BAB I TEGANGAN DAN REGANGAN
|
|
- Surya Pranata
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 BAB I TEGANGAN DAN REGANGAN.. Tegangan Dalam mekanika bahan, pengertian tegangan tidak sama dengan vektor tegangan. Tegangan merupakan tensor derajat dua, sedangkan vektor, vektor apapun, merupakan tensor derajat satu. Besaran skalar merupakan tensor derajat nol. Tensor ialah besaran fisik yang keadaannya pada suatu titik dalam ruang, tiga dimensi, dapat dideskripsikan dengan 3 n komponennya, dengan n ialah derajat tensor tersebut. Dengan demikian, untuk persoalan tegangan tiga dimensi pada suatu titik dalam ruang dapat dideskripsikan dengan 3 komponennya. Pada sistem koordinat sumbu silang, tegangan tersebut adalah xx, yy, zz, t xy, t yx, t xz, t zx, t yz, dan t zy seperti ditunjukkan pada Gambar.(a). Namun demikian, karena t xy = t yx, t xz = t zx dan t yz = t zy, maka keadaan tegangan tersebut dapat dinyatakan dengan enam komponennya, xx, yy, zz, t xy, t xz, t yz. Sedangkan untuk tegangan bidang, dua dimensi, pada suatu titik dapat dideskripsikan dengan komponennya, Gambar.(b), dan karena t ij = t ji untuk maka tiga komponen telah dapat mendeskripsikan tegangan bidang pada titik itu.
2 Pada dasarnya, tegangan secara garis besar dapat diklasifikasikan menjadi dua, yakni tegangan normal, dengan notasi s ij, i = j, serta tegangan geser dengan notasi t ij,. Perhatikan penulisan pada paragrap di atas. Karakter indek yang pertama menyatakan bidang tempat bekerjanya gaya, sedangkan karekter indek yang kedua menyatakan arah bekerjanya vektor tegangan tersebut. Tegangan normal ialah tegangan yang bekerja tegak lurus terhadap bidang
3 pembebanan. Sedangkan tegangan geser ialah tegangan yang bekerja sejajar dengan bidang pembebanan. Jadi keenam tegangan yang mendeskripsikan tegangan pada suatu titik terdiri atas tiga tegangan normal, xx, yy, dan zz, serta tiga tegangan geser, t xy, t yz, dan t zx. Nilai tegangan bisa positif dan bisa pula negatif. Tegangan bernilai positif bila tegangan tersebut bekerja pada bidang positif dengan arah positif, atau bekerja pada bidang negatif dengan arah negatif. Selain itu, nilainya negatif. Besar tegangan rata-rata pada suatu bidang dapat didefinisikan sebagai intensitas gaya yang bekerja pada bidang tersebut. Sehingga secara matematis tegangan normal rata-rata dapat dinyatakan sebagai ij = Fn A i = j (a) ij = tegangan normal rata-rata (N/mm = MPa) F n = gaya normal yang bekerja (N) A = luas bidang (mm ) i, j = sumbu koordinat pada sistem sumbu silang, x, y, z
4 Sedangkan tegangan geser rata-rata dapat dinyatakan sebagai tij F t Ft A t ij =, i ¹ j (b) = tegangan geser rata-rata (N/mm = MPa) = gaya tangensial atau sejajar bidang yang bekerja (N) A = luas bidang (mm ) i, j = x, y, z Bila bidang yang menerima pembebanan tersebut dipersempit sampai akhirnya mendekati nol, dalam artian limit maka akan didapat tegangan pada suatu titik. Sehingga secara matematis tegangan normal pada suatu titik dapat dinyatakan D Fn n ij = lim = DA 0 DA d F da i = j (a)
5 Sedangkan tegangan geser pada suatu titik, secara matematis dapat dinyatakan sebagai D Ft t t ij = lim =, i ¹ DA 0 DA d F da j (b).. Regangan
6 Seperti halnya tegangan, regangan juga merupakan tensor derajat dua. Dengan demikian keadaan regangan ruang, tiga dimensi, pada suatu titik dapat dideskripsikan dengan kesembilan komponennya. Pada sistem koordinat sumbu silang, regangan tersebut adalah e xx, e yy, e zz, g xy, g yx, g xz, g zx, g yz, dan g zy, sebagaimana ditunjukkan pada Gambar.(a). Regangan juga dapat diklasifikasikan menjadi dua, yakni regangan normal, dengan notasi e ij, i = j, serta regangan geser dengan simbul ij,. Sebagaimana dengan tegangan, g xy = g yx, g xz = g zx dan g yz = g zy, maka keadaan regangan ruang pada suatu titik dapat dinyatakan oleh enam komponen, yakni e xx, e yy, e zz, g xy, g yz, g zx. Sedangkan regangan bidang, dua dimensi, dapat dideskripsikan dengan komponennya, dan karena g ij = g ji maka regangan bidang pada suatu titik dapat dideskripsikan dengan hanya tiga komponen, Gambar.(b).
7 Regangan normal merupakan perubahan panjang spesifik. Regangan normal rata-rata dinyatakan oleh perubahan panjang dibagi dengan panjang awal, atau secara matematis dapat dituliskan Dl i e ij = = i l u l i i, i = j (3)
8 eij = regangan normal rata-rata Dl = u = perubahan panjang pada arah (mm) l = panjang awal pada arah (mm) i, j = sumbu koordinat pada sistem sumbu silang, x, y, z. Sedangkan regangan geser merupakan perubahan sudut dalam radial. Regangan geser bernilai positif bila sudut pada kuadran I dan atau kuadran III pada sistem koordinat sumbu silang mengecil, Gambar.3(a), sedangkan selain itu bernilai negatif..3. Transformasi Tegangan Bidang Tegangan dapat ditransformasi dari suatu set sumbu koordinat ke set sumbu koordinat lainnya. Dengan transformasi pula dapat dicari set sumbu koordinat pada suatu titik yang memberikan tegangan utama dari kondisi tegangan yang telah diketahui di titik itu. Yang dimaksud dengan tegangan utama ialah tegangan yang hanya memiliki nilai tidak nol untuk tegangan normal saja, sedangkan nilai tegangan gesernya nol. Dengan demikian juga dimungkinkan transformasi tegangan dari sistem koordinat sumbu silang (x, y, z), Gambar.4(a), ke sistem koordinat polar (r, q, z), Gambar.4(b).
9 Transformasi tegangan bidang berdasarkan pada keseimbangan gayagaya yang bekerja pada elemen. Perhatikan Gambar.5(b) berikut.
10 S F x ' = 0 x' x'. A - ( txy. Asin q)cos q - ( yy. Asin q)sin q - ( txy. Acos q)sinq ( xx A ) -. cosq cosq = 0 = + + x' x' xx cos q yy sin q txy sinqcosq (.4a)
11 Dengan memasukkan harga (90 o + q) untuk harga q pada persamaan (.4a), sehingga dengan identitas-identitas: o o o cos ( 90 + q) = (cos90 cosq - sin90 sin q) = sin q o o o sin ( 90 + q) = (sin 90 cosq + cos90 sin q) = co s q o o o o o o sin( 90 + q)cos( 90 + q) = (sin 90 cosq + cos90 sin q)(cos 90 cosq - sin90 sin q) -sinqcosq = akan didapat y y = yy + xx - xy ' ' cos q sin q t sinq cosq SF y ' = 0 (.4b) tx' y'. A + ( txy. Asin q)sin q - ( yy. Asin q)cos q-( txy. Acos q)cosq tx' y' = txy(cos q - sin q) - ( xx - yy)sinqcosq ( xx A ) +. cosq sinq = 0 (.4c)
12 Dengan substitusi identitas trigonometri, persamaan (.4a, b, c) bisa ditulis xx + yy xx - yy x ' x' = + cosq + t xysin q xx + yy xx - yy y' y' = - cosq -t xysin q xx - yy t x ' y' = - sin q + t xy cosq (.5a) (.5b) (.5c).4. Transformasi Regangan Bidang Perhatikan Gambar.6(a) pada halaman berikut. Elemen OABC pada keadaan awal tanpa beban, lalu mengalami deformasi dan distorsi menjadi O A B C akibat mendapat beban s xx, s yy dan t xy. Analisis transformasi regangannya ditunjukkan pada Gambar.6(b, c, d) yang berturut-turut untuk regangan normal arah sumbu x, regangan normal arah sumbu y serta regangan geser pada bidang xy. Dari Gambar.6(b) didapat
13 dx dy dx' = cosq = sin q, D x ' = Dx.cos q, Dari Gambar.6(c) akan didapat D x ' = Dy.sin q, Dan dari Gambar.6(d) diperoleh D 3 x ' =. dy.cos q, xy
14 Dengan demikian total perubahan panjang dx akibat adanya regangan pada sistem koordinat awalnya adalah Sedangkan Dx = Dx + Dx + Dx 3
15 Sehingga e x' x' Dx' Dx.cos q Dy.sin q = = + + dx' dx dy cosq sinq. dy.cosq dy sinq xy e ' ' = e.cos q + e.sin q +.cos q.sin q x x xx yy xy (.6a) Selanjutnya, e y dapat diperoleh dengan mensubstitusikan harga (90 o + q) untuk harga q pada persamaan (.6) di atas, kemudian menerapkan identitas trigonometri. Sehingga akan didapat o o o o ey y = exx 90 + q + eyy 90 + q + xy 90 + q 90 + q ' '.cos ( ).sin ( ).cos( ).sin( ) e ' ' = e.cos q + e.sin q -.cos q.sin q y y yy xx xy (.6b) Analisis transformasi regangan gesernya ditunjukkan pada Gambar.7 di bawah. Sebagaimana pada regangan normal, dalam hal ini perubahan regangan geser oleh masing-masing regangan yang terjadi ditinjau satu per satu. Pada analisis ini, panjang dx dibagi dua oleh sumbu y menjadi dx dan dx.
