BAB I TAUTOLOGI DAN PRINSIP-PRINSIP PEMBUKTIAN

Transkripsi

1 BAB I TAUTOLOGI DAN PRINSIP-PRINSIP PEMBUKTIAN Pada bab ini akan dibicarakan rumus-rumus tautologi dan prinsip-prinsip pembuktian yang tidak saja digunakan di bidang matematika, tetapi juga dapat diterapkan dalam bidang lain, khususnya untuk mempertajam daya nalar. 1 Tautologi Di dalam logika kalimat semesta pembicaraannya adalah himpunan fakta-fakta (peristiwa, situasi) yang merupakan unsur-unsur di luar bahasa, Agar kita dapat membicarakan suatu peristiwa (fakta) tertentu dari semestanya kita memerlukan suatu lambang. Lambang ini disebut kalimat konstan/konstanta yang ditulis dengan,, dan sebagainya. Contoh 1.1 Jika Tono mahasiswa dengan IPK 3,5 mempunyai simbol dan Tono berasal dari luar Jawa mempunyai simbol., maka kalimat, 1. Tono mahasiswa dengan IPK 3,5 dan berasal dari luar Jawa mempunyai simbol. Jika Tono berasal dari luar kota, maka Tono mahasiswa dengan IPK 3,5 mempunyai simbol. Dalam hal ini simbol,, dan merupakan konstanta kalimat atau kalimat konstan. Definisi 1.2 Simbol yang melambangkan sebarang fakta (peristiwa) disebut variabel) kalimat, yang ditulis dengan dan sebagainya. Contoh 1.3 Misalkan diberikan bentuk-bentuk. 1.. Masing-masing rangkaian tanda merupakan bentuk kalimat (statement form); dan jika variabel diganti dengan kalimat-kalimat konstan akan berubah menjadi suatu pernyataan. Sebagai contoh pada kalimat ke-1,

2 1. Jika disubstitusi dengan kalimat: Kuadrat bilangan real selalu non negatif disubstitusi dengan kalimat Ada bilangan asli yang lebih kecil daripada 1. Maka diperoleh pernyataan: Kuadrat bilangan awal selalu negatif dan ada bilangan asli yang lebih kecil daripada 1, yang bernilai salah. Jika disubstitusi dengan kalimat, Kuadrat bilangan real selalu non negatif disubstitusi dengan kalimat Tidak ada bilangan yang lebih kecil daripada 1. Maka diperoleh pernyataan: Kuadrat bilangan real selalu non negatif dan tidak ada bilangan asli yang lebih kecil daripada 1, yang bernilai benar. Contoh 1.4 Bentuk-bentuk yang memuat variabel kalimat dan yang menyajikan hukum-hukum logika kalimat disebut tautologi. Di dalam tautologi setiap penggantian dari semua variabel di dalamnya dengan konstanta-konstanta kalimat akan menghasilkan suatu pernyataan yang bernilai benar. Tentu saja dalm penggantian, untuk masing-masing variabel (simbol) yang sama harus digantikan dengan konstanta kalimat yang sama. Untuk melihat apakah suatu bentuk kalimat merupakan suatu tautologi atau bukan dapat dilakukan dengan membuat tabel nilai kebenaran dari bentuk tersebut dengan mendaftar semua kemungkinan (kombinasi dan ) dari setiap nilai kebenaran variabelnya. Contoh Diberikan bentuk-bentuk, Pada bentuk ke-1, apapun kalimat konstan yang menggantikan akan menghasilkan pernyataan yang bernilai benar. Demikian juga pada kalimat ke- hal ini dapat dilihat pada halaman... T F F T T T

3 Bentuk-bentuk kalimat yang memuat variabel kalimat yang selalu bernilai salah untuk setiap penggantian variabel kalimat dengan konstanta kalimat disebut kontradiksi. Sebagai contoh bentuk,, selalu bernilai salah untuk apapun sesuai tabel T F F T F F Ingkaran dari tautologi akan merupakan kontradiksi, sebab tautologi selalu bernilai benar untuk setiap penggantian variabel kalimatnya, sehingga ingkarannya akan selalu bernilai salah. Selanjutnya, untuk membuktikan suatu bentuk kalimat merupakan tautologi selain menggunakan tabel kebenaran dapat juga dilakukan dari luar tabel denga mengamati hasil dari tabel. Sebagai contoh akan dibuktikan. 1. dan Penyelesaian: 1. Bentuk ini merupakan implikasi, sehingga akan bernilai benar jika anteseden bernilai salah atau konsekuen benar. Satu-satunya kemungkinan yang dapat membuat kalimat bernilai salah adalah anteseden yaitu bernilai benar. Tetapi jika bernilai benar, maka sesuai nilai kebenaran dari disjungsi, bentuk pasti bernilai benar apapun. Akhirnya juga bernilai benar. Bentuk kalimat ini merupakan biimplikasi, sehingga akan bernilai salah hanya jika keduanya mempunyai nilai kebenaran yang berbeda. Karena dan merupakan variabel kalimat, maka hanya cukup dibuktikan salah satu sisi saja. Misalkan sisi sebelah kiri bernilai benar, maka bernilai salah atau bernilai benar. Jika bernilai salah, maka apapun, implikasi pasti bernilai benar, sehingga,

