BAHAN AJAR RISET OPERASI

Transkripsi

1 BAHAN AJAR RISET OERASI Oleh : Miarwati, ST SEKOLAH TINGGI MANAJEMEN INFORMATIKA DAN ILMU KOMUTER EL RAHMA YOGYAKARTA 4

2 BAB I egatar erkembaga Riet Operai Akar dari perkembaga riet operai dapat diteluuri kembali dalam beberapa dekade, dimaa pegguaa pedekata ilmiah dimulai. Bagaimaapu juga, permulaa dari kegiata yag diebut riet operai telah mulai dikembagka pegguaaya pada permulaa perag duia kedua. ada aat itu diraa perlu utuk megalokaika umber daya-umber daya yag terbata da lagka utuk bermacam-macam operai militer, da kegiata-kegiata dalam etiap operai haru dilakuka dega cara efektif utuk memeagka perag. Setelah perag duia kedua berakhir, dega melihat uke pegguaa riet operai dalam militer, kalaga idutri mejadi tertarik pada bidag baru ii. ertumbuha idutri etelah perag berakhir terjadi agat peat, ehigga tim-tim riet operai mejadi agat dibutuhka dalam duia bii, karea maalah-maalah yag timbul pada daarya ama walaupu kotekya berbeda dega yag telah dihadapi kalaga militer. Tim-tim riet operai dalam ligkuga duia bii ii meadai kemajua tekik-tekik riet operai. Kemajua tekologi computer juga telah meadai kemajua teori riet operai da bayak membatu pegambila keputua pemecaha maalah yag optimum dalam berbagai bidag da permaalaha. erkembaga komputer-komputer elektroik digital dega kemampuaya utuk melakuka perhituga-perhituga aritmetik ribua atau bahka jutaa kali lebih cepat dari kemampua mauia, merupaka perkembaga dahyat riet operai. Arti Riet Operai Arti riet operai telah bayak didefiiika oleh beberapa ahli,. More da Kimball Riet Operai ebagai metode ilmiah (cietific method) yag memugkika para maajer megambil keputua megeai kegiata yag mereka tagai dega daar kuatitif.. Churcma, Arkoff da Aroff Riet operai ebagai aplikai metode-metode, tekik-tekik, da peralata-peralata ilmiah dalam meghadapi maalah-maalah yag timbul di dalam operai peruahaa dega tujua ditemukaya pemecaha optimum maalah-maalah terebut.. Miller da M.K. Starr Riet Operai ebagai peralata maajeme yag meyatuka ilmu pegetahua, matematika, da logika dalam keragka pemecaha maalah-maalah yag dihadapi ehari-hari, ehigga akhirya permaalaha terebut dapat dipecahka ecara optimal. Dari ketiga defiii diata dapat diimpulka bahwa : Riet Operai berkeaa dega pegambila keputua optimal dalam da peyuua model dari, item-item baik determiitik maupu probabilitik yag beraal dari kehidupa yata. Aplikai-aplikai ii, yag terjadi dalam pemeritaha, bii, tekik, ekoomi erta illmu pegetahua alam da oial ditadai dega kebutuha utuk megalokaika umberdayaumberdaya yag terbata. Riet Operai yag megadug baik pedekata maupu bidag aplikai, agat bergua dalam meghadapi maalah-maalah bagaimaa megarahka da megkoordiai operai-operai atau kegiata-kegiata dalam uatu orgaiai dega egala bataa-bataaya melalui proedur-proedur Search for Optimality. Kotribui edekata-pedekata Riet Operai. etuua ituai kehidupa yata ke uatu model matemati, da pemiaha elemeeleme pokok agar upaya uatu peyeleaia yag releva dega aara atau tujua pegambil keputua dapat tercapai. Ii melibatka padaga pada maalah dalam kotek keeluruha ytem.. ecaria truktur peyeleaia-peyeleaia da pegembaga proedur-proedur itemati utuk medapatkaya.. egembaga uatu peyeleaia, termauk atau teori atau model matematika, bila perlu, yag meghailka uatu ilai optimal dari item euai tigkat yag diigika (atau perbadiga alterative-alteratif kegiata yag diilai dega tigkat yag diigika), biaaya dalam duia bii diukur dega biaya da laba.