16 Dari Gambar.7 didapat d y' d x = = sinq dy cosq dan d x ' dx = = cosq dy sinq Selanjutnya perhatikan Gambar.7(a), akibat terjadinya deformasi normal pada arah sumbu x saja. ' a AD D x.cosq = = - = - sin.cos = - dy' d x d x = = - = - sin.cos = - d x x' y' = a + b = - xx D x sinq CE D x.sinq D x ' b dx' d x cosq ' e.sin q.cosq q q e.sin q.cosq xx q q e.sin q.cosq xx
17 Gambar..7. Transformasi Regangan Geser Akibat deformasi normal arah sumbu y saja seperti ditunjukkan pada Gambar.7(b) akan diperoleh
18 ' ' a b AD Dy.sinq Dy = = =.sin q.cos q = eyy.sin q.cosq dy' dy dy cosq CE Dy.cosq Dy = = =.sin q.cos q = eyy.sin q.cosq dx' dy dy sinq ' = + = e.sin q.cosq x' y' a b yy Sedangkan dari Gambar.7(c), akibat terjadinya regangan geser saja, akan didapat 3a A' D AA'.cosq xy. dy = = = q = xy q d y dy.cos.cos ' dy cosq 3b CE CC''.sin q xy. dy = = = - q d x dy.sin = - dy xy.sin q ' sinq x' y' 3 = 3a + 3b = xy q - q (cos sin )
19 Dengan demikian akan diperoleh besarnya regangan geser pada set sumbu koordinat yang baru, sebagai berikut x' y' = x' y' + x' y' + x' y' 3 = -( exx - eyy)sin q.cos q + xy(cos q - sin q)...(.6c) Selanjutnya, dengan menggunakan identitas trigonometri persamaanpersamaan (.6a, b, c) dapat ditulis dalam bentuk lain sebagai berikut e e e x x ( e + e ) ( e - e ) xx yy xx yy xy ' ' = + cos q +.sinq y y ( e + e ) ( - ) xx yy exx eyy xy ' ' = cos q + -.sinq x' y' ( - ) e e = = - x' y' xx yy xy sin q +.cosq (.7a) (.7b) (.7c)
20 .5. Tegangan dan Regangan Utama (Principal Stress and Strain) serta Tegangan dan Regangan Geser Maksimum Tegangan Utama (Principal Stress) dan Tegangan Geser Maksimum Tegangan Utama (principal stress) adalah tegangan normal yang terjadi pada set sumbu koordinat baru setelah transformasi yang menghasilkan tegangan geser nol. Tegangan-tegangan tersebut ditunjukkan sebagai s dan s pada Gambar.0. Perlu dicatat bahwa s selalu diambil lebih besar dari s. Sudut transformasi yang menghasilkan tegangan utama tersebut dengan sudut utama (principal angle). Secara analitik, besar tegangan utama dan sudut utama dapat diturunkan dari persamaan-persamaan (.5a, b, c). Menurut pengertian tentang tegangan utama, dari persamaan (.5c) akan didapat 0 = - xx - yy.sin q + t.cosq xy
21 atau sinq cosq p p = tanqp = txy xx - yy (.8) Dari persamaan di atas dapat dilukiskan segitiganya sebagai berikut Dengan substitusi harga-harga sin q dan cos q pada gambar di atas ke persamaan (.5a) akan didapat
22 x' x' = xx + yy xx - yy xx - yy txy + + ( xx- yy) + 4txy ( - ) + t xx yy 4 xy x' x' = xx + yy + xx- yy + xy. ( ) 4t { xx- yy + 4 xy ( ) t } Sehingga { xx + yy } x' x' = + ( xx- yy) + 4txy. Substitusi dan penerapan prosedur yang sama terhadap persamaan (.5b), akan didapat y' y' = xx + yy - {( - ) + t. xx yy 4 xy } Dengan mengingat bahwa secara matematik haruslah, maka kedua persamaan tersebut di atas dapat dituliskan menjadi satu dengan
23 , = xx + yy ± {( - ) + t. xx yy 4 xy } (.9) Selanjutnya, perhatikan persamaan (.5c). Untuk suatu titik dan jenis pembebanan tertentu dari suatu bagian konstruksi, harga-harga xx, yy dan t xy adalah tetap atau konstan, sehingga t x y merupakan suatu fungsi q, atau t x y = f(q). Harga ekstrim fungsi tersebut akan diperoleh bila turunan pertama fungsi tersebut terhadap q sama dengan nol. Jadi atau dt dq = - - x' y' xx yy.sin q + t.cosq = 0 xy sinq cosq max max = tanqmax = - xx - txy yy (.0) Dari persamaan di atas dapat dilukiskan segitiganya sebagai berikut:
24 Dengan substitusi harga-harga sin q dan cos q pada gambar di atas ke persamaan (.5c) akan didapat t x' y' xx - yy -( xx - yy) txy = - + ( xx- yy) + 4txy ( ) t = xx- yy + xy. ( ) 4t { xx- yy + 4 xy ( ) t xx- yy + 4 xy }
25 Sehingga { t } x' y' = ( xx- yy) + 4txy. Persamaan (.0) juga dipenuhi bila panjang sisi di depan sudut q adalah ( xx - yy ) dan panjang sisi di sampingnya adalah -t xy. Kondisi ini akan memberikan { t t. x' y' = - ( xx- yy) + 4 xy } Dengan demikian kedua persamaan tersebut dapat dituliskan menjadi satu sebagai { tmax = ± ( xx- yy) + 4txy. } (.) Regangan Utama dan Regangan Geser Maksimum
26 Sebagaimana pengertian tentang tegangan utama, maka regangan utama (principal strain) adalah regangan normal yang terjadi pada set sumbu koordinat baru setelah transformasi yang menghasilkan setengah regangan geser nol. Regangan-regangan tersebut ditunjukkan sebagai e dan e pada Gambar.. Demikian juga, e selalu diambil lebih besar dari e, serta sudut transformasinya juga disebut sudut utama (principal angle). Secara analitik, dengan penerapan prosedur yang sama dengan yang diterapkan untuk persamaan-persamaan (.7a, b, c), maka akan didapat hasil-hasil berikut. sinq cosq p p = tanqp = e xx xy - e yy (.a) e, = e xx + e yy ± {( e - e ) +. xx yy xy } (.b) q p = sudut utama e, = regangan-regangan utama g xy = e xy = regangan geser
27 sinq cosq max max e = tan qmax = - xx - e xy yy (.3a) max = ± {( e - e ) +. xx yy xy q max = sudut regangan geser maksimum xy = e xy = regangan geser } (.3b).6. Lingkaran Mohr untuk Tegangan Bidang dan Regangan Bidang Lingkaran Mohr diperkenalkan oleh seorang insinyur Jerman, Otto Mohr (835-93). Lingkaran ini digunakan untuk melukis transformasi tegangan maupun regangan, baik untuk persoalan-persoalan tiga dimensi maupun dua dimensi. Yang perlu dicatat adalah bahwa perputaran sumbu elemen sebesar q ditunjukkan oleh perputaran sumbu pada lingkaran Mohr sebesar q,.dan sumbu tegangan geser positif adalah menunjuk ke arah bawah. Pengukuran dimulai dari titik A, positif bila berlawanan arah jarum jam, dan negatif bila sebaliknya. Pada bagian ini kita hanya akan membahas lingkaran Mohr untuk tegangan dan regangan dua dimensi.
