BAB I PENDAHULUAN. Kata topologi berasal dari bahasa yunani yaitu topos yang artinya tempat
|
|
- Sucianty Dharmawijaya
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 1 BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Kata topologi berasal dari bahasa yunani yaitu topos yang artinya tempat dan logos yang artinya ilmu merupakan cabang matematika yang bersangkutan dengan tata ruang. Kata topologi digunakan baik untuk cabang matematika dan untuk keluarga himpunan dengan beberapa sifat yang digunakan untuk menentukan ruang topologi, objek dasar dari topologi. Topologi merupakan salah satu bidang kajian dalam matematika. Beberapa sifat dari ruang topologi X bergantung kepada distribusi dari himpunan-himpunan terbuka dalam ruang topologi tersebut. Ruang topologi X disebut ruang Hausdorff atau ruang topologi terpisah jika setiap pasangan titik yang berbeda a dan b di X masing-masing termasuk ke dalam himpunan-himpunan terbuka yang disjoint. Dalam tugas akhir ini akan diberikan sifat yang harus dipenuhi pada suatu himpunan dalam ruang Hausdorff agar himpunan tersebut dikatakan kompak Permasalahan Berdasarkan uraian di atas permasalahan yang diambil dalam tugas akhir ini adalah bagaimana sifat himpunan kompak dalam ruang Hausdorff (ruang topologi terpisah)?
2 Pembatasan Masalah Dari permasalahan yang dihadapi tersebut akan dikaji atau dipelajari bagaimana sifat himpunan-himpunan kompak dalam ruang Hausdorff (ruang topologi terpisah) meliputi definisi-definisi, teorema serta bukti-bukti yang terkait dengan materi tersebut Tujuan Penulisan Tujuan penulisan dari tugas akhir ini adalah dapat mempelajari tentang sifat himpunan kompak dalam ruang Hausdorff (ruang topologi terpisah) Sistematika Penulisan Di dalam penyusunan tugas akhir ini secara keseluruhan terdiri dari 4 bab yang dilengkapi oleh kata pengantar, daftar isi, daftar lampiran dan lampiranlampiran yang mendukung. Secara garis besar, sistematika pembahasan pada tugas akhir ini adalah sebagai berikut : Bab I Pendahuluan, pada bab ini dikemukakan tentang latar belakang masalah pembuatan tugas akhir, perumusan masalah yang dihadapi di dalam menyusun tugas akhir, pembatasan masalah tugas akhir, tujuan tugas akhir dan sistematika pembahasan laporan tugas akhir yang menerangkan sekilas dari isi tiap bab yang terdapat pada laporan tugas akhir ini. Bab II Materi Penunjang, pada bab ini dibahas mengenai materi yang terkait dengan teori himpunan dan ruang topologi. Bab III Pembahasan, pada bab ini dibahas mengenai bagaimana sifat himpunan kompak dalam ruang Hausdorff (ruang topologi terpisah). Bab IV Penutup, bab ini merupakan bab akhir laporan
3 3 yang memuat kesimpulan dari seluruh proses penyelesaian tugas akhir ini. Selain itu juga dimuat mengenai saran-saran penulis untuk mengembangkan sistem pendukung keputusan dalam tugas akhir ini.
4 4 BAB II MATERI PENUNJANG Untuk mempermudah pemahaman pada bab selanjutnya, pada bab ini akan dibahas beberapa definisi, teorema dan contoh yang mendukung materi pokok. Bab ini terdiri dari dua subbab yaitu himpunan dan ruang topologi. Adapun untuk himpunan terdiri dari lima subbab yaitu : himpunan dan elemen, himpunan bagian (subset) dan superset, himpunan universal dan himpunan kosong, kelas, dan operasi-operasi pada himpunan. Sedangkan untuk ruang topologi terdiri dari 6 subbab yaitu : definisi ruang topologi, titik limit, himpunan tertutup, penutup dari himpunan, (tititk interior, titik eksterior, batas) dan (persekitaran dan sistem persekitaran). 2.1 Teori Himpunan Himpunan adalah suatu konsep yang terdapat dan selalu ada di dalam semua cabang matematika. Secara intuitif, suatu himpunan adalah sesuatu yang didefinisikan dengan tepat atau suatu kumpulan dari obyek-obyek, dan biasanya dinotasikan oleh huruf besar,,,, Obyek-obyek yang terdapat di dalam suatu himpunan disebut elemen-elemen dan biasanya dinotasikan dengan huruf kecil,,,, Pernyataan adalah elemen dari atau termasuk di dalam dinotasikan oleh. Negasi dari ditulis dan ini berarti bukan elemen atau p tidak termasuk di dalam.
5 Himpunan, Elemen (unsur) Ada dua cara untuk menyatakan suatu himpunan yaitu (a) Bila mungkin semua elemennya ditulis (cara Roster), misalnya,,,, yaitu suatu himpunan yang elemennya huruf vokal (,,,, ). elemen yang satu dengan yang lainnya dipisahkan oleh tanda koma dan dituliskan di antara dua kurung kurawal {}. (b) Menyatakan suatu himpunan dengan notasi pembentuk himpunan (cara Rule). Contoh:, 0 dibaca adalah himpunan dari sedemikian hingga adalah bilangan bulat dan x adalah lebih dari nol, yaitu bahwa adalah himpunan semua bilangan bulat positif. Huruf menyatakan sebarang elemen dari, garis tegak dibaca sedemikian hingga, dan koma (,) sebagai dan. Contoh Himpunan B tersebut di muka dapat ditulis 1,2,3,. Catatan : 6, 3, dan. Contoh Misalkan = himpunan semua bilangan riil dengan dan dan. Berikut ini didefinisikan. Interval terbuka dari sampai (, ) :
6 6 Interval tertutup dari sampai, : Interval terbuka-tertutup dari sampai (, : Interval tertutup-terbuka dari sampai, ) : Interval terbuka-tertutup dan tertutup-terbuka disebut juga interval setengah terbuka. Dua himpunan dan dikatakan sama, ditulis, bila dan mempunyai elemen-elemen yang sama, yaitu bila setiap elemen dari termasuk di dalam dan setiap elemen termasuk di dalam. Negasi dari adalah. Contoh Misal 3 2 0, 2,1 dan 1,2,2,1, maka. Suatu himpunan disebut terhingga (finite), bila himpunan tersebut memuat n elemen yang berbeda, di mana n sebarang bilangan bulat positif, yang lainnya disebut himpunan tak hingga (infinite). Himpunan yang memuat tepat satu anggota disebut himpunan singelton (singleton) Subset, Superset Himpunan disebut subset dari ditulis bila dan hanya bila setiap elemen dari terdapat di dalam, atau adalah superset dari ditulis bila maka. Dapat dikatakan juga bahwa termuat di dalam
7 7 atau memuat. Negasi dari ditulis atau dan dinyatakan bahwa ada sedemikian hingga. Contoh Misal diketahui 1,3,5,7,, 5,10,15,20,, 2 = 3,5,7,11,, karena setiap bilangan prima yang lebih dari 2 adalah ganjil. Tetapi, karena 10, sedangkan 10. Contoh Misal adalah himpunan semua bilangan bulat positif, adalah himpunan semua bilangan bulat adalah himpunan semua bilangan rasional adalah himpunan semua bilangan riil Maka. Definisi Dua himpunan dan adalah sama bila dan hanya bila dan. Dalam hal tetapi dan, dikatakan bahwa adalah himpunan bagian murni dari atau memuat dan biasanya ditulis.
