ANALISIS DAN IMPLEMENTASI METODE NEWTON - RAPHSON (ANALYSIS AND IMPLEMENTATION OF NEWTON RAPHSON METHOD)

Transkripsi

1 Prosidig Semiar Nasioal hasil Peelitia MIPA da Pedidika MIPA UNY 3 ANALISIS DAN IMPLEMENTASI METODE NEWTON - RAPHSON (ANALYSIS AND IMPLEMENTATION OF NEWTON RAPHSON METHOD) Sahid Jurusa Pedidika Matematika Fakultas Matematika da Ilmu Pegetahua Alam Uiversitas Negeri Yogyakarta Abstrak Metode Newto (legkapya Newto Raphso, disigkat NR) merupaka salah satu metode terpopuler utuk meghampiri peyelesaia persamaa f ( ) = secara iteratif. Metode NR megguaka sebuah hampira awal da ilai turua padaya utuk medapatka hampira berikutya. Di dalam metode ii kurva fugsi yag bersagkuta dihampiri dega garis siggug kurva di titik yag sudah diperoleh. Hasil aalisis da eksperime memperlihatka bahwa kekovergea metode NR bersifat kua-dratik (derajad kekovergeaya ) ke akar sederhaa. Utuk akar gada, metode NR mempuyai derajad kekovergea liier, da dapat ditigkatka mejadi kuadratik dega megguaka modifikasi rumus iterasiya. Aka tetapi modifikasi rumus iterasi NR memerluka iformasi derajad akar atau perhituga turua yag lebih tiggi (utuk megetahui derajad akarya). Meskipu metode NR memerluka perhituga turua fugsi, dega program Matlab utuk masuka cukup diguaka rumus fugsiya da Matlab dapat meghitug turua fugsiya. Hal ii dilakuka dega perhituga simbolik. Program Matlab yag disusu berbeda dega program-program implemetasi metode NR yag ditemuka di dalam berbagai literatur, yag biasaya masih memerluka masuka fugsi turua. Pemiliha hampira awal da batas tolerasi sagat meetuka kekovergea metode NR. Selai itu, kekovergea iterasi juga dipegaruhi oleh perilaku fugsi di sekitar hampira awal da di sekitar akar. Apabila fugsi yag bersagkuta memiliki beberapa akar, pemakaia metode NR secara berulaga-ulag dega pemiliha hampira awal yag sesuai dapat diguaka utuk medapatka hampira akar-akar sebuah persamaa f ( ) =. Kata Kuci: akar persamaa, metode Newto, hampira, kovergesi, Matlab Abstract The Newto Raphso (NR) method is oe of the most popular umerical (iterative) methods for fidig the approimatio of the solutio of equatio of f ( ) =. The method uses a iitial approimatio da the derivative of the fuctio at the iitial poit to get the et approimatio. This method approimates the fuctio curve with its tagets. The aalysis ad eperimet shows that the method coverges quadratically to simple roots ad coverges liearly to multiple roots. However, this liear covergece ca be speed up by usig the modified NR formulas, though this modificatio requires further iformatio about the root s degree ad calculatios of higher derivatives. Although the NR method requires calculatios of derivatives, the implemetatio of the method usig Matlab ca be simplified so that derivatives do ot eed to be iputed. This is doe by usig symbolic calculatio programmed i the Matlab codes. The choise of iitial approimatios ad the error limits do affect s the covergece of the NR method. Also, the iteratio are very depedet of the fuctio behaviour arroud its roots. By usig differet iitial approimatios, the method ca be used to fid differet roots (if ot sigle root) of equatio f ( ) =. Keywords: equatio root, Newto method, approimatio, covergece, Matlab PENDAHULUAN Salah satu masalah yag serig ditemui di dalam matematika da sais serta tekik adalah mecari akar persamaa, yaki mecari ilai-ilai yag memeuhi f ( ) = (Borse, 997: 5). Permasalaha ii dapat mucul dari masalah-masalah lai dalam matematika, mi-salya mecari ilaiilai eige suatu matriks, meghitug titik potog sebuah kurva dega sumbu-sumbu koordiat, mecari titik potog dua buah kurva, da lai-lai. M-79

