KARAKTERISASI SEBARAN CAUCHY

Transkripsi

1 Jurnal Matematika UNAND Vol. No. 3 Hal. 3 ISSN : 33 9 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND KARAKTERISASI SEBARAN CAUCHY SUSTI RAHMAH YULITA S Program Studi Magister Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Andalas, Kampus UNAND Limau Manis Padang, Indonesia, sustirahmah@ymail.com Astrak. Dalam penelitian ini dikaji karakterisasi searan Cauchy melalui fungsi karakteristik searan dan searan teragi tak hingga. Kehadiran searan Cauchy yang diangkitkan oleh konstanta penstail menjadi hal yang menarik pula untuk dikaji. Selanjutnya diperoleh eksistensi nilai harapan untuk Searan Cauchy yang diangkitkan oleh konstanta penstail terseut. Jika ditentukan suatu searan dari suatu peuah acak, maka dapat dikaji entuk searan teragi tak hingga dari peuah acak terseut. Oleh karena itu, dalam paper ini akan dikaji pula mengenai searan teragi tak hingga dari searan Cauchy dan searan Cauchy yang diangkitkan oleh konstanta penstail. Kata Kunci: Searan Cauchy, searan Cauchy diangkitkan oleh konstanta penstail, fungsi karakteristik, searan teragi tak hingga. Pendahuluan Pada tahun 853, Augustin Loius Cauchy memperkenalkan searan Cauchy yang paling sederhana, yaitu searan yang memiliki fungsi kepekatan f(x) = π(+x ), untuk < x <. Einsenhart (97) memerikan karakterisasi searan Cauchy dengan memformulasikan entuk fungsi karakteristiknya. Setiap fungsi searan mempunyai fungsi karakteristik yang merupakan suatu penciri dari suatu searan. Apaila terdapat suatu peuah acak X t yang memiliki searan Cauchy (X t Ca(a, )), dan S didefinisikan oleh S = xt x, di mana x t [x r, x q ], dengan x = max { x r, x q }; r, q Z, maka peuah acak S terseut memiliki fkp f(s; a, ) = θ π( + (s a) ), untuk setiap < s <, a dan masing-masing adalah lokasi dan skala parameter, dan θ merupakan penstail entuk searan [7]. Selanjutnya pada tulisan ini akan dikaji tentang karakterisasi searan Cauchy dan searan Cauchy yang diangkitkan oleh konstanta penstail. Karakterisasi yang dikaji meliputi fungsi karakteristik dan searan teragi tak hingga dari masingmasing searan.. Peuah Acak dan Fungsi Kompleks Suatu peuah acak X dikatakan peuah acak kontinu jika terdapat suatu fungsi f(x) yang dinamakan fkp kontinu sehingga fungsi searan dapat dinyatakan seagai f(x) = d dxf (x). Misal X adalah peuah acak kontinu dengan fkp f(x), maka 3

2 4 Susti Rahmah Yulita S Gamar.. Kurva tertutup terhuung sederhana nilai harapan dari X didefinisikan oleh E[X] = xf(x)dx, jika integral terseut konvergen mutlak. Selainnya, dikatakan ahwa E(x) tidak ada []. Misalkan terdefinisi dan ernilai tunggal dalam suatu lingkungan dari z = z. Fungsi dikatakan kontinu di z = z jika lim z z = f(z ). Suatu fungsi dikatakan analitik di suatu titik z jika terdapat suatu lingkungan z z < δ sehingga f (z) ada di setiap titik pada lingkungan terseut. Misalkan analitik di dalam dan pada suatu kurva tertutup sederhana C, dimana C dalam arah positif, dan a adalah suatu titik di dalam C, maka f(a) = πi C dz. (.) z a Persamaan (.) ini dinamakan rumus integral Cauchy. Fungsi z a analitik di dalam dan pada C kecuali di z = a (Gamar.). Perhatikan ahwa C z a dz = C z a dz di mana C adalah lingkaran erjari-jari ε. Suatu persamaan untuk C adalah z a = ε atau z a = εe iθ di mana θ < π. Sustitusikan θz = a + εe iθ, dz = iεe iθ maka C z a dz = Sehingga diperoleh C C π z a dz = i π π dz = lim z a i ε Sehingga diperoleh f(a) = πi f(a + εe iθ )iεe iθ dθ = i C εe iθ π f(a + εe iθ )dθ f(a + εe iθ )dθ. Karena kontinu, maka f(a + εe iθ )dθ = i z a dz π lim f(a + ε εeiθ )dθ Untuk menentukan fungsi karakteristik untuk searan Cauchy, digunakan teorema Residu yang meliatkan fungsi kompleks dalam pemuktiannya. Misalkan ernilai tunggal dan analitik di dalam dan pada suatu lingkaran C, kecuali pada titik z = a yang dipilih seagai pusat C dengan z C. Maka memiliki uraian Laurent di sekitar z = a yang dierikan oleh = a n (z a) n (.) n= = + a (z a) a z a + a + a (z a) + a (z a) + (.3)

