LOGIKA MATEMATIKA. d. 6 + a > -4 e. 7 adalah faktor dari 63. c. 4 x 6 2. Tentukan variabel dan himpunan penyelesaian dari: a.

Transkripsi

1 LOGIKA MATEMATIKA A. Definisi 1). Pernyataan Pernyataan adalah suatu kalimat yang bernilai benar atau salah, tetapi tidak sekaligus benar dan salah. Air laut rasanya asin, adalah bilangan prima, urabaya terletak di Pulau Kalimantan dan Ibukota Kalimantan Timur. ). Kalimat terbuka Kalimat terbuka adalah kalimat yang memuat variabel dan menjadi pernyataan jika variabel tersebut diganti konstanta dalam himpunan semestanya. Kota A merupakan daerah wisata, x 5 = 11, 3y = 15. 3). Variabel Variabel adalah lambang untuk menunjukkan anggota sembarang dari himpunan semesta. x 5 = 11 (x merupakan variabel), 3y = 15 (y merupakan variabel), + 4 = 7 ( merupakan variabel) 4). Konstanta Konstanta adalah lambang untuk menunjukkan anggota tertentu dalam himpunan semesta. x 5 = 11 (jika x diganti dengan 16 maka pernyataan 16 5 = 11 bernilai benar, sehingga 16 disebut konstanta), 3y = 15 (jika y diganti dengan 6 maka pernyataan 3(6) = 15 bernilai salah, sehingga 6 disebut konstanta), + 4 = 7 (jika diganti dengan 3 maka pernyataan = 7 bernilai benar, sehingga 3 disebut konstanta) 5). Penyelesaian suatu kalimat terbuka Penyelesaian suatu kalimat terbuka adalah konstanta-konstanta pengganti variabel yang menyebabkan kalimat terbuka tersebut menjadi pernyataan yang benar. Tentukan penyelesaian dari x = 8! x = 8 x = 8 x = 4 Jadi penyelesaiannya adalah 4. 6). Himpunan penyelesaian Himpunan penyelesaian adalah himpunan yang memuat semua penyelesaian yang mungkin. Tentukan himpunan penyelesaian dari 3x > 15, x! 3x > x > 3 x > 5 Jadi himpunan penyelesaiannya = {6, 7, 8, 9, } Latihan 1: 1. Tentukan apakah kalimat di bawah ini termasuk pernyataan, bukan pernyataan, atau kalimat terbuka! a. ogor mendapat julukan sebagai kota hujan. b. 3 5 c. 4 x 6. Tentukan variabel dan himpunan penyelesaian dari: a. x 4x 3 0 b. 6x 19x 4 0 d. 6 + a > -4 e. 7 adalah faktor dari 63 c. x 0 x 3 d. 3x 5 4 5x

2 e. 7 x 3 4x. Lambang Logika Proporsional No. Operator Nama Lambang 1. Negasi ~. Konjungsi ^ 3. Disjungsi 4. Implikasi 5. iimplikasi Arti Tidak, bukan Dan, tetapi, meskipun, walaupun Atau Jika. maka.. jika dan hanya jika. C. Pengertian Negasi/Ingkaran Negasi/ingkaran suatu pernyataan p adalah pernyataan ~p yang bernilai benar jika p bernilai salah dan bernilai salah jika p bernilai benar. D. Penentuaan Negasi/Ingkaran uatu Pernyataan p ~p Latihan : Tentukan negasi/ingkaran pernyataan di bawah ini: 1. unga mawar berwarna merah.. Ali mempunyai adik = Hari ini hanya seorang siswa yang tidak masuk. E. Nilai Kebenaran 1). Konjungsi Konjungsi ( ) dua pernyataan p dan q bernilai benar hanya jika kedua komponennya bernilai benar. p q p q Kesimpulan: ada yang salah berarti bernilai salah p : ung Hatta lahir di umatra arat... () q : ung Hatta meninggal di idoarjo... () p q : ung Hatta lahir di umatra arat dan meninggal di idoarjo.. () ). Disjungsi Disjungsi ( ) dua pernyataan p dan q, yaitu bernilai benar hanya jika salah satu atau kedua pernyataan p dan q bernilai benar. p q p q Kesimpulan: ada yang benar berarti bernilai benar p : ayu makan nasi pecel... () q : ayu makan nasi rawon... () p q : ayu makan nasi pecel atau nasi rawon... ()

