BILANGAN DOMINASI JARAK DUA PADA GRAF- GRAF HASIL OPERASI KORONA DAN COMB

Transkripsi

1 TESIS - SM BILANGAN DOMINASI JARAK DUA PADA GRAF- GRAF HASIL OPERASI KORONA DAN COMB RENI UMILASARI NRP DOSEN PEMBIMBING Dr. Darmaji, S.Si., M.T. PROGRAM MAGISTER JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER SURABAYA 201

2 THESIS SM DOMINATING NUMBER OF DISTANCE TWO OF CORONA AND COMB PRODUCT OF GRAPHS RENI UMILASARI NRP SUPERVISOR Dr. Darmaji, S.Si., M.T. MAGISTER PROGRAM DEPARTMENT OF MATHEMATICS FACULTY OF MATHEMATICS AND NATURAL SCIENCES INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER SURABAYA 201

3 BILANGAN DOMINASI JARAK DUA P ADA GRAF-GRAF BASIL OPERASI KORONA DAN COMB Tesis ini disusun untuk memenuhi salah satu syarat memperoleh gelar Magister Sains (M.Si.) di Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya oleh: RENI UMILASARI NRP OI1 Tanggal Ujian : 10 Maret 201 Peri ode Wisuda : September 201 (Pembimbing) (Pcnguji) (Penguji) Direktur Program Pascasarjana, ~!Jt ~tv - Prof. Dr. Ir. Adi Soeprijanto, M.T. NIP. I96404~ I99002 I 00 I v

4 BILANGAN DOMINASI JARAK DUA PADA GRAF-GRAF HASIL OPERASI KORONA DAN COMB Nama Mahasiswa : Reni Umilasari NRP : Dosen Pembimbing : Dr. Darmaji, S.Si., M.T. ABSTRAK Himpunan dominasi S pada graf G = (V, E) adalah subset dari V(G) sedemikian setiap simpul G yang bukan elemen S terhubung dan berjarak satu terhadap S. Kardinalitas minimum di antara himpunan dominasi pada graf G disebut bilangan dominasi dari graf G dan dinotasikan γ(g). Sedangkan himpunan dominasi jarak dua yang dinotasikan dengans 2, yaitu subset dariv(g) sedemikian simpul G yang bukan elemen S 2 memiliki jarak maksimal dua terhadap S 2. Bilangan dominasi jarak dua dari graf G γ 2 (G) adalah kardinalitas minimum dari himpunan dominasi jarak dua. Dalam penelitian ini ditentukan bilangan dominasi jarak dua pada graf Lintasan, graf Lingkaran, dan graf Bintang. Di samping itu juga ditentukan bilangan dominasi jarak satu dan jarak dua pada graf hasil operasi korona dan comb dari ketiga graf tersebut. Selanjutnya dicari relasi antara bilangan dominasi jarak satu dan dua dari hasil yang diperoleh. Dari penelitian ini, dapat ditentukan bilangan dominasi jarak dua pada graf LintasanP n, graf LingkaranC n, dan graf BintangS n. Bilangan dominasi jarak satu pada graf hasil operasi korona dapat ditentukan untuk sebarang dua grafg m H n. Sedangkan untuk yang jarak dua dapat ditentukan pada graf Lintasan dan graf Lingkaran yang dioperasikan dengan sebarang graf, yaitup m G n sertac n H m. Selain itu, bilangan dominasi jarak satu dan dua pada graf hasil operasi comb juga dapat ditentukan antara lain meliputi grafp m P n,p m C n,p m S n,c n P m,c n C m dan C n S m. Bilangan dominasi jarak satu dan jarak dua pada suatu graf tidak memiliki relasi secara umum. Hal ini karena beberapa faktor, seperti jarak antar simpul, pemilihan simpul elemen himpunan dominasi, derajat setiap simpul, diameter dan sebagainya. Kata kunci: bilangan dominasi, himpunan dominasi, graf bintang, graf lingkaran, graf lintasan, operasi comb, operasi korona vii

5 DOMINATING NUMBER OF DISTANCE TWO OF CORONA AND COMB PRODUCT OF GRAPHS Name : Reni Umilasari NRP : Supervisor : Dr. Darmaji, S.Si., M.T. ABSTRACT Dominating sets in graphg = (V,E) is a subset ofv(g) such that every vertex of G which is not element of S is connected and has distance one to S. Minimum cardinality among dominating set in a graph G is called dominating number of graph G and denoted byγ(g). While dominating set of distance two which is denoted by S 2 is a subset of V(G) such that every vertex of G which is not element of S is connected and has maximum distance two to S 2. Dominating number of distance two of graph G γ 2 (G) is minimum cardinality of dominating set of distance two. This research will be determined the dominating number of distance two of Path, Cycle, and Star. Subsequently, the dominating number of distance one and two of corona and comb product of the graphs will be determined. Futhermore, we will determine the relation between dominating number of distance one and two of the results which have been obtained. Based on the observation, we can find the dominating number of distance two of Path P m, Cycle C m, and Star S n. Dominating number of distance one of corona product graphs can be determined for any two graphsg m H n. Then, the distance two can be determined on Path and Cycle which are operated by any graphs,p m G n andc n H m. The dominating number of distance one and two of comb product of graphs also can be determined forp m P n,p m C n,p m S n,c n P m,c n C m dan C n S m. Dominating number of distance one and distance two for any graphs do not have general relation. These are caused by several factors such as distance for every vertex, determine the dominating set vertex elements, degree of every vertex, diameter, and etc. Keywords: comb product, corona product, cycle, dominating number, dominating set, path, star ix

6 KATA PENGANTAR Assalamu alaikum Wr. Wb. Puji syukur ke hadirat Allah Swt atas segala rahmat dan karunia-nya sehingga penulis dapat menyelesaikan Tesis yang berjudul Bilangan Dominasi Jarak Dua pada Graf-Graf Hasil Operasi Korona dan Comb dengan baik. Tesis ini disusun sebagai salah satu syarat kelulusan Program Studi Strata 2 (S-2) Program Magister Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA) Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS) Surabaya. Pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih atas bantuan dan bimbingan dalam penyusunan tesis ini, terutama kepada yang terhormat: 1. Bapak Dr. Darmaji, M.T. selaku dosen pembimbing atas segala bantuan, bimbingan, arahan dan motivasinya dalam mengerjakan Tesis sehingga dapat terselesaikan dengan baik. 2. Bapak Prof Slamin, M.Comp.Sc., Ph.D yang senantiasa memberikan waktunya untuk berbagi ilmu dalam dunia graf.. Bapak Dr. Chairul Imron, M.I.Komp. dan Ibu Endah Rokhmati M.P, S.Si, M.T., Ph.D. selaku dosen penguji atas semua saran yang telah diberikan demi perbaikan Tesis ini. 4. Bapak Prof. Dr. Basuki Widodo, M.Sc. selaku dosen wali yang telah membimbing dan motivasi selama menempuh pendidikan magister.. Bapak Dr. Subiono, M.Sc. selaku Ketua Program Studi Pascasarjana Matematika ITS yang telah memberi bimbingan selama menempuh pendidikan magister. 6. Ibu Prof. Dr. Erna Apriliani, M.Si. selaku Ketua Jurusan Matematika FMIPA ITS. 7. Bapak dan Ibu dosen Jurusan Matematika FMIPA ITS yang telah mendidik penulis baik di dalam maupun di luar perkuliahan serta Bapak dan Ibu staf Tata Usaha Jurusan Matematika ITS. xi

7 8. Kedua orang tua Bapak Suwono, Ibu Sriani dan keluarga tercinta, Nakneng, Mbak Rini terima kasih atas perhatian doa dan segala dukungannya, beserta Mas Yudhistira Dian P., terima kasih atas kesetiaan, kesabaran, dukungan, motivasi, perhatian, waktu dan doa yang telah diberikan selama penulis menempuh studi di ITS. 9. Keluarga besar Pascasarjana Matematika ITS 201, Novian, Mbk Retno, Mas Riski, Mas Fahim, dan warga Ash Sulha yang telah menemani, membantu, mendoakan, dan memberikan semangat kepada penulis, serta semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu per satu. Penulis menyadari bahwa dalam Tesis ini masih terdapat kekurangan. Oleh sebab itu, kritik dan saran yang bersifat membangun sangat penulis harapkan untuk kesempurnaan Tesis ini. Akhirnya, penulis berharap semoga Tesis ini dapat bermanfaat bagi semua pihak dan memberikan kontribusi terhadap berkembangnya pengetahuan baru khususnya dalam bidang teori graf. Surabaya, Maret 201 Penulis xii

8 DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL TITLE PAGE LEMBAR PENGESAHAN ABSTRAK ABSTRACT KATA PENGANTAR DAFTAR ISI DAFTAR GAMBAR DAFTAR TABEL DAFTAR SIMBOL i iii v vii ix xi xiii xv xix xxi BAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Perumusan Masalah Batasan Masalah Tujuan Penelitian Manfaat Penelitian BAB II KAJIAN PUSTAKA DAN DASAR TEORI Terminologi Dasar Graf Jenis - jenis Graf Graf Lintasan Graf Lingkaran Graf Bintang Operasi Graf Operasi Korona Operasi Comb Himpunan Dominasi dan Bilangan Dominasi xiii

9 2.4.1 Definisi Himpunan Dominasi dan Bilangan Dominasi Hasil-hasil Penelitian Bilangan Dominasi Jarak Satu Sifat Pembagian pada Bilangan Bulat dan Bilangan Modulo BAB III METODA PENELITIAN 17 BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN Bilangan Dominasi Jarak Satu dari Graf Hasil Operasi Korona Bilangan Dominasi Jarak Satu dari Graf Hasil Operasi Comb Bilangan Dominasi Jarak Dua Bilangan Dominasi Jarak Dua pada Graf G dengan diam(g) Bilangan Dominasi Jarak Dua pada Lintasan P m dan LingkaranC n Bilangan Dominasi Jarak Dua pada Graf Hasil Operasi Korona Bilangan Dominasi Jarak Dua pada Graf Hasil Operasi Comb Perbandingan Bilangan Dominasi Jarak Satu dan Jarak Dua BAB V SIMPULAN DAN SARAN 81.1 Simpulan Saran DAFTAR PUSTAKA 8 BIOGRAFI PENULIS 8 xiv

10 DAFTAR TABEL Tabel 2.1 Tabel 2.2 Hasil-Hasil Penelitian Bilangan Dominasi Jarak Satu pada Graf Sederhana Hasil-Hasil Penelitian Bilangan Dominasi Jarak Satu pada Graf Hasil Operasi Tabel 4.1 Ringkasan Bilangan Dominasi Jarak Satu pada Graf Hasil Operasi Tabel 4.2 Ringkasan Bilangan Dominasi Jarak Dua pada Graf Sederhana dan graf Hasil Operasi xix

11 DAFTAR GAMBAR Gambar 1.1 (a) Denah Perumahan (b) Representasi Himpunan Dominasi Jarak Satu Gambar 1.2 Himpunan Dominasi Jarak Dua Gambar 2.1 (a) Graf dengan2isolated Vertex, (b) Graf Reguler Gambar 2.2 (a) Graf dengan Loop, (b) Graf dengan4pendant dan Sisi Ganda Gambar 2. Graf dengan Matriks Ketetanggaanya Gambar 2.4 Isomorfisma dalam Graf Gambar 2. Graf dengan Radius 2 dan Diameter Gambar 2.6 Graf LintasanP Gambar 2.7 Graf LingkaranC Gambar 2.8 Graf BintangS Gambar 2.9 (a) Graf LintasanP, (b) Graf LingkaranC 6, (c) Graf Hasil Operasi KoronaP C Gambar 2.10 (a) Graf LingkaranC 6, (b) Graf LintasanP, (c) Graf Hasil Operasi KoronaC 6 P Gambar 2.11 (a) Graf LingkaranC 4, (b) Graf BintangS 4, (c) Graf Hasil Operasi Comb C 4 S Gambar 2.12 (a) Graf BintangS 4, (b) Graf LingkaranC 4, (c) Graf Hasil Operasi Comb S 4 C Gambar 2.1 (a) Himpunan Dominasi Jarak Satu, (b) Himpunan Dominasi Jarak Satu Minimum Gambar 2.14 (a) Himpunan Dominasi Jarak Dua, (b) Himpunan Dominasi Jarak Dua Minimum Gambar 4.1 GrafP m P n untukn 0 (mod) dengan Simpul-Simpul Warna Putih Merupakan Simpul Elemen Himpunan Dominasi Jarak Satu xv

12 Gambar 4.2 Gambar 4. Gambar 4.4 Gambar 4. Gambar 4.6 Gambar 4.7 Gambar 4.8 Gambar 4.9 Gambar 4.10 Gambar 4.11 Gambar 4.12 Gambar 4.1 Gambar 4.14 GrafP m C n untukn 0 (mod) dengan Simpul-Simpul Warna Putih Merupakan Simpul Elemen Himpunan Dominasi Jarak Satu GrafP m S n dengan Simpul PusatS n Merupakan Simpul Elemen Himpunan Dominasi Jarak Satu GrafC n P m untukn 1 (mod) dengan Simpul-Simpul Warna Putih Merupakan Simpul Elemen Himpunan Dominasi Jarak Satu GrafC n C m untukm 0 (mod) dengan Simpul-Simpul Warna Putih Merupakan Simpul Elemen Himpunan Dominasi Jarak Satu GrafC n S m dengan Simpul PusatS m Merupakan Simpul Elemen Himpunan Dominasi Jarak Satu Graf-Graf dengan Himpunan Dominasi Jarak Dua sama dengan Satu Simpul Putih pada Graf Lintasan P m merupakan Contoh Simpul Himpunan Elemen Dominasi Jarak Dua Simpul Putih pada Graf LingkaranC n merupakan Contoh Simpul Himpunan Elemen Dominasi Jarak Dua Graf P m C n untuk m 2 (mod ) dengan Simpul-Simpul Warna Putih Merupakan Simpul Elemen Himpunan Dominasi Jarak Dua Graf C n S m untuk m 2 (mod ) dengan Simpul-Simpul Warna Putih Merupakan Simpul Elemen Himpunan Dominasi Jarak Dua GrafP m P n untukn 2 (mod) dengan Simpul-Simpul Warna Putih Merupakan Simpul Elemen Himpunan Dominasi Jarak Dua GrafP m C n untukn 2 (mod) dengan Simpul-Simpul Warna Putih Merupakan Simpul Elemen Himpunan Dominasi Jarak Dua Graf P m S n dengan Simpul Pendant S n Merupakan Simpul Elemen Himpunan Dominasi Jarak Dua xvi

13 Gambar 4.1 GrafC n P m untukm 1 (mod) dengan Simpul-Simpul Warna Putih Merupakan Simpul Elemen Himpunan Dominasi Jarak Dua Gambar 4.16 GrafC n C m untukm 0 (mod) dengan Simpul-Simpul Warna Putih Merupakan Simpul Elemen Himpunan Dominasi Jarak Dua Gambar 4.17 Graf C n S m dengan Simpul C n Merupakan Simpul Elemen Himpunan Dominasi Jarak Dua Gambar 4.18 Graf dengan Bilangan Dominasi Jarak Satu dan Jarak Dua yang Sama dan Pemilihan Simpul Elemen Himpunan Dominasi yang Beragam Gambar 4.19 Graf dengan Simpul Elemen Himpunan Dominasi Terletak pada Simpul dengan Derajat Terbesar Gambar 4.20 Graf dengan Pemilihan Simpul Elemen Himpunan Dominasi yang Beragam xvii

14 DAFTAR SIMBOL G(V,E) Graf G dengan himpunan simpulv dan himpunan sisie V(G) Himpunan simpul grafg E(G) Himpunan sisi graf G G Order (banyak simpul graf G) G Size (banyak sisi graf G) d(u,v) Jarak dari simpuluke simpulv ecc(v) Eksentrisitas simpul v rad(g) Radius grafg diam(g) Diameter grafg S(G) Himpunan dominasi jarak satu pada grafg γ(g) Bilangan dominasi jarak satu pada grafg S 2 (G) Himpunan dominasi jarak dua pada graf G γ 2 (G) Dominating number jarak dua pada grafg Operator korona Operator comb xxi

15 BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Matematika merupakan salah satu ilmu yang banyak memberikan alternatif dalam menyelesaikan masalah di segala bidang. Salah satu cabang ilmu matematika yang dapat menyelesaikan suatu masalah adalah teori graf. Secara matematis, graf didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V, E) yang ditulis dengan notasi G = (V, E) dengan V adalah himpunan tidak kosong yang disebut simpul (vertex), sedangkan E adalah himpunan boleh kosong yang menghubungkan sepasang simpul dan disebut sisi (edge). Untuk selanjutnya, kita dapat menulis suatu graf dengan notasig, tanpa menyebutkan himpunan simpul dan sisinya. Salah satu topik yang menjadi kajian dalam teori graf adalah himpunan dominasi dan bilangan dominasi. Menurut Haynes (1996), himpunan dominasi (S) pada graf G adalah subset dari V(G) sedemikian setiap simpul G yang bukan elemen S terhubung dan berjarak satu terhadap S. Kardinalitas minimum di antara himpunan dominasi pada graf G disebut bilangan dominasi dari graf G dan dinotasikan γ(g). Oleh karena itu, bilangan dominasi sangat erat kaitannya dengan himpunan dominasi. Sejarah dominasi (dominating) pada graf dimulai pada awal tahun 180 sejak pemain catur Eropa berantusias untuk menyelesaikan masalah dominating queens. Dalam masalah ini, dominasi digunakan untuk menentukan banyaknya queen sedemikian setiap queen bisa mendominasi atau menyerang setiap posisi dengan sekali perpindahan pada papan catur ukuran 8 8. Dalam teori graf, queens direpresentasikan sebagai simpul dan jalur perpindahan antar kotak pada papan catur dianggap sebagai sisi. Dominasi secara matematis dikenalkan pada awal tahun Sejak saat itu baik himpunan dominasi maupun bilangan dominasi telah banyak digunakan dalam berbagai aplikasi, antara lain menentukan banyaknya penempatan kamera pengawas dalam sudut-sudut lorong pada suatu bangunan dan penentuan lokasi serta banyaknya pos-pos polisi lalu lintas pada sudut-sudut kota agar setiap jalan dapat dipantau dengan baik. 1

16 Contoh aplikasi lainnya dari bilangan dominasi adalah untuk menentukan banyaknya mobil pemadam kebakaran yang dibutuhkan dalam suatu lingkungan perumahan untuk menangani jika terjadi kebakaran. Gambar 1.1 merupakan denah suatu perumahan di Surabaya serta representasinya dalam graf dengan ketentuan persimpangan jalan dianggap sebagai simpul dan jalan dianggap sebagai sisi pada graf. Pada gambar tersebut terdapat 2 persimpangan serta 2 ruas jalan. Mobil pemadam kebakaran akan ditempatkan pada persimpangan jalan dengan ketentuan setiap mobil diwajibkan untuk mengamankan maksimal satu blok-blok terdekat. Sehingga untuk mengetahui optimasi penempatan pemadam kebakaran serta banyaknya mobil pemadam kebakaran yang dibutuhkan dapat ditentukan dengan mencari bilangan dominasi pada graf tersebut. Graf hasil representasi denah perumahan tersebut merupakan graf Grid (P 4 P 8 ) seperti pada Gambar 1.1(b). Menurut Snyder (2011), bilangan dominasi dari graf Grid G(4 n) = n untuk n 4, sehingga γ(4 8) = 8. Dengan kata lain, mobil pemadam kebakaran yang harus disiapkan sebanyak 8 buah. Simpulsimpul berwarna putih merepresentasikan penempatan mobil pemadam kebakaran. Akan tetapi, jika banyaknya mobil pemadam kebakaran yang dimiliki jumlahnya terbatas, maka penempatannya harus diubah. Misalkan satu mobil digunakan untuk mengamankan maksimal dua blok terdekat. Sehingga dalam lingkungan perumahan tersebut hanya dibutuhkan 4 mobil pemadam kebakaran untuk mengamankan semua blok yang ada seperti yang ditunjukkan pada Gambar 1.2. (a) (b) Gambar 1.1: (a) Denah Perumahan (b) Representasi Himpunan Dominasi Jarak Satu (Sumber Gambar 1.1(a): Operasi antara dua graf merupakan salah satu cara untuk memperoleh bentuk graf-graf baru. Terdapat berbagai jenis operasi dalam graf, misalnya operasi join 2

17 Gambar 1.2: Himpunan Dominasi Jarak Dua (+), gabungan ( ), kartesian ( ), korona ( ), dan operasi comb ( ). Sebagai contoh, graf Grid merupakan graf hasil operasi kartesian dua graf Lintasan. Contoh lain yaitu graf Katerpilar F n,2 yang merupakan graf hasil operasi comb dari lintasan P n dengan lintasanp 2. Penelitian tentang bilangan dominasi telah banyak dilakukan antara lain oleh Snyder (2011) yang berjudul c-dominating sets for families of graphs. Dalam tulisan tersebut ditentukan bilangan dominasi pada graf Grid untuk G(2 n), G( n) dan G(4 n) dengan menentukan bilangan c sedemikian γ(g) = c G untuk 0 c 1. Klavžar (1997) dalam penelitiannya Dominating Cartesian Product of Cycles menunjukkan bilangan dominasi dari operasi kartesian graf-graf Lingkaran, serta Total Domination Number of Grid Graph oleh Gravier (2002) yang mengembangkan konsep dominating pada graf dengan menentukan bilangan dominasi total pada graf Grid. Salah satu topik mengenai bilangan dominasi suatu graf yang belum diteliti adalah jika antara simpul yang merupakan elemen himpunan dominasi dengan simpul lainnya memiliki jarak kurang dan atau sama dengan dua. Sehingga dalam penelitian ini akan ditentukan bilangan dominasi jarak dua (γ 2 ) dari grafgraf sederhana yaitu graf Lintasan, Lingkaran dan Bintang serta graf hasil operasi korona dan comb dari kombinasi dua graf diantara ketiga graf tersebut. Selain itu, bilangan dominasi jarak satu dari graf hasil operasi korona dan operasi comb yang belum pernah ditemukan juga akan diteliti. Kemudian dicari relasi antara bilangan dominasi jarak satu dan jarak dua dari hasil yang diperoleh. Himpunan dominasi jarak dua yang dinotasikan dengan S 2, yaitu subset dari V(G) sedemikian simpul G yang bukan elemen S 2 memiliki jarak maksimal 2 terhadap simpul-simpul di S 2. Bilangan dominasi jarak dua γ 2 merupakan kardinalitas minimum di antara

18 himpunan dominasi jarak dua. 1.2 Perumusan Masalah Berdasarkan latar belakang yang telah diuraikan sebelumnya, masalah yang dibahas dalam penelitian ini adalah sebagai berikut. 1. Berapakah bilangan dominasi jarak dua pada graf Lintasan, Lingkaran, dan Bintang. 2. Berapakah bilangan dominasi jarak satu pada graf hasil operasi korona dan comb dari kombinasi dua graf, yaitu graf Lintasan, Lingkaran, dan Bintang.. Berapakah bilangan dominasi jarak dua pada graf hasil operasi korona dan comb dari kombinasi dua graf, yaitu graf Lintasan, Lingkaran, dan Bintang. 4. Bagaimana relasi antara bilangan dominasi jarak satu dan bilangan dominasi jarak dua pada graf hasil operasi korona dan comb. 1. Batasan Masalah Untuk menjaga fokus pembahasan pada penelitian, masalah dalam penelitan ini dibatasi pada: 1. graf terhubung sederhana, 2. bilangan dominasi jarak satu dan dua,. graf yang menjadi objek penelitian adalah Lintasan, Lingkaran, dan Bintang serta graf hasil operasi korona dan operasi comb dari kombinasi dua graf di antara ketiga graf tersebut, 4. kombinasi dua graf yang diteliti baik untuk operasi korona maupun comb antara lain graf Lintasan dengan Lintasan, Lintasan dengan Lingkaran, Lintasan dengan Bintang, Lingkaran dengan Lingkaran, Lingkaran dengan Lintasan, serta Lingkaran dengan Bintang. 1.4 Tujuan Penelitian Tujuan dari penelitian ini adalah sebagai berikut. 1. Mengetahui bilangan dominasi jarak dua pada graf Lintasan, Lingkaran, dan Bintang. 4

19 2. Mengetahui bilangan dominasi jarak satu pada graf hasil operasi korona dan comb dari kombinasi dua graf, yaitu graf Lintasan, Lingkaran, dan Bintang.. Mengetahui bilangan dominasi jarak dua pada graf hasil operasi korona dan comb dari kombinasi dua graf, yaitu graf Lintasan, Lingkaran, dan Bintang. 4. Mengidentifikasi relasi antara bilangan dominasi jarak dua dan bilangan dominasi jarak satu pada graf hasil operasi korona dan comb. 1. Manfaat Penelitian Manfaat yang diharapkan dari hasil penelitian ini antara lain: 1. menambah pengetahuan dalam bidang teori graf, 2. memberikan kontribusi terhadap berkembangnya pengetahuan baru dalam bidang teori graf, khususnya dalam ruang lingkup bilangan dominasi pada graf, dan. memberikan motivasi kepada pembaca untuk melakukan penelitian tentang bilangan dominasi jarak dua pada graf-graf yang lain atau dengan pengembangan konsep.