4 pasti bernilai benar. Sedangkan jika bernilai benar, maka bernilai salah atau bernilai benar, sehingga bentuk, pasti benar. Latihan 1 1. Tunjukkan dengan tabel kebenaran bentuk-bentuk kalimat berikut ini apakah merupakan kalimat terbuka, tautologi atau kalimat yang selalu bernilai salah: q Tanpa menggunakan pengisian tabel pembuktian, bentuk-bentuk berikut merupakan tautologi Rumus-rumus tautologi Di bawah ini diberikan rumus-rumus tautologi. Semua rumus dapat dibuktikan dengan menggunakan metode tabel nilai. Rumus 1 (Komutatif) 1. Rumus 2 (Distributif) 1. Rumus

5 Rumus Rumus 5 (Asosiatif) 1. Rumus 6 (Identitas, negasi rangkap dan idempoten) Dua rumus berikut ini sudah dibicarakan di dalam Bab I. Rumus 7 (Hukum De Morgan) 1. Rumus 8 1. Rumus ( 4. Rumus 10 disjungsi. Hubungan implikasi dan biimplikasi dengan negasi, konjungsi dan ( 4. Rumus (sifat transitif)

6 Rumus Rumus-rumus di atas dapat dijadikan dasar untuk membuktikan tautologi-tautologi bentuk lanjutan tanpa menggunakan pengisian tabel kebenaran. Sebagai contoh akan dibuktikan: Bukti: &'()(!"! #$$$%! #$$%!"! #$$$% Suatu tautologi juga dapat dibuktikan dengan cara membawa bentuk kalimat yang akan dibuktikan ekuipolen ke nilai benar (T) dengan menggunakan rumus-rumus dasar. Contoh 1 Bukti : Buktikan bahwa merupakan tautologi.!"! #$$$% *+,-./.+ #$$$$$% #$$% 0! #$$% 1! #$$% 1! #$$%

7 Latihan 2 Buktikan, bahwa Rumus di atas merupakan tautologi dengan menggunakan pengisian tabel. Jika mungkin buktikan juga tanpa menggunakan pengisian tabel. 3 Metode Pembuktian Di dalam bidang matematika ada tiga hukum penting tautologi yang digunakan sebagai metode pembuktian yaitu: 1. Modus Ponens Hukum Kontraposisi 3. Reductio ad absurdum Modus ponens termasuk dalam bukti secara langsung. Sedangkan kontraposisi dan reductio ad absurdum dipandang sebagai bukti tidak langsung. Pembuktian suatu teori lebih diutamakan menggunakan bukti secara langsung. 3.1 Modus Ponens Rumus 13 Hukum ini dapat disajikan dengan skema sebagai berikut Jika implikasi 2 35merupakan fakta (hukum) yang benar dan fakta 25terjadi, maka dapat disimpulkan fakta 35 pasti terjadi. Contoh 3.1 Buktikan bahwa salah satu titik potong grafik fungsi denganpersamaan :9 0 ;:9 ;< terhadap sumbu = berada di interval ><(?. Penyelesaian: Di dalam kalkulus berlaku sifat (implikasi) jika 8 kontinyu pada interval >@A?, dan berlaku 8@ dan 8A berbeda tanda, maka dapat ditemukan BC>@A?yang memenuhi 8B7D. Jadi implikasi ini bernilai benar. Fungsi :9 0 ;:9 ;< kontinyu pada ><(? dan 8 ED serta 8B(FD Jadi anteseden implikasi terjadi, maka apat disimpulkan terdapat 9 " C><(? yang berakibat 89 " 7:9 " ;<7D

