HIMPUNAN MATEMATIKA. Program Studi Agroteknologi Universitas Gunadarma

Transkripsi

1 HIMPUNAN MATEMATIKA Program Studi Agroteknologi Universitas Gunadarma

2 Ruang Lingkup Pengertian Himpunan Notasi Himpunan Cara menyatakan Himpunan Macam Himpunan Diagram Venn Operasi Himpunan dan Sifat-sifatnya

3 Pengertian Himpunan Himpunan : Suatu kumpulan atau gugusan dari sejumlah obyek. Secara umum himpunan dilambangkan A, B, C,... Z Obyek dilambangkan a, b, c,... z Notasi : - p A p anggota A - A B A himpunan bagian dari B - A = B himpunan A sama dengan B - = ingkaran

4 Penyajian Himpunan Penyajian Himpunan cara daftar A = {1,2,3,4,5} berarti: himpunan A beranggotakan bilanganbilangan bulat positif 1,2,3,4, dan 5. cara kaidah A = {x; 0 < x < 6} berarti: himpunan A beranggotakan obyek x, dimana x adalah bilangan-bilangan bulat positif yang lebih besar dari nol tetapi lebih kecil dari enam.

5 Himpunan semesta (universal set) Notasi: U atau S Untuk membatasi himpunan yang dibicarakan Setiap himpunan yang dibicarakan selalu ada dalam himpunan semesta Contoh: Misalkan U = {1, 2, 3, 4, 5} A dan B adalah himpunan bagian dari U, dengan A = {1, 3, 5} dan B = {2, 3, 4}

6 Himpunan Bagian (Subset) Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen dari B. Diagram Venn: U A B NOTASI : himpunanbagian Superset, sumber himpunan himpunanbagian sejati

7 P A B C D E 1,2,3,5 3,1 1 1,2 F 1,2,3 1,3,5,2 A P P A B A E P D B F A

8 Himpunan kosong (null set) Himpunan dengan kardinal = 0 disebut himpunan kosong (null set). Notasi : atau {{ }} Contoh (i) Himpunan bilangan genap yang ganjil (ii) E = { x x < x }, maka n(e) = 0 (iii) P = { orang Indonesia yang pernah ke bulan }, maka n(p) = 0 (iv) A = {x x adalah akar persamaan kuadrat x = 0 }, n(a) = 0 Himpunan {{ }} dapat juga ditulis sebagai { } Himpunan {{ }, {{ }}} dapat juga ditulis sebagai {, { }} { } bukan himpunan kosong karena ia memuat satu elemen yaitu himpunan kosong.

9 Operasi Himpunan Irisan (Intersection) A B = {x; x Є A dan x Є B} Gabungan (Union) A U B = {x; x Є A atau x Є B} Selisih A - B = A B {x; x Є A tetapi x Є B} Pelengkap (Complement) Ā = {x; x Є U tetapi x Є A} = U A Beda setangkup (symmetric difference)

10 Diagram Venn Contoh Misalkan U = {1, 2,, 7, 8}, A = {1, 2, 3, 5} dan B = {2, 5, 6, 8}. Diagram Venn: U A B

11 Diagram Venn Gabungan ( A U B ) Irisan

12 Lanjutan... Selisih ( A B = A B ) Pelengkap / complement ( Ā )

13

14 Operasi Terhadap Himpunan 1. Irisan (intersection) Notasi : A B = { x x A dan x B } Contoh (i) Jika A = {2, 4, 6, 8, 10} dan B = {4, 10, 14, 18}, maka A B = {4, 10} (ii) Jika A = { 3, 5, 9 } dan B = { -2, 6 }, maka A B =. Artinya: A // B

15 2. Gabungan (union) Notasi : A B = { x x A atau x B } Contoh (i) Jika A = { 2, 5, 8 } dan B = { 7, 5, 22 }, maka A B = { 2, 5, 7, 8, 22 } (ii) A = A