2 Prosidig Semiar Nasioal hasil Peelitia MIPA da Pedidika MIPA UNY 3 Kebayaka fugsi yag harus dicari akarya tidak selalu berbetuk fugsi sederhaa atau suku bayak, seperti f( ) = ( + ) e - -, da tidak ada metode eksak yag dapat diguaka utuk meyelesaikaya (Jacques & Judd, 987: 43). Sebagai alteratif peyelesaia persamaapersamaa demikia adalah pemakaia metode umerik utuk medapatka hampira akar-akarya. Dega megguaka metode umerik, semua permasalaha umerik yag rumit dapat diselesaika dega haya megguaka operasi-operasi aritmetika sederhaa da logika serta megguaka prosedur yag dapat dikerjaka oleh komputer (Jacques & Judd, 987:-; Scheid, 989: ; Volkov, 99:9). Di atara berbagai metode utuk meyelesaika persamaa f ( ) = adalah metode Newto (legkapya Newto Raphso, selajutya disigkat NR). Metode NR memiliki ciri-ciri: () memerluka sebuah hampira awal, da () memerluka perhituga turua fugsi f () dalam setiap iterasi. Ciri kedua metode Newto tersebut berkaita dega fakta bahwa hampir-a berikutya diperoleh dega cara mearik garis siggug kurva y = f() pada titik yag mempuyai absis hampira sebelumya higga memotog sumbu-. Titik potog garis siggug tersebut dega sumbu- merupaka hampira berikutya. Proses berlajut sampai hampira yag diperoleh memeuhi syarat keakurata yag ditetuka. Salah satu kedala dalam pemakaia metode Newto adalah keharusa meghitug ilai turua fugsi. Hal ii tidak selalu mudah jika dilakuka secara maual, terutama utuk fugsi-fugsi tertetu, sekalipu perhituga dilakuka dega kalkulator atau komputer. Oleh karea itu, perlu dicari software yag sesuai utuk megimplemetasika metode Newto yag tidak memerluka perhituga turua fugsi secara maual. Matlab dapat diguaka utuk tujua ii. Metode NR yag dikaji dalam peelitia ii dibatasi utuk fugsi-fugsi satu variabel. Aalisis metode NR meliputi kekovergea pada akar sederhaa da akar gada. Cotoh-cotoh komputasi umerik dega program Matlab diterapka pada beberapa tipe fugsi, yaki fugsi poliomial oliier, fugsi ekspoesial, fugsi trigoometri, da kombiasiya. Semua fugsi yag dibahas dalam peelitia ii adalah fugsi kotiyu, setidakya pada iterval yag sedag mejadi perhatia. DASAR TEORI Pembahasa metode umerik utuk mecari hampira akar persamaa memerluka beberapa pegertia dasar sebagai berikut. Defiisi (Akar Persamaa, Pembuat Nol Fugsi) (Mathews, 99: 55) Misalka f adalah suatu fugsi kotiyu. Setiap bilaga r pada domai f yag meme-uhi fr ( ) = disebut akar persamaa f ( ) =, atau juga disebut pembuat ol fugsi f (). Apabila tidak meimbulka keracua, r serig dikata sebagai akar f. Defiisi (Derajad Akar Persamaa) (Atkiso, 993: 94; Mathews, 99: 76) Misalka r adalah akar persamaa f ( ) =. Jika terdapat bilaga asli m da fugsi kotiyu h () dega hr ( ) ¹, sedemikia higga f () dapat diyataka sebagai maka r disebut akar berderajad m. m f( ) = ( - r) h( ), () Dari () terlihat bahwa jika r pembuat ol f () yag berderajad m, maka f r f r f r f r ( m- ) m ( ) = '( ) =... = ( ) =, da ( ) ¹. Jika m =, maka r disebut akar sederhaa. Jika m >, maka r disebut akar gada. Utuk m =, maka r disebut akar dobel, dst. M-8

3 Aalisis da Implemetasi Metode... (Sahid) Defiisi 3 (Derajad Kekovergea) (Atkiso, 993: 87; Mathews, 99: 77) Misalka,,,... suatu barisa yag koverge ke r da misalka e = r -. Apabila terdapat sebuah bilaga m da sebuah kostata C ¹, sedemikia higga e + lim = C, m e maka m disebut derajad kekovergea barisa tersebut da C disebut kostata galat asimptotik. Khususya, utuk m =,, 3, kekovergeaya berturut-turut disebut liier, kuadratik, da kubik. Defiisi 4 (Titik Tetap Fugsi & Iterasi Titik Tetap) (Atkiso, 993: 84; Mathews, 99: 45) Misalka g adalah suatu fugsi. Bilaga pada domai g dikataka merupaka titik tetap g jika memeuhi = g(). Selajutya, iterasi disebut iterasi titik tetap. = g( ),,,,... = () + Defiisi 5 (Iterasi Newto -- Raphso) (Atkiso, 993: 69; Mathews, 99: 7) Misalka fugsi f mempuyai turua pertama f '. Barisa,,,... yag diperoleh dari iterasi f ( ), utuk,,,... = - + f '( ) = (3) disebut barisa iterasi Newto. Fugsi g yag didefiisika sebagai disebut fugsi iterasi Newto Raphso. f () g() = - f '( ) (4) Terdapat hubuga atara akar persamaa f ( ) = da titik tetap fugsi g. Dari (4) terlihat bahwa, jika fr ( ) =, maka r = g() r. Metode Newto dapat dipadag sebagai cotoh khusus metode Titik-Tetap (Cote & de Boor, 98, 79). PENURUNAN RUMUS ITERASI NEWTON RAPHSON Iterasi Newto Raphso berawal dari sebuah hampira awal utuk akar r, kemudia meghitug hampira selajutya dega cara sebagai berikut.. Misalka adalah hampira awal pada lagkah ke-, =,,,.. Hitug gradie garis siggug terhadap kurva y = f() di titik (, f( )), yaki f '( ) da tetuka persamaa garis siggugya, yaki y = f '( )( - ) + f( ). 3. Hampira berikutya adalah absis titik potog garis siggug tersebut dega sumbu-, yaki Lagkah-lagkah tersebut diperlihatka pada Gambar. f ( ). = - + f '( ) (5) M-8

4 Prosidig Semiar Nasioal hasil Peelitia MIPA da Pedidika MIPA UNY 3 Gambar. Iterasi Newto - Raphso Rumus iterasi (5) juga dapat dituruka dari deret Taylor f () di sekitar, yaki: f( ) = f( ) + ( - ) f '( ) + ( - ) f "( ) +... (6) dega megasumsika da hampira berikutya, cukup dekat ke akar r, da meg-abaika suku ke-3 da seterusya pada ruas kaa (6), aka diperoleh (5). Dalam hal ii, fugsi f () telah dihampiri oleh garis siggug di titik (, f( )). Jadi pada prisipya sama dega pedekata geometris sebelumya. ANALISIS KEKONVERGENAN METODE NEWTON RAPHSON Sebelum membahas kekovergea iterasi Newto Raphso, berikut aka ditijau sebuah teorema megeai iterasi titik tetap, yag diguaka dalam pembuktia selajutya. Teorema (Pemetaa Kostraksi) (Atkiso, 993: 84-85) Misalka g ( ) da g'( ) kotiyu pada iterval [ ab, ] da memeuhi Selajutya, misalka maka: Î [ a, b] Þ a g( ) b. (7) l = Ma g '( ) <, (8) a b Terdapat sebuah akar tuggal r Î [ a, b] yag memeuhi r = g() r. Utuk setiap hampira awal Î [ a b], iterasi titik tetap () koverge ke r., Utuk setiap ³ berlaku r - l - - l r - + Lim = g '( r), sehigga utuk yag cukup dekat dega r berlaku r - Bukti: r -» g '( r)( r - ). + (9) M-8