3 BAB II LINEAR ROGRAMMING Liear programmig Merupaka uatu model umum yag dapat diguaka dalam pemecaha maalah pegalokaia umber-umber yag terbata ecara optimal, mecakup perecaaa kegiata-kegiata utuk mecapai uatu hail yag optimal, yaitu uatu hail yag mecermika tercapaiya aara tertetu yag palig baik (meurut model matemati) di atara alteratif-alteratif yag mugki, dega megguaka fugi liear. Model Liear rogrammig Model matemati perumua maalah umum pegalokaia umberdaya utuk berbagai kegiata, dalam model L dikeal (dua) macam fugi:. Fugi Tujua (Objective Fuctio) Adalah fugi yag meggambarka tujua/aara didalam permaalaha L yag berkaita dega pegatura ecara optimal umberdaya-cumberdaya, utuk memperoleh keutuga makimal atau biaya miimal. Nilai yag dioptimalka diyataka ebagai.. Fugi Bataa (Cotrait Fuctio) Merupaka betuk peyajia ecara matemati bataa-bataa kapaita yag teredia yag aka dialokaika ecara optimal ke berbagai kegiata. Agar memudahka pembahaa model L ii, diguaka imbol-imbol bb: m = macam bataa-bataa umber atau failita yag teredia. = macam kegiata-kegiata yag megguaka umber atau failita terebut. i = omor etiap macam umber atau failita yag teredia (i =,,,.., m). j = omor etiap macam kegiata yag megguaka umber atau failita yag teredia ( j =,,,., ). xj = tigkat kegiata ke j (j =,,,.., ) aij = bayakya umber i yag diperluka utuk meghailka etiap uit keluara (output) kegiata j. ( i =,,,..,m; j =,,,.., ) bi = bayakya umber ( failita) i yag teredia utuk dialokaika ke etiap uit kegiata ( i =,,,.., m). = ilai yag dioptimalka (makimum atau miimum) Cj = keaika ilai apabila ada pertambaha tigkat kegiata (xj) dega atu atua (uit); atau merupaka umbaga etiap atua keluara kegiata j terhadap ilai. Keeluruha imbol-imbol diata elajutya diuu kedalam betuk tabel tadar L bb: Kegiata emakaia umber per uit kegiata Kapaita (keluara) Sumber Sumber a a a. a a a a. a a a a. a am am am. am b b b... bm Δ pertambaha tiap uit Tigkat kegiata C C C. C X X X.. X Tabel.. Data utuk model Liear rogrammig

4 Ata daar tabel diata dapat diuu uatu model matemati yag diguaka utuk megemukaka uatu permaalaha L bb : Fugi tujua : Makimumka = CX + CX + CX +. + CX Bataa-bataa : ). ax + ax + ax + + ax b ). ax + ax + ax + + ax b m). amx + amx + amx + + amx b da X, X,.. X Betuk model L diata merupaka betuk tadar bagi maalah-maalah Lp yag aka dipakai elajutya. Dega kata lai bila etiap maalah dapat diformulaika ecara matemati megikuti model diata, maka maalah terebut dapat dipecahka dega tekik L. Fugi bataa dapat dikelompoka mejadi dua() macam : a. Fugi bataa fugioal, yaitu fugi-fugi bataa ebayak m. b. Fugi bataa o egatif, yaitu fugi-fugi bataa yag diyataka dega Xi. Dalam praktek tidak emua maalah dapat peri megikuti model diata, terdapat maalahmaalah bb:. Maalah miimiai Dimaa eeorag ditutut utuk meetuka kombiai (output) yag dapat dimiimumka. Dalam hal ii, fugi tujua diyataka ebagai berikut: Miimumka = CX + CX + CX + + CX. Fugi bataa memiliki tada matemati Apabila dirumuka terlihat ebagai berikut: aix + aix + aix +. + aix bi. Fugi bataa memiliki tada matemati = Apabila dirumuka terlihat ebagai berikut: aix + aix + aix +. + aix = bi 4. Fugi bataa o egatif tidak ada atau tidak terbata. Aumi-Aumi Daar Liear rogrammig. roportioality Berarti bahwa aik turuya ilai da pegguaa umber atau failita yag teredia aka berubah ecara ebadig (proportioal) dega perubaha tigkat kegiata. Mial : a. = CX + CX + CX + + CX Setiap pertambaha uit X aka meaikka dega C Setiap pertambaha uit X aka meaikka dega C, da eteruya. b. ax + ax + ax + + ax b Setiap pertambaha uit X aka meaikka pegguaa umber/failita dega a Setiap pertambaha uit X aka meaikka pegguaa umber/failita dega a, da eteruya.. Additivity Berarti bahwa ilai tujua tiap kegiata tidak alig mempegaruhi, atau dalam L diaggap bahwa keaika dari tujua () yag diakibatka oleh keaika uatu kegiata dapat ditambahka tapa mempegaruhi bagia ilai yag diperoleh dari kegiata lai. Mial : = X + 5X dimaa X = ; X = ; ehigga = + = 4 Adaikata X bertambah uit, maka euai dega aumi pertama, ilai mejadi 4+= 4 Jadi, ilai karea keaika X dapat lagug ditambahka pada ilai mula-mula tapa meguragi bagia yag diperoleh dari kegiata (X). Dega kata lai, tidak ada korelai atara X da X.. Diviibility Meyataka bahwa keluara (output) yag dihailka oleh etiap kegiata dapat berupa bilaga pecaha, demikia ilai yag dihailka.

