BAB I TEGANGAN DAN REGANGAN

Transkripsi

1 BAB I TEGANGAN DAN REGANGAN.. Tegangan Mekanika bahan merupakan salah satu ilmu yang mempelajari/membahas tentang tahanan dalam dari sebuah benda, yang berupa gaya-gaya yang ada di dalam suatu benda yang menyeimbangi gaya-gaya luar terpakai. Contoh : tegangan dan regangan. Tegangan dapat didefinisikan sebagai besarnya gaya-gaya yang bekerja pada tiap satuan luas tampang benda yang dikenai suatu besaran gaya tertentu. Tegangan dan regangan hubungannya selalu dipermasalahkan, dihitung dan ditentukan. Hal ini sudah ada sejak hokum Hook dicanangkan, besaran yang menjadi penyambungnya dikenal dengan Modulus Elastis. Untuk membahas permasalahan ini diambil suatu potongan balok sebagaimana tergambar pada gambar. yang dipotong melintang. Jika balok tersebut dikenai satu gaya diagonal sebesar p dengan kemiringan sebesar sudut, maka akan didapat gaya normal sebesar p sin dan gaya geser sebesar p cos p sin p A= x.y p cos Gambar.. Potongan balok yang menerima beban normal dan geser Besar tegangan rata-rata pada suatu bidang dapat didefinisikan sebagai intensitas gaya yang bekerja pada bidang tersebut. Sehingga secara matematis tegangan normal rata-rata dapat dinyatakan sebagai lim Psin, (.) A 0 A

2 Dimana : = tegangan normal rata-rata (N/mm = MPa) P = gaya yang bekerja (N) A = luas bidang (mm ) = sudut kemiringan Sedangkan tegangan geser dapat dinyatakan sebagai lim P cos (.) A 0 A y yz yx zz y yx xz zx zy x z zz yx zy zx yz xz x yx (a) 3 Dimensi (b) Dimensi Gambar.. Keadaan Tegangan pada Suatu Titik Dari gambar. jika diambil satu satuan luasan yang sangat kecil maka dapat digambarkan tegangannya seperti terlihat pada gambar.. Tegangan tidak sama dengan vektor tegangan. Tegangan merupakan tensor derajat dua, sedangkan vektor, vektor apapun, merupakan tensor derajat satu. Besaran skalar merupakan tensor derajat nol. Tensor ialah besaran fisik yang keadaannya pada suatu titik dalam ruang, tiga dimensi, dapat dideskripsikan dengan 3 n komponennya, dengan n ialah derajat tensor tersebut. Dengan demikian, untuk persoalan tegangan tiga dimensi pada suatu titik dalam ruang dapat dideskripsikan dengan 3 komponennya. Pada sistem koordinat sumbu silang, tegangan tersebut adalah,, zz,, yx, xz, zx, yz, dan zy seperti ditunjukkan pada Gambar.(a). Namun demikian, karena = yx, xz = zx dan yz = zy, maka keadaan tegangan

3 3 tersebut dapat dinyatakan dengan enam komponennya,,, zz,, xz, yz. Sedangkan untuk tegangan bidang, dua dimensi, pada suatu titik dapat dideskripsikan dengan komponennya, Gambar.(b), dan karena ij = ji untuk i j maka tiga komponen telah dapat mendeskripsikan tegangan bidang pada titik itu. Pada dasarnya, tegangan secara garis besar dapat diklasifikasikan menjadi dua, yakni tegangan normal, dengan notasi ij, i = j, serta tegangan geser dengan notasi ij, i j. Perhatikan penulisan pada paragrap di atas. Karakter indek yang pertama menyatakan bidang tempat bekerjanya gaya, sedangkan karekter indek yang kedua menyatakan arah bekerjanya vektor tegangan tersebut. Tegangan normal ialah tegangan yang bekerja tegak lurus terhadap bidang pembebanan. Sedangkan tegangan geser ialah tegangan yang bekerja sejajar dengan bidang pembebanan. Jadi keenam tegangan yang mendeskripsikan tegangan pada suatu titik terdiri atas tiga tegangan normal,,, dan zz, serta tiga tegangan geser,, yz, dan zx. Nilai tegangan bisa positif dan bisa pula negatif. Tegangan bernilai positif bila tegangan tersebut bekerja pada bidang positif dengan arah positif, atau bekerja pada bidang negatif dengan arah negatif. Selain itu, nilainya negatif... Regangan y dx x y y y z dz x x z dx x (a) 3 Dimensi (b) Dimensi Gambar.3. Keadaan Regangan Normal pada Suatu Titik

