KALKULUS PERNYATAAN. Totologi & Kontradiksi. Tingkat Kekuatan Operator. Tabel Kebenaran 9/30/2013. Nur Insani, M.Sc

Transkripsi

1 KALKULUS PERNYATAAN Totologi & Kontradiksi Nur Insani, M.Sc Satu atau lebih proposisi dapat dikombinasikan untuk menghasilkan proposisi baru lewat penggunaan operator logika: negasi (-), dan (^), atau (v), jika..maka (), bila dan hanya bila (), dan ekuivalen (ek). Proposisi baru yang dihasilkan dari kombinasi tersebut disebut dengan proposisi majemuk (compound proposition) 2 Tingkat Kekuatan Operator Tabel Kebenaran - Λ V WEAKER Setiap pernyataan dalam pernyataan majemuk dinamakan pernyataan tunggal. Hasil akhir setiap pernyataan majemuk diwakili oleh satu kolom. Nilai diletakkan pada kolom yang memuat operator logika. Perhitungan dilakukan berdasar letak pernyataan dalam tanda kurung

2 Bagaimana bila 3 pernyataan? Permutasi 3 unsur : 2³ = 8 komposisi nilai. Permutasi n unsur : 2ⁿ. : 3 pernyataan (p,q,r) p q r B B B B B S B S B B S S S B B S B S S S B S S S 5 Bagaimana tabel kebenaran dari pernyataan majemuk : (p q) (r q) Jawab: p q r q B B B B B S S B B B B B S S S B B S S B B B B S B S S S S S B S S S B S B S S B S S B S S S S B S S S B B B B S S S S S S S B S 6 TOTOLOGI Bagaimana tabel kebenaran dari pernyataan majemuk : a. p (~q r) b. ~p (q ~r) c. (p q) (~p r) d. (p q) (r s) Setiap pernyataan majemuk yang bernilai benar, untuk setiap nilai kebenaran komponen-komponennya, disebut tautologi. 7 2

3 Saya mahasiswa atau bukan mahasiswa ~p p a b b a a ~(~a) Tautologi Jika Tautologi dipakai pada suatu argumen, berarti argumen harus mempunyai nilai B pada seluruh pasangan pada tabel kebenaran yang ada, membuktikan argumen tadi Valid. Lihat Totologi Implikasi & Totologi Biimplikasi pada buku Logika & Himpunan hal Cari apakah pernyataan dibawah ini valid atau tidak menggunakan tabel kebenaran: a. p p b. p ((p q) q) c. (p q) ( q p) d. ((p q) ( q r)) (p r) KONTRADIKSI Setiap pernyataan majemuk yang bernilai salah, untuk setiap nilai kebenaran komponen-komponennya, disebut kontradiksi. Karena kontradiksi selalu bernilai salah, maka kontradiksi merupakan ingkaran dari tautologi dan sebaliknya. 11 3

4 Pratiwi seorang mahasiswa dan bukan mahasiswa. (pp) Pernyataan ini selalu bernilai salah, tidak tergantung pada nilai kebenaran dari Pratiwi seorang mahasiswa maupun Pratiwi bukan mahasiswa. a ~a (a b) ~a KONTINGEN Kontingen Pernyataan yang memiliki nilai kebenaran yang merupakan kombinasi dari Benar dan Salah FUNGSI NILAI KEBENARAN a b a b a b c Pada himpunan bilangan, Operasi bilangan dapat dinyatakan dalam notasi fungsi. : = 7 dapat dinyatakan sbg +(5, 2) = 7 5 x 2 = 10 dapat dinyatakan sbg x(5, 2) =

5 FUNGSI NILAI KEBENARAN Pada himpunan pernyataan, Operasi pernyataan dapat dinyatakan dalam notasi fungsi, yg domain dan rangenya adalah himpunan nilai kebenaran. Domain Range (a,b) (a,b) (a,b) (a,b) (B,B) B B B B (B,S) S B S S (S,B) S B B S (S,S) S S B B ~p (q v (r s)) dapat dinyatakan dlm notasi fungsi : (~p, (q, (r, s))). p q p dapat dinyatakan dlm notasi fungsi sebagai ( (p, q), p). Fungsi ini mrp fungsi konstan. 2 Domain fungsi ini: W ( B, B),( B, S),( S, B),( S, S) Secara mudah dpt ditentukan Range dari fungsi tsb, yaitu: ( (B, B), B)=B ( (B, S), B)=B ( (S, B), S)=B ( (S, S), S)=B 18 Apabila range suatu fungsi kebenaran = {B}, maka fungsi tersebut mrp totologi. Apabila range suatu fungsi kebenaran = {S}, maka fungsi tersebut mrp kontradiksi. Secara umum, jika suatu pernyataan majemuk memuat n pernyataan tunggal yg berbeda, maka domain dari fungsi kebenaran utk pernyataan n majemuk tsb = W 19 MENENTUKAN NILAI KEBENARAN PERNYATAAN MAJEMUK DGN ARITMATIKA Cara lain utk menentukan nilai kebenaran suatu pernyataan majemuk yaitu dgn prosedur aritmatika sbb: Pernyataan majemuk ~a 1 + a a b a V b a b a b a + b + ab ab (1+a) b a + b Prosedur aritmatika 5

6 MENENTUKAN NILAI KEBENARAN Jika pernyataan majemuk bernilai: B maka hasil perhitungan aritmatika bernilai 0. S maka hasil perhitungan aritmatika bernilai 1. Ingat: 1+1=0 a v a a maka dlm prosedur aritmatika dinyatakan sbg aa = a a a (selalu bernilai benar), maka dlm prosedur aritmatika dinyatakan sbg a+a=2a=0 a(a+1)=0 Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut dgn prosedur aritmatika: p q p r (1+(p q))(p r) (1+ p+q+pq) pr pr + p^2r + pqr + pqr 2pr + 2pqr = 0 (B) Penyederhaan dan Bentuk Normal dari Kalimat Logika Dalam bentuk normal hanya terdapat operator logika utama ( ~, dan ) Ada dua macam: CNF (Conjunctive normal form) DNF (Disjunctive normal form) Prosedur merubah bentuk proposisi majemuk ke dalam bentuk normal 1.Eliminasi koneksi, dengan menggunakan hukum Implikasi dan Bikondisional 2. Gunakan hukum De Morgan (jika perlu) 3. Gunakan hukum Negasi Ganda (jika perlu) 4. Gunakan hukum Distributif (jika perlu) 6

7 Ingat : Hukum Implikasi : pq ~ pq ~ (p ~ q) Hukum Bikondisional (Biimplikasi) : pq (pq) (~p ~ q) pq ~ pq ~ qp pq(pq) (qp) pqpq ~ (pq) p ~ q pq~(~a ~b) pq~(~a~b) Ingat : Hukum De Morgan : Hukum Negasi Ganda: p q p q p q p q p p (p (~q r)) (p ~q) (~p(~q r)) (p ~q) (~p(~(~q)r)) (p ~q) (~pqr) (p ~q) (~pqr) (~p~q) Hukum Distributif : p (q r) (p q) (p r) p (q r) (p q) (p r) 7

8 (p q) (pr qs) (~pq) (pr qs) (~pq) (~(pr) (p (qs)) (~pq) ((~p~r) (qs)) ~(~pq) ((~p~r) (qs)) (p~q) (~p~r) (qs) Soal Tentukan bentuk normal untuk kalimat: (( a b) ~a ) ~b ~(p q) (~p ~r) 8