20 BAB II KAJIAN PUSTAKA DAN DASAR TEORI 2.1 Terminologi Dasar Graf Graf didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V, E) yang ditulis dengan notasi G = (V, E) dengan V adalah himpunan tidak kosong yang disebut simpul (vertex), sedangkan E adalah himpunan boleh kosong yang menghubungkan sepasang simpul dan disebut sisi (edge). Simpul pada graf dapat dilabeli dengan huruf, angka, atau dengan menggunakan huruf dan angka. Misalkan u dan v adalah simpul-simpul pada suatu graf, maka sisi yang menghubungkan simpul u dan v dinyatakan dengan pasangan (u, v) atau dilambangkan dengan e. Banyak simpul pada graf G disebut order dari G dinotasikan G, sedangkan banyak sisi disebut size dari G dinotasikan G. Graf yang ordernya berhingga disebut graf berhingga. Simpul u dikatakan bertetangga (adjacent) dengan simpul v jika terdapat sebuah sisi e diantara u dan v yaitu e = uv, atau dapat dinyatakan bahwa sisi e menempel (incident) dengan kedua simpul u dan v. Derajat (degree) pada setiap simpul didefinisikan sebagai banyaknya sisi yang menempel pada simpul tersebut. Jika setiap simpul pada graf G mempunyai derajat sama dengan n maka graf G disebut graf reguler n, jika tidak maka graf tersebut dikatakan non reguler. Simpul v pada suatu graf G yang memiliki derajat 0 disebut isolated vertex, sedangkan sebuah simpul yang hanya mempunyai derajat satu disebut daun, simpul ujung atau pendant. Pada Gambar 2.1 ditunjukkan contoh graf dengan 2 isolated vertex serta graf reguler4. (a) (b) Gambar 2.1: (a) Graf dengan 2 Isolated Vertex, (b) Graf Reguler4 Beberapa sisi berbeda pada suatu graf yang menghubungkan pasangan simpul 7

21 yang sama maka graf tersebut dikatakan memiliki sisi ganda (multiple edge). Sisi yang menghubungkan simpul yang sama disebut loop. Sebuah graf yang tidak mengandung sisi ganda dan loop disebut sebagai graf sederhana (simple graph). (a) (b) Gambar 2.2: (a) Graf dengan Loop, (b) Graf dengan4pendant dan Sisi Ganda Matriks ketetanggaan (adjacency matrix) dari sebuah graf G dengan himpunan simpul V(G) = {v 1,v 2,...,v n } merupakan matriks berordo n n, yaitu A n n = [a ij ], dengan: a ij = { 1, jika vi v j E(G) 0, yang lain v v 1 v 2 v A = v 4 Gambar 2.: Graf dengan Matriks Ketetanggaanya Dua buah graf yang sama tetapi secara geometri berbeda disebut graf yang saling isomorfis (Isomorphic Graph). Graf G 1 dan G 2 dikatakan isomorfis jika terdapat pemetaan satu-satu f : V(G 1 ) V(G 2 ) yang menyajikan semua sifat ketetanggaan, yaitu f(u) dan f(v) pada G 2 bertetangga jika dan hanya jika u dan v bertetangga pada G 1. Selain itu, untuk menjamin bahwa kedua graf dikatakan isomorfis dapat dilihat dari matriks ketetanggaan kedua graf tersebut. Jika sama maka kedua graf tersebut dikatakan isomorfis seperti yang ditunjukkan pada Gambar 2.4. Graf G 1 dan G 2 adalah dua graf yang isomorfis, sedangkan graf G tidak isomorfis. 8

22 u 1 u 2 v 1 v w 1 w 2 u 6 v 2 u v w 6 w u u 4 v 6 v 4 w w 4 G 1 G 2 G Gambar 2.4: Isomorfisma dalam Graf Misalkan G graf dengan himpunan simpul V(G) dan himpunan sisi E(G). Jalan v 0 v l pada graf G adalah sebuah barisan berhingga v 0,e 1,v 1,e 2,v 2,...,e l,v l bergantian simpul dan sisi pada graf G sedemikian e i = v i 1 v i untuk setiap i, 1 i l. Jalan yang demikian juga dinotasikan dengan v 0 v 1...v l. Lintasan (path) adalah jalan yang setiap simpulnya berbeda. Pada Gambar 2. v v 6 v 1 v 2 v 6 v 7 merupakan sebuah jalan dengan panjang yang bukan lintasan, sedangkanv v 6 v 1 v 2 v 7 merupakan sebuah lintasan dengan panjang4. Jarak d(u,v) dari simpul u ke simpul v adalah panjang lintasan terpendek dari simpul u ke simpul v. Eksentrisitas ecc(v) pada sebuah simpul v dalam graf G adalah jarak terjauh dari simpul v ke setiap simpul di G. Jari-jari (radius) yang dinotasikan rad(g) dari graf G adalah eksentrisitas minimum di antara simpulsimpul di G. Simpul v disebut simpul pusat jika ecc(v) = r(g), sedangkan diameter dari graf G adalah jarak terpanjang di antara sebarang dua simpul pada G dan dinotasikan diam(g) = max{d(v i u j ) v i,u j V(G)}. Misalkan graf H pada Gambar 2.,d(v 2,v 8 ) = 2,ecc(v 1 ) = 2, r(h) = 2 dandiam(h) = 2. v v 6 v 1 v 2 v 4 v v 8 H v 7 Gambar 2.: Graf dengan Radius 2 dan Diameter 2 9

23 2.2 Jenis - jenis Graf Graf-graf sederhana yang tergolong well known graph yang digunakan dalam penelitian ini meliputi graf Lintasan, graf Lingkaran, dan graf Bintang. Berikut definisi dari masing-masing graf tersebut Graf Lintasan Graf Lintasan yang dinotasikan denganp n merupakan graf terhubung sederhana yang membentuk lintasan yang terdiri dari n simpul dan n 1 sisi dengan n 2. Kedua simpul ujung pada graf ini merupakan pendant, yaitu simpul dengan derajat sama dengan satu, sedangkan simpul yang lain berderajat dua. Gambar 2.6: Graf LintasanP Graf Lingkaran Graf Lingkaran adalah graf terhubung sederhana yang memiliki n simpul dan n sisi dengan setiap simpulnya berderajat dua. Graf Lingkaran dinotasikan dengan C n dengann. Gambar 2.7 merupakan contoh graf Lingkaran dengan4simpul. Gambar 2.7: Graf LingkaranC Graf Bintang Graf Bintang S n dengann 1 adalah graf terhubung sederhana yang memiliki n + 1 simpul dan n sisi. Satu simpul pada graf Bintang biasa disebut simpul pusat yaitu simpul yang berderajat n, sedangkan simpul yang lain berderajat satu. Gambar 2.8: Graf BintangS 10

24 2. Operasi Graf 2..1 Operasi Korona Operasi korona dari graf G dan graf H didefinisikan sebagai graf yang diperoleh dengan mengambil sebuah duplikat dari graf G dan G duplikat dari graf H yaitu H i dengani = 1,2,,..., G kemudian menghubungkan setiap simpul ke-i darig ke setiap simpul di H i (Harary, Frucht, 1970). (a) (b) Gambar 2.9: (a) Graf Lintasan P, (b) Graf Lingkaran C 6, (c) Graf Hasil Operasi KoronaP C 6 (c) (a) (b) (c) Gambar 2.10: (a) Graf Lingkaran C 6, (b) Graf Lintasan P, (c) Graf Hasil Operasi KoronaC 6 P 11

25 2..2 Operasi Comb Misalkan G dan H adalah graf terhubung dan u adalah simpul di H. Operasi comb dari grafgdan grafh dinotasikan dengang H adalah graf yang diperoleh dengan mengambil satu kopian G dan G kopian dari H dan melekatkan simpul u dari masingmasing graf H kopian ke-i pada simpul ke-i dari graf G.(Saputro, S., dkk, 201) d a c (a) b y v u (b) x w (a,w) (d,y) (a,x) (d,x) (d,w) (d,v) (a,y) (c) (a,u) (c,y) (b,v) (b,w) (a,v) (b,u) (d,u) (c,u) (c,v) (c,x) (c,w) (b,y) (b,x) Gambar 2.11: (a) Graf Lingkaran C 4, (b) Graf Bintang S 4, (c) Graf Hasil Operasi Comb C 4 S 4 (b,x) d a e c b u v x w (a,w) (d,x) (a,x) (a,v) (d,u) (a,u (b,u) (e,u) (e,v) (b,v) (c,x) (b,w) (c,u) (c,v) (c,w) (a) (b) (d,w) (d,v) (e,x) (c) (e,w) Gambar 2.12: (a) Graf Bintang S 4, (b) Graf Lingkaran C 4, (c) Graf Hasil Operasi Comb S 4 C 4 Gambar 2.9 sampai Gambar 2.12 menunjukkan bahwa graf-graf hasil operasi korona dan operasi comb bukan graf yang isomorfis, sehingga kedua operasi tersebut tidak bersifat komutatif. 2.4 Himpunan Dominasi dan Bilangan Dominasi Definisi Himpunan Dominasi dan Bilangan Dominasi Himpunan dominasi (dominating set) S pada graf G adalah subset dari V(G) sedemikian setiap simpul G yang bukan elemen S terhubung dan berjarak satu 12

26 terhadap S (Haynes, 1996). Kardinalitas minimum di antara himpunan dominasi pada graf G disebut bilangan dominasi (dominating number) dari graf G dan dinotasikan γ(g). S a = {v 1,v 4,v 7 } dan S b = {w 2,w }, yaitu simpul-simpul yang berwarna putih pada Gambar 2.1 menunjukkan contoh himpunan dominasi jarak satu pada suatu graf. Akan tetapi S b merupakan himpunan dominasi dengan kardinalitas minimum, sehingga bilangan dominasi jarak satu γ(g) = 2. Sedangkan himpunan dominasi jarak dua yang dinotasikan dengan S 2, yaitu subset dari V(G) sedemikian simpul G yang bukan elemen S 2 terhubung dan memiliki jarak maksimal 2 terhadap S 2. Bilangan dominasi jarak dua dari graf G γ 2 (G) adalah kardinalitas minimum dari himpunan dominasi jarak dua. Gambar 2.14 (a) bukan himpunan dominasi jarak dua yang minimum, sedangkan pada Gambar 2.14 (b) terlihat hanya terdapat satu simpul pada graf tersebut yang memiliki jarak maksimal 2 terhadap setiap simpul yang lain, sehingga γ 2 (G) = 1. Dengan demikian, berdasarkan ilustrasi contoh di atas dapat disimpulkan bahwa bilangan dominasi jarak dua dari suatu graf G lebih kecil atau sama dengan bilangan dominasi jarak satu (γ 2 γ). v 6 w 6 v w v 4 v 7 (a) v v 1 v 2 w 2 Gambar 2.1: (a) Himpunan Dominasi Jarak Satu, (b) Himpunan Dominasi Jarak Satu Minimum w 4 w 7 (b) w w 1 v 6 w 6 v w v 4 v 7 (a) v v 1 v 2 w 2 Gambar 2.14: (a) Himpunan Dominasi Jarak Dua, (b) Himpunan Dominasi Jarak Dua Minimum w 4 w 7 (b) w w 1 1

27 2.4.2 Hasil-hasil Penelitian Bilangan Dominasi Jarak Satu Pada Tabel 2.1 dan Tabel 2.2 disajikan beberapa hasil penelitian mengenai bilangan dominasi jarak satu pada graf Lintasan, graf Lingkaran, dan graf Bintang serta beberapa graf hasil operasi korona diantara graf-graf tersebut yang akan dibandingkan dengan bilangan dominasi jarak dua untuk menentukan relasinya. Tabel 2.1: Hasil-Hasil Penelitian Bilangan Dominasi Jarak Satu pada Graf Sederhana Graf Graf Lintasan (P m ) Graf Lingkaran (C n ) Bilangan Dominasi γ(p m ) = m γ(c n ) = n Graf Bintang (S n ) γ(s n ) = 1 Sumber: Goddard, Henning, 2006 Tabel 2.2: Hasil-Hasil Penelitian Bilangan Dominasi Jarak Satu pada Graf Hasil Operasi Graf Graf Korona Lintasan dan Lingkaran (P m C n ) Graf Korona Lingkaran dan Lintasan (C n P m ) Bilangan Dominasi γ(p m C n ) = m γ(c n P m ) = n Sumber: Mursyidah, Rahmawati, 2014 Pada Tabel 2.1 simbol a (dibaca ceil dari a)didefinisikan sebagai bilangan bulat terkecil yang lebih besar sama dengan a untuk a bilangan real yaitu apabila a = k + r dengan k Z dan 0 < r 1 maka a = k + 1. Sehingga pada penjelasan selanjutnya akan ditunjukkan analisis nilai bilangan dominasi serta sifat pembagian pada bilangan bulat dan bilangan modulo. 2. Sifat Pembagian pada Bilangan Bulat dan Bilangan Modulo Misalkan a dan b adalah dua buah bilangan bulat dengan syarat a 0, a habis membagi b (a divides b) atau biasanya ditulis a b jika terdapat bilangan bulat c sedemikian sedemikian hingga b = ac. Teorema 2.1 (Algoritma Pembagian) Misalkan m dan n adalah dua buah bilangan bulat dengan syarat n > 0. Jika m dibagi dengan n maka terdapat dua 14

28 buah bilangan bulat unik q (quotient) dan r (remainder), sedemikian sehingga m = nq +r dengan 0 r < n. Untuk selanjutnya secara berturut-turut q adan r disebut sebagai hasil dan sisa pembagian. (Subiono, 201). Selanjutnya didefinisikan kongrungen modulo dari suatu bilangan. Secara sederhana dikatakan a b (mod n) jika dan hanya jika a dan b memiliki sisa yang sama apabila dibagi dengan m. Untuk lebih jelasnya dapat dilihat pada definisi berikut ini. Denisi 2.1 Misalkan n > 0 adalah sebarang bilangan bulat tetapi tetap. Untuk sebarang dua bilangan bulat a dan b adalah kongruen mod n ditulis a b (mod n) jikan (a b)(subiono, 201). Berikut ini ditunjukkan analisis mengenai ceil dari suatu bilangan yang kaitannya dengan bilangan modulo. Misal m,n Z + dan s {0,1,2,...,m}, didapatkan beberapa hasil berikut ini. 1. n 0 (modm) n 0 (mod m) artinya m n, sehingga terdapat k Z + sedemikian hingga n = m k atau k = n. Dengan demikian didapatkan m n s m m k s = m m(k 1)+m s = m m(k 1) = + m s m m = k 1+ m s. m Karena s {0,1,2,...,m} maka m s m s = 0 untuk s = m dan 0 < 1 m m untuk0 s m 1 sehingga didapatkan { n s k jika0 s m 1 = m k 1 jikas = m 2. n p (modm) dengan1 p < m n p (mod m) artinya m n p, sehingga terdapat k tak negatif sedemikian n p = m k yang mengakibatkan n = m k + p dan k = n p m. Dengan 1

29 demikian didapatkan n s m k +p s = = m m mk m + p s { k +1 jika1 p s m = m k jika m < p s 0 atau { n s k +1 jikas+1 p s+m = m k jikas m < p s Karena1 p < m dan s {0,1,...,m} maka { n s k +1 jikas+1 p m 1 = m k jika1 < p s = = { k +1 jikap m s p 1 k jikap s < m+p { k +1 jika0 s p 1 k jikap s<m

30 BAB III METODA PENELITIAN Pada bagian ini diuraikan beberapa metode penelitian yang akan digunakan atau dikerjakan untuk mencapai tujuan penelitian. 1. Pemahaman konsep dan studi literatur Pada tahap ini dilakukan pemahaman konsep dan studi literatur dari berbagai sumber mengenai himpunan dominasi dan bilangan dominasi pada graf-graf sederhana serta graf-graf hasil operasi, khususnya operasi korona dan operasi comb. 2. Observasi Mengkonstruksi graf hasil operasi korona dan operasi comb antara graf Lintasan, Lingkaran, dan Bintang. Menentukan himpunan dominasi jarak satu dari graf hasil operasi korona dan operasi comb antara graf Lintasan, Lingkaran, dan Bintang. Menentukan himpunan dominasi jarak dua minimum dari graf Lintasan, Lingkaran, dan Bintang serta graf hasil operasi korona dan operasi comb dari kombinasi ketiga graf tersebut. Menentukan hipotesis bilangan dominasi berdasarkan penentuan himpunan dominasi. Membuktikan hipotesis bilangan dominasi dari masing-masing graf. Menentukan relasi antara bilangan dominasi jarak satu dan dua dari masing-masing graf.. Evaluasi Pada tahap ini dilakukan evaluasi terhadap analisa yang telah dikerjakan pada tahap observasi, sehingga dapat diperoleh suatu simpulan. 4. Diseminasi hasil penelitian Tahap diseminasi hasil penelitian meliputi presentasi pada seminar dan 17

31 publikasi paper dalam prosiding atau jurnal baik nasional maupun internasional.. Penyusunan laporan Laporan penelitian ditulis dalam sebuah tesis dengan sistematika penulisan yang telah ditentukan, yang meliputi: bab 1. pendahuluan, bab 2. kajian pustaka dan dasar teori, bab. metoda penelitian, bab 4. hasil dan pembahasan, serta bab. simpulan dan saran. 18

32 BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN Pada bab ini dibahas bilangan dominasi jarak dua pada graf Lintasan P n, graf Lingkaran C n, dan graf Bintang S n. Bilangan dominasi jarak satu pada graf hasil operasi korona dapat ditentukan untuk sebarang dua graf G m H n. Sedangkan untuk yang jarak dua dapat ditentukan pada graf Lintasan dan graf Lingkaran yang dioperasikan dengan sebarang graf, yaitu P m G n serta C n H m. Sedangkan, bilangan dominasi jarak satu dan jarak dua pada graf hasil operasi comb juga dapat ditentukan antara lain meliputi graf P m P n,p m C n,p m S n,c n P m,c n C m dan C n S m. Selanjutnya, relasi atau perbandingan antara bilangan dominasi jarak satu dan jarak dua pada suatu graf juga akan dibahas. 4.1 Bilangan Dominasi Jarak Satu dari Graf Hasil Operasi Korona Seperti pada Tabel 2.2, Mursyidah dan Rahmawati (2014) menunjukkan bahwa bilangan dominasi jarak satu dari graf hasil operasi korona antara Lintasan dan Lingkaran adalah γ(p m C n ) = m, sedangkan bilangan dominasi jarak satu dari graf hasil operasi korona antara Lingkaran dan Lintasan yaitu γ(c n P m ) = n dengan n merupakan order dari graf Lingkaran. Go dan Canoy (2011) telah menunjukkan bilangan dominasi pada graf hasil operasi korona. Berikut ini akan ditunjukkan bukti yang berbeda untuk bilangan dominasi jarak satu pada graf G m H n dengang m dan H n merupakan sebarang graf terhubung. Teorema 4.1. Diberikan dua graf terhubung G m dan H n dengan masing-masing ordernya m dan n dengan m, n 1, maka bilangan dominasi jarak satu dari graf hasil operasi koronag m H n adalahγ(g m H n ) = m. Bukti: Misalkan v i adalah simpul-simpul pada graf G m dan u i,j adalah simpulsimpul pada graf H n yang terhubung dengan simpul v i dengan 1 i m dan 1 j n, maka V(G m H n ) = {v 1,v 2,...,v m } {u i,j }. Berdasarkan definisi dari operasi korona, v i,u i,j V(G m H n ),d(v i,u i,j ) = 1. Karena G m dan H n adalah graf terhubung maka batas minimal dan maksimal dari derajat simpulv i dan u i,j dapat dinyatakan sebagai berikut: 19

33 2 deg(v i ) n+m 1 dan1 deg(u i,j ) n. Dengan demikian, simpul v i memiliki derajat yang lebih besar dari simpul u i,j. Sehingga simpul v i akan menjangkau lebih banyak simpul dari pada simpul u i,j. Oleh karena itu, S akan minimal jika diambil dari simpul-simpul V(G). Misalkan S = {v 1,v 2,...,v m }, maka v i untuk i = 1,2,...,m dapat mendominasi semua simpul H i. Dengan demikian, terdapat sedikitnya m simpul pada graf G m H n yang merupakan elemen himpunan dominasi jarak satu. Sehingga dapat dituliskan S m. Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa S m. Tanpa mengurangi perumuman, misalkan S m 1 dan v m / S dengan S = {v 1,v 2,...,v m 1 }. Maka u m,j H m dengan j = 1,2,...,n d(v m,u m,j ) = 1 dan d(s,v m ) 1 mengakibatkand(s,u m,j ) 2, sehingga dapat dikatakan bahwa u m,j H m, u m,j tidak dapat didominasi oleh S. Oleh karena itu S m 1, sehingga S m. Karena S m dan S m, terbukti bahwa S = γ(g m H n ) = m. Dari Teorema 4.1 dapat ditentukan bilangan dominasi jarak satu pada graf-graf khusus seperti berikut ini. Akibat 4.1. Bilangan dominasi jarak satu pada graf lintasan yang dikoronakan dengan graf lintasan, lingkaran, dan graf bintang adalah order dari graf lintasan, yaituγ(p m P n ) = γ(p m C n ) = γ(p m S n ) = m. Akibat 4.2. Bilangan dominasi jarak satu pada graf lingkaran yang dikoronakan dengan graf lintasan, lingkaran, dan graf bintang adalah order dari graf lingkaran, yaituγ(c n P m ) = γ(c n C m ) = γ(c n S m ) = n. 4.2 Bilangan Dominasi Jarak Satu dari Graf Hasil Operasi Comb Dalam subbab ini dijelaskan bilangan dominasi jarak satu pada graf hasil operasi comb. Berbeda dengan bilangan dominasi graf hasil operasi korona, bilangan dominasi jarak satu graf hasil operasi comb tidak dapat digeneralisasi untuk sebarang dua graf. Hal ini dikarenakan nilai bilangan dominasi pada masingmasing graf hasil operasi comb pasti berbeda, yaitu tergantung pada graf yang dioperasikan dan simpul yang dilekatkan. Dalam Teorema 4.2 berikut ini ditunjukkan bilangan dominasi jarak satu pada operasi comb dua graf Lintasan P m dan P n dengan melekatkan salah satu simpul ujungp n pada masing-masing simpulp m. GrafP m P n dapat dilihat pada Gambar 4.1. Simpul-simpul yang berwarna putih merupakan simpul elemen himpunan dominasi. 20

