kutta orde 4. Energi total planet dapat diperoleh dengan menumlahkan energi potensial dan energi kenetik delapan planet secara analitik dan numerik. Selisih hasil analitik dan numerik akan mengahasilkan nilai galat (eror). Perhitungan energi total planet dirumuskan dalam perhitungan erikut. energi potensial delapan planet, Ep GMmm GMmv GMm GMmr rm rv r rr GMm r (6) GMms GMmu GMmn rs ru rn energi kinetik delapan planet, mm vm mv vv m v mr vr m v ms vs mu vu mn vn Ek (7) Untuk perhitungan energi kinetik secara analitik menggunakan nilai kecepatan awal setiap planet. Sedangkan perhitungan energi kinetik secara numerik menggunakan nilai kecepatan akhir yang diperoleh dari hasil simulasi. Adapun energi total planet dan nilai erornya diperoleh melalui perhitungan erikut. (8) E E p Ek e Enumerik Eanalitik Eanalitik (9).6 Diagram Alir Penelitian Alur pada penelitian ini disaikan pada diagram erikut. ISSN : Hasil Dan Pemahasan Penggamaran mengenai gerak planet seagaimana yang telah diungkapkan oleh Kepler tidak memperhatikan adanya efek planet lain di sekitarnya. Atau dengan kata lain masalah hanya diatasi pada two ody prolems. Hal ini tentunya kurang tepat, mengingat dalam kenyataannya tata surya kita terdiri dari delapan planet yang mengitari matahari. Masalah dua enda yang erinteraksi seperti digamarkan oleh hukum kuadrat teralik dapat diselesaikan secara eksak. Akan tetapi, ika ditamahkan lagi satu planet saa (selanutnya dikenal dengan three ody prolems) maka akan sangat sulit diselesaikan secara analitik. Dalam penelitian ini diamil kasus few ody prolems yaitu matahari dan delapan planet yang saling erinteraksi satu sama lain. Persamaan matematis yang digunakan dalam penelitian ini didapatkan dari persaman () dan () yang menghasilkan grafik profil gerak planet pada idang x dan y, serta nilai eror energi total masing-masing metode. Untuk mempermudah dalam menggamarkan model gerak planet digunakan suatu satuan universal yang dikenal seagai satuan astronomi (astronomical unit atau AU). Satuan universal ini digunakan untuk mengantisipasi perhitungan numerik yang sangat esar. Satuan astronomi (AU) digunakan seagai satuan arak rata-rata planet ke matahari ( AU =,496 x m). Sedangkan satuan waktu yang digunakan dalam penelitian ini adalah tahun ( tahun =,5 x 7 s). Dalam simulasi ini lintasan orit planet diuat dalam dua grafik yaitu grafik lintasan planet dalam dan planet luar. Hal ini dikarenakan arak antara planet Merkurius dan Neptunus sangat auh sehingga simulasi ini tidak dapat menghasilkan lintasan delapan planet dalam satu grafik. Hasil simulasi program profil gerak planet Merkurius, Venus, Bumi dan Mars dengan metode Euler, Leapfrog dan RungeKuttaa orde 4 dapat dilihat pada gamar erikut Gamar. Grafik lintasan planet Merkurius, Venus, Bumi dan Mars dengan metode Euler Gamar. Tahapan-tahapan penelitian 77

5 PRISMA FISIKA, Vol. III, No. (5), Hal ISSN : Gamar. Grafik lintasan planet Merkurius, Venus, Bumi dan Mars dengan metode Leapfrog - - Gamar 5. Grafik lintasan planet Jupiter, Saturnus, Uranus dan Neptunus dengan metode Leapfrog Gamar. Grafik lintasan planet Merkurius, Venus, Bumi dan Mars dengan metode RK4 Gamar, dan merupakan hasil simulasi lintasan orit planet Merkurius, Venus, Bumi dan Mars dengan. Warna hitam pada ketiga gamar di atas merupakan lintasan planet Merkurius, warna merah merupakan lintasan planet Venus, warna iru merupakan lintasan planet Bumi, dan warna hiau merupakan lintasan planet Mars. Dari ketiga gamar terseut terlihat ahwa ahwa planet Merkurius mengalami pergeseran paling esar diantara planet Venus, Bumi dan Mars. Hal ini diseakan karena Merkurius merupakan planet yang paling dekat dengan Matahari. Dalam