3 di mana Karakterisasi Searan Cauchy 5 a n = dz, n =, ±, ±,... (.4) πi C (z a) n+ Dalam hal khusus n = dari persamaan (.3), diperoleh dz = πia, (.5) C Dari kenyataan ahwa persamaan (.4) hanya meliatkan koefisien a dalam persamaan (.), maka a dinamakan residu dari fungsi di z = a.[] Misalkan C adalah suatu kurva tertutup sederhana yang memiliki arah positif. Jika f suatu fungsi ernilai tunggal dan analitik di dalam dan pada C kecuali pada titik-titik kesingularan z k (k =,,..., n) di dalam C, maka C dz = πi n k= Res z=z k.[4] 3. Karakterisasi Searan 3.. Karakterisasi Searan Cauchy Misalkan X adalah peuah acak yang memiliki searan Cauchy (X Ca(a, )), dengan fungsi kepekatan peluang seagai erikut: f(x) = π( + (x a) ), < a <, > untuk setiap < x <. Searan Cauchy merupakan searan peluang kontinu yang tidak memiliki nilai harapan. Teorema 3.. Fungsi karakteristik dari peuah acak X yang menyear secara Cauchy (X Ca(a, )), dinotasikan dengan ϕ X (t), adalah e iat e t. Bukti. Langkah. Untuk a =, =, dan t >. Perhatikan ahwa Cn dz = πi + z Fungsi f : z eitz +z memiliki interior region dari C n tepat satu kutu dengan titik z = i. Perhatikan ahwa Residu untuk z = i dierikan oleh ( ) e itz Res z=i + z + z = (z i)(z + i) = lim z i (z i) = e t i Oleh karena itu, e Cn itz ( ) e itz + z dz = πires z=i + z = πe t, n >

4 6 Susti Rahmah Yulita S Gamar 3.. Contour Pengintegralan sepanjang contour C n dapat diperoleh seagai erikut πe t = πe t = Cn n n dz (3.) + z + x dx + + n e iβ nieiβ dβ (3.) Hasil pengintegralan suku kedua pada sisi kanan konvergen ke nol jika n. Perhatikan ahwa n e iβ + n. Maka + n nieiβ eiβ ne nt sin β n n n. Karena + n e iβ nieiβ dβ maka + n nieiβ eiβ dβ lim n + n e iβ nieiβ dβ =. Untuk n pada persamaan (3.), diperoleh dx = πe t + x Langkah. Untuk a =, =, dan t <. Dengan mengikuti Langkah diperoleh dx = πet + x Langkah 3. Untuk kasus umum Berdasarkan Langkah dan Langkah, maka + x dx = πe t. n n dβ = πn n, Untuk pengintegralan +(x a) dx, terleih dahulu sustitusikan x = v + a, sehingga diperoleh dx = eita + (x a) e it(v) v + dv