28 Lingkaran Mohr untuk Tegangan Bidang Pada persamaan (.5a), bila suku dipindahkan ke ruas kiri dan kemudian kedua ruasnya dikuadratkan, maka akan didapat æ ç è x y x y x' - + ö æ - ö = ç cos + xy sin + ( x- y) xy sin cos ø è ø (.4a) Sedangkan pada persamaan (.5c), bila dikuadratkan akan didapat Penjumlahan persamaan-persamaan (.4a) dan (.4b) menghasilkan æ x y x y x' - + ö æ - ö ç + tx' y' = ç + txy è ø è ø (.5) Persamaan (.5) merupakan persamaan lingkaran pada bidang st yang pusatnya di dengan jari-jari. Lingkaran tersebut ditunjukkan pada Gambar.8 di bawah ini, yang dilukis dengan prosedur sebagai berikut: x + y q t q t q q æ x-yö x' y' = xy cos + sin x y xy sin cos t t q ç è ( ) q - - t q q ø (.4b)
29 . Buatlah sumbu ij, horisontal.. Periksa harga tegangan normal, xx atau yy, yang secara matematis lebih kecil. Bila bernilai negatif jadikanlah tegangan tersebut sebagai titik yang mendekati tepi kiri batas melukis, sedangkan bila positif maka titik yang mendekati batas kiri adalah titik ij = Periksa harga tegangan normal, xx atau yy, yang secara matematis lebih besar. Bila bernilai positif jadikanlah tegangan tersebut sebagai titik yang mendekati tepi kanan batas melukis, sedangkan bila negatif maka titik yang mendekati batas kanan adalah titik ij = Tentukan skala yang akan digunakan sehingga tempat melukis bisa memuat kedua titik tersebut dan masih tersisa ruangan di sebelah kiri dan kanannya. Tentukan titik-titik batas tersebut sesuai dengan skala yang telah ditentukan.
30 5. Tentukan letak titik-titik ij = 0 dan sumbu t, serta ij terkecil dan ij terbesar bila belum terlukis pada sumbu ij. 6. Bagi dua jarak antara tegangan terkecil dan tegangan terbesar sehingga diperoleh pusat lingkaran, P. 7. Tentukan letak titik A pada koordinat ( ij terbesar, t xy ). 8. Lukis lingkaran Mohr dengan pusat P dan jari-jari PA. 9. Tarik garis dari A melalui P sehingga memotong lingkaran Mohr di B. Maka titik B akan terletak pada koordinat ( ij terkecil, t xy ). Garis AB menunjukkan sumbu asli, q = 0, elemen tersebut. Contoh.: Sebuah elemen dari bagian konstruksi yang dibebani, menerima tegangan tarik pada arah sumbu x sebesar 80 MPa, tegangan tekan pada arah sumbu y sebesar 40 MPa serta tegangan geser pada bidang tersebut sebesar 0 MPa.
31 Diminta: a. Lukisan lingkaran Mohr. yang b. Besar rotasi mengelilingi sumbu z untuk mendapatkan tegangan geser maksimum, menurut lingkaran Mohr. Periksa hasil tersebut dari persamaan (.0). c. Besar tegangan geser maksimum menurut lingkaran Mohr. Periksa hasil tersebut dengan rumus (.) dan hasil didapat pada b. di atas. d. Besar perputaran mengelilingi sumbu z untuk mendapatkan tegangan geser bernilai nol, menurut lingkaran Mohr. Periksa hasil ini dengan persamaan (.8). e. Besar tegangan-tegangan utama menurut lingkaran Mohr. Periksa hasil tersebut dengan persamaan-persamaan (.9) dan dari hasil pada pada d. di atas.
32 Penyelesaian: a. Lingkaran Mohr: ) Buat sumbu s ij, horisontal. ) Tegangan normal terkecil, s yy = -40 MPa, negatif, sehingga digunakan sebagai titik di dekat batas kiri. 3) Tegangan normal terbesar s xx = 80 MPa, positif, sehingga digunakan sebagai titik di dekat batas kanan. 4) Diambil skala cm = 40 MPa. Kemudian ditentukan titik s yy = - 40 MPa di sebelah kiri, dan s xx = 80 MPa di sebelah kanan yang berjarak (s xx + s yy ) dari titik s yy di sebelah kiri. 5) Lukis sumbu t yang berjarak 40 MPa di sebelah kanan titik s yy. 6) Dengan membagi dua sama panjang jarak s yy ke s xx akan didapat titik P. 7) Menentukan letak titik A pada koordinat (s xx, t xy ) = (80,0). 8) Dengan mengambil titik pusat di P dan jari-jari sepanjang PA, lingkaran Mohr dapat dilukis. 9) Dengan menarik garis dari A lewat P yang memotong lingkaran Mohr di B, akan didapat kedudukan titik (s yy, t xy ) = (- 40,0).
33 Gambar.8. Lingkaran Mohr untuk Tegangan Bidang b. Besar rotasi mengellilingi sumbu z menurut lingkaran Mohr, dengan mengukur, didapat q max = 0,5 x q max = 0,5 x (-53 o ) = 6 o 30. Sedangkan menurut persamaan (.0) didapat tan q max = - ( ) / ( x 0) = - 4/3 q max = - 53 o 08 atau q max = - 6 o 34
34 c. Besar tegangan geser maksimum menurut lingkaran Mohr t max = 5 x 40 MPa = 00 MPa. Sedangkan menurut persamaan (.) akan didapat d. Besar rotasi mengellilingi sumbu z menurut lingkaran Mohr, dengan mengukur, didapat q p = 0,5 x q p = 0,5 x 37 o = 8 o 30. Sedangkan menurut persamaan (.0) didapat tan q p = ( x 0) / ( ) = 3/4 q p = - 36 o 5 atau q max = - 8 o 6 e. Besar tegangan-tegangan utama menurut lingkaran Mohr = 8 x 40 MPa = 30 MPa. = - x 40 MPa = -80 MPa. Sedangkan menurut persamaan (.) akan didapat t max = ± ( ) + 0 = 00MPa = + ( ) + 0 = 30MPa = - ( ) + 0 = -80MPa
35 Lingkaran Mohr untuk Regangan Bidang Pada persamaan (.7a), bila suku e xx + e yy dipindahkan ke ruas kiri dan kemudian kedua ruasnya dikuadratkan, maka akan didapat æ çe è exx + eyy ö æ exx -eyy ö xy xy x' x' - = ç cos q + æ sin q e e sin qcos è ç ö æ ö + - ç ø è ø ( xx yy) (.6a) Sedangkan pada persamaan (.7c), bila dikuadratkan akan didapat æ ç è ö ö x' y' xy æ exx -eyy ö x' y' ç cos q + ç sin q - e - e sin q cos = æ ç ø è ø è ø ø ( xx yy) è ø q q (.6b) Penjumlahan persamaan-persamaan (.6a) dan (.6b) menghasilkan
36 æ çe è x' x' xx + yy ö x' y' æ xx - yy ö x' y' e e e e e e - + æ ø è ç ö = ç + æ ø è ø è ç ö ø Persamaan (.7) merupakan persamaan lingkaran pada bidang (.7) e yang pusatnya di æ e ç è xx - e yy ö,0 ø dengan jari-jari xx - yy ö xy æ e e ç + æ è ø è ç ö ø Lingkaran tersebut ditunjukkan pada Gambar.9 di bawah ini, yang dilukis dengan prosedur sebagaimana melukis lingkaran Mohr untuk tegangan dengan mengganti xx, yy dan t xy berturut-turut menjadi e xx, e yy dan xy /. Penerapannya, lihat Contoh. pada halaman..7. Hubungan Antara Tegangan Dengan Regangan Untuk deformasi normal, geser maupun gabungan keduanya, hubungan antara tegangan dan regangan untuk bahan-bahan isotropis pada pembebanan dalam batas proporsional diberikan oleh hukum Hooke. Jadi hukum Hooke tidak berlaku untuk pembebanan di luar batas proporsional. Hukum Hooke diturunkan dengan berdasarkan pada analisis tentang energi regangan spesifik.
