II. LENTURAN. Gambar 2.1. Pembebanan Lentur

Transkripsi

1 . LENTURAN Pembebanan lentur murni aitu pembebanan lentur, baik akibat gaa lintang maupun momen bengkok ang tidak terkombinasi dengan gaa normal maupun momen puntir, ditunjukkan pada Gambar.. Gambar.(a) disebut balok kantilever sedangkan jenis ang lain adalah balok-balok dengan tumpuan elastis sederhana, Gambar.(b). Gaa dalam ang bekerja pada balok-balok tersebut mungkin akan berupa tegangan normal dan atau tegangan geser. Bebanna tidak hana terbatas pada beban merata saja seperti pada gambar, mungkin juga beban titik. q q L L (a) Balok Cantilever Gambar.. Pembebanan Lentur (b) Balok Di atas Dua tumpuan Pendekatan ang dilakukan untuk pemecahan masalah ini digunakan teori balok menurut makanika klasik. Cara ini dikenal dengan pemecahan pendekatan karena persoalanna dideskripsikan secara pasti namun kemudian digunakan asumsi-asumsi. Pendekatan lain adalah penelesaian menurut teori elastisitas ang dikenal dengan penelesaian eksak, karena pada pendekatan ini persoalanna disederhanakan namun tidak dilakukan asumsi-asumsi. Untuk kepentingan praktis penelesaian pendekatan cukup akurat apabila balok tersebut cukup panjang, L 0h, dengan h adalah tinggi balok. Untuk balok-balok ang pendek dan di sekitar titik tumpuan dan titik beban terpusat, penelesaian eksak akan memberikan hasil ang lebih akurat. Hal ini sesuai dengan prinsip Saint Venant, ang pertama kali dikemukakan oleh seorang insinur Perancis, Barre de Saint Venant, pada tahun

2 5.. Momen Lentur dan Distribusi Tegangan Normal Gambar.(a) di bawah menunjukkan sebuah balok sebelum mendapatkan pembebanan. Gambar.(b) setelah mengalami perubahan bentuk. Dari dua gambar tesebut terlihat bahwa panjang titik AB berubah menjadi panjang tititk A B, hal tersebut dapat diartikan bahwa panjang AB mengalami perpendekan, sedangkan kalau kita lihat panjang titik CD berubah menjadi panjang titik C D adalah mengalami perpanjangan. Kemudian panjang titik GN tidak mengalamai perubahan, ang berarti bahwa panjang titik GN tidak mengalami perpendekan maupun perpanjangan. M xz A B M xz Y G N gn. Z C D x (a) Batang Sebelum Terbebani (c) Potongan (d) Distribusi Melintang Tegangan r M xz A B M xz L C D (b) Batang Setelah Terbebani Gambar.. Pembebanan Lentur Dengan demikian dapat diketahui bahwa serat sepanjang bagian AB mengalami pembebanan tekan, sedangkan serat sepanjang bagian CD mengalami

3 6 pembebanan tarik. Kemudian karena serat sepanjang titik berat penampang lintang aitu GN tidak mengalami perubahan panjang, maka sering disebut dengan garis netral, aitu suatu bagian ang tidak mengalami tegangan sama sekali, atau teganganna sama dengan nol. Untuk elemen CD ang sangat pendek, maka dapat dipandang sebagai busur lingkaran sebesar radial dengan jari-jari r, sehingga: GN C' D' C' D' C' D' r r GN r GN r atau C' D'GN panjang setelah pembebanan panjang semula GN panjang semula Sehingga xx (.) r Dengan perkataan lain, besar regangan pada suatu serat berbanding lurus dengan jarak serat tersebut dari sumbu netral. adalah Sehingga Selanjutna, menurut hukum Hooke, besarna regangan satu dimensi xx xx E r xx E (.) r dengan: xx = tegangan ang terjadi (N/mm, MPa) E = modulus Young, modulus elastisit (N/mm, MPa) = jarak serat dari sumbu netral (mm) r = jari-jari lengkungan (mm) Karena untuk suatu bengkokan tertentu pada bahan tertentu, E dan r adalah konstan, maka jelaslah bahwa tegangan pada suatu serat tertentu merupakan fungsi linier jarak serat tersebut terhadap sumbu netral. Distribusi tegangan normal sepanjang sumbu ditunjukkan pada Gambar.(d). r

