Konvers, Invers dan Kontraposisi

Transkripsi

1 MODUL 5 Konvers, Invers dan Kontraposisi Represented by : Firmansyah,.Kom

2 A. TEMA DAN TUJUAN KEGIATAN PEMELAJARAN 1. Tema Konvers, Invers dan Kontraposisi 2. Fokus Pembahasan Materi Pokok 1. Konvers, invers dan kontra posisi 2. Ekivalensi Logika 3. Negasi / ingkaran implikasi, konvers, invers dan kontraposisi 3. Tujuan Kegiatan Pembelajaran 1. Mahasiswa memahami pengertian konvers, invers dan kontraposisi dari suatu implikasi. 2. Mahasiswa mampu menunjukkan ekivalensi antara pernyataan implikasi, konvers, invers dan kontraposisi. 3. Mahasiswa mampu menentukan negasi atau ingkaran antara pernyataan implikasi, konvers, invers dan kontraposisi.

3 Konvers, Invers dan Kontraposisi dari suatu implikasi. Misalkan diketahui implikasi Maka: p q Konversnya adalah q p Inversnya adalah p q Kontraposisinya adalah q p

4 Hubungan Konvers, Invers, dan Kontraposisi dari Implikasi p q Catatan : ahwa nilai suatu implikasi selalu ekivalen dengan kontraposisi. p q q p

5 p q p q p q q p p q q p T T F F T T T T T F F T F T T F F T T F T F F T F F T T T T T T

6 Contoh 1. Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari: Jika Amir mempunyai mobil, maka ia orang kaya (p q) Penyelesaian: Konvers : (q p) Jika Amir orang kaya, maka ia mempunyai mobil Invers : ( p q) Jika Amir tidak mempunyai mobil, maka ia bukan orang kaya Kontraposisi : ( q p) Jika Amir bukan orang kaya, maka ia tidak mempunyai mobil

7 Contoh 2 Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari: Jika suatu bilangan asli berangka satuan 0 maka bilangan tersebut habis dibagi 5. Penyelesaian: Konvers: Jika suatu bilangan asli habis dibagi 5 maka bilangan asli tersebut berangka satuan 0 Invers: Jika suatu bilangan asli tidak berangka satuan 0 maka bilangan tersebut tidak habis dibagi 5. Kontraposisi: Jika suatu bilangan asli tidak habis dibagi 5 maka bilangan asli tersebut tidak berangka satuan 0

8 Tugas Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari pernyataan di bawah! 1) Jika n bilangan ganjil, maka (-1) n = -1 2) Jika semua jeruk manis, maka jeruk ini harus manis 3) Jika a 3 : a 3 = a 0, maka a 0 =1 4) anjir bandang terjadi bilamana hutan ditebangi 5) Jika eijing di RRC, maka Tokyo di Jepang (konvers) 6) Iwan lulus ujian jika ia belajar

9 esi 2 EKUIVALENI LOGIKA 9

10 EKUIVALENI Jika dua buah ekspresi logika adalah tautologi, maka dapat dipastikan bahwa kedua buah ekspresi logika tersebut adalah ekuivalen secara logis. Demikian juga jika dua buah ekspresi logika adalah kontradiksi, maka dapat dipasikan kedua buah ekspresi logika tersebut adalah ekuivalen secara logis. 10

11 EKUIVALENI Persoalannya ada pada contingent, karena memiliki semua nilai T dan F. Tetapi jika urutan T dan F atau sebaliknya pada tabel kebenaran tetap pada urutan yang sama maka tetap disebut ekuivalen secara logis. Dalam tabel kebenaran, suatu tautologi selalu bernilai True pada semua barisnya dan kontradiksi selalu bernilai False pada semua baris. Kalau suatu kalimat tautologi diturunkan lewat hukum-hukum yang ada maka pada akhirnya akan menghasilkan True, sebaliknya kontradiksi akan selalu bernilai False. 11

12 EKUIVALENI Contoh: 1. Dewi sangat cantik dan peramah. 2. Dewi peramah dan sangat cantik. Dari dua pernyataan di atas, tanpa pikir panjang kita dapat menyimpulkan bahwa kedua pernyataan di atas adalah ekuivalen. Tetapi untuk membuktikan kebenarannya apakah kedua pernyataan tersebut ekuivalen harus dibuktikan dengan tabel kebenaran. 12

13 EKUIVALENI Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut: 1. Ubahlah pernyataan-pernyataan tersebut ke dalam pernyataan atomik dengan simbol logikanya! Dewi sangat cantik dan peramah Untuk pernyataan di atas, kita rubah kedalam pernyataan atomiknya dan kita permisalkan dengan simbol logikanya, yaitu: p = Dewi sangat cantik q = Dewi peramah 13

14 EKUIVALENI 2. Ubahlah pernyataan-pernyataan majemuknya kedalam simbol-simbol logikanya. 1. Dewi sangat cantik dan peramah. 2. Dewi peramah dan sangat cantik. Untuk pernyataan di atas, kita rubah kedalam simbol logikanya, yaitu: 1. p q 2. q p 14

15 EKUIVALENI 3. uatlah tabel kebenaran untuk pernyataan majemuk tersebut! p q p q q p 15

16 EKUIVALENI HAIL AKHIR p q q p p q p q (x) (y) (x y) 16

17 EKUIVALENI Dari hasil tabel kebenaran di atas diperoleh hasil bahwa nilai dari p q sama dengan nilai q p. edangkan jika kedua pernyataan di atas dihubungkan dengan logika biimplikasi diperoleh bukti bahwa: (p q) (q p) emuanya nilai logikanya bernilai benar atau tautologi. 17