8 Jadi satu titik potong grafik fungsi 8 terhadap sumbu = berada di interval ><(?. 3.2 Hukum Kontraposisi Seringkali kita mengalami kesulitan untuk membuktikan bahwa peristiwa G terjadi dari diketahuinya fakta 4. Untuk itu kita bisa menggunakan hukum kontraposisi. Rumus 1.4 Dengan kata lain, jika dari fakta G dapat dipastikan terjadinya 4, maka dapat ditarik kesimpulan, bahwa dengan berlakunya fakta 4 dapat dipastikan G terjadi. Sebaliknya jika implikasi 4 G merupakan fakta yang benar, maka dapat diketahuinya G terjadi, dapat ditarik kesimpulan 4 pasti terjadi, seperti skema berikut ini. 2 3 G 4 Contoh 3.2 Buktikan, bahwa jika <H;< + ID, maka J genap. Penyelesaian: Ingkaran Jgenap adalah J ganjil. akibatnya ;< + 7;< Sehingga <H;< + 7D yang merupakan ingkaran dari <H;< + ID kontraposisinya dapat dibuktikan, sehingga kalimat aslinya secara tidak langsung juga terbukti. jadi 3.3 Reductio ad absurdum Misalkan kita akan membuktikan pernyataan 4, yaitu 4. Dari pengandaian tersebut dengan penalaran yang sahih diturunkan suatu kontradiksi. Hal ini hanya mungkin terjadi kalau terjadi kesalahan pada pengandaian, sehingga pengandaian harus diingkar, yaitu 4. K Berikut ini disajikan rumus-rumus tautologi yang merupakan bentuk-bentuk reductio ad absurdum: Rumus 15 LK MMKL Misalkan akan dibuktikan pernyataan 4. Diandalkan 4. Jika dari kalimat 4 dapat diturunkan GG, maka dapat disimpulkan 4 terjadi. 4 GG 2 Benar : Tautologi

9 4 GG Diturunkan dari 4 2 T : Modus Ponens Contoh 3.3 Buktikan, bahwa N( bilangan irrasional. Bukti : Yang akan dibuktikan pernyataan OPN( bilangan irrasional. Diandaikan O berlaku, dengan kata lain N( bilangan rasional. Di Qberlaku sifat untuk setiap bilangan rasional dapat dinyatakan dengan 7 R +, Dengan S dan J bilangan bulat, J ID dansj yaitu faktor persekutuan terbesar dari S dan J sama dengan 1. N( bilangan rasional, maka N(7 R, untuk suatu bilangan bulat S + dan J dengan J ID dan SJ7< (Modus ponens), sehingga (J 7N(J 7S 7SS Sesuai modus ponens dapat disimpulkan S 7(B, dengan c bilangan bulat. Akibatnya (J 7(B(B dan sesuai sifat konselasi berlaku JJ7J 7(B, sama dengan J 7(T untuk suatu bilangan bulat T Akibatnya SJU( kontradiksi SJ7< dan SJU( Yang benar OPN( bilangan irrasional. Rumus 16 Untuk membuktikan 4, terlebih dahilu diandaikan 4. Jika dari pengandaian 2K dapat diturunkan 4, maka terjadi kontradiksi antara 4 (dari pengandaian) dengan 4 (hasil penurunan dari asumsi). Akibatnya pengandaian harus diingkar dan terbukti 4, yaitu Benar : Tautologi Diturunkan dari 4 2 T : Modus Ponens Contoh 3.4 Di dalam himpunan semua bilangan bulat notasi 9! 9 V9 + adalah simbol faktor persekutuan terbesar dari 9! 9 V9 +, buktikan, Bahwa, 9676W79W7<96W7<

10 Bukti : Andaikan 96WF< Karena 96W faktor persekutuan 9, 6 dan W, maka 96WX9 Y dan 96W6, sehingga 96WZ96. Akibatnya <E96 dan terjadi kontradiksi dengan 967< Y Y Ỵ Contoh 3.5 Di dalam semesta himpunan semua bilangan berlaku sifat jika W bilangan prima dan WX@A dan A keduanya bulat, maka WX@ atau WXA Bukti : Andaikan W[A, Karena WXAA +\!Y maka sesuai sifat bilangan prima WXA atau WXA +\!Y Oleh karena W[A, maka WXA +\!Y dan A +\! 7AA +\ Jadi WXA +\!Y WXA +\0Y dan seterusnya. Pada akhirnya WXA, sehingga dapat disimpulkan WXA Rumus 1.7 Misalkan kita akan membuktikan implikasi 4 G. Ingkaran 4 G adalah 4G sehingga dari ingkaran tersebut dapat ditarik kesimpulan G terjadi. Jika dapat dibuktikan G, maka terjadi kontradiksi, 4 GG 4 G T : Tautologi 4 GG T : G Diturunkan dari 4G 23 T : Modus Ponens Contoh 3.6 Denagn semesta pembicaraan himpunan semua bilangan real, buktikan bahwa jika untuk setiap C U 0 maka a Z b. Bukti : Misalkan, 2 : Untuk setiap ` U 0 berlaku a Z b + C, dan 3 : a Z b, Sehingga yang akan dibuktikan adalah implikasi 2 3, diandaikan 4 G berlaku. Jadi 4G terjadi, yaitu untuk setiap C U 0 memenuhi a Z b + Ctetapi FaAkibatnyabaFD Dipilih C yang sama dengan.\c, maka C > 0 (