5 Mial : X = 6,5; =,75 4. Determiitic (Certaity) Meyataka bahwa emua parameter yag terdapat dalam model L (aij, bi, Cj) dapat diperkiraka dega pati, mekipu jarag dega tepat. A. METODE GRAFIK Lagkah-lagkah pegguaa Metode Grafik:. Meetuka fugi tujua da memformulaikaya dalam betuk matemati.. Megidetifikaika bataa-bataa yag berlaku da memformulaikaya dalam betuk matemati.. Meggambarka maig-maig gari fugi bataa dalam atu item umbu X da Y. 4. Mecari titik yag palig megutugka (optimal) dihubugka dega fugi tujua. Cotoh Maalah L. Sebuah eruahaa Idutri mempuyai berturut-turut 6kg, 8kg, da kg baha yaitu kayu, platik, da baja. eruahaa terebut aka membuat dua macam produk yaitu da Q yag berturut-turut memerluka baha-baha (dalam kg) bb: roduk Baha yag diperluka Kayu latik Baja Q Harga jual tiap produk Rp 4.,/uit da Q Rp 8.,/uit. Berapa bayak produk da produk Q haru diproduki utuk memakimumka laba, dega biaya variabel produk Rp 8.,/uit da produk Q Rp.,/uit. eyeleaia: Data terebut di ata dapat diuu ke dalam tabel bb: roduk Q Kapaita Makimum Sumber Kayu 5 6 latik Baja Sumbaga terhadap laba (R.,) 6 8 Utuk formulai maalah diata maka pertama-tama tetuka imbol-imbol yag aka dipakai: X = jumlah produk yag aka di buat. X = jumlah produk Q yag aka dibuat. = jumlah umbaga eluruh produk A da produk B yag aka diperoleh. &. Memformulaikaya dalam betuk matematika: Fugi Tujua: Makimumka = 6X + 8X Bataa : ) X + 5X 6 ) 5X + 6X 8 ) 4X + X. Meggambarka maig-maig gari fugi bataa dalam atu item umbu X da Y. Bataa X + 5X 6 mi : X= ;. + 5X = 6 X = 5 Mi : X= ; X+ 5. = 6 X = 86,67 Bataa 5X + 6X 8

6 mi : X= ; X = 8 X = 6, mi : X= ; 5X + 6. = 8 X= 76 Bataa 4X + X mi : X= ; 4. + X = X = 66,67 Mi : X= ; 4X +. = X = 5 4. Utuk mecari ilai optimal dapat diguaka cara:. Dega meggambarka fugi tujua. (cara trial ad error) Caraya dega memialka ilai pada peramaa fugi tujua, ehigga aka didapatka ilai X da X. Tujua permiala ii adalah utuk megetahui arah kita meggeer ampai bertemu atu titik di daerah feaible ehigga aka didapatka ilai optimal baik makimal maupu miimal. Mial : 6X + 8X = 4 X=; X= X=; X=4 Apabila permiala terebut digambarka pada grafik diata da digeer kearah ata/kaa aka didapatka atu titik didaerah feaible pada titik B maka titik B adalah titik optimal dega makimal. Titik B merupaka pertemua atara peramaa I da peramaa III maka utuk meghitug ilai dititik B: X + 5X 6 dikalika 4 mejadi X + X = 4 4X + X dikalika mejadi X + 9X = 6 + X = 44 X = 4 X = 6 X = 6 X = Maka, dititik B = 44. Dega membadigka ilai pada tiap-tiap titik alteratif. Caraya adalah dega meghitug ilai pada tiap-tiap titik alteratif. Titik A X=5; X= maka dititik A = Titik B (ama dega cara ) X=; X=4 maka dititik B = 44

7 Titik C X=; X=5 maka dititik C = 46 Maka meurut cara ilai optimal ada dititik B, ama dega cara. Keimpula : Maka produk (X) diproduki ebayak uit da produk Q(X) diproduki ebayak 4 uit dega laba makimal 44 X Rp.,- = Rp 4.4.,-.. Fugi tujua Miimumka = 6X + 8X Bataa : ) X + 5X = 6 ) 5X + 6X 8 ) 4X + X Meggambarka maig-maig gari fugi bataa dalam atu item umbu X da Y. Bataa X + 5X = 6 mi : X= ;. + 5X = 6 X = 5 Mi : X= ; X+ 5. = 6 X = 86,67 Bataa 5X + 6X 8 mi : X= ; X = 8 X = 6, mi : X= ; 5X + 6. = 8 X= 76 Bataa 4X + X mi : X= ; 4. + X = X = 66,67 Mi : X= ; 4X +. = X = 5 Utuk mecari ilai optimal dapat diguaka cara:. Dega meggambarka fugi tujua. (cara trial ad error) Caraya dega memialka ilai pada peramaa fugi tujua, ehigga aka didapatka ilai X da X. Tujua permiala ii adalah utuk megetahui arah kita meggeer ampai bertemu atu titik di daerah feaible ehigga aka didapatka ilai optimal baik makimal maupu miimal. Karea daerah feaible haya berupa atu titik, maka titik optimal berada pada titik terebut dega ilai miimal. Titik terebut merupaka pertemua atara peramaa I da peramaa III maka utuk meghitug ilai : X + 5X 6 dikalika 4 mejadi X + X = 4 4X + X dikalika mejadi X + 9X = 6 + X = 44 X = 4