16 3. Komplemen (complement) Notasi : A = { x x U, x A } Contoh Misalkan U = { 1, 2, 3,..., 9 }, (i) jika A = {1, 3, 7, 9}, maka A = {2, 4, 6, 8} (ii) jika A = { x x/2 P, x < 9 }, maka A= { 1, 3, 5, 7, 9 }

17 4. Selisih (difference) Selisih antara dua buah himpunan dinotasikan oleh tanda. Misalkan A dan B adalah himpunan, maka selisih A dan B dinotasikan oleh A B = { x x A dan x B } = A B Jika A = { 1, 2, 3,..., 10 } dan B = { 2, 3, 5, 7}, maka A B = { 1, 4, 6, 8, 9 } dan B A =

18 5. Beda setangkup (symmetric difference) Beda setangkup antara dua buah himpunan dinotasikan oleh tanda. Misalkan A dan B adalah himpunan, maka A B = (A B) (A B) = (A B) (B A) Jika A = { 2, 3, 5, 7} dan B = { 1, 2, 3, 4, 5 }, maka A B = { 1, 4, 7 } Beda setangkup memenuhi sifat-sifat berikut: (a) A B = B A (hukum komutatif) (b) (A B ) C = A (B C ) (hukum asosiatif)

19 Hukum Aljabar Himpunan Kaidah Idempoten a. A U A = A b. A A = A Kaidah Asosiatif a. ( A U B ) U C = A U ( B U C ) b. ( A B ) C = A ( B C ) Kaidah Komutatif a. A U B = B U A b. A B = B A Kaidah Distributif a. A U ( B C ) = ( A U B ) ( A U C ) b. A ( B U C ) = ( A B ) U ( A C )

20 Lanjutan... Kaidah Identitas a. A U Ø = A b. A Ø = Ø c. A U U = U d. A U = A Kaidah Kelengkapan a. A U Ā = U b. A Ā= Ø c. ( Ā ) = A d. U = Ø Ø = U Kaidah De Morgan a. (A U B)= A B b. (A B) = A U B

21 PEMBUKTIAN KESAMAAN 2 HIMPUNAN 1. Pembuktian dengan menggunakan diagram Venn Contoh 22. Misalkan A, B, dan C adalah himpunan. Buktikan bahwa A (B C) = (A B) (A C) dengan diagram Venn. Bukti: A (B C) (A B) (A C) Kedua digaram Venn memberikan area arsiran yang sama. Terbukti bahwa A (B C) = (A B) (A C).

22 LANJUTAN Pembuktian dengan menggunakan aljabar himpunan. Contoh Misalkan A dan B himpunan. Buktikan bahwa (A B) (A B) = A Bukti: (A B) (A B) = A (B B) (Hukum distributif) = A U (Hukum komplemen) = A (Hukum identitas)

23 LANJUTAN... Contoh Misalkan A dan B himpunan. Buktikan bahwa A (B A) = A B Bukti: A (B A) = A (B A) (Definisi operasi selisih) = (A B) (A A) (Hukum distributif) = (A B) U (Hukum komplemen) = A B (Hukum identitas)

24 Latihan 1) Gambarkan sebuah diagram venn untuk menunjukkan himpunan universal U dan himpunan-himpunan bagian A serta B jika : U = {1,2,3,4,5,6,7,8 } A = {2,3,5,7} B = {1,3,4,7,8 } Kemudian selesaikan : (a) A B (c) A B (e) Ā B (g) A B (b) B A (d) A U B (f) Ā U B

25 Latihan 2. Buktikan bahwa untuk sembarang himpunan A dan B, bahwa (i) A ( A B) = A B dan (ii) A ( A B) = A B

26 3. S P Q R Sebutkan seluruh anggota himpunan di bawah ini: S= Q= R = P Q P R P Q R R Q P P Q R P Q R P Q R

27 FINISH