Estimasi Parameter Distribusi Gumbel menggunakan Metode Regresi Rank Kuadrat Terkecil Terboboti

Transkripsi

1 Estimasi Parameter Distribusi Gumbel megguaka Metode Regresi Rak Kuadrat Terkecil Terboboti Jumriaa *1, Aisa, Adi Kresa Jaya 3 ABSTRAK Metode kuadrat terkecil yag didasarka pada hubuga atara fugsi distribusi kumulatif empiris da statistik terurut disebut juga regresi rak, dapat diguaka utuk megestimasi parameter dari distribusi. Pada peelitia ii, metode kuadrat terkecil terboboti diguaka utuk megestimasi parameter dari distribusi Gumbel, dimaa ilai bobot sebadig dega ivers dari variasi sampel yag besar dari sebuah fugsi dari statistik terurut. Metode ii diguaka sebagai alteratif dari metode kuadrat terkecil karea terjadiya masalah heteroskedastisitas pada model regresi dari distribusi Gumbel. Model regresi diperoleh dari trasformasi logaritma dari fugsi distribusi kumulatif, dimaa peetua fugsi distribusi kumulatifya megguaka estimator mea rak. Metodologi ii diterapka pada data curah huja tahua di Telagaa, Idia Selata dari tahu yag bersumber dari peelitia Umarfarooque (011). Hasil estimasi meujukka bahwa ilai parameter lokasi sebesar 507,04 mm da parameter skala sebesar 43,79 mm. Kata Kuci : Distribusi Gumbel, Estimator Mea Rak, Heteroskedastisitas, Kuadrat Terkecil Terboboti, Regresi Rak. ABSTRACT Least squares method based o the relatioship betwee the empirical cumulative distributio also called rak regressio, ca be used to estimate the parameters of distributio. I this research, a weighted least squares method is used to estimate the parameters of the Gumbel distributio, where the weights are proportioal to the iverse of the large sample variaces of a fuctio of the order statistics. This method is used as a alterative to the least squares method for the problem of heteroscedasticity i regressio model of the Gumbel distributio. The regressio model obtaied from trasformatio logarithm of the cumulative distributio fuctio, where the determiatio of the cumulative distributio fuctio usig the mea rak estimator. This methodology is applied to the data of aual raifall ( ) i Souther Telagaa, Idia was sourced from research Umarfarooque (011). The estimatio results show that the value of the locatio parameter is 507,04 mm ad scale parameter is 43,79 mm. Keywords : Gumbel Distributio, Mea Rak Estimator, Heteroskedasticity, Weighted Least Squares, Rak Regressio. * Prodi Statistika, Jurusa Matematika, Uivesitas Hasauddi aa.statistik@gmail.com 1

2 1. Pedahulua Statistika iferesia merupaka tekik pegambila kesimpula berdasarka data yag diperoleh dari sampel utuk meggambarka karakteristik atau ciri dari suatu populasi. Statistika iferesia meliputi dua hal petig, yaitu estimasi parameter da pegujia hipotesis. Jika parameter populasi diketahui maka dilakuka pegujia hipotesis utuk meguji kebeara dari asusmsi tetag parameter, tapi jika parameter populasi tidak diketahui maka dilakuka estimasi parameter. Dalam aalisis frekuesi data hidrologi pada data curah huja, sagat jarag dijumpai seri data yag sesuai dega distribusi ormal. Salah satu distribusi yag serig diguaka adalah distribusi Gumbel (Arwi, 007). Distribusi