8 X = 6 X = 6 X = Maka, miimal = 44. Dega membadigka ilai pada tiap-tiap titik alteratif. Karea haya ada atu titik alterative maka merupaka titik optimal dega miimal, da perhituga titik terebut ama dega cara. Keimpula : Maka produk (X) diproduki ebayak uit da produk Q(X) diproduki ebayak 4 uit dega laba makimal 44 X Rp.,- = Rp 4.4.,-. Beberapa egertia Dalam Liear rogrammig Solutio (eyeleaia) Adalah jawaba akhir dari uatu maalah Feaible Solutio Adalah peyeleaia yag tidak melaggar bataa-bataa yag ada. No Feaible Solutio Berarti tidak ada daerah feible, artiya apabila ifat atau letak bataa-bataa edemikia rupa ehiga tidak memugkika terdapatya daerah atau alteratif-alteratif yag feaible. Optimal Solutio Adalah feaible olutio yag mempuyai ilai tujua (ilai dalam fugi tujua) yag optimal atau terbaik (makimum atau miimum) Multiple Optimal Solutio Berarti terdapatya beberapa alteratif optimal dalam uatu maalah. Boudary Equatio Terjadi apabila uatu bataa dega tada ama dega Corer oit Feaible Solutio Adalah feaible olutio yag terletak pada udut (perpotoga) atara gari. Corer oit Ifeaible Solutio Adalah titik yag terletak pada perpotoga gari tetapi diluar daerah feaible. No Optimal Solutio Terjadi apabila uatu maalah tidak mempuyai jawaba atau peyeleaia optimal, hal ii dapat diebabka faktor-faktor bb:. Tidak ada feaible Solutio. Ada bataa yag tidak membatai bear ilai. Ketetua-ketetua atau Sifat Liear rogrammig Ketetua : a. Kalau haya ada atu optimal olutio, pati berupa corer poit feaible olutio. b. Kalau multiple olutio maka terdapat lebih dari titik optimal yag terletak pada gari yag meghubugka corer olutio. Ketetua : Corer poit feaible olutio jumlahya terbata Ketetua : Kalau uatu corer poit feaible olutio lebih baik dari corer poit feaible olutio yag terdekat, maka titik itu merupaka titik optimal atau terbaik diatara emua corer poit feible olutio. B. METODE SIMLEKS Apabila uatu maalah L haya megadug (dua) kegiata (atau variabel-variabel keputua) aja, maka dapat dieleaika dega metode grafik. Tetapi bila melibatka lebih dari dua kegiata maka ketode grafik tidak dapat diguaka lagi, ehigga diperluka metode implek. Metode implek merupaka uatu cara yag lazim dipakai utuk meetuka kombiai optimal dari tiga variabel atau lebih. Lagkah-lagkah Metode Simplek. Megubah fugi tujua da bataa-bataa Cotoh: Fugi Tujua: Makimumka = 6X + 8X Bataa : ) X + 5X 6 ) 5X + 6X 8 ) 4X + X Fugi tujua diubah mejadi fugi impliit, artiya emua CjXij kita geer ke kiri. Makimumka = 6X + 8X diubah mejadi 6X 8X =

9 ada betuk tadar, emua bataa mempuyai tada, ketidakamaa ii haru diubah mejadi keamaa. Caraya dega meambah Slack Variabel (adalah variabel tambaha yag mewakili tigkat pegaggura atau kapaita yag merupaka bataa). Variabel lack ii adalah X+, X+,.., X+m. Kadag-kadag Slack Variabel diberi tada huruf lai, mialya S, S,.., da eteruya. Fugi bataa-fugi bataa: ) X + 5X 6 mejadi X + 5X + X = 6 ) 5X + 6X 8 mejadi 5X + 6X + = 8 ) 4X + X mejadi 4X + X +X5 =. Meyuu peramaa-peramaa di dalam tabel Setelah formulai diubah kemudia diuu ke dalam tabel, tabel dalam betuk imbol bb: Variabel X X. X X+ X+. X+m NK Daar X+ X+.... X+m.... -C -C. C. a a.. a. a a.. a am am.. am. NK adalah ilai kaa peramaa, yaitu ilai dibelakag tada ama dega (=). Variabel Daar adalah variabel yag ilaiya ama dega ii kaa dari peramaa. Cotoh oal diata : Tabel Data eruahaa Idutri dalam tabel implek yag pertama Variabel X X X X5 NK Daar X X Memilih Kolom Kuci Kolom kuci adalah kolom yag merupaka daar utuk megubah tabel diata. ilihlah kolom pada bari fugi tujua () yag mempuyai ilai egatif dega agka terbear, berilah tada egi empat pada kolom terebut. Tabel emiliha kolom kuci pada tabel pertama Variabel X X X X5 NK Daar X X Memilih Bari Kuci Bari kuci adalah bari yag merupaka daar utuk megubah tabel terebut diata. Terlebih dahulu carilah idek tiap-tiap bari dega cara membagi ilai-ilai pada kolom NK dega ilai yag ebari pada kolom kuci b b.... bm Idek = Nilai Kolom NK Nilai Kolom Kuci ilihlah bari yag mempuyai idek poitif dega agka terkecil Variabel Daar X X5 Tabel emiliha Bari Kuci X X X X5 NK Keteraga /5=5 (mi) 8/6=6, /=66,67