4 7 Sebagian penampang lintang balok diambil elemen sembarang da ang berjarak dari sumbu netral, Gambar.(e). Besar elemen gaa ang bekerja pada luasan tersebut adalah df. da (.3) xx Karena jarakna terhadap sumbu netral, maka elemen gaa tersebut menimbulkan elemen momen terhadap sumbu netral sebesar d Sehingga Karena maka M b. df.. da E da x r E M b. da r (.4). da (.5) Mb E (.6) r dengan: M b = momen bengkok (N.mm) = momen lembam linier atau inersia linier (mm 4 ) r = jari-jari bengkokan (mm) Dari persamaan (.6) didapat persamaan (.) sehingga didapat M b E r, ang kemudian dimasukkan ke M b. xx (.7).. Momen Lentur dan Distribusi Tegangan Geser Suatu balok cantilever AB ang digambarkan sebagaimana gambar.3, maka jika diambil potongan kecil CD pada balok tersebut sepanjang dx, maka gaa normal ang bekerja pada elemen ang diarsir pada sisi kiri adalah

5 8 Fn xx. da Mb. da (.8a) Gambar.3. Elemen Balok ang Mengalami Lenturan Sedangkan gaa normal pada sisi kanan elemen untuk luasan dan posisi ang sama akan diperoleh Fn xx d xx da. xx. da Mb d Mb. da (.8b) Sedangkan gaa geser pada bidang horisontal ang menebabkan keseimbangan pada elemen-elemenna adalah F t b dx (.8c) Jumlah gaa ang bekerja pada arah mendatar sama dengan nol, sehingga Mb. Mb d Mb. Fh 0 da da. b. dx 0 d Mb.. b. dx da d Mb... b dx da (. 9)

6 9 dmb Fv dx. da Q (. 0) (. ) Dengan substitusi persamaan-persamaan (.8) dan (.9) pada persamaan (.8) akan didapat besarna tegangan geser pada serat C D dalam paskal (Pa) x Fv. Q. b (.) dengan: F v = Gaa geser (lintang) ang bekerja pada elemen ang ditinjau Q = Statis momen luas bidang ang tergeser, terhadap garis netral = Momen nersia penampang lintang b = Lebar bidang geser. Untuk penampang lintang berbentuk segi empat dengan tebal b (mm) dan tinggi h (mm) besar Q adalah h/ b/ h/ b/ h/ b/ Q. da ( d. dz). ddz dz b/ b/ b/ Q h 4 8 b/ h b 4 / h 4 b b dz z b/ 8 b/ 8 Q h 4 b 8 (.3) Dengan substitusi persamaan (.) pada persamaan (.) akan didapat besar tegangan geser dalam paskal (Pa) ang bekerja bidang C D D C ang berjarak dari sumbu netral, adalah x dengan Fv. h 4 8. F v = Gaa geser (lintang) ang bekerja pada elemen ang ditinjau h = tinggi penampang lintang balok (.4)

7 30 = jarak serat dari sumbu netral = Momen nersia penampang lintang Perhatikan persamaan tersebut di atas. Untuk suatu penampang lintang tertentu pada panjang balok, besarna gaa-gaa vertikal ang bekerja padana adalah konstan. Dengan demikian, distribusi tegangan geser pada serat tertentu pada penampang lintang sepanjang sumbu vertikalna, sumbu, merupakan fungsi parabolik jarak serat tersebut terhadap sumbu netral ang dinatakan oleh. Sedangkan besarna tegangan geser maksimum terjadi pada harga = 0, aitu x Fv. h max 3 8. b. h xmax 3 Fv bh Sedangkan tegangan geser minimum terjadi bila = h/, aitu (.5a) xmin 0 (.5b).3. Persoalan-persoalan Khusus Kekhususan dalam hal ini adalah konstruksi titik tumpuan dan jenis beban. Balok kantilever seperti Gambar.a dan balok di atas dua tumpuan elastis sederhana seperti Gambar.b merupakan persoalan ang sering dijumpai. Sedangkan beban dapat berupa beban terpusat atau beban titik, beban merata baik ang konstan maupun ang variabel, dan momen bengkok. a. Balok Kantilever Gambar.4 menunjukkan sebuah balok kantilever dengan berbagai macam beban. Gaa-gaa F dan F 3 disamping memberikan beban normal secara langsung, juga menimbulkan kopel sebesar F r + F 3 r 3 ang akan membengkokkan balok AB. Dengan adana beberapa beban tersebut, maka besarna momen lentur pada balok sepanjang AB dapat dibagi menjadi lima daerah, akni daerah AC, CD, DE, EF dan FB.

