BAB 6 LOGIKA MATEMATIKA

Transkripsi

1 A 6 LOGIKA MATEMATIKA A RINGKAAN MATERI 1. Pengertian Logika adalah suatu metode yang diciptakan untuk meneliti ketepatan penalaran (bentuk pemikiran yang masuk akal). Pernyataan adalah kalimat yang hanya benar saja atau salah saja, tetapi tidak sekaligus benar dan salah. Kalimat terbuka adalah kalimat yang memuat peubah (variabel, sehingga belum dapat ditentukan benar atau salahnya). 2. Lima Penghubung Matematika Negasi (ingkaran) Notasi : ~ p Konjungsi (dan) Notasi : Disjungsi (atau) Notasi : Implikasi (jika, maka ) Notasi : iimplikasi ( jika dan hanya jika ) Notasi :. Tabel kebenarannya p q ~p p q P q 4. Konvers, Invers, Kontrapositif Implikasi Konvers q p Invers ~p ~q Kontraposisi ~q ~p 5. Tautologi dan Pernyataan Ekuivalen Tautologi adalah pernyataan majemuk yang selalu benar untuk semua kemungkinan nilai kebenaran. Implikasi logis adalah tautologi yang memuat pernyataan implikasi. Kontradiksi adalah pernyataan majemuk yang selalu salah untuk semua kemungkinan nilai kebenaran. Kontingensi adalah pernyataan majemuk yang mengandung nilai salah dan benar pada kemungkinan nilai kebenarannya. Pernyataan yang Ekuivalen ( ) a. q p q p b. p () () (p r) p () () (p r) c. p p p p p p d. p p p e. p p p f. ~() ~ p ~ q ~() ~ p ~ q g. ~ q ~ p ~ h. () (q p) (~ ) (~ q p) 6. Penarikan Kesimpulan Modus Ponens Modus Tollens ilogisme premis 1 premis 1 premis 1 p premis 2 ~ q premis 2 premis 2 q kesimpulan ~ p kesimpulan p r kesimpulan 0 ukses Ujian Nasional Matematika

2 7. Pernyataan erkuantor Universal : = semua, setiap Khusus : = ada, berapa, sebagian Kalimat berkuantor a. (x); P(x) Q(x) b. (x); P(x) Q(x) Negasinya a. (x); P(x) ~ Q(x) b. (x); P(x) ~ Q(x) 8. ukti dalam Matematika ukti tak langsung Menggunakan konsep : ~ q ~ p ukti dengan induksi matematika a. Tunjukkan bahwa rumus P(n) benar untuk n = 1 b. Tunjukkan bahwa jika rumus P(n) benar untuk n = k, maka rumus P(n) juga benar untuk n = k+1. OAL DAN PEMAHAAN 1. Nilai kebenaran dari pernyataan majemuk () (~p ~q) adalah. a. b. c. d. e. Jawaban: b Tabel kebenarannya p q ~p ~q ~p ~q () (~p ~q) Jadi [ () (~p ~q) ] = 2. nilai x agar kalimat 4 x = 2 2 jika dan hanya jika 2 log 1 = 0 menjadi biimplikasi yang bernilai benar adalah.. a. 4 Jawaban: a 4 x = x = 2 2 2x = 2 x = 4 b. 2 c. 2 d. 2 e log 1 = 0 adalah menyatakan benar. Jadi, agar kalimat 4 x = 2 2 jika dan hanya jika 2 log 1 = 0 menjadi biimplikasi yang bernilai benar, maka haruslah x = 4.. Negasi dari pernyataan jika guru matematika hadir, maka semua siswa senang adalah... a. jika guru matematika tidak hadir, maka semua siswa tidak senang b. jika guru matematika tidak hadir, maka ada siswa yang tidak senang c. guru matematika tidak hadir atau semua siswa senang d. guru matematika hadir atau ada siswa yang tidak senang e. guru matematika hadir dan ada siswa yang tidak senang Jawaban: e Misalnya p : guru matematika hadir q : semua siswa senang ~ () ~ (~ ) p ~q Jadi, negasinya adalah guru matematika hadir dan ada siswa yang tidak senang 1 ukses Ujian Nasional Matematika