10 5. Megubah ilai-ilai bari kuci Nilai bari kuci diubah dega cara membagiya dega agka kuci, gatilah variabel daar pada bari yag terpilih dega variabel yag terdapat dibagia ata kolom kuci. Tabel Cara megubah ilai bari kuci Variabel X X X X5 NK Daar X X5 X X /5 / Megubah ilai-ilai elai pada bari kuci Nilai-ilai bari yag lai, elai pada bari kuci dapat diubah dega rumu bb: Bari Baru = bari lama (koefiie pada kolom kuci) x ilai baru bari kuci Utuk ilai cotoh oal diata, ilai baru bari pertama () ebagai berikut: [ -6-8 ] (-8) [ /5 /5 5 ] (-) Nilai baru = -6/5 8/5 46 Bari ke (bataa ): [ ] (6) [ /5 /5 5 ] (-) Nilai baru = 7/5-6/5 68 Bari ke X5 (bataa ) [ 4 ] () [ /5 /5 5 ] (-) Nilai baru = /5 -/5 44 Tabel pertama ilai lama da tabel kedua ilai baru Variabel X X X X5 NK Daar -6-8 X X5 4 X X5-6/5 8/5 /5 /5 7/5-6/5 /5 -/5 7. Lagkah 7 Ulagi lagkah-lagkah perbaika-perbaika/perubaha-perubaha Ulagilah lagkah-lagkah perbaika mulai lagkah ampai lagkah 6 utuk memperbaiki tabel-tabel yag telah diubah/diperbaiki ilaiya. erubaha baru berheti etelah pada bari pertama ( fugi tujua) tidak ada yag berilai egatif. Tabel emiliha Kolom da Bari Kuci dari table perbaika pertama, da ilai baru bari kuci hail perbaika kedua Variabel Daar X X X X X X5 NK Idek -6/5 8/5 /5 /5 7/5-6/5 /5 -/ / 5 =86,67 68/ 7 5 =48,57 44/ 5 = X X -/ 5/

11 Nilai Baru elai bari kuci bb: Bari pertama () ebagai berikut: [ -6/5 8/5 46 ] (-6/5) [ -/ 5/ ] (-) Nilai baru = 4/ 6/ 44 Bari ke (bataa ): [ /5 /5 5 ] (/5) [ -/ 5/ ] (-) Nilai baru = 4/ / 4 Bari ke (bataa ) [ 7/5-6/5 68 ] (7/5) [ -/ 5/ ] (-) Nilai baru = -9/ 7/ 4 Tabel Hail perubaha/perbaika kedua, table pertama ilai lama da tabel kedua ilai baru Variabel X X X X5 NK Daar -6/5 8/5 46 X /5 /5 5 7/5-6/5 68 X5 /5 -/5 44 X X 4/ 6/ 4/ / -9/ 7/ -/ 5/ Tabel-tabel yag diperoleh dari table pertama ampai perubaha terakhir : Variabel X X X X5 NK Daar -6-8 X X5 4 X X5 X X -6/5 8/5 /5 /5 7/5-6/5 /5 -/5 4/ 6/ 4/ / -9/ 7/ -/ 5/ Karea pada bari fugi tujua () udah tidak ada yag berilai egative (-) maka udah optimal dega ilai X = X = 4 Makimal =44 Keimpula: Maka produk (X) diproduki ebayak uit da produk Q(X) diproduki ebayak 4 uit dega laba makimal 44 X Rp.,- = Rp 4.4.,-. eyimpaga-peyimpaga dari Betuk Stadar. Miimiai Fugi tujua dari permaalaha liear programmig yag berifat miimiai, haru diubah mejadi makimiai, agar euai dega betuk tadar, yaitu makimiai. Caraya adalah dega meggati tada poitif da egatif pada fugi tujua, ebagai berikut: Miimumka = CjXj j ama dega

12 Makimumka (-) = ( Cj) Xj j Cotoh : Miimumka = 6X + 8X ama dega Makimumka (-) = -6X - 8X. Bataa dega tada ama dega Kalau uatu bataa memakai tada keamaa, maka cara megataiya dega meambahka variabel buata (artificial variable). Mialya bataa ke- pada cotoh terdahulu ( X + 5X 6 ) diubah mejadi X + 5X = 6. Karea bataa terebut bertada = utuk dapat dikerjaka dega metode implek haru ditambahka atu variabel lagi, karea pada bataa itu belum ada variabel yag bia merupaka variabel daar pada tabel pertama. Variabel itu adalah variabel buata yag berifat tidak egatif (X), ehigga peramaa terebut mejadi bb: X + 5X + X = 6 Karea adaya variabel buata (X) ii, maka fugi tujua haru dieuaika dega meambahka bilaga M, ehigga fugi tujua mejadi : = 6X + 8X + MX Bilaga M berilai agat bear tetapi tidak tak terhigga, ehigga ilai makimum bia diperoleh apabila ilai X =.. Fugi pembata bertada Bila uatu fugi pembata bertada, maka haru diubah mejadi da akhirya mejadi = agar dapat dieleaika dega metode implek. Mialya bataa ke- pada cotoh terdahulu kita ubah tadaya mejadi bb: 4X + X dikalika (-), mejadi -4X X - ditambahka Variabel X5, mejadi -4X X + X5 = - 4. Bagia kaa peramaa bertada egatif Bila bagia kaa peramaa bertada egatif maka haru diubah mejadi poitif. Caraya dega megubah tada poitif egatif dari tiap-tiap koefiie, kemudia ditambah dega variabel buata. Miaya bataa diata mejadi bb: -4X X + X5 = - dikalika (-), mejadi 4X + X X5 = eramaa diata udah bertada keamaa da dibagia kaa bertada poitif, tetapi lack variabel (X5) bertada egatif (dalam hal ii lack variabel erig diebut pula urplu variabel). Hal ii tidak memugkika pegguaa metode implek. Oleh karea itu haru ditambahka atu variabel buata X6, yag aka mejadi variabel daar dalam tabel permulaa, ehigga mejadi bb : 4X + X X5 + X6 = Seuai dega pejelaa ebelumya maka kalau ada variabel buata haru ditambahka ilai M pada fugi tujua, da megubahya agar ilai variabel daar pada fugi tujua ebear. Setelah kita lakuka perubaha-perubaha pada fugi tujua da fugi bataa dega betuk o tadar, peramaa tujua diata tidak memugkika pegguaa metode implek tabel, ebab ilai etiap variabel daar pada peramaa ii haru ebear, padahal X5 merupaka variabel daar pada tabel permulaa. Oleh karea itu diubah dega cara meguragiya dega M dikalika dega bari bataa yag beragkuta. Cotoh: Fugi tujua Miimumka = 6X + 8X Bataa : ) X + 5X = 6 ) 5X + 6X 8 ) 4X + X eyeleaia:. Megubah fugi tujua da bataa Bataa X + 5X = 6 ditambahka variabel tambaha X mejadi,