34 Teorema 4.2. Diberikan dua buah graf lintasanp m danp n dengan masing-masing ordernya m dan n untuk m,n 2. Maka bilangan dominasi jarak satu pada graf hasil operasi comb P m P n adalah γ(p m P n ) = { m n jika n 0 (mod ) dann 2 (mod ) m n + m jika n 1 (mod ) v 1,n v 2,n v,n v m 1,n v m,n v 1,n 1 v 2,n 1 v,n 1 v m 1,n 1 v m,n 1 v 1,n 2 v 2,n 2 v,n 2 v m 1,n 2 v m,n 2 v 1, v 2, v, v m 1, v m, v 1,2 v 2,2 v,2 v m 1,2 v m,2 v 1,1 v 2,1 v,1 v m 1,1 v m,1 Gambar 4.1: Graf P m P n untuk n 0 (mod ) dengan Simpul-Simpul Warna Putih Merupakan Simpul Elemen Himpunan Dominasi Jarak Satu Bukti: Misalkan V(P m P n ) = {V i,j 1 i m,1 j n} dan P m P n = mn. Untuk menunjukkan banyak simpul minimal yang menjadi elemen himpunan dominasi jarak satu pada graf P m P n, maka untuk masing-masing nilai n akan dibagi menjadi dua kasus. Kasus pertama jika simpul-simpuls merupakan elemen simpulp m danp n, sedangkan kasus kedua jikas hanya diambil dari simpul-simpul P n. 1. n 0 (mod) Kasus 1: S V(P m ) V(P n ) Ambil simpul-simpul P m sebagai elemen himpunan dominasi jarak satu, yaitu simpul-simpul dengan derajat sama dengan, dengan asumsi simpul yang berderajat tinggi dapat mendominasi lebih banyak simpul. Sehingga untuk setiap v i,1 dan deg(v i,1 ) =, maka v i,1 dapat menjangkau maksimal 4 simpul, diantaranyav i,1,v i 1,1,v i+1,1 dan v i,2. Karena v i,1 dengan 1 i m merupakan Lintasan dengan m simpul, sehingga sesuai Goddard dan Henning (2006) maka bilangan dominasi jarak satu pada P m adalah γ(p m ) = m. Simpul-simpul P n yang belum terdominasi merupakan simpul-simpul pada m kali graf Lintasan P n 2 dan m m kali graf Lintasan P n 1. Dengan 21

35 demikian dapat ditentukan bahwa γ(p n 1 ) = n 1 dan γ(p n 2) = n 2. Karena n Z + dan n 0 (mod ), maka dapat ditulis bahwa γ(p n 1 ) = γ(p n 2 ) = n. Sehingga banyak himpunan dominasi jarak satu pada P m P n untuk kasus pertama adalah m ( n γ(p m P n ) + ) Kasus 2: S V(P n ) ( m )( n m m + = ) mn m +. Karena grafp m P n diperoleh dengan melekatkan salah satu simpul ujungp n pada setiap simpulp m, maka dapat dikatakan bahwa grafp m P n merupakan graf yang terdiri dari m kali Lintasan P n. Karena γ(p n ) = n dan n 0 (mod), maka dapat ditulis bahwaγ(p n ) = n, sehingga γ(p m P n ) m(γ(p n )) = mn. Dari kasus 1 dan 2 dapat dilihat bahwa mn mn + m, maka bilangan dominasi pada P m P n lebih minimal jika dipilih simpul-simpul elemen S pada V(P n ). Dengan demikian, diambil batas atas bilangan dominasi jarak satu padap m P n yaituγ(p m P n ) mn. Selanjutnya untuk menunjukkan apakah mn merupakan bilangan dominasi yang minimum, dimisalkanγ(p m P n ) mn 1. Karena setiap simpul pada S maksimal dapat mendominasi simpul dan n 0 (mod ), maka banyak simpul maksimal yang dapat didominasi adalah ( mn 1 ) = mn < mn. Karena banyak simpul yang dapat didominasi kurang dari banyak simpul atau order pada P m P n, maka terdapat beberapa simpul yang tidak dapat didominasi. Sebagai contoh perhatikan Gambar 4.1, tanpa mengurangi perumuman jikav i,2 bukan elemen daris maka simpulv i,,v i,2, danv i,1 tidak dapat didominasi oleh simpul manapun yang menjadi elemen S. Hal tersebut menunjukkan bahwa γ(p m P n ) mn 1 dan mn merupakan bilangan dominasi minimum padap m P n. Sehingga terbukti bahwaγ(p m P n ) = mn. 22

36 2. n 1 (mod) Kasus 1: S V(P m ) V(P n ) Sama seperti pembuktian sebelumnya, jika simpul-simpul P m diambil sebagai simpul elemen S, yaitu simpul-simpul dengan derajat sama dengan, makaγ(p m ) = m dan banyak simpul maksimal yang dapat didominasi oleh m simpul adalah 4 m simpul. Simpul-simpulP n yang belum terdominasi merupakan simpul-simpul pada m kali graf LintasanP n 2 danm m kali graf LintasanP n 1. Sehingga, dapat ditentukan bahwaγ(p n 1 ) = n 1 dan γ(p n 2 ) = n 2. Karena n Z+ dan n 1 (mod ), maka dapat ditulis bahwa γ(p n 1 ) = γ(p n 2 ) = n 1. Sehingga banyak himpunan dominasi jarak satu padap m P n jikas V(P m ) V(P n ) adalah γ(p m P n ) Kasus 2: S V(P n ) m ( ) n 1 + = m(n 1) m + ( m m. ) ( ) n 1 m + Karena n 1 (mod ) dan γ(p n ) = n maka dapat ditulis bahwa γ(p n) = n+2. Sehingga, γ(p m P n ) m(γ(p n )) = m(n+2). Dari kasus 1 dan 2 dapat dilihat bahwa m(n 1) + m m(n+2). Dengan demikian, batas atas minimal bilangan dominasi jarak satu padap m P n yang diambil adalah γ(p m P n ) m(n 1) + m. Untuk menunjukkan batas bawah, terlebih dahulu akan dijelaskan banyaknya simpul maksimal yang dapat didominasi oleh masing-masing simpul seperti berikut ini. (i.) UntukS P m Karena satu simpuls pada P m maksimal dapat mendominasi4simpul, maka banyak simpul yang dapat didominasi adalah4 m. (ii.) UntukS P n 1 Karena satu simpuls padap n 1 maksimal dapat mendominasi simpul dan n 1 (mod ), maka banyak simpul yang dapat didominasi adalah 2

37 ( m m )( ) n 1. (iii.) UntukS P n 2 Karena satu simpul maksimal dapat mendominasi simpul dan P n 2 = n 2 mengakibatkan n 2 (mod ), maka untuk setiap P n 2 terdapatn 4 simpul yang masing-masing mendominasisimpul dan satu simpul mendominasi 2 simpul. Sehingga banyak simpul yang dapat didominasi adalah ( m ( )) ( n 4 +2 m 1). Berikutnya untuk menunjukkan m(n 1) + m adalah bilangan dominasi yang paling minimum dimisalkanγ(p m P n ) m(n 1) + m 1 dan diasumsikan simpul yang berkurang merupakan simpul anggotav(p m ). Sehingga dari (i.) sampai (iii.) banyak simpul maksimal yang dapat didominasi yaitu ( m ) ( m m ) ( ) n 1 + ( m m = mn m+2 4 < mn. ( )) n 4 ( m ) +2 1 Jadi, jika diambil sebarang simpul v i,1 pada P m maka kemungkinan simpul yang tidak dapat didominasi oleh simpul manapun elemen S adalah simpul v i,1 dan simpul-simpul yang berjarak satu dari v i,1 yaitu v i 1,1,v i,2,v i+1,1. Karena banyaknya simpul yang terdominasi lebih kecil dari banyaknya simpul pada P m P n, maka γ(p m P n ) m(n 1) + m 1. Sehingga terbukti bahwaγ(p m P n ) = m(n 1) + m.. n 2 (mod) Kasus 1: S V(P m ) V(P n ) Untuk n 2 (mod ) pada kasus pertama juga diambil simpul-simpul P m yang berderajat sebagai elemen himpunan dominasi jarak satu. Karena γ(p m ) = m dan simpul-simpul P n yang belum terdominasi merupakan simpul-simpul pada m kali graf Lintasan P n 2 dan m m kali graf Lintasan P n 1 dengan γ(p n 1 ) = n 1 dan γ(p n 2) = n 2. Karena n Z + dan n 2 (mod ), maka dapat ditulis bahwa γ(p n 1 ) = n+1 dan γ(p n 2 ) = n 2. Oleh karena itu, banyak simpuls padap m P n adalah m ( ) n 2 γ(p m P n ) + = m(n+1). 24 ( m m ) ( ) n+1 m +

38 Kasus 2: S V(P n ) Sama seperti kasus 2 padan 0 (mod) dan n 1 (mod), makaγ(p n ) = n dan dapat dituliskan γ(p n) = n+1. Sehingga bilangan dominasi jarak satu padap m P n adalah γ(p m P n ) m(γ(p n )) = m(n+1). Baik kasus 1 maupun kasus 2 menunjukkan nilai batas atas minimal yang sama, yaitu γ(p m P n ) m(n+1), dengan S dapat diambil dari simpulsimpul elemenp n. Hal ini mengakibatkan pada setiapp n terdapat n 2 simpul yang masing-masing dapat medominasi simpul dan satu buah simpul yang mendominasi 2 simpul, karena n 2 (mod ). Sehingga untuk m buah P n pada P m P n, maka banyak simpul maksimal yang dapat didominasi adalah ( m ( )) n 2 +2(m 1). Andaikanγ(P m P n ) m(n+1) 1, misalkan diambil sebuah simpul padap n yang seharusnya dapat mendominasi maksimal simpul sedemikian bukan elemens. Maka banyak simpul yang dapat didominasi adalah ( ( )) n 2 m 1 +2(m 1) = mn < mn. Jika diambil sebarang simpul pada P i,n misalkan v i,n 1 bukan elemen S, maka setiap simpul S kemungkinan tidak dapat mendominasi simpul-simpul v i,n,v i,n 1 dan v i,n 2. Pernyataan di atas juga menunjukkan bahwa banyak simpul yang dapat didominasi kurang dari banyaknya simpul pada P m P n. Sehinggaγ(P m P n ) m(n+1) 1 dan terbukti bahwaγ(p m P n ) = m(n+1). Pada pembuktian di atas telah ditunjukkan bahwa bilangan dominasi untuk n 0 (mod ) dan n 2 (mod ) masing masing γ(p m P n ) = mn dan γ(p m P n ) = m(n+1). Kedua pernyataan tersebut dapat digabung sedemikian γ(p m P n ) = m n. Sedangkan untuk n 1 (mod ), γ(p m P n ) = m(n 1) + m = m n + m. Graf selanjutnya yang akan dicari bilangan dominasi jarak satunya adalah graf P m C n. Graf P m C n pasti membentuk graf yang isomorfis walaupun diambil sebarang simpul dari graf C n untuk dilekatkan pada graf P m. Graf P m C n dapat 2

39 dilihat pada Gambar 4.2. Teorema 4.. Diberikan graf lintasan P m dan graf lingkaran C n dengan masingmasing ordernyamdannuntukm 2,n. Maka bilangan dominasi jarak satu pada graf hasil operasi comb P m C n adalah γ(p m C n ) = { m n jikan 0 (mod ) dan n 2 (mod ) m n + m jikan 1 (mod ) Bukti: Misalkan V(P m C n ) = {V i,j 1 i m,1 j n} dan P m C n = mn. Untuk menunjukkan banyak simpul minimal yang menjadi elemen himpunan dominasi jarak satu pada graf P m C n, maka untuk masing-masing nilai n akan dibagi menjadi dua kasus. Kasus pertama jika simpul-simpuls merupakan elemen simpulp m danc n, sedangkan kasus kedua jikas hanya diambil dari simpul-simpul C n. 1. n 0 (mod) Kasus 1: S V(P m ) V(C n ) Sama seperti Teorema sebelumnya karena γ(p m ) = m, maka ambil m simpul P m yang berderajat 4 sebagai elemen himpunan dominasi jarak satu. Sehingga untuk setiap v i,1 dan deg(v i,1 ) = 4, maka v i,1 dapat menjangkau maksimal simpul, diantaranya v i,1,v i 1,1,v i+1,1,v i,2 dan v i,n seperti yang ditunjukkan Gambar 4.2. Simpul-simpul C n yang belum terdominasi merupakan simpul-simpul pada m kali graf Lingkaran C n dan m m kali graf Lingkaran C n 1. Dengan demikian, dapat ditentukan bahwa γ(c n 1 ) = n 1 dan γ(c n ) = n. Karena n Z+ dan n 0 (mod ), maka dapat ditulis bahwa γ(c n 1 ) = n dan γ(c n ) = n. Sehingga banyak himpunan dominasi jarak satu padap m C n adalah m γ(p m C n ) ( ) n ( m )( n m + m + = ) mn. Kasus 2: S V(C n ) Karena grafp m C n diperoleh dengan melekatkan salah satu simpul ujungc n pada setiap simpulp m, maka dapat dikatakan bahwa grafp m C n merupakan 26

40 v 2,4 v m 1,4 v 2,n 1 v 2, v m 1,n 1 v m 1, v 1,1 v 2,n v 2,2 v,1 v m 1,n v m 1,2 v m,1 v 1,2 v 1,n v 2,1 v,2 v m 1,1 v,n v m,2 v m,n v 1, v 1,n 1 v, v,n 1 v m, v m,n 1 v 1,4 v,4 v m,4 Gambar 4.2: Graf P m C n untuk n 0 (mod ) dengan Simpul-Simpul Warna Putih Merupakan Simpul Elemen Himpunan Dominasi Jarak Satu graf yang terdiri dari m kali Lingkaran C n. Karena γ(c n ) = n dengan n 0 (mod) mengakibatkanγ(c n ) = n, maka γ(p m C n ) m(γ(c n )) = mn. Baik kasus 1 maupun kasus 2 menunjukkan bahwa γ(p m C n ) mn, sehingga simpul-simpul elemen S dapat diambil dari V(C n ) atau pun S V(P m ) V(C n ). MisalkanS diambil dariv(c n ) seperti pada kasus 2. Karena n 0 (mod ), maka setiap simpul maksimal dapat mendominasi simpul. Untuk membuktikan apakah mn merupakan bilangan dominasi yang minimum, dimisalkan γ(p m C n ) mn 1. Sehingga banyak simpul maksimal yang dapat didominasi adalah ( mn 1 ) = mn < mn. Karena banyak simpul yang dapat didominasi kurang dari banyak simpul atau order pada P m C n, maka terdapat beberapa simpul yang tidak dapat didominasi. Sebagai contoh perhatikan Gambar 4.2, tanpa mengurangi perumuman jika v m,n bukan elemen dari S maka simpul v m,1,v m,n, dan v m,n 1 tidak dapat didominasi oleh simpul manapun yang menjadi elemen S. Hal tersebut menunjukkan bahwa γ(p m C n ) mn 1 dan mn merupakan bilangan dominasi minimum pada P m C n. Sehingga terbukti bahwaγ(p m C n ) = mn. 27

41 2. n 1 (mod) Kasus 1: S V(P m ) V(C n ) Sama seperti pembuktian sebelumnya, γ(p m ) = m diambil sebagai simpul elemen S dan banyak simpul maksimal yang dapat didominasi oleh m simpul adalah m simpul, karena satu simpul S pada P m dapat mendominasi maksimalsimpul. Simpul-simpulC n yang belum terdominasi merupakan simpul-simpul pada m kali graf Lingkaran C n dan m m kali graf Lingkaran C n 1. Karena γ(c n ) = n dan γ(c n 1) = n 1. Sehingga dapat ditulis bahwa γ(c n 1 ) = n 1 dan γ(c n ) = n 1, karena n Z + dan n 1 (mod ). Dengan demikian, banyak himpunan dominasi jarak satu padap m C n jikas V(P m ) V(C n ) adalah γ(p m C n ) Kasus 2: S V(C n ) m ( ) n 1 + = m(n 1) m + ( m m. ) ( ) n 1 m + Sama seperti kasus 2 untuk n 0 (mod ), maka γ(c n ) = n dapat dulis γ(c n ) = n+2, sehingga γ(p m C n ) m(γ(c n )) = m(n+2). Oleh karena itu, batas atas minimal bilangan dominasi jarak satu padap m C n yang diambil adalah γ(p m C n ) m(n 1) + m. Sehingga simpul-simpul S diambil dari simpul-simpulv(p m ) V(C n ). Banyaknya simpul maksimal yang dapat didominasi oleh masing-masing simpul adalah sebagai berikut. (i.) UntukS P m Karena satu simpul S pada P m maksimal dapat mendominasisimpul, maka banyak simpul yang dapat didominasi adalah m. (ii.) UntukS C n 1 Karena satu simpuls padac n 1 maksimal dapat mendominasisimpul dan n 1 (mod ), maka banyak simpul yang dapat didominasi adalah ( m m )( ) n 1. 28

42 (iii.) UntukS C n Karena satu simpul maksimal dapat mendominasi simpul dan C n = n mengakibatkan n 1 (mod ), maka untuk setiap C n terdapatn 4 simpul yang masing-masing mendominasi simpul dan satu simpul mendominasi 1 simpul. Sehingga banyak simpul yang dapat didominasi adalah ( m ( )) ( n 4 +2 m 1). Andaikan m(n 1) + m bukan bilangan dominasi yang minimum, misalkan γ(p m C n ) m(n 1) + m 1 dan diasumsikan simpul yang berkurang merupakan simpul anggotav(p m ). Sehingga banyak simpul maksimal yang dapat didominasi sesuai (i.) sampai (iii.) adalah ( m ) ( m m ) ( ) n 1 + ( m ( n 4 m = mn m+2 4 < mn. )) ( m ) +2 1 Jadi, jika diambil sebarang simpul v i,1 pada P m maka kemungkinan simpul yang tidak didominasi oleh simpul manapun elemens adalah simpulv i,1 dan simpul-simpul yang berjarak satu dariv i,1 yaituv i 1,1,v i,2,v i,n,v i+1,1. Karena banyaknya simpul yang terdominasi lebih kecil dari banyaknya simpul pada P m C n, maka γ(p m C n ) m(n 1) + m 1. Sehingga terbukti bahwa γ(p m C n ) = m(n 1) + m.. n 2 (mod) Kasus 1: S V(P m ) V(C n ) Untuk n 2 (mod ) pada kasus pertama juga diambil simpul-simpul P m yang berderajat sebagai elemen himpunan dominasi jarak satu. Karena γ = m dan simpul-simpulc n yang belum terdominasi terdiri dari m kalic n dan m m kali C n 1 dengan γ(c n 1 ) = n 1 dan γ(c n ) = n. Karenan Z + dann 2 (mod), maka dapat ditulis bahwaγ(c n 1 ) = n+1 dan γ(c n ) = n 2. Oleh karena itu, banyak simpuls padap m C n adalah m ( ) n 2 γ(p m C n ) + = m(n+1). ( m m ) ( ) n+1 m + 29

43 Kasus 2: S V(C n ) Sama seperti kasus 2 padan 0 (mod) dann 1 (mod), makaγ(c n ) = n mengakibatkanγ(c n) = n+1, karenan Z+ dan S V(P m ) V(C n ). Dengan demikian, bilangan dominasi jarak satu padap m C n adalah γ(p m C n ) m(γ(c n )) = m(n+1). Dari kasus 1 dan 2, dapat dilihat bahwa γ(p m C n ) m(n+1), yaitu S dapat diambil dari simpul-simpul elemen C n maupun C n P m. Misalkan S diambil seperti pada kasus 2, hal ini mengakibatkan pada setiap C n terdapat n 2 simpul yang masing-masing dapat mendominasi simpul dan satu buah simpul yang mendominasi 2 simpul, karena n 2 (mod ). Sehingga jika terdapat m buah C n, maka banyak simpul maksimal yang dapat didominasi adalah ( m ( )) n 2 +2(m 1). Andaikan γ(p m C n ) m(n+1) 1, misalkan diambil sebuah simpul yang seharusnya dapat mendominasi maksimal simpul sedemikian bukan elemen S. Maka banyak simpul yang dapat didominasi adalah ( ( )) n 2 m 1 +2(m 1) = mn < mn. Jika diambil sebarang simpul pada C i,n misalkan v i,n 1 bukan elemen S, maka setiap simpuls kemungkinan tidak dapat mendominasi simpul-simpul v i,n,v i,n 1 dan v i,n 2. Pernyataan di atas juga menunjukkan bahwa banyak simpul yang dapat didominasi kurang dari banyaknya simpul pada P m C n. Sehinggaγ(P m C n ) m(n+1) 1 dan terbukti bahwaγ(p m C n ) = m(n+1). Berdasarkan ketiga pembuktian di atas diketahui bahwaγ(p m C n ) = mn untuk n 0 (mod ) dan γ(p m C n ) = m(n+1) untuk n 2 (mod ). Bilangan dominasi pada kedua nilai n tersebut dapat digabung sedemikian γ(p m C n ) = m n. Sedangkan γ(p m C n ) = m(n 1) + m untuk n 1 (mod ) dapat ditulis γ(p m C n ) = m n + m. Teorema berikutnya menunjukkan bilangan dominasi jarak satu pada graf P m S n. Pada graf tersebut, simpul graf bintang yang dilekatkan pada Lintasan 0