11 Akibatnya ZA, yaitu terbukti G. Sesuai tautologi terbuktilah 2 3. Rumus 18 Misalkan kita akan membuktikan implikasi 2 3. Ingkaran 2 3 adalah 2 G, sehingga dari ingkaran tersebut dapat ditarik kesimpulan 25 terjadi. Jika dapat dibuktikan 4, maka terjadi kontradiksi, sehingga 2 G harus diingkar dan terjadilah G4 4 G T : Tautologi 4 G4 T : 4 Diturunkan dari 4G 23 T : Modus Ponens Contoh 3.7 Buktikan bahwa dan A positif bilangan real positif, maka, Penyeleseaian 1. Bukti secara posisitf : dan A positif, A positif, U@HA ;@;A U d@a! U U H(@AHA ;@ ;(@AHA Bukti tidak langsung : Misalkan 2 :@ dan A positif, dan G UN@A Berarti yang harus dibuktikan adalah 235Diandaikan ingkaran 235yaitu 23 terjadi, dan A positif, EN@A. Akibatnya! H(@AHA 7! E@A, H(@AHA Ed@A 7@ ;(@AHA ED

12 yang kompleks atau A kompleks, yaitu ingkaran dan A real positif, sehingga terbukti 235 Rumus 19 Dari tautologi ini dapat ditarik kesimpulan, bahwa dari sesuatu yang salah pernyataan apapun dapat dibuktikan (Ex falso sequitur quod libet). Hal ini berakibat, di bidang matematika jika terjadi suatu kontradiksi 2 dan 4, maka pernyataan matematika sebarang 3 (berbentuk rumus, teorema, hukum dan sebagainya) dapat dibuktikan bernilai benar. 4 4 G T : Tautologi 4 T : karena ketentuan T : Modus Ponens T : karena ketentuan T : Modus Ponens Latihan 3 1. Buktikan, bahwa bentuk-bentuk berikut merupakan tautologi, jika mungkin tanpa menggunakan tabel Modus toilendo ponens ff 1.5. Buktikan secara langsung maupun dengan reductio ad absurdum, bahwa banyaknya bilangan-bilangan prima tak terhingga. 3. Buktikan bahwa jika! <H;< + ganjil maka J genap. 4. Buktikan bahwa jika bilangan prima, maka g merupakan irrasional. 5. Diketahui segitiga sama sisi h dengan panjang sisi 1 terletak pada bujur sangkar Oi', yaitu terletak pada Oi dan h pada i'. Buktikan bahwa luas segitiga ih sama dengan jumlah luas segitiga O dan 'h. 6. Buktikan dengan reductio ad absurdum, bahwa akar-akar persamaan, 9 + H@! 9 +\! HjH@ +\! 9H@ + 7D

13 bernilai bulat atau irrasional. 7. Tunjukkan, bahwa di dalam himpunan semua bilangan bulat pernyataanpernyataan berikut ekuivalen W7< < 9W7< W79W7< 3. kl7< 8. Dengan menggunakan pengetahuan di mata kuliah kalkulus, buktikan bahwa perpotongan grafik fungsi dengan persamaan 6 7:9 0 ;:9 ;< terhadap sumbu = hanya ada tepat satu titik. 9. Buktikan secara langsung maupun dengan reductio ad absurdum, bahwa jika J bulat dan J habis dibagi 2, maka J juga habis dibagi 10. Misalkan m, dengan n 7<VJ adalah pernyataan-pernyataan. Tunjukkan, bahwa untuk membuktikan j@ 11. Diberikan 80 koin mata uang, terdiri dari 79 koin asli dengan bobot sama dan 1 koin palsu dengan bobot lebih berat, Dengan menggunakan timbangan berlengan sama, tentukan jumlah minimal banyaknya penimbangan dan bagaimana cara menimbangnya agar akhirnya diketahui koin yang palsu. 1 Lima buah kartu yaitu: A, B, C, D, E akan diberi nomor dari 0, 1, 2, 3 atau 4 tanpa ada yang sama dan dimulai dari kartu paling kiri, A. Misalnya A diberi nomor o. kemudian kartu paling kanan diletakkan di sebelah kiri kartu paling kiri, berturutturut E, D, dan seterusnya sampai sebanyak d;o kartu. Kemudian kartu paling kiri diberi nomor ], yaitu satu diantara 0, 1, 2, 3, 4 selain o; selanjutnya secara berturutan dari kartu paling kanan, d;] kartu dipindahkanke sebelah kiri kartu yang paling kiri. Jika proses dilanjutkan dengan cara tersebut tunjukkan, bahwa langkah penomoran akan gagal. belum lengkap hal buku 24