37 Apabila besar tegangan-tegangannya yang diketahui, maka hukum Hooke untuk persoalan-persoalan tiga dimensi, hubungan antara tegangan normal dengan regangan normal dapat dituliskan secara matematis sebagai berikut: exx = ( xx - nyy - nzz) E eyy = ( yy - nxx - nzz) (.8) E ezz = ( zz - nxx - nyy) E Dengan E dan v berturut-turut adalah modulus alastis atau modulus Young dan angka perbandingan Poisson. Sedangkan pada deformasi geser untuk G adalah modulus geser, hubungannya adalah: e e e xy xz yz ( + ) t n t = = = G E t ( + n) t = = = G E t ( + n) t = = = G E xy xy xy xz xz xz yz yz yz (.9)
38 Sedangkan untuk mencari tegangan normal yang terjadi bila regangan normal dan sifat-sifat mekanis bahannya diketahui, digunakan persamaan-persamaan: = E { } ( )( ) ( - n ) e + n ( e + e ) + n - n xx xx yy zz = E { } ( )( ) ( - n ) e + n ( e + e ) + n - n yy yy xx zz = E { } ( )( ) ( - n ) e + n ( e + e ) + n - n zz zz xx yy Selanjutnya untuk deformasi geser, bentuk hukum Hooke adalah: t t t E E = G n e = n = + ( + ) xy xy xy xy E E = G n e = n = + ( + ) xz xz xz xz E E = G n e = n = + ( + ) yz yz yz yz (.0) (.)
39 Persamaan-persamaan (.8) sampai dengan (.) dapat juga diberlakukan untuk persoalan-persoalan dua dan satu dimensi, yakni dengan memasukkan harga nol untuk besaran-besaran di luar dimensi yang dimaksud. Contoh : Pembebanan seperti pada Contoh, untuk bahan dengan sifat-sifat mekanis: modulus Young, E = 00 GPa dan angka perbanding-an Poisson, n = 0,9. Modulus geser ditentukan dengan, G = E / ( + n). Diminta: a. Hitunglah regangan-regangan yang terjadi. b. Lukisan lingkaran Mohr untuk regangan yang terjadi. c. Besar rotasi mengelilingi sumbu z untuk mendapatkan regangan geser maksimum, menurut lingkaran Mohr. Periksa hasil tersebut dari persamaan (.0). d. Besar regangan geser maksimum menurut lingkaran Mohr. Periksa hasil tersebut dengan rumus (.) dan hasil yang didapat pada b. di atas.
40 e. Besar perputaran mengelilingi sumbu z untuk mendapatkan regangan geser bernilai nol, menurut lingkaran Mohr. Periksa hasil ini dengan persamaan (.8). f. Besar regangan-regangan utama menurut lingkaran Mohr. Periksa hasil tersebut dengan persamaanpersamaan (.9) dan dari hasil pada pada d. di atas. Penyelesaian: a) Dari persamaan (.8) dan (.9) akan didapat: e e xx yy exy = = xy = = b. Lingkaran Mohr: ( ) 80+ 0,9.40-0,9.0 = 0,00458 = 458me ( ) -40-0,9.80-0,9.0 = - 0, = -606me ( + ) 0, ) Buat sumbu e ij horisontal. = 0, = 774me atau = 548me ) Regangan normal terkecil, e yy = -606me, sehingga merupakan titik di dekat batas kiri. xy
41 sebelah 3) Regangan normal terbesar e xx = 458me, sehingga merupakan titik di dekat batas kanan. 4) Diambil skala cm = 50me. Kemudian ditentukan titik e yy = -606me di sebelah kiri, e xx = 458me di sebelah kanan dan berjarak (e xx + e yy ) dari titik e yy di kiri. 5) Lukis sumbu t yang berjarak 606me di sebelah kanan titik e yy. 6) Dengan membagi dua sama panjang jarak e yy ke e xx akan didapat titik P. 7) Menentukan letak titik A pada koordinat (e xx, e xy ) = (458,774). 8) Dengan mengambil titik pusat di P dan jari-jari sepanjang PA, lingkaran Mohr dapat di-lukis. 9) Dengan menarik garis dari A lewat P yang memotong lingkaran Mohr di B, akan di dapat kedudukan titik (e yy, e xy ) = (-606,-774).
42
43 c. Besar rotasi mengelilingi sumbu z menurut lingkaran Mohr, dengan mengukur, didapat q max = 0,5 x q max = 0,5 x (-53 o ) = 6 o 30. Sedangkan menurut persamaan (.0) didapat tan q max = - ( ) / ( x 774) = - 4/3 q max = - 53 o 08 atau q max = - 6 o 34 d. Besar regangan geser maksimum menurut lingkaran Mohr e xy-max = 5, x 50me = 300me. Sedangkan menurut persamaan (.) akan didapat max = e max ( ) xy - = ± = ± 90me e. Besar rotasi mengellilingi sumbu z menurut lingkaran Mohr, dengan mengukur, didapat q p = 0,5 x q p = 0,5 x 37 o = 8 o 30. Sedangkan menurut persamaan (.0) didapat tan q p = ( x 0) / ( ) = 3/4 q p = - 36 o 5 atau q max = - 8 o 6
44 f. Besar regangan-regangan dasar menurut lingkaran Mohr e = 6,9 x 50me = 75me. e = -3,5 x 50me = -875me Sedangkan menurut persamaan (.) akan didapat e e = = ( ) = 76me ( ) = -864 me
BAB I TEGANGAN DAN REGANGAN
BAB I TEGANGAN DAN REGANGAN.. Tegangan Mekanika bahan merupakan salah satu ilmu yang mempelajari/membahas tentang tahanan dalam dari sebuah benda, yang berupa gaya-gaya yang ada di dalam suatu benda yang
Lebih terperinciBab 3 (3.1) Universitas Gadjah Mada
Bab 3 Sifat Penampang Datar 3.1. Umum Didalam mekanika bahan, diperlukan operasi-operasi yang melihatkan sifatsifat geometrik penampang batang yang berupa permukaan datar. Sebagai contoh, untuk mengetahui
Lebih terperinciDIKTAT MEKANIKA KEKUATAN MATERIAL
1 DIKTAT MEKANIKA KEKUATAN MATERIAL Disusun oleh: Asyari Darami Yunus Teknik Mesin Universitas Darma Persada Jakarta 010 KATA PENGANTAR Untuk memenuhi buku pegangan dalam perkuliahan, terutama yang menggunakan
Lebih terperinciMEKANIKA TANAH DASAR DASAR DISTRIBUSI TEGANGAN DALAM TANAH
MEKANIKA TANAH DASAR DASAR DISTRIBUSI TEGANGAN DALAM TANAH MEKANIKA TANAH DASAR DASAR DISTRIBUSI TEGANGAN DALAM TANAH UNIVERSITAS PEMBANGUNAN JAYA Jl. Boulevard Bintaro Sektor 7, Bintaro Jaya Tangerang
Lebih terperinciII. LENTURAN. Gambar 2.1. Pembebanan Lentur
. LENTURAN Pembebanan lentur murni aitu pembebanan lentur, baik akibat gaa lintang maupun momen bengkok ang tidak terkombinasi dengan gaa normal maupun momen puntir, ditunjukkan pada Gambar.. Gambar.(a)
Lebih terperinciAnalisis Tegangan dan Regangan
a home base to ecellence Mata Kuliah : Mekanika Bahan Kode : TSP 05 SKS : 3 SKS Analisis Tegangan dan Regangan Pertemuan - 10 a home base to ecellence TIU : Mahasiswa dapat menganalisis tegangan normal
Lebih terperincil l Bab 2 Sifat Bahan, Batang yang Menerima Beban Axial
Bab 2 Sifat Bahan, Batang yang Menerima Beban Axial 2.1. Umum Akibat beban luar, struktur akan memberikan respons yang dapat berupa reaksi perletakan tegangan dan regangan maupun terjadinya perubahan bentuk.
Lebih terperinciBAB II V E K T O R. Untuk menyatakan arah vektor diperlukan sistem koordinat.