Gumbel diperkealka pertama kali oleh seorag ahli matematika Jerma Emil Gumbel ( ). Fokus Gumbel adalah terutama pada aplikasi dari teori ilai ekstrim utuk masalah rekayasa, dalam pemodela tertetu feomea meteorologi seperti arus bajir tahua. Meurut Waliesta (1997), distribusi Gumbel disebut juga distribusi ilai ekstrim tipe I, bayak diguaka utuk meyataka kejadia debit tahua (Arwi, 007). Berbagai metode telah diusulka utuk megestimasi parameter dari distribusi Gumbel. Salah satu metode yag biasa diguaka adalah metode kuadrat terkecil biasa. Metode ii dilakuka dega metrasformasi distribusi Gumbel ke dalam model regresi rak yag berkaita dega statistik terurut. Secara matematika, estimasi parameter regresi ii dega cara memiimumka jumlah kuadrat error. Namu, salah satu asumsi pada regresi liier sederhaa adalah variasi dari error-ya kosta atau homoskedastisitas (Alle, 1997). Peyimpaga terhadap asumsi homoskedastisitas serig terjadi. Dega adaya pelaggara asumsi ii, pegguaa metode kuadrat terkecil biasa memiliki efisiesi yag redah sehigga perlu dilakuka tidaka perbaika. Meurut Zyl da Schall (011), statistik terurut X 1 X tidak memiliki variasi kosta, sehigga model regresi rak yag terbetuk dari distribusi Gumbel adalah heteroskedastisitas da metode kuadrat terkecil biasa tidak dapat diguaka. Utuk memaksimalka efisiesi estimasi parameter, diguaka metode kuadrat terkecil terboboti dega memberika jumlah bobot yag tepat pada tiap titik data. Pada tulisa ii, parameter distribusi Gumbel aka diestimasi dega megguaka metode kuadrat terkecil terboboti dega meuruka pedekata bobot utuk variasi sampel yag besar dari sebuah fugsi dari statistik terurut utuk mestabilka variasi da diaplikasika pada data curah huja tahua. Fugsi Distribusi Kumulatif (FDK) atiya diestimasi megguaka estimator mea rak.. Tijaua Pustaka.1 Distribusi Gumbel Distribusi Gumbel adalah suatu rumusa distribusi statistik. Distribusi Gumbel termasuk jeis distribusi ilai ekstrim. Fugsi distribusi kumulatif (FDK) da fugsi kepadata peluag (fkp) dari distribusi Gumbel adalah : F x = exp exp x α β f x = 1 x α exp exp x α, x, β > 0 () β β β dimaa : F(x) = FDK dari distribusi Gumbel f x = fkp dari distribusi Gumbel α = parameter lokasi β = parameter skala x = variabel acak kotiu (Aggu Haryato, 011). (1)

3 . Regresi Liier Sederhaa Meurut Sembirig (1995), model regresi adalah model yag memberika gambara megeai hubuga atara variabel bebas X da variabel tidak bebas Y yag dipegaruhi oleh beberapa parameter regresi yag belum diketahui ilaiya. Jika aalisis regresi dilakuka utuk satu variabel bebas dega satu variabel tidak bebas, maka regresi ii diamaka regresi liear sederhaa dega model sebagai berikut : Y i = θ 0 + θ 1 X i + e i, i = 1,,, (3) dimaa : Y = variabel tidak bebas θ 0, θ 1 = koefisie regresi X = variabel bebas e i = error dega asumsi e i berdistribusi ormal dega rata-rata 0, variasi σ, da salig idepede (Kusuma, 007). Model regresi liear sederhaa dalam otasi matriks sebagai berikut : Y = Xθ + e..3 Metode Kuadrat Terkecil Biasa Kosep dari metode kuadrat terkecil biasa adalah megestimasi parameter regresi dega memiiumka jumlah kuadrat error. Utuk memperoleh estimator