4 4 Seperti halnya tegangan, regangan juga merupakan tensor derajat dua. Dengan demikian keadaan regangan ruang, tiga dimensi, pada suatu titik dapat dideskripsikan dengan kesembilan komponennya. Pada sistem koordinat sumbu silang, regangan tersebut adalah,, zz,, yx, xz, zx, yz, dan zy, sebagaimana ditunjukkan pada Gambar.3(a). Regangan juga dapat diklasifikasikan menjadi dua, yakni regangan normal, dengan notasi ij, i = j, serta regangan geser dengan simbul ij i j.sebagaimana dengan tegangan, = yx, xz = zx dan yz = zy, maka keadaan regangan ruang pada suatu titik dapat dinyatakan oleh enam komponen, yakni,, zz,, yz, zx. Sedangkan regangan bidang, dua dimensi, dapat dideskripsikan dengan komponennya, dan karena ij = ji maka regangan bidang pada suatu titik dapat dideskripsikan dengan hanya tiga komponen, Gambar.4(b). y y x xz x 0.5 yz z (a) Tiga Dimensi (b) Dua Dimensi Gambar.4. Kondisi Regangan Geser Pada Suatu Titik Regangan normal merupakan perubahan panjang spesifik. Regangan normal rata-rata dinyatakan oleh perubahan panjang dibagi dengan panjang awal, atau secara matematis dapat dituliskan

5 5 li ui ij, i = j (.3) li li Dimana : ij = regangan normal rata-rata l = u = perubahan panjang pada arah (mm) l = panjang awal pada arah (mm) i, j = sumbu koordinat pada sistem sumbu silang, x, y, z. Sedangkan regangan geser merupakan perubahan sudut dalam radial. Regangan geser bernilai positif bila sudut pada kuadran I dan atau kuadran III pada sistem koordinat sumbu silang mengecil, Gambar.4(a), sedangkan selain itu bernilai negatif..3. Transformasi Tegangan Bidang Tegangan dapat ditransformasi dari suatu set sumbu koordinat ke set sumbu koordinat lainnya. Dengan transformasi pula dapat dicari set sumbu koordinat pada suatu titik yang memberikan tegangan utama dari kondisi tegangan yang telah diketahui di titik itu. Yang dimaksud dengan tegangan utama ialah tegangan yang hanya memiliki nilai tidak nol untuk tegangan normal saja, sedangkan nilai tegangan gesernya nol. Dengan demikian juga dimungkinkan transformasi tegangan dari sistem koordinat sumbu silang (x, y, z), Gambar.5(a), ke sistem koordinat polar (r,, z), Gambar.5(b). y dz x r dz z dx z (a) Sumbu Silang (b) Polar Gambar.5. Sistem Koordinat

6 6 Transformasi tegangan bidang berdasarkan pada keseimbangan gaya-gaya yang bekerja pada elemen. Perhatikan Gambar.6(b). y y y x x x x (a) (b) Gambar.6. Transformasi Tegangan Bidang x F ' 0 x' x'. A (. Asin )cos (. Asin )sin (. Acos )sin x' x' cos sin sincos. Acos cos 0 (.4a) Dengan memasukkan harga (90 o + ) untuk harga pada persamaan (.4a), sehingga dengan identitas-identitas: o o o cos ( 90 ) (cos90 cos sin90 sin ) si n o o o sin ( 90 ) (sin 90 cos cos90 sin ) cos o o o o o o sin( 90 )cos( 90 ) (sin 90 cos cos90 sin )(cos 90 cos sin90 sin ) akan didapat = sin cos y y ' ' cos sin sincos (.4b)

