Acara 6. Perancangan Perlakuan: Percobaan Faktorial Lengkap

Transkripsi

1 Acara 6. Perancangan Perlakuan: Percobaan Faktorial Lengkap Tujuan : Mahasiswa dapat melakukan perancangan perlakuan dan mengerjakan analisis varians yang sesuai dengan rancangan tersebut Mahasiswa dapat mengerjakan rancangan percobaan faktorial, melakukan analisis, serta menafsirkan hasilnya sesuai dengan model rancangan tersebut Acara 5 mempelajari bagaimana grup-grup perlakuan dapat dibuat terstruktur ataupun tidak. Dalam percobaan, struktur grup-grup perlakuan dibuat untukk membantu menjawab hipotesis-hipotesis ikutan secara sistematis. Strukturisasi perlakuan dikenal sebagai rancangan perlakuan (untuk membedakan dari rancangan lingkungan yang fungsinya adalah mengendalikan sesatan). Salah satu golongan rancangan perlakuan yang paling sering digunakan adalah apa yang dikenal sebagai keluarga rancangan faktorial, yang mengombinasi dua atau lebih faktor. Dalam percobaan, faktor adalah peubah terkendali berupa sekumpulan perlakuan yang memiliki ciri (kategori) yang sama. Acara-acara kita terdahulu membicarakan percobaan satu faktor. Dalam struktur faktorial, suatu faktor memiliki sejumlah perlakuan yang masing-masing disebut aras (Bhs. Inggris: level). Percobaan faktorial dengan dua faktor berarti mengombinasi/memasangkan satu aras faktor pertama dengan satu aras dari faktor kedua. Apabila semua aras pada satu faktor berpasangan dengan semua aras dari faktor yang lainnya, kita menyebutnya faktorial lengkap. Dilihat dari bagaimana kombinasi pasangan aras dibuat, ada dua kelompok percobaan faktorial lengkap, yaitu (1) berstruktur tersarang dan (2) berstruktur tersilang. Rancangan berstruktur Tersarang tidak akan dibahas dalam praktikum.

2 Rancangan Perlakuan dengan Struktur Tersilang (Crossed) Pada acara ini, akan dibahas ketika rancangan perlakuannya lebih dari satu faktor (faktorial), yang memiliki dua variasi: struktur tersarang (nested) dan struktur tersilang (cross) Walaupun rancangan tersarang tidak dibahas dalam praktikum ini, ada baiknya untuk mengetahui perbedaan mendasar struktur tersarang dan struktur tersilang karena sekilas nampak sama. Perhatikan skema 1 dan Skema 2. Gunungkidul (A1) Sleman (A2) Bantul (A3) Patuk (B1 A1) Pakem (B4 A2) Srandakan (B7 A3) Playen (B2 A1) Kalasan (B5 A2) Banguntapan (B8 A3) Tepus (B3 A1) Turi (B6 A2) Sedayu (B9 A3) Skema 1: Rancangan tersarang Skema rancangan di atas merupakan skema rancangan tersarang. Pada rancangan tersebut terdapat dua faktor, yaitu Kabupaten (tiga aras) dan Kecamatan (tiga aras). Namun, rancangan tersebut bukanlah struktur tersilang (crossed) karena faktor kecamatan tersarang dalam kabupaten. Kabupaten dan kecamatan tidak saling independen karena aras kecamatan tergantung pada setiap kabupaten. Rancangan faktorial dengan dua faktor tersilang dapat dilihat Skema 2. Mentik Wangi (A1) IR-64 (A2) Urea (B1) Organik (B2) Urea (B1) Organik (B2) Skema 2: Rancangan faktorial tersilang.