44 adalah salah satu pendant dari graf Bintang, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 4.. Sedangkan simpul-simpul yang berwarna putih menunjukkan simpul-simpul elemen himpunan dominasi jarak satu. Teorema 4.4. Diberikan graf lintasan P m dan graf bintang S n dengan masingmasing ordernya m dan n untuk m 2,n. Maka bilangan dominasi jarak satu pada graf hasil operasi comb P m S n adalahγ(p m S n ) = m. x 2,1 x 2,n 1 x 4,1 x 4,n 1 x 6,1 x 6,n 1 x 8,1 x 8,n 1 x 2,2 x 4,2 x 6,2 x 8,2 x 2 x 4 x 6 x 8 v 1 v 2 v v 4 v v 6 v 7 v 8 v m x 1 x x x 7 x m x 1,2 x 1,1 x 1,n 1 x,2 x,1 x,n 1 x,2 x m,2 x,1 x,n 1 x 7,n 1 x m,1 x m,n 1 x 7,1 x 7,2 Gambar 4.: Graf P m S n dengan Simpul Pusat S n Merupakan Simpul Elemen Himpunan Dominasi Jarak Satu Bukti: Misalkan V(P m ) = {v i 1 i m} dan V(S n ) = {x,x j 1 j n}. Karena salah satu pendant dari graf S n dilekatkan pada P m, maka dapat dituliskan himpunan simpulv(p m S n ) = {v 1,v 2,...,v m } {x 1,x 2,...,x m } {x i,j 1 i m,1 j n 1} dan banyak simpul pada grafp m S n adalahm(n+1). Banyak simpul elemen himpunan dominasi pada suatu graf akan minimum jika diambil simpul-simpul yang berderajat maksimum. Karena derajat terbesar dari P m S n merupakan deg(x i ) = n, maka ambil simpul x i sebagai simpul anggota S. Maka setiap simpulx i dapat mendominasin+1 simpul, karena untuk setiapv i,x i,x i,j V(P m S n ),d(x i,v i ) = d(x i,x i,j ) = 1. Karena terdapat m simpul yang berderajat n, maka simpul yang terdominasi maksimal sebanyak m(n + 1). Sehingga dapat dikatakan bahwa bilangan dominasi padap m S n adalah γ(p m S n ) m. Andaikan γ(p m S n ) m 1, maka banyak simpul maksimal yang dapat didominasi adalah (m 1)(n+1). Karena (m 1)(n+1) (m)(n+1), maka pastilah terdapat beberapa simpulp m S n yang tidak dapat didominasi olehs. Hal ini menunjukkan bahwa S m 1. Dengan demikian, m adalah kardinalitas minimum dari himpunan dominasi padap m S n, sehinggaγ(p m S n ) = m. 1

45 Dalam Teorema 4.4, graf Bintang S n yang dioperasikan dengan graf Lintasan P m dibatasi untuk n. Hal ini dikarenakan graf Bintang dengan satu simpul daun jika dioperasikan menggunakan operasi comb dengan graf Lintasan P m maka akan isomorfis dengan graf P m G 1, yaitu graf Lintasan P m yang dikoronakan dengan graf yang terdiri dari satu simpul atau graf trivial. Oleh karena itu, bilangan dominasi jarak satunya dapat dilihat pada Teorema 4.1. Sedangkan untuk graf Bintang S 2 yang dioperasikan menggunakan operasi comb dengan ketentuan yang sama yaitu salah satu simpul pendant yang dilekatkan pada simpul-simpul P m, maka graf tersebut isomorfis dengan grafp m P seperti pada Teorema 4.2. Teorema 4.. Diberikan graf lingkaran C n dan graf lintasan P m dengan masingmasing ordernyandanmuntukn,m 2. Maka bilangan dominasi jarak satu pada graf hasil operasi comb C n P m adalah γ(c n P m ) = { n m jikam 0 (mod ) danm 2 (mod ) n m + n jikam 1 (mod ) Bukti: MisalkanV(C n P m ) = {V i,j 1 i n,1 j m} dan C n P m = nm. Sama seperti pembuktian-pembuktian sebelumnya, himpunan dominasi pada graf C n P m dapat berupa simpul-simpul pada P m dengan tanpa simpul pada C n atau pun gabungan keduanya. Sehingga untuk menunjukkan banyak simpul minimal yang menjadi elemen himpunan dominasi jarak satu pada grafc n P m, maka untuk masing-masing nilai m akan dibagi menjadi dua kasus. Kasus pertama jika simpulsimpul S merupakan elemen simpul C n dan P m, sedangkan kasus kedua jika S hanya diambil dari simpul-simpulp m. 1. m 0 (mod ) Kasus 1: S V(C n ) V(P m ) Ambil simpul-simpul S V(C n ), karena graf Lingkaran C n merupakan graf reguler 2, dan setiap simpul C n pada graf C n P m terhubung dengan simpul ujung P m, maka untuk setiap v i,1 C n deg(v i,1 ) =. Berdasarkan Goddard dan Henning (2006) maka bilangan dominasi jarak satu pada C n adalah γ(c n ) = n. Sehingga untuk setiap v i,1 S, v i,1 dapat menjangkau maksimal 4 simpul, diantaranya v i,1,v i 1,1,v i+1,1 dan v i,2. Simpul-simpul P m yang belum terdominasi merupakan simpul-simpul pada n kali graf Lintasan P m 2 dan n n kali graf Lintasan P m 1. Dengan demikian 2

46 dapat ditentukan bahwa γ(p m 1 ) = m 1 dan γ(p m 2) = m 2. Karena m Z + dan m 0 (mod ), maka dapat ditulis bahwa γ(p m 1 ) = m dan γ(p m 2 ) = m. Sehingga banyak himpunan dominasi jarak satu padac n P m adalah n ( m ) γ(c n P m ) + ( n )( m ) n n + = nm n +. Kasus 2: S V(P m ) Karena grafc n P m diperoleh dengan melekatkan salah satu simpul ujungp m pada setiap simpulc n, maka dapat dikatakan bahwa grafc n P m merupakan graf yang terdiri darinkali LintasanP m. Karenaγ(P m ) = m danm Z+ denganm 0 (mod), maka dapat dituliskan bahwaγ(p m ) = m γ(c n P m ) n(γ(p m )) = nm. Dari kasus 1 dan 2 dapat dilihat bahwa nm nm + n, maka bilangan dominasi pada C n P m lebih minimal jika dipilih simpul-simpul elemen S pada V(P m ). Dengan demikian, diambil batas atas bilangan dominasi jarak satu padac n P m yaituγ(c n P m ) nm. Untuk mengetahui apakah nm merupakan bilangan dominasi yang minimum, dimisalkan γ(c n P m ) nm 1. Karena setiap simpul pada S maksimal dapat mendominasi simpul dan m 0 (mod ), maka banyak simpul maksimal yang dapat didominasi adalah ( nm 1 ) = nm < nm. Karena banyak simpul yang dapat didominasi kurang dari banyak simpul atau order pada C n P m, maka terdapat beberapa simpul yang tidak dapat didominasi. Sebagai contoh misalkan v i,2 bukan elemen dari S maka simpul v i,,v i,2, dan v i,1 tidak dapat didominasi oleh simpul manapun yang menjadi elemen S. Hal tersebut menunjukkan bahwa γ(c n P m ) nm 1 dan nm merupakan bilangan dominasi minimum pada C n P m. Sehingga terbukti bahwaγ(c n P m ) = nm.

47 2. n 1 (mod) Kasus 1: S V(C n ) V(P m ) Sama seperti pembuktian sebelumnya, jika simpul-simpulc n diambil sebagai simpul elemen S, yaitu simpul-simpul dengan derajat sama dengan dan γ(c n ) = n, maka banyak simpul maksimal yang dapat didominasi oleh n simpul adalah 4 n simpul. Simpul-simpulP m yang belum terdominasi merupakan simpul-simpul pada n kali graf LintasanP m 2 dann n kali graf Lintasan P m 1. Sehingga, dapat ditentukan bahwa γ(p m 1 ) = m 1 dan γ(p m 2 ) = m 2. Karena m Z+ dan m 1 (mod ), maka dapat ditulis bahwa γ(p m 1 ) = γ(p m 2 ) = m 1. Dengan demikian, banyak himpunan dominasi jarak satu padac n P m jikas V(C n ) V(P m ) adalah γ(c n P m ) Kasus 2: S V(P m ) n ( ) m 1 + n +. = n(m 1) ( n n ) ( ) m 1 n + Karena m Z + dengan m 1 (mod ) maka γ(p m ) = m dapat ditulis γ(p m ) = m+2. GrafC n P m merupakan graf yang terdiri darinbuah Lintasan P m, sehingga γ(c n P m ) n(γ(p m )) = n(m+2). Dari kasus 1 dan 2 dapat dilihat bahwa n(m 1) + n n(m+2). Dengan demikian, batas atas minimal bilangan dominasi jarak satu padap m P n yang diambil adalah γ(c n P m ) n(m 1) + n. Untuk menunjukkan batas bawah, terlebih dahulu akan dijelaskan banyaknya simpul maksimal yang dapat didominasi oleh masing-masing simpul seperti berikut ini. (i.) UntukS C n Karena satu simpul S pada C n maksimal dapat mendominasi 4 simpul, maka banyak simpul yang dapat didominasi adalah4( n ). (ii.) UntukS P m 1 Karena satu simpuls padap m 1 maksimal dapat mendominasi simpul 4

48 dan m 1 (mod ), maka banyak simpul yang dapat didominasi adalah ( n n )( ) m 1. (iii.) UntukS P m 2 Karena satu simpul maksimal dapat mendominasi simpul dan P m 2 = m 2 mengakibatkann 2 (mod), maka untuk setiapp m 2 terdapat m 4 simpul yang masing-masing mendominasi simpul dan satu simpul mendominasi 2 simpul. Sehingga banyak simpul yang dapat didominasi adalah ( n ( )) ( m 4 +2 n 1). v 1,m v 1, v n,m v 1,2 v n, v n,2 v n,1 v 1,1 v 2,1 v 2,2 v 2, v 2,m v 7,m v 7, v 7,2 v 7,1 v,1 v,2 v, v,m v 6,1 v 4,1 v 4,2 v 6,m v 6, v 6,2 v,1 v,2 v, v 4, v4,m v,n Gambar 4.4: Graf C n P m untuk n 1 (mod ) dengan Simpul-Simpul Warna Putih Merupakan Simpul Elemen Himpunan Dominasi Jarak Satu Berikutnya untuk menunjukkan n(m 1) + n adalah bilangan dominasi yang paling minimum dimisalkan γ(c n P m ) n(m 1) + n 1. Andaikan simpul yang berkurang merupakan simpul anggotav(c n ). Sehingga dari (i.) sampai (iii.) banyak simpul maksimal yang dapat didominasi yaitu ( n ) ( n n ) ( m 1 ) + ( n ( m 4 n = nm n+2 4 < nm. )) ( n ) +2 1

49 Karena banyaknya simpul yang terdominasi lebih kecil dari banyaknya simpul pada C n P m, maka γ(c n P m ) n(m 1) + n 1. Sehingga terbukti bahwaγ(c n P m ) = n(m 1) + n. Perhatikan Gambar 4.4, jika diambil sebarang simpul v i,1 pada C n maka kemungkinan simpul yang tidak dapat didominasi oleh simpul manapun elemen S adalah simpul v i,1 dan simpul-simpul yang berjarak satu dari v i,1 yaituv i 1,1,v i,2,v i+1,1.. m 2 (mod ) Kasus 1: JikaS V(C n ) V(P m ) Untuk m 2 (mod ) pada kasus pertama juga diambil simpul-simpul C n yang berderajat sebagai elemen himpunan dominasi jarak satu. Karena γ(c n ) = n dan simpul-simpul P m yang belum terdominasi merupakan simpul-simpul pada n kali graf Lintasan P m 2 dan n n kali graf Lintasan P m 1 dengan γ(p m 1 ) = m 1 dan γ(p m 2) = m 2. Karena m Z + dan m 2 (mod), maka dapat ditulis bahwaγ(p m 1 ) = m+1 dan γ(p m 2 ) = m 2. Dengan demikian, banyak simpuls padac n P m adalah n ( ) m 2 γ(c n P m ) + = n(m+1). Kasus 2: S V(P m ) ( n n ) ( ) m+1 n + Untuk setiap Lintasan P m diketahui bahwa γ(p m ) = m. Karena m Z+ dan m 2 (mod ), maka dapat ditulis bahwa γ(p m ) = m+1. sehingga bilangan dominasi jarak satu padac n P m dapat dinyatakan γ(c n P m ) n(γ(p m )) = n(m+1). Dari kasus 1 dan 2 dapat diambil batas atas minimal banyaknyas pada C n P m yaitu γ(c n P m ) n(m+1). S dapat diambil dari simpul-simpul elemen P m. Hal ini mengakibatkan pada setiapp m terdapat m 2 simpul yang masingmasing dapat medominasisimpul dan satu buah simpul yang mendominasi 2 simpul, karena m 2 (mod ). Karena terdapat n buah P m pada C n P ) m, maka banyak simpul maksimal yang dapat didominasi adalah + 6 ( n(m 2)

50 2(n 1). Jikaγ(C n P m ) n(m+1), misalkanγ(c n P m ) n(m+1) 1dan salah satu simpul padav(c n ) bukan lagi elemens. Sehingga banyak simpul maksimal yang dapat didominasi yaitu ( ) n(m 2) +2(n 1) = nm < nm. Karena banyak simpul yang dapat didominasi kurang dari banyaknya simpul pada C n P m, maka γ(c n P m ) n(m+1) 1. Sehingga terbukti bahwa γ(c n P m ) = n(m+1). Dalam pembuktian di atas telah ditunjukkan bahwa bilangan dominasi untuk m 0 (mod ) dan m 2 (mod ) masing-masing γ(c n P m ) = nm dan γ(c n P m ) = n(m+1). Kedua pernyataan tersebut dapat digabung sedemikian γ(c n P m ) = n m, serta γ(p m P n ) = n(m 1) + n = n m + n untuk m 1 (mod). Teorema 4.6. Diberikan dua buah graf lingkaran C n dan C m dengan masingmasing ordernya n dan m untuk n,m. Maka bilangan dominasi jarak satu pada graf hasil operasi comb C n C m adalah γ(c n C m ) = { n m jika m 0 (mod ), m 2 (mod ) n m + n jika m 1 (mod ) Bukti: MisalkanV(C n C m ) = {V i,j 1 i n,1 j m} dan C n C m = nm. Graf C n C m dapat dilihat pada Gambar 4.. Untuk menunjukkan banyak simpul minimal yang menjadi elemen himpunan dominasi jarak satu pada graf C n C m, maka untuk masing-masing nilaimakan dibagi menjadi dua kasus. Kasus pertama jika simpul-simpuls merupakan elemen simpulc n danc m, sedangkan kasus kedua jikas hanya diambil dari simpul-simpulc m. 1. m 0 (mod) Kasus 1: S V(C n ) V(C m ) Karena γ(c n ) = n, maka ambil n simpul C n yang berderajat 4 sebagai elemen himpunan dominasi jarak satu. Sehingga untuk setiap v i,1 dan deg(v i,1 ) = 4, maka v i,1 dapat menjangkau maksimal simpul, diantaranya v i,1,v i 1,1,v i+1,1,v i,2 dan v i,n. Simpul-simpul C m yang belum terdominasi 7

51 merupakan simpul-simpul pada n kali pada graf Lingkaran C m dan n n kali graf LingkaranC m 1. Dengan demikian, dapat ditentukan bahwa γ(c m 1 ) = m 1 danγ(c m ) = m. Karenam Z+ danm 0 (mod ), maka dapat ditulis bahwa γ(c m 1 ) = m dan γ(c m ) = m. Sehingga banyak himpunan dominasi jarak satu pada C n C m untuk kasus pertama adalah n ( ) m γ(c n C m ) + Kasus 2: S V(C m ) ( n )( m ) n n + = nm. Karena grafc n C m diperoleh dengan melekatkan salah satu simpul ujungc m pada setiap simpulc n, maka dapat dikatakan bahwa grafc n C m merupakan graf yang terdiri dari n kali Lingkaran C m. Karena γ(c m ) = m dengan m Z + dan m 0 (mod), makaγ(c m ) = m. Dengan demikian, γ(c n C m ) n(γ(c m )) = nm. Baik kasus 1 maupun kasus 2 menunjukkan bahwa γ(c n C m ) nm, sehingga simpul-simpul elemen S dapat diambil dari V(C m ) atau pun S V(C n ) V(C m ). Misalkan S diambil dari V(C m ) seperti pada kasus 2. Karena m 0 (mod ), maka setiap simpul maksimal dapat mendominasi simpul. Untuk membuktikan apakah nm merupakan bilangan dominasi yang minimum, dimisalkanγ(c n C m ) nm maksimal yang dapat didominasi adalah ( nm 1 ) = nm < mn. 1. Sehingga banyak simpul Karena banyak simpul yang terdominasi kurang dari banyak simpul atau order pada C n C m, maka terdapat beberapa simpul yang tidak dapat didominasi. Hal tersebut menunjukkan bahwa γ(c n C m ) nm 1 dan nm merupakan bilangan dominasi minimum padac n C m. Sehingga terbukti bahwa γ(c n C m ) = nm. Sebagai contoh perhatikan Gambar 4., jika v n,1 bukan elemen dari S maka simpul v n,1,v n,2,v n,m,v n 1,1 dan v 1,1 tidak dapat didominasi oleh simpul manapun yang menjadi elemens. 8

52 2. n 1 (mod) Kasus 1: S V(C n ) V(C m ) Sama seperti pembuktian sebelumnya, γ(c n ) = n diambil sebagai simpul elemen S dan banyak simpul maksimal yang dapat didominasi oleh n simpul adalah n simpul. Simpul-simpul C n yang belum terdominasi merupakan simpul-simpul pada n kali graf Lingkaran C m dan n n kali graf Lingkaran C m 1. Karena γ(c m ) = m dan γ(c m 1) = m 1. Karena m Z+ dan m 1 (mod ), maka dapat ditulis bahwa γ(c m 1 ) = γ(c m ) = m 1. Sehingga banyak himpunan dominasi jarak satu padac n C m jikas V(C n ) V(C m ) adalah γ(c n C m ) Kasus 2: S V(C m ) n ( ) m 1 + n +. = n(m 1) ( n n ) ( ) m 1 n + Sama seperti kasus 2 untuk m 0 (mod ), maka γ(c m ) = m. Karena m Z + dan m 1 (mod ), sehingga bilangan dominasi jarak satu pada setiap C m adalah γ(c m ) = m+2. Dengan demikian, bilangan dominasi jarak satu padac n C m atau n buah grafc m adalah γ(c n C m ) n(γ(c m )) = n(m+2). Dari kasus 1 dan 2 dapat dilihat bahwa n(m 1) + n n(m+2). Dengan demikian, diambil batas atas minimal bilangan dominasi jarak satu padac n C m yaitu γ(c n C m ) n(m 1) + n, sehingga simpul-simpul S diambil dari simpul-simpulv(c n ) V(C m ). Banyaknya simpul maksimal yang dapat didominasi oleh masing-masing simpul adalah sebagai berikut. (i.) UntukS C n Karena satu simpul S pada C n maksimal dapat mendominasi simpul, maka banyak simpul yang dapat didominasi adalah n. (ii.) UntukS C m 1 Karena satu simpul S pada C m 1 maksimal dapat mendominasi simpul danm 1 (mod), maka banyak simpul yang dapat didominasi 9

53 adalah ( n n )( ) m 1. (iii.) UntukS C m Karena satu simpul maksimal dapat mendominasi simpul dan C m = m mengakibatkan m 1 (mod ), maka untuk setiap C m terdapatm 4 simpul yang masing-masing mendominasi simpul dan satu simpul mendominasi 1 simpul. Sehingga banyak simpul yang dapat didominasi adalah ( n ( )) ( n 4 +1 n 1). v 1, v 1,4 v 1, v 2, v n, v v 1,m n,4 v v 2,4 1,2 v 2,2 v n, v n,2 v n,1 v 7, v 7,m v n,m v 1,1 v 2,1 v 2, v 2,m v,2 v, v 7,4 v 7,1 v,1 v,4 v 7, v 7,2 v 6, v 6,m v 6,4 v 6, v 6,1 v 6,2 v,m v,1 v 4,1 v,2 v 4, v,m v, v 4,2 v 4, v 4,m v 4,4 v, v,4 v, Gambar 4.: Graf C n C m untuk m 0 (mod ) dengan Simpul-Simpul Warna Putih Merupakan Simpul Elemen Himpunan Dominasi Jarak Satu Andaikan n(m 1) + n bukan bilangan dominasi yang minimum. Misalkan γ(c n C m ) n(m 1) + n 1 dan simpul yang berkurang diambil dari simpul anggota V(C n ). Sehingga banyak simpul maksimal yang dapat didominasi sesuai (i.) sampai (iii.) adalah ( n ) ( n n ) ( m 1 ) + ( n ( m 4 n = nm n+2 4 < nm. )) ( n ) +2 1 Karena banyaknya simpul yang terdominasi lebih kecil dari banyaknya simpul pada C n C m, maka γ(c n C m ) n(m 1) + n 1. Sehingga terbukti bahwaγ(c n C m ) = n(m 1) + n. 40

54 . m 2 (mod). Kasus 1: S V(C n ) V(C m ) Untuk m 2 (mod ) pada kasus pertama juga diambil simpul-simpul C n yang berderajat sebagai elemen himpunan dominasi jarak satu. Karena γ = n dan simpul-simpulc m yang belum terdominasi terdiri dari n kalic m dan n n kali C m 1 dengan γ(c m 1 ) = m 1 dan γ(c m ) = m. Karena m Z + dan m 2 (mod ), maka dapat ditulis bahwa γ(c m 1 ) = m+1 danγ(c m ) = m 2. Dengan demikian, banyak simpuls padac n C m adalah n ( ) m 2 γ(c n C n ) + = n(m+1). Kasus 2: S V(C m ) ( n n ) ( ) m+1 n + Karena γ(c m ) = m dan m Z+ dengan m 2 (mod ), sehingga bilangan dominasi jarak satu pada setiap C m dapat ditulis γ(c m ) = m+1. Oleh karena itu, bilangan dominasi jarak satu pada grafc n C m adalah γ(c n C m ) n(γ(c m )) = n(m+1). Dari kasus 1 dan 2, dapat dilihat bahwa γ(c n C m ) n(m+1), yaitu S dapat diambil dari simpul-simpul elemen V(C m ) maupun V(C m ) V(C n ). Misalkan S diambil seperti pada kasus 2, hal ini mengakibatkan pada setiap C m terdapat m 2 simpul yang masing-masing dapat medominasi simpul dan satu buah simpul yang mendominasi 2 simpul, karena m 2 (mod ). Sehingga jika terdapatnbuahc m, maka banyak simpul maksimal yang dapat didominasi adalah ( n ( )) m 2 +2(n 1). Jika n(m+1) bukan bilangan dominasi yang minimum, dan andaikan γ(c n C m ) n(m+1) 1. Sehingga banyak simpul maksimal yang dapat didominasi yaitu ( n ( ) m 2 ) 1 +2(n 1) = nm < nm Karena banyak simpul yang dapat didominasi kurang dari banyaknya simpul 41

