INF-104 Matematika Diskrit

Transkripsi

1 Teori Himpunan Jurusan Informatika FMIPA Unsyiah February 25, 2015

2 Himpunan (set) adalah koleksi dari objek-objek yang terdefinisikan dengan baik. Terdefinisikan dengan baik dimaksudkan bahwa untuk sebarang objek x yang diberikan dapat kita tentukan apakah objek x tersebut kepunyaan dari suatu himpunan atau bukan. Objek yang merupakan kepunyaan dari suatu himpunan disebut elemen atau anggota. Kita akan nyatakan himpunan dengan huruf besar, seperti A atau X dan elemen dengan huruf kecil, seperti a atau x. Jika a adalah elemen dari himpunan A, kita tulis a A dan jika a adalah bukan elemen dari himpunan A, kita tulis a / A.

3 Himpunan dapat dinyatakan dengan mendaftarkan semua elemennya di dalam sepasang tanda kurung atau dengan menyatakan sifat-sifat keanggotaannya sehingga dapat ditentukan apakah suatu objek adalah elemen dari suatu himpunan atau bukan. Kita dapat tuliskan X = {x 1, x 2,, x n } untuk himpunan yang memuat elemen-elemen x 1, x 2,, x n atau X = {x x memenuhi } jika setiap x di dalam X memenuhi suatu sifat tertentu dari.

4 jika E adalah himpunan bilangan bulat genap, kita dapat nyatakan E dengan menuliskan ke dalam salah satu notasi atau E = {2, 4, 6, } E = {x x adalah bilangan bulat genap dan x > 0}. Kita tuliskan 2 E bila kita ingin mengatakan bahwa 2 adalah elemen dari E, dan 3 E untuk mengatakan bahwa 3 adalah bukan elemen dari E.

5 Berikut ini adalah beberapa himpunan penting yang akan sering digunakan dalam pembahasan kita selanjutnya: N = {n n adalah bilangan asli } = {1, 2, 3, }; Z = {n n adalah bilangan bulat } = {, 2, 1, 0, 1, 2, }; Q = {r r adalah bilangan rasional } = { p q p, q Z dimana q 0}; R = {x x adalah bilangan real }; C = {z z adalah bilangan kompleks }. R + = {x x adalah bilangan real positif }; R = {x x adalah bilangan real tak nol};

6 Kita dapat menemukan berbagai relasi antara himpunan-himpunan dan juga dapat melakukan operasi-operasi pada himpunan. Himpunan A adalah subhimpunan (subset) dari B, ditulis A B atau B A, jika setiap elemen dari A juga elemen dari B. Sebagai contoh, {4, 5, 8} {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} dan N Z Q R C

7 Jika A B dan B memuat elemen yang bukan elemen dari A maka A disebut subhimpunan sejati (proper subset) dari B dan dinotasikan A B. Kita juga akan menemukan suatu himpunan tanpa unsur-unsur di dalamnya. Himpunan yang seperti ini disebut himpunan kosong (empty set) dan dinotasikan dengan {} atau. Sebagai catatan bahwa himpunan kosong adalah sub-himpunan dari setiap himpunan.

8 Banyaknya elemen suatu himpunan A disebut sebagai kardinalitas (cardinality) atau ukuran (size) dan dinotasikan dengan A atau n(a) atau card(a). Suatu himpunan disebut berhingga (finite) jika memiliki kardinalitas yang berhingga. Suatu himpunan disebut takberhingga (infinite) jika memiliki kardinalitas yang takberhingga (dinotasikan oleh ℵ 0. Suatu himpunan disebut takterhitung (uncountable) jika himpunan tersebut bukan himpunan terhitung.

9 Untuk memperoleh sebuah himpunan baru dari himpunan-himpunan yang telah ada, kita dapat melakukan operasi-operasi tertentu: gabungan (union) A B dari himpunan A dan B didefinisikan sebagai A B = {x x A atau x B; } irisan (intersection) A B dari himpunan A dan B didefinisikan sebagai A B = {x x A dan x B.} Jika A = {1, 3, 5} dan B = {1, 2, 3, 9}, maka A B = {1, 2, 3, 5, 9} dan A B = {1, 3}.