7 7 F y ' 0. A (. Asin )sin (. Asin )cos (. Acos )cos (cos sin ) ( )sincos. Acos sin 0 (.4c) Dengan substitusi identitas trigonometri, persamaan (.4a, b, c) bisa ditulis x' x' cos sin y' y' cos sin sin cos (.5a) (.5b) (.5c).4. Transformasi Regangan Bidang Perhatikan Gambar.7(a). Elemen OABC pada keadaan awal tanpa beban, lalu mengalami deformasi dan distorsi menjadi O A B C akibat mendapat beban, dan. Analisis transformasi regangannya ditunjukkan pada Gambar.7(b,c,d) yang berturut-turut untuk regangan normal arah sumbu x, regangan normal arah sumbu y serta regangan geser pada bidang. Dari Gambar.7(b) didapat dx' Dari Gambar.7(c) akan didapat x Dan dari Gambar.7(d) diperoleh x 3 dx cos sin, ' y.sin, '..cos, x' x.cos, Dengan demikian total perubahan panjang dx akibat adanya regangan pada sistem koordinat awalnya adalah x = x + x + x 3

8 8 Sedangkan Sehingga x' x' x x x' x.cos y.sin dx' dx cos sin..cos sin ' '.cos.sin.cos.sin (.6a) y x y 0,5 x y y x y dx x 0,5 x x x dx x dx x (a) Deformasi Total (b) Deformasi Arah Sumbu x x x 3 x 3 y dx y dx y x y y x x y x dx dx x (c) Deformasi Normal Arah y (d) Deformasi Geser Bidang Gambar.7. Transformasi Regangan Normal -Dimensi

9 9 Selanjutnya, y dapat diperoleh dengan mensubstitusikan harga (90 o + ) untuk harga pada persamaan (.6) di atas, kemudian menerapkan identitas trigonometri. Sehingga akan didapat o o o o y y ' '.cos ( ).sin ( ).cos( ).sin( ) ' '.cos.sin.cos.sin (.6b) y y Analisis transformasi regangan gesernya ditunjukkan pada Gambar.8. Sebagaimana pada regangan normal, dalam hal ini perubahan regangan geser oleh masing-masing regangan yang terjadi ditinjau satu per satu. Pada analisis ini, panjang dx dibagi dua oleh sumbu y menjadi dx dan dx. Dari Gambar.8 didapat d y' d x sin cos dan d x ' dx cos sin. Selanjutnya perhatikan Gambar.8(a), akibat terjadinya deformasi normal pada arah sumbu x saja. ' a AD x.cos sin.cos ' d x d x sin.cos d x a b x sin CE x.sin x ' b dx' d x cos '.sin.cos.sin.cos.sin.cos Akibat deformasi normal arah sumbu y saja seperti ditunjukkan pada Gambar.8(b) akan diperoleh ' ' a b AD y.sin y.sin.cos.sin.cos ' cos CE y.cos y.sin.cos.sin.cos dx' sin '.sin.cos a b

10 0 Gambar..8. Transformasi Regangan Geser Sedangkan dari Gambar.8(c), akibat terjadinya regangan geser saja, akan didapat 3a 3b A' D AA'.cos..cos.cos d y' cos CE CC''.sin..sin d x.sin ' sin 3 3a 3b (cos sin ) Dengan demikian akan diperoleh besarnya regangan geser pada set sumbu koordinat yang baru, sebagai berikut 3 ( )sin.cos (cos sin ) (.6c) Selanjutnya, dengan menggunakan identitas trigonometri persamaanpersamaan (.6a, b, c) dapat ditulis dalam bentuk lain sebagai berikut