55 padac n C m, maka tidak benar bahwaγ(c n C m ) n(m+1) 1. Sehingga terbukti bahwaγ(c n C m ) = n(m+1). Ketiga pembuktian di atas menunjukkan bahwaγ(c n C m ) = nm untukm 0 (mod ) dan γ(c n C m ) = n(m+1) untukm 2 (mod ). Bilangan dominasi pada kedua nilaimtersebut dapat digabung sedemikianγ(c n C m ) = n m. Sedangkan γ(c n C m ) = n(m 1) + n untuk m 1 (mod ) dapat ditulis γ(c n C m ) = n m + n. x 1,1 x 1,2 x 1,m 1 x n,m 1 x n,1 x n,2 x n x 1 x 2,1 x 2,2 x 2,m 1 x 2 v n v 1 v 2 x 7,m 1 x 7,2 x 7,1 x 7 v 7 v x x,1 x,2 x,m 1 v 6 v 4 x 6 v x 6,m 1 x 6,2 x x 4 x 4,2 x 4,1 x 6,1 x 4,m 1 x,m 1 x,2 x,1 Gambar 4.6: Graf C n S m dengan Simpul Pusat S m Merupakan Simpul Elemen Himpunan Dominasi Jarak Satu Teorema 4.7. Diberikan graf lingkaran C n dan graf bintang S m dengan masingmasing ordernya n dan m untuk n,m. Maka bilangan dominasi jarak satu pada graf hasil operasi comb C n S m adalahγ(c n S m ) = n. Bukti: Misalkan V(C n ) = {v i 1 i n} dan V(S m ) = {x,x j 1 j m}. Sama seperti graf P m S n pada Teorema 4.4, karena salah satu pendant dari graf S m dilekatkan padac n, sehingga himpunan simpulv(c n S m ) = {v 1,v 2,...,v n } {x 1,x 2,...,x n } {x i,j 1 i n,1 j m 1} dengan C n S m = n(m+1). 42

56 Simpul dengan derajat maksimum pada grafc n S m juga merupakan simpul pusat dari graf bintangs m, yaitudeg(x i ) = m. Ambil simpulx i dengan derajatmsebagai simpul anggotas. Untuk setiap v i,x i,x i,j V(C n S m ),d(x i,v i ) = d(x i,x i,j ) = 1, maka x i dapat mendominasi m + 1 simpul. Karena i = 1,2,,...,n, maka banyak simpul yang terdominasi maksimal n(m + 1). Dengan demikian, S = γ(c n S m ) n. Andaikan γ(c n S m ) n 1, maka banyak simpul maksimal yang dapat didominasi adalah (n 1)(m + 1). Karena (n 1)(m + 1) n(m + 1), maka pastilah terdapat beberapa simpul C n S m yang tidak dapat didominasi oleh S. Oleh karena itu, S n 1. Dengan demikian, n adalah kardinalitas minimum dari himpunan dominasi padac n S m, maka S = γ(c n S m ) = n. GrafC n S m dapat dilihat pada Gambar 4.6 dengan simpul yang berwarna putih adalah simpul elemen himpunan dominasi jarak satu. Sebagaimana dalam Teorema 4.4, graf Bintang S n pada Teorema 4.7 juga dibatasi untuk untukn. KarenaC n S 1 isomorfis denganc n G 1 danc n S 2 isomorfis dengan C n P. Sehingga bilangan dominasi jarak satu pada C n S n untukn = 1 dan n = 2 sudah termasuk dalam Teorema 4.1 dan Teorema Bilangan Dominasi Jarak Dua 4..1 Bilangan Dominasi Jarak Dua pada Graf G dengandiam(g) 2 Pada bagian ini akan ditunjukkan beberapa observasi mengenai bilangan dominasi jarak dua dari suatu graf dengan diameter maksimal sama dengan dua. Observasi 4.1. Jika sebuah graf G yang mempunyai diameter kurang dari atau sama dengan dua, yaitu diam(g) 2, maka bilangan dominasi jarak dua dari grafgadalahγ 2 (G) = 1. Sesuai definisi diameter graf G yang merupakan jarak terpanjang diantara sebarang dua simpul padag, maka jika diambil sebarang simpulv i V(G) sebagai simpul elemen himpunan dominasi jarak duas 2 (G) berakibatd(v i,v(g)) 2. Hal ini memenuhi definisi bilangan dominasi jarak dua, sehinggaγ 2 (G) = 1. Contoh graf-graf dengan diameter kurang dari atau sama dengan dua diantaranya graf Lengkap (Complete)K n, graf Roda (Wheel)W n, graf Kipas (Fan) F n, graf Persahabatan (Friendship) W2 m, dan graf Bintang (Star) S n seperti yang ditunjukkan pada Gambar 4.7. Simpul-simpul yang berwarna putih pada graf-graf tersebut merupakan simpul elemen himpunan dominasi jarak dua. 4

57 Gambar 4.7: Graf-Graf dengan Himpunan Dominasi Jarak Dua sama dengan Satu Observasi 4.2. G m dan H n adalah graf terhubung dengan masing-masing ordernyamdann. Jika diameter dari grafgadalah satu makaγ 2 (G m H n ) = 1. Karena graf G m dan H n dioperasikan menggunakan operasi korona, maka v i G m dan v i,j H i berakibat d(v i,v i,j ) = 1. Jika diambil sebarang simpul v k V(G m ) dengan v k v i sebagai simpul elemen himpunan dominasi jarak dua berakibat d(v k,v i ) = 1, karena diameter graf G m sama dengan 1. Sedangkan d(v k,v i,j ) = d(v k,v i )+d(v i,v i,j ) = 2 atau dengan kata lain suatu simpul pada graf G memiliki jarak maksimal2terhadap semua simpul pada grafg m H n, sehingga γ 2 (G m H n ) = 1. Graf dengan diameter sama dengan satu misalnya graf Lengkap (Complete) K n. Sehingga graf K n jika dikoronakan dengan sebarang graf H maka bilangan dominasi jarak dua pada graf tersebut sama dengan satuγ 2 (K n H) = Bilangan Dominasi Jarak Dua pada LintasanP m dan Lingkaran C n Pada Tabel 2.1 disebutkan bahwa bilangan dominasi jarak satu pada graf Lintasan dan Lingkaran masing-masing γ(p m ) = m dan γ(c n) = n. Berikut ini akan ditunjukkan bilangan dominasi jarak dua pada graf Lintasan dan Lingkaran. Teorema 4.8. Graf lintasan dengan m simpul P m, untuk m 2 mempunyai bilangan dominasi jarak duaγ 2 (P m ) = m. Bukti: Banyak simpul pada graf Lintasan P m adalah P m = m. Karena derajat maksimal dari simpul-simpul pada P m adalah 2, maka satu simpul dapat mendominasi maksimal simpul dengan jarak kurang dari atau sama dengan 44

58 2. Dengan demikian jumlah simpul minimal yang dapat mendominasi m simpul adalah m. Jadi,γ 2(P m ) m. Selanjutnya, ditunjukkan bahwa m adalah banyak simpul minimal yang dapat mendominasi semua simpul graf P m. Andaikan γ 2 (P m ) = m 1, maka banyak simpul maksimal yang dapat didominasi sampai jarak dua adalah ( m 1) ( m+4 1) = m 1. Sehingga maksimal hanyam 1 simpul yang dapat didominasi, maka pastilah terdapat minimal satu simpul P m yang tidak dapat didominasi. Oleh karena itu, S 2 = γ 2 (P m ) m 1. Karena m adalah jumlah simpul minimal yang dapat mendominasi semua simpul padap m, makaγ 2 (P m ) = m. v v 4 v v 1 v 2 v 8 v 9 v 6 v 7 v m Gambar 4.8: Simpul Putih pada Graf Lintasan P m merupakan Contoh Simpul Himpunan Elemen Dominasi Jarak Dua Teorema 4.9. Graf lingkaran dengan n simpul C n, untuk n mempunyai bilangan dominasi jarak duaγ 2 (C n ) = n. Bukti: Lingkaran merupakan graf reguler 2. Sehingga untuk setiap u i elemen V(C n ), deg(u i ) = 2. Karena untuk setiap u anggota S 2, u dapat mendominasi maksimalsimpul dengan jarak kurang atau sama dengan dua dan C n = n, maka S 2 n. Andaikan γ 2 (C n ) = n 1 untuk mengetahui apakah n merupakan banyak simpul minimal yang dapat mendominasi semua simpul graf C n. Maka jumlah simpul maksimal yang dapat didominasi sampai jarak dua adalah ( n 1) ( n+4 1) = n 1. Sehingga maksimal hanya n 1 simpul yang dapat didominasi olehs 2, maka pastilah terdapat minimal satu simpulc n yang tidak dapat didominasi. Oleh karena itu, s 2 = γ 2 (C n ) n 1. Dengan demikian, n adalah jumlah simpul minimal yang dapat mendominasi semua simpul padac n, makaγ 2 (C n ) = n. 4.. Bilangan Dominasi Jarak Dua pada Graf Hasil Operasi Korona Berbeda dengan bilangan dominasi jarak satu seperti pada subbab 4.1, untuk bilangan dominasi jarak dua pada graf hasil operasi korona tidak dapat digeneralisasi untuk sebarang dua graf. Sehingga dalam bagian ini ditunjukkan dua 4

59 u n u 1 u 2 u u 4 u n 1 u u n 2 u 6 u 1 u 7 u 12 u11 u10 u 9 u 8 Gambar 4.9: Simpul Putih pada Graf Lingkaran C n merupakan Contoh Simpul Himpunan Elemen Dominasi Jarak Dua teorema, yaitu untuk bilangan dominasi jarak dua pada graf Lintasan P m yang dikoronakan dengan sebarang graf G n serta graf Lingkaran C n yang dikoronakan dengan sebarang grafh m. Teorema Diberikan graf lintasanp m dan sebarang grafg n dengan masingmasing ordernya m dan n untuk m 2 dan n 1. Maka bilangan dominasi jarak dua pada graf hasil operasi koronap m G n adalahγ 2 (P m G n ) = m. Bukti: Misalkan V(P m G n ) = {v 1,v 2,...,v m } {v i,j 1 i m,1 j n}, maka P m G n = mn + m. Kasus-kasus berikut ini menunjukkan tiga kemungkinan simpul-simpul elemen himpunan dominasi jarak dua yang minimum pada grafp m G n. Kasus 1: S 2 V(G i ) Untuk setiap v i,j elemen V(G i ), v i,j maksimal dapat mendominasi n + simpul. Sehingga banyak simpul elemen himpunan dominasi jarak dua maksimal mn+m n+, maka S 2 mn+m n+. Kasus 2: S 2 V(P m ) Untuk setiap v i elemen V(P m ), v i maksimal dapat mendominasi n + simpul. Sehingga banyak simpul elemen himpunan dominasi jarak dua maksimal mn+m n+, maka S 2 mn+m n+. Kasus : S 2 V(G i ) V(P m ) Untuk setiap v i elemen V(P m ) dan v i,j elemen V(G i ), maka dua simpul maksimal dapat mendominasi (n + ) + (n + ) simpul. Sehingga S 2 2(mn+m) (n+)+(n+) = mn+m n+4. 46

60 Dari kasus 1 sampai dapat dilihat bahwa mn+m n+ mn+m n+4 mn+m n+, maka diambil batas atas yang terkecil yaitu simpul-simpuls 2 elemen dari simpul-simpul graf Lintasan P m. Karena mn+m = m(n+1) < m(n+1) = m, maka interval atau n+ (n+1)+2 (n+1) jarak setiap simpul elemen S 2 ke simpul elemen S 2 yang lain sama dengan. Karena S 2 harus bilangan bulat dan jarak setiap simpul elemen S 2 pada V(P m ) sama dengan maka jumlah simpul minimal yang dapat mendominasi simpulsimpulv(p m G n ) adalah m. Sehinggaγ 2(P m G n ) m Andaikan S 2 = m 1, untuk menunjukkan apakah m merupakan bilangan dominasi yang paling minimum. Maka banyak simpul maksimal yang dapat didominasi olehs 2 adalah ( m ) ( ) m+2 1 (n+) 1 (n+) = mn+m n 1 < mn+m. Dengan demikian, tidak semua simpul P m G n dapat didominasi. Oleh karena itu, S 2 m 1 dan m merupakan bilangan dominasi minimum pada graf P m G n. Maka terbukti bahwaγ 2 (P m G n ) = m. v 2,n v 2, v 2,1 v 4, v 2,2 v 4,1 v 4,n v 4,2 v m 2,n v m 2,1 v m 2, v m,1 v m,n v m,2 v m 2,2 v m, v 1 v v v m 1 v 2 v 4 v m 2 v m v m 1,1 v 1,1 v 1,2 v,1 v,2 v,1 v,2 v 1, v, v, v m 1, v m 1, v 1,n v,n v,n v m 1,n Gambar 4.10: Graf P m C n untuk m 2 (mod ) dengan Simpul-Simpul Warna Putih Merupakan Simpul Elemen Himpunan Dominasi Jarak Dua Berdasarkan pembuktian pada Teorema 4.10 maka dapat ditentukan banyaknya himpunan dominasi jarak dua pada graf hasil operasi korona antara graf Lintasan dengan graf Lintasan, graf Lintasan dengan graf Lingkaran serta graf Lintasan dengan graf Bintang seperti pada Akibat 4. berikut ini. Gambar 4.10 menunjukkan contoh simpul-simpul elemen himpunan dominasi pada grafp m C n. 47

61 Akibat 4.. Bilangan dominasi jarak dua pada graf lintasan yang dikoronakan dengan graf lintasan, lingkaran, dan graf bintang adalahγ 2 (P m P n ) = γ 2 (P m C n ) = γ 2 (P m S n ) = m. Teorema Diberikan graf lingkaran C n dan sebarang graf H m dengan masing-masing ordernya n dan m untuk n dan m 1. Maka bilangan dominasi jarak dua pada graf hasil operasi koronac n H m adalahγ 2 (C n H m ) = n. Bukti: Misalkan V(C n H m ) = {u 1,u 2,...,u n } {u i,j 1 i n,1 j m}, maka C n H m = nm + n. Kasus-kasus berikut ini menunjukkan tiga kemungkinan simpul-simpul elemen himpunan dominasi jarak dua yang minimum pada grafc n H m. Kasus 1: S 2 V(H i ) Untuk setiap u i,j elemen V(H i ), u i,j maksimal dapat mendominasi m+ simpul. Sehingga banyak simpul elemen himpunan dominasi jarak dua maksimal nm+n m+, maka S 2 nm+n m+. Kasus 2: S 2 V(C n ) Untuk setiap u i elemen V(C n ), u i maksimal dapat mendominasi m + simpul. Sehingga banyak simpul elemen himpunan dominasi jarak dua maksimal nm+n m+, maka S 2 nm+n m+. Kasus : S 2 V(H i ) V(C n ) Untuk setiap u i elemen V(C n ) dan u i,j elemen V(H i ), maka dua simpul maksimal dapat mendominasi(m+)+(m+) simpul. Sehingga S 2 2(nm+n) = (m+)+(m+) nm+n. m+4 Dari kasus 1 sampai dapat dilihat bahwa nm+n nm+n nm+n, sehingga dapat m+ m+4 m+ diambil batas atas yang terkecil yaitu simpul S 2 elemen dari simpul-simpul graf Lingkaran C n. Karena nm+n = n(m+1) < n(m+1) = n, maka interval atau jarak m+ (m+1)+2 (m+1) setiap simpul elemens 2 ke simpul elemens 2 yang lain sama dengan. Karena S 2 harus bilangan bulat dan jarak setiap simpul elemens 2 padav(c n ) sama dengan maka jumlah simpul minimal yang dapat mendominasi simpul-simpulv(c n H m ) adalah n, makaγ 2(C n H m ) n. Oleh karena itu, untuk menunjukkan apakah n merupakan bilangan dominasi yang paling minimum, yaitu dengan memisalkan S 2 = n 1. Maka banyak simpul maksimal yang dapat didominasi olehs 2 adalah ( n ) ( ) n+2 1 (m+) 1 (m+) = nm+n m 1 < nm+n. 48

62 Sehingga tidak semua simpul C n H m dapat didominasi. Oleh karena itu, S 2 n 1 dan n merupakan bilangan dominasi minimum pada grafc n H m. Maka γ 2 (C n H m ) = n. Sebagaimana Teorema 4.10, dari Teorema 4.11 juga dapat dituliskan sebuah akibat mengenai bilangan dominasi jarak dua untuk graf hasil operasi korona seperti berikut ini. u 2, u 2,m u 2,2 u 1,m u 2,1 u 1, u 1,2 u 1,1 u 2 u,2 u,2 u,1 u,m u 1 u u n,m un,1 u n, u n,2 u n u n 2 u n 2,2 u n 1 u n 2,1 u n 2, u n 1,1 u n 1,m u n 1,2 u n 2,m u n 1, Gambar 4.11: Graf C n S m untuk m 2 (mod ) dengan Simpul-Simpul Warna Putih Merupakan Simpul Elemen Himpunan Dominasi Jarak Dua Akibat 4.4. Bilangan dominasi jarak dua pada graf lingkaran yang dikoronakan dengan graf lintasan, lingkaran, dan graf bintang adalahγ 2 (C n P m ) = γ 2 (C n C m ) = γ 2 (C n S m ) = n. Contoh graf hasil operasi korona antara graf Lingkaran C n dan sebarang graf G dapat dilihat pada Gambar Pada gambar tersebut graf Lingkaran C n dioperasikan dengan graf Bintang S m Bilangan Dominasi Jarak Dua pada Graf Hasil Operasi Comb Bilangan dominasi jarak dua pada graf hasil operasi comb juga ditentukan pada enam graf khusus seperti pada subbab 4.2, antara lain graf P m P n,p m C n,p m S n,c n P m,c n P m, danc n S m. Penentuan simpul-simpul yang dilekatkan pada masing-masing graf juga sama seperti yang jarak satu. 49

63 Teorema Diberikan dua buah graf lintasan P m dan P n dengan masingmasing ordernya m dan n untuk m,n 2. Maka bilangan dominasi jarak dua pada graf hasil operasi comb P m P n adalah m n jika n 0 (mod ), n (mod ),n 4 (mod ) γ 2 (P m P n ) = m n + m jika n 1 (mod ) m n + m jika n 2 (mod ) Bukti: MisalkanV(P m P n ) = {V i,j 1 i m,1 j n} dan P m P n = mn. Graf P m P n dapat dilihat pada Gambar Berdasarkan definisi operasi comb, maka simpul ujungp n yang melekat pada grafp m dapat dikatakan sebagai simpulsimpulp n atau pun simpul-simpulp m. Oleh karena itu, untuk menunjukkan banyak simpul minimal yang menjadi elemen himpunan dominasi jarak dua pada graf P m P n, maka untuk masing-masing nilainakan dibagi menjadi dua kasus. Kasus pertama jika simpul-simpul S hanya diambil dari simpul-simpul P n, sedangkan kasus kedua jika S 2 diambil dari V(P n ) V(P m ) dengan ketentuan simpul S 2 diambil terlebih dahulu dariv(p n )sebanyak kelipatan, karena satu simpul elemen S 2 pada P n dapat mendominasi maksimal simpul. Kemudian dilanjutkan pada simpul-simpul V(P n ) yang terhubung atau memiliki jarak terkecil dengan V(P m ) yang belum terdominasi. 1. n 0 (mod) Kasus 1: S 2 V(P n ) Menurut Teorema 4.8 γ 2 (P n ) = n, karena n 0 (mod ) dan n Z+ maka bilangan dominasi jarak dua pada setiap P i,n adalah γ 2 (P n ) = n yang nilanya adalah γ 2 (P n ) = n. Karena terdapat m buah P n pada graf P m P n, maka batas atas bilangan dominasi jarak dua pada P m P n adalah γ 2 (P m P n ) m(γ 2 (P m P n )) = mn. Kasus 2: S 2 V(P n ) V(P m ) Karena n 0 (mod ), maka dari kasus pertama semua simpul sudah dapat didominasi dengan jarak maksimal dua. Oleh karena itu, batas atas minimal yang diambil dari bilangan dominasi jarak dua padap m P n adalah γ 2 (P m P n ) mn. 0

64 Selanjutnya akan ditunjukkan apakah mn merupakan bilangan dominasi yang minimum pada grafp m P n. Andaikanγ 2 (P m P n ) mn 1. Karena setiap simpul elemen S 2 maksimal dapat mendominasi simpul, maka banyak simpul yang dapat didominasi jikaγ 2 (P m P n ) mn ( mn ) 1 = mn < mn. 1 adalah Dengan demikian, γ 2 (P m P n ) mn 1, karena terdapat beberapa simpul yang tidak dapat didominasi. Sehingga terbukti bahwa mn adalah bilangan dominasi jarak dua yang minimal pada grafp m P n, makaγ 2 (P m P n ) = mn. 2. n 1 (mod) Kasus 1: S 2 V(P n ) Untuk setiapp i,n, bilangan dominasi jarak dua padap n adalahγ 2 (P n ) = n, karena n 1 (mod ) dan n Z +, maka γ(p n ) = n+4. Karena terdapat m buahp n pada grafp m P n, maka batas atas bilangan dominasi jarak dua pada P m P n adalah γ 2 (P m P n ) m(γ 2 (P n )) = m(n+4). Kasus 2: S 2 V(P n ) V(P m ) Karena n 1 (mod ), maka terlebih dahulu ditentukan bilangan dominasi jarak dua pada P n 1. Sebagaimana Teorema 4.8, γ 2 (P n 1 ) = n 1. Karena m Z + dengan m 1 (mod ), maka γ 2 (P n 1 ) = n 1. Sehingga untuk m buah P n 1 maka bilangan dominasi jarak duanya adalah m(n 1). Sedangkan satu simpul pada P n yang belum terdominasi yang juga merupakan simpulsimpul V(P m ) memiliki bilangan dominasi m. Dengan demikian bilangan dominasi pada grafp m P n adalahγ 2 (P m P n ) m(n 1) + m. Dari kasus 1 dan 2 tersebut dapat dilihat bahwa m(n 1) + m m(n+4), sehingga diambil batas yang minimal untuk bilangan dominasi jarak dua pada P m P n, yaituγ 2 (P m P n ) m(n 1) + m. Andaikan m(n 1) + m bukan bilangan dominasi yang minimal, misalkan γ 2 (P m P n ) m(n 1) + m 1. Karena setiap simpul maksimal dapat mendominasi simpul, maka banyak simpul maksimal yang dapat didominasi adalah ( m(n 1) + m 1), karena m Z+ dan m 0 (mod ), maka m = m. Sehingga ( m(n 1) m + ) ( m(n 1) 1 = + m ) 1 = mn < mn. 1

