Himpunan adalah sekumpulan obyek/unsur dengankriteria/syarattertentu. Unsur-unsur dalam himpunan S disebut anggota. dandibaca a bukanelemens.

Transkripsi

1

2 Himpunan adalah sekumpulan obyek/unsur dengankriteria/syarattertentu. Unsur-unsur dalam himpunan S disebut anggota (elemen) S. Himpunan yang tidak memiliki anggota disebut himpunan kosong, ditulis dengan notasi atau{ }. Jika a merupakan anggota himpunan S, maka dituliskana Sdandibaca a elemens. Jika a bukan anggota himpunan S, maka dituliskan a S dandibaca a bukanelemens.

3 Pada umumnya, sebarang himpunan dapat dinyatakandengan2 cara. Dengan mendaftar seluruh anggotanya. Sebagai contoh, himpunan A yang terdiri atas unsur-unsur 1,2,3,4,5,6,7,8,9 dapat dinyatakan sebagai: A = {1, 2,3, 4,5,6,7,8,9} Menuliskan syarat keanggotaan yang dimiliki oleh seluruh anggota suatu himpunan tetapi tidak dimiliki oleh unsur-unsur yang bukan anggota himpunan tersebut. A= { x xbilangan bulat positif kurang dari 10}

4 Bilangan asli adalah salah satu sistem bilangan yang paling sederhana, anggota-anggotanya adalah: 1, 2, 3, 4, Himpunan bilangan asli diberi lambang N, jadi N= {1, 2, 3, 4, } Bilanganbulatterdiriatas bilanganasli, negatifnya, dan bilangan nol. Bilangan bulat diberi lambang Z, jadi Z= {.,-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, }

5 Bilanganrasionaladalahbilanganyang a dapat dinyatakan sebagai bentuk b, di mana a danb adalahbilanganbulatdan b 0. Bilangan Rasional diberi lambang: Q Contoh Bilangan asli 6 dapat dinyatakan sebagai: atau dan sebagainya 5

6 Ciri lain dari bilangan rasional adalah adanya desimal berulang Contoh 3 merupakanbilanganrasional rasional 7 Bukti Misal x = 0, x = 753, x x = x = x = (terbukti) 999

7 Bilangan irrasional adalah bilangan yang bukan rasional, persisnya adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakansebagaibentuk a/ b dimanaadanb adalahbilanganbulatdanb 0. Contoh π= 3, (desimalnyatidak beraturan/tidak berulang) e = 2, (desimalnyatidak beraturan/tidak berulang) 2 = 1, (desimalnya tidak beraturan/tidak berulang

8 Bilangan riil adalah gabungan dari himpunan bilangan rasionaldanirrasional. Himpunan bilangan riil dilambangkan dengan R

9 R Bilangan Riil Q Z Bilangan Rasional Bilangan Bulat N Bilangan Asli

10 Suatu garis bilangan adalah suatu penyajian bilangan-bilangan riil secara grafis oleh titiktitik pada suatu garis lurus 1 e= 2, = 1, = 1, 4142 π = 3,14159

11 Interval atau selang adalah suatu himpunan bagian tidak kosong dari himpunan bilangan riil R yang memenuhi suatu ketidaksamaan tertentu Jika digambarkan pada garis bilangan(garis riil), maka interval akan berupa suatu segmen garis(ruas garis) yang batas batasnya jelas. Ada dua jenis interval, yaitu interval berhingga dan interval tak berhingga.

12 Interval Berhingga : sebelah kiri dan kanan mempunyai batas No Notasi Himpunan Notasi Interval Grafik 1 { x a< x < b} ( ab, ) 2 { x a x b} [ ab, ] 3 { x a x < b} [ ab, ) 4 { x a< x b} ( ab, ]

13 Interval Tak Berhingga : salah satu sisi tidak mempunyai batas No Notasi Himpunan Notasi Interval Grafik 1 { x x > a} ( a, + ) 2 { x x a} [ a, ) 3 { x x b} < (, b) 4 { x x b} (, b ]

14 1. 2< x ,5 < x 4,7 3. x > 2 4. x 3,5 5. x 2atau3< x 6

15 Peubah(variable) adalahlambang(symbol) yang digunakan untuk menyatakan sebarang anggotasuatuhimpunan. Jika himpunannya R maka peubahnya disebut peubahreal. Pertidaksamaan(inequality) adalah pernyataan matematis yang memuat satu perubah atau lebih dan salah satu tanda ketidaksamaan (<, >,, ).