3 Latihan 3: 1. Misalkan p = unga mawar berbau harum q = unga mawar berduri Nyatakanlah kalimat-kalimat berikut dengan simbol p dan q: a. unga mawar berbau harum dan berduri. b. unga mawar berbau harum atau berduri. c. unga mawar tidak harum atau tidak berduri. d. unga mawar tidak berduri tetapi berbau harum. e. Tidak benar bahwa bunga mawar tidak berduri dan juga tidak berbau harum.. Misalkan x = 5 adalah bilangan prima y = Indonesia termasuk negara AEAN z = 7 adalah bilangan ganjil Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut: a. x ~y b. ~y z c. ~(y z) d. ~(~x y) e. ~(~x y) 3). Implikasi Implikasi ( ) dua pernyataan p dan q bernilai salah hanya jika p bernilai benar dan q bernilai salah. p q p q Kesimpulan: sama dengan yang belakang, kecuali 4). iimplikasi iimplikasi ( ) dua pernyataan p dan q bernilai benar jika p dan q mempunyai nilai kebenaran yang sama. p Q p q Kesimpulan: keduanya sama berarti bernilai Latihan 4: Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan bilangan bentuk pangkat berikut: 1. Misalkan p = 7 adalah bilangan bulat q = 11 adalah bilangan prima Nyatakanlah kalimat-kalimat berikut dengan simbol p dan q: a. Jika 7 adalah bilangan bulat maka 11 adalah bilangan prima. b. Tidak benar bahwa jika 7 adalah bilangan bulat maka 11 adalah bilangan prima. c. 7 adalah bilangan bulat jika dan hanya jika 11 adalah bilangan prima.. d. Tidak benar bahwa 7 adalah bilangan bulat jika dan hanya jika 11 adalah bilangan prima.. e. Jika 7 adalah bukan bilangan bulat maka 11 adalah bukan bilangan prima.. Misalkan x = -5 adalah bilangan bulat negatif y = 1 adalah bilangan genap Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut: a. x ~y b. ~y z c. ~(y z) d. ~(~x y) e. ~(~x y)

4 F. ifat-sifat pernyataan yang setara (ekuivalen) p p Jika p q maka q p Jika p q dan q r maka p r G. Membuktikan suatu pernyataan majemuk yang setara (ekuivalen) dengan suatu pernyataan lain uktikan bahwa p ( q r) ekuivalen dengan ( p q) r p q r q r p ( q r) p q ( p q) r Latihan 5: uktikan bahwa dua pernyataan di bawah ini adalah setara (ekuivalen): a. p q q p b. p q q p c. p (q r) (p q) r d. ~p q p q e. p ( q r) ( p ) ( p r) H. Negasi/ingkaran dari pernyataan majemuk: 1). Negasi dari konjungsi Negasi dari p q ditulis ( q) ). Negasi dari disjungsi Negasi dari p q ditulis ~(p q) 3). Negasi dari implikasi Negasi dari p q ditulis ( 4). Negasi dari biimplikasi ( p 5). Negasi dari negasi ~ p ~ p ~ q ~ p ~ q ~ p q) p ~ q Negasi dari p q ditulis ~ q) ( p ~ q) ( q ~ p) Negasi dari ~p ditulis Latihan 6: Tentukan negasi dari pernyataan berikut ini: 1. abria seorang presenter atau abria seorang komedian.. The eatles adalah grup musik dari Inggris dan John Lenonn meninggal akibat penembakan. 3. obby seorang yang kikir dan Tia seorang penyanyi dan Jika ada tamu negara maka polisi bertugas di jalan protokol. ~ (~ p) p