18 EKUIVALENI Dengan demikian karena kedua logika jika dihubungkan dengan logika biimplikasi adalah tautologi maka dapat disimpulkan bahwa kedua logika tersebut adalah ekuivalen. Maka pernyataan yang menyatakan: 1. Dewi sangat cantik dan peramah. 2. Dewi peramah dan sangat cantik. adalah pernyataan yang ekuivalen secara logis. 18

19 HUKUM-HUKUM EKUIVALEN LOGIKA Identitas p 1 1 p 0 p Ikatan p 1 1 p 0 0 Idempoten p p p p p p Negasi p p 1 p p 0 Negasi Ganda ( p) p Komutatif p q q p p q q p Asosiatif (p q) r p (q r) (p q) r q (p r) Distributif p (q r) (p q) (p r) (p q) r (p q) (p r) De Morgan s (p q) p q (p q) p q Aborbsi p (p q) p p (p q) p 19

20 HUKUM-HUKUM EKUIVALEN LOGIKA elain dengan menggunkan tabel kebenaran, untuk menentukan dua buah argumen adalah ekuivalen secara logis atau tidak, dapat juga digunakan hukum-hukum ekuivalensi logika, yang akan kita bahas secara aplikatif di materi Penyederhanaan Aljabar oolean CARA INI LEIH INGKAT TETAPI...!!!? 20

21 INTANG KECIL DILANGIT YANG IRU GIMANA YA... X, Y, Z ATAU P, Q, R, ATAU... ATAU... ATAU X 200 TAPI JANGAN KAWATIR COY, YAKINKAN DIRI ANDA UNTUK IA, EA KEMUDAHAN ITU ADANYA DIALIK KEUAHAN...! 21

22 EKUIVALEN LOGIKA uktikan ekuivalensi kalimat di bawah ini dengan tabel kebenaran. (p q) ( p q) p TAEL KEENARAN 22

23 EKUIVALEN LOGIKA TAEL KEENARAN 23

24 24 EKUIVALEN LOGIKA (p q) ( p q) p p q p q p q (p q) p q (p q) ( p q) Dari tabel kebenaran diperoleh hasil bahwa p sama dengan (p q) ( p q) p. Untuk membuktikan lebih lanjut maka p dan (p q) ( p q) dihubungkan dengan logika biimplikasi.

25 EKUIVALEN LOGIKA (p q) ( p q) p p (p q) ( p q) (p q) ( p q) p Dari tabel tabel di atas diperoleh hasil bahwa (p q) ( p q) p bernilai benar untuk setiap nilai p dan q, Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa terbukti (p q) ( p q) p adalah ekuivalen secara logis. 25

26 EKUIVALEN LOGIKA Latihan oal!!! 26

27 EKUIVALEN LOGIKA uktikan ekuivalensi kalimat di bawah ini dengan tabel kebenaran! 1) (p r) (q r) p (q r) 2) (p v q) (r v p) p (r v p) 3) A ( A ) 1 4) ( (A ) ) 0 5) a. Jika Tono pergi kuliah, maka Tini juga pergi kuliah dan jika iska tidur, maka Tini pergi kuliah. b. Jika Tono pergi kuliah atau iska tidur, maka Tini pergi kuliah. 27

28 esi 3 Negasi / Ingkaran Implikasi, Konvers, Invers dan Kontraposisi

29 HUKUM EKUIVALEN LOGIKA (p q) Perhatikan hukum Morgan s Dimana: (p q) p q Maka: (p q) p ( q) ( p q) Ekivalensi Pernyataan implikasi : (p q) p v q 29

30 Negasi suatu implikasi Untuk memperoleh negasi dari suatu implikasi, kita dapat mengubah bentuknya ke dalam bentuk disjungsi kemudian dinegasikan, yaitu: p q p q maka negasinya adalah (p q) ( p q) p q

31 Negasi suatu iimplikasi iimplikasi atau bikondisional adalah pernyataan majemuk dari dua pernyataan p dan q yang dinotasikan dengan p q (p q) (q p) sehingga, (p q) [ (p q) (q p) ] [ ( p q) ( q p) ] ( p q) ( q p) (p q) (q p)

32 Ingkaran konvers, invers dan kontraposisi Tentukan ingkaran atau negasi konvers, invers dan kontraposisi dari implikasi berikut: Jika suatu bendera adalah bendera RI, maka bendera tersebut berwarna merah putih Penyelesaian : Misal, p : uatu bendera adalah bendera RI q : endera tersebut berwarna merah putih maka kalimatnya menjadi p q atau jika menggunakan operator or, maka p q ekuivalen (sebanding) dengan p q. ehingga

33 1). Negasi dari Konvers Konvers Negasinya : q p q p : ( q p) q p Kalimatnya : Terdapat bendera berwarna merah putih tetapi bendera tersebut bukan bendera RI 2). Negasi dari Invers Invers Negasinya : p q ( p) q p q : ( p q) p q Kalimatnya : uatu bendera bukan bendera RI tetapi bendera tersebut berwarna merah putih

34 3). Negasi dari Kontraposisi Kontraposisi Negasinya : q p ( q) p q p : (q p) q p Kalimatnya : uatu bendera tidak berwarna merah putih dan bendera tersebut adalah bendera RI