8 8 Teorema Bila, dan sebarang himpunan maka : (i) (ii) Bila dan maka Himpunan Universal dan Himpunan Kosong Dalam teori himpunan, semua himpunan dibentuk oleh himpunan bagianhimpunan bagian dari suatu himpunan tetap. Himpunan tetap seperti itu disebut himpunan universal atau semesta pembicaraan dan di dalam tugas akhir ini himpunan universal dinotasikan dengan. Ada pula suatu himpunan yang tidak mempunyai elemen, dan himpunan ini disebut himpunan kosong, yang diberi notasi atau { }, yang merupakan himpunan terhingga dan merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan. Jadi untuk sebarang himpunan,. Contoh Misal dipunyai 1 0, jika semestanya himpunan semua bilangan real maka persamaam tersebut tidak mempunyai penyelesaian tetapi jika semestanya himpunan semua bilangan komplek persamaan tersebut mempunyai penyelesaian. Contoh Bila 4, maka adalah himpunan kosong, atau.
9 9 Contoh Bila { }, maka, karena berisi satu anggota Kelas Terdapat suatu himpunan yang elemen-elemennya adalah himpunan misalnya himpunan garis, garis sendiri merupakan himpunan dari tititk-titik. Himpunan yang elemennya terdiri dari himpunan-himpunan disebut kelas. Contoh Elemen dari kelas 2,3, 2, 5,6 adalah himpunan-himpunan 2,3, 2, dan 5,6. Contoh Misalkan adalah suatu himpunan. Himpunan kuasa dari, ditulis P ( ) atau 2 adalah kelas dari semua himpunan bagian dari. Jadi, bila,,, maka P ( ),,,,,,,,,, Umumnya, bila terhingga dengan elemen di dalamnya, maka P ( ) mempunyai 2 anggota Operasi-operasi pada himpunan Gabungan dari dua himpunan dan, ditulis, adalah himpunan dari semua elemen yang termasuk ke dalam atau, yaitu
10 10 Irisan dari dua himpunan dan, ditulis, adalah himpunan yang elemen-elemennya termasuk di dalam dan, yaitu Bila, yaitu bila dan tak mempunyai elemen persekutuan, maka dan tak mempunyai elemen persekutuan, maka dan disebut lepas (disjoint) atau tak beririsan. adalah kelas dari himpunan-himpunan disebut kelas lepas (disjoint) dari himpunan-himpunan, bila tiap-tiap pasangan himpunanhimpunan yang berbeda di dalam adalah lepas. Komplemen relatif dari himpunan terhadap himpunan, atau selisih dan, ditulis, adalah himpunan yang elemen-elemennya termasuk tetapi tidak termasuk di, yaitu Dapat diketahui bahwa dan adalah lepas, yaitu ( ) Komplemen absolut atau disebut komplemen dari suatu himpunan, ditulis adalah himpunan yang elemen-elemennya bukan elemen dari, yaitu Dapat dikatakan pula bahwa adalah selisih dan. Teorema Untuk setiap,, berlaku hukum-hukum aljabar himpunan sebagai berikut:
11 Hukum sama kuat. 2..( ) ( ) Hukum Asosiatif. ( ) ( ) 3.. Hukum Komutatif. 4.. ( ) ( ) ( ) Hukum Distributif. ( ) ( ) ( ) 5.. Hukum Identitas a. Hukum komplemen b. c. ( ) d. =, 7. a. ( ) = Hukum De Morgan b. ( ) = Catatan: Tiap-tiap hukum di muka analogi dengan hukum-hukum logika.
12 12 Misalnya,. Pernyataan majemuk dan ditulis adalah equivalen logis dengan dan yaitu. Teorema Diberikan himpunan dan, bila dan hanya bila (i) (ii) (iii) (iv) (v) 2.2 Ruang Topologi Topologi dan Ruang Topologi Dalam subbab ini dibahas mengenai topologi dan ruang topologi yang merupakan dasar dari pembahasan berikutnya. Untuk lebih jelas diberikan definisi-definisi dan teorema yang mendukung dalam topologi sebagai berikut: Definisi Misal adalah suatu himpunan tidak kosong. Suatu kelas yang anggotanya himpunan bagian-himpunan bagian dari disebut topologi pada, bila dan hanya bila memenuhi ketiga aksioma berikut :
13 13 [0 1 ] dan termasuk dalam [0 2 ] Gabungan dari himpunan-himpunan anggota dari adalah anggota [0 3 ] Irisan dari dua himpunan anggota adalah anggota. Anggota-anggota dari disebut himpunan-himpunan terbuka, dan bersama yaitu (, ) disebut ruang topologi. Catatan : Untuk penulisan ruang topologi (, ) secara umum cukup ditulis dengan kecuali topologinya ingin ditonjolkan. Contoh-contoh topologi Contoh Topologi biasa (usual topology) pada himpunan semua bilangan riil = Himpunan semua bilangan riil τ:, 0 (, ) Akan ditunjukkan bahwa (, ) adalah ruang topologi disebut topologi biasa (usual topologi). 1. karena, jika, 0 sehingga (, ), implikasi ini bernilai benar sebab antisidennya bernilai salah. Dimana sebab, 0 (, ). 2., akan ditunjukkan G. U i I i
14 14 G i i I Ambil sebarang U (x δ, x δ) G. Jadi (x δ, x δ) G U untuk suatu i I 0 sehingga G i i I. Jadi U i I G τ. 3. Jika, maka sebab untuk sebarang 0 sehingga (, ). 0 sehingga (, ). min(, ) (, ) (, ). (, ) (, ). Jadi (, ). Contoh Misalkan,,,,.,, masing-masing himpunan bagian dari 2. Manakah yang merupakan topologi pada X, bila,,,,,,,,,,,.,,,,,,,,,,,.,,,,,,,,,,,,. Jawab : adalah topologi pada, karena memenuhi ketiga sifat (aksioma) diatas. bukan topologi pada, karena himpunan dan,, merupakan elemen tetapi,,,,,.
15 15 bukan topologi pada, karena himpunan,, dan,,, merupakan elemen tetapi,,,,,,. Contoh Misal adalah kelas dari semua himpunan bagian dari, atau 2. Maka adalah topologi pada, karena memenuhi [0 1 ], [0 2 ], [0 3 ]. disebut topologi diskrit, dan (, ) disebut ruang topologi diskrit, atau secara singkat disebut ruang diskrit. Contoh Dari aksioma [0 1 ], suatu topologi pada harus memuat himpunan dan. Kelas, yang hanya memuat dan adalah topologi pada., disebut topologi indiskrit, dan (, ) disebut ruang topologi indiskrit atau ruang indiskrit. Contoh Diberikan himpunan tak hingga, topologi pada didefinisikan dengan, jika hanya jika atau = berhingga. Akan ditunjukkan bahwa topologi pada : (i) dan termasuk dalam. Bukti : Dari Definisi sudah diketahui bahwa dan termasuk dalam.
16 16 (ii) Gabungan dari himpunan-himpunan anggota dari adalah anggota. Bukti : Diketahui bahwa, maka atau = berhingga maka atau = berhingga, selanjutnya atau ( ) = Karena dan berhingga maka ( ) = juga berhingga jadi. (iii) Irisan dari dua himpunan anggota adalah anggota. Bukti : Diketahui bahwa, maka atau = berhingga, selanjutnya maka atau = Karena dan berhingga maka ( ) = juga berhingga jadi. Maka topologi tersebut disebut topologi kofinit. Teorema Jika τ τ topologi pada maka irisan τ τ juga merupakan topologi pada. [01]., τ τ, karena, τ dan, τ.
17 17 [03]. Bila, τ τ, maka, τ, dan, τ. Karena τ dan τ topologi pada, τ dan τ jadi τ τ. [02]. Bila, τ τ, maka, τ dan, τ karena τ dan τ topologi pada, maka τ, τ, jadi τ τ. Dalam contoh berikut ditunjukkan bahwa gabungan dari topologi-topologi belum tentu topologi. Contoh Diberikan topologi pada,, dengan Kelas-kelas =,, dan =,, Diketahui bahwa =,,, bukan topologi pada, karena,, tetapi =,. Bila adalah himpunan terbuka yang memuat titik, maka disebut lingkungan terbuka dari p atau persekitaran terbuka dari, dan tanpa yaitu disebut persekitaran terbuka terhapuskan dari Titik Limit ( ) Misal adalah ruang topologi. Suatu titik disebut titik limit dari himpunan bila dan hanya bila setiap himpunan terbuka yang memuat, memuat suatu titik anggota yang berbeda dengan, atau bila terbuka,, maka ( ) ).