11 x' x' cos.sin (.7a) y' y' cos.sin (.7b) sin.cos (.7c).5. Tegangan Utama (Principal Stress) dan Tegangan Geser Maksimum Tegangan Utama (principal stress) adalah tegangan normal yang terjadi pada set sumbu koordinat baru setelah transformasi yang menghasilkan tegangan geser nol. Tegangan-tegangan tersebut ditunjukkan sebagai dan pada Gambar.0. Perlu dicatat bahwa selalu diambil lebih besar dari. Sudut transformasi yang menghasilkan tegangan utama tersebut dengan sudut utama (principal angle). Secara analitik, besar tegangan utama dan sudut utama dapat diturunkan dari persamaan-persamaan (.5a, b, c). Panjang sisi miring = 4 ( ) sin p 4 ( ) p cos p 4 ( ) Gambar.9. Sisi-sisi Pada Sudut Utama Menurut pengertian tentang tegangan utama, dari persamaan (.5c) akan didapat atau 0.sin.cos

12 sin cos p p tan p (.8) Dari persamaan.8 dapat dilukiskan segitiganya sebagaimana gambar.9. Dengan substitusi harga-harga sin dan cos pada gambar.9 ke persamaan (.5a) akan didapat x' x' x' x' ( xy) 4 ( ) ( xy) 4. ( xy) 4 4 Sehingga x' x' ( ). 4 Substitusi dan penerapan prosedur yang sama terhadap persamaan (.5b), akan didapat y' y' ( ). 4 Dengan mengingat bahwa secara matematik haruslah, maka kedua persamaan tersebut di atas dapat dituliskan menjadi satu dengan, ( ). 4 (.9) Selanjutnya, perhatikan persamaan (.5c). Untuk suatu titik dan jenis pembebanan tertentu dari suatu bagian konstruksi, harga-harga, dan adalah tetap atau konstan, sehingga x y merupakan suatu fungsi, atau x y = f().harga ekstrim fungsi tersebut akan diperoleh bila turunan pertama fungsi tersebut terhadap sama dengan nol. Jadi d d atau sin cos max max tan.sin.cos 0 max (.0) Dari persamaan.0 dapat dilukiskan segitiganya pada gambar.0.

13 3 Panjang sisi miring = 4 ( ) max sin - ( ) max ( ) 4 cos max ( ) 4 Gambar.0. Sisi-sisi Pada Sudut Tegangan Geser Maksimum Dengan substitusi harga-harga sin dan cos pada gambar di atas ke persamaan (.5c) akan didapat 4 ( ) ( xy) 4 ( ). ( ) 4 Sehingga. ( ) 4 ( ) 4 Persamaan (.0) juga dipenuhi bila panjang sisi di depan sudut adalah ( ) dan panjang sisi di sampingnya adalah -. Kondisi ini akan memberikan. ( ) 4 Dengan demikian kedua persamaan tersebut dapat dituliskan menjadi satu sebagai. max ( xy) 4 (.).6. Regangan Utama dan Regangan Geser Maksimum Sebagaimana pengertian tentang tegangan utama, maka regangan utama (principal strain) adalah regangan normal yang terjadi pada set sumbu koordinat baru setelah transformasi yang menghasilkan setengah regangan geser nol.

14 4 Regangan-regangan tersebut ditunjukkan sebagai dan pada Gambar.. Demikian juga, selalu diambil lebih besar dari, serta sudut transformasinya juga disebut sudut utama (principal angle). Secara analitik, dengan penerapan prosedur yang sama dengan yang diterapkan untuk persamaan-persamaan (.7a, b, c), maka akan didapat hasil-hasil berikut. sin cos, p p tan p Dengan p = sudut utama, = regangan-regangan utama = = regangan geser (.a) ( xy) (.b). sin cos max max max tan max (.3a) ( xy) (.3b). Dengan max = sudut regangan geser maksimum = = regangan geser.7. Lingkaran Mohr untuk Tegangan Bidang dan Regangan Bidang Lingkaran Mohr diperkenalkan oleh seorang insinyur Jerman, Otto Mohr (835-93). Lingkaran ini digunakan untuk melukis transformasi tegangan maupun regangan, baik untuk persoalan-persoalan tiga dimensi maupun dua dimensi. Yang perlu dicatat adalah bahwa perputaran sumbu elemen sebesar ditunjukkan oleh perputaran sumbu pada lingkaran Mohr sebesar.dan sumbu tegangan geser positif adalah menunjuk ke arah bawah. Pengukuran dimulai dari titik A, positif bila berlawanan arah jarum jam, dan negatif bila sebaliknya. Pada bagian ini kita hanya akan membahas lingkaran Mohr untuk tegangan dan regangan dua dimensi.