pada persamaa (3) maka dilakuka dega metode kuadrat terkecil biasa, yaitu : SSR = e i i=1 = e 1 + e + + e e 1 e = e 1 e e e = e t e = Y Xθ t Y Xθ, (4) dega meuruka persamaa (4) terhadap θ da meyamaka hasil turuaya terhadap ol, maka diperoleh estimasi utuk θ: θ = X t X 1 X t Y (5) (Abdul Aziz, 007)..4 Metode Kuadrat Terkecil Terboboti Salah satu asumsi yag harus dipeuhi agar model bersifat BLUE (Best Liear Ubiased Estimator) adalah harus terdapat variasi yag sama dari setiap error-ya atau homoskedastisitas, dega kata lai var(e i ) = σ. Apabila asumsi ii tidak terpeuhi maka yag terjadi adalah sebalikya, yaki heteroskedastisitas. Heteroskedastisitas berarti variasi error berbeda dari suatu observasi ke observasi laiya (Firdaus, 004). Meurut Nachrowi da Hardius (006 alteratif model estimasi yag baik utuk berhadapa dega heteroskedastisitas adalah metode kuadrat terkecil terboboti, karea disampig kuadrat terkecil terboboti memiliki kemampua utuk meetralisir akibat dari pelaggara asumsi heteroskedastisitas, kuadrat terkecil terboboti juga tidak kehilaga sifat ketakbiasa da kosistesi dari model estimasi kuadrat terkecil terboboti. Misalka model yag diguaka adalah model pada persamaa (3), yaitu Y = Xθ + e, dega asumsi E e = 0 da var e = E ee t = Vσ dimaa V adalah matriks defiit positif berukura yag diketahui. Jika V adalah matriks defiit positif maka terdapat suatu matriks simetris P berukura yag osigular sedemikia sehigga P t P = V 1 da PVP t = I (Judge dkk., 1988). 3

4 Misalka bahwa f = Pe sehigga E f = 0 da var f = E(ff t ) = Iσ. Jika persamaa Y = Xθ + e digadaka dega P, maka aka diperoleh sebuah model baru sebagai berikut : PY = PXθ + Pe atau Z = Qθ + f, (6) dega Z = PY, Q = PX da f = Pe. (Drapper ad Smith, 199). Pemiimala ff t terhadap θ dega cara sama pada metode kuadrat terkecil biasa utuk θ pada model yag telah ditrasformasika adalah : θ = Q t Q 1 Q t Z = X t V 1 X 1 X t V 1 Y. (7).5 Statistik Terurut Defiisi 1 (Hogg da Craig, 1995) Misalka X 1, X,..., X merupaka sebuah sampel acak berukura dari sebuah distribusi kotiu yag mempuyai fkp f(x) positif, utuk a < x < b. Jika X (1) adalah ilai terkecil dari (X 1, X,, X ), X () adalah ilai terkecil kedua dari (X 1, X,..., X ),..., X () adalah ilai terbesar dari (X 1, X,..., X ). Maka aka berlaku hubuga sebagai berikut: X (1) < X () <... < X (). Dalam hal ii, X (i), i = 1,,..., diamaka statistik terurut ke-i dari sampel acak X 1, X, X 3,..., X. Teorema 1 (Casella da Beger, 1990) Misalka X 1, X, X 3,..., X merupaka sebuah sampel acak berukura dari sebuah distribusi populasi kotiu yag mempuyai fugsi kepadata peluag f(x) da fugsi distribusi kumulatif F x. Maka, fugsi kepadata peluag dari statistik terurut ke-i diberika oleh :! g i x i = f x i 1 i i 1! i! i F x i 1 F x i, a < x i < b = 0, laiya. (8).6 Pedekata Bobot utuk Variasi Sampel yag Besar Bobot utuk regresi adalah ivers dari variasi yag medekati fugsi Λ skalar dari statistik terurut. Hal ii diasumsika bahwa turua dari Λ kotiu pada ilai harapa dari statistik terurut. Misalka X 1,, X meujukka suatu sampel berukura dari distribusi F dega statistik terurut X (1) X () yag bersesuaia. Ekspresi kuadrat terkecil terboboti dega memperhatika parameter utuk memiimalka i=1 w i [E Λ(x (i) ) Λ(x (i) )], dimaa bobot utuk kuadrat error e i = [Λ(X i ) Λ(x (i) )] ke-i adalah w i = 1/var Λ(x (i), i = 1,,. Fugsi Λ tidak perlu mejadi fugsi liear dari statistik terurut. Statistik F x i,, F x adalah distribusi beta dega F x i ~Beta i, i + 1, dimaa : E F x (i) = m i = i var F x (i) = +1 i i+1 = m i(1 m i ) (+) +1 + (9) 4