5 Aalisis da Implemetasi Metode... (Sahid) Defiisika fugsi f( ) = - g( ). Karea g ( ) kotiyu pada [ ab,, ] maka f () juga kotiyu pada iterval tersebut. Selajutya, dari (7) berlaku fa ( ) da fb ( ) ³, sehigga meurut Teorema Nilai Atara terdapat r Î [ a, b] yag memeuhi fr ( ) = atau r = g() r. Selajutya, adaika terdapat dua buah ilai r da r yag memeuhi r = g( r ) da r = g( r ), maka meurut Teorema Nilai Rata-rata terdapat c atara a da b yag memeuhi g c Hal ii bertetaga dega hipotesis (8). g( r )- g( r ) r - r '( ) = = =. r - r r - r Dari (7), utuk setiap hampira awal Î [ a, b], ilai-ilai yag dihasilka oleh iterasi titik tetap () juga terletak pada iterval [ ab., ] Selajutya, dega megguaka Teorema Nilai Rata-rata, diperoleh r - = g( r) - g( ) '( )( ), = g c r - + () utuk suatu ilai c atara r da. Aka tetapi, karea r da pada [ ab,, ] maka demikia pula c, sehigga dari (8) diketahui bahwa, utuk ³ berlaku r r r + - l -... r l - l - () + - Karea l <, maka ruas kaa () koverge ke, yag berakibat koverge ke r. Dega megguaka ketidaksamaa segitiga da (), diperoleh sehigga r - l - - l r - r l r ( - l ) r - -, r l. Oleh karea koverge ke r da c atara r da maka c juga koverge ke r, sehigga, dari (), diperoleh r - + Lim = g '( r). () r - Dari hipotesis (8) dapat diketahui bahwa g'( r ) <. Kodisi ii sagat erat kaitaya dega kekovegea iterasi Titik Tetap (). Akibat berikut memberika syarat yag lebih mudah daripada syarat pada Teorema utuk mejami kekovergea iterasi (). Akibat (Syarat Kekovergea Iterasi Titik Tetap) Misalka g ( ) da g'( ) kotiyu pada iterval [ cd, ] yag memuat titik tetap r. Jika g'( r ) <, maka terdapat bilaga d > sedemikia higga utuk setiap hampira awal Î I = [ r - d, r + d] Í [ c, d], iterasi () koverge ke r. d,,, M-83

6 Prosidig Semiar Nasioal hasil Peelitia MIPA da Pedidika MIPA UNY 3 Hasil () meujukka bahwa iterasi Titik Tetap memiliki kekovergea liier. Bagaimaakah jika g'( r ) =? Dalam hal ii iterasi Titik Tetap aka mempuyai tigkat kekovegea yag lebih tiggi, sebagaimaa diyataka dalam Akibat berikut ii. Akibat (Kekovergea Tigkat Tiggi Iterasi Titik Tetap) Misalka iterasi Titik Tetap () koverge ke titik tetap fugsi g(), yaki r. Jika fugsi g () memeuhi g r g r g r g r m ( m- ) ( m) '( ) = "( ) =... = ( ) =, da ( ) ¹, ³, maka iterasi Titik Tetap tersebut memiliki derajad kekovergea m. Bukti: Perhatika ekspasi g ( ) di sekitar r, yaki m- m ( - r) ( - r) ( m- ) ( - r) ( m) = g( ) g( r) ( r) g '( r) g "( r)... g ( r) g ( c ) ( m - )! m! dega c adalah suatu ilai atara da r. Dari hipotesis megeai fugsi g (), dapat diketahui bahwa m suku pertama pada ruas kaa persamaa (3) berilai ol, sehigga diperoleh sehigga ( m) ( - r) + g ( c ) = m. ( - r) m! (3) m ( - r) ( m) = g( ) ( ), = r + g c + (4) m! Jadi, r - g r lim, ( r - ) m! ( m) + () = m yag berarti bahwa iterasi Titik Tetap memiliki derajad kekovergea m. Berikut ditijau kekovergea iterasi Newto Raphso (5). Pertama aka ditijau kasus r merupaka akar sederhaa, yaki f'(r) ¹. Dega kata lai, titik (, fr ( )) buka merupaka titik siggug kurva y = f() pada sumbu-. Telah diasumsika bahwa f kotiyu. Misalka f memiliki setidakya dua turua pertama yag kotiyu pada suatu iterval I yag memuat akar r. Dari defiisi fugsi iterasi Newto Raphso (4) diperoleh (5) f '( ) f '( ) - f( ) f "( ) f( ) f "( ) g'( ) = - =, (6) [ f '( )] [ f '( )] f( r) f "( r) sehigga g '( r) =, megigat f( r). [ f '( r)] = = Selajutya, karea f, f ', da f " kotiyu, maka g ' juga kotiyu. Oleh karea g'( r ) =, maka meurut Teorema Nilai Atara, dapat dicari suatu iterval I = [ r - d, r + d] d dega d>, sedemikia higga g'() < utuk semua Î I. Sekarag aka dipadag iterasi Newto (5) sebagai iterasi titik tetap terhadap fugsi g : d M-84

7 Aalisis da Implemetasi Metode... (Sahid) f ( ) g( ) dega = = - Î I. (7) + d f '( ) Oleh karea g'() < utuk semua Î I, maka berdasarka Akibat, barisa { } d yag dihasilka oleh iterasi (7) koverge ke r apabila Î I. Hasil di atas dapat disimpulka ke d dalam teorema sebagai berikut. Teorema (Syarat Kekovergea Iterasi Newto Raphso) Misalka f memiliki setidakya dua turua pertama yag kotiyu pada suatu iterval I yag memuat akar sederhaa r, di maa f(r)=. Jika f'(r) ¹, maka terdapat suatu iterval I = [ r - d, r + d] dega d>, sedemikia higga barisa { } d yag dihasilka oleh iterasi (7) koverge ke r apabila Î I. d Gambar : Kekovergea Iterasi Titik Tetap Bilaga d dapat dipilih sedemikia higga f( ) f "( ) g '( ) = <, " Î I = [ r - d, r + d]. (8) d [ f '( )] Aka tetapi, ilai r mugki tidak diketahui (sebab jika sudah diketahui, tidak perlu lagi diguaka metode umerik!). Oleh karea itu, dalam praktek utuk mejami kekovergea iterasi (7) dapat dicari hampira awal pada sebuah iterval terkecil I yag memuat r (dapat diperkiraka dega meggambar kurva y = f() ) yag memeuhi Ma g '( ) <. Secara visual hal ii dapat diperlihatka pada Gambar. Teorema berikut memberika alteratif lai utuk meetuka hampira awal yag mejami kovergesi iterasi Newto (Cote & de Boor, 98: 4-5). M-85 Î I Teorema 3 (Syarat Kekovergea Iterasi Newto Raphso)