18 18 Himpunan dari titik-titik limit dari ditulis dan disebut set derive dari. Contoh ,,,, dengan =,,,,,,,,,,, dan =,,. Perhatikan bahwa adalah titik limit dari, karena himpunan-himpunan terbuka yang memuat yaitu dan {,,, masing-masing memuat titik dari yang berbeda dengan yaitu. Tetapi titik bukan titik limit dari, karena himpunan terbuka, tidak memuat titik dari yang berbeda dengan. Dengan cara yang sama dan adalah titik limit dari sedangkan bukan titik limit dari. Jadi =,, yang disebut set derive dari. Contoh Misal ruang topologi indiskrit yaitu (, ) dengan =,. Maka adalah himpunan terbuka yang memuat sebarang. Jadi p adalah titik limit dari setiap himpunan bagian dari, kecuali himpunan kosong dan himpunan. Jadi, himpunan dari titik-titik limit dari yaitu adalah: ' A = c {p} X, bila A φ, bila A = φ = X- {p}, b ila A = {p} memuat dua titik ata u lebih
19 19 Bukti : = untuk = =, jadi bukan titik limit, Jadi q X, q p merupakan titik limit = Jika memuat dua atau lebih elemen Misal, maka sebab jika,,, maka, jadi merupakan titik limit jadi = Himpunan tertutup Misal adalah ruang topologi. Himpunan bagian dari disebut himpunan tertutup bila dan hanya bila adalah himpunan terbuka.
20 20 Contoh Diberikan himpunan,,,, dengan kelas,,,,,,,,,,, himpunan bagian-himpunan bagian tertutup dari adalah,,,,,,,,,,, adalah komplemen komplemen dari himpunan bagian terbuka dan tertutup dari, sedangkan, bukan himpunan bagian terbuka dan bukan himpunan bagian tertutup dari. Contoh Misal adalah ruang diskrit yaitu setiap himpunan bagian dari adalah terbuka. Maka setiap himpunan bagian dari adalah juga tertutup, karena komplemennya selalu terbuka. Dengan kata lain, setiap himpunan bagian dari adalah terbuka dan tertutup. Diketahui bahwa =, untuk setiap himpunan bagian dari, maka diperoleh proposisi berikut: Teorema Dalam ruang topologi, himpunan bagian dari adalah terbuka bila dan hanya bila komplemennya tertutup. Aksioma [0 1 ], [0 2 ], dan [0 3 ] dari ruang topologi dan hukum De Morgan memberikan teorema berikut :
21 21 Teorema Bila ruang topologi, maka kelas dari himpunan bagian-himpunan bagian tertutup dari memilki sifat-sifat berikut : (i) dan adalah himpunan himpunan tertutup (ii) Irisan dari himpunan-himpunan tertutup adalah tertutup (iii) Gabungan dari dua himpunan tertutup adalah tertutup Bukti: Misal adalah ruang topologi dan = kelas himpunan bagian tertutup dari memiliki sifat: (i) dan adalah anggota Sebab sehingga = dimna dan terbuka. (ii), maka,, tertutup terbuka τ terbuka τ Jadi ( ) = terbuka maka tertutup (iii), maka, tertutup terbuka τ terbuka τ Jadi ( ) = terbuka maka A B tertutup
22 Penutup dari Himpunan Misal himpunan bagian dari ruang topologi. Penutup dari, ditulis atau adalah irisan dari semua himpunan tertutup yang memuat. Dengan kata lain, bila adalah kelas dari semua himpunan bagian tertutup dari yang memuat, maka = i F i. Dapat diketahui bahwa adalah tertutup, karena adalah irisan dari himpunan-himpunan tertutup. Selanjutnya juga, adalah superset tertutup terkecil dari, dengan demikian, bila adalah himpunan tertutup yang memuat, maka. Berdasarkan hal tersebut, himpunan adalah tertutup bila dan hanya bila, dan diperoleh pernyataan berikut : Teorema Bila penutup dari himpunan, maka (i) adalah tertutup (ii) Bila superset tertutup dari, maka ; dan (iii) adalah tertutup bila dan hanya bila = Bukti : (i) = i I Fi, himpunan tertutup memuat, karena irisan dari himpunan tertutup adalah tertutup maka tertutup. (ii), tertutup, (iii) Jika tertutup, jadi.
23 23 Contoh Diberikan himpunan,,,, dan,,,,,,,,,,, dengan kelas himpunan tertutup dari adalah,,,,,,,,,,,. Dari definisi diatas diperoleh,,,,,,,,. Contoh Misal adalah ruang topologi kofinit, yaitu komplemen dari himpunan-himpunan terbuka. Maka himpunan-himpunan tertutup dari topologi tersebut adalah himpunan bagian - himpunan bagian terhingga dari dengan. Jadi bila terhingga, penutup adalah sendiri, karena tertutup. Sebaliknya, bila tak hingga, maka adalah superset tertutup dari ; jadi adalah. Selanjutnya, untuk suatu himpunan bagian dari ruang kofinit, maka = A = A bila A X bila A terhingga tak hingga Penutup dari suatu himpunan dapat dinyatakan dengan pengertian dari titik-titik limit dari himpunan tersebut sebagai berikut :
24 24 Teorema Diberikan ruang topologi jika, maka =. Bukti : Andaikan dan ini berarti terdapat yang mana terdapat persekitaran yang tidak beririsan dengan. Misal : persekitaran terbuka dari dan tidak beririsan dengan. Ini berarti = sehingga c tertutup. Jadi c merupakan himpunan tertutup yang memuat. Dari definisi (irisan semua himpunan tertutup yang memuat ) maka pasti memuat atau c. Jadi didapatkan c sedangkan berarti c. Merupakan kontradiksi jadi pengandaian salah Jadi.
25 25 Teorema Bila himpunan bagian dari ruang topologi, maka penutup dari adalah gabungan dari dengan, yaitu dimana himpunan semua titik limit dari. Bukti : Ambil sebarang (menurut Teorema diatas) setiap persekitaran beririsan dengan maka atau jika, maka titik limit ( ) Jadi maka. Jika maka setiap persekitaran x beririsan dengan sehingga jadi =. Teorema Misal ruang topologi, tertutup jika hanya jika memuat semua titik limit dengan kata lain tertutup jika hanya jika. Bukti : Dari teorema point (iii) dan teorema diatas diperoleh : Untuk tertutup jika hanya jika = jika hanya jika.
26 26 Contoh Diberikan himpunan semua bilangan rasional. Di dalam topologi biasa untuk, setiap bilangan real adalah titik limit dari sebab, 0, ( ) berarti, maka =. Jadi penutup dari adalah himpunan semua bilangan real, yaitu =. Definisi Himpunan bagian dari ruang topologi disebut padat (dense) dalam, bila termasuk dalam penutup, yaitu. Khususnya, adalah padat dalam atau himpunan bagian padat dari bila dan hanya bila. Contoh Diberikan himpunan =,,,, dengan kelas,,,,,,,,,,, himpunan bagian-himpunan bagian tertutup dari adalah,,,,,,,,,,,. Dapat diketahui bahwa {, = dan {, = {,,,. Jadi himpunan, adalah himpunan bagian padat dari, tetapi himpunan, bukan himpunan bagian padat dari.
27 27 Teorema Diberikan ruang topologi dan,, maka memenuhi : (i) = (ii) (iii) (iv) ( ) Bukti : Untuk point (iii) dimana = A A =, = (A B) (A B) (A B) = A B ( ) maka adalah titik limit 0, 0 ( ) 0, (0 ) (0 ) 0, (0 ) (0 0 dan 0
28 28 Jadi ( ) maka atau 0, 0 atau 0, 0 0, (0 ) (0 ) 0, 0 ( ), ( ) Jadi ( ) Jadi ( ) Jadi = ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) =.