5 Misalka X i sedemikia sehigga F 1 X i = i +1. Secara asimtotik diperoleh [x (i) X i ] d Z, dimaa Z~N(0, σ i ) dega σ i = m i(1 m i ) (+)(F (X i )), i = 1,, da F m i = f m i ada (Dasgupta, 008). Metode delta dapat diterapka utuk medapatka perkiraa variasi skalar fugsi berilai Λ dari statistik terurut, di maa diasumsika bahwa turua pertama dari Λ adalah kotiu pada X i da Λ (X i ) 0. Selajutya, (Λ(x i ) Λ(X i )) ~ N 0, var(x (i) ) dλ(x (i)) sehigga dapat disimpulka bahwa var(λ(x i )) m i 1 m i dλ(x (i)) (+)(f(x i )) dx (i) x i =X i dx (i) x i =X i, i = 1,, Selajutya jika Λ(x (i) ) dalam betuk Λ(x (i) ) = Λ(F(x (i) )) dapat dilihat bahwa var(λ(f(x i )) m i(1 m i ) dλ(f(x (i))) (+)(f(x i )) df(x (i) ) (Zyl da Schall, 011). = m i 1 m i (+) dλ(f(x i )) df(x i ). x i =X i d(f(x (i) )) d(x (i) ) x i =X i.7 Metode Regresi Rak Kuadrat Terkecil Terboboti Metode kuadrat terkecil yag didasarka pada hubuga atara fugsi distribusi kumulatif empiris da statistik terurut sebagai variabel bebas disebut juga regresi rak, dapat diguaka utuk megestimasi parameter dari distribusi (Zyl da Schall, 011). Metode ii dilakuka dega metrasformasi fugsi distribusi kumulatif (FDK) dari suatu distribusi ke dalam betuk liear. Selajutya dibetuk model regresi rak yag berkaita dega statistik terurut. Estimasi parameter dari suatu distribusi diperoleh dega meerapka metode kuadrat terkecil terboboti pada persamaa (7) dega bobot adalah ivers dari variasi fugsi statistik terurut. 3. Hasil da Pembahasa 3.1 Estimasi Parameter Distribusi Gumbel megguaka Metode Regresi Rak Kuadrat Terkecil Terboboti Trasformasi Logaritma Fugsi Distribusi Kumulatif Distribusi Gumbel Fugsi distribusi kumulatif Gumbel merupaka fugsi o-liear yag aka ditrasformasi ke fugsi liear dega megguaka trasformasi logaritma yaitu : F x = exp exp x α β log( log F(x)) = x α β. (11) 3.1. Model Regresi Rak Misalka x 1, x,, x adalah sampel acak berukura dega statistik terurut x (1), x (),, x () dega asumsi bahwa sampel berdistribusi Gumbel dua parameter dega parameter α da β tidak diketahui, dimaa α da β meyataka estimator dari α da β. Utuk sampel berukura dari distribusi Gumbel dega statistik terurut x 1, x,, x, persamaa (11) mejadi : (10) 5

6 log( log F(x i )) = 1 x β i α (1) β dimaa i = 1,,, adalah omor urut ke-i da F x (i) adalah estimator oparametrik dari F x (i), yaitu estimator mea rak F x i = m i = i. +1 Dari persamaa (1) dapat ditetuka model regesi sebagai berikut : log( log F(x i )) = 1 x β i α + e β i. (13) Misalka bahwa Y i = log( log F(x i )) X i = x i θ 0 = α β θ 1 = 1 β, sehigga persamaa (13) dapat ditulis sebagai berikut : Y i = θ 0 + θ 1 X i + e i Estimasi Parameter Meurut Zyl da Schall (011), statistik urut x (1) x () tidak memiliki variasi kosta, sehigga model regresi yag terbetuk