OVERDISPERSI PADA REGRESI LOGISTIK BINER MENGGUNAKAN METODE BETA BINOMIAL

Transkripsi

1 OVERDISPERSI PADA REGRESI LOGISTIK BINER MENGGUNAKAN METODE BETA BINOMIAL Heru Wbowo, Suyono, Wdyant Rahayu Program Stud Matematka, Fakultas Matematka dan Ilmu Pengetahuan Alam, Unverstas Neger Jakarta Jl. Rawamangun Muka, Jakarta Tmur 13220, Indonesa Abstrak Analss regres logstk merupakan metode yang dgunakan untuk mengetahu hubungan antara peubah predktor (X) dan dengan peubah respon (Y) yang bersfat kategork. Pada pemodelan data bner, masalah overdspers serng terjad yang dsebabkan oleh keragaman antar peluang respon serta korelas antar respon bner. Overdspers merupakan suatu keadaan dmana ragam amatan lebh besar dbandngkan ragam dugaan sedangkan pada regres logstk peubah respon (Y) dasumskan berdstrbus bnomal dengan ragam amatan sama dengan ragam dugaan. Metode Beta Bnomal yang merupakan gabungan antara dstrbus beta dan dstrbus bnomal cukup bak mengkoreks keragaman pada data yang terndkas terdapat overdspers. Kata kunc: Overdspers, Regres Logstk Bner, Beta Bnomal.. 1 Pendahuluan Persoalan yang melbatkan dua varabel atau lebh yang dduga memlk hubungan tertentu dsebut regres dar satu varabel atas varabel lan. Analss Regres merupakan suatu metode untuk menentukan suatu hubungan sebab akbat antara satu varabel dengan varabel lannya. Varabel dalam analss regres dbedakan menjad dua, yatu varabel respon (dependent varable), dan predktor (ndependent varable). Varabel respon basanya dsmbolkan dengan Y dan varabel bebas basanya dsmbolkan dengan X. Hubungan n dapat dnyatakan dalam persamaan matemats yang dnamakan persamaan regres. Persamaan regres dapat berbentuk lnear maupun non-lner. Analss regres logstk dapat dgunakan mengetahu pengaruh beberapa varabel bebas yang dapat bersfat kategork maupun numerk terhadap varabel respon yang mempunya sfat kategork. Varabel respon pada regres logstk berdata bner berdstrbus bnomal (Hosmer dan Lemeshow, 2000:7). Menurut Agrest (2002:123) regres logstk adalah Generalzed Lnear Models (GLM) atau model lnear umum dengan komponen acak bnomal dan fungs penghubung logt (nvers dar fungs logstk). Pendugaan parameter regres logstk dlakukan dengan pendekatan kemungknan maksmum dengan menggunakan metode teras Newton- Raphson. Menurut Hosmer dan Lemeshow (2000: ) regres logstk senstf terhadap kolnertas (hubungan lnerantar varabel) d antara peubah bebas yang terdapat d dalam model. Multkolnertas yang terdapat ddalam model dapat dperksa dengan melhat nla Varance Inaton Factors (VIF). Asums dalam regres logstk adalah ragam amatan sama dengan ragam dugaan. Apabla asums n tdak terpenuh akan menyebabkan overdspers yatu ragam amatan lebh besar darpada ragam dugaan (ragam dstrbus bnomal). Hal-hal penyebab overdspers antara lan, kesalahan dalam penentuan fungs penghubung, terjadnya korelas antar pengamatan, terdapat pengelompokan serta menghlangkan kovarat yang pentng (Hnde & Demetro, 2007:5). Adanya overdspers menyebabkan galat baku menjad underestmate, sehngga dperoleh model regres yang kurang tepat dan berpengaruh terhadap penarkan kesmpulan yang juga tdak tepat. Overdspers pada regres logstk dapat dselesakan dengan beberapa cara yatu memasukkan efek acak pada model lalu menggunakan metode Wllam, serta menggunakan metode beta bnomal. Berdasarkan latar belakang dalam penulsan kal n akan dgunakan metode beta bnomal yang berupa gabungan antara sebaran beta dengan bnomal untuk menyelesakan masalah overdspers pada regres logstk. 45