.. esaran Vektor Dan Skalar II V E K T O R da beberapa besaran fisis yang cukup hanya dinyatakan dengan suatu angka dan satuan yang menyatakan besarnya saja. da juga besaran fisis yang tidak cukup hanya
Lebih terperinciDr. Ramadoni Syahputra Jurusan Teknik Elektro FT UMY
SISTEM-SISTEM KOORDINAT Dr. Ramadoni Syahputra Jurusan Teknik Elektro FT UMY Sistem Koordinat Kartesian Dalam sistem koordinat Kartesian, terdapat tiga sumbu koordinat yaitu sumbu x, y, dan z. Suatu titik
Lebih terperinciPENDAHULUAN TEGANGAN (STRESS) r (1)
HND OUT FISIK DSR I/LSTISITS LSTISITS M. Ishaq PNDHULUN Dunia keteknikan khususnya Material ngineering, Studi geofisika, Civil ngineering dll adalah beberapa cabang keilmuan yang amat membutuhkan pemahaman
Lebih terperinci.1. Kekuatan Bahan BAB ANALISIS TEGANGAN DAN REGANGAN Suatu sistem struktur yang menanggung beban luar (external forces) akan menyebabkan timbulnya gaya dalam (internal forces) pada elemen-elemen penyusun
Lebih terperinciBab 1 : Skalar dan Vektor
Bab 1 : Skalar dan Vektor 1.1 Skalar dan Vektor Istilah skalar mengacu pada kuantitas yang nilainya dapat diwakili oleh bilangan real tunggal (positif atau negatif). x, y dan z kita gunakan dalam aljabar
Lebih terperinciANALISIS VEKTOR. Aljabar Vektor. Operasi vektor
ANALISIS VEKTOR Aljabar Vektor Operasi vektor Besaran yang memiliki nilai dan arah disebut dengan vektor. Contohnya adalah perpindahan, kecepatan, percepatan, gaya, dan momentum. Sementara itu, besaran
Lebih terperinciBESARAN VEKTOR. Gb. 1.1 Vektor dan vektor
BAB 1 BESARAN VEKTOR Tujuan Pembelajaran 1. Menjelaskan definisi vektor, dan representasinya dalam sistem koordinat cartesius 2. Menjumlahkan vektor secara grafis dan dengan vektor komponen 3. Melakukan
Lebih terperinciRespect, Professionalism, & Entrepreneurship. Mata Kuliah : Mekanika Bahan Kode : TSP 205. Torsi. Pertemuan - 7
Mata Kuliah : Mekanika Bahan Kode : TSP 05 SKS : 3 SKS Torsi Pertemuan - 7 TIU : Mahasiswa dapat menghitung besar tegangan dan regangan yang terjadi pada suatu penampang TIK : Mahasiswa dapat menghitung
Lebih terperinciKINEMATIKA. Fisika. Tim Dosen Fisika 1, ganjil 2016/2017 Program Studi S1 - Teknik Telekomunikasi Fakultas Teknik Elektro - Universitas Telkom
KINEMATIKA Fisika Tim Dosen Fisika 1, ganjil 2016/2017 Program Studi S1 - Teknik Telekomunikasi Fakultas Teknik Elektro - Universitas Telkom Sasaran Pembelajaran Indikator: Mahasiswa mampu mencari besaran
Lebih terperinciBAB 1 BESARAN VEKTOR. A. Representasi Besaran Vektor
BAB 1 BESARAN VEKTOR TUJUAN PEMBELAJARAN 1. Menjelaskan definisi vektor, dan representasinya dalam sistem koordinat cartesius 2. Menjumlahan vektor secara grafis dan matematis 3. Melakukan perkalian vektor
Lebih terperinci1. Akar-akar persamaan 2x² + px - q² = 0 adalah p dan q, p - q = 6. Nilai pq =... A. 6 B. -2 C. -4 Kunci : E Penyelesaian : D. -6 E.
1. Akar-akar persamaan 2x² + px - q² = 0 adalah p dan q, p - q = 6. Nilai pq =... A. 6-2 -4 Kunci : E -6-8 2. Himpunan penyelesaian sistem persamaan Nilai 6x 0.y 0 =... A. 1 Kunci : C 6 36 3. Absis titik
Lebih terperinciBAB 4 Tegangan dan Regangan pada Balok akibat Lentur, Gaya Normal dan Geser
BAB 4 Tegangan dan Regangan pada Balok akibat Lentur, Gaya Normal dan Geser 4.1 Tegangan dan Regangan Balok akibat Lentur Murni Pada bab berikut akan dibahas mengenai respons balok akibat pembebanan. Balok
Lebih terperinciRespect, Professionalism, & Entrepreneurship. Mata Kuliah : Mekanika Bahan Kode : TSP 205. Analisis Penampang. Pertemuan 4, 5, 6
Mata Kuliah : Mekanika Bahan Kode : TSP 05 SKS : SKS nalisis Penampang Pertemuan 4, 5, 6 TU : Mahasiswa dapat menghitung properti dasar penampang, seperti luas, momen statis, momen inersia TK : Mahasiswa
Lebih terperinciKinematika Gerak KINEMATIKA GERAK. Sumber:
Kinematika Gerak B a b B a b 1 KINEMATIKA GERAK Sumber: www.jatim.go.id Jika kalian belajar fisika maka kalian akan sering mempelajari tentang gerak. Fenomena tentang gerak memang sangat menarik. Coba
Lebih terperinciBAB II METODE ELEMEN HINGGA PADA STRUKTUR. 2.1 Jenis - Jenis Struktur pada Bangunan Teknik Sipil
BAB II METODE ELEMEN HINGGA PADA STRUKTUR 2.1 Jenis - Jenis Struktur pada Bangunan Teknik Sipil Struktur 1D (satu dimensi) adalah suatu idealisasi dari bentuk struktur yang sebenarnya dimana struktur dianggap
Lebih terperinciPembebanan Batang Secara Aksial. Bahan Ajar Mekanika Bahan Mulyati, MT
Pembebanan Batang Secara Aksial Suatu batang dengan luas penampang konstan, dibebani melalui kedua ujungnya dengan sepasang gaya linier i dengan arah saling berlawanan yang berimpit i pada sumbu longitudinal
Lebih terperinciPertemuan I,II,III I. Tegangan dan Regangan
Pertemuan I,II,III I. Tegangan dan Regangan I.1 Tegangan dan Regangan Normal 1. Tegangan Normal Konsep paling dasar dalam mekanika bahan adalah tegangan dan regangan. Konsep ini dapat diilustrasikan dalam
Lebih terperinciBab 1 Vektor. A. Pendahuluan
Bab 1 Vektor A. Pendahuluan Dalam mata kuliah Listrik Magnet A, maupun mata kuliah Listrik Magnet B sebagaii lanjutannya, penyajian konsep dan pemecahan masalah akan banyak memerlukan pengetahuan tentang
Lebih terperinciMatematika Proyek Perintis I Tahun 1979
Matematika Proyek Perintis I Tahun 979 MA-79-0 Irisan himpunan : A = { x x < } dan himpunan B = { x < x < 8 } ialah himpunan A. { x x < 8 } { x x < } { x < x < 8 } { x < x < } { x < x } MA-79-0 Apabila
Lebih terperinci2.2 kinematika Translasi
II KINEMATIKA PARTIKEL Kompetensi yang akan diperoleh setelah mempelajari bab ini adalah pemahaman dan kemampuan menganalisis serta mengaplikasikan konsep kinematika partikel pada kehidupan sehari-hari
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
II.1. Konsep Elemen Hingga BAB II TINJAUAN PUSTAKA Struktur dalam istilah teknik sipil adalah rangkaian elemen-elemen yang sejenis maupun yang tidak sejenis. Elemen adalah susunan materi yang mempunyai
Lebih terperinciBAB IV TEGANGAN, REGANGAN, DAN DEFLEKSI
BAB IV TEGANGAN, REGANGAN, DAN DEFLEKSI 4.1. Tegangan Salah satu masalah fundamental dalam mechanical engineering adalah menentukan pengaruh beban pada komponen mesin atau peralatan. Hal ini sangat essensial
Lebih terperinciB.1. Menjumlah Beberapa Gaya Sebidang Dengan Cara Grafis
BAB II RESULTAN (JUMLAH) DAN URAIAN GAYA A. Pendahuluan Pada bab ini, anda akan mempelajari bagaimana kita bekerja dengan besaran vektor. Kita dapat menjumlah dua vektor atau lebih dengan beberapa cara,
Lebih terperincif(-1) = = -7 f (4) = = 3 Dari ketiga fungsi yang didapat ternyata yang terkecil -7 dan terbesar 11. Rf = {y -7 y 11, y R}
1. Persamaan (m - 1)x 2-8x - 8m = 0 mempunyai akar-akar real, maka nilai m adalah... -2 m -1-2 m 1-1 m 2 Kunci : C D 0 b 2-4ac 0 (-8)² - 4(m - 1) 8m 0 64-32m² + 32m 0 m² - m - 2 0 (m - 2)(m + 1) 0 m -1
Lebih terperinciMEDAN LISTRIK. Oleh Muatan Kontinu. (Kawat Lurus, Cincin, Pelat)
MDAN LISTRIK Oleh Muatan Kontinu (Kawat Lurus, Cincin, Pelat) FISIKA A Semester Genap 6/7 Program Studi S Teknik Telekomunikasi Universitas Telkom Medan listrik akibat muatan kontinu Muatan listrik kontinu
Lebih terperinciArahnya diwakili oleh sudut yang dibentuk oleh A dengan ketigas umbu koordinat,
VEKTOR Dalam mempelajari fisika kita selalu berhubungan dengan besaran, yaitu sesuatu yang dapat diukur dan dioperasikan. da besaran yang cukup dinyatakan dengan nilai (harga magnitude) dan satuannya saja,
Lebih terperinciTransformasi Geometri Sederhana
Transformasi Geometri Sederhana Transformasi Dasar Pada Aplikasi Grafika diperlukan perubahan bentuk, ukuran dan posisi suatu gambar yang disebut dengan manipulasi. Perubahan gambar dengan mengubah koordinat
Lebih terperinciKeep running VEKTOR. 3/8/2007 Fisika I 1
VEKTOR 3/8/007 Fisika I 1 BAB I : VEKTOR Besaran vektor adalah besaran yang terdiri dari dua variabel, yaitu besar dan arah. Sebagai contoh dari besaran vektor adalah perpindahan. Sebuah besaran vektor
Lebih terperinciBAB 21 TRANSFORMASI GEOMETRI 1. TRANSLASI ( PERGESERAN) Contoh : Latihan 1.