15 5.7.. Lingkaran Mohr untuk Tegangan Bidang x y Pada persamaan (.5a), bila suku dipindahkan ke ruas kiri dan kemudian kedua ruasnya dikuadratkan, maka akan didapat x y x y x' cos si n x y sin cos (.4a) Sedangkan pada persamaan (.5c), bila dikuadratkan akan didapat cos si n x y sin cos (.4b) Penjumlahan persamaan-persamaan (.4a) dan (.4b) menghasilkan x y x y x' (.5) Persamaan (.5) merupakan persamaan lingkaran pada bidang yang pusatnya di x y, 0 dengan jari-jari. Lingkaran tersebut ditunjukkan pada Gambar., yang dilukis dengan prosedur sebagai berikut:. Buatlah sumbu ij, horisontal.. Periksa harga tegangan normal, atau, yang secara matematis lebih kecil. Bila bernilai negatif jadikanlah tegangan tersebut sebagai titik yang mendekati tepi kiri batas melukis, sedangkan bila positif maka titik yang mendekati batas kiri adalah titik ij = Periksa harga tegangan normal, atau, yang secara matematis lebih besar. Bila bernilai positif jadikanlah tegangan tersebut sebagai titik yang mendekati tepi kanan batas melukis, sedangkan bila negatif maka titik yang mendekati batas kanan adalah titik ij = Tentukan skala yang akan digunakan sehingga tempat melukis bisa memuat kedua titik tersebut dan masih tersisa ruangan di sebelah kiri dan kanannya. Tentukan titik-titik batas tersebut sesuai dengan skala yang telah ditentukan. 5. Tentukan letak titik-titik ij = 0 dan sumbu, serta ij terkecil dan ij terbesar bila belum terlukis pada sumbu ij. 6. Bagi dua jarak antara tegangan terkecil dan tegangan terbesar sehingga diperoleh pusat lingkaran, P.

16 6 7. Tentukan letak titik A pada koordinat ( ij terbesar, ). 8. Lukis lingkaran Mohr dengan pusat P dan jari-jari PA. 9. Tarik garis dari A melalui P sehingga memotong lingkaran Mohr di B. Maka titik B akan terletak pada koordinat ( ij terkecil, ). Garis AB menunjukkan sumbu asli, = 0, elemen tersebut. Gambar.. Lingkaran Mohr untuk Tegangan Bidang Contoh.: Sebuah elemen dari bagian konstruksi yang dibebani, menerima tegangan tarik pada arah sumbu x sebesar 80 MPa, tegangan tekan pada arah sumbu y sebesar 40 MPa serta tegangan geser pada bidang tersebut sebesar 0 MPa. Diminta: a. Lukisan lingkaran Mohr. b. Besar rotasi mengelilingi sumbu z untuk mendapatkan tegangan geser maksimum, menurut lingkaran Mohr. Periksa hasil tersebut dari persamaan (.0). c. Besar tegangan geser maksimum menurut lingkaran Mohr. Periksa hasil tersebut dengan rumus (.) dan hasil yang didapat pada b. di atas.