3 Skema 2 merupakan skema rancangan tersilang 2 2 karena faktor A, yaitu kultivar, memiliki dua level/aras (Mentik Wangi dan IR-64), dan faktor B, yaitu jenis pupuk, memiliki dua aras juga (Urea dan Organik). Perhatikan bahwa faktor A dan faktor B saling independen. Artinya, aras untuk faktor pupuk tidak tergantung pada faktor kultivar. Singkatnya, dalam rancangan faktorial tersilang semua aras pada suatu faktor akan bertemu dengan aras pada faktor yang lain. Aras urea akan bertemu dengan Mentik Wangi dan IR-64. Berbeda dengan tersarang, aras seperti Kecamatan Playen tidak mungkin bertemu dengan Kabupaten Sleman. Percobaan faktorial pada Skema 2 adalah percobaan faktorial tersilang dua faktor ( Kultivar dan Pupuk ) 2 2 yang merupakan bentuk paling sederhana rancangan faktorial. Rancangan faktorial tidak terbatas hanya dua faktor, tetapi bisa lebih. Sebagai misal, kombinasi Kultivar, Jenis Pupuk, dan Tipe Tanah merupakan jenis rancangan perlakuan faktorial tiga faktor. Namun, semakin banyak faktor yang digunakan, akan semakin kompleks pula pengambil kseimpulannya. Simple effects, Interaction effects, dan Main effects Pada perlakuan faktorial terdapat tiga macam efek perlakuan faktor, yaitu, simple effects (efek sederhana), interaction effects (efek interaksi), dan main effects (efek utama). Untuk memahami ketiga istilah di atas, akan lebih mudah dijelaskan dengan suatu teladan. Data berikut adalah data dengan rancangan lingkungan CRD dan rancangan faktorial 2 2 sehingga disebut CRD faktorial dua faktor. Ini adalah data perubahan/selisih bobot (dalam gram) akibat pemberian pakan tambahan yang merupakan kombinasi protein dan karbohidrat (sumber kalori). Tabel 1. Data perubahan/delta bobot Pakan tambahan Ulangan Protein tinggi dan kalori tinggi Protein rendah dan kalori rendah Protein tinggi dan kalori rendah Protein rendah dan kalori tinggi Dari tabel tersebut, dapat dibuat tabel 2.

4 Tabel 2. Perhitungan simple effects dan interaction effects data Tabel 1. Kalori B Simple effect Kalori Protein (A) Tinggi (B 1) Rendah (B 2) μ[a i B] Tinggi (A 1) 8 20 Rendah (A 2) Simple effect Protein μ[ab j ] Simple effect protein pada kalori tinggi μ[ab 1 ] = μ 21 μ 11 Simple effect protein pada kalori rendah μ[ab 2 ] = μ 22 μ Simple effect kalori pada protein tinggi Simple effect kalori pada protein rendah Efek interaksi μ[ab] μ[a 1 B] = μ 12 μ μ[a 2 B] = μ 22 μ (μ[ab 1 ] μ[ab 2 ]) (μ[a 1B] μ[a 2 B]) 8 Tabel 2 menunjukkan rerata tiap pasangan perlakuan A 1B 1, A 1B 2, A 2B 1, dan A 2B 2, secara berturut-turut 8, 20, 18, dan 14. Simple effect faktor A pada level/aras B ke j dinotasikan dalam bentuk μ[ab j ]. Dengan demikian, sebagai contoh, μ[ab 1 ] merupakan besarnya simple effect protein pada kalori tinggi dengan nilai 10. Simple effect ini mengukur perbedaan selisih bobot antara protein tinggi dan protein rendah ketika yang digunakan kalori tinggi dan rerata selisih bobot dengan protein rendah lebih tinggi daripada protein tinggi ketika yang digunakan kalori tinggi. Begitu pula besarnya simple effect protein pada kalori rendah adalah -6. Artinya, dan rerata selisih bobot dengan protein tinggi lebih tinggi daripada protein rendah ketika yang digunakan kalori rendah. Coba simpulkan simple effect untuk kalori. Efek interaksi dihitung dari selisih dua simple effects (simple effects protein atau simple effects kalori). Ketika efek interaksi bernilai nol, maka tidak ada interaksi pada faktor-faktor yang digunakan. Pada contoh di atas efek interaksi bisa dihitung dengan menghitung selisih simple effects protein ataupun simple effects kalori. Dengan perhitungan tersebut, maka terdapat interaksi antara protein dan kalori karena selisih dua simple effects, dalam hal ini simple effects protein yang dihitung dengan 1 2 (μ[a 1B] μ[a 2 B]) bernilai 8. Main effects atau efek utama adalah rerata dari dua simple effects. Sebagai contoh, main effects protein adalah rerata dari dua simple effects protein, yaitu 1 (12 + ( 4)) = 4. Artinya, 2 besarnya perubahan rerata selisih bobot ketika level/aras protein berubah dari tinggi rendah adalah sebesar 4. Begitu pula dengan kalori, besarnya perubahan rerata selisih

5 bobot ketika level/aras kalori berubah dari tinggi rendah adalah sebesar 2. Untuk lebih memahami simple, interaction, dan main effects, perhatikan grafik interaksi di bawah ini. Grafik 1. Empat skenario pada rancangan perlakuan faktorial 2 2 Berikut tabel rerata untuk masing-masing skenario grafik di atas. Tabel 3. Rerata faktor per skenario Skenario (1) B1 B2 Rerata A Skenario (2) B1 B2 Rerata A A A A A Rerata B Rerata B Skenario (3) B1 B2 Rerata A Skenario (4) B1 B2 Rerata A A A A A Rerata B 10,5 15,5 Rerata B 15,5 13