8 Prosidig Semiar Nasioal hasil Peelitia MIPA da Pedidika MIPA UNY 3 Jika kedua turua pertama f () kotiyu pada iterval berhigga [a, b] da f () memeuhi syarat-syarat: (i) f( a) f( b ) < (ii) f '( ) ¹, Î [ a, b] (iii) f "( ) atau f "( ) ³ utuk semua Î [ a, b] (iv) f ( a ) f da ( b < b - a ) < b - a, f '( a) f '( b) maka iterasi Newto aka koverge secara tuggal ke akar r Î [ a, b], di maa f(r)=, utuk setiap hampira awal Î [ a, b]. Syarat (i) mejami adaya akar pada [a, b] (Teorema Nilai Atara). Bersama syarat (ii) dijami adaya akar tuggal pada [a, b] (Teorema Nilai Rata-rata). Syarat (iii) meyataka bahwa pada [a, b] kurva y = f() bersifat cekug ke atas atau ke bawah da juga, syarat (ii) berarti f '( ) mooto positif atau mooto egatif (jadi f () mooto aik atau mooto turu) pada [a, b]. Akibatya, titik potog garis siggug kurva di (a,f(a)) dega sumbu- berada di kaa a da titik potog garis siggug kurva di (b,f(b)) dega sumbu- berada di kiri b. Karea syarat (iv), kedua titik potog berada pada iterval [a, b]. Dega demikia, iterasi Newto aka meghasilka barisa hampira pada [a, b]. f () f( a) <, f '( ) >, f "( ) ³ a r b Gambar 3 Iterasi Newto utuk fugsi cekug dega turua mooto Tapa kehilaga sifat umum, misalka fa ( ) < da f "( ) ³ pada [a, b] (kurva y = f() bersifat cekug meghadap ke atas, seperti pada Gambar 3). Dari iterasi Newto f ( ) = - f '( ), (i) jika r < b, maka keempat syarat di atas dipeuhi pada iterval [ a, ], sehigga r < da iterasiya aka koverge secara meuru ke r ; M-86

9 Aalisis da Implemetasi Metode... (Sahid) (ii) jika a < r, maka r < b, sehigga iterasi berikutya persis seperti kasus (i). Utuk kasus-kasus fa ( ) da f"() yag lai dapat dituruka secara serupa. ANALISIS GALAT METODE NEWTON - RAPHSON Dega megguaka hipotesis tetag gugsi f da akar sederhaa r pada bagia DASAR TEORI, misalka E meyataka galat hampira Newto pada iterasi ke-, yaki E = r -. Oleh karea f'(r) ¹ da f ' kotiyu, maka f'() ¹ utuk ilai-ilai yag dekat dega r. Demikia pula, misalka f( ) ¹, sehigga dega megguaka Teorema Taylor diperoleh dega c terletak atara (7) diperoleh f r f E f E f c ( ) = ( ) + '( ) + "( ) da r. Oleh karea f(r)= da é- f "( c ) ù E = r - = E. + + ê f '( ) ú ë û f( ) ¹, maka dari rumus ite-rasi Apabila iterasi (7) koverge, maka r da c r jika. Dega demikia didapatka lim + (9) E f "( r) = = C. () E f '( r) Persamaa () meyataka bahwa kekovergea iterasi Newto ke akar sederhaa bersifat kuadratik. Selajutya ditijau kasus akar gada. Jika r adalah akar gada berderajad m >, maka f () dapat diyataka sebagai m f( ) = ( - r) h( ) dega h adalah fugsi kotiyu yag bersifat hr ( ) ¹. Selajutya, Oleh karea itu, dari defiisi (4) diperoleh m- f '( ) = ( - r) [ mh( ) + ( - r) h '( ) ]. ( - r) h( ) g( ) = -, mh( ) + ( - r) h '( ) () sehigga m( m - ) h ( ) - m( - r) h( ) - ( - r) h '( ) - ( - r) h( ) h "( ) g'( ) =, [ mh( ) + ( - r) h '( ) ] m - sehigga g'( r) = <, karea m >. Berdasarka Akibat dapat dicari suatu iterval m yag memuat r da hampira awal yag mejami iterasi: = g( ) = - + ( - r) h( ) mh( ) + ( - r) h '( ) koverge ke r. Selajutya, dari (3) dapat dituruka galat iterasi () (3) M-87