eksperimennya, Clemence menemukan ahwa presesi planet Merkurius dalam angka waktu satu aad adalah seesar 4,,45. Untuk hasil simulasi program profil gerak planet Jupiter, Saturnus, Uranus dan Neptunus dapat dilihat pada gamar erikut Gamar 4. Grafik lintasan planet Jupiter, Saturnus, Uranus dan Neptunus dengan metode Euler Gamar 6. Grafik lintasan planet Jupiter, Saturnus, Uranus dan Neptunus dengan metode RK4 Gamar 4, 5 dan 6 merupakan hasil simulasi lintasan orit planet Jupiter, Saturnus, Uranus dan Neptunus. Warna merah pada ketiga gamar di atas merupakan lintasan planet Jupiter, warna hiau merupakan lintasan planet Saturnus, warna hitam merupakan lintasan planet Uranus, dan warna iu merupakan lintasan planet Neptunus. Hasil simulasi profil gerak planet menunukkan ahwa terdapat peredaan antara simulasi dengan metode Euler, Leapfrog dan metode Runge Kutta orde 4. Peredaan terseut dapat dilihat dari posisi matahari seagai pusat tata surya. Dari hasil simulasi dengan metode Leapfrog terlihat ahwa lintasan planet mengelilingi matahari erentuk elips dan matahari erada pada salah satu titik fokus. Hal ini sesuai dengan hukum Kepler pertama. Akan tetapi hasil simulasi dengan metode Euler dan Leapfrog sangat menyimpang dari hukum Kepler pertama karena posisi matahari erada di pusat lingkaran ukan disalah satu titik fokus elips. Selain grafik lintasan orit setiap planet terhadap matahari, dalam pemodelan ini uga dihasilkan nilai eror dari energi total planet ketika mengelilingi matahari. Dari simulasi program metode Euler dengan interval waktu dt, didapatkan nilai energi total planet ketika mengelilingi matahari seesar 78

6 PRISMA FISIKA, Vol. III, No. (5), Hal ISSN : ,68 x 7 dan galatnya seesar -,49. Untuk nilai energi total metode Leapfrog dengan imterval waktu yang sama adalah seesar - 7,75 x 7 dan galatnya -,7. Sedangkan nilai energi total planet dengan metode Runge- Kutta orde 4 untuk interval waktu yang sama adalah seesar -7,67 x 7 dan galatnya -,44. terlihat ahwa nilai galat energi total yang dihasilkan oleh metode Leapfrog leih kecil daripada metode Euler dan Runge Kutta orde 4 untuk interval waktu yang sama. Hasil simulasi dengan ketiga metode terseut menunukkan ahwa energi yang dimiliki oleh planet yaitu energi karena gerakannya (EK) dan energi yang dimiliki karena posisinya (EP) esarnya adalah konstan. Kekekalan energi inilah yang menyeakan planet ergerak dalam lintasan yang sama pada setiap tahunnya. Tanda negatif pada nilai energi total yang dihasilkan dari ketiga metode terseut mengisyaratkan ahwa planet terikat kuat oleh matahari dan tidak akan keluar dari lintasan orit apaila tidak ada energi luar yang masuk ke planet. 4. Kesimpulan Dari penelitian ini dapat disimpulkan ahwa solusi gerak planet yang dihasilkan metode Leapfrog leih presisi dan leih sesuai dengan hukum Kepler pertama diandingkan solusi gerak planet yang dihasilkan oleh metode Euler dan Runge Kutta orde 4. Hal ini diperkuat dengan galat (error) energi total hasil simulasi metode Leapfrog leih kecil daripada metode Euler dan Runge Kutta orde 4. DAFTAR PUSTAKA Dehnen, W., dan J.I. Read.. N-ody Simulations of Gravitational Dynamics. European Physics Journal Plus. Vol. 6. No. 55. Gould, H. 98. An Introduction to Computer Simulation Methods : Applications to Physical Systems. Clark University. Matthew, J.H., dan Fink, K.K. 4. Numerical Methods Using Matla. 4th Edition. Prentice-Hall Inc. Sahid. 4. Pengantar Komputasi Numerik dengan MATLAB. Yogyakarta : Andi. Suparno, S. 8. Komputasi untuk Sains dan Teknik : Dalam Matla. Edisi III. Jakarta : Univeristas Indonesia. Tipler, P.A Fisika untuk Sains dan Teknik. Jakarta : Erlangga. Wahyudin Metode Analisis Numerik. Bandung : Tarsito. 79