6 Pada Skenario (1), tidak terdapat interaksi karena rerata selisih simple effects adalah 0, yaitu [(10 12) (18 20)] = 2 ( 2) = 0. Selain itu, kedua garis tersebut paralel yang jelas mengindikasikan tidak ada interaksi. Namun, terdapat signifikansi pada efek utama B karena selisih rerata antar aras faktor B cukup besar yaitu 8. Efek utama A tidak signifikan karena selisih reratanya cukup kecil, yaitu 2. Pada Skenario (2), terdapat interaksi karena rerata selisih simple effects tidak 0, melainkan 4. Namun, tidak ada efek utama yang signifikan karena baik rerata faktor dan faktor B yang mengakibatkan selisihnya 0. Pada Skenario (3), terdapat interaksi karena rerata selisih simple effects bernilai 1. Efek utama yang signifikan hanyalah faktor B karena selisih rerata antar aras faktor B adalah 5. Sedangkan, selisih antar aras faktor A adalah 0. Pada Skenario (4), terdapat interaksi dan kedua efek utama yang signifikan. Efek interaksi bernilai 3,5. Selisih antar aras faktor A adalah 2. Begitu juga untuk faktor B. Dengan demikian, pada skenario ini baik efek interaksi dan efek utama signifikan. Sekarang, coba perhatikan grafik interaksi antara faktor protein dan faktor kalori terhadap perubahan bobot di bawah ini. Jelas, dari grafik maupun tabel 2 menunjukkan adanya efek interaksi. Apakah terdapat efek utama yang signifikan? Coba perkirakan. Grafik 2. Interaksi Protein dan Kalori

7 Pengujian Hipotesis Pengujian hipotesis untuk percobaan faktorial dapat dilihat sebagai kombinasi dua faktor yang lengkap berpasangan aras-arasnya: A 1B 1, A 1B 2, A 2B 1, dan A 2B 2. Jika empat kombinasi ini kita pandang tanpa memperhatikan faktor-faktornya, H 0 yang diuji adalah H 0: μ A1B1 = μ A1B2 = μ A2B1 = μ A2B2 = μ Namun demikian, struktur faktorial yang dibuat membuat kita dapat menggali informasi lebih jauh mengenai i. H 0: ½ (μ A1B1 μ A1B2) = ½ (μ A2B1 μ A2B2)= μ (hipotesis nol mengenai A*B, yaitu interaksi A dengan B). ii. H 0: μ A1 = μ A2 = μ (hipotesis nol mengenai efek A, penyederhanaan dari H 0: ½ (μ A1B1+ μ A1B2)= ½ (μ A2B1+ μ A2B2)=μ), iii. H 0: μ B1 = μ B2 = μ (hipotesis nol mengenai efek B, penyederhanaan dari H 0: ½ (μ A1B1 + μ A2B1) = ½ (μ A1B2 + μ A2B2)= μ), dan Dalam praktik, orang jauh lebih banyak menggunakan struktur tersilang karena informasi yang tersedia lebih banyak, sehingga inilah yang akan kita bahas. ANOVA Faktorial Menggunakan Kontras Analisis varians bagi struktur tersilang dapat mendeteksi keberadaan interaksi, selain pengaruh utama. Dalam contoh kita, pengaruh utama protein, kalori dan interaksi pengaruh protein-kalori dapat diuji dengan hipotesis-hipotesis nol berikut: Pengaruh utama protein: H 0: μ P1 = μ P2; pengaruh utama kalori: H 0: μ K1 = μ K2 ; dan pengaruh interaksi protein-kalori: H 0: (μ P1K1+μ P2K2)/2= (μ P1K2+μ P2K1)/2. Perhatikan bahwa sesungguhnya μ P1=(μ P1K1+μ P1K2)/2, μ K2= (μ P1K2+μ P2K2)/2, dst. Akibatnya, pengaruh utama protein sesungguhnya adalah Kontras1, pengaruh utama kalori sesungguhnya adalah Kontras2, dan pengaruh interaksi adalah Kontras3. Jadi, rancangan faktorial tersilang tidak lain adalah suatu struktur perlakuan yang menerapkan set kontras ortogonal. Pendekatan kontras dapat dilakukan untuk menganalisis struktur faktorial tersilang ini. Sebagai latihan, lakukanlah analisis kontras ortogonal untuk contoh data di atas! Mulailah dengan membuat seri kontras ortogonal (ada tiga kontras, sebut saja kontras1, kontras2, dan kontras3) sesuai dengan tiga hipotesis formal di atas. Bukalah file R untuk acara ini.