16 Menyelesaikan suatu pertidaksamaan memiliki arti mencari seluruh bilangan real yang dapat dicapai oleh peubah-peubah yang ada dalam pertidaksamaan tersebut sehingga pertidaksamaan tersebut menjadi benar. Himpunan semua bilangan yang demikian ini disebut penyelesaian(himpunan Penyelesaian)

17 Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut: A. 4x + 2 < 2x +10 F. -2x + 3 x 6 3 B. 3x -2 4x + 5 C. x 2 7x + 10 < 0 G. D. 2x 2 + x 15 0 E. -1 < 3x 4 < 8 H. x x x x

18 A. 4x + 2 < 2x +10 4x 2x < x < 8 x < 4 Hp = { x x < 4 } Hp = (-, 4) B. 3x -2 4x + 5 3x 4x x 7 x -7 Hp = { x x -7 } Hp = [-7, )

19 C. x 2 7x + 10 < 0 (x 2)(x 5) < 0 Tentukan pembuat nol ruas kiri x = 2 ataux = 5 Gambarkan pada garis bilangan, sehingga terbentukbeberapaselang (yaitux < 2, 2 <x < 5, danx > 5) 2 5

20 Tentukantandapadamasing masinginterval (selang) dengan caramemberikannilaidarimasing-masinginterval (cukupsatuwakil), misalkitaambil: x = 0; x = 3; danx = 6. x = 0 (x 2)(x 5) = (-2)(-5) = 10 > 0(positif) Makapadaselangx <2 beritanda(+) x = 3 (x 2)(x 5) = (1)(-2) = -2 < 0(negatif) Makapadaselang2 < x < 5 beritanda(-) x = 6 (x 2)(x 5) = (4) (1) = 4 > 0(positif) Makaapdaselangx > 5 beritanda(+)

21 Sekarang perhatikan tanda pertidaksamaan yaitu< 0, ataunegatif(-) Jadi himpunan penyelesaiannya adalah interval yang bertanda(-) [negatif] yaitu HP = {x 2 < x < 5} = (2,5)

22 D. 2x 2 + x 15 0 (2x 5)(x + 3) 0 Pembuatnolx = -3 danx = 5/2 HP = {x x -3 atau x 5/2} = (-, -3] U [5/2, )

23 E. -1 < 3x 4 < < 3x < < 3x < 12 1 < x < 4 Hp = {x 1 < x < 4} = (1,4) 1 4 F. -2x + 3 x 6 3 (1) -2x + 3 x 6-2x x x -9 -x -3 x 3 Hp1 = {x x 3} = [3, )

24 (2) x 6 3 x x 9 Hp2 = {x x 9} Hp = Hp1 Hp2 = (-, 9] Hp = { x -3 x 9}

25 G. Penyelesaian 3 2 Tentukan pembuat nol dari pembilang dan penyebut ruas-ruas kiri Ujitandapadasetiapselang Pembuatnolpembilang : x = -3 Pembuatnolpenyebut : x = 2 x x + 0 (+) (-) (+) -3 HP = {x x 3 atau x > 2} = (-,3] U (2, ) 2

26 H. Penyelesaian Ruas kanan dijadikan nol x x x x x x 2 4 ( x ) x x 2 x 2 0 x + 3 4x + 8 x 2 0 3x x 2 0

27 Tentukan pembuat nol dari pembilang dan penyebut ruas ruas kiri Pembuatnolpembilang : x = 11/3 Pembuatnolpenyebut : x = 2 Ujitandapadasetiapselang HP: {x 2 < x 11/3} = (2, 11/3]

28 Definisi Nilai mutlak x R, ditulis dengan notasi x, didefinisikan sebagai: 2 x = x. Definisi di atas dapat pula dinyatakan sebagai: x = x x,, x 0 x< 0 Sebagai contoh, 8 = ( 8) = 8, 5 5 =, 3 = 3, dst 2 2

29 Jika x, y R maka: a. x 0 x = 0 x= 0 b. x. y x. y x y x =, asal y y = 0 c. x < a a< x< a, a 0 dan x > a x> a atau x< a d. x y x y 2 2

30 Untuk menyelesaikan pertidaksamaan mutlak dapat dilakukan dengan: Menggunkan sifat nilai mutlak mutlak bagian c a. x < a a < x < a, a 0 b. x > a x> a atau x< a Menggunakan sifat nilai mutlak bagian d 2 2 x y x y

31 1. 2x 3 < 4-4 < 2x 3 < < 2x < < 2x < 7-1/2 < x < 7/2 HP = { x /-1/2 < x < 7/2 } = (-1/2, 7/2 ) -1/2 7/2

32 2. 5x x atau 5x x -10 atau 5x 8 x -2 atau x 8/5 HP = { x / x -2 ataux 8/5 } = (-, -2]U[ 8/5, )

33 3. 2x 1 > x + 4 (2x 1) 2 > (x + 4) 2 4x 2 4x + 1 > x 2 + 8x + 16 (4x 2 x 2 ) + (-4x 8x) + (1 16) > 0 3x 2 12x 15 > 0 (3x + 3)(x 5)> 0 Hp = {x x < -1 U x > 5} = (-, -1) U (5, ) (+) (-) -1 5 (+)

34 Cara lain: a 2 b 2 = (a + b)(a b) (2x 1) 2 > (x + 4) 2 (2x 1) 2 -(x + 4) 2 > 0 ((2x 1)+(x + 4)) ((2x 1)-(x + 4)) > 0 (3x + 3)(x 5 )> 0 (+) (-) (+) Hp = {x x < -1 U x > 5} = (-, -1) U (5, ) -1 5

35 Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut < 2x x 2x < 1 5x 3 7. x + 3x x 4 6 7x 3x x 1 > 0 x x 1 3 x x x x 3 > x+ 6