13 X + 5X + X = 6 Bataa 5X + 6X 8 dirubah mejadi keamaa ditambah lack variable mejadi, 5X + 6X + = 8 Bataa 4X + X dirubah mejadi dega dikalika (-) mejadi, -4X X - dirubah mejadi keamaa ditambah lack variable X5 mejadi, -4X X + X5 = - dirubah mejadi (+) dikalika (-) mejadi, 4X + X - X5 = ditambah variable buata X6 mejadi, 4X + X - X5 + X6 = Fugi Tujua Miimalka = 6X + 8X ditambah ilai M mejadi, Miimalka = 6X + 8X + MX + MX6 dirubah makimalka mejadi, Makimalka = -6X - 8X MX MX6 dirubah mejadi fugi impliit mejadi, - + 6X + 8X + MX + MX6 = Variabel daar X da X6 haru berilai, dilakuka peguraga-peguraga terhadap fugi tujua dega fugi bataa yag memiliki variabel tambaha dikalika ilai M. X X X X5 X6 NK F.tujua 6 8 M M Bataa 5 6 M Bataa F.tujua (6 7M) (8-8M) M -46M. Meyuu peramaa-peramaa di dalam table Variabel Daar X X6 X X X X5 X6 NK - (-7M+6) (-8M+8) M M 6 8. Memilih Kolom Kuci Kolom kuci adalah kolom yag merupaka daar utuk megubah tabel diata. ilihlah kolom pada bari fugi tujua () yag mempuyai ilai egatif dega agka terbear, berilah tada egi empat pada kolom terebut. Variabel Daar X X6 Tabel emiliha Kolom Kuci X X X X5 X6 NK - (-7M+6) (-8M+8) M M Memilih Bari Kuci Bari kuci adalah bari yag merupaka daar utuk megubah tabel terebut diata. Terlebih dahulu carilah idek tiap-tiap bari dega cara membagi ilai-ilai pada kolom NK dega ilai yag ebari pada kolom kuci. Idek = Nilai Kolom NK Nilai Kolom Kuci ilihlah bari yag mempuyai idek poitif dega agka terkecil Variabel Daar X X6 Tabel emiliha Bari Kuci X X X X5 X6 NK Idek - (-7M+6) (-8M+8) M M 6 8 6/5=5(mi) 8/6=6, /=66,67

14 5. Megubah Nilai-Nilai Bari Kuci Nilai bari kuci diubah dega cara membagiya dega agka kuci, gatilah variabel daar pada bari yag terpilih dega variabel yag terdapat dibagia ata kolom kuci. Variabel Daar X X6 X X6 Tabel Cara megubah ilai bari kuci X X X X5 X6 NK - - (-7M+6) (-8M+8) M M 6 8 /5 / Megubah ilai-ilai elai pada bari kuci Nilai-ilai bari yag lai, elai pada bari kuci dapat diubah dega rumu bb: Bari Baru = bari lama (koefiie pada kolom kuci) x ilai baru bari kuci Utuk ilai cotoh oal diata, ilai baru bari pertama () ebagai berikut: [ (-7M+6) (-8M+8) M -46M ] (-8M+8) [ /5 /5 5 ] (-) Nilai baru = (-/5M+6/5) (8/5M-8/5) M (-44M-46) Bari ke (bataa ): [ ] (6) [ /5 /5 5 ] (-) Nilai baru = 7/5-6/5 68 Bari ke 4 (bataa ) [ 4 - ] () [ /5 /5 5 ] (-) Nilai baru = /5 -/5-44 Variabel Daar X X6 X X6 Tabel pertama ilai lama da tabel kedua ilai baru X X X X5 X6 NK - - (-7M+6) (-8M+8) M (- 5 M+ 5 6 ) (8/5M-8/5) M /5 /5 7/5-6/5 /5 -/ M 6 8 (-44M-46) Lagkah 7 Ulagi lagkah-lagkah perbaika-perbaika/perubaha-perubaha Ulagilah lagkah-lagkah perbaika mulai lagkah ampai lagkah 6 utuk memperbaiki tabel-tabel yag telah diubah/diperbaiki ilaiya. erubaha baru berheti etelah pada bari pertama ( fugi tujua) tidak ada yag berilai egatif.