5 Karakterisasi Searan Cauchy 7 Dengan mensustitusikan v = u pada pengintegralan terakhir, diperoleh Oleh karena itu π( + (x a) ) dx = π + (x a) dx = π eita e t + (x a) dx = eita e t Beerapa sifat karakteristik dari searan Cauchy adalah seagai erikut. () Misalkan ϕ X (t) = e ita e t adalah fungsi karakteristik dari peuah acak (X Ca(a, )), maka ϕ x () = e i()a e () =. () Misalkan X suatu peuah acak (X Ca(a, )), maka fungsi karakteristik dari X adalah ϕ X (t). (3) Fungsi karakteristik ϕ X (t) = e ita e t adalah kontinu seragam. Misalkan ϕ X (t) = e ita e t = e ita t = ϕ(z(t)). Selanjutnya akan diperlihatkan ahwa searan Cauchy adalah searan teragi tak hingga. Perhatikan ahwa X Ca(a, ), dan ϕ(t) = e ita e t. Jika dimisalkan ϕ n (t) = [ϕ(t)] n maka ϕ n (t) = [ϕ(t)] n [ = e ita t ] n = e ita n t n = e it a n t n Karena fungsi karakteristik dari peuah X yang menyear secara Cauchy (a, ) dapat dituliskan ϕ n (t) = [ϕ(t)] n, untuk n adalah ilangan ulat positif, maka X Ca( a n, n ) dan searan Cauchy dikatakan seagai searan teragi tak hingga. 3.. Karakterisasi Searan Cauchy yang diangkitkan oleh Konstanta Penstail Misalkan X t adalah suatu peuah acak yang memiliki searan Cauchy (X t Ca(a, )), dengan S adalah peuah acak yag didefinisikan seagai erikut. S = x t x di mana x t [x r, x q ], dengan x = max { x r, x q }; r, q Z, maka peuah acak S terseut memiliki fkp f(s; a, ) = θ π + (s a), (3.3) untuk setiap < s <, < a <, >, dengan θ merupakan penstail entuk searan yang ergantung pada a dan π yaitu θ = Sehingga fungsi kepekatan peluang S dapat ditulis seagai ) tan ( a f(s; a, ) = tan ( a )( ). (3.4) + (s a)

6 8 Susti Rahmah Yulita S untuk setiap < s <, a <, >. Kehadiran dari suatu konstanta penstail dalam searan Cauchy, mengakiatkan nilai harapan dari searan Cauchy yang diangkitkan dengan konstanta penstail (S Ca penstail (a, )) ada yaitu E(S) = sf(s)ds = tan ( a )[ (log( a + a + )) (log( + a + a + )) + a (tan ( a )) + (tan ( + a ))] Teorema 3.. Jika S adalah peuah acak memiliki searan Cauchy yang diangkitkan oleh konstanta penstail (S Ca penstail (a, )) dengan fkp f(s; a, ) = tan ( a )( ). (3.5) + (s a) untuk setiap < s <, a <, >, maka peuah acak terseut memiliki fungsi π karakteristik ϕ S (t)= e t = θe iat e t. tan ( a )eiat Bukti. Langkah. Untuk a =, =, dan t >. Perhatikan ahwa Cn dz = πi + z Fungsi f : z eitz +z memiliki interior region dari C n tepat satu kutu dengan titik z = i. Perhatikan ahwa Residu untuk z = i dierikan oleh ( ) e itz Res z=i + z + z = (z i)(z + i) = lim z i (z i) = e t i Oleh karena itu, e Cn itz ( ) e itz + z dz = πires z=i + z = πe t, n > Gamar 3.. Contour

7 Karakterisasi Searan Cauchy 9 Pengintegralan sepanjang contour C n dapat diperoleh seagai erikut πe t = = Cn dz (3.6) + z e its + s ds + Perhatikan ahwa + e iβ ie iβ e iβ. Maka e iteiβ ieiβ + eiβ e t sin β e iβ dengan demikian Sehingga diperoleh e iteiβ + e iβ ieiβ dβ = e its ds = πe t + s ds = θπe t + s Langkah. Untuk a =, =, dan t <. Dengan cara yang sama seperti Langkah diperoleh + s ds = θπet. e iteiβ + e iβ ieiβ dβ (3.7) e iβ Langkah 3. Kasus umum. Berdasarkan Langkah dan Langkah, diperoleh ahwa Untuk pengintegralan + s ds = θπe t. + (s a) ds, terleih dahulu sustitusikan s = v + a, sehingga diperoleh ds = θeita + (s a) e it(v) v + dv Dengan mensustitusikan v = u pada pengintegralan terakhir diperoleh Oleh karena itu + (s a) ds = θπ eita e t π( + (s a) ) ds = θeita e t