dari distribusi Gumbel pada persamaa (13) adalah heteroskedastisitas da metode kuadrat terkecil tidak dapat diguaka melaika perlu dilakuka tidaka perbaika. Metode yag diguaka utuk megestimasi parameter distribusi Gumbel adalah metode regresi rak kuadrat terkecil terboboti Peetua Nilai Pembobot w i Misalka x 1,, x meujukka suatu sampel berukura dari distribusi F x = F(x; α, β) dimaa α da β adalah parameter yag tidak diketahui dega statistik terurut x (1) x () yag bersesuaia. Metode kuadrat terkecil terboboti diguaka utuk megestimasi parameter dega cara memiimalka i=1 w i [Λ(F(x i )) Λ(F(x i ))], dimaa bobot utuk kuadrat error e i = [Λ(F(x i )) Λ(F(x i ))] ke-i adalah w i = 1 = 1, i = 1,,. var e i var Λ(F(x i )) Misalka sebuah sampel berukura dari distribusi Gumbel dua parameter dega parameter a da β. Pedekata variasi dari log log F x i adalah : var log log F x i var log log F x i = Sehigga diperoleh pembobot : 1 w i = var log log F x i = + i +1 1 i +1 log i +1 m i 1 m i i +1 i log +1 d log log F x i df(x i ) i +1, i = 1,,,. (14) Peetua Nilai Estimasi Parameter α da β dari Distribusi Gumbel Utuk megestimasi parameter pada persamaa (13) yag bersifat heteroskedastisitas, diguaka metode kuadrat terkecil terboboti. Persamaa (13) dapat dibetuk ke dalam model regresi liear sederhaa, yaitu : Y i = θ 0 + θ 1 X i + e i. Model regresi liear sederhaa dalam otasi matriks sebagai berikut : Y = Xθ + e, 6

7 Utuk meetuka estimasi θ 0 da θ 1 yag kemudia diotasika dega θ 0 da θ 1, dilakuka dega meerapka persamaa (7) yaitu : θ = X t V 1 X 1 X t V 1 Y = w i X i=1 i i=1 w i Y i i=1 w i X i i=1 w i X i Y i i=1 w i w i X i=1 i w i X i=1 i. i=1 w i i=1 w i X i Y i i=1 w i X i i=1 w i Y i i=1 w i w i X i=1 i i=1 w i X i Dega meggati ilai Y i = log log F x (i) da θ 0 = θ 1 = da X i = x (i), diperoleh w i x i=1 (i) i=1 w i log log F x (i) i=1 w i x (i) i=1 w i x (i) log log F x (i) i=1 w i w i x i=1 (i) w i x i=1 (i) i=1 w i i=1 w i x i log log F x i i=1 w i x i i=1 w i log log F x i i=1 w i i=1 w i x i w i x i=1 i Nilai estimasi parameter α da β dari distribusi Gumbel, dipersoleh dari : θ 0 = α/β θ 1 1/β. Sehigga da β = α = i=1 w i i=1 w i x i w i x i=1 i i=1 w i i=1 w i x i log log F x i i=1 w i x i i=1 w i log log F x i w i x i=1 (i) i=1 w i log log F x (i) i=1 w i x (i) i=1 w i x (i) log log F x (i) i=1 w i i=1 w i x i log log F x i i=1 w i x i i=1 w i log log F x i 3. Aplikasi pada Data Data yag diguaka dalam peelitia ii merupaka data sekuder berupa data curah huja tahua di Telagaa, Idia Selata dari tahu yag diperoleh dari Idia Joural of Natural Scieces. Variabel yag diguaka dalam peelitia ii sebagai berikut : X : data curah huja tahua (mm) Y : trasformasi logaritma dari fugsi distribusi kumulatif distribusi Gumbel, dega jumlah sampel = Uji Kesesuaia Distribusi Utuk meguji apakah data curah huja tahua di Telagaa, Idia Selata dari tahu megikuti distribusi Gumbel, diguaka uji Chi-square dega hasil sebagai berikut : 1. Hipotesis H 0 : data megikuti distribusi Gumbel H 1 : data tidak megikuti distribusi Gumbel. Tigkat sigifikasi sebesar 5% = Kriteria keputusa Tolak H 0 jika χ (ilai statistik)> χ α,df. 4. Kesimpula (15) (16) (17). (18) 7