5 I. Konvers, Invers, dan Kontraposisi dari Pernyataan erimplikasi 1). Konvers dari implikasi Konvers dari implikasi p q adalah q p Jika sekarang cerah maka matahari bersinar Tentukan konversnya! Konversnya adalah jika matahari bersinar maka sekarang cerah. ). Invers dari implikasi Invers dari implikasi p q adalah ~ p ~ q Jika sekarang cerah maka matahari bersinar Tentukan inversnya! Inversnya adalah jika sekarang tidak cerah maka matahari tidak bersinar. 3). Kontraposisi dari implikasi Kontraposisi dari implikasi p q adalah ~ q ~ p Jika sekarang cerah maka matahari bersinar Tentukan kontraposisinya! Kontraposisinya adalah jika matahari tidak bersinar maka sekarang tidak cerah. Latihan 7: Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari pernyataan berikut: 1. Jika Donny selesai bekerja maka ia beristirahat.. Jika Zaky kuliah di Unesa maka ia kuliah di urabaya. 3. Jika AC sama sisi maka A =. 4. Jika ACD persegi panjang maka A = CD. 5. Jika ( ) maka = -. J. Kuantor Kuantor adalah suatu lambang yang menunjukkan generalisasi suatu kalimat terbuka. a. Jenis-jenis kuantor 1. Kuantor eksistensial Kuantor eksistensial/sebagian (beberapa atau ada) merupakan suatu pernyataan yang menggambarkan bahwa beberapa dan tidak seharusnya setiap objek atau masalah memenuhi syarat tertentu. Kuantor eksistensial dilambangkan dengan x dibaca ada suatu x sehingga berlaku. ( x )( x R) (x 1 5) dibaca ada beberapa nilai x sehingga berlaku x + 1 > 5. Pernyataan tersebut benar karena kita dapat menentukan nilai-nilai x yang memenuhi.. Kuantor universal Kuantor universal/semua merupakan suatu pernyataan yang menggambarkan bahwa setiap objek atau masalah memenuhi syarat tertentu. Kuantor universal dilambangkan dengan x dibaca untuk semua x atau untuk setiap x berlaku. ( x)( x R) ( x 0) dibaca untuk semua nilai x berlaku x 0. Pernyataan tersebut benar karena kuadrat semua bilangan riil tidak ada yang negatif. b. Ingkaran dari pernyataan berkuantor 1. Ingkaran dari kuantor eksistensial Ingkaran dari kuantor eksistensial adalah kuantor universal. ~ ( x) P( x) ( x) ~ P( x) ~ ( x )( x R) (x 1 9) = ( x ) ~ (( x R) (x 1 9)) = ( x )( x R)^ (x 1 9)

6 . Ingkaran dari kuantor universal Ingkaran dari kuantor universal adalah kuantor eksistensial. ~ ( x) P( x) ( x) ~ P( x) ~ ( x)( x R) (x x) ( x) ~ (( x R) (x x)) = ( x)( x R)^(x x) = Latihan 8: Tentukan ingkaran dari pernyataan berkuantor berikut: 1. ( x )( x R) ( x 0). ( x )( x R, x 0) ( x 5 0) 3. ( x )( x R) ( x 0) x 4. ( x )( x, y R, y 0) R y 5. ( x )( x R) ( x x 9 0) K. Penarikan Kesimpulan 1). Premis adalah himpunan pernyataan tunggal atau majemuk yang ditentukan/diketahui. ). Kesimpulan (konklusi) adalah pernyataan tunggal atau majemuk yang diturunkan dari premispremis. 3). Argumen adalah kumpulan satu atau lebih premis yang sudah dibuktikan kebenarannya dan satu konklusi yang diturunkan dari premis-premisnya. uatu argumen dikatakan sah/valid jika dapat dibuktikan bahwa argumen itu merupakan suatu tautologi (pernyataan yang selalu bernilai benar) untuk semua nilai kebenaran premis-premisnya. Metode yang sederhana untuk membuktikan suatu argumen dapat dinyatakan sah/valid adalah dengan tabel kebenaran. Pola penarikan kesimpulan: Premis 1 Premis Premis 3.. Premis n Konklusi eberapa modus penarikan kesimpulan: 1). Modus Ponens Premis 1 : p q Premis : p Konklusi : q ). Modus Tolens Premis 1 : p q Premis : ~ q Konklusi : ~p 3). ilogisme Premis 1 : p q Premis : q r Konklusi : p r 4). ilogisme Disjungtif Premis 1 : p q Premis : ~ q Konklusi : p 5). Dilema Konstruktif Premis 1 : ( p q) ( r s) Premis : p r Konklusi : q s

7 6). Dilema Destruktif Premis 1 : ( p q) ( r s) Premis : ~q ~s Konklusi : ~p ~r 7). Konjungsi Premis 1 : p Premis : q Konklusi : p q Latihan 9: Lengkapilah argumen berikut: 1. Premis 1 : emua bilangan prima habis dibagi oleh 1 dan dirinya Premis : p adalah suatu bilangan prima Konklusi :. Premis 1 : emua lingkaran berjari-jari r mempunyai luas Premis : Konklusi : Lingkaran O mempunyai luas r 3. Premis 1 : Premis : (n + 1) bukan suatu bilangan genap Konklusi : n bukan suatu suatu bilangan ganjil 4. Premis 1 : Jika suatu bilangan adalah faktor dari 1 maka bilangan itu faktor dari 4 Premis : 3 adalah faktor dari 1 Konklusi : 5. Premis 1 : Premis : uaya termasuk reptil Konklusi : uaya berdarah dingin L. Pembuktian pernyataan dengan cara: 1). ukti langsung uktikan bahwa jika x genap maka x genap! Diketahui x genap, maka akan dibuktikan bahwa x genap. Karena x genap, maka dapat dinyatakan x = k (dengan k ). ehingga diperoleh: x = (k) = 4k = (k ) erarti x genap juga, sehingga terbukti bahwa jika x genap maka x genap. Karena setiap bilangan yang dapat dinyatakan dengan k, dengan k, maka bilangan itu adalah bilangan genap. (terbukti) ). ukti tak langsung uktikan bahwa Jika n bilangan ganjil maka n bilangan ganjil dengan menggunakan cara kontradiksi dan kontraposisi! Dengan cara kontradiksi Diketahui n bilangan ganjil, maka akan dibuktikan n bilangan ganjil. Andaikan n bilangan genap maka dapat dinyatakan n = k (dengan k ) ehingga diperoleh n = k maka n = (k) n = 4k n = (k ) n = m, dengan m = k r