8 3 Gambar.4. Balok Kantilever dengan Berbagai Macam Beban 0 x x a M F. x a x b M F. x q( x a){ ( x a)} F. x q xa x b x c Mx F. x q xa F r F r 3 3 c x d Mx F. x q( c a){( x a) ( c a)} F r F r 3 3 d x l M F. x q( c a){( x a) ( c a)} F r F r F ( x d) (. 6e) x Turunan pertama persamaan-persamaan (.6a) sampai dengan (.5e) di atas berturut-turut adalah (. 6a) (. 6b) (. 6c) (. 6d) 0 x a a x b b x c c x d dmx F dx dmx F q( x a) dx dmx F q( x a) dx dmx F q( c a) dx d x l dmx F q( c a) F dx 4 (. 7a) (. 7b) (. 7c) (. 7d) (. 7e)

9 3 Selanjutna perhatikan persamaan (.7) dan (.3). Ternata bahwa distrubusi tegangan normal menurut persamaan (.7) dipengaruhi oleh torsi akibat beban F dan F 3. Sedangkan distribusi tegangan geser menurut persamaan (.3) tidak tergantung pada adana kopel akibat gaa F dan F 3 tersebut. b. Balok Di atas Dua Tumpuan Elastis Sederhana Dengan memendang reaksi titik tumpuan sebagai gaa aksi dan bagian tengah balok dengan sudut lenturan sama dengan nol sebagai tumpuan jepit, bagian balok ang akan dicari distribusi gaa normal dan gaa geserna dari balok di atas dua tumpuan elastis sederhana dapat diperlakukan sebagai balok kantilever, karena perilakuna ang sama dalam pembebanan. Jadi perhitungan momen adalah sama dengan ang telah dilakukan terhadap balok kantilever di atas..4. Pembebanan Kombinasi Normal dan Lentur Dalam hal ini suatu batang dismaping menderita beban tarik atau tekan langsung, juga menderita beban lentur. Pada Gambar.5a ditunjukkan bahwa batang ABCD mendapat beban F dan F ang tidak sama besarna pada arah sumbu x. Gaa-gaa F dan F disebut gaa normal. Penampang lintang batang ABCD ditunjukkan pada Gambar.5b. Gambar.5. Pembebanan Kombinasi

10 33 Akibat selisih besar F dan F maka batang ABCD akan menderita tegangan normal langsung ang besarna dengan: Fv xx (.7) A xx = tegangan normal langsung (MPa) F x = jumlah gaa-gaa horisontal, searah sumbu x (N) A = luas penampang lintang balok (mm ) Grafik distribusi tegangan normal Gambar.5c menunjukkan distribusi tegangan normal langsung pada setiap serat pada penampang lintangna. Karena gaa-gaa F dan F bekerja berlawanan arah dan adana jarak terhadap sumbu netral, maka akan timbul kopel sebesar M b = M x = F. a + F. b (.8) Akibat momen lentur tersebut, serat pada sisi AB akan menerima tarikan, sedangkan pada sisi CD akan menrima tekanan atau desakan. Menurut persamaan (.7) besarna beban pada serat AB dan CD berturut-turut adalah xxab Mb. (. 9a) xxcd Mb. (. 9b) Distribusi tegangan ang diberikan oleh persamaan-persamaan (.9a) dan (.9b) digambarkan dalam grafik pada Gambar.5d. Untuk menghitung tegangan total ang terjadi pada setiap serat pada suatu penampang lintangna dapat dilakukan dengan menjumlahkan grafik tegangan Gambar.5c dan Gambar.5d. Hasil ini ditunjukkan pada Gambar.5e. Dalam perencanaan suatu konstruksi, diambil tegangan total maksimum terbesar ang terjadi antara serat-serat terluarna. Contoh Soal: Sebuah kuda-kuda rumah dibuat dengan rangka kaku bentuk simetri. Panjang bentanganna 5,6 m dan tinggina, m. Gaa bekerja pada bubungan atap sebesar kn.

11 34 Penampang lintang berbentuk empat persegi panjang dengan tebal 8 cm dan tinggi cm. Hitunglah tegangan maksimum ang terjadi. Penelesaian: F = kn = 000 N max =? Konstruksi simetri, sehingga R A = R B = R/ = 500 N. Dengan dalil Phtagoras, didapat panjang AC = 3,5 m. R Ah = R A cos = 500 (,/3,5) = 300 N. M b maksimum terjadi di C ang besarna M b = R A.,8 = 400 N.m = N.cm. Akibat beban normal, terjadi tegangan normal langsung sebesar xx- = R Ah / A = 300 / (. 8) = 3,5 N / cm R Av R A F = kn C, m B A R ah Gambar.6. Kuda-kuda Rangka Kaku,8 m,8 m R B Akibat lenturan, terjadi tegangan normal tak langsung sebesar xx- = M b. / dengan = h / = 6 cm. = ( / ) b h 3 = ( / ) = 5 cm 4. sehingga xx- = / 5 = 79 N/cm. Dengan demikian, tegangan maksimum berupa tegangan desak pada serat bagian atas ang besarna xx-max = xx- + xx- = 73,5 N/cm..5. Pusat Geser Pusat geser, S pada Gambar.6 pada halaman depan, adalah titik ang dilewati garis kerja resultan gaa-gaa geser dalam. Agat tidak terjadi puntiran maka resultan gaa-gaa luar juga juga harus dilewatkan titik tersebut. Untuk baja profil pada umumna b dan h jauh lebih besar dari t maupun t sehingga distribusi tegangan geser pada bagian hirosontal (flange) dan