17 7 d. Besar perputaran mengelilingi sumbu z untuk mendapatkan tegangan geser bernilai nol, menurut lingkaran Mohr. Periksa hasil ini dengan persamaan (.8). e. Besar tegangan-tegangan utama menurut lingkaran Mohr. Periksa hasil tersebut dengan persamaan-persamaan (.9) dan dari hasil pada pada d. di atas. Penyelesaian: a. Lingkaran Mohr: ) Buat sumbu ij, horisontal. ) Tegangan normal terkecil, = -40 MPa, negatif, sehingga digunakan sebagai titik di dekat batas kiri. 3) Tegangan normal terbesar = 80 MPa, positif, sehingga digunakan sebagai titik di dekat batas kanan. 4) Diambil skala cm = 40 MPa. Kemudian ditentukan titik = -40 MPa di sebelah kiri, dan = 80 MPa di sebelah kanan yang berjarak ( + ) dari titik di sebelah kiri. 5) Lukis sumbu yang berjarak 40 MPa di sebelah kanan titik. 6) Dengan membagi dua sama panjang jarak ke akan didapat titik P. 7) Menentukan letak titik A pada koordinat (, ) = (80,0). 8) Dengan mengambil titik pusat di P dan jari-jari sepanjang PA, lingkaran Mohr dapat dilukis. 9) Dengan menarik garis dari A lewat P yang memotong lingkaran Mohr di B, akan didapat kedudukan titik (, ) = (-40,0). b. Besar rotasi mengellilingi sumbu z menurut lingkaran Mohr, dengan mengukur, didapat max = 0,5 x max = 0,5 x (-53 o ) = 6 o 30. Sedangkan menurut persamaan (.0) didapat tan max = ( ) / ( x 0) = max = 53 o 08 atau max = 6 o 34 c. Besar tegangan geser maksimum menurut lingkaran Mohr max = 5 x 40 MPa = 00 MPa. Sedangkan menurut persamaan (.) akan didapat max MPa d. Besar rotasi mengellilingi sumbu z menurut lingkaran Mohr, dengan mengukur, didapat p = 0,5 x p = 0,5 x 37 o = 8 o 30. Sedangkan menurut persamaan (.0) didapat tan p = ( x 0) / ( ) = p = 36 o 5 atau max = 8 o 6

18 8 e. Besar tegangan-tegangan utama menurut lingkaran Mohr = 8 x 40 MPa = 30 MPa. = - x 40 MPa = -80 MPa. Sedangkan menurut persamaan (.) akan didapat MPa MPa.7.. Lingkaran Mohr untuk Regangan Bidang Pada persamaan (.7a), bila suku dipindahkan ke ruas kiri dan kemudian kedua ruasnya dikuadratkan, maka akan didapat xy xy x' x' cos sin sin cos Sedangkan pada persamaan (.7c), bila dikuadratkan akan didapat xy cos sin sin cos (.6a) (.6b) Penjumlahan persamaan-persamaan (.6a) dan (.6b) menghasilkan x' x' (.7) Persamaan (.7) merupakan persamaan lingkaran pada bidang yang pusatnya di 0, dengan jari-jari. Lingkaran tersebut ditunjukkan pada Gambar.9 di bawah ini, yang dilukis dengan prosedur sebagaimana melukis lingkaran Mohr untuk tegangan dengan mengganti, dan berturut-turut menjadi, dan /. Penerapannya, lihat Contoh..8. Hubungan Antara Tegangan Dengan Regangan Untuk deformasi normal, geser maupun gabungan keduanya, hubungan antara tegangan dan regangan untuk bahan-bahan isotropis pada pembebanan dalam batas proporsional diberikan oleh hukum Hooke. Jadi hukum Hooke tidak berlaku

19 9 untuk pembebanan di luar batas proporsional. Hukum Hooke diturunkan dengan berdasarkan pada analisis tentang energi regangan spesifik. Apabila besar tegangan-tegangannya yang diketahui, maka hukum Hooke untuk persoalan-persoalan tiga dimensi, hubungan antara tegangan normal dengan regangan normal dapat dituliskan secara matematis sebagai berikut: E E E zz zz zz zz (.8) Dengan E dan v berturut-turut adalah modulus alastis atau modulus Young dan angka perbandingan Poisson. Sedangkan pada deformasi geser untuk G adalah modulus geser, hubungannya adalah: xz yz G E G E G E xz xz xz yz yz yz (.9) Sedangkan untuk mencari tegangan normal yang terjadi bila regangan normal dan sifat-sifat mekanis bahannya diketahui, digunakan persamaan-persamaan: E zz E zz E zz zz Selanjutnya untuk deformasi geser, bentuk hukum Hooke adalah: (.0)