8 Susti Rahmah Yulita S Dengan demikian, diperoleh fungsi karakteristik dari searan Cauchy yang diangkitkan dengan konstanta penstail (S Ca penstail (a, )) adalah ϕ S (t) = θe ita e t. Berikut adalah eerapa sifat fungsi karakteristik dari peuah acak S yang menyear secara Cauchy dengan konstanta penstail (S Ca P enstail (a, )). () Misalkan S suatu peuah acak (S Ca P enstail (a, )), maka fungsi karakteristik dari S adalah ϕ S (t) () Peuah acak X mempunyai searan Cauchy dengan fkp f(x) = θ π( + (x a) ). =. Untuk peuah acak Misalkan Y = X, maka diperoleh Jakoian J = ds dy Y maka fkp peuah acak terseut adalah f( s) = f S,Y ( s) J = θ π( +(x+a) ) (3) Fungsi karakteristik ϕ S (t) = θe ita e t adalah kontinu seragam. (4) Misalkan S adalah suatu peuah acak dengan searan Cauchy yang diangkitkan oleh konstanta penstail (S Ca(a, )), maka fungsi karakteristik dari α + βs adalah e its ϕ S (βt) Perhatikan ahwa S Ca P enstail (a, ), dan ϕ(t) = θe ita e t. Jika dimisalkan ϕ n (t) = [ϕ(t)] n maka ϕ n (t) = [ϕ(t)] n [ = θe ita t ] n = θ n e it a n t n Karena fungsi karakteristik dari peuah S menyear secara Cauchy, yang diangkitkan oleh konstanta penstail Ca (a, ), dapat dituliskan seagai ϕ n (t) = [ϕ(t)] n, untuk ilangan ulat positif n, maka S Ca P enstail ( a n, n ) dan searan Cauchy yang diangkitkan oleh konstanta penstail S Ca P enstail (a, ) dikatakan seagai searan teragi tak hingga. 4. Ucapan Terima kasih Penulis mengucapkan terima kasih kepada Bapak Dr. Dodi Devianto, Bapak Dr. Admi Nazra, Bapak Dr. Muhafzan, Iu Dr. Maiyastri, Iu Dr. Lyra Yulianti, dan Iu Dr. Ferra Yanuar yang telah memerikan masukan dan saran sehingga paper ini dapat diselesaikan dengan aik. Daftar Pustaka [] Bain, Lee J and Max. E. 99. Introduction to Proaility and Mathematical Statistics, Second Edition. Duxury Press, California. [] Bartle, R.G. dan Donald R.S. 97. Introduction to Real Analysis Second Edition. John Wiley and Sons, Inc., Singapore. [3] Casella, G. dan Berger, Roger L. 99. Statistical Inference. Pasific Grove, California.

9 Karakterisasi Searan Cauchy [4] Churchill, Ruel V. dan James Ward Brown Complex Variales and Applications, Sixth Edition. McGraw-Hill, Inc, Singapore. [5] Laha, R. G. dan V. K. Rohatgi Proaility Theory. John Wiley dan Sons, New York [6] Lukacs, Eugene. 97. Characteristic Function. Edisi Ke-. Butler dan Tanner, London. [7] Osu, Bright O., dan Johnson Ohakwe.. Financial Risk Assesment with Cauchy Distriution under a Simple Transformation of Dividing with a Constant. Theoretical Mathematics and Applications, Vol., No.. International Scientific Press. [8] Purcel, E.J., D. Varerg. dan S.E. Rigdon. 4. Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid I, Ahli Bahasa I Nyoman Susila Edisi ke-8. Erlangga, Jakarta. [9] Rao, M.M dan Randall J. Swift. 6. Proaility with Applications Second Edition. Springer, UniteD States of America. [] Spiegel, Murray R Peuah Kompleks, Ahli Bahasa Koko Martono. Erlangga, Jakarta. [] Tucker, H. G Proaility and Mathematical Statistics. Academic Press, London.