65 Dengan demikian, simpul yang terdominasi kurang dari order pada grafp m P n, maka terdapat beberapa simpul yang tidak dapat didominasi. Sehingga γ 2 (P m P n ) m(n 1) + m 1 dan terbukti bahwaγ 2(P m P n ) = m(n 1) adalah bilangan dominasi jarak dua yang minimal. m +. n 2 (mod) Kasus 1: S 2 V(P m ) Untuk setiapp i,n, bilangan dominasi jarak dua padap n adalahγ 2 (P n ) = n, karena n Z + dan n 2 (mod ), maka γ 2 (P n ) = n+. Karena terdapat m buah P n pada graf P m P n, maka batas atas bilangan dominasi jarak dua padap m P n adalah γ 2 (P m P n ) m(γ 2 (P n )) = m(n+). Kasus 2: S 2 V(P n ) V(P m ) Karena n 2 (mod ), maka terlebih dahulu ditentukan bilangan dominasi jarak dua pada P n 2. Sebagaimana pada pembuktian-pembuktian sebelumnya, maka γ 2 (P n 2 ) = n 2. Sehingga untuk m buah P n 2 maka bilangan dominasi jarak duanya adalah m(n 2). Sedangkan dua simpul pada setiap P n yang belum terdominasi salah satunya merupakan simpul V(P m ). Sehingga himpunan simpul yang belum terdominasi sama dengan graf P m yang masing-masing simpulnya terhubung dengan sebuah simpul. Setiap simpul yang belum terdominasi tersebut isomorfis dengan graf P m G 1, G 1 adalah trivial yang hanya memiliki satu simpul. Sehingga menurut Teorema 4.10, γ 2 (P m G 1 ) = m. Dengan demikian bilangan dominasi pada graf P m P n adalah γ 2 (P m P n ) m(n 2) + m. Dua kemungkinan batas atas minimal bilangan dominasi jarak dua pada kasus 1 dan 2 menunjukkan m(n 2) + m m(n+), sehingga diambil batas minimal untuk bilangan dominasi jarak dua padap m P n, yaituγ 2 (P m P n ) m(n 2) + m. Misalkan m(n 2) + m bukan bilangan dominasi yang minimal. Andaikan γ 2 (P m P n ) m(n 2) + m 1. Karena setiap simpul maksimal dapat mendominasi simpul, maka banyak simpul maksimal yang dapat didominasi adalah ( m(n 2) + m 1). 2

66 ( m(n 2) m + ) 1 < ( m(n 2) ( m ) + +1 ) 1 = mn 2m+ m. Karenamn 2m+ m < mn, sehingga terdapat beberapa simpul yang tidak dapat didominasi. Sehingga γ 2 (P m P n ) m(n 2) + m 1 dan terbukti bahwaγ 2 (P m P n ) m(n 2) + m. Sebagai contoh, perhatikan Gambar Jikav m,n 2 bukan elemens 2, maka v m,n,v m,n 1,v m,n 2,,v m,n dan v m,n 4 tidak dapat didominasi oleh simpul manapun elemen S 2. v 1,n v 2,n v,n v m 1,n v m,n v 1,n 1 v 2,n 1 v,n 1 v m 1,n 1 v m,n 1 v 1,n 2 v 2,n 2 v,n 2 v m 1,n 2 v m,n 2 v 1,4 v 2,4 v,4 v m 1,4 v m,4 v 1, v 2, v, v m 1, v m, v 1,2 v 2,2 v,2 v m 1,2 v m,2 v 1,1 v 2,1 v,1 v m 1,1 v m,1 Gambar 4.12: Graf P m P n untuk n 2 (mod ) dengan Simpul-Simpul Warna Putih Merupakan Simpul Elemen Himpunan Dominasi Jarak Dua 4. n (mod) Kasus 1: S 2 V(P n ) Untuk setiapp i,n, bilangan dominasi jarak dua padap n adalahγ 2 (P n ) = n, karena n (mod ) dan n Z +, maka γ 2 (P n ) = n+2. Karena terdapat m buah P n pada graf P m P n, maka batas atas bilangan dominasi jarak dua padap m P n adalah γ 2 (P m P n ) m(γ 2 (P n )) = m(n+2). Kasus 2: S 2 V(P n ) V(P m ) Karena n (mod ), maka terlebih ditentukan bilangan dominasi jarak dua pada P n. Sama seperti pembuktian sebelumnya, maka γ 2 (P n ) = n. Sehingga untuk m buah P n maka bilangan dominasi jarak duanya adalah m(n ). Sedangkan tiga simpul pada setiapp n yang belum terdominasi salah

67 satunya merupakan simpul-simpulv(p m ). Sehingga himpunan simpul yang belum terdominasi sama dengan m buah graf P dengan salah satu simpul ujungnya terhubung dan membentuk LintasanP m. Karena jarak terjauh untuk setiap simpul P m pada simpul P n yang belum terdominasi sama dengan 2, maka setiap simpul P m diambil sebagai elemen S 2, sehingga kedua simpul P n tersebut dapat didominasi. Dengan demikian bilangan dominasi jarak dua pada grafp m P n adalah γ 2 (P m P n ) m(n ) +m. Karena m(n+2) = m(n ) + m, sehingga kasus 1 dan 2 menunjukkan bilangan dominasi jarak dua minimal yang sama. Sehinggaγ 2 (P m P n ) m(n ) +m. Selanjutnya, misalkan m(n ) + m bukan bilangan dominasi yang minimal. Andaikan γ 2 (P m P n ) m(n ) +m 1, karena setiap simpul dari m(n ) simpul dapat mendominasi maksimal simpul dan setiap simpul dari m simpul dapat mendominasi simpul. Maka jika diambil sebuah simpul dari m(n ) simpul bukan menjadi elemen S 2 pada P n mengakibatkan banyak simpul maksimal yang dapat didominasi adalah ( m(n ) ) 1 +m = mn < mn. Dengan demikian terdapat beberapa simpul yang tidak dapat didominasi, karena jumlah simpul maksimal yang dapat didominasi kurang dari banyaknya simpul pada P m P n. Sehingga γ 2 (P m P n ) m(n ) +m 1 dan terbukti bahwaγ 2 (P m P n ) = m(n ) +m atau γ 2 (P m P n ) = m(n+2).. n 4 (mod) Kasus 1: S 2 V(P n ) Untuk setiapp i,n, bilangan dominasi jarak dua padap n adalahγ 2 (P n ) = n, karena n 4 (mod ) dan n Z +, maka γ 2 (P n ) = n+1. Karena terdapat m buah P n pada graf P m P n, maka batas atas bilangan dominasi jarak dua padap m P n adalah γ 2 (P m P n ) m(γ 2 (P n )) = m(n+1). Kasus 2: S 2 V(P n ) V(P m ) Karena n 4 (mod ), maka pertama kali ditentukan bilangan dominasi jarak dua pada P n 4. Sama seperti pembuktian sebelumnya, maka γ 2 (P n 4 ) = n 4. Sehingga untuk m buah P n 4 maka bilangan dominasi jarak duanya adalah m(n 4). Sedangkan 4 simpul pada setiap P n yang belum terdominasi salah satunya merupakan simpul-simpulv(p m ). Sehingga himpunan simpul 4

68 yang belum terdominasi terdiri darimbuah grafp 4 dengan salah satu simpul ujungnya terhubung membentuk Lintasan P m, Karena jarak terjauh untuk setiap simpul P m pada simpul P n yang belum terdominasi sama dengan, maka jika diambil simpul P m sebagai elemen S 2 mengakibatkan banyaknya himpunan dominasi yang dibutuhkan untuk menjangkau simpul-simpul yang belum terdominasi tidak akan minimum, karena simpul yang dibutuhkan pasti lebih dari m simpul. Sehingga untuk kasus ini minimal diambil satu simpul untuk masing-masing P 4 dan bukan v i,1 atau pun v i,4, karena d(v i,1,v i,4 ) =. Dengan demikian dibutuhkan minimal m simpul dengan masing-masing simpul dapat mendominasi 4 simpul, yaitu v i,2 atau v i,. Karenai = 1,2,...,m, maka bilangan dominasi jarak dua pada grafp m P n adalah γ 2 (P m P n ) m(n 4) +m = m(n+1). Kasus 1 dan 2 menunjukkan bilangan dominasi jarak dua minimal yang sama. Sehingga kita dapat mengambil batas atas bilangan dominasi jarak dua pada P m P n yaituγ 2 (P m P n ) m(n 4) +m. Andaikan m(n 4) + m bukan bilangan dominasi jarak dua yang minimal. Misalkanγ 2 (P m P n ) m(n 4) + m 1, yaitu dengan mengambil sebarang satu simpul pada P n sedemikian tidak lagi menjadi elemen S 2. Hal ini mengakibatkan banyak simpul maksimal yang dapat didominasi adalah ( m(n 4) ) 1 +m 4 = mn < mn. Dengan demikian terdapat beberapa simpul yang tidak dapat didominasi. Sehinggaγ 2 (P m P n ) m(n 4) +m 1 dan terbukti bahwaγ 2 (P m P n ) = m(n 4) +m atau γ 2 (P m P n ) = m(n+1). Masing-masing nilai n pada kelima pembuktian di atas menunjukkan bilangan dominasi jarak dua padap m P n berbeda-beda. Untukn 0 (mod),n (mod ), dan n 4 (mod ) dapat disimpulkan bahwa γ 2 (P m P n ) = m n. Untuk n 1 (mod ), γ 2 (P m P n ) = m n + m, sedangkan untuk n 2 (mod ), γ 2 (P m P n ) = m n + m.

69 Teorema 4.1. Diberikan graf lintasanp m dan graf lingkaranc n dengan masingmasing ordernyamdannuntukm 2,n. Maka bilangan dominasi jarak dua pada graf hasil operasi comb P m C n adalah m n jikan 0 (mod ), n 4 (mod ) γ 2 (P m C n ) = m n + m jikan 1 (mod ) m n + m jikan 2 (mod ),n (mod ) Bukti: AndaikanV(P m C n ) = {V i,j 1 i m,1 j n} dan P m C n = mn. Graf P m C n dapat dilihat pada Gambar 4.1. Berdasarkan definisi operasi comb, maka simpul ujung C n yang melekat pada graf P m dapat dikatakan sebagai simpul-simpul C n atau pun simpul-simpul P m. Oleh karena itu, untuk menunjukkan banyak simpul minimal yang menjadi elemen himpunan dominasi jarak satu pada graf P m C n, maka untuk masing-masing nilai n akan dibagi menjadi dua kasus. Kasus pertama jika simpul-simpuls 2 hanya diambil dari simpul-simpulc n, sedangkan kasus kedua jika S 2 diambil dari V(C n ) V(P m ) dengan ketentuan simpul S 2 diambil terlebih dahulu dari V(C n ) sebanyak kelipatan, karena satu simpul elemen S 2 pada C n dapat mendominasi maksimal simpul. Kemudian dilanjutkan pada simpul-simpulv(p m ) yang terhubung atau memiliki jarak terkecil denganv(c n ) yang belum terdominasi. 1. n 0 (mod) Karena n 0 (mod ), maka batas atas bilangan dominasi jarak dua pada P m C n dapat ditentukan jika diambil S 2 V(C n ). Berdasarkan Teorema 4.9 γ 2 (C n ) = n. Karena n 0 (mod ) dan n Z+ maka bilangan dominasi jarak dua pada setiap C i,n adalah γ 2 (C n ) = n. Karena terdapat m buahc n pada grafp m C n, maka batas atas bilangan dominasi jarak dua pada P m C n adalah γ 2 (P m C n ) m(γ 2 (C n )) = mn. Untuk menunjukkan apakah mn merupakan bilangan dominasi yang minimum pada grafp m C n, misalkanγ 2 (P m C n ) mn 1. Karena setiap simpul elemen S 2 maksimal dapat mendominasi simpul, maka banyak simpul yang dapat didominasi jikaγ 2 (P m C n ) mn Sehinggaγ 2 (P m C n ) mn ( mn ) 1 = mn < mn. 1 adalah 1, karena terdapat beberapa simpul yang tidak 6

70 dapat didominasi. Maka terbukti bahwa mn adalah bilangan dominasi jarak dua yang minimal pada grafp m C n. Oleh karena itu,γ 2 (P m C n ) = mn. 2. n 1 (mod) Kasus 1: S 2 V(P n ) Untuk setiapc i,n, bilangan dominasi jarak dua padac n adalahγ 2 (C n ) = n, karena n 1 (mod ) dan n Z +, maka γ 2 (C n ) = n+4. Karena terdapat m buah C n pada graf P m C n, maka batas atas bilangan dominasi jarak dua padap m C n adalah γ 2 (P m C n ) m(γ 2 (C n )) = m(n+4). Kasus 2: S 2 V(C n ) V(P m ) Karena n 1 (mod ), maka terlebih dahulu ditentukan bilangan dominasi jarak dua padac n 1. Sebagaimana Teorema 4.9,γ 2 (C n 1 ) = n 1. Karena n 1 (mod ) dan n Z +, maka γ 2 (C n 1 ) = n 1. Sehingga untuk m buah C n 1 maka bilangan dominasi jarak duanya adalah m(n 1). Sedangkan satu simpul pada C n yang belum terdominasi yang juga merupakan simpulsimpul V(P m ) memiliki bilangan dominasi m. Dengan demikian bilangan dominasi pada grafp m C n adalah γ 2 (P m C n ) m(n 1) + m. Kasus 1 dan 2 menunjukkan bahwa m(n 1) + m m(n+4), sehingga diambil batas yang minimal untuk bilangan dominasi jarak dua pada P m C n, yaitu γ 2 (P m C n ) m(n 1) + m. Andaikan m(n 1) + m bukan bilangan dominasi yang minimal, misalkan γ 2 (P m C n ) m(n 1) + m 1, maka banyak simpul maksimal yang dapat didominasi adalah ( m(n 1) m + ) 1 = mn < mn. Karena simpul yang dapat didominasi kurang dari P m C n, maka terdapat beberapa simpul yang tidak dapat didominasi. Sehingga γ 2 (P m C n ) m(n 1) + m 1dan terbukti bahwaγ 2(P m C n ) = m(n 1) + m.. n 2 (mod) Kasus 1: S 2 V(P n ) Untuk setiapc i,n, bilangan dominasi jarak dua padac n adalahγ 2 (C n ) = n. Karena n 2 (mod ) dan n Z +, maka γ 2 (C n ) = n+. Karena terdapat m buah C n pada graf P m C n, maka batas atas bilangan dominasi jarak dua padap m C n adalah γ 2 (P m C n ) m(γ 2 (C n )) = m(n+). 7

71 Kasus 2: S 2 V(C n ) V(P m ) Seperti pada pembuktian-pembuktian sebelumnya, maka γ 2 (C n 2 ) = n 2. Karena n 2 (mod ) dan n Z +, maka γ 2 (C n 2 ) = n 2. Sehingga untuk m buah C n 2 maka bilangan dominasi jarak duanya adalah m(n 2). Sedangkan dua simpul pada setiap C n yang belum terdominasi salah satunya merupakan simpul V(P m ). Sehingga himpunan simpul yang belum terdominasi sama dengan grafp m yang masing-masing simpulnya terhubung dengan sebuah simpul. Simpul-simpul tersebut isomorfis dengan graf P m G 1, sehingga menurut Teorema 4.10,γ 2 (P m G 1 ) = m. Dengan demikian bilangan dominasi pada graf P m C n adalah γ 2 (P m C n ) m(n 2) + m. Kedua kasus di atas menunjukkan m(n 2) + m m(n+), sehingga diambil batas yang minimal untuk bilangan dominasi jarak dua pada P m C n, yaitu γ 2 (P m C n ) m(n 2) + m. Jika m(n 2) + m bukan bilangan dominasi yang minimal, misalkanγ 2(P m C n ) m(n 2) + m 1. Karena setiap simpul maksimal dapat mendominasi simpul, maka banyak simpul maksimal yang dapat didominasi adalah ( m(n 2) + m 1). ( m(n 2) m + ) 1 < ( m(n 2) ( m ) + +1 = mn 2m+ m. ) 1 Karena mn 2m + m < mn, maka terdapat beberapa simpul yang tidak dapat didominasi. Sehingga γ 2 (P m C n ) m(n 2) + m 1 dan terbukti bahwaγ 2 (P m C n ) = m(n 2) + m. Pada Gambar 4.1 ditunjukkan contoh bilangan dominasi jarak dua pada P m C n untuk n 2(mod ). Jika pada gambar tersebut v m,4 tidak diambil sebagai elemen S 2 maka simpul-simpul yang tidak dapat didominasi oleh simpul manapun elemens 2 antara lianv m,2,v m,,v m,4,v m, dan v m,6. 4. n (mod) Kasus 1: S 2 V(C n ) Untuk setiapc i,n, bilangan dominasi jarak dua padac n adalahγ 2 (C n ) = n. Karena n (mod ) dan n Z +, maka γ 2 (C n ) = n+2. Karena terdapat 8

72 v 2,4 v 2, v m 1,4 v m 1, v 2, v 2,6 v m 1, v m 1,6 v 1,1 v 2,2 v 2,n v m 1,2 v m 1,n v m,1 v,1 v 1,n v 1,2 v 2,1 v,n v m 1,1 v,2 v m,n v m,2 v 1,6 v 1, v,6 v, v m,6 v m, v 1, v 1,4 v, v,4 v m, v m,4 Gambar 4.1: Graf P m C n untuk n 2 (mod ) dengan Simpul-Simpul Warna Putih Merupakan Simpul Elemen Himpunan Dominasi Jarak Dua m buah C n pada graf P m C n, maka batas atas bilangan dominasi jarak dua padap m C n adalah γ 2 (P m C n ) m(γ 2 (C n )) = m(n+2). Kasus 2: S 2 V(C n ) V(P m ) Karena n (mod ), maka terlebih dahulu ditentukan bilangan dominasi jarak dua pada C n. Sama seperti pembuktian sebelumnya, maka γ 2 (C n ) = n. Sehingga untuk m buah C n maka bilangan dominasi jarak duanya adalah m(n ). Sedangkan tiga simpul pada setiap C n yang belum terdominasi salah satunya merupakan simpul-simpul V(P m ). Karena derajat tertinggiv(p m ) = 4, dan dua tetangganya merupakan simpul-simpul pada Ci,n, maka dua simpul pada C n yang belum terdominasi selain simpul V(P m ) diambil yang jaraknya satu ke setiap V(P m ). Sehingga himpunan simpul yang belum terdominasi isomorfis dengan grafp m G 2,G 2 pada graf ini merupakan dua simpul yang tidak terhubung yang dikoronakan dengan lintasan P m. Sehingga berdasarkan Teorema 4.10 simpul-simpul tersebut memiliki bilangan dominasi sama dengan m. Dengan demikian bilangan dominasi jarak dua pada grafp m C n adalah γ 2 (P m C n ) m(n ) + m. Karena m(n ) + m m(n+2) maka diambil batas atas yang minimum, yaitu bilangan dominasi jarak dua padap m C n adalahγ 2 (P m C n ) m(n ) + m. Selanjutnya, jika m(n ) + m bukan bilangan dominasi yang minimal, misalkanγ 2 (P m C n ) m(n ) + m 1. Karena setiap simpul elemens 2 pada C n maksimal dapat mendominasi simpul dan setiap simpul S 2 pada P m dapat mendominasi maksimal9 simpul, maka jika diambil sebuah simpul pada P m sedemikian bukan elemen S 2, maka banyak simpul maksimal yang 9

73 dapat didominasi adalah ( m(n ) )+( m 1)9. ( m(n ) ) ( m ) < ( m(n ) = mn m+m = mn. ) ( m ) Karena simpul yang dapat didominasi kurang dari order pada P m C n. Sehingga dapat disimpulkan bahwa terdapat beberapa simpul yang tidak dapat didominasi. Oleh karena itu, γ 2 (P m C n ) m(n ) + m 1 dan terbukti bahwaγ 2 (P m C n ) = m(n ) + m.. n 4 (mod) Kasus 1: S V(C n ) Untuk setiapc i,n, bilangan dominasi jarak dua padac n adalahγ 2 (C n ) = n. Karena n 4 (mod ) dan n Z +, maka γ 2 (C n ) = n+1. Karena terdapat m buah C n pada graf P m C n, maka batas atas bilangan dominasi jarak dua padap m C n adalah γ 2 (P m C n ) m(γ 2 (C n )) = m(n+1). Kasus 2: S V(C n ) V(P m ) Karena n 4 (mod ), maka terlebih dahulu ditentukan bilangan dominasi jarak dua pada C n 4. Sama seperti pembuktian sebelumnya, maka γ 2 (C n 4 ) = n 4. Sehingga untuk m buah C n 4 maka bilangan dominasi jarak duanya adalah m(n 4). Sedangkan empat simpul pada setiap C n yang belum terdominasi salah satunya merupakan simpul-simpul V(P m ). Karena derajat tertinggi V(P m ) = 4, dan dua tetangganya merupakan simpulsimpul pada C i,n, maka sebuah simpul pada C n yang belum terdominasi selain simpulv(p m ) dan dua simpul yang bertetangga denganv(p m ) adalah simpul dengan jarak ke V(P m ) sama dengan dua. Sehingga semua simpul padav(p m ) diambil sebagai elemens 2 dengan asumsi setiap simpul tersebut dapat mendominasi 4 simpul. Dengan demikian bilangan dominasi jarak dua pada grafp m C n adalah γ 2 (P m C n ) m(n 4) +m. Kasus 1 dan 2 menunjukkan bilangan dominasi jarak dua minimal yang sama. Sehingga batas atas minimal bilangan dominasi jarak dua padap m C n yaitu γ 2 (P m C n ) n 4 m. 60

74 Andaikan m(n 4) + m bukan bilangan dominasi jarak dua yang minimal. Misalkan γ 2 (P m C n ) m(n ) + m 1, yaitu mengaambil sebarang satu simpul pada C n sedemikian tidak lagi menjadi elemen S 2. Hal ini mengakibatkan banyak simpul maksimal yang dapat didominasi adalah ( m(n 4) ) 1 +m 4 = mn < mn. Dengan demikian terdapat beberapa simpul yang tidak dapat didominasi oleh S 2 karena banyak simpul yang dapat didominasi lebi kecil dari P m C n. Sehingga tidak benar bahwa γ 2 (P m C n ) m(n 4) + m 1 dan terbukti bahwaγ 2 (P m C n ) = m(n 4) +m atau γ 2 (P m C n ) = m(n+1). Kelima pembuktian untuk masing-masing nilai n di atas menunjukkan bilangan dominasi jarak dua padap m C n yang berbeda-beda. Akan tetapi beberapa bilangan dominasi dengan nilai n tertentu dapat direduksi, misalnya untuk n 0 (mod ) dan n 4 (mod ) dapat disimpulkan bahwa γ 2 (P m C n ) = m n, untuk n 1 (mod ), γ 2 (P m C n ) = m n + m, sedangkan untukn 2 (mod ) dan n (mod), γ 2 (P m C n ) = m n + m. x 2,1 x 2,n 1 x 4,1 x 4,n 1 x 6,1 x 6,n 1 x 8,1 x 8,n 1 x 2,2 x 4,2 x 6,2 x 8,2 x 2 x 4 x 6 x 8 v 1 v 2 v v 4 v v 6 v 7 v 8 v m x 1 x x x 7 x m x 1,2 x 1,1 x 1,n 1 x,2 x,1 x,n 1 x,2 x,n 1 x m,2 x,1 x 7,n 1 x m,1 x m,n 1 x 7,1 x 7,2 Gambar 4.14: GrafP m S n dengan Simpul PendantS n Merupakan Simpul Elemen Himpunan Dominasi Jarak Dua Teorema Diberikan graf lintasan P m dan graf bintang S n dengan masingmasing ordernyamdannuntukm 2,n. Maka bilangan dominasi jarak dua pada graf hasil operasi comb P m S n adalahγ 2 (P m S n ) = m. Bukti: Diketahui bahwa graf P m S n diperoleh dengan melekatkan salah satu simpul pendat dari masing-masing graf S n kopian ke-i pada setiap simpul graf 61