10 Prosidig Semiar Nasioal hasil Peelitia MIPA da Pedidika MIPA UNY 3 atau - Eh( ) í ( m - ) h( )- Eh '( ) ü E = E + = E ï + ì ï ý, mh( )- Eh '( ) ïî mh( )- Eh '( ) ïþ E í + ( m - ) h( ) - Eh '( ) ü = ï ì ï ý. E ïî mh( ) - Eh '( ) ïþ Jika koverge ke r, maka lim E =, sehigga lim E + m - E (4) (5) = (6) m megigat hr ( ) ¹. Persamaa pada (6) sesuai dega hasil (). Dari (6) diketahui bahwa kekovergea iterasi Newto Raphso ke akar gada bersifat liier. Hasil-hasil di atas dapat diragkum dalam teorema sebagai berikut. Teorema 4 (Laju Kekovergea Iterasi Newto Raphso) Misalka barisa barisa { } yag dihasilka oleh iterasi (5) koverge ke r, di maa f(r)=. Misalka E meyataka galat hampira Newto pada iterasi ke-, yaki E = r -. Jika r akar sederhaa, maka kekovergea tersebut bersifat kuadratik, yaki E+ f "( r) lim =. E f '( r) Jika r akar gada berderajad m >, maka kekovergea tersebut bersifat liier, yaki E lim + m - =. E m Selajutya aka ditijau alteratif lai pemiliha hampira awal yag sesuai utuk mejami kekovergea iterasi Newto Raphso. Utuk kasus akar sederhaa, dari (9) dapat diperoleh hubuga utuk ilai-ilai r -» l ( r - ) + yag dekat dega r, dega asumsi semua dekat dega r, secara iduktif diperoleh l - f "( r) =, megigat f'(r) ¹. Dega f '( r) l ( r - )» lé ( r ) ù ë -, ³. û (7) Agar r atau ( r - ), syaratya adalah l ( r - ) <, atau f '( r) r - <. l = f "( r) (8) Jadi, agar iterasi (5) koverge ke akar sederhaa r, maka hampira awal harus dipilih yag memeuhi (8). Terlihat, jika ilai mutlak l cukup besar, maka harus dipilih cukup dekat dega r. Aka tetapi, oleh karea r mugki tidak diketahui, maka jika demikia ilai l juga tidak M-88

11 Aalisis da Implemetasi Metode... (Sahid) diketahui. Dalam hal ii, hampira awal dapat dipilih berdasarka Teorema. Pemakaia hampira awal sebarag tidak mejami kekovergea iterasi Newto. IMPLEMENTASI METODE NEWTON-RAPHSON Program MATLAB yag megimplemetasika metode NR, yaki rsym.m, telah di-susu oleh peeliti. Utuk perbadiga juga disusu program yag megimplemetasika metode NR termodifikasi (mrsym.m) utuk akar gada. Pada program-program MATLAB tersebut diguaka kriteria selisih kedua hampira terakhir, hampira galat relatif iterasi terakhir, da ilai fugsi. Utuk meghidari pembagia dega ol pada perhituga galat relatif tersebut diguaka ilai eps ( =.4-6 ), yag pada MATLAB merupaka ilai keakurata relatif titik megambag (floatig poit relative accuaracy). Utuk megetahui pe-rilaku fugsi di sekitar hampira awal, program rsym.m da mrsym.m, selai melakuka iterasi juga meghasilka gambar kurva fugsi da turuaya. Pegguaa program-program MATLAB tersebut memerluka masuka berupa fugsi (harus), derajad akar (khusus da wajib utuk program mrsym.m), hampira awal (opsioal), batas toleraasi galat (opsioal), da maksimum iterasi dilakuka (opsioal), serta parameter utuk meetuka format tampila hasil. Pada kedua program tidak diperluka masuka turua fugsi, karea program aka meghitug sediri turua fugsi yag diberika. Fugsi dapat dituliska dalam betuk ekspresi (rumus) atau variabel yag meyimpa ekspresi tersebut. Apabila masuka opsioal tidak diberika, program aka megguaka ilai-ilai default, yaki hampira awal - 5 =, batas tolerasi d = da maksimum iterasi N = 5. Petujuk selegkapya sudah dituliska di dalam program, yag dapat ditampilka dega meuliska peritah help ama_program. Pemiliha hampira awal da ilai batas tolerasi dapat mempegaruhi kovergesi iterasi. Di depa sudah diuraika beberapa syarat cukup utuk meetuka hampira awal agar iterasi Newto. Aka tetapi, syarat-syarat tersebut hayalah merupaka syarat cukup, tidak merupaka syarat perlu, sehigga pemakaia hampira awal yag tidak memeuhi syarat-syarat pada Teorema maupu Teorema 3 boleh jadi aka meghasilka iterasi yag koverge. Di siilah perluya dilakuka eksperime (perhituga secara umerik) dega megguaka program-program yag telah disusu. Eksperime juga dapat diguaka utuk memverifikasi hasil-hasil aalisis di atas. Hasil-hasil Eksperime Eksperime komputasi dega megguaka program-program yag telah disusu dilakuka pada fugsi-fugsi di bawah ii. 6. f( ) = - - (Atkiso, 993: 63, 8). f( ) = e - 3 (Cote & de Boor, 98: 6) B f( ) = + e cos( ), B =,,5,,5,5. (Atkiso, 993: 77) f( ) ( ) 3 = - (Atkiso, 993: 67, 78) akar tripel 3 f( ) = ( -.) ( -.). (Atkiso, 993: 95) 6. f( ) = ( - )( e - - ). akar dobel - 7. f( ) = e - si( ). (Cote & de Boor, 98: 5; Atkiso, 993: 67) 8. f() = e -. (Mathews, 99: 79, 88) NR diverge Berikut disajika beberapa tabel hasil eksperime dega metode NR pada fugsi-fugsi di atas. Utuk kasus akar gada juga disajika hasil komputasi dega metode NR termodifikasi. Jika 5 tidak dicatumka, semua eksperime megguaka batas tolerasi -. M-89