2 2 Landasan Teor 2.1 Dstrbus Bnomal Jka peubah acak bernoull damat pada n percobaan dmana antara setap percobaan bersfat salng bebas dan peluang munculnya kejadan sukses pada setap percobaan bersfat konstan yatu p, maka banyaknya kejadan sukses X dantara n percobaan akan berdstrbus bnomal dengan parameter n dan p serta dapat dnotaskan dengan X ~ Bnomal (n,p). Fungs kepadatan peluang untuk X adalah : n p x q nx ; x 0,1,..., n f x x 0 ; selannya Dengan mean-nya : E(X) = np dan varans-nya : Var(X) = np(1-p) 2.2 Analss Regres Lner Berganda Analss regres lner berganda dpergunakan untuk mengetahu pengaruh antara satu peubah respon dengan banyak atau lebh dar satu peubah penjelas. Menurut Suyono (2015:26) untuk pengujan hpotess dan untuk membuat nterval konfdens parameter galat-galat acak dasumskan sebaga berkut : 1. Nla rata-rata dar galat adalah nol 2. Varans dar galat adalah konstan (homoskedastk) 3. Tdak terjad autokorelas pada galat 4. Galat berdstrbus normal Persamaan umum dar analss regres lner berganda sebaga berkut : Y X X X k k dmana Y=Varabel respon ; X 1,X 2,X k =Varabel penjelas ; β 0 =konstanta atau Intersep ; β 1,β 2,β k = Koefsen dengan ε = ssa(error) untuk pengamatan ke- yang dasumskan berdstrbus normal yang salng bebas dan dentk dengan rata-rata 0 (nol) dan varans σ 2. Model regres lner berganda dapat dperoleh dengan melakukan estmas terhadap parameter-parameternya menggunakan metode kuadrat terkecl (MKT) (ordnary least square/ols) dan metode kemungknan maksmum (MKM) (maxmum lkelhood estmaton/mle) dengan 1 penduga β yatu ( T T X X ) X Y 2.3 Model Lner Umum Model lnear umum alah pengembangan dar model lnear klask yang varabel responnya salng bebas. Model lner umum dasumskan mengkut dstrbus keluarga eksponensal yang merupakan dstrbus dengan sfat yang lebh umum dan adapat dtulskan sebaga berkut : ( g)( ) ( ) Dengan 0 1X 1 k Xk Menurut (Gll J, 2001:31) Model Lnear umum memlk tga komponen, yatu : 1. Komponen acak, yatu komponen X, =1,2,...n merupakan varabel acak yang yang dstrbusnya masuk ke dalam dstrbus keluarga eksponensal dangan rata-rata µ, msal µ =E(Y ), =1,2,..., N 2. Komponen sstematk yang menunjukkan fungs lner dar varabel penjelas. Msal X j menyatakan nla penduga j dmana (j=1,2,...,p) untuk subjek. X X p p 3. Fungs penghubung, yatu suatu fungs g yang menghubungkan komponen acak dan komponen sstematk sehngga E(Y ) = µ =g -1 ( ). 46