12 35 pada bagian vertikal (web) dari penampang lintangna seperti ang ditunjukkan pada Gambar.6(b). Pada bagian horisontal, tegangan geser maksimumna akan terjadi pada pertemuanna dengan bagian vertikal, ang besarna adalah F. b. h dengan = tegangan geser maksimum pada penampang bagian horisontal F v = Gaa geser (lintang) ang bekerja pada elemen ang ditinjau = Momen nersia penampang lintang b = lebar penampang lintang h = setengah tinggi penampang lintang (.0a) Gambar.7. Lenturan Murni Pada Profil Kanal Tegangan tersebut akan memberikan total gaa dalam pada bagian horisontal bagian atas F seperti ditunjukkan pada Gambar.6(c), ang besarna F... F b h t. b. t. (.0b)

13 36 dengan t adalah tebal penampang lintang bagian horisontal (mm). Dalam keadaan seimbang, jumlah gaa-gaa horisontal harus sama dengan nol, maka pada bagian horisontal bawah akan timbul gaa horisontal F 3 ang sama besar dengan F namun dengan arah ang berlawanan, sehingga secara matematis F = -F 3 (.0c) sebesar Pada ujung-ujung bagian vertikal akan dibangkitkan tegangan geser... F b h t. t (.a) dengan t adalah tebal penampang lintang bagian vertikal (mm). Tegangan tersebut sepanjang sumbu berdistribusi secara parabolik sepert ditunjukkan pada Gambar.6(b). Total gaa akibat tegangan tersebut pada luasan penampang lintang bagian vertikalna adalah F seperti pada Gambar.6(c) ang besarna dapat dicari dengan prinsip keseimbangan gaa-gaa vertikal 0 (.b) Fv F F Keseimbangan rotasi mensaratkan MA 0 F. e F. h 0 F. h atau e F (. ) Substitusi persamaan (.0b) pada persamaan (.) akan didapat e b h t (.3)

14 Sedangkan besarna t h bt bt h jauh lebih kecil dari b maupun h maka harga...., namun karena t diabaikan terhadap harga secara keseluruhan, sehingga 3 bt sangat kecil dan dapat. t. h bt. h (.4) 3 3 Substitusi persamaan (.4) pada persamaan (.3) akan diperoleh e 3 b h t h. t 3b. t (.5).6. Arus Geser Arus geser pada lenturan dapat didefinisikan sebagai hasil perkalian antara tegangan geser,, dengan tebal dinding pada balok berpenampang profil, t, ang mendapatkan pembebanan lentur. Jadi, besarna arus geser dalam N/mm pada prifil adalah adalah q =.t (.6) dengan adalah tegangan geser (Pa, N/mm ) t adalah tebal dinding (m, mm). Gambar.8. Arus Geser

15 38 Besarna arus geser dapat dicari dengan penerapan prinsip keseimbangan gaa-gaa pada arah horisontal pada Gambar.8b. 0 ' 0 Fh H F H atau F = H - H (.7) F = q dx (.8a) Mb. H xx. da. da (.8b) Mb d Mb. H xx d xx. da. da (.8c) Dengan substitusi persamaan-persamaan (.8a), (.8b) dan (.8c) pada persamaan (.7) akan diperoleh Mb d Mb Mb q. dx.. da dmb. da atau dm q dx dengan dm dx b b. da (.9) Fv adalah jumlah gaa-gaa vertikal pada penampang tersebut.. da Q adalah momen bidang di luar serat itu terhadap sumbu netral. Dengan demikian, besarna arus geser di titik A adalah Fv. Q q. t (.30) Gambar.9. Distribusi Arus Geser pada Berbagai Bentuk Penampang

16 39 Contoh Soal: Balok pipa berpenampang segi empat dengan ukuran seperti pada Gambar.0(a) menerima beban geser sebesar 0 kn. Tentukan distribusi arus geser pada penampang tersebut! Gambar.0. Profil Pipa Segi Empat dengan Beban Lentur (Ukuran dalam milimeter) Penelesaian: Karena terdapat dua sumbu simetri, maka sumbu netral akan melewati perpotongan kedua sumbu simetri tersebut. Jadi hana arus geser di titik-titik B, C dan D saja ang perlu dicari, sedangkan distribusina linier pada bagian horisontal dan parabolik pada bagian ang vertikal. = (/)( ) = mm 4 Di titik B: A B = 0 sehingga Di titik C: Q B Fv QB q 0 B Q C = A C = 35 (50 x 0) = mm 3 q C Fv QB x , (N/mm) Di titik D: Q D = ( A D ) = 0 (40 x 0) + 35 (40 x 0) + 0 (40 x 0) = (mm 3 ) q D Fv QD x (N/mm)