Pertemuan 3 METODE PEMBUKTIAN

Ukuran: px

Mulai penontonan dengan halaman:

Download "Pertemuan 3 METODE PEMBUKTIAN"

Veronika Johan
6 tahun lalu
Tontonan:

1 Pertemuan 3 METODE PEMBUKTIAN

2 Metode Pembuktian Petunjuk umum dalam pembuktian Langkah-langkah untuk melakukan pembuktian adalah sebagai berikut: 1. Tulislah teorema yang akan dibuktikan 2. Tandailah permulaan pembuktian dengan kata-kata BUKTI 3. Buktikanlah secara lengkap dan menyeluruh Beberapa keterangan pelengkap antara lain: a. Tulislah variabel (dan tipenya) yang akan digunakan b. Apabila di tengah-tengah pembuktian ada sifat suatu variabel yang akan digunakan, tuliskanlah sifat tersebut dengan lengkap dan jelas c. Apabila menggunakan sifat-sifat tertentu seperti distributif, komutatif, dan sebagainya dalam suatu persamaan, tuliskanlah di sebelah kanannya d. Misalkan di tengah-tengah pembuktian dijumpai suatu ekspresi yang panjang untuk menyingkatnya boleh menggunakan variabel lain dengan member keterangan 4. Tandailah akhir pembuktian

3 Metode Pembuktian Langsung Contoh (Metode Pengecekan Satu per Satu): Buktikan bahwa untuk semua bilangan genap n besar sama 4 dan kecil sama 30, n dapat dinyatakan sebagai jumlahan 2 bilangan prima. Penyelesaian: Dengan pengecekan satu per satu, maka: 4=2+2 6=3+3 8=3+5 10=5+5 12=5+7 14= = = = = = = = =11+19 Terlihat bahwa semua bilangan genap 4 n 30 dapat dinyatakan sebagai jumlahan 2 bilangan prima

4 Contoh (Jika jumlahnya tak hingga): Buktikan bahwa jumlah 2 bilangan genap adalah genap Penyelesaian: Ambil sembarang 2 bilangan genap, misal m dan n. Akan dibuktikan bahwa (m+n) juga bilangan genap. Oleh karena m dan n adalah bilangan-bilangan genap, maka m=2r dan n=2s untuk bilangan-bilangan bulat r dan s sehingga m+n = 2r + 2s = 2 (r+s) (sifat distributif) Misal k = r+s Oleh karena r dan s adalah bilangan-bilangan bulat, amak k adalah bilangan bulat juga sehingga m+n = 2k untuk suatu bilangan bulat k. Menurut definisi bilangan genap, (m+n) adalah bilangan genap karena merupakan hasil kali 2 bilangan bulat.

5 Contoh (Pembuktian berdasarkan kasus-kasus): Untuk sembarang bilangan riil x, buktikan bahwa jika x >4, maka x 2 > 16. Bukti: Misal x adalah bilangan riil yang memenuhi x > 4. Akan dibuktikan bahwa x 2 > 16 x > 4 berarti bahwa x > 4 atau x < -4. Jika x > 4, maka x 2 > 4 2 = 16 Jika x < -4 berarti -x > 4, sehingga (-x) 2 > 4 2 atau x 2 > 16. Jadi, baik x > 4 maupun x < -4, x 2 > 16. Terbukti bahwa jika x > 4, maka x 2 > 16.

6 Metode Pembuktian Tak Langsung 1. Pembuktian dengan kontradiksi Langkah-langkah yang dilakukan dalam pembuktian dengan kontradiksi adalah sebagai berikut: a. Misalkan negasi dari pernyataan yang akan dibuktikan benar b. Dengan langkah-langkah yang benar, tunjukkanlah bahwa pada akhirnya pemisalan tersebut akan sampai pada suatu kontradiksi c. Simpulkan bahwa pernyataan yang akan dibuktikan benar Contoh: Buktikan bahwa tidak ada bilangan bulat yang terbesar Bukti: Misalkan negasi dari pernyataan tersebut benar. Jadi, diandaikan ada bilangan bulat yang terbesar (sebutlah N). Oleh karena N terbesar, maka N n untuk semua bilangan bulat n. Ambillah M = N + 1. Oleh karena N adalah bilangan bulat, maka M juga bilangan bulat. Disamping itu, jelaslah bahwa N < M (karena M = N+1). Didapatkan: N n untuk semua bilangan bulat n (pengandaian) N < M untuk bilangan bulat M (karena M = N+1) Keduanya kontradiksi. Berarti penandaian salah sehingga pernyataan mula-mula yang benar. Terbukti bahwa tidak ada bilangan bulat yang terbesar.

7 2. Pembuktian dengan kontraposisi Contoh: Buktikan bahwa untuk bilangan-bilangan bulat m dan n: Jika m + n 73, maka m 37 atau n 37 Bukti: Jika p adalah pernyataan m + n 73 q adalah pernyataan m 37 r adalah pernyataan n 37 maka dalam symbol, kalimat di atas dapat dinyatakan sebagai p q r kontraposisinya adalah q r p atau q r p dengan demikian, untuk membuktikan pernyataan mula-mula, cukup dibuktikan kebenaran pernyataan jika m < 37 dan n < 37, maka m+n<73. Ambil 2 bilangan bulat m dan n dengan sifat m < 37 dan n <37 m < 37 berarti m 36 dan n < 37 berarti n 36 sehingga m + n m + n 72 m + n < 73 Terbukti bahwa jika m < 37 dan n < 37, maka (m+n) <73 Dengan terbuktinya kontraposisi, maka terbukti pulalah kebenaran pernyataan mula-mula, yaitu: Jika m + n 73, maka m 37 atau n 37

dokumen-dokumen yang mirip

1 INDUKSI MATEMATIKA

1 INDUKSI MATEMATIKA Induksi Matematis Induksi matematis merupakan teknik pembuktian yang baku di dalam matematika. Melalui induksi matematis maka dapat mengurangi langkah-langkah pembuktian bahwa semua