8 Karena n = m, berarti n bilangan genap. Hal ini bertentangan (kontradiksi) dengan yang diketahui, yaitu n bilangan ganjil. Oleh karena itu, pengandaian salah dan yang benar n bilangan ganjil. (terbukti) Dengan cara kontraposisi Akan dibuktikan dengan kontraposisi dari pernyataan di atas, ayitu Jika n bilangan genap, maka n bilangan genap Diketahui n bilangan genap, maka akan dibuktikan n bilangan genap. Karena n bilangan genap maka dapat dinyatakan n = k (dengan k ) ehingga diperoleh n = k maka n = (k) n = 4k n = (k ) n = m, dengan m = k Karena n = m, berarti n bilangan genap. Terbukti bahwa jika n bilangan genap maka n bilangan genap, sehingga terbukti pula bahwa jika n bilangan ganjil maka n bilangan ganjil, karena kedua pernyataan tersebut ekuivalen. 3). Induksi matematika uktikan dengan induksi matematika bahwa untuk semua n bilangan asli berlaku: n-1 = n 1 Pembuktian: Misalkan P(n) adalah n-1 = n 1 Untuk n = 1, maka 1-1 = = 1 (benar) Jadi P(n) benar untuk n = 1 Andaikan P(n) benar untuk n = k, berarti P(k) = k-1 = k 1 Akan dibuktikan bahwa P(n) benar untuk n = k + 1 Untuk n = k + 1, P(n) = k-1 + k+1-1 = k-1 + k = P(k) + k = k 1 + k =. k 1 = k+1 1 Karena P(n) benar untuk n = 1, dan jika P(n) benar untuk setiap n bilangan asli, artinya terbukti bahwa n-1 = n 1 Latihan 10: 1. Dengan kontradiksi, buktikan pernyataan Jika x tidak habis dibagi 3 maka x tidak habis dibagi 9!. Dengan induksi matematika, buktikan bahwa (n 1) = n, untuk n A!

9 Uji Kompetensi: 1. Negasi dari pernyataan x lebih dari y adalah. a. x y b. x y c. x y d. x y e. x y. Pernyataan yang ekuivalen dengan pernyataan p q adalah. a. q p b. ~ q ~ p c. ~ q p d. ~ p ~ q e. q ~ p 3. Ingkaran dari kalimat Jika hujan lebat maka udi sakit flu adalah a. Tidak hujan lebat maka udi sakit flu. b. Jika tidak hujan lebat maka udi tidak sakit flu. c. Hujan lebat dan udi tidak sakit flu. d. Hujan lebat dan udi sakit flu. e. Tidak hujan lebat dan udi tidak sakit flu. 4. Kontraposisi dari kalimat Jika harga barang naik maka rakyat mengeluh adalah a. Jika harga barang tidak naik maka rakyat tidak mengeluh. b. Jika rakyat mengeluh maka harga barang naik. c. Jika rakyat tidak mengeluh maka harga barang tidak naik. d. Jika harga barang tidak naik maka rakyat mengeluh. e. Jika rakyat tidak mengeluh maka harga barang naik. 5. Premis 1 : Jika n adalah bilangan ganjil maka n tidak habis dibagi dengan. Premis : Konklusi : n habis dibagi dengan Premis yang sesuai adalah a. n adalah bukan bilangan ganjil. b. n adalah bilangan ganjil. c. n adalah bilangan genap. d. n adalah bukan bilangan genap. e. n tidak habis dibagi dengan. Uraian: 1. Negasi dari Jika x = 8 maka x = 4 adalah.. Dengan menggunakan tabel kebenaran, buktikan bahwa p (q V r) ~ r ( p q)! 3. Konvers dari Jika 3 log x 4 maka x = 81 adalah. 4. Invers dari Jika x adalah bilangan asli maka x adalah bilangan asli adalah. 5. Premis 1 : Jika Richard rajin berolah raga dan tidak merokok maka ia akan sehat. Premis : Ia tidak sehat Konklusi :