12 Prosidig Semiar Nasioal hasil Peelitia MIPA da Pedidika MIPA UNY 3 Iterasi 6 Tabel. Iterasi NR legkap utuk - - = f ( ) - - r e e e e e e e e e e-7 Tabel Iterasi NR utuk e - 3= da e - 3= Koverge ke Pada iterasi ke B M-9 - B + e cos( ) = - B + e cos( ) = Koverge ke Pada iterasi ke gagal Gagal (berputar-putar) Persamaa e - 3= mempuyai peyelesaia (akar) r = l(3)».986. Dalam hal ii, g( ) < utuk > l(3/) - r < r - l(3/).46 < <.79 atau. Jadi, jika, maka iterasiya aka koverge Gagal (berputar-putar) 5 5 Gagal (berputar-putar) 5 Gagal (berputar-putar) Gagal (berputar-putar) - 6 Kurva y = - - hampir datar (gradieya medekati ol) di sekitar =.7 da hampir tegak pada iterval > da <-. Persamaa yata, yaki = mempuyai dua buah akar r = » -.778, da r = ».35. f( ) f "( ) Jika g () = [ f '( )], maka g ( ) < utuk < d atau > d dega d d = ».384 = ».4. Dalam kasus ii, jika - r < r - d atau - r < r - d, yaki -.94 < <.384 atau.4 < <.56, maka iterasi Newto aka koverge. Namum hal ii tidak berarti bahwa utuk hampira awal di luar iterval-iterval tersebut iterasiya pasti tidak koverge. - B Utuk kasus B=, kurva y = + e cos( ) berupa garis lurus dega gradie di luar iterval [-.8366,.8366]. Semaki besar ilai B, semaki kecil iterval tersebut. Utuk semua ilai

13 Aalisis da Implemetasi Metode... (Sahid) B, kurva melegkug ke atas da meceg ke kaa di dalam iterval yag sesuai dega titik balik semaki medekati ke (,) semaki besar ilai B. Gradie di titik (,) sama dega. Semaki besar ilai B, akarya semaki medekati ol dari kiri. Utuk kasus B= akarya adalah r = » Dari hasil perhituga diperoleh, g ( ) < jika < -.633, -.5 < < ,.94 < <.5, atau >.696. Jadi jika pada iterval-iterval tersebut, iterasiya aka koverge. Tabel 3 Iterasi NR da Modifikasi NR utuk 3 (.) (.) - - = da 3 ( - ) = 3 (.) (.) Metode NR Koverge ke - - = 3 ( - ) = Modifikasi NR Koverge ke d (Metode NR) Koverge ke e-5 Gagal (sagat lambat) Gagal (berputar-putar) 5 e Gagal (berputar-putar) 5 Gagal (titik belok kurva) Gagal (berputar-putar) Iterasi ke Iterasi ke Iterasi ke 3 Persamaa ( - ) = mempuyai akar r =, yag berderajad 3. Iterasi Newto cukup lambat. Dega megguaka rumus Newto termodifikasi, iterasiya aka koverge ke akar tersebut pada iterasi ke-, berapapu hampira awal yag dipakai (asalka berhigga). Hal ii dikareaka rumus iterasi Newto termodifikasi adalah =. 3 Persamaa ( -.) ( -.) = mempuyai r=. adalah akar berderajad tiga, r=. adalah akar sederhaa. Dari hasil perhituga diperoleh bahwa g ( ) < jika < atau > Jadi, iterasi NR koverge apabila pada iterval-iterval tersebut, meskipu iterasi NR termodifikasi belum tetu koverge (khususya jika hampira awal lebih dekat ke akar sederhaa). Tabel 4 Iterasi NR da Modifikasi NR utuk ( )( e - ) = da e - si( ) = ( - )( e - - ) = e - - si( ) = Metode NR Modifikasi NR Iterasi Koverge Iterasi Koverge ke ke ke ke Koverge ke * 5 ( - )( e - - ) = Persamaa mempuyai sebuah akar r=, g ( ) < yag merupaka akar dobel. Utuk kasus ii berlaku utuk semua riel, sehigga iterasiya aka koverge berapapu hampira awal, asalaka berhigga. Sudah tetu semaki jauh hampira awal dari akar tersebut, semaki lambat iterasi aka koverge *) gradie kurva di titik tsb. -, iterasiya dilaporka belum koverge Iterasi ke M-9

14 Prosidig Semiar Nasioal hasil Peelitia MIPA da Pedidika MIPA UNY 3 - Fugsi f( ) = e - si( ) semaki lama semaki periodik, medekati si(), akarya semaki ke kaa semaki medekati kelipata pi. Tabel 5 Iterasi NR utuk e - = Koverge ke Pada iterasi ke Gagal (titik balik kurva) - Gagal (mejauh ke 5 kaa) Utuk fugsi ii, g ( ) < jika <.378, sehigga iterasiya aka koverge jika hampira awalya pada iterval tersebut. KESIMPULAN DAN SARAN Berikut adalah beberapa kesimpula yag diperoleh dari peyelidika metode NR.. Metode NR koverge secara kuadratik. Di dekat akar sederhaa, cacah digit akurat mejadi dua kali lipat pada setiap lagkah.. Meskipu metode NR memerluka perhituga ilai turua fugsi, telah dapat disusu program Matlab yag dapat melakuka secara simbolik perhituga turua fugsi, sehigga tidak perlu dihitug secara maual. Hal ii yag biasaya tidak ditemuka pada implemetasi NR yag ada pada beberapa literatur. 3. Metode NR mugki tidak stabil jika dimulai dari titik yag jauh dari akar yag hedak dicari da metode NR aka koverge secara lambat atau mugki gagal jika kurva fugsiya hampir datar di sekitar akar atau titik-titik belok / balik, yaki jika terjadi f '( ) =. 4. Syarat cukup amu tidak perlu agar metode NR koverge diyataka pada Teorema da Teorema 3. (a) (b) Gambar 4 Situlasi peyebab kegagala iterais Newto-Raphso 5. Metode NR tidak aka koverge jika: M-9