TRANSFORMASI GEOMETRI BAB Suatu transformasi bidang adalah suatu pemetaan dari bidang Kartesius ke bidang yang lain atau T : R R (x,y) ( x', y') Jenis-jenis transformasi antara lain : Transformasi Isometri
Lebih terperinciKoordinat Kartesius, Koordinat Tabung & Koordinat Bola. Tim Kalkulus II
Koordinat Kartesius, Koordinat Tabung & Koordinat Bola Tim Kalkulus II Koordinat Kartesius Sistem Koordinat 2 Dimensi Sistem koordinat kartesian dua dimensi merupakan sistem koordinat yang terdiri dari
Lebih terperincia menunjukkan jumlah satuan skala relatif terhadap nol pada sumbu X Gambar 1
1. Koordinat Cartesius Sistem koordinat Cartesius terdiri dari dua garis yang saling tegak lurus yang disebut sumbu Sumbu horizontal disebut sumbu X dan sumbu vertikal disebut sumbu Y Tiap sumbu mempunyai
Lebih terperinciAnalisis Vektor. Ramadoni Syahputra Jurusan Teknik Elektro FT UMY
Analisis Vektor Ramadoni Syahputra Jurusan Teknik Elektro FT UMY Analisis Vektor Analisis vektor meliputi bidang matematika dan fisika sekaligus dalam pembahasannya Skalar dan Vektor Skalar Skalar ialah
Lebih terperinciA x pada sumbu x dan. Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.com. 2. Vektor. 2.1 Representasi grafis sebuah vektor
. Vektor.1 Representasi grafis sebuah vektor erdasarkan nilai dan arah, besaran dibagi menjadi dua bagian aitu besaran skalar dan besaran vektor. esaran skalar adalah besaran ang memiliki nilai dan tidak
Lebih terperinciRelasi, Fungsi, dan Transformasi
Modul 1 Relasi, Fungsi, dan Transformasi Drs. Ame Rasmedi S. Dr. Darhim, M.Si. M PENDAHULUAN odul ini merupakan modul pertama pada mata kuliah Geometri Transformasi. Modul ini akan membahas pengertian
Lebih terperinciSilabus. Kegiatan Pembelajaran Instrume n. - Menentukan nilai. Tugas individu. (sinus, cosinus, tangen, cosecan, secan, dan
Silabus Nama Sekolah Mata Pelajaran Kelas / Program Semester : SMK : MATEMATIKA : XI / TEKNOLOGI, KESEHATAN, DAN PERTANIAN : GANJIL Standar Kompetensi:7. Menerapkan perbandingan, fungsi,, dan identitas
Lebih terperinciDiferensial Vektor. (Pertemuan III) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya
TKS 4007 Matematika III Diferensial Vektor (Pertemuan III) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya Perkalian Titik Perkalian titik dari dua buah vektor A dan B pada bidang dinyatakan
Lebih terperinciLATIHAN ULANGAN BAB. INTEGRAL
LATIHAN ULANGAN BAB. INTEGRAL A. PILIHAN GANDA 4( ). d... A. 4( ) 5 B. 4( ) 4 C. + 8 9 4 + C D. + 8 + C E. 4 5 + C 5. Nilai ( 4 ) d... A. 6 D. B. 4 6 E. C. 8. Hasil dari. cos d... (UAN 4) A. (.sin.cos
Lebih terperinciBAB V MOMENTUM ANGULAR Pengukuran Simultan Beberapa Properti Dalam keadaan stasioner, momentum angular untuk elektron hidrogen adalah konstan.
BAB V MOMENTUM ANGULAR Pengukuran Simultan Beberapa Properti Dalam keadaan stasioner, momentum angular untuk elektron hidrogen adalah konstan. Kriteria apa saa yang dapat digunakan untuk menentukan properti
Lebih terperinciWardaya College. Tes Simulasi Ujian Nasional SMA Berbasis Komputer. Mata Pelajaran Matematika Tahun Ajaran 2017/2018
Tes Simulasi Ujian Nasional SMA Berbasis Komputer Mata Pelajaran Matematika Tahun Ajaran 07/08 -. Jika diketahui x = 8, y = 5 dan z = 8, maka nilai dari x y z adalah.... (a) 0 (b) 00 (c) 500 (d) 750 (e)
Lebih terperinciPerkalian Titik dan Silang
PERKALIAN TITIK DAN SILANG Materi pokok pertemuan ke 3: 1. Perkalian titik URAIAN MATERI Perkalian Titik Perkalian titik dari dua buah vektor dan dinyatakan oleh (baca: titik ). Untuk lebih jelas, berikut
Lebih terperinciLingkaran. A. Persamaan Lingkaran B. Persamaan Garis Singgung Lingkaran
Bab Sumber: www.panebiancod.com Setelah mempelajari bab ini, Anda harus mampu merumuskan persamaan lingkaran dan menggunakannya dalam pemecahan masalah; menentukan persamaan garis singgung pada lingkaran
Lebih terperinci(A) 3 (B) 5 (B) 1 (C) 8
. Turunan dari f ( ) = + + (E) 7 + +. Turunan dari y = ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( + ) ( + ) ( ) ( + ) (E) ( ) ( + ) 7 5 (E) 9 5 9 7 0. Jika f ( ) = maka f () = 8 (E) 8. Jika f () = 5 maka f (0) +
Lebih terperinciTegangan Dalam Balok
Mata Kuliah : Mekanika Bahan Kode : TSP 05 SKS : SKS Tegangan Dalam Balok Pertemuan 9, 0, TIU : Mahasiswa dapat menghitung tegangan yang timbul pada elemen balok akibat momen lentur, gaya normal, gaya
Lebih terperinciANALISA BALOK SILANG DENGAN GRID ELEMEN PADA STRUKTUR JEMBATAN BAJA
ANALISA BALOK SILANG DENGAN GRID ELEMEN PADA STRUKTUR JEMBATAN BAJA Tugas Akhir Diajukan untuk melengkapi tugas-tugas dan memenuhi Syarat untuk menempuh ujian sarjana Teknik Sipil Disusun oleh: SURYADI
Lebih terperinciPEMBAHASAN UN SMA TAHUN PELAJARAN 2009/2010 MATEMATIKA PROGRAM STUDI IPA
PEMBAHASAN UN SMA TAHUN PELAJARAN 009/00 MATEMATIKA PROGRAM STUDI IPA PEMBAHAS :. Sigit Tri Guntoro, M.Si.. Jakim Wiyoto, S.Si. 3. Marfuah, M.T. 4. Rohmitawati, S.Si. PPPPTK MATEMATIKA 00 . Perhatikan
Lebih terperinciTRAINING CENTER OLIMPIADE INTERNASIONAL
TRAINING CENTER OLIMPIADE INTERNASIONAL 7 th International Junior Science Olympiad (IJSO) 11 th Initational World Youth Mathematics Intercity Competition (IWYMIC) MODUL FISIKA GERAK (Sumber: College Physics,
Lebih terperinciPUNTIRAN. A. pengertian
PUNTIRAN A. pengertian Puntiran adalah suatu pembebanan yang penting. Sebagai contoh, kekuatan puntir menjadi permasalahan pada poros-poros, karena elemen deformasi plastik secara teori adalah slip (geseran)
Lebih terperinciTRANSFORMASI GEOMETRI
TRNSFORMSI GEOMETRI. TRNSLSI Minggu lalu, Candra duduk di pojok kanan baris pertama di kelasnya. Minggu ini, ia berpindah ke baris ketiga lajur keempat yang minggu lalu ditempati Dimas. Dimas sendiri berpindah
Lebih terperinciBAB II BESARAN VEKTOR
BAB II BESARAN VEKTOR.1. Besaran Skalar Dan Vektor Dalam fisika, besaran dapat dibedakan menjadi dua kelompok yaitu besaran skalar dan besaran vektor. Besaran skalar adalah besaran yang dinyatakan dengan
Lebih terperinciFisika Dasar 9/1/2016
1 Sasaran Pembelajaran 2 Mahasiswa mampu mencari besaran posisi, kecepatan, dan percepatan sebuah partikel untuk kasus 1-dimensi dan 2-dimensi. Kinematika 3 Cabang ilmu Fisika yang membahas gerak benda
Lebih terperinciPembahasan Soal SIMAK UI 2012 SELEKSI MASUK UNIVERSITAS INDONESIA. Disertai TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS. Matematika IPA
Pembahasan Soal SIMAK UI 0 SELEKSI MASUK UNIVERSITAS INDONESIA Disertai TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Matematika IPA Disusun Oleh : Pak Anang Kumpulan SMART SOLUTION dan TRIK SUPERKILAT Pembahasan
Lebih terperinciBAB 2 ANALISIS VEKTOR
BAB ANALISIS VEKTOR A. Tujuan Umum Mahasiswa memahami pengertian vektor, operasi vektor, penjumlahan, pengurangan, perkalian dan kaedah aljabar vektor. B. Tujuan Khusus Mahasiswa dapat memahami konsep
Lebih terperinciBESARAN VEKTOR B A B B A B
Besaran Vektor 8 B A B B A B BESARAN VEKTOR Sumber : penerbit cv adi perkasa Perhatikan dua anak yang mendorong meja pada gambar di atas. Apakah dua anak tersebut dapat mempermudah dalam mendorong meja?