15 Variabel Daar X Tabel emiliha Kolom da Bari Kuci dari table perbaika pertama, da ilai baru bari kuci hail perbaika kedua X X X X5 X6 NK Idek - (- 5 M+ 6 5 ) (8/5M-8/5) M /5 /5 7/5-6/5 (-44M-46) / 5 =86,67 68/ 7 5 =48,57 X6 X X /5 -/ / -5/ 44 44/ 5 = Nilai Baru elai bari kuci bb: Bari pertama (): [(-/5M+6/5) (8/5M-8/5) M (-44M-46) ] (-/5M+6/5) [ -/ -5/ ] (-) Nilai baru = (M -4/) 6/ 44 Bari ke (bataa ): [ /5 /5 5 ] (/5) [ -/ -5/ ] (-) Nilai baru = 4/ / 4 Bari ke (bataa ) [ 7/5-6/5 68 ] (7/5) [ -/ -5/ ] (-) Nilai baru = -9/ 7/ 4 Variabel Daar X Tabel Hail perubaha/perbaika kedua, table pertama ilai lama da tabel kedua ilai baru X X X X5 X6 NK - (- 5 M+ 6 5 ) (8/5M-8/5) M /5 /5 7/5-6/5 (-44M-46) 5 68 X6 /5 -/5-44 X X - (M -4/) 6/ 4/ / -9/ 7/ -/ -5/ Tabel-tabel yag diperoleh dari table pertama ampai perubaha terakhir : Variabel X X X X5 X6 NK Daar - (-7M+6) (-8M+8) M -46M X X6 4 - X X6 X X - - (- 5 M+ 6 5 ) (8/5M-8/5) M /5 /5 7/5-6/5 /5 -/5 - (M -4/) 6/ 4/ / -9/ 7/ -/ -5/ (-44M-46) Karea pada bari fugi tujua () udah tidak ada yag berilai egative (-) maka udah optimal dega ilai X = X =

16 Miimal =44 Keimpula: Maka X = ; X = 4 dega miimal 44

17 BAB III METODE TRANSORTASI Merupaka uatu metode yag diguaka utuk megatur ditribui dari umber-umber yag meyediaka produk yag ama, ke tempat-tempat yag membutuhka ecara optimal. Alokai produk ii haru diatur edemikia rupa, karea terdapat perbedaa biaya-biaya alokai dari atu umber ke tempat-tempat tujua berbeda-beda, da dari beberapa umber ke uatu tempat tujua yag berbeda-beda. Metode Steppig Stoe Utuk meyeleaika uatu maalah traportai dega megguaka metode teppig toe diperluka lagkah :. Meetuka jawab layak pertama dega megguaka metode pojok barat laut (orth wet corer).. Meguji peyeleaia awal udah optimal atau belum.. Ulagi lagkah lagkah higga pada ij variable o bai udah Meetuka jawab layak pertama Meetuka jawab layak yag memeuhi emua kedala atau item agkuta yag diperluka (dega metode orth wet corer) dega lagkah-lagkah bb:. egiia dimulai dari pojok barat laut pada tabel maalah traportai, yaitu el (,). Badigka perediaa di A dega kebutuha di T, yaitu maig-maig a da b. Buat X = mi (a, b). a. Bila a > b, maka X=b. Teruka ke el (,) yaitu geraka medatar dega X = mi (a-b, b). b. Bila a<b, maka X=a. Teruka ke el (,) yaitu geraka tegak dega X= mi (b- a,a). c. Bila a=b, maka buatlah X=b da teruka geraka ke X (geraka mirig).. Teruka lagkah ii etapak demi etapak mejauhi pojok barat laut higga akhirya hargaya telah dicapai pada pojok tegara dari tabel. Seudah m+- lagkah, m+- kedala telah dipeuhi da iaya aka dipeuhi dega ediria. Oleh karea itu, cara ii aka meghailka tidak lebih dari m+- variabel xij yag >, karea tiap lagkah memeuhi alah atu dari Ai (aal) atau Tj (tujua). Harga-harga xij> ii diebut variabel bai da bayakya ama dega m+-. Meguji Keoptimala eyeleaia Mialya kita mempuyai jawab layak bai dari uatu maalah traportai dega m aal da tujua. Ii berarti bahwa terdapat m+- variabel bai xij yag > kita tidak megetahui apakah jawab ii udah optimal atau tidak. Utuk meetuka apakah uatu jawab layak bai udah optimal atau tidak, kita megguaka metode teppig toe caraya ialah melalui tabel data traportai yag memuat variabel bai xij > da cij. Kita meghitug zij utuk etiap el (i,j) yag tidak memuat variabel bai xij >. Utuk el (I,j) kita memerluka atu lop yag memuat el (i,j) ediri da el-el bai. Mialka uruta el dalam lop terebut ialah : {(i,r), (u,r),., (,w), (,j), (i,j)}. Harga zij yag breuaia adalah zij = cir cur + caj cij. Utuk meghitug zij utuk tiap el yag tidak memuat xij >, kita memerluka lagkah-lagkah ebagai berikut :. Tetuka el bai pada bari yag ama edemikia higga el bai laiya terletak pada kolom yag ama.. Buat geraka medatar kemudia geraka tegak.. Ulagi geraka ii dari atu el bai kepada el bai laiya higga atu ketika tiba pada atu tempat atau el yag atu kolom dega el yag dihitug zij ya. 4. Terakhir hubugka el bai ii dega el o bai yag diilai ehigga terbetuklah atu lop. 5. Jumalhka harga emua el bai dalam lop dega membuat tada bergati-gati poitifegatif da hailya ama dega zij. roe ii dapat kita lakuka utuk emua el yag buka bai. Apabila:. zij utuk etiap el (i,j) maka jawab layak bai udah optimal.. zij > utuk uatu (i,j) maka jawab layak bai belum optimal. Seudah zij dihitug utuk emua el yag buka bai, ekarag kita udah iap meetuka jawab bai yag baru, yaitu lagkah-lagkah bb:. Hitug atau tetapka zt = mak zij (i,j)