3 4. Ebtanas 2001 Kontraposisi pernyataan majemuk p (p q) adalah... a. (p q) p c. (p q) p e. (p q) p b. ( ) p d. ( ) p Jawaban: b Kontraposisi dari p (p q) adalah (p q) p ( ) p 5. UAN 200 Penarikan kesimpulan dari I II III p q p q r q r p p r Yang sah adalah a. hanya I c. hanya I dan III e. hanya III b. hanya I dan II d. hanya II dan III Jawaban: c I. ekuivalen dengan ~ p p q q Penarikan kesimpulan I adalah sah. III. p q ekuivalen dengan p q p r p r Penarikan kesimpulan III adalah sah. Jadi, penarikan kesimpulan yang sah adalah I dan III. II. seharusnya q r r p p r (silogisme) Karena r p tidak ekuivalen dengan p r, maka penarikan kesimpulan II tidak sah. 6. UN 2004 Diberikan pernyataan-pernyataan sebagai berikut : 1. Jika penguasaan matematika rendah, maka sulit untuk menguasai IPA. 2. IPA tidak sulit dikuasai atau IPTEK tidak berkembang.. Jika IPTEK tidak berkembang, maka negara akan semakin tertinggal. Dari ketiga pernyataan di atas, dapat disimpulkan. a. Jika penguasaan matematika rendah, maka negara akan semakin tertinggal b. Jika penguasaan matematika rendah, maka IPTEK berkembang c. IPTEK dan IPA berkembang d. IPTEK dan IPA tidak berkembang e. ulit untuk memajukan negara Jawaban: a p : Penguasaan matematika rendah q : ulit menguasai IPA q : IPA tidak sulit dikuasai. r : IPTEK tidak berkembang. s : Negara akan semakin tertinggal. q r r s Ekuivalen dengan q r r s p s Jadi, dari ketiga pernyataan di atas dapat disimpulkan bahwa: Jika penguasaan matematika rendah, maka Negara akan semakin tertinggal 2 ukses Ujian Nasional Matematika

4 C LATIHAN OAL 1. Jika (p q) bernilai benar, maka pernyataan berikut yang bernilai benar adalah a. d. b. e. c. p q 2. Nilai kebenaran dari [() q] q adalah a. d. b. e. c.. Jika x 2 4x + 4 = 0, maka jumlah sudut segitiga adalah 60 o. Agar implikasi dari kalimat diatas salah, maka nilai x adalah... a. x = 4 d. x = 2 b. x = 2 e. x = 4 c. x 2 4. Ebtanas 2001 Diketahui pernyataan (p q) p. Konvers dari pernyataan tersebut adalah a. p ( ) d. p (p q) b. p (p q) e. p ( p q) c. p (p q) 5. Pernyataan yang setara dengan pernyataan ila Ali rajin belajar maka Ali naik kelas adalah. a. ila Ali naik kelas maka Ali rajin belajar b. ila Ali tidak rajin belajar maka Ali tidak naik kelas c. ila Ali tidak naik kelas maka Ali rajin bekajar d. ila Ali tidak rajin belajar maka Ali naik kelas e. Ali tidak rajin belajar atau Ali naik kelas 6. Ingkaran dari () r adalah. a. ~p ~ d. ~p ~ b. (~p ~q) r e. (~p ~q) r c. ~r 7. UN 2008 Ingkaran dari pernyataan. eberapa bilangan prima adalah bilangan genap. adalah... a. emua bilangan prima adalah bilangan genap. b. emua bilangan prima bukan bilangan genap. c. eberapa bilangan prima bukan bilangan genap. d. eberapa bilangan genap bukan bilangan prima. e. eberapa bilangan genap adalah bilangan prima. 8. UAN 2002 Penarikan kesimpulan yang sah dari argumentasi berikut adalah. a. p r d. p r b. p r e. p r c. p r ukses Ujian Nasional Matematika

5 9. Ebtanas 2001 Penarikan kesimpulan dari p q. p r p p q q yang sah adalah... a. 1, 2, dan d. 2 saja b. 1 dan 2 e. saja c. 1 dan 10. UN 2008 Diketahui premis-premis a. Jika adu rajin belajar dan patuh pada orang tua, maka Ayah membelikan bola basket. b. Ayah tidak membelikan bola basket. Kesimpulan yang sah adalah a. adu rajin belajar dan adu patuh pada orang tua. b. adu tidak rajin belajar dan adu tidak patuh pada orang tua. c. adu tidak rajin belajar atau adu tidak patuh pada orang tua. d. adu tidak rajin belajar dan adu patuh pada orang tua. e. adu rajin belajar atau adu tidak patuh pada orang tua. 11. UN 2006 Dari argumentasi berikut : Upik rajin belajar maka naik kelas. Upik tidak dapat hadiah maka tidak naik kelas. Upik rajin belajar. Kesimpulan yang sah adalah. a. Upik naik kelas b. Upik dapat hadiah c. Upik tidak dapat hadiah d. Upik naik kelas dan dapat hadiah e. Upik dapat hadiah atau naik kelas 12. Diketahui pernyataan : 1. Jika hari panas, maka Ani memakai topi. 2. Ani tidak memakai topi atau ia memakai payung.. Ani tidak memakai payung Kesimpulan yang sah adalah. a. Hari panas b. Hari tidak panas c. Ani memakai topi d. Hari panas dan Ani memakai topi e. Hari tidak panas dan Ani memakai topi 1. Dari argumentasi berikut : Jika ibu tidak pergi maka adik senang Jika adik senang maka dia tersenyum Ingkaran dari kesimpulan di atas adalah. a. Ibu tidak pergi atau adik tersenyum b. Ibu pergi dan adik tidak tersenyum c. Ibu pergi atau adik tidak tersenyum d. Ibu tidak pergi dan adik tidak tersenyum e. Ibu pergi atau adik tersenyum 4 ukses Ujian Nasional Matematika