29 Titik Interior, Eksterior dan Batas Titik Interior Misal himpunan bagian dari ruang topologi. titik disebut titik interior dari, bila p termasuk himpunan terbuka himpunan bagian dari, yaitu, himpunan terbuka. disebut interior dari. Himpunan dari titik-titik interior dari, ditulis int( ), 0 A atau Misal: Diberikan ={,,,,,,,,,,,,,,, =,, =, Interior dari dapat dinyatakan sebagai berikut : Teorema Interior dari himpunan adalah merupakan gabungan dari semua himpunan bagian terbuka dari atau : himpunan semua titik interior : U G a a A : himpunan terbuka yang memuat dan,. : { G G τ,a G A,a A} a a Selanjutnya juga bahwa : (i) adalah terbuka a
30 30 (ii) himpunan bagian terbuka terbesar dari ; yaitu bila himpunan bagian terbuka dari maka ; dan (iii) adalah terbuka bila dan hanya bila Bukti : (i) : U G a a A karena terbuka maka terbuka. (ii) himpunan terbuka terbesar yang termuat dalam, yaitu jika dan terbuka, maka. (iii) terbuka bila hanya bila. Jika maka terbuka karena himpunan terbuka terbesar yang termuat dalam. Jelas jika terbuka maka Jadi Titik Eksterior Eksterior dari ditulis eks ( ), adalah interior dari komplemen, yaitu ( ). atau titik eksterior,, jika p merupakan titik interior. Himpunan semua titik eksterior ( ) ( ) ( ) 0.
31 31 Contoh =,, =, ( ) ( ) Contoh ,2) 3 ( ) ( ) (, 1) 2,3) (3, ) ( ) ( ) = (, 1) (2,3) (3, ). Contoh Dipunyai titik,,,,,,, = = ( ) ( ) = ( ), Batas Batas dari, ditulis ( ), adalah himpunan dari titik-titik yang tidak termasuk interior dan tidak termasuk eksterior dari. Contoh : =,,,,,,,,,,,,,
32 32 =,, =, ( ) ( ) = ( ) ( ) =,. Contoh : =, = topologi biasa = (1,2 3 = (1,2) ( ) = (, 1) (2,3) (3, ) ( ) = 1,2,3. Berikut ini hubungan titik interior, titik eksterior, dan batas. Teorema Misal himpunan bagian dari ruang topologi. Maka penutup dari adalah gabungan dari interior dan batas dari, yaitu = ( ). Contoh : Diberikan, di dan interval interval,,, yaitu,, (, ) (, dan, ) dimana dan adalah titik-titik akhir.
33 33 = a b,, ( ) (, ) = a b (, ), (, ) ( ) (, ) = a b (,, (, ) ( ) (, ) = a b, ), (, ) I ( ) (, ) Jadi ( ) ( ) ( ) ( ) (, ) ( ) ( ) ( ) ( ),, = ( ), = ( ), = ( ), = D 0 ( ), Persekitaran dan Sistem Persekitaran Misal p adalah titik di ruang topologi. Suatu himpunan bagian dari disebut persekitaran dari jika dan hanya jika adalah suatu superset dari himpunan terbuka yang memuat yaitu : dengan himpunan terbuka
34 34 Kelas dari semua persekitaran dari, ditulis, disebut sistem persekitaran dari. Contoh : Misal diberikan himpuan,,, dengan topologi τ : {, X, {b,c}, {c,d}, {c}, {b,c,d}} dan. = =,,,,,,,, =,,,,,,,,,,,,, Misal dipunyai himpunan,,, bukan merupakan persekitaran dari titik, tetapi merupakan persekitaran dari titik dan karena memuat himpunan terbuka dari topologi tersebut., bukan persekitaran karena,, bukan persekitaran karena tidak ada himpunan terbuka yang memuat dalam himpunan,,. {, merupakan persekitaran. Jika persekitaran, maka ( ). Untuk suatu sistem persekitaran dari suatu titik ada 4 sifat yang dinyatakan dalam proposisi berikut, yang disebut aksioma persekitaran, seperti berikut :
35 35 Teorema Misalkan adalah ruang topologi dan. (i) dan termasuk ke dalam tiap anggota ( jadi jika, maka (ii) Irisan dari dua anggota termasuk. Bukti : Jika,, sehingga A B sehingga 2 dengan jadi. (iii) Setiap superset dari anggota termasuk. (Jika dan maka ) Bukti: Misal dan, A himpunan terbuka dimana. Jadi. (iv) Tiap anggota adalah superset dari anggota dengan adalah persekitaran dari tiap-tiap titik dari yaitu untuk tiap. Bukti :, jika hanya jika terbuka. Jika maka himpunan terbuka sehingga superset dari maka dan untuk.
INF-104 Matematika Diskrit
Jurusan Informatika FMIPA Unsyiah February 13, 2012 Apakah Matematika Diskrit Itu? Matematika diskrit: cabang matematika yang mengkaji objek-objek diskrit. Apa yang dimaksud dengan kata diskrit (discrete)?
Lebih terperinciINF-104 Matematika Diskrit
Teori Himpunan Jurusan Informatika FMIPA Unsyiah February 25, 2015 Himpunan (set) adalah koleksi dari objek-objek yang terdefinisikan dengan baik. Terdefinisikan dengan baik dimaksudkan bahwa untuk sebarang
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA. jelas. Ada tiga cara untuk menyatakan himpunan, yaitu: a. dengan mendaftar anggota-anggotanya;
BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Himpunan 1. Pengertian Himpunan Himpunan merupakan konsep mendasar yang terdapat dalam ilmu matematika. Himpunan adalah kumpulan obyek yang didefinisikan secara jelas. Ada tiga
Lebih terperinciBAB I SET DAN RELASI
BAB I SET DAN RELASI 1.1. SET, ELEMEN (UNSUR) Set adalah suatu konsep yang terdapat dan selalu ada di dalam semua cabang matematika. Secara intuitif, suatu set adalah sesuatu yang didefinisikan dengan
Lebih terperinci1.1 Pengertian Himpunan. 1.2 Macam-macam Himpunan. 1.3 Relasi Antar Himpunan. 1.4 Diagram Himpunan. 1.5 Operasi pada Himpunan. 1.
I. HIMPUNAN 1.1 Pengertian Himpunan 1.2 Macam-macam Himpunan 1.3 Relasi Antar Himpunan 1.4 Diagram Himpunan 1.5 Operasi pada Himpunan 1.6 Aljabar Himpunan Pengertian Himpunan 1. Apa yang dimaksud dengan
Lebih terperinciHIMPUNAN. Arum Handini Primandari, M.Sc Ayundyah Kesumawati, M.Si
HIMPUNAN Arum Handini Primandari, M.Sc Ayundyah Kesumawati, M.Si 1. Himpunan kosong & semesta 2. Himpunan berhingga & tak berhingga Jenis-jenis himpunan 3. Himpunan bagian (subset) 4. Himpunan saling lepas
Lebih terperinciTEORI HIMPUNAN. A. Penyajian Himpunan
TEORI HIMPUNAN A. Penyajian Himpunan Definisi 1 Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek yang dimaksud biasa disebut dengan elemen-elemen atau anggota-anggota dari himpunan. Dalam
Lebih terperinciHIMPUNAN MATEMATIKA. Program Studi Agroteknologi Universitas Gunadarma
HIMPUNAN MATEMATIKA Program Studi Agroteknologi Universitas Gunadarma Ruang Lingkup Pengertian Himpunan Notasi Himpunan Cara menyatakan Himpunan Macam Himpunan Diagram Venn Operasi Himpunan dan Sifat-sifatnya
Lebih terperinciTeori Dasar Himpunan. Julan HERNADI. December 27, Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah, Ponorogo
1 Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah, Ponorogo December 27, 2012 PENGERTIAN DASAR Denition Himpunan merupakan koleksi objek-objek yang disebut anggota atau elemen himpunan tersebut.