Lebih terperinciMATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS. Nuryanto.ST.,MT
MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS Fungsi Non Linear Fungsi non-linier merupakan bagian yang penting dalam matematika untuk ekonomi, karena pada umumnya fungsi-fungsi yang menghubungkan variabel-variabel ekonomi
Lebih terperinciBab II Fungsi Kompleks
Bab II Fungsi Kompleks Variabel kompleks z secara fisik ditentukan oleh dua variabel lain, yakni bagian realnya x dan bagian imajinernya y, sehingga dituliskan z z(x,y). Oleh sebab itu fungsi variabel
Lebih terperinciSOAL DAN PEMBAHASAN UJIAN NASIONAL SMA/MA IPA TAHUN PELAJARAN 2008/2009
SOAL DAN PEMBAHASAN UJIAN NASIONAL SMA/MA IPA TAHUN PELAJARAN 008/009. Perhatikan premis premis berikut! - Jika saya giat belajar maka saya bisa meraih juara - Jika saya bisa meraih juara maka saya boleh
Lebih terperinci( ) 2. Nilai x yang memenuhi log 9. Jadi 4x 12 = 3 atau x = 3,75
Here is the Problem and the Answer. Diketahui premis premis berikut! a. Jika sebuah segitiga siku siku maka salah satu sudutnya 9 b. Jika salah satu sudutnya 9 maka berlaku teorema Phytagoras Ingkaran
Lebih terperinciBab 5 Puntiran. Gambar 5.1. Contoh batang yang mengalami puntiran
Bab 5 Puntiran 5.1 Pendahuluan Pada bab ini akan dibahas mengenai kekuatan dan kekakuan batang lurus yang dibebani puntiran (torsi). Puntiran dapat terjadi secara murni atau bersamaan dengan beban aksial,
Lebih terperinciMekanika Bahan TEGANGAN DAN REGANGAN
Mekanika Bahan TEGANGAN DAN REGANGAN Sifat mekanika bahan Hubungan antara respons atau deformasi bahan terhadap beban yang bekerja Berkaitan dengan kekuatan, kekerasan, keuletan dan kekakuan Tegangan Intensitas
Lebih terperinciMatematika Semester IV
F U N G S I KOMPETENSI DASAR Mendeskripsikan perbedaan konsep relasi dan fungsi Menerapkan konsep fungsi linear Menggambar fungsi kuadrat Menerapkan konsep fungsi kuadrat Menerapkan konsep fungsi trigonometri
Lebih terperinciTransformasi Geometri Sederhana. Farah Zakiyah Rahmanti 2014
Transformasi Geometri Sederhana Farah Zakiyah Rahmanti 2014 Grafika Komputer TRANSFORMASI 2D Transformasi Dasar Pada Aplikasi Grafika diperlukan perubahan bentuk, ukuran dan posisi suatu gambar yang disebut
Lebih terperinciVEKTOR. Makalah ini ditujukkan untuk Memenuhi Tugas. Disusun Oleh : PRODI TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK SIPIL DAN PERENCANAAN
VEKTOR Makalah ini ditujukkan untuk Memenuhi Tugas Disusun Oleh : 1. Chrisnaldo noel (12110024) 2. Maria Luciana (12110014) 3. Rahmat Fatoni (121100) PRODI TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK SIPIL DAN PERENCANAAN
Lebih terperinciVektor. Vektor memiliki besaran dan arah. Beberapa besaran fisika yang dinyatakan dengan vektor seperti : perpindahan, kecepatan dan percepatan.
Vektor Vektor memiliki besaran dan arah. Beberapa besaran fisika yang dinyatakan dengan vektor seperti : perpindahan, kecepatan dan percepatan. Skalar hanya memiliki besaran saja, contoh : temperatur,
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA. tegak, perlu diketahui tentang materi-materi sebagai berikut.
BAB II TINJAUAN PUSTAKA Sebelum pembahasan mengenai irisan bidang datar dengan tabung lingkaran tegak, perlu diketahui tentang materi-materi sebagai berikut. A. Matriks Matriks adalah himpunan skalar (bilangan
Lebih terperinciUJIAN TENGAH SEMESTER KALKULUS I
UJIAN TENGAH SEMESTER KALKULUS I Senin, 9 April 001 Waktu :,5 jam 1. Tentukan dy dx jika (a) y 5x (x + 1) (b) y cos x.. Dengan menggunakan de nisi turunan, tentukan f 0 (x) untuk fungsi f berikut f (x)
Lebih terperinciSelain besaran pokok dan turunan, besaran fisika masih dapat dibagi atas dua kelompok lain yaitu besaran skalar dan besaran vektor
Selain besaran pokok dan turunan, besaran fisika masih dapat dibagi atas dua kelompok lain yaitu besaran skalar dan besaran vektor Besaran skalar adalah besaran yang hanya memiliki nilai saja. Contoh :
Lebih terperinciKINEMATIKA GERAK 1 PERSAMAAN GERAK
KINEMATIKA GERAK 1 PERSAMAAN GERAK Posisi titik materi dapat dinyatakan dengan sebuah VEKTOR, baik pada suatu bidang datar maupun dalam bidang ruang. Vektor yang dipergunakan untuk menentukan posisi disebut
Lebih terperinciSuryadi Siregar Metode Matematika Astronomi 2
Suryadi Siregar Metode Matematika Astronomi Bab 4 Integral Garis dan Teorema Green 4. Integral Garis Definisi : Misal suatu lintasan dalam ruang dimensi m pada interval [a,b]. Andaikan adalah medan vektor
Lebih terperinciLINGKARAN. Lingkaran. pusat lingkaran diskriminan posisi titik posisi garis garis kutub gradien. sejajar tegak lurus persamaan lingkaran
LINGKARAN Persamaan Persamaan garis singgung lingkaran Persamaan lingkaran berpusat di (0, 0) dan (a, b) Kedudukan titik dan garis terhadap lingkaran Merumuskan persamaan garis singgung yang melalui suatu
Lebih terperinciBab III. 3.1.1 Kecepatan relatif dua buah titik pada satu penghubung kaku. Penghubung berputar terhadap satu titik tetap
Diktat KINEMTIK leh : Ir. Erwin Sulito - Ir. Endi Sutikno ab III KECEPTN RELTIF DN PERCEPTN RELTIF 3.1 KECEPTN RELTIF 3.1.1 Kecepatan relatif dua buah titik pada satu penghubung kaku Penghubung berputar
Lebih terperinciSOAL DAN PEMBAHASAN UJIAN NASIONAL SMA/MA IPA TAHUN PELAJARAN 2008/2009
SOAL DAN PEMBAHASAN UJIAN NASIONAL SMA/MA IPA TAHUN PELAJARAN 8/9. Perhatikan premis premis berikut! - Jika saya giat belajar maka saya bisa meraih juara - Jika saya bisa meraih juara maka saya boleh ikut
Lebih terperinci1/32 FISIKA DASAR (TEKNIK SIPIL) KINEMATIKA. menu. Mirza Satriawan. Physics Dept. Gadjah Mada University Bulaksumur, Yogyakarta
1/32 FISIKA DASAR (TEKNIK SIPIL) KINEMATIKA Mirza Satriawan Physics Dept. Gadjah Mada University Bulaksumur, Yogyakarta email: mirza@ugm.ac.id Definisi KINEMATIKA Kinematika adalah cabang ilmu fisika yang
Lebih terperinciFUNGSI dan LIMIT. 1.1 Fungsi dan Grafiknya
FUNGSI dan LIMIT 1.1 Fungsi dan Grafiknya Fungsi : suatu aturan yang menghubungkan setiap elemen suatu himpunan pertama (daerah asal) tepat kepada satu elemen himpunan kedua (daerah hasil) fungsi Daerah
Lebih terperinciISTIYANTO.COM. memenuhi persamaan itu adalah B. 4 4 C. 4 1 PERBANDINGAN KISI-KISI UN 2009 DAN 2010 SMA IPA
PERBANDINGAN KISI-KISI UN 009 DAN 00 SMA IPA Materi Logika Matematika Kemampuan yang diuji UN 009 UN 00 Menentukan negasi pernyataan yang diperoleh dari penarikan kesimpulan Menentukan negasi pernyataan
Lebih terperinciIII. KINEMATIKA PARTIKEL. 1. PERGESERAN, KECEPATAN dan PERCEPATAN
III. KINEMATIKA PARTIKEL Kinematika adalah bagian dari mekanika yang mempelajari tentang gerak tanpa memperhatikan apa/siapa yang menggerakkan benda tersebut. Bila gaya penggerak ikut diperhatikan maka
Lebih terperinciVEKTOR. Besaran skalar (scalar quantities) : besaran yang hanya mempunyai nilai saja. Contoh: jarak, luas, isi dan waktu.