15 Aalisis da Implemetasi Metode... (Sahid) a. Hampira awal berupa titik ekstrim fugsi iterasiya mejauh dari akar (Gambar 4 (a) ). b. Garis siggug kurva di titik awal sejajar dega kurva pada arah perpotogaya dega sumbu, iterasiya berputar-putar (Gambar 4 (b)). c. Kurva fugsiya aik turu. 6. Metode NR cukup lambat koverge jika: a. diguaka utuk meghampiri akar gada; b. kurvaya "ladai" di sekitar akar. 7. Rigkasa kekuata da kelemaha metode Newto-Raphso disajika pada tabel berikut ii. Tabel 6 Kekuata da kelemaha metode NR Kekuata Rumus iterasi dapat diperoleh dari deret Taylor maupu pedekata grafis (garis siggug). Secara lokal, laju kekovergea bersifat kuadratik jika hampira dekat ke akar (sederhaa). Ada kemugkia laju kekovergea lebih cepat daripada kuadratik. Galat hampira dapat diestimasi. Mudah diimplemetasika. Sagat efisie jika dipakai utuk mecari akar poliomial. Dapat dimodifikasi utuk medapatka laju kekovergea kuadratik ke akar gada. Kelemaha Pemiliha hampira awal mugki tidak dapat dilakuka secara sebarag. Laju kekovergea tidak dijami jika hampira tidak dekat ke akar. Metode NR mugki tidak koverge. Metode NR mugki koverge secara pela. Memerluka perhituga ilai fugsi da turuaya pada setiap iterasi. Pemiliha kriteria peghetia iterasi tidak jelas. Memerluka pegethua tetag derajad akar, yag belum tetu dapat diketahui di awal. Masalah-masalah yag mugki timbul pada pemakaia metode NR:. Kurva medekati sumbu- pada iterval yag cukup lebar di sekitar akar gada;. Akar merupaka titik ekstrim (maksimum/miimum lokal); 3. Hampira awal cukup jauh dari akar; 4. Akar kompleks; 5. Fugsiya mooto turu positif di sebalah kaa/kiri akar atau mooto aik egatif di sebelah kaa/kiri akar. Cotoh: f()=e-, =; 6. Iterasi berputar-putar 7. g'() >=, g()=-f()/f'() aka meyebabka ietrasiya majauh dari akar secara berputar-putar. Sara-sara Baik metode NR sebaikya tidak dipakai secara madiri. Hal ii dikareaka pemiliha hampira awal pada metode ii sagat berpegaruh terhadap kekovergeaya. Utuk mejami kekovergea metode NR dapat dipakai metode hibrida (metode campura), yaki:. Iterasi dimulai dega metode stabil (misalya metode Bagi Dua atau metode Posisi Palsu).. Setelah dekat ke akar diguaka metode NR utuk mempercepat iterasi da memperoleh hampira yag lebih akurat Oleh karea peelitia ii haya dibatasi pada fugsi-fugsi satu variabel, maka peelitia ii dapat diteruska ke fugsi-fugsi dua atau tiga variabel. Masalah ii lebih rumit daripada masalah pecaria akar fugsi satu variabel. Kajia metode NR pada fugsi-fugsi multivariabel merupaka tataga yag mearik utuk dikaji lebih lajut. Permasalaha lai yag mearik adalah aplikasi metode NR secara khusus utuk meghampiri akar-akar kompleks poliomial. M-93

16 Prosidig Semiar Nasioal hasil Peelitia MIPA da Pedidika MIPA UNY 3 DAFTAR PUSTAKA Atkiso, Kedal (993). Elemetar Numerical Aalysis. secod editio. Joh Wiley & Sos, Sigapore. Borse, G.J (997). Numerical Methods with MATLAB, A Resource for Scietiests ad Egieers. PWS Publishig Compay, Bosto. Cote, Samuel D. & Carl de Boor (98). Elemetary Numerical Aalysis, A Algorithmic Approach. 3 rd editio. McGraw-Hill Book Compay, Sigapore Gerald, Curtis F. & Patrick O. Wheatly (994). Applied Numerical Aalysis. 5 th editio. Addiso- Wisley Pub. Co., Sigapore Jacques, Ia & Coli Judd (987). Numerical Aalysis. Chapma ad Hall, New York. Mathews, Joh H (99). Numerical Methods for Mathematics, Sciece, ad Egieerig. secod editio. Pretice-Hall, Ic. Eglewood Cliffs, New York. Scheid, Fracis (989). Schaum's Outlie Series Theory ad Problems of Numerical Aalysis. /ed. McGraw-Hill Book Compay, Sigapore. Volkov, E. A (99). Numerical Methods. Hemisphere Publishig Compay, New York. LAMPIRAN A. Program Iterasi Newto Raphso fuctio hasil = rsym(f,,delta,n,tabel) % % rsym.m (Newto-Raphso) ditulis oleh Sahid (c) -3 % Iterasi Newto-Raphso utuk meghampiri akar persamaa f()= % f(_) % _{+} = _ , =,,,... % f'(_) % Cotoh-cotoh pemakaia: % rsym('^6--',,delta,epsilo,n,) % hasil = rsym('cos()',.,delta,n); % f='cos()'; rsym(f,,e-5,5); % syms ;f=ep()-si(); rsym(f,,e-5,5); % rsym('^*si(^)-ep()'); % Iput: % f : ekspresi atau variabel simbolik yag medefiisika f() % : hampira awal % delta : batas tolerasi kekovergea hampira r % N : maksimum iterasi % tabel : format tampila hasil (=pakai tab -> tabel pada MS Word), % (tidak dipakai = dalam betuk tabel) % Output: % hasil -> matriks peyimpa hasil-hasil iterasi, dega kolom: % : iterasi -> omor urut iterasi % : -> ilai-ilai hampira % 3: f -> ilai-ilai f() % 4: galat -> selisih dua hampira berturut-turut = _ - _{-} % 5: E_ -> galat hampira ke- % if argi== error('ada harus meuliska fugsiya!'); else if (isvarame(f)) % cek format masuka fugsi help rsym; % Tampilka petujuk jika masuka berupa ama fugsi! error('perhatika petujuk di atas!') % Program terheti! ed if argi<, =; delta=e-5; N=5; % Set ilai-ilai parameter M-94