Lebih terperinciTeori himpunan. 2. Simbol baku: dengan menggunakan simbol tertentu yang telah disepakati. Contoh:
Teori himpunan Teori Himpunan adalah teori mengenai kumpulan objek-objek abstrak. Teori himpunan biasanya dipelajari sebagai salah satu bentuk: Teori himpunan naif, dan Teori himpunan aksiomatik, yang
Lebih terperinciHimpunan Matematika Diskret (TKE132107) Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Himpunan Matematika Diskret (TKE132107) Program Studi Teknik Elektro, Unsoed Iwan Setiawan Tahun Ajaran 2013/2014 Obyek-obyek diskret ada di sekitar kita. Matematika Diskret (TKE132107)
Lebih terperinciModul 03 HIMPUNAN. Himpunan adalah kumpulan objek-objek yang keanggotaannya didefinisikan dengan jelas.
Modul 03 HIMPUNAN I. Cara Menyatakan Himpunan PENGERTIAN Himpunan adalah kumpulan objek-objek yang keanggotaannya didefinisikan dengan jelas. Contoh: Himpunan siswi kelas III SMU 6 tahun 1999-2000 yang
Lebih terperinciHIMPUNAN ARUM HANDINI PRIMANDARI, M.SC AYUNDYAH KESUMAWATI, M.SI
HIMPUNAN ARUM HANDINI PRIMANDARI, M.SC AYUNDYAH KESUMAWATI, M.SI Himpunan Jenis-jenis himpunan Operasi Pada Himpunan Cara Menuliskan Himpunan Himpunan kosong & semesta Himpunan berhingga & tak berhingga
Lebih terperinciSIFAT KOMPAK PADA RUANG HAUSDORFF (RUANG TOPOLOGI TERPISAH)
SIFAT KOMPAK PADA RUANG HAUSDORFF (RUANG TOPOLOGI TERPISAH) skripsi disajikan sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sain Program Studi Matematika oleh Ririn Setyaningrum 4150406026 JURUSAN
Lebih terperinciTeori Himpunan. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Teori Himpunan Drs. Sukirman, M.Pd. M PENDAHULUAN odul ini memuat pembahasan teori himpunan dan himpunan bilangan bulat. Teori himpunan memuat notasi himpunan, relasi dan operasi dua himpunan atau
Lebih terperinciBAB I HIMPUNAN. Contoh: Himpunan A memiliki 5 anggota, yaitu 2,4,6,8 dan 10. Maka, himpunan A dapat dituliskan: A = {2,4,6,8,10}
BAB I HIMPUNAN 1 1. Definisi Himpunan Definisi 1 Himpunan (set) adalah kumpulan dari objek yang berbeda. Masing masing objek dalam suatu himpunan disebut elemen atau anggota dari himpunan. Tidak ada spesifikasi
Lebih terperinciBAB I HIMPUNAN. Matematika Infomatika. Universitas Gunadarma Halaman 1
BAB I HIMPUNAN A. Pengertian Himpunan Himpunan adalah kumpulan dari objek tertentu (dinamakan unsur, anggota, elemen) yang dirumuskan secara jelas dan tegas, sehingga dapat dibeda-bedakan antara satu dengan
Lebih terperinciMATEMATIKA EKONOMI 1. Oleh : Muhammad Imron H
MATEMATIKA EKONOMI 1 Oleh : Muhammad Imron H UNIVERSITAS GUNADARMA 015 Universitas Gunadarma Halaman BAB I HIMPUNAN A. Pengertian Himpunan Himpunan adalah kumpulan dari objek tertentu (dinamakan unsur,
Lebih terperinciMATEMATIKA BISNIS. Himpunan. Muhammad Kahfi, MSM. Modul ke: Fakultas Ekonomi Bisnis. Program Studi Manajemen.
MATEMATIKA BISNIS Modul ke: Himpunan Fakultas Ekonomi Bisnis Muhammad Kahfi, MSM Program Studi Manajemen http://www.mercubuana.ac.id Konsep Konsep Himpunan merupakan suatu konsep yang paling mendasar bagi
Lebih terperinciPENGANTAR TOPOLOGI. Dosen Pengampu: Siti Julaeha, M.Si EDISI PERTAMA UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN GUNUNG DJATI BANDUNG 2015
PENGANTAR TOPOLOGI EDISI PERTAMA Dosen Pengampu: Siti Julaeha, M.Si UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN GUNUNG DJATI BANDUNG 2015 by Matematika Sains 2012 UIN SGD, Copyright 2015 BAB 0. HIMPUNAN, RELASI, FUNGSI,
Lebih terperinciHimpunan. Nur Hasanah, M.Cs
Himpunan Nur Hasanah, M.Cs 1 Cara Penyajian Himpunan 1. Enumerasi Setiap anggota himpunan didaftarkan secara rinci. Himpunan lima bilangan genap positif pertama: B ={2, 4, 6, 8, 10}. C = {kucing, a, Amir,
Lebih terperinciHimpunan. Definisi. Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.
Himpunan Bahan kuliah Matematika Diskrit 1 Definisi Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. HMIF adalah contoh sebuah himpunan,
Lebih terperinciHimpunan. Definisi. Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.
Himpunan Definisi Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. 1 Cara Penyajian Himpunan 1. Enumerasi Setiap anggota himpunan didaftarkan
Lebih terperinciBAB 2. HIMPUNAN UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH JEMBER ILHAM SAIFUDIN PROGRAM STUDI MANAJEMEN INFORMATIKA FAKULTAS TEKNIK. Senin, 17 Oktober 2016
PROGRAM STUDI MANAJEMEN INFORMATIKA FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH JEMBER BAB 2. HIMPUNAN ILHAM SAIFUDIN Senin, 17 Oktober 2016 Universitas Muhammadiyah Jember ILHAM SAIFUDIN MI HIMPUNAN 1 DASAR-DASAR
Lebih terperinciDefinisi. Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.
Himpunan 1 Definisi Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. HMTI adalah contoh sebuah himpunan, di dalamnya berisi anggota
Lebih terperinciLOGIKA MATEMATIKA HIMPUNAN. Altien Jonathan Rindengan, S.Si, M.Kom
LOGIKA MATEMATIKA HIMPUNAN Altien Jonathan Rindengan, S.Si, M.Kom Pendahuluan Himpunan adalah materi dasar yang sangat penting dalam matematika dan teknik informatika/ilmu komputer. Hampir setiap materi
Lebih terperinciDEFINISI. Himpunan (set) adalah kumpulan objekobjek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.
BAB 1 HIMPUNAN 1 DEFINISI Himpunan (set) adalah kumpulan objekobjek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. HMTI adalah contoh sebuah himpunan, di dalamnya berisi anggota
Lebih terperinciMATEMATIKA 1. Pengantar Teori Himpunan
MATEMATIKA 1 Silabus: Logika, Teori Himpunan, Sistem Bilangan, Grup, Aljabar Linier, Matriks, Fungsi, Barisan dan deret, Beberapa Cara pembuktian Pengertian Himpunan Pengantar Teori Himpunan Himpunan adalah
Lebih terperinciHimpunan (set) Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.