10 Untuk kasus dimana gabungan dan irisan melibatkan lebih dari dua himpunan yaitu A 1, A 2,, A n, maka untuk gabungan dan irisan secara berurutan kita tuliskan sebagai n A i = A 1 A 2 A n i=1 dan n A i = A 1 A 2 A n i=1

11 Jika dua buah himpunan tidak memiliki elemen yang sama maka kedua himpunan tersebut dikatakan saling lepas (disjoint). Sebagai contoh, jika E himpunan bilangan bulat genap dan O himpunan bilangan bulat ganjil, maka E dan O adalah saling lepas. Dua buah himpunan A dan B adalah saling lepas jika A B =.

12 Kadang-kadang kita akan bekerja dalam suatu himpunan tertentu U yang disebut dengan himpunan semesta (universal set). Untuk setiap himpunan A U, kita definisikan komplemen (complement) dari A, dinotasikan dengan A atau A, adalah himpunan A = {x x U dan x A}.

13 Selanjutnya kita definisikan selisih (difference) dari dua himpuan A dan B sebagai A B = A B = {x x A dan x B} dan selisih simetrik (symmetric difference) dari dua himpuan A dan B sebagai A B = {x (x A x B) x / A B} = {x (x A B) x / A B}.

14 Contoh Misalkan R adalah himpunan semesta dan anggap bahwa bahwa A = {x R 0 < x 3} dan B = {x R 2 x < 4} maka A B = {x R 2 x 3} A B = {x R 0 < x < 4} A B = {x R 0 < x < 2} A = {x R x 0 atau x > 3}

15 Berikut ini adalah beberapa sifat penting operasi gabungan dan irisan: 1 A A = A, A A = A, dan A A = ; 2 A = A dan A = ; 3 A (B C) = (A B) C dan A (B C) = (A B) C; 4 A B = B A dan A B = B A; 5 A (B C) = (A B) (A C); 6 A (B C) = (A B) (A C).

16 Disini akan dibuktikan hasil (1) dan (3), sisanya sebagai latihan. (1) Perhatikan bahwa dan A A = {x x A atau x A} = {x x A} = A A A = {x x A dan x A} = {x x A} = A Juga, A A = A A =.

17 (3) Untuk himpunan A, B dan C, A (B C) = A {x x B atau x C} = {x x A atau x B, atau x C} = {x x A atau x B} C = (A B) C. Dengan langkah yang sama dapat ditunjukkan bahwa A (B C) = (A B) C.

18 Teorema berikut ini dikenal sebagai Hukum De Morgan s. Teorema Misalkan A dan B adalah himpunan-himpunan maka 1 (A B) = A B ; 2 (A B) = A B.

19 Kita harus tunjukkan bahwa (A B) A B dan (A B) A B. Misalkan x (A B) maka x A B. Dari definisi gabungan himpunan, maka x bukan elemen dari A dan juga bukan elemen dari B. Dari definisi komplemen x A dan x B. Sehingga x A B dan kita peroleh (A B) A B. Untuk menunjukkan dalam arah sebaliknya, andaikan bahwa x A B. Maka x A dan x B, sehingga x A dan x B. Jadi x A B dan diperoleh x (A B). Dengan demikian (A B) A B sehingga (A B) = A B.

20 Contoh Buktikan bahwa (A B) (B A) = Perhatikan bahwa (A B) (B A) = (A B ) (B A ) = A A B B =.

21 Contoh Tentukan himpunan A dan B dimana memenuhi A B = {1, 3, 7, 11}, B A = {2, 6, 8} dan A B = {4, 9}. Jawab: Karena A = (A B) (A B) maka kita peroleh bahwa A = {1, 3, 7, 11} {4, 9} = {1, 3, 4, 7, 9, 11}. Dengan cara yang sama B = (B A) (A B) = {2, 6, 8} {4, 9} = {2, 4, 6, 8, 9}.