8 Hasil uji Chi-Square dega software Easy Fit 5.5 Tabel 1. Hasil Uji Chi-Square Chi-Square Derajat kebebasa 4 Nilai statistik (χ ) Tigkat sigifikasi (α ) Nilai kritis Sumber : Hasil olah data, 014. Berdasarka output software Easy Fit 5.5 pada Tabel 1 diperoleh ilai kritis utuk tigkat sigifikasi α = 0.05 da derajat kebebasa df = 4 adalah da ilai statistik adalah Karea ilai statistik (χ ) < ilai kritis (χ α,df ) yaitu < , maka H 0 diterima. Oleh karea itu, dapat disimpulka bahwa data curah huja tahua di Telagaa, Idia Selata dari tahu berdistribusi Gumbel. 3.. Pedeteksia Heteroskedastisitas Utuk medeteksi adaya heteroskedastistas diguaka uji White. Utuk meujukka apakah data curah huja tahua di Telagaa, Idia Selata dari tahu megalami gaggua heteroskedastisitas diguaka batua software SPSS 17 dega hasil sebagai berikut : 1. Formulasi hipotesis H 0 : tidak terdapat masalah heteroskedastisitas dalam model. H 1 : terdapat masalah heteroskedastisitas dalam model.. Tigkat sigifikasi sebesar 5% = Kriteria pegujia Tolak H 0 jika R > χ α,df, dimaa χ α,df adalah tabel distribusi Chi-square pada tigkat sigifikasi α = 0.05 da deraja kebebasa df =. 4. Kesimpula Hasil uji White dega software SPSS 17. Tabel. Hasil Uji White Model Summary b Model R R Square Adjusted R Square Std. Error of the Estimate a a. Predictors: (Costat), x, X b. Depedet Variable: e Sumber : Hasil olah data, 014 Output utuk uji heteroskedastisitas pada Tabel memberika hasil perkalia bayak observasi dega koefisie determiasi sebagai berikut : R = = 34.54, dipihak lai didapatka ilai χ α,df tabel dega derajat kebebasa df = dega tigkat kesalaha α = 0.05 sebagai berikut : χ 0.05, = (dapat dilihat pada tabel distribusi Chi-Square) da didapatka perbadiga sebagai berikut : R > χ α,df, dega demikia H 0 ditolak da dapat disimpulka bahwa terdapat masalah heteroskedastisitas dalam model. 8

9 3..3 Nilai Estimasi Parameter Distribusi Gumbel dega Metode Kuadrat Terkecil Terboboti Dega megguaka persamaa (15) da (16) diperoleh ilai θ 0 da θ 1 sebagai berikut : θ 0 = da θ 1 = , sehigga diperoleh ilai β = da α = Dari hasil pegolaha data curah huja tahua di Telagaa, Idia Selata dari tahu ( ) diperoleh ilai estimator parameter distribusi Gumbel adalah α = da β = Sehigga, model distribusi Gumbel-ya adalah 1 f x i = exp x i exp x i , x dimaa x i meyataka data curah huja tahua tahu ke-i di Telagaa, Idia Selata Plot Data Distribusi Gumbel Gambar 1 Grafik Data Curah Huja Tahua di Telagaa, Idia Selata Terhadap Peluag Gumbel Gambar 1 meujukka fugsi kepadata peluag distribusi Gumbel pada data curah huja tahua di Telagaa, Idia Selata pada tahu dega ilai parameter lokasi da skala masig - masig adalah α = da β = Parameter lokasi (α) meujukka titik pemusata data. Semaki besar ilai parameter lokasi, maka distribusi data aka bergeser ke kaa, begitu pula sebalikya, semaki kecil ilai parameter lokasi, maka distribusi data aka bergeser ke kiri. Sedagka, parameter skala ( β ) meujukka sebara dari distribusi data. Semaki besar ilai parameter skala, maka distribusi data aka semaki meyebar, begitu pula sebalikya, semaki kecil ilai parameter skala, maka distribusi data semaki meyempit. 