Himpunan (set) Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. Cara Penyajian Himpunan 1. Enumerasi Contoh 1. - Himpunan empat bilangan
Lebih terperinciSIFAT RUANG METRIK TOPOLOGIS SKRIPSI. Oleh : Deki Sukmaringga J2A
SIFAT RUANG METRIK TOPOLOGIS SKRIPSI Oleh : Deki Sukmaringga J2A 307 002 PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS DIPONEGORO SEMARANG 2011 SIFAT
Lebih terperinciUraian Singkat Himpunan
Uraian Singkat Himpunan Yus Mochamad Cholily Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang email:ymcholily@gmail.com March 3, 2014 1 Daftar Isi 1 Tujuan 3 2 Notasi Himpunan 3 3 Operasi
Lebih terperinciTeori Himpunan Ole l h h : H anu n n u g n N. P r P asetyo
Teori Himpunan Oleh : Hanung N. Prasetyo Meski sekilas berbeda, akan kita lihat bahwa logika matematika dan teori himpunan berhubungan sangat erat. Matematika Diskrit Kuliah-2 2 Definisi: himpunan (set)
Lebih terperinciTEORI HIMPUNAN Penyajian Himpunan
TEORI HIMPUNAN 1.1. Penyajian Himpunan Definisi 1. Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek yang dimaksud biasa disebut dengan elemen-elemen atau anggota-anggota dari himpunan. Suatu
Lebih terperinciMatematika Komputasional. Himpunan. Oleh: M. Ali Fauzi PTIIK - UB
Matematika Komputasional Himpunan Oleh: M. Ali Fauzi PTIIK - UB 1 Definisi Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. HMIF adalah
Lebih terperinciUrian Singkat Himpunan
Urian Singkat Himpunan Yus Mochamad Cholily Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang email:ymcholily@gmail.com February 27, 2013 1 Daftar Isi 1 Tujuan 3 2 Notasi Himpunan 3 3 Operasi
Lebih terperinciHIMPUNAN. A. Pendahuluan
HIMPUNAN A. Pendahuluan Konsep himpunan pertama kali dicetuskan oleh George Cantor (185-1918), ahli mtk berkebangsaan Jerman Semula konsep tersebut kurang populer di kalangan matematisi, kurang diperhatikan,
Lebih terperinciMateri 1: Teori Himpunan
Materi 1: Teori Himpunan I Nyoman Kusuma Wardana STMIK STIKOM Bali Himpunan (set) kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. Terdapat beberapa cara
Lebih terperinciMATEMA TEMA IKA BISNIS BY : NINA SUDIBYO
MTEMTIK BISNIS BY : NIN SUDIBYO BB 1. HIMPUNN Himpunan adalah suatu kumpulan atau gugusan dari sejumlah obyek yang harus didefinisikan dengan jelas. Obyek-obyek yang mengisi atau membentuk sebuah himpunan
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Himpunan Fuzzy Fuzzy berarti kabur atau samar-samar. Himpunan fuzzy adalah himpunan yang keanggotaannya memiliki nilai kekaburan/kesamaran antara salah dan benar. Konsep tentang
Lebih terperinciKONSTRUKSI SISTEM BILANGAN
KONSTRUKSI SISTEM BILANGAN KEVIN MANDIRA LIMANTA 1. Konstruksi Aljabar 1.1. Bilangan Natural. Himpunan bilangan paling primitif adalah bilangan natural N, yang dicacah dengan aturan sebagai berikut: (1)
Lebih terperinciMatematika Diskrit 1
Dr. Ahmad Sabri Universitas Gunadarma Pendahuluan Apakah Matematika Diskrit itu? Matematika diskrit adalah kajian terhadap objek/struktur matematis, di mana objek-objek tersebut diasosiasikan sebagai nilai-nilai
Lebih terperinciG a a = e = a a. b. Berdasarkan Contoh 1.2 bagian b diperoleh himpunan semua bilangan bulat Z. merupakan grup terhadap penjumlahan bilangan.
2. Grup Definisi 1.3 Suatu grup < G, > adalah himpunan tak-kosong G bersama-sama dengan operasi biner pada G sehingga memenuhi aksioma- aksioma berikut: a. operasi biner bersifat asosiatif, yaitu a, b,
Lebih terperinciHimpunan dan Sistem Bilangan Real
Modul 1 Himpunan dan Sistem Bilangan Real Drs. Sardjono, S.U. PENDAHULUAN M odul himpunan ini berisi pembahasan tentang himpunan dan himpunan bagian, operasi-operasi dasar himpunan dan sistem bilangan
Lebih terperinciLANDASAN MATEMATIKA Handout 2
LANDASAN MATEMATIKA Handout 2 (Himpunan bagian, kesamaan dua himpunan, comparable, himpunan kosong, himpunan kuasa, kardinalitas, himpunan hingga dan tak hingga) Tatik Retno Murniasih, S.Si., M.Pd. tretnom@unikama.ac.id
Lebih terperinciTeori Himpunan Elementer
Teori Himpunan Elementer Kuliah Matematika Diskret Semester Genap 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U Januari 2016 MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 1 / 72 Acknowledgements
Lebih terperinciInduksi Matematika. Metode pembuktian untuk pernyataan perihal bilangan bulat adalah induksi matematik.
Induksi Matematika Metode pembuktian untuk pernyataan perihal bilangan bulat adalah induksi matematik. Misalkan p(n) adalah pernyataan yang menyatakan: Jumlah bilangan bulat positif dari 1 sampai n adalah
Lebih terperinciBAB III HIMPUNAN. 2) Mahasiswa dapat menyebutkan relasi antara dua himpunan. 3) Mahasiswa dapat menentukan hasil operasi dari dua himpunan
BAB III HIMPUNAN Tujuan Instruksional Umum Mahasiswa memahami pengertian himpunan, relasi antara himpunan, operasi himpunan, aljabar himpunan, pergandaan himpunan, serta himpunan kuasa. Tujuan Instruksional
Lebih terperinciBAB I H I M P U N A N
1 BAB I H I M P U N A N Dalam kehidupan nyata, banyak sekali masalah yang terkait dengan data (objek) yang dikumpulkan berdasarkan kriteria tertentu. Kumpulan data (objek) inilah yang selanjutnya didefinisikan
Lebih terperinciBahan kuliah IF2120 Matematika Diskrit. Himpunan. Oleh: Rinaldi Munir. Program Studi Teknik Informatika STEI - ITB 1
Bahan kuliah IF2120 Matematika Diskrit Himpunan Oleh: Rinaldi Munir Program Studi Teknik Informatika STEI - ITB 1 Definisi Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan
Lebih terperinciDefinisi. Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.
Himpunan 1 Definisi Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. HMIF adalah contoh sebuah himpunan, di dalamnya berisi anggota
Lebih terperinciBahan kuliah IF2120 Matematika Diskrit. Himpunan. Oleh: Rinaldi Munir. Program Studi Teknik Informatika STEI - ITB 1
Bahan kuliah IF2120 Matematika Diskrit Himpunan Oleh: Rinaldi Munir Program Studi Teknik Informatika STEI - ITB 1 Definisi Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan
Lebih terperinciHIMPUNAN, RELASI DAN FUNGSI
Kegiatan Belajar Mengajar 4 HIMPUNAN, RELASI DAN FUNGSI Zainuddin Akina Kegiatan belajar mengajar 4 ini akan membahas tentang himpunan, relasi, dan fungsi.. Kegiatan belajar mengajar 4 ini mencakup 3 pokok
Lebih terperinciQUASI-COINCIDENT, INTERIOR DAN CLOSURE PADA TOPOLOGI FUZZY
QUASI-COINCIDENT, INTERIOR DAN CLOSURE PADA TOPOLOGI FUZZY Siska Dewi Oktaviana 1, Dwi Juniati 2 1 Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Surabaya, 60321
Lebih terperinciMohammad Fal Sadikin
Mohammad Fal Sadikin Purcell, Varberg, Rigdon, Kalkulus, Erlangga, 2004. Dumairy, Matematika Terapan Untuk Bisnis dan Ekonomi, Penerbit BPFE Yogyakarta, 1996. Himpunan : kumpulan objek yang didefinisikan
Lebih terperinciI. Aljabar Himpunan Handout Analisis Riil I (PAM 351)
I. Aljabar Himpunan Aljabar Himpunan Dalam bab ini kita akan menyajikan latar belakang yang diperlukan untuk mempelajari analisis riil. Dua alat utama analisis riil, yakni aljabar himpunan dan fungsi,
Lebih terperinciHIMPUNAN Adri Priadana ilkomadri.com
HIMPUNAN Adri Priadana ilkomadri.com Definisi Set atau Himpunan adalah bentuk dasar matematika yang paling banyak digunakan di teknik informatika Salah satu topik yang diturunkan dari Himpunan adalah Class
Lebih terperinciHimpunan (set) Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.