3 2.4 Analss Regres Logstk Bner Analss regres logstk adalah analss yang dgunakan untuk menganalss hubungan antara peubah respon (Y ) yang bersfat kategork atau numerk. Apabla untuk setap objek amatan ke-, = 1, 2,..., n kategor dar peubah respon hanya memlk dua kemungknan nla (msalnya Y =1 untuk kejadan sukses dan Y =0 untuk kejadan gagal) dan Y dasumskan berdstrbus bnomal dengan paramtere n dan p maka analss regres logstk tersebut dnamakan juga sebaga analss regres logstk bner. Model regres logstk bner yang menunjukkan hubungan lner antara nlanla dar transformas logt dengan peubah penjelasnya dberkan oleh p log X X... X 1 p k k Pendugaan Parameter Model Regres Logstk Bner Metode kuadrat terkecl (MKT) tdak dapat dgunakan untuk menduga parameter pada regres logstk bner karena dapat mengakbatkan dperolehnya taksran yang terlalu rendah (underestmate) atau taksran yang terlalu tngg (overestmate) yang akan mempengaruh perhtungan nterval kepercayaan. Maka dgunakan metode kemungknan maksmum (MKM) dengan persamaannya n ln L( ) X1 Y n p 1 1 Dalam mencar nla dugaan β menggunakan metode newton raphson dperlukan beebrapa langkah yatu 1. Memlh taksran awal β 2. Menentukan vektor graden (U ) yang beranggotakan turunan pertama dar fungs lkelhood terhadap β 3. membentuk matrks Hessan yang beranggotakan turunan kedua fungs lkelhood terhadap β 4. Pada setap teras ke-(t+1), dengan t=0,1,.. dhtung dengan nla dugaan baru yatu β (t+1) secara teratf dengan rumus Dengan Iteras berlanjut hngga ( t1) ( t) ( t1) ( t) ( t) 1 ( t) H U,atau teras dhentkan jka selsh Antara ( t 1) () t sangatlah kecl Uj Sgnfkans Parameter a. Uj Serempak Uj Serempak dlakukan untuk melhat pengaruh varabel penjelas secara bersama-sama terhadap varabel respon. Uj serempak melalu perbandngan raso kemungknan atau uj G memlk hpotess dan H 1 : Tdak Semua 0 H0 : k 0 dmana = 1,2,...,k dengan k = banyaknya varabel bebas X dan β = Parameter ke - model regres lner dengan statstk uj G dmana L p G 2ln ~ L p p : Fungs lkelhood model dugaan p : Fungs lkelhood model penuh 2 Jka G k maka H 0 dtolak yang berart peubah penjelas X berpengaruh nyata terhadap peubah respon Y. b. Uj Parsal Uj Parsal (Uj Wald) dlakukan untuk melhat peranan masng-masng varabel 2 k 47

4 penjelas terhadap varabel respon. Hpotess yang akan duj H 0 : β = 0 (koefsen β tdak sgnkan secara statstk) H 1 : β 0 (koefsen β sgnkan secara statstk) dmana = 1,2,...,k dengan k = banyaknya varabel bebas X dan β = Parameter ke - model regres lner Statstk Uj Wald : W se dengan : se : Galat baku penduga β, : koefsen dugaan peubah predktor : 0,1,2,...,n statstk uj Wald mengkut sebaran normal dengan krtera keputusan menerma H 0 jka W Z berart β tdak sgnfkan dan dapat dsmpulkan bahwa peubah penjelas β tdak berpengaruh terhadap peubah respon. 2.5 Kesesuaan Model Logstk Bner Pada analss regres logstk bner, pengujan kesesuaan model dugaan ddasarkan pada statstk uj ch kuadrat Pearson. Statstk uj Pearson merupakan fungs dar ssaan yatu selsh dar nla aktual dengan nla dugaan dan ddefnskan sebaga berkut : Nla harapan dar sebaran χ 2 sama dengan derajat bebasnya jka nla ch kuadrat Pearson jauh lebh besar dar derajat bebasnya, maka asums dar keragaman bnom tdak terpenuh. Akake's Informaton Crteron (AIC) atau Krtera Informas Akake alah ukuran relatf kebakan untuk mengepas dar model statstk dengan membahas antara akuras dan komplekstas model. AIC ddefnskan dengan : AIC( k) 2ln( ) 2k dmana k = Jumlah parameter dalam model statstk dan = nla maksmal dar fungs kemungknan maksmum untuk model dugaan. 