17 Aalisis da Implemetasi Metode... (Sahid) else if argi<3, delta=e-5; N=5; % jika tidak diberika else if argi<4, N=5; ed;ed;ed;ed df=diff(f); % hitug fugsi turua ( f') y=subs(f,-);y=subs(f,+); ymi=-mi(5,mi(abs(y),abs(y))); yma=mi(5,ma(abs(y),abs(y))); ezplot(df,[-,+]);grid o;hold o % plot f'() dega garis putus-putus set(fidobj(gca,'type','lie','color',[ ]),'liestyle',':') ezplot(f,[-,+]); hold off; % plot f() dega garis mulus set(gca,'ylim',[ymi yma]) % set batas-batas y yag sesuai iterasi=; d=; f= subs(f,); % hitug f() hasil=[iterasi,,f,d]; for k=:n, df = subs(df,); % hitug ilai f'() if df==, % iterasi harus dihetika jika f'()= if k>5, disp(umstr(hasil(k-5:k,:),7)); else disp(umstr(hasil,8));ed error(['stop, bertemu garis siggug medatar di = ',umstr(),'!']); else d = f/df; ed = - d; % hampira berikutya, f = subs(f,); % hitug f() err = abs(d); % beda dega hampira sebelumya relerr = err/(abs()+eps); % hampira galat relatif hasil=[hasil;[k,,f,d]]; % simpa hasilya =; iterasi=k; if ((err<delta relerr<delta) & abs(f)<delta) f==, % iterasi koverge -> tambahka kolom r-_ disp('iterasi koverge dega hasil sebagai berikut:'); r=hasil(iterasi+,); % akar yag diperoleh if (argi==6 & tabel==), % tampilka hasil dega pemisah kolom TAB hasil=spritf('%d\t%.5g\t%.5g\t%.5g\t%.5g\',hasil'); else disp(umstr(hasil,8)); % atau tampilka hasil dega format tabel ed break else if iterasi==n, disp('iterasi mugki tidak koverge!'), disp('berikut adalah hasil 6 iterasi terakhir:'), disp(umstr(hasil(iterasi-4:iterasi+,:),8)); error('cobalah ulagi, dega meambah maksimum iterasi! ') ed ed ed B. Program Iterasi Newto Termodifikasi utuk Akar Gada fuctio hasil = mrsym(f,m,,delta,n,tabel) % % mrsym.m (Modified Newto-Raphso) ditulis oleh Sahid (c) -3 % Iterasi Newto-Raphso termodifikasi utuk akar berderajad m dari f()= % m*f(_) % _{+} = _ , =,,,... % f'(_) % Cotoh-cotoh pemakaia: % mrsym('(-)^3*(3*+)',3,,delta,epsilo,n,) M-95

18 Prosidig Semiar Nasioal hasil Peelitia MIPA da Pedidika MIPA UNY 3 % hasil = mrsym('cos()',,.,delta,n); % f='cos()'; mrsym(f,,,e-5,5); % syms ;f=(-)*(ep(-)-); mrsym(f,,,e-5,5); % mrsym('^-4*+4',); % Iput: % f : ekspresi atau variabel simbolik yag medefiisika f() % m : derajad akar yag dicari % : hampira awal % delta : batas tolerasi kekovergea hampira r % N : maksimum iterasi % tabel : format tampila hasil (=pakai tab -> tabel pada MS Word), % (tidak dipakai = dalam betuk tabel) % Output: % hasil -> matriks peyimpa hasil-hasil iterasi, dega kolom: % : iterasi -> omor urut iterasi % : -> ilai-ilai hampira % 3: f -> ilai-ilai f() % 4: galat -> selisih dua hampira berturut-turut = _ - _{-} % 5: E_ -> galat hampira ke- % if argi<= error('ada harus meuliska fugsi da derajad akarya!'); else if (isvarame(f)) % cek format masuka fugsi help rsym; % Tampilka petujuk jika masuka berupa ama fugsi! error('perhatika petujuk di atas!') % Program terheti! ed if m<= fi(m)~=m error('salah meuliska derajad akar!'); ed if argi<3, =; delta=e-5; N=5; % Set ilai-ilai parameter else if argi<4, delta=e-5; N=5; % jika tidak diberika else if argi<5, N=5; ed;ed;ed;ed df=diff(f); % hitug fugsi turua ( f') y=subs(f,-);y=subs(f,+); ymi=-mi(5,mi(abs(y),abs(y))); yma=mi(5,ma(abs(y),abs(y))); ezplot(df,[-,+]);grid o;hold o % plot f'() dega garis putus-putus set(fidobj(gca,'type','lie','color',[ ]),'liestyle',':') ezplot(f,[-,+]); hold off; % plot f() dega garis mulus set(gca,'ylim',[ymi yma]) % set batas-batas y yag sesuai iterasi=; d=; f= subs(f,); % hitug f() hasil=[iterasi,,f,d]; for k=:n, df = subs(df,); % hitug ilai f'() if df==, % iterasi harus dihetika jika f'()= if k>5, disp(umstr(hasil(k-5:k,:),7)); else disp(umstr(hasil,8));ed error(['stop, bertemu garis siggug medatar di = ',umstr(),'!']); else d = m*f/df; ed = - d; % hampira berikutya, f = subs(f,); % hitug f() err = abs(d); % beda dega hampira sebelumya relerr = err/(abs()+eps); % hampira galat relatif hasil=[hasil;[k,,f,d]]; % simpa hasilya =; iterasi=k; if ((err<delta relerr<delta)& abs(f)<delta) f==, M-96

19 Aalisis da Implemetasi Metode... (Sahid) % iterasi koverge -> tambahka kolom r-_ disp('iterasi koverge dega hasil sebagai berikut:'); r=hasil(iterasi+,); % akar yag diperoleh hasil(:,5)=r-hasil(:,); % kolom galat hampira if (argi==6 & tabel==), % tampilka hasil dega pemisah kolom TAB hasil=spritf('%d\t%.5g\t%.5g\t%.5g\t%.5g\',hasil'); else disp(umstr(hasil,8)); % atau tampilka hasil dega format tabel ed break else if iterasi==n, disp('iterasi mugki tidak koverge!'), disp('berikut adalah hasil 6 iterasi terakhir:'), disp(umstr(hasil(iterasi-4:iterasi+,:),8)); error('cobalah ulagi, dega meambah maksimum iterasi! ') ed ed ed M-97