Teori Himpunan 2011 Himpunan (set) Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. Cara Penyajian Himpunan 1. Enumerasi Contoh 1. -
Lebih terperinciPERTEMUAN 5. Teori Himpunan
PERTEMUAN 5 Teori Himpunan Teori Himpunan Definisi 7: Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang terdfinisi dengan jelas Penyajian Himpunan 1. Enumerasi Enumerasi artinya menuliskan semua elemen (anggota)
Lebih terperinciKode MK/ Nama MK. Cakupan 8/29/2014. Himpunan. Relasi dan fungsi Kombinatorial. Teori graf. Pohon (Tree) dan pewarnaan graf. Matematika Diskrit
Kode MK/ Nama MK Matematika Diskrit 1 8/29/2014 Cakupan Himpunan Relasi dan fungsi Kombinatorial Teori graf Pohon (Tree) dan pewarnaan graf 2 8/29/2014 1 Himpunan Tujuan Mahasiswa memahami konsep dasar
Lebih terperinciHIMPUNAN MEMBAHAS TENTANG:
Modul ke: HIMPUNAN MEMBAHAS TENTANG: Fakultas Ekonomi dan Bisnis Program Studi Akuntansi www.mercubuana.ac.id PENGERTIAN HIMPUNAN, PENYAJIAN HIMPUNAN, HIMPUNAN UNIVERSAL DAN HIMPUNAN KOSONG, OPERASI HIMPUNAN,
Lebih terperinciDefinisi. Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.
Himpunan Definisi Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. HMIF adalah contoh sebuah himpunan, di dalamnya berisi anggota berupa
Lebih terperinciModul ke: Penyajian Himpunan. operasi-operasi dasar himpunan. Sediyanto, ST. MM. 01Fakultas FASILKOM. Program Studi Teknik Informatika
Modul ke: 01Fakultas FASILKOM Penyajian Himpunan operasi-operasi dasar himpunan Sediyanto, ST. MM Program Studi Teknik Informatika Himpunan (set) Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda.
Lebih terperinciMODUL 1. Himpunan FEB. Nur Azmi Karim, SE, M.Si. Fakultas. Modul ke: Program Studi
MODUL 1 Modul ke: Himpunan Fakultas 01 FEB Nur Azmi Karim, SE, M.Si Program Studi Penulisan Himpunan Himpunan adalah suatu kumpulan objek yang berbeda, yang mungkin merupakan suatu kelompok bilangan- bilangan
Lebih terperinciHIMPUNAN (Pengertian, Penyajian, Himpunan Universal, dan Himpunan Kosong) EvanRamdan
HIMPUNAN (Pengertian, Penyajian, Himpunan Universal, dan Himpunan Kosong) Pengertian Himpunan Himpunan adalah kumpulan dari benda atau objek yang berbeda dan didefiniskan secara jelas Objek di dalam himpunan
Lebih terperinciTeori Himpunan. Author-IKN. MUG2B3/ Logika Matematika 9/8/15
Teori Himpunan Author-IKN 1 Materi Jenis Himpunan Relasi Himpunan Operasi Himpunan Hukum-Hukum Operasi Himpunan Representasi Komputer untuk Himpunan 2 Teori Himpunan Himpunan Sekumpulan elemen unik, terpisah,
Lebih terperinciHIMPUNAN Adri Priadana ilkomadri.com
HIMPUNAN Adri Priadana ilkomadri.com Definisi Set atau Himpunan adalah bentuk dasar matematika yang paling banyak digunakan di teknik informatika Salah satu topik yang diturunkan dari Himpunan adalah Class
Lebih terperinciII. SISTEM BILANGAN RIIL. Handout Analisis Riil I (PAM 351)
II. SISTEM BILANGAN RIIL Handout Analisis Riil I (PAM 351) Sifat Aljabar (Aksioma Lapangan) dari Bilangan Riil Bagian ini akan membicarakan struktur aljabar bilangan riil dengan terlebih dahulu memberikan
Lebih terperinciHimpunan (set) adalah kumpulan objekobjek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.
1 HIMPUNAN DEFINISI Himpunan (set) adalah kumpulan objekobjek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. HMK adalah contoh sebuah himpunan, di dalamnya berisi anggota berupa
Lebih terperinciBAHAN AJAR ANALISIS REAL 1. DOSEN PENGAMPU RINA AGUSTINA, S. Pd., M. Pd. NIDN
BAHAN AJAR ANALISIS REAL 1 DOSEN PENGAMPU RINA AGUSTINA, S. Pd., M. Pd. NIDN. 0212088701 PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH METRO 2015 1 KATA PENGANTAR
Lebih terperinciDiktat Kuliah. Oleh:
Diktat Kuliah TEORI GRUP Oleh: Dr. Adi Setiawan UNIVERSITAS KRISTEN SATYA WACANA SALATIGA 2015 Kata Pengantar Aljabar abstrak atau struktur aljabar merupakan suatu mata kuliah yang menjadi kurikulum nasional
Lebih terperinciModul ke: Matematika Ekonomi. Himpunan dan Bilangan. Bahan Ajar dan E-learning
Modul ke: 01 Pusat Matematika Ekonomi Himpunan dan Bilangan Bahan Ajar dan E-learning MAFIZATUN NURHAYATI, SE.MM. 08159122650 mafiz_69@yahoo.com Selamat Datang di Perkuliahan MATEMATIKA EKONOMI 2 BUKU
Lebih terperinciHimpunan. Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.
Himpunan Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. HMIF adalah contoh sebuah himpunan, di dalamnya berisi anggota berupa mahasiswa.
Lebih terperinciLogika Matematika Modul ke: Himpunan
Logika Matematika Modul ke: Himpunan Fakultas FASILKOM Syukri Nazar. M.Kom Program Studi Teknik Informatika Definisi Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut
Lebih terperinciBahan kuliah Matematika Diskrit. Himpunan. Oleh: Didin Astriani P, M.Stat. Fakultas Ilkmu Komputer Universitas Indo Global Mandiri
Bahan kuliah Matematika Diskrit Himpunan Oleh: Didin Astriani P, M.Stat Fakultas Ilkmu Komputer Universitas Indo Global Mandiri 1 Definisi Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek
Lebih terperinciMatematika Ekonomi. Bab I Himpunan
Matematika Ekonomi Bab I Himpunan 1.1 Pengantar Pernahkah kalian masuk ke sebuah supermarket? Tentu hampir semua orang pernah ke sana. Hal yang kita lihat adalah susunan barang yang sejenis ditempatkan
Lebih terperinciHimpunan (set) Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.
Himpunan (set) Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. Cara Penyajian Himpunan 1. Enumerasi Contoh 1. - Himpunan empat bilangan
Lebih terperinciHimpunan (set) Himpunan (set) adalah kumpulan objekobjek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.
HIMPUNAN Himpunan (set) Himpunan (set) adalah kumpulan objekobjek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. Cara Penyajian Himpunan Enumerasi Simbol-simbol Baku Notasi
Lebih terperinciSEKILAS TENTANG KONSEP. dengan grup faktor, dan masih banyak lagi. Oleh karenanya sebelum
Bab I. Sekilas Tentang Konsep Dasar Grup antonius cp 2 1. Tertutup, yakni jika diambil sebarang dua elemen dalam G maka hasil operasinya juga akan merupakan elemen G dan hasil tersebut adalah tunggal.