75 P m seperti yang ditunjukkan pada Gambar Sehingga dapat disimpulkan bahwa banyak simpul graf P m S n sama dengan m kali simpul graf S n, yaitu m(n+1). Berdasarkan Observasi 4.1 diketahui bahwaγ 2 (S n ) = 1, karena terdapat m kopi grafs n padap m S n, maka maksimal terdapatmsimpul elemen himpunan dominasi jarak dua. Sehingga dapat dituliskan bahwa S 2 = γ 2 (P m S n ) m. Andaikan S 2 m 1, hal ini berarti terdapat S n kopian ke-i yang semua simpulnya bukan elemen himpunan dominasi. Seperti yang diketahui bahwa graf BintangS n memiliki diameter sama dengan2. Sehingga pastilah terdapatv i elemen S n sedemikian d(v i,s 2 ) > 2. Dengan demikian S 2 m 1, sehingga m adalah bilangan dominasi jarak dua minimum pada graf P m S n. Oleh karena itu terbukti bahwa S 2 = γ 2 (P m S n ) = m. Teorema 4.1. Diberikan graf lingkaranc n dan graf lintasanp m dengan masingmasing ordernyandanmuntukn,m 2. Maka bilangan dominasi jarak dua pada graf hasil operasi comb C n P m adalah γ 2 (C n P m ) = n m jika m 0 (mod ),m (mod ),m 4 (mod ) n m + n jika m 1 (mod ) n m + n jika m 2 (mod ) Bukti: MisalkanV(C n P m ) = {V i,j 1 i n,1 j m} dan C n P m = nm. Graf C n P m dapat dilihat pada Gambar 4.1. Berdasarkan definisi operasi comb, maka simpul ujungp m yang melekat pada grafc n dapat dikatakan sebagai simpulsimpul P m atau pun simpul-simpul C n. Oleh karena itu, untuk menunjukkan banyak simpul minimal yang menjadi elemen himpunan dominasi jarak satu pada grafc n P m, akan ditunjukkan sepeti pembuktian-pembuktian pada Teorema Untuk masing-masing nilai m akan dibagi menjadi dua kasus. Kasus pertama jika simpul-simpul S 2 hanya diambil dari simpul-simpul P m, sedangkan kasus kedua jikas 2 diambil darilv(p m ) V(C n ) dengan ketentuan simpuls 2 diambil terlebih dahulu dari V(P m ) sebanyak kelipatan, karena satu simpul elemen S 2 pada P m dapat mendominasi maksimal simpul. Kemudian dilanjutkan pada simpul-simpul V(P m ) yang terhubung atau memiliki jarak terkecil dengan V(C n ) yang belum terdominasi. 62

76 1. m 0 (mod) Sama seperti bilangan dominasi jarak dua P m P n dan P m C n untuk, batas atas minimal dapat ditentukan hanya dengan mengambil S 2 V(P m ). Menurut Teorema 4.8 γ 2 (P m ) = m, karena m 0 (mod ) maka bilangan dominasi jarak dua pada setiap P i,m adalah γ 2 (P m ) = m. Karena terdapat n buah P m pada graf C n P m, maka batas atas bilangan dominasi jarak dua pada C n P m adalah γ 2 (C n P m ) n(γ 2 (P m )) = nm. Selanjutnya hanya akan dibuktikan apakah nm merupakan bilangan dominasi yang minimum pada graf C n P m. Andaikan γ 2 (C n P m ) nm 1. Karena setiap simpul elemens 2 maksimal dapat mendominasi simpul, maka banyak simpul yang dapat didominasi jikaγ 2 (C n P m ) nm 1 adalah ( nm ) 1 = nm < nm. Dengan demikian, γ 2 (C n P m ) nm 1, karena terdapat beberapa simpul yang tidak dapat didominasi. Sehingga terbukti bahwa nm adalah bilangan dominasi jarak dua yang minimal pada grafc n P m, makaγ 2 (C n P m ) = nm. 2. m 1 (mod) Kasus 1: S 2 V(P m ) Untuk setiap P i,m, bilangan dominasi jarak dua pada P m adalah γ 2 (P m ) = m, karena m 1 (mod ) dan m Z+, maka γ 2 (P m ) = m+4. Pada graf C n P m terdapat n buah P m, maka batas atas bilangan dominasi jarak dua padac n P m adalah γ 2 (C n P m ) n(γ 2 (P m )) = n(m+4). Kasus 2: S 2 V(P m ) V(C n ) Karena m 1 (mod ), maka terlebih dahulu ditentukan bilangan dominasi jarak dua pada P m 1. sebagaimana Teorema 4.8, γ 2 (P m 1 ) = m 1. Sehingga untuk n buah P m 1 maka bilangan dominasi jarak duanya adalah n(m 1). Sedangkan satu simpul pada P m yang belum terdominasi yang juga merupalan simpul-simpul V(C n ) memiliki bilangan dominasi n. Dengan demikian bilangan dominasi pada graf C n P m adalah γ 2 (C n P m ) n(m 1) + n. Dari kasus 1 dan 2 tersebut dapat dilihat bahwa n(m 1) + n n(m+4), sehingga diambil batas yang minimal untuk bilangan dominasi jarak dua pada C n P m, yaituγ 2 (C n P m ) n(m 1) + n. 6

77 Andaikan n(m 1) + n bukan bilangan dominasi yang minimal, kita misalkan γ 2 (C n P m ) n(m 1) + n 1. Karena setiap simpul maksimal dapat mendominasi simpul, maka banyak simpul maksimal yang dapat didominasi adalah ( n(m 1) + n 1), karena n Z+ dan n 0 (mod ), maka n = n. Sehingga ( n(m 1) n + ) ( n(m 1) 1 = + n ) 1 = nm < nm. Karena simpul yang terdominasi kurang dari order pada graf C n P m, maka terdapat beberapa simpul yang tidak dapat didominasi. Sehingga γ 2 (C n P m ) n(m 1) + n 1 dan terbukti bahwaγ 2(C n P m ) = n(m 1) + n. v 1,m v 1, v v 1,4 n,m v n, v n,4 v n, v n,2 v n,1 v 1,1 v 1, v 1,2 v 2,1 v 2,2 v 2, v 2,4 v 2, v 2,m v 7,m v 7, v 7,4 v 7, v 7,2 v 7,1 v,1 v,2 v, v,4 v, v,m v 6,1 v 6,2 v 6, v 6,4 v,1 v,2 v 4,1 v 4,2 v 4, v 4,4 v 4, v 6,m v 6, v, v,4 v 4,m v, v,m Gambar 4.1: Graf C n P m untuk m 1 (mod ) dengan Simpul-Simpul Warna Putih Merupakan Simpul Elemen Himpunan Dominasi Jarak Dua 64

78 Gambar 4.1 menunjukkan contoh bilangan dominasi jarak dua padac n P m untuk m 1 (mod ). Jika diambil sebarang v i,m 2 bukan elemen S 2 maka simpul v i,m,v i,m 1,v i,m 2,v i,m dan v i,m 4 tidak dapat didominasi oleh semua simpul padas 2.. m 2 (mod) Kasus 1: S 2 V(P m ) Untuk setiap P i,m, bilangan dominasi jarak dua pada P m adalah γ 2 (P m ) = m. Karena m 2 (mod ) dan m Z+, maka γ 2 (P m ) = m+. Karena terdapat n buah P m pada graf C n P m, maka batas atas bilangan dominasi jarak dua padac n P m adalah γ 2 (C n P m ) n(γ 2 (P m )) = n(m+). Kasus 2: S 2 V(P m ) V(C n ) Karena m 2 (mod ), maka terlebih dahulu ditentukan bilangan dominasi jarak dua pada P m 2. Sebagaimana pada pembuktian-pembuktian sebelumnya, maka γ 2 (P m 2 ) = m 2. Sehingga untuk n buah P m 2 maka bilangan dominasi jarak duanya adalah n(m 2). Sedangkan dua simpul pada setiap P m yang belum terdominasi salah satunya merupakan simpul V(C n ). Sehingga himpunan simpul yang belum terdominasi sama dengan graf C n yang masing-masing simpulnya terhubung dengan sebuah simpul. Simpulsimpul tersebut isomorfis dengan graf C n G 1, G 1 adalah graf trivial yang terdiri dari satu simpul. Sehingga menurut Teorema 4.11,γ 2 (C n G 1 ) = n. Dengan demikian bilangan dominasi pada grafc n P m adalahγ 2 (C n P m ) n(m 2) + n. Dua kemungkinan batas atas bilangan dominasi jarak dua pada kasus 1 dan 2 menunjukkan n(m 2) + n n(m+), sehingga diambil batas yang minimal untuk bilangan dominasi jarak dua pada C n P m, yaitu γ 2 (C n P m ) n(m 2) + n. Kemudian dimisalkan n(m 2) + n bukan bilangan dominasi yang minimal. Andaikanγ 2 (C n P m ) n(m 2) + n 1. Karena setiap simpul maksimal dapat mendominasi simpul, maka banyak simpul maksimal yang dapat didominasi adalah ( n(m 2) + n 1). ( n(m 2) n + ) 1 < ( n(m 2) ( n ) + +1 = nm 2n+ n. ) 1 6

79 Karena nm 2n+ n < nm, sehingga terdapat beberapa simpul yang tidak dapat didominasi. Sehingga γ 2 (C n P m ) n(m 2) + n 1 dan terbukti bahwaγ 2 (C n P m ) = n(m 2) + n. 4. m (mod ) Kasus 1: S 2 V(P m ) Untuk setiap P i,m, bilangan dominasi jarak dua pada P m adalah γ 2 (P m ) = m, karena m (mod ) dan m Z+, maka γ 2 (P m ) = m+2. Karena terdapat n buah P m pada graf C n P m, maka batas atas bilangan dominasi jarak dua padac n P m adalahγ 2 (C n P m ) n(γ 2 (P m )) = n(m+2). Kasus 2: S 2 V(P m ) V(C n ) Karena m (mod ), maka terlebih dahulu ditentukan bilangan dominasi jarak dua pada P m. Sama seperti pembuktian sebelumnya, maka γ 2 (P m ) = m. Sehingga untuk n buah P m maka bilangan dominasi jarak duanya adalah n(m ). Sedangkan tiga simpul pada setiap P m yang belum terdominasi salah satunya merupakan simpul-simpulv(c n ). Sehingga himpunan simpul yang belum terdominasi sama dengan n buah graf P dengan salah satu simpul ujungnya terhubung membentuk Lingkaran C n. Karena jarak terjauh untuk setiap simpul C n pada simpul P m yang belum terdominasi sama dengan 2, maka setiap simpul C n diambil sebagai elemen S 2, sehingga kedua simpul P m tersebut dapat didominasi. Dengan demikian bilangan dominasi jarak dua pada graf C n P m adalah γ 2 (C n P m ) n(m ) +n. Karena n(m+2) = n(m ) +n, sehingga kasus 1 dan 2 menunjukkan bilangan dominasi jarak dua minimal yang sama. Sehinggaγ 2 (C n P m ) n(m ) +n. Selanjutnya, misalkan n(m ) + n bukan bilangan dominasi yang minimal. Andaikan n(m ) + n 1, karena setiap simpul dari n(m ) simpul dapat mendominasi maksimal simpul dan setiap simpul dari n simpul dapat mendominasi simpul, maka diambil sebuah simpul dari n(m ) simpul, yaitu simpul elemen S 2 pada P m mengakibatkan banyak simpul maksimal yang dapat didominasi adalah ( n(m ) ) 1 +n = nm < nm. Dengan demikian terdapat beberapa simpul yang tidak dapat didominasi. 66

80 Sehinggaγ 2 (C n P m ) n(m ) +n 1 dan terbukti bahwaγ 2 (C n P m ) = n(m ) +n atau γ 2 (C n P m ) = n(m+2).. m 4 (mod) Kasus 1: S V(P m ) Untuk setiap P i,m, bilangan dominasi jarak dua pada P m adalah γ 2 (P m ) = m. Karena m 4 (mod ) dan m Z+, maka γ 2 (P m ) = m+1. Karena terdapat n buah P m pada graf C n P m, maka batas atas bilangan dominasi jarak dua padac n P m adalah γ 2 (C n P m ) n(γ 2 (P m )) = n(m+1). Kasus 2: S V(P m ) V(C n ) Karena m (mod ), maka terlebih dahulu ditentukan bilangan dominasi jarak dua pada P m 4. Sama seperti pembuktian sebelumnya, maka γ 2 (P m 4 ) = m 4. Sehingga untuk n buah P m 4 maka bilangan dominasi jarak duanya adalah n(m 4). Sedangkan tiga simpul pada setiap P m yang belum terdominasi salah satunya merupakan simpul-simpulv(c n ). Sehingga himpunan simpul yang belum terdominasi terdiri dari n buah graf P 4 dengan salah satu simpul ujungnya terhubung. Karena jarak terjauh untuk setiap simpulc n pada simpulp m yang belum terdominasi sama dengan, maka jika diambil simpul C n sebagai elemen S 2 mengakibatkan banyaknya himpunan dominasi yang dibutuhkan untuk menjangkau simpul-simpul yang belum terdominasi tidak akan minimum, karena akan dibutuhkan lebih dari n simpul untuk menjangkau simpul-simpul yang belum terdominasi tersebut. Sehingga untuk kasus ini minimal diambil satu simpul untuk masing-masing P 4 dan bukanv i,1 atau punv i,4, karenad(v i,1,v i,4 ) =. Dengan demikian dibutuhkan minimal n simpul dengan masing-masing simpul dapat mendominasi 4 simpul, simpul yang dapat diambil sebagai elemen S 2 yaitu simpul v i,2 atau v i,. Sehingga bilangan dominasi jarak dua pada graf C n P m adalah γ 2 (C n P m ) n(m 4) +n. Kasus 1 dan 2 menunjukkan bilangan dominasi jarak dua minimal yang sama. Sehingga batas atas bilangan dominasi jarak dua padap m P n yaituγ 2 (P m P n ) n(m 4) n. Andaikan n(m 4) + n bukan bilangan dominasi jarak dua yang minimal. Misalkan γ 2 (P m P n ) n(m 4) + n 1 dengan mengambil sebarang satu simpul pada P m sedemikian tidak lagi menjadi elemen S 2. Hal ini mengaki- 67

81 batkan banyak simpul maksimal yang dapat didominasi adalah ( n(m 4) ) 1 +n 4 = nm < nm. Dengan demikian terdapat beberapa simpul yang tidak dapat didominasi. Sehinggaγ 2 (C n P m ) n(m 4) +n 1 dan terbukti bahwaγ 2 (C n P m ) = n(m 4) +n atau γ 2 (C n P m ) = n(m+1). Dari kelima pembuktian di atas terbukti bahwa bilangan dominasi jarak dua pada C n P m untuk m 0 (mod ), m (mod ), dan m 4 (mod ) dapat disimpulkan bahwa γ 2 (C n P m ) = n m. Untuk m 1 (mod ), γ 2(C n P m ) = n m + n, sedangkan untukm 2 (mod), γ 2(C n P m ) = n m + n. Teorema Diberikan dua buah graf lingkaran C n dan C m dengan masingmasing ordernya n dan m untuk n,m. Maka bilangan dominasi jarak dua pada graf hasil operasi comb C n C m adalah nm jika m 0 (mod ), m 4 (mod ) γ 2 (C n C m ) = n m + n jika m 1 (mod ) n m + n jika m 2 (mod ),m (mod ) Bukti: MisalkanV(C n C m ) = {V i,j 1 i n,1 j m} dan C n C m = nm. Graf C n C m dapat dilihat pada Gambar Berdasarkan definisi operasi comb, maka simpul ujung C m yang melekat pada graf C n dapat dikatakan sebagai simpul-simpul C n atau pun simpul-simpul C m. Oleh karena itu, untuk menunjukkan banyak simpul minimal yang menjadi elemen himpunan dominasi jarak satu pada graf C n C m, maka untuk masing-masing nilai m akan dibagi menjadi dua kasus. Kasus pertama jika simpul-simpuls 2 hanya diambil dari simpul-simpulc m, sedangkan kasus kedua jika S 2 diambil dari V(C m ) V(C n ) dengan ketentuan simpul S 2 diambil terlebih dahulu dari V(C m ) sebanyak kelipatan, karena satu simpul elemen S 2 pada C m dapat mendominasi maksimal simpul. Kemudian dilanjutkan pada simpul-simpulv(c n ) yang terhubung atau memiliki jarak terkecil denganv(c m ) yang belum terdominasi. 68

82 1. m 0 (mod) Ambil S 2 V(C m ), karena m Z + dengan m 0 (mod ) dan γ 2 (C m ) = m, maka bilangan dominasi jarak dua pada setiap C i,m adalah γ 2 (C m ) = m dan dapat ditulis γ 2(C m ) = m. Karena terdapat n buah C m pada graf C n C m, maka batas atas bilangan dominasi jarak dua pada C n C m adalah γ 2 (C n C m ) n(γ 2 (C m )) = nm. v 1, v 1,6 v 1,7 v 7,7 v 7,6 v 7, v n,6 v n,vn,4 v 7,8 v 7,9 v 7,4 v 7,2 v 6,7 v 6,8 v n,vn,2 v 7, v 6,6 v n,7 v n,8 v 6,9 v 6,m v 7,m v 6, v 6,4 v n,9 v 1,4 v 1, v n,m v n,1 v 1,1 v 7,1 v,1 v 6,1 v 6,2 v,m v 6, v,9 v,8 v,1 v 1,8 v 1,9 v 1,m v 1,2 v 2,2 v 2,1 v 4,1 v,4 v 2, v 2,4 v 2, v 2,6 v 2,m v 2,9 v 4,m v v 4,9,2 v 4,8 v, v 2,8 v 2,7 v,2 v, v,4 v 4,7 v 4,6 v, v,6 v,9 v v,m v,7,8 v 4,2 v 4, v 4,4 v 4, v,7 v,6 v, Gambar 4.16: Graf C n C m untuk m 0 (mod ) dengan Simpul-Simpul Warna Putih Merupakan Simpul Elemen Himpunan Dominasi Jarak Dua Untuk menunjukkan apakah nm merupakan bilangan dominasi yang minimum pada grafc n C m, dimisalkanγ 2 (C n C m ) nm 1. Karena setiap simpul elemen S 2 dapat mendominasi maksimal simpul, maka banyak simpul yang dapat didominasi jikaγ 2 (C n C m ) mn ( nm ) 1 = nm < nm. 1 adalah Order dari grafc n C m lebih besar dari banyak simpul yang dapat didominasi. Hal ini menunjukkan γ 2 (C n C m ) nm 1, sehingga terbukti bahwa nm adalah bilangan dominasi jarak dua yang minimal pada graf C n C m. Oleh 69

83 karena itu,γ 2 (C n C m ) = nm. Simpul-simpul yang berwarna putih pada Gambar 4.16 merupakan contoh simpul-simpul elemen S 2 pada C n C m untuk m 0 (mod ). Jika sebarang simpul v i,m 2 tidak termasuk simpul-simpul elemen S 2, maka simpul-simpul yang tidak didominasi oleh simpul manapun elemens 2 adalah simpulv i,m 4,v i,m,v i,m 2,v i,m 1 dan v i,m. 2. m 1 (mod ) Kasus 1: S 2 V(C m ) Untuk setiap C i,m, bilangan dominasi jarak dua pada C m adalah γ 2 (C m ) = m. Karena m 1 (mod ) dan m Z+, maka γ 2 (C m ) = m+4. Karena terdapat n buah C m pada graf C n C m, maka batas atas bilangan dominasi jarak dua padac n C m adalah γ 2 (C n C m ) n(γ 2 (C m )) = n(m+4). Kasus 2: S 2 V(C m ) V(C n ) Sebagaimana Teorema 4.9, maka γ 2 (C m 1 ) = m 1 dan dapat ditulis γ 2 (C m 1 ) = m 1, karena m 1 (mod ) dan m Z+. Sehingga untuk n buah C m 1 maka bilangan dominasi jarak duanya adalah n(m 1). Sedangkan satu simpul pada C m yang belum terdominasi yang juga merupakan simpulsimpul V(C n ) memiliki bilangan dominasi n. Dengan demikian bilangan dominasi pada grafc n C m adalah γ 2 (C n C m ) n(m 1) + n. Kasus 1 dan 2 menunjukkan bahwa n(m 1) + n n(m+4), sehingga diambil batas atas yang minimal untuk bilangan dominasi jarak dua pada C n C m, yaituγ 2 (C n C m ) n(m 1) + n. Andaikan n(m 1) + n bukan bilangan dominasi jarak dua yang minimal danγ 2 (C n C m ) n(m 1) + n 1. Karena setiap simpul maksimal dapat mendominasi simpul, maka banyak simpul yang dapat didominasi adalah ( n(m 1) + n 1), karena n Z+ dan n 0 (mod ), maka n = n. Oleh karena itu, ( n(m 1) n + ) ( n(m 1) 1 = + n ) 1 = nm < nm. Dengan demikian, simpul yang terdominasi kurang dari banyaknya simpul pada C n C m, maka terdapat beberapa simpul yang tidak dapat didominasi. Sehinggaγ 2 (C n C m ) n(m 1) + n 1 dan terbukti bahwaγ 2(C n C m ) = n(m 1) + n. 70

84 . m 2 (mod) Kasus 1: S 2 V(C m ) Untuk setiap C i,m, bilangan dominasi jarak dua pada C m adalah γ 2 (C m ) = m, karena m 2 (mod ) dan m Z+, maka γ 2 (C m ) = m+. Karena terdapat n buah C m pada graf C n C m, maka batas atas bilangan dominasi jarak dua padac n C m adalah γ 2 (C n C m ) n(γ 2 (C m )) = n(m+). Kasus 2: S 2 V(C m ) V(C n ) Karena m 2 (mod ), maka terlebih dahulu ditentukan bilangan dominasi jarak dua pada C m 2. Seperti pada pembuktian-pembuktian sebelumnya, maka γ 2 (C m 2 ) = m 2. Karena m 2 (mod ) dan m Z+, maka γ 2 (C m 2 ) = m 2. Sehingga untuk n buah C m 2 maka bilangan dominasi jarak duanya adalah n(m 2). Sedangkan dua simpul pada setiapc m yang belum terdominasi salah satunya merupakan simpul V(C n ). Sehingga himpunan simpul yang belum terdominasi sama dengan grafc n yang masingmasing simpulnya terhubung dengan sebuah simpul. Simpul-simpul tersebut isomorfis dengan graf C n G 1, sehingga menurut Teorema 4.11, γ 2 (C n G 1 ) = n. Dengan demikian bilangan dominasi pada graf C n C m adalah γ 2 (C n C m ) n(m 2) + n. Kedua kasus di atas menunjukkan n(m 2) + n n(m+), sehingga diambil batas atas minimal untuk bilangan dominasi jarak dua pada C n C m, yaitu γ 2 (C n C m ) n(m 2) + n. Selanjutnya, jika dimisalkan n(m 2) + n bukan bilangan dominasi yang minimal. Andaikan γ 2 (C n C m ) n(m 2) + n 1. Karena setiap simpul maksimal dapat mendominasi simpul, maka banyak simpul maksimal yang dapat didominasi adalah ( n(m 2) + n 1). ( n(m 2) n + ) 1 < ( n(m 2) ( n ) + +1 = nm 2n+ n. ) 1 Karenanm 2n+ n < nm, maka terdapat beberapa simpul yang tidak dapat didominasi. Sehingga γ 2 (C n C m ) n(m 2) + n 1 dan terbukti bahwa γ 2 (C n C m ) n(m 2) + n. 71