8 ANOVA Faktorial Menggunakan Model Linear Model linear rancangan faktorial apabila menggunakan rancangan lingkungan CRD adalah Penduga berbagai komponennya adalah ˆ Y..., Aˆ i Yi.. Y...,, Bˆ j Y. j. Y..., ( AB) Y Y Y Y ˆ ijk ij ijk ij. i.. i. j. j..., dan Y A B ( AB) mengenai blok pada model. Y ijk = ijk ij. Untuk RCBD dan LS Design perlu tambahan komponen Untuk mempelajari pendekatan ini, lengkapi tabel berikut (buatlah di MSExcel, misalnya) Kalori (B) Protein (A) Y i.. A Tinggi Rendah i Tinggi Y 11 Y 12 Rendah Y 21 Y 22 Y.j. ˆ B j Kemudian, seperti biasa, lengkapi tabel berikut: i j k Y ijk Y ij μˆ A i B j ( B ij ˆ ijk Σ () Σ () 2 JK Data JK Perl FK JK P JK K JK P*K JK S Lengkapi tabel analisis varians berikut dan ujilah pengaruh perlakuan:

9 Sumber Keragaman db JK RK F hit Prob F Perlakuan Protein (Main effect A) Kalori (Main effect B) A*B (Interaction effects) Sesatan Total Keuntungan menggunakan model adalah kita dapat secara langsung menggunakan perintah aov pada perangkat lunak, misalnya R. Dengan model linear matematis seperti di atas, baris perintah R yang bersesuaian adalah > hasil~protein+kalori+protein:kalori atau > hasil~protein*kalori Tunjukkan bahwa analisis varians dengan kontras dan dengan model interaksi memberikan hasil yang sama! Penataan dataframe dibuat dengan membuat kolom-kolom terpisah untuk Protein dan Kalori, tidak digabungkan dalam kolom tunggal Perlakuan. Dalam manajemen data selalu gunakan satu kolom hanya untuk satu faktor. Jangan gunakan satu kolom untuk lebih dari satu faktor, misalnya, pada satu kolom ditulis A1B1, A1B2, dan seterusnya. Kolom untuk faktor A dan B harus dipisah sehingga total terdapat dua kolom. Penyajian data yang menggunakan rancangan perlakuan faktorial adalah dengan menggunakan grafik interaksi, bukan menggunakan tabel interaksi saja. Grafik mempermudah kita untuk dapat melihat apakah interaksi signifikan atau tidak seperti yang sudah ditunjukkan pada Grafik 1. Analisis pengaruh sederhana untuk menafsirkan interaksi Jika hipotesis nol mengenai tidak ada pengaruh interaksi (Protein*Kalori) tidak ditolak, analisis lanjutan setelah anova dilakukan terhadap pengaruh utama (main effects), berupa pembandingan rerata (Acara 5 & Acara 7) aras-aras faktor utama yang nyata jika faktornya tidak berstruktur, atau kontras ortogonal aras-aras faktor utama jika faktornya berstruktur (Ingat: Protein maupun Kalori di sini merupakan faktor kualitatif!). Jika interaksi bermakna, analisis dilanjutkan dengan menggabung JK pengaruh utama dengan JK interaksi dan kemudian dipecah kembali menjadi JK pengaruh sederhana faktor pertama (atau kedua) untuk tiap aras faktor kedua (atau pertama) jika aras faktor kedua

10 (pertama) tidak berstruktur. Yang mana yang dipilih mendasarkan hasil analisis dalam kaitan dengan kemudahan dalam mengambil kesimpulan. Perhatikan uji simple effects pada suplemen acara ini. Hasil pengujian pengaruh utama dapat diabaikan jika interaksinya bermakna (nyata) karena interaksi yang bermakna berarti bahwa masing-masing faktornya berpengaruh, tetapi pengaruhnya tergantung faktor yang lainnya. Oleh sebab itu, kita berusaha menjelaskan bagaimana kerjasama kedua faktor yang dicoba. Cara analisisnya tergantung dari macam faktornya, apakah keduanya faktor kualitatif (dengan analisis pengaruh sederhana), atau kuantitatif (dengan model-model regresi permukaan tanggap), atau salah satu faktornya kualitatif dan faktor yang kedua kuantitatif (dengan analisis pengaruh sederhana). Jika faktornya kualitatif, apakah pemilihan grup perlakuannya terstruktur (lanjutan dengan kontras ortogonal pada tiap aras) atau tidak (lanjutan dengan uji pembandingan rerata pada tiap aras).