20 0 E E G E E G xz xz xz xz E E G yz yz yz yz (.) Persamaan-persamaan (.8) sampai dengan (.) dapat juga diberlakukan untuk persoalan-persoalan dua dan satu dimensi, yakni dengan memasukkan harga nol untuk besaran-besaran di luar dimensi yang dimaksud. Contoh : Pembebanan seperti pada Contoh, untuk bahan dengan sifat-sifat mekanis: modulus Young, E = 00 GPa dan angka perbanding-an Poisson, = 0,9. Modulus geser ditentukan dengan, G = E / ( + ). Diminta: a. Hitunglah regangan-regangan yang terjadi. Penyelesaian: b. Lukisan lingkaran Mohr untuk regangan yang terjadi. c. Besar rotasi mengelilingi sumbu z untuk mendapatkan regangan geser maksimum, menurut lingkaran Mohr. Periksa hasil tersebut dari persamaan (.0). d. Besar regangan geser maksimum menurut lingkaran Mohr. Periksa hasil tersebut dengan rumus (.) dan hasil yang didapat pada b. di atas. e. Besar perputaran mengelilingi sumbu z untuk mendapatkan regangan geser bernilai nol, menurut lingkaran Mohr. Periksa hasil ini dengan persamaan (.8). f. Besar regangan-regangan utama menurut lingkaran Mohr. Periksa hasil tersebut dengan persamaan-persamaan (.9) dan dari hasil pada pada d. di atas. a) Dari persamaan (.8) dan (.9) akan didapat: 800,9.400,9.0 0, ,9.800,9.0 0, b. Lingkaran Mohr: ) Buat sumbu ij horisontal. 0,9. 0 0, atau ) Regangan normal terkecil, = -606, sehingga merupakan titik di dekat batas kiri. 3) Regangan normal terbesar = 458, sehingga merupakan titik di dekat batas kanan. 4) Diambil skala cm = 50. Kemudian ditentukan titik = -606 di sebelah kiri, = 458 di sebelah kanan dan berjarak ( + ) dari titik di sebelah kiri.

21 5) Lukis sumbu yang berjarak 606 di sebelah kanan titik. 6) Dengan membagi dua sama panjang jarak ke akan didapat titik P. 7) Menentukan letak titik A pada koordinat (, ) = (458,774). 8) Dengan mengambil titik pusat di P dan jari-jari sepanjang PA, lingkaran Mohr dapat di-lukis. 9) Dengan menarik garis dari A lewat P yang memotong lingkaran Mohr di B, akan di dapat kedudukan titik (, ) = (-606,-774). -max ( ) 0 p max ( ) min Gambar.3. Lingkaran Mohr untuk Regangan Bidang c. Besar rotasi mengellilingi sumbu z menurut lingkaran Mohr, dengan mengukur, didapat max = 0,5 x max = 0,5 x (-53 o ) = 6 o 30. Sedangkan menurut persamaan (.0) didapat tan max = ( ) / ( x 774) = max = 53 o 08 atau max = 6 o 34 d. Besar regangan geser maksimum menurut lingkaran Mohr -max = 5, x 50 = 300.

22 Sedangkan menurut persamaan (.) akan didapat max max ( ) e. Besar rotasi mengellilingi sumbu z menurut lingkaran Mohr, dengan mengukur, didapat p = 0,5 x p = 0,5 x 37 o = 8 o 30. Sedangkan menurut persamaan (.0) didapat tan p = ( x 0) / ( ) = p = 36 o 5 atau max = 8 o 6 f. Besar regangan-regangan dasar menurut lingkaran Mohr = 6,9 x 50 = 75. = -3,5 x 50 = -875 Sedangkan menurut persamaan (.) akan didapat Elastis Plastis Sempurna Strain Hardening Gambar.4. Grafik Tegangan-Regangan Baja.9. Modulus Elastis (Modulus Young) Modulus Elastis, sering disngkat E, menyatakan nilai tangent (tg) sudut pada diagram tegangan-regangan sebagaimana digambarkan pada gambar.4, atau dapat ditulis dengan rumus : E tg (.) Rumus tersebut ditulis menurut hokum Hook pada daerah elastis, dimana pada daerah tersebut merupakan batas proporsional, yaitu batas daerah dimana antara tegangan dan regangan adalah sebanding, daerah tersebut disebut daerah Elastik.