VEKTOR Kata vektor berasal dari bahasa Latin yang berarti "pembawa" (carrier), yang ada hubungannya dengan "pergeseran" (diplacement). Vektor biasanya digunakan untuk menggambarkan perpindahan suatu partikel
Lebih terperinciTUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS
PREVIEW KALKULUS TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Mahasiswa mampu: menyebutkan konsep-konsep utama dalam kalkulus dan contoh masalah-masalah yang memotivasi konsep tersebut; menjelaskan menyebutkan konsep-konsep
Lebih terperinciHendra Gunawan. 5 Maret 2014
MA101 MATEMATIKA A Hendra Gunawan Semester II, 013/014 5 Maret 014 Kuliah yang Lalu 10.1 Parabola, aboa, Elips, danhiperbola a 10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang 10.5 SistemKoordinatPolar 11.1 Sistem
Lebih terperinciSoal-Soal dan Pembahasan SNMPTN Matematika IPA Tahun Pelajaran 2010/2011
Soal-Soal dan Pembahasan SNMPTN Matematika IPA Tahun Pelajaran 00/0 Tanggal Ujian: 0 Juni 0. Diketahui vektor u (a, -, -) dan v (a, a, -). Jika vektor u tegak lurus pada v, maka nilai a adalah... A. -
Lebih terperinciSoal dan Solusi Materi Elektrostatika
P Soal dan Solusi Materi Elektrostatika 1. Tentukan medan listrik pada jarak z di atas salah satu ujung kawat sepanjang L yang membawa muatan berdistribusi seragam dengan rapat muatan, seperti gambar berikut
Lebih terperinciSoal UN 2009 Materi KISI UN 2010 Prediksi UN 2010
PREDIKSI UN 00 SMA IPA BAG. (Berdasar buku terbitan Istiyanto: Bank Soal Matematika-Gagas Media) Logika Matematika Soal UN 009 Materi KISI UN 00 Prediksi UN 00 Menentukan negasi pernyataan yang diperoleh
Lebih terperinciProgram Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
INTEGRASI VEKTOR Materi pokok pertemuan ke 11: 1. Integral Biasa 2. Integral Garis URAIAN MATERI Sebelum masuk ke integral garis, Anda pelajari dulu mengenai integral biasa dari vektor. Integral Biasa
Lebih terperinciVEKTOR. Notasi Vektor. Panjang Vektor. Penjumlahan dan Pengurangan Vektor (,, ) (,, ) di atas dapat dinyatakan dengan: Matriks = Maka = =
VEKTOR Notasi Vektor (,, ) (,, ) Vektor atau Matriks Maka di atas dapat dinyatakan dengan: Kombinasi linear vektor basis maka; ( ) + ( ) + ( ) + + (,, ) Panjang Vektor Misalkan + + (,, ), maka panjang
Lebih terperinciMatematika Ujian Akhir Nasional Tahun 2004
Matematika Ujian Akhir Nasional Tahun 00 UAN-SMA-0-0 Persamaan kuadrat yang akar-akarnya dan adalah x + x + 0 = 0 x + x 0 = 0 x x + 0 = 0 x x 0 = 0 x + x + 0 = 0 UAN-SMA-0-0 Suatu peluru ditembakkan ke
Lebih terperinciMA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan
MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan Semester II, 2016/2017 15 Maret 2017 Kuliah yang Lalu 10.1-2 Parabola, Elips, dan Hiperbola 10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang 10.5 Sistem Koordinat Polar 11.1
Lebih terperinciPersamaan Garis singgung Melalui titik (x 1, y 1 ) diluar lingkaran. Pusat Lingkaran (a, b) Persamaan Garis singgung. Jari Jari r.
PERSAMAAN LINGKARAN Pusat Lingkaran (0, 0) Melalui titik (x, y ) pada lingkaran Jika diketahui gradient m xx y mx r yy r m x y r Persamaan Garis singgung Melalui titik (x, y ) diluar lingkaran Jari Jari
Lebih terperinciPembahasan SNMPTN 2011 Matematika IPA Kode 576
Pembahasan SNMPTN 011 Matematika IPA Kode 576 Oleh Tutur Widodo Juni 011 1. Diketahui vektor u = (a,, 1) dan v = (a, a, 1). Jika vektor u tegak lurus pada v, maka nilai a adalah... a. 1 b. 0 c. 1 d. e.
Lebih terperinciPREDIKSI UAN MATEMATIKA SESUAI KISI-KISI PEMERINTAH
PREDIKSI UAN MATEMATIKA SESUAI KISI-KISI PEMERINTAH. Apabila P dan q kalimat pernyataan, di mana ~p q kalimat bernilai salah, maka kalimat yang benar berikut ini, kecuali (d) p q (~p ~q) (~p ~q) ~ (~p
Lebih terperinciD. 90 meter E. 95 meter
1. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 5 dan -2 adalah... A. x² + 7x + 10 = 0 B. x² - 7x + 10 = 0 C. x² + 3x + 10 = 0 Kunci : E Rumus : (x - x 1 ) (x - x 2 ) = 0 dimana x 1 = 5, dan x 2 = -2 (x - 5) (x
Lebih terperinciVEKTOR. 45 O x PENDAHULUAN PETA KONSEP. Vektor di R 2. Vektor di R 3. Perkalian Skalar Dua Vektor. Proyeksi Ortogonal suatu Vektor pada Vektor Lain
VEKTOR y PENDAHULUAN PETA KONSEP a Vektor di R 2 Vektor di R 3 Perkalian Skalar Dua Vektor o 45 O x Proyeksi Ortogonal suatu Vektor pada Vektor Lain Soal-Soal PENDAHULUAN Dalam ilmu pengetahuan kita sering
Lebih terperinciSUSUNAN KOORDINAT BAGIAN-1. Oleh: Fitria Khasanah, M. Pd
SUSUNAN KOORDINAT BAGIAN-1 Oleh: Fitria Khasanah, M. Pd Program Studi Pendidikan Matematika Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas PGRI Yogyakarta 2010 Letak Suatu Titik pada Garis Lurus O g
Lebih terperinciUJIAN NASIONAL DINAS PENDIDIKAN DKI JAKARTA SMA/MA
B Matematika IPA SMA/MA TRYOUT UJIAN NASIONAL DINAS PENDIDIKAN DKI JAKARTA SMA/MA TAHUN PELAJARAN 04/05 MATEMATIKA IPA Hasil Kerja Sama dengan Matematika IPA SMA/MA Mata Pelajaran : Matematika IPA Jenjang
Lebih terperinciSoal-Soal dan Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 2012 Tanggal Ujian: 13 Juni 2012
Soal-Soal dan Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 01 Tanggal Ujian: 13 Juni 01 1. Lingkaran (x + 6) + (y + 1) 5 menyinggung garis y 4 di titik... A. ( -6, 4 ). ( -1, 4 ) E. ( 5, 4 ) B. ( 6, 4) D. ( 1, 4 )
Lebih terperinci