4. Kesimpula da Sara 4.1 Kesimpula Dari hasil aalisis yag telah dilakuka da berdasarka pejelasa yag telah diberika, maka dapat diambil beberapa kesimpula sebagai berikut: 1. Hasil estimasi parameter distribusi Gumbel megguaka metode regresi rak kuadrat terkecil terboboti adalah : β = da α = i=1 w i i=1 w i x i w i x i=1 i i=1 w i i=1 w i x i log log F x i i=1 w i x i i=1 w i log log F x i i=1 w i x i i=1 w i log log F x i i=1 w i x i i=1 w i x i log log F x i i=1 w i i=1 w i x i log log F x i i=1 w i x i i=1 w i log log F x i, 9

10 dimaa w i = + i +1 1 i +1 log i +1.. Berdasarka hasil estimasi pada data curah huja tahua di Telaga, Idia Selata dari tahu ( ), maka diperoleh model distribusi Gumbel sebagai berikut : f x i = 1 exp x i exp x i , x Model tersebut meujukka bahwa ilai parameter lokasi sebesar 507,04 mm da parameter skala sebesar 43,79 mm. 4. Sara Peelitia lebih lajut dapat megguaka estimator media rak utuk peetua distribusi kumulatifya serta melakuka aalisis perbadiga efisiesi relatif atara metode estimasi kuadrat terkecil terboboti da metode maksimum likelihood atau metode estimasi laiya utuk megestimasi parameter distribusi Gumbel. Daftar Pustaka Agus, I. da Hawar, S. (011). Uji Kesesuaia Chi-Kuadrat Data Huja Catchmet Area Taratak Timbulu Kabupate Pesisir Selata. Padag: Jurusa Tekik Sipil Politekik Negeri Padag. Alle, M.P. (1997). Uderstadig Regressio Aalysis. New York: Pleum Press. Arwi. (007). Baha Kuliah Hidrologi. Badug: Istitut Tekologi Badug. Aziz, A. (007). Buku Ajar Ekoometrika Teori da Aalisis Matematis. Malag: Jurusa Matematika. Casella, G. da Berger, L.R. (1990). Statistical Iferece. Califoria: Duxbury Press. Dasgupta, A. (008). Asymptotic Theory of Statistics ad Probability. New York: Spriger Texts i statistics. Drapper, N. da Smith, H. (199). Aalisis Regresi Terapa (Edisi Kedua). Terjemaha Oleh Bambag Sumatri. Jakarta: Gramedia Pustaka Utama. Firdaus, M. (004). Ekoometrika Suatu Pedekata Aplikatif. Jakarta: Bumi Aksara. Haryato, A. (011). Peaksira Parameter Model Nested Logit. Depok: Uiversitas Idoesia. Hogg, R. V. da Craig, A. T. (1995). Itroductio to Mathematical Statistics, Fifth Editio. New Jersey: Pretice Hall. Johsto, J. (197). Ecoometric Methods. d ed. New York: McGraw-Hill. Judge, G. G., dkk. (1988). Itroductio to the Theory ad Practice of Ecoometrics, d Ed. New York: Joh Wiley ad Sos. Kresa, J.A. (014). Distribusi Statistika Terurut, Bagia Kedua. Makassar: Jurusa Matematika Uhas. Kusuma. (007). Metode Rak Noparametrik pada Model Regresi Liear. Surakarta: Uiversitas Sebelas Maret. Momi, U., dkk. (011). Raifall Aalysis for Crop Plaig i Semi Arid Regio of Souther Telagaa, Idia. Idia Joural Of Natural Scieces, pp Nachrowi, D.N. da Usma, H. (006). Pedekata Populer da Praktis Ekoometrika utuk Aalisis Ekoomi da Keuaga. Jakarta: FEUI. Reliability Hotwire, Reliability Basics. Overview of The Gumbel, Loglogistic, ad Gamma Distributio diakses taggal 17 Juli 014 pukul 9.. Zyl, V.M.J. da Robert, S. (011). Parameter Estimatio Through Weighted Least- Squares Rak Regressio with Specific Referece to The Weibull ad Gumbel Distributios. Commuicatios i Statistics Simulatio ad Computatio, 41:9, pp