85 4. m (mod ) Kasus 1: S 2 V(C m ) Untuk setiap C i,m, bilangan dominasi jarak dua pada C m adalah γ 2 (C m ) = m, karena m (mod ) dan m Z+, maka γ 2 (C m ) = m+2. Karena terdapat n buah C m pada graf C n C m, maka batas atas bilangan dominasi jarak dua padac n C m adalah γ 2 (C n C m ) n(γ 2 (C m )) = n(m+2). Kasus 2: S 2 V(C m ) V(C n ) Karena m (mod ), maka terlebih dahulu ditentukan bilangan dominasi jarak dua pada C m. Sama seperti pembuktian sebelumnya, maka γ 2 (C m ) = m. Karena m (mod ) dan m Z+, maka γ 2 (C m ) = m. Sehingga untuk n buah C m maka bilangan dominasi jarak duanya adalah n(m ). Sedangkan tiga simpul pada setiap C m yang belum terdominasi salah satunya merupakan simpul-simpul V(C n ). Karena derajat V(C n ) 4, dan dua tetangganya merupakan simpul-simpul pada Ci,m, maka dua simpul pada C m yang belum terdominasi selain simpul V(C n ) diambil yang jaraknya satu ke setiap V(C n ). Sehingga himpunan simpul yang belum terdominasi isomorfis dengan grafc n G 2,G 2 pada graf ini merupakan dua simpul tidak terhubung yang dikoronakan dengan graf lingkaran C n. Sehingga berdasarkan Teorema 4.11 simpul-simpul tersebut memiliki bilangan dominasi sama dengan n. Dengan demikian bilangan dominasi jarak dua pada grafc n C m adalah γ 2 (C n C m ) n(m ) + n. Karena n(m ) + n n(m+2) maka diambil batas atas yang minimum, yaitu bilangan dominasi jarak dua padac n C m adalahγ 2 (C n C m ) n(m ) + n. Selanjutnya, jika n(m ) + n bukan bilangan dominasi yang minimal, misalkanγ 2 (C n C m ) n(m ) + n 1. Karena setiap simpul elemens 2 pada C m maksimal dapat mendominasi simpul dan setiap simpul S 2 pada C n dapat mendominasi maksimal9simpul, maka jika diambil sebuah simpul dari n(m ) simpul yang bukan elemen S 2, yaitu simpul elemen S 2 pada C n mengakibatkan banyak simpul maksimal yang dapat didominasi adalah ( n(m ) )+( n 1)9. 72

86 ( n(m ) ) ( n ) < ( n(m ) = nm n+n = nm. ) ( n ) Karena simpul yang dapat didominasi kurang dari order pada C n C m, sehingga dapat disimpulkan bahwa terdapat beberapa simpul yang tidak dapat didominasi. Oleh karena itu, γ 2 (C n C m ) n(m ) + n 1 dan terbukti bahwaγ 2 (C n C m ) = n(m ) + n.. m 4 (mod) Kasus 1: S 2 V(C m ) Untuk setiap C i,m, bilangan dominasi jarak dua pada C m adalah γ 2 (C m ) = m, karena m 4 (mod ) dan m Z+, maka γ 2 (C m ) = m+1. Karena terdapat n buah C m pada graf C n C m, maka batas atas bilangan dominasi jarak dua padac n C m adalah γ 2 (C n C m ) n(γ 2 (C m )) = n(m+1). Kasus 2: S 2 V(C m ) V(C n ) Karena m 4 (mod ), maka terlebih dahulu ditentukan bilangan dominasi jarak dua pada C m 4. Sama seperti pembuktian sebelumnya, maka γ 2 (C m 4 ) = m 4. Sehingga untuk m buah C m 4 maka bilangan dominasi jarak duanya adalah n(m 4). Sedangkan empat simpul pada setiap C m yang belum terdominasi salah satunya merupakan simpul-simpul V(C n ). Karena derajat V(C n ) 4, dan dua tetangganya merupakan simpul-simpul pada C i,m, maka sebuah simpul pada C m yang belum terdominasi selain simpul V(C n ) dan dua simpul yang bertetangga denganv(c n ) adalah simpul dengan jarak kev(c n ) sama dengan dua. Sehingga ambil semua simpul padav(c n ) sebagai elemen S 2 dan setiap simpul tersebut dapat mendominasi 4 simpul. Dengan demikian bilangan dominasi jarak dua pada graf C n C m adalah γ 2 (C n C m ) n(m 4) +n. Kasus 1 dan 2 menunjukkan bilangan dominasi jarak dua minimal yang sama. Sehingga kita dapat mengambil batas atas bilangan dominasi jarak dua pada C n C m yaituγ 2 (C n C m ) n(m 4) +n. Andaikan n(m 4) + n bukan bilangan dominasi jarak dua yang minimal. Misalkan γ 2 (C n C m ) n(m 4) + n 1, dengan mengambil sebarang satu 7

87 simpul pada C m sedemikian tidak lagi menjadi elemen S 2. Hal ini mengakibatkan banyak simpul maksimal yang dapat didominasi adalah ( n(m 4) ) 1 +n 4 = nm < nm. Dengan demikian terdapat beberapa simpul yang tidak dapat didominasi. Sehinggaγ 2 (C n C m ) n(m 4) +n 1 dan terbukti bahwaγ 2 (C n C m ) = n(m 4) +n atau γ 2 (C n C m ) = n(m+1). Kelima pembuktian untuk masing-masing nilai n di atas menunjukkan bilangan dominasi jarak dua pada C n C m yang berbeda-beda. Akan tetapi beberapa bilangan dominasi dengan nilai n tertentu dapat direduksi, misalnya untuk m 0 (mod) danm 4 (mod) dapat disimpulkan bahwaγ 2 (C n C m ) = n m, untuk m 1 (mod),γ 2 (C n C m ) = n m + n, sedangkan untukm 2 (mod) dan m (mod),γ 2 (C n C m ) = n m + n. x 1,1 x 1,2 x 1,m 1 x n,m 1 x n,1 x n,2 x n x 1 x 2,1 x 2,2 x 2,m 1 x 2 v n v 1 v 2 x 7,m 1 x 7,2 x 7,1 x 7 v 7 v x x,1 x,2 x,m 1 v 6 v 4 x 6 v x 6,m 1 x 6,2 x 6,1 x x 4 x 4,2 x 4,m 1 x 4,1 x,m 1 x,2 x,1 Gambar 4.17: Graf C n S m dengan Simpul C n Merupakan Simpul Elemen Himpunan Dominasi Jarak Dua 74

88 Teorema Diberikan graf lingkaranc n dan graf bintang S m dengan masingmasing ordernya n dan m untuk n,m. Maka bilangan dominasi jarak dua pada graf hasil operasi comb C n S m adalahγ 2 (C n S m ) = n. Bukti: Graf C n S m adalah graf yang diperoleh dengan melekatkan salah satu simpul pendat dari masing-masing graf S m kopian ke-i pada setiap simpul graf C n sepeti yang ditunjukkan Gambar Maka C n S m = n(m+1). Berdasarkan Observasi 4.1 diketahui bahwa γ 2 (S m ) = 1. Karena terdapat n kopi graf S m pada C n S m, maka maksimal terdapat n simpul elemen himpunan dominasi jarak dua. Sehingga dapat dituliskan bahwa S 2 = γ 2 (C n S m ) n. Andaikan γ 2 (C n S m ) n 1, maka terdapat S m kopian ke-i yang semua simpulnya bukan elemen himpunan dominasi jarak dua. Seperti yang diketahui bahwa graf Bintang S m memiliki diameter sama dengan 2. Sehingga pastilah terdapat v i elemen S m sedemikian d(v i,s 2 ) > 2. Oleh karena itu, S 2 n 1, sehingga n adalah bilangan dominasi jarak dua minimum pada graf C n S m. Dengan demikian terbukti bahwa S 2 = γ 2 (C n S m ) = n. Contoh Himpunan dominasi minimum pada graf C n S m dapat dilihat pada Gambar Pada gambar tersebut simpul-simpul S 2 diambil dari simpul-simpul V(C n ). 4.4 Perbandingan Bilangan Dominasi Jarak Satu dan Jarak Dua Berdasarkan hasil yang diperoleh pada subbab 4.1 sampai 4., dapat dituliskan kembali hasil mengenai bilangan dominasi jarak satu dan jarak dua untuk masingmasing graf baik graf khusus maupun graf hasil operasi seperti pada Tabel 4.1 dan Tabel 4.2. Dari kedua tabel tersebut dapat dilihat bahwa secara umum tidak dapat disimpulkan perbandingan antara bilangan dominasi jarak satu dengan bilangan dominasi jarak dua pada suatu graf. Bahkan untuk graf yang sama juga tidak dapat ditentukan perbandingan yang spesifik untuk nilai bilangan dominasi jarak satu dan jarak duanya. Sebagai contoh, menurut Goddard dan Henning (2006) graf Lintasan P m memiliki bilangan dominasi jarak satu yaituγ = m, pada penelitian ini diketahui bilangan dominasi jarak dua pada graf LintasanP m adalah γ 2 (P m ) = m. Sedangkan graf Bintang seperti yang diketahui memiliki bilangan dominasi jarak satu dan jarak dua yang sama yaitu γ(s n ) = γ 2 (S n ) = 1. Begitu juga untuk graf hasil operasi, graf hasil operasi comb antara graf Lintasan dengan graf Bintang 7

89 memiliki bilangan dominasi jarak satu dan jarak dua yang sama. Akan tetapi tidak berlaku untuk P m P n dan P m C n serta graf yang lainnya. Beberapa hal yang dapat diamati seperti pada Observasi 4.1 dan Observasi 4.2 yang menyebabkan tidak adanya perbandingan secara umum antara bilangan dominasi jarak satu dan jarak dua pada suatu graf seperti berikut ini. Tabel 4.1: Ringkasan Bilangan Dominasi Jarak Satu pada Graf Hasil Operasi No. Graf Bilangan Dominasi Jarak Satu 1. G m H n γ(g m H n ) = m { m n jika n 0 (mod ) dan n 2 (mod ) 2. P m P n γ(p m P n ) = m n + m jika n 1 (mod ) { m n jika n 0 (mod ) dan n 2 (mod ). P m C n γ(p m C n ) = m n + m jika n 1 (mod ) 4. P m S n γ(p m S n ) = m { n m jika m 0 (mod ) dan m 2 (mod ). C n P m γ(c n P m ) = n m + n jika m 1 (mod ) { n m jika m 0 (mod ), m 2 (mod ) 6. C n C m γ(c n C m ) = n m + n jika m 1 (mod ) 7. C n S m γ(c n S m ) = n 1. Jarak dan pemilihan simpul Jarak sangat berkaitan dengan definisi bilangan dominasi jarak satu dan bilangan dominasi jarak dua. Perbedaan definisi bilangan dominasi jarak satu dan jarak dua hanya terletak pada jarak simpul yang merupakan elemen himpunan dominasi ke setiap simpul graf. Untuk bilangan dominasi jarak dua, jarak setiap simpul pada suatu graf ke simpul-simpuls 2 kurang dari atau sama dengan dua. Sehingga terdapat kemungkinan jika bilangan dominasi jarak dua pada suatu graf sama dengan bilangan dominasi jarak satunya. Oleh karena itu, sebarang simpul dalam suatu graf dapat dipilih sebagai elemen S maupun S 2 asalkan dapat menjangkau semua simpul dengan jarak sama dengan satu untuks 1 dan jarak maksimal sama dengan dua untuks 2. Gambar 4.18 (a.) merupakan contoh simpul elemen himpunan dominasi jarak satu yaituγ(g) = 1 dengan S = {u}, sedangkan Gambar 4.18 (b.) menunjukkan contoh simpul elemen himpunan dominasi jarak dua yang dapat diambil dari u atau simpul v dengan γ 2 (G) = 1. Karena meskipun jika diambil v sebagai 76

90 elemen S 2, d(v,v(g)) 2 sehingga tetap memenuhi definisi bilangan dominasi jarak dua. Tabel 4.2: Ringkasan Bilangan Dominasi Jarak Dua pada Graf Sederhana dan graf Hasil Operasi No. Graf Bilangan Dominasi Jarak Dua 1. P m γ 2 (P m ) = m 2. C n γ 2 (C n ) = n. P m G n γ 2 (P m G n ) = m 4. C n H m γ 2 (C n H m ) = n m n jika n 0 (mod ), n (mod ) n 4 (mod ). P m P n γ 2 (P m P n ) = m n + m jika n 1 (mod ) m n + m jika n 2 (mod ) m n jika n 0 (mod ), n 4 (mod ) 6. P m C n γ 2 (P m C n ) = m n + m jika n 1 (mod ) m n + m jika n 2 (mod ),n (mod ) 7. P m S n γ 2 (P m S n ) = m n m jika m 0 (mod ),m (mod ), n 4 (mod ). C n P m γ 2 (C n P m ) = 8. C n C m γ 2 (C n C m ) = n m + n jika m 1 (mod ) n m + n jika m 2 (mod ) 9. C n S m γ 2 (C n S m ) = n nm jika m 0 (mod ), m 4 (mod ) n m + n jika m 1 (mod ) n m + n jika m 2 (mod ),m (mod ) 77

91 v w x y v w x y v w x y u u u G G G (a.) Gambar 4.18: Graf dengan Bilangan Dominasi Jarak Satu dan Jarak Dua yang Sama dan Pemilihan Simpul Elemen Himpunan Dominasi yang Beragam (b.) u 1 u 2 u u 4 v 1 v 2 v v 4 u 1 u 2 u u 4 v 1 v 2 v v 4 u H (a.) v u H (c.) v Gambar 4.19: Graf dengan Simpul Elemen Himpunan Dominasi Terletak pada Simpul dengan Derajat Terbesar 2. Derajat (degree) Derajat setiap simpul juga merupakan salah satu hal yang perlu dipertimbangkan dalam pemilihan simpul himpunan dominasi pada suatu graf. Simpul dengan derajat maksimal diasumsikan dapat menjangkau lebih banyak simpul dari pada simpul dengan derajat yang minimal. Sebagai ilustrasi dapat dilihat pada Gambar 4.19, graf H pada gambar tersebut merupakan graf dengan γ 2 (H) = 1. Simpul elemen S 2 dapat diambil dari simpul u atau simpul v yaitu simpul dengan derajat terbesar. Sedangkan jika simpul S 2 diambil dari simpul dengan derajat yang minimal misalkan u 1, maka γ 2 (H) 1 karena v 1,v 2,v,v 4 tidak akan dapat terdominasi oleh u 1. Akan tetapi hal ini tidak selalu menjamin bahwa simpul dengan derajat minimal tidak dapat diambil sebagai elemen himpunan dominasi. Misalnya pada Gambar 4.20 yaitu graf Lintasan P 4, bilangan dominasi jarak satu pada Lintasan P 4 adalah γ(p 4 ) = 2, baik pada Gambar 4.20 (a.) maupun Gambar 4.20 (b.) menunjukkan simpul elemen himpunan dominasi jarak satu merupakan dua simpul yang berwarna putih. Akan tetapi pada gambar yang pertama diambil simpul-simpul ujung yaitu simpul dengan derajat 78

92 sama dengan satu, sedangkan untuk gambar yang kedua salah satu simpul elemen S diambil dari simpul dalam P 4 yaitu simpul dengan derajat sama dengan dua. Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa derajat maksimal terkadang mempengaruhi pemilihan himpunan dominasi pada suatu graf. Sehingga bilangan dominasi baik jarak satu maupun jarak dua pada suatu graf tergantung pada karakter graf masing-masing. (a.) (b.) Gambar 4.20: Graf dengan Pemilihan Simpul Elemen Himpunan Dominasi yang Beragam 79

93 BAB V SIMPULAN DAN SARAN.1 Simpulan Berdasarkan hasil penelitian mengenai bilangan dominasi jarak satu dan dua, baik pada graf sederhana maupun graf hasil operasi diperoleh hasil sebagai berikut. 1. Graf Lintasan, Lingkaran, dan Bintang memiliki bilangan dominasi jarak dua berturut-turutγ 2 (P m ) = m, γ 2(C n ) = n, dan γ 2(S n ) = Graf Lintasan, Lingkaran, dan Bintang yang dikoronakan memiliki bilangan dominasi jarak satu γ(p m P n ) = γ(p m C n ) = γ(p m S n ) = m serta γ(c n P m ) = γ(c n C m ) = γ(c n S m ) = n.. Graf Lintasan, Lingkaran, dan Bintang yang dikoronakan memiliki bilangan dominasi jarak dua γ 2 (P m P n ) = γ 2 (P m C n ) = γ 2 (P m S n ) = m sertaγ 2 (C n P m ) = γ 2 (C n C m ) = γ 2 (C n S m ) = n. 4. Bilangan dominasi jarak satu dan dua pada graf hasil operasi comb antara graf Lintasan dan Bintang adalah γ(p m S n ) = γ 2 (P m S n ) = m. Bilangan dominasi jarak satu dan dua pada graf hasil operasi comb antara graf Lingkaran dan Bintang adalah γ(c n S m ) = γ 2 (C n S m ) = n 6. Bilangan dominasi jarak satu pada graf hasil operasi comb antara graf Lintasan dan Lingkaran antara lain: { m n jikan 0 (mod ) dan n 2 (mod ) a. γ(p m P n ) = m n + m jikan 1 (mod ) { m n jikan 0 (mod ) dan n 2 (mod ) b. γ(p m C n ) = m n + m jikan 1 (mod ) { n m jikam 0 (mod ) dan m 2 (mod ) c. γ(c n P m ) = n m + n jikam 1 (mod ) { n m jikam 0 (mod ),m 2 (mod ) d. γ(c n C m ) = n m + n jikam 1 (mod ) 81

94 7. Bilangan dominasi jarak dua pada graf hasil operasi comb antara graf Lintasan dan Lingkaran antara lain: m n jikan 0 (mod ),n (mod ), n 4 (mod ) a. γ 2 (P m P n ) = m n + m jikan 1 (mod ) m n + m jikan 2 (mod ) m n jikan 0 (mod ),n 4 (mod ) b. γ 2 (P m C n ) = m n + m jikan 1 (mod ) m n + m jikan 2 (mod ),n (mod ) n m jikam 0 (mod ),m (mod ), n 4 (mod ) c. γ 2 (C n P m ) = d. γ 2 (C n C m ) = n m + n jikam 1 (mod ) n m + n jikam 2 (mod ) nm jikam 0 (mod ), m 4 (mod ) n m + n jikam 1 (mod ) n m + n jikam 2 (mod ),m (mod ) 8. Bilangan dominasi jarak satu dan jarak dua pada suatu graf tidak memiliki.2 Saran relasi atau perbandingan secara umum. Hal ini dikarenakan oleh beberapa faktor, seperti jarak antar simpul, pemilihan simpul elemen himpunan dominasi, derajat setiap simpul, diameter dan sebagainya. Pada penelitian ini bilangan dominasi yang diperoleh dari graf hasil operasi comb masih sebatas satu cara pelekatan simpul. Oleh karena itu, bagi para peneliti yang ingin melanjutkan penelitian tentang bilangan dominasi pada graf disarankan untuk mencari bilangan dominasi pada graf hasil operasi comb dengan aturan pelekatan simpul secara umum dengan graf-graf yang lebih beragam atau dapat menggunakan jenis operasi yang lain. 82

95 DAFTAR PUSTAKA Chartrand, G. dan Lesniak, L., (1996), Graphs and Digraph, rd edition, Chapman & Hall/CRC, 2-6 Boundaru Row, London SE1 8HN, UK. Go, C. dan Canoy S., (2011), Domination in The Corona and Join of Graphs International Mathematical Forum, Vol.6, No.16, hal Artikel ini didapat dari: /goIMF pdf Goddard, W., Henning, M.A. (2006), Independent Domination in Graphs: A Survey and Recent Results, University of Johannesburg, South Africa. Artikel ini didapat dari: science/article/pii/s00126x Gravier, S. (2002), Total Domination Number of Grid Graph Discrete Applied Mathematics, No.121, hal Artikel ini didapat dari: X Gross, J. dan Yellen J., (2006), Graph Theory and Its Applications, Chapman & Hall/CRC, FL Boca Raton, London. Harary, F., Frucht, R. (1970), On The Corona Of Two Graphs, Aequationes Mathematicae, hal Buku ini dapat diakses di: blue.lib.umich.edu/bitstream/handle/ /4426/ 10_2;jsessionid=CC20C7EA64AB7E09F041CB72646C8? sequence=1. Haynes, W. Teresa. (1996), Fundamental of Dominations in Graphs, New York: Marcel Dekker, Inc. Buku ini dapat diakses di: com/fundamentals-domination-chapman-applied-mathe matics/dp/ Klavžar, S. (199), Dominating Cartesian Product of Cycles, Discrete Applied Mathematics, No.9, hal Artikel ini didapat dari: 8

96 sciencedirect.com/science/article/pii/ x9e01 67W. Mursyidah, H., Rahmawati, S. (2014), Dominating Number dari Graf Hasil Operasi Korona Graf Lintasan dengan Graf Sikel dan sebaliknya, Tidak Dipublikasikan, Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya. Saputro, S. W., Mardiana, N., dan Purwasi, I.A. (201), The Metric Dimension of Comb Product Graph, Graph Theory Conference in Honor of Egawa 60th Birthday. Artikel ini didapat dari: egawa_60th_birthday/abstract/contributed_talk/ Suhadi_Wido_Saputro.pdf. Slamin, (2009), Desain Jaringan: Press, Jember. Pendekatan Teori Graf, Jember University Snyder, K. (2011), c- Dominating Sets for Families of Graphs, University of Mary Washington. Artikel ini didapat dari: files/2011/10/kelsiesnydermetamorphosis.pdf. Subiono, (201), Aljabar: Sebagai suatu Fondasi Matematika Versi 1.0.0, Modul Mata Kuliah Aljabar. 84

97 BIOGRAFI PENULIS Penulis bernama Reni Umilasari, lahir di Jember, 28 Juli 1991, merupakan putri terakhir dari dua bersaudara. Penulis menempuh pendidikan formal di SDN Balung Kulon ( ), SMPN 1 Balung ( ) dan SMAN Ambulu ( ). Setelah lulus dari SMA penulis melanjutkan studi ke Program Studi Pendidikan Matematika, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Jember melalui jalur SNMPTN 2009 hingga akhirnya dinyatakan lulus pada bulan Februari 201 dan mendapat predikat Cum Laude. Kemudian penulis melanjutkan studi magister di Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya dengan menerima Beasiswa Program Pascasarjana Dalam Negeri (BPPDN) DIKTI sebagai calon dosen pada tahun 201. Bidang minat yang ditekuni penulis selama studi baik S1 maupun S2 adalah Teori Graf. Untuk kritik dan saran yang berhubungan dengan tesis ini, penulis dapat dihubungi melalui reni.umilasari@gmail.com 81