2.6 Raso Odds Hosmer dan Lemeshow (2000:53) menyatakan bahwa log odds untuk model regres logstk dengan nla peubah bebas lebh dar satu ddefnskan sebaga selsh antara penduga logt untuk suatu peubah bebas X j bernla a dengan penduga logt untuk peubah bebas X j bernla b dmana peubah bebas lannya dasumskan konstan, yatu 3 Pembahasan 3.1 Overdspers pada Regres Logstk Bner Saat model logstk lner danggap sudah cukup sesua tetap nla mean Pearson lebh dar satu maka asums keragaman berdasarkan dstrbus bnomal menjad tdak vald. Masalah tersebut dkatakan sebaga Overdspers. Overdspers mengakbatkan nla penduga ragam lebh besar darpada ragam d bawah asums bnomal. Apabla nla penduga ragam tersebut dgunakan untuk menark kesmpulan (pengujan hpotess) maka cenderung akan menolak H 0. Menurut (Hnde dan Demetro,2007:5) terdapat sejumlah keadaan yang mengndkaskan overdspers, yatu komponen sstemats dar model yang tdak tepat (pengelompokan, penghlangan kovarat pentng), terjadnya korelas antar amatan, adanya penclan serta penggunaan fungs penghubung (lnk functon) yang tdak tepat. Apabla hal-hal yang dapat menyebabkan overdspers tersebut dapat datas maka overdspers dapat djelaskan oleh keragaman antara peluang respon serta adanya korelas antara peubah respon. 48

5 3.1.1 Keragaman Antar Peluang Respon Pada kelompok objek percobaan yang kondsnya homogen, peluang respon atau peluang terjad-nya kejadan sukses (p ) dapat berbeda antara satu kelompok dengan lannya. Hal n dsebabkan oleh suatu pengaruh yang tdak terobservas. Dberkan var( Y ) n p (1 p ){1 ( n 1) }, Jka tdak terdapat keragaman acak dalam peluang np), artnya var( Y ) n p (1 p ) sama respon, (Y ) akan menyebar Bnomal ( dengan ragam dbawah asums bnomal. Namun jka terdapat keragaman maka ragam dar Y akan berubaha sebesar {1 ( n 1) } Korelas Antar Respon Bner Jka tdak ada korelas antar amatan maka var( Y ) n p (1 p ) sama dengan ragam d bawah asums bnomal. Jka terdapat korelas postf antar amatan, maka var( Y ) n p (1 p ) sehngga dapat dsmpulkan bahwa adanya korelas antar amatan dalam kelompok yang sama dapat mengakbatkan keragaman yang lebh besar dbandngkan dengan keragamaan yang dhaslkan jka antar amatan dasumskan salng bebas. 3.2 Metode Beta Bnomal Dstrbus bnomal mengasumskan bahwa nla parameternya telah dtetapkan, dstrbus marjnal mengznkan terjadnya varas dbandngkan hanya dstrbus bnomal saja. Metode beta bnomal alah salah satu cara untuk mengatas overdspers yang terjad pada model bnomal basa. Metode beta bnomal alah hasl gabungan dar dstrbus beta dengan dstrbus bnomal dengan fungs kepadatan peluangnya n Ba y, n b y P( Y y n, a, b) ; y 0,1,..., n y Ba, b Dengan Mean-nya na E( Y n, a, b) a b dan varans-nya nab a b n Var( Y n, a, b) 2 a b a b Aplkas Pemodelan Overdspers Pemodelan Overdspers pada peneltan n menggunakan data prmer yang terndkas terdapat overdspers ddalamnya dan permasalahan overdspers akan dselesakan menggunakan metode beta bnomal. Data prmer dengan judul "Data nla bahasa Indonesa mahasswa matematka angkatan " dperoleh dar Pusat Teknolog Informas dan Komputer Unverstas Neger