Lebih terperinci5. Sifat Kelengkapan Bilangan Real
5. Sifat Kelengkapan Bilangan Real Sifat aljabar dan sifat urutan bilangan real telah dibahas sebelumnya. Selanjutnya, akan dijelaskan sifat kelengkapan bilangan real. Bilangan rasional ℚ juga memenuhi
Lebih terperinciPengantar Analisis Real
Modul Pengantar Analisis Real Dr Endang Cahya, MA, MSi P PENDAHULUAN ada Modul ini disajikan beberapa topik pengantar mata kuliah Analisis Real, yang terbagi dalam beberapa kegiatan belajar yang harus
Lebih terperinciMatematika Terapan. Dosen : Zaid Romegar Mair, ST., M.Cs Pertemuan 1
Matematika Terapan Dosen : Zaid Romegar Mair, ST., M.Cs Pertemuan 1 PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA Jl. Kolonel Wahid Udin Lk. I Kel. Kayuara, Sekayu 30711 web:www.polsky.ac.id mail: polsky@polsky.ac.id
Lebih terperinciMATEMATIKA DISKRIT MATEMATIKA DISKRIT
MATEMATIKA DISKRIT BAB I HIMPUNAN Huruf-huruf besar A, B, C,... menyatakan himpunan dan huruf-huruf kecil a, b, c,... menyatakan elemen-elemen atau anggota dari himpunan. Notasi himpunan : p Є A A B atau
Lebih terperinciKEKONVERGENAN NET DAN SUBNET PADA RUANG TOPOLOGIS. Oleh : FATKHAN YUDI RIANSA J2A Skripsi
KEKONVERGENAN NET DAN SUBNET PADA RUANG TOPOLOGIS Oleh : FATKHAN YUDI RIANSA J2A 006 019 Skripsi Diajukan sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Jurusan Matematika Fakultas
Lebih terperinciHimpunan dan Fungsi. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Himpunan dan Fungsi Dr Rizky Rosjanuardi P PENDAHULUAN ada modul ini dibahas konsep himpunan dan fungsi Pada Kegiatan Belajar 1 dibahas konsep-konsep dasar dan sifat dari himpunan, sedangkan pada
Lebih terperinciMODUL 1. A. Himpunan 1. Pengertian Himpunan Himpunan adalah kumpulan objek-objek yang berlainan yang memenuhi suatu syarat keanggotaan tertentu.
MODUL 1 A. Himpunan 1. Pengertian Himpunan Himpunan adalah kumpulan objek-objek yang berlainan yang memenuhi suatu syarat keanggotaan tertentu. 2. Penyajian Himpunan Suatu himpunan dapat disajikan dengan
Lebih terperinciHimpunan. Himpunan (set)
BAB 1 HIMPUNAN Himpunan (set) Himpunan Himpunan (set) adalah kumpulan dari objek-objek yang mempunyai sifat tertentu dan didefinisikan secara jelas. Anggota Himpunan Objek di dalam himpunan disebut elemen,
Lebih terperinciSISTEM BILANGAN REAL
DAFTAR ISI 1 SISTEM BILANGAN REAL 1 1.1 Sifat Aljabar Bilangan Real..................... 1 1.2 Sifat Urutan Bilangan Real..................... 6 1.3 Nilai Mutlak dan Jarak Pada Bilangan Real............
Lebih terperinciRINGKASAN CATATAN KULIAH PENDAHULUAN TEORI HIMPUNAN
RINGKASAN CATATAN KULIAH PENDAHULUAN TEORI HIMPUNAN Apakah himpunan itu? Tidak ada definisi himpunan, yang ada hanya sinonim-sinonim atau kesamaan kata. 1. Menurut Kamus Besar Bahasa Indonesia: himpunan
Lebih terperinciH I M P U N A N. 1 Matematika Ekonomi Definisi Dasar
H I M P U N A N 1.1. Definisi Dasar Definisi 1.1. Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek yang dimaksud biasa disebut dengan elemen-elemen atau anggota-anggota dari himpunan. Suatu
Lebih terperinciPENGERTIAN RING. A. Pendahuluan
Pertemuan 13 PENGERTIAN RING A. Pendahuluan Target yang diharapkan dalam pertemuan ke 13 ini (pertemuan pertama tentang teori ring) adalah mahasiswa dapat : a. membedakan suatu struktur aljabar merupakan
Lebih terperinciAljabar Boole. Meliputi : Boole. Boole. 1. Definisi Aljabar Boole 2. Prinsip Dualitas dalam Aljabar
Aljabar Boole Meliputi : 1. Definisi Aljabar Boole 2. Prinsip Dualitas dalam Aljabar Boole 3. Teorema Dasar Aljabar Boole 4. Orde dalam sebuah Aljabar Boole Definisi Aljabar Boole Misalkan B adalah himpunan
Lebih terperinciGRUP MONOTETIK TOPOLOGI DISKRIT BERHINGGA PADA DUALITAS PONTRYAGIN
Saintia Matematika Vol. 1, No. 6 (2013), pp. 591 602. GRUP MONOTETIK TOPOLOGI DISKRIT BERHINGGA PADA DUALITAS PONTRYAGIN L.F.D. Bali, Tulus, Mardiningsih Abstrak. Dalam teori grup topologi kompak lokal,
Lebih terperinciBab1. Himpunan. Gajah Merpati. Burung Nuri Jerapah
Bab1. Himpunan I. Pengantar Himpunan merupakan konsep yang sangat mendasar dalam ilmu matematika. Banyak sekali kegiatan-kegiatan dalam kehidupan sehari-hari berkaitan dengan himpunan. Untuk memahami himpunan
Lebih terperinci1 Pendahuluan I PENDAHULUAN
1 Pendahuluan 1.1 Himpunan I PENDAHULUAN Himpunan merupakan suatu konsep mendasar dalam semua cabang ilmu matematika. Mengapa himpunan adalah hal yang sangat penting dalam matematika?, untuk mencari jawaban
Lebih terperinciBAB VI BILANGAN REAL
BAB VI BILANGAN REAL PENDAHULUAN Perluasan dari bilangan cacah ke bilangan bulat telah dibicarakan. Dalam himpunan bilangan bulat, pembagian tidak selalu mempunyai penyelesaian, misalkan 3 : 11. Timbul
Lebih terperinciALJABAR ABSTRAK ( TEORI GRUP DAN TEORI RING ) Dr. Adi Setiawan, M. Sc
ALJABAR ABSTRAK ( TEORI GRUP DAN TEORI RING ) Dr. Adi Setiawan, M. Sc PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN MATEMATIKA UNIVERSITAS KRISTEN SATYA WACANA SALATIGA 2011 0 KATA PENGANTAR Aljabar abstrak
Lebih terperinciSIFAT-SIFAT TOPOLOGI RUANG LINEAR. Nila Kurniasih Program Studi Pendidikan Matematika Jalan KHA Dahlan 3 Purworejo. Abstrak
SIFAT-SIFAT TOPOLOGI RUANG LINEAR Nila Kurniasih Program Studi Pendidikan Matematika Jalan KHA Dahlan 3 Purworejo Abstrak Penulisan ini bertujuan menyelidiki sifat-sifat yang berlaku di dalam topologi
Lebih terperinciBAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang
BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Akhir-akhir ini, konsep tentang logika himpunan fuzzy begitu banyak dipelajari dan dipergunakan. Ini disebabkan karena himpunan fuzzy tidak diekspresikan dalam istilah
Lebih terperinciKONSTRUKSI, SIFAT DAN DIMENSI HIMPUNAN CANTOR MIDDLE THIRD. Jl. Prof. H. Soedarto, S. H, Tembalang, Semarang Jurusan Matematika FMIPA UNDIP
KONSTRUKSI, SIFAT DAN DIMENSI HIMPUNAN CANTOR MIDDLE THIRD Khoiroh Alfiana, Siti Khabibah, Robertus Heri S.U,, Jurusan Matematika FMIPA UNDIP Jl. Prof. H. Soedarto, S. H, Tembalang, Semarang Jurusan Matematika
Lebih terperinciBAB III HIMPUNAN. 2) Mahasiswa dapat menyebutkan relasi antara dua himpunan. 3) Mahasiswa dapat menentukan hasil operasi dari dua himpunan
BAB III HIMPUNAN Tujuan Instruksional Umum Mahasiswa memahami pengertian himpunan, relasi antara himpunan, operasi himpunan, aljabar himpunan, pergandaan himpunan, serta himpunan kuasa. Tujuan Instruksional
Lebih terperinci