Jakarta (PUSTIKOM UNJ) serta mash menerapkan kategor nla A,B,C,D, dan E tanpa tanda (+) ataupun (-). Penggunaan varabel bebas dalam data mengacu pada jurnal acuan "Overdspers dalam Regres Logstk" karya Anang Kurna yang telah dpublkaskan dalam Forum statstka dan komputas tahun Deskrps Data Data prmer n menjelaskan mengena data dr atau faktor-faktor yang mungkn mempengaruh mata kulah Bahasa Indonesa yang bernla A atau B. Peubah respon yang damat dalam data n adalah mata kulah Bahasa Indonesa yang bernla A atau B d semester pertama setap angkatan dan bukan merupakan hasl pebakan d semester selanjutnya. Pemlhan peubah respon n ddasarkan bahwa tdak ada mahasswa yang telah memperoleh nla A atau B pada mata kulah bahasa ndonesa untuk mengulang mata kulah tersebut d semester selanjutnya. Hpotess selanjutnya yatu peluang mahasswa untuk mendapatkan nla A atau B pada mata kulah bahasa ndonesa dapat berbeda antar satu mahasswa dengan mahasswa yang lannya, hal tersebut terjad karena dsebabkan oleh adanya suatu pengaruh yang tdak terobservas sehngga dharapkan data n akan menunjukkan overdspers. Data yang dperolah dalam peneltan n sejumlah 206 data yang terbag ke dalam 4 angkatan yatu angkatan 2012 (45 orang), angkatan 2013 (51 orang), angkatan 2014 (34 orang), dan angkatan 2015 (76 orang). Populas dar peneltan n alah mahasswa matematka angkatan Tahapan pengolahan data sebaga berkut 1. Deskrps Data Nla Bahasa Indonesa Profl dan Latar Belakang Mahasswa Prod Matematka Djelaskan mengena nformas umum dar data yang akan dolah beserta dengan hpotessnya. 49

6 2. Penentuan dan Pengklasfkasan Varabel dependen dan Independen Data yang djelaskan secara umum kemudan djabarkan lebh lanjut tentang pengkategoran (beserta alasan), jumlah persentase, dan nfo lannya. 3. Uj Multkolneartas Uj multkolneartas dengan melhat nla VIF, jka kurang dar 10 maka tdak terdapat multkolneartas ddalamnya 4. Pendugaan Parameter Regres Logstk 5. Pengecekan Overdspers Model regres logstk yang telah dduga kemudan d cek menggunakan statstk uj pearson 6. Uj Sgnfkans Parameter 1. Serempak Dperoleh nla G=70,119 dan χ 2 = 24,99579 kareana G> χ 2 maka terma H 0 2. Parsal Parameter yang tdak sgnfkan (nla parameter datas= 0,05) pada model penuh regres beta bnomal dkeluarkan satu persatu dar model mula dar nla yang terbesar hngga ke yang terkecl secara berurutan. Parameter yang palng tdak sgnfkan dkeluarkan terlebh dahulu, kemudan dlakukan pendugaan parameter regres beta bnomal. 50

7 7. Pendugaan Parameter Regres Beta Bnomal 8. Uj Kesesuan Model Uj Kesesuaan model dlakukan dengan melhat nla statstk Uj Pearson dan membandngkannya dengan χ 2. Apabla nla statstk uj Pearson lebh kecl dar nla ch-square tabelnya maka model yang terbentuk telah sesua. 9. Pemlhan Model Terbak Model terbak dengan melhat nla AIC terkecl dar model model yang tdak lag mengalam overdspers 51

8 10. Interpretas dengan Raso Odds 1. Parameter X 1, Angkatan, memlk nla odds Rato terkecl dbandng parameter lannya. Na odds rato varabel X 1 sebesar 0,51 dalam melhat pengaruh terhadap Nla Mata Kulah Bahasa Indonesa dengan batas bawah selang sebesar 0,37 dan batas atasnya sebesar 0,7. 2. Parameter Lama Sekolah, X 7 memlk nla odds Rato terbesar dbandng parameter lannya. Nla odds rato varabel X 7 sebesar 4,77 dalam melhat pengaruh terhadap nla Mata Kulah Bahasa Indonesa dengan batas bawah selang sebesar 0,4 dan batas atasnya sebesar 6, Parameter X 5 yatu parameter nla jazah dan parameter X 9 yatu parameter ndeks prestas semester merupakan kedua parameter yang tdak memuat angka nol pada batas nla lower dan upper. Hal n berart bahwa parameter X 5 dan X 9 bersfat sgnfkan atau bermakna apabla dbandngkan oleh parameter lan d dalam model terbak yang menyatakan pengaruh terhadap nla Mata Kulah Bahasa Indonesa 4 Kesmpulan 1. Model regres yang varabel responnya berdstrbus bnomal dsebut model regres Logstk Bner. Model regres Logstk Bner yang menunjukkan hubungan lner antara nla-nla dar transformas logt dengan peubah penjelas dberkan oleh 52

9 2. Overdspers pada regres Logstk Bner terjad ketka nla (δ> 0) sehngga mengakbatkan nla ragam yang dhaslkan lebh besar darpada nla ragam d bawah asums bnomal yatu var( Y ) n p (1 p ) Model regres Beta Bnomal merupakan gabungan dar dstrbus beta dengan dstrbus bnomal. Regres Beta Bnomal dgunakan untuk menduga data bnom dengan memodelkan keragaman peluang respon melalu sebaran beta, dmana fungs kepadatan peluang beta bnomal yatu n Ba y, n b y P( Y y n, a, b) ; y 0,1,..., n y Ba, b 3. Model Beta Bnomal mampu mengats masalah overdspers, hal n terbukt dar statstk uj pearson dar semula 1,016 menjad 0,968. Daftar Pustaka Collet, D "Modellng Bnary Data 2 nd edton". Chapman Hall : London. Ennes, D.M, B, Jan,1997, "The Beta-Bnomal Model: Accountng for Intertral Varaton n Replcated Dference and Preference Tests", Journal of Sensory Studes vol.13, pp Gll,Jeff.2001."Generalzed Lner Models : A Unfed Approach.". Sage Publcatons Inc: London. Gujarat, D.N dan Porter, C.D "Basc Econometrcs 5 th edton.". McGraw-Hll: New York. Hajarsman, Nusar,1998, "Kajan Perbandngan Model Regres Beta Bnomal dengan Model Regres Logstk dan Penerepannya untuk Menduga Pola Kelulusan Mahasswa TPB- IPB", Thess pada Program Pascasarjana, Program stud Statstka, IPB Bogor, Thess tdak dpublkaskan. Halm, Izzudn,2012, "Penyelesaan Masalah Overdspers pada Regres Posson Menggunakan Regres Bnomal Negatf", Skrps pada FMIPA Unverstas Neger Jakarta, Tdak Dterbtkan Hosmer, D.W dan Lemeshow, S "Appled Logstc Regresson 2 edton."wley: New York. Kurna, Anang,2002, "Overdspers dalam Regres Logstk", Forum Statstka dan Komputas,pp Kutner, M.H dkk "Appled Lnear Statstcal Models 5 edton.". McGraw-Hll: New York. Lee, Peter M "Bayesan Statstcs: An Introducton, 4 th edton.". Wley:New York. Nngsh, Retno,2011, "Overdspers pada Regres Logstk Bner", Skrps padafmipa Unverstas Neger jakarta, Tdak Dterbtkan Senja, D.R.V, dkk,2013, "Penanganan Overdspers Menggunakan Regres Beta Bnomal pada Regres Logstk",Jurnal FMIPA Unverstas Brawjaya Malang, Tdak Dterbtkan Yunana, D.R,2014 "Pemlhan Metode Beta-Bnomal dan Logstc-Normal ", Jurnal FMIPA Unverstas Brawjaya, Tdak Dterbtkan Wllam, D.A,1982, "Extra-Bnomal Varaton n Logstc Lnear Models", Journal Royal Statstcal Socety, pp.31,