18 artiya variabel xt mauk dalam bai da xt >.. Tetuka loop yag memuat xt.. adag cαβ dega koefiie. 4. Tetapka xpq = Mi {xαβ dega coef cαβ = }artiya variabel xpq keluar ebagai variabel bai. 5. Tetuka harga variabel bai utuk jawab bai yag baru dega cara a. xt = xpq b. Bila koefiie cαβ =, maka xαβ = xαβ xpq. c. Bila koefiie cαβ = -, maka xαβ = xαβ + xpq. erhatika bahwa xαβ terdapat dalam loop yag memuat (,t). Cotoh: eruahaa OKE mempuyai pabrik,, da Gudag G, G, G. Dalam atu bula maig-maig pabrik dapat membuat uit barag ebayak 5, 4, da maig-maig gudag dapat meampug ebayak 6,, 4 uit barag. Ogko agkut dari maig-maig pabrik ke maig-maig gudag (dalam ratua ribu Rp): ke G, G, G :,, 8; ke G, G, G : 7, 5, ; ke G, G, G : 9,, 7. Tetuka pegalokaia optimal uit barag dari pabrik,, ke gudag G, G, G agar diperoleh biaya miimal dalam atu bula. eyeleaia:. Meetuka jawab layak pertama Tujua Aal G G G Supply A a a 9 7 a Demad 6 4 T b b b Megguaka metode North Wet Corer Badigka perediaa di a dega kebutuha di b X = mi(a;b) X = mi(a-;b) = mi(5;6) = mi(4-;4) = 5, lagkah dilajutka ke X = mi(;4) X = mi(a:b-5) =, lagkah dilajutka ke X = mi(4;6-5) X = mi(a;b-) = mi(4;) = mi(;4-) =, lagkah dilajutka ke X = mi(;) X = mi(a-;b) = = mi(4-;) = mi(;) =, lagkah dilajutka ke X. Meguji Keoptimala jawab Layak ertama a. Meghitug ij Variabel No Bai Sel (,) Loop (,) (,) (,) (,) = C-C+C-C = = -9 Sel (,) Loop (,) (,) (,) (,) = C-C+C-C = = - Sel (,) Loop (,) (,) (,) (,) = C-C+C-C = = 4 Sel (,) Loop (,) (,) (,) (,) = C-C+C-C = = 9

19 b. Meetuka Variabel yag mauk dalam Bai Mak t = Mak ij (ij variable o bai yag > ) = Mak (4;9) = 9 =, maka X mauk dalam Bai c. Meetuka Variabel yag keluar dari Bai Loop Variabel yag mauk dalam Bai (,) = (,) (,) (,) (,) Koefiie Cαβ (+) = (,);(,) Mi Xpq = Mi (X;X) = Mi (;) = = X, maka X keluar dari bai d. Harga Bai Baru. Xt = Xpq = X = X =. X = X X = =. X = X + X = + = Meyuu harga bai baru ke dalam table Aal Tujua G G G Supply a a 9 7 a Demad 6 b b 4 b. Ulagi lagkah lagkah higga pada ij variable o bai udah Meguji Keoptimala Jawab Layak ertama a. Meghitug ij Variabel No Bai Sel (,) Loop (,) (,) (,) (,) (,) (,) = C-C+C-C+C-C = = -8 Sel (,) Loop (,) (,) (,) (,) = C-C+C-C = = - Sel (,) Loop (,) (,) (,) (,) = C-C+C-C = = -9 Sel (,) Loop (,) (,) (,) (,) = C-C+C-C = = 4 b. Meetuka Variabel yag mauk dalam Bai Mak t = Mak ij (ij variable o bai yag > ) = Mak (4) = 4 =, maka X mauk dalam Bai c. Meetuka Variabel yag keluar dari Bai Loop Variabel yag mauk dalam Bai (,) = (,) (,) (,) (,) Koefiie Cαβ (+) = (,);(,) Mi Xpq = Mi (X;X) = Mi (;) = = X, maka X keluar dari bai d. Harga Bai Baru a. Xt = Xpq = X = X = b. X = X + X = + = 4 c. X = X X = - =

20 Meyuu harga bai baru ke dalam table Aal G G G Supply Tujua a a 9 7 a Demad 6 4 b b b Meguji Keoptimala Jawab Layak ertama a. Meghitug ij Variabel No Bai Sel (,) Loop (,) (,) (,) (,) = C-C+C-C = -9+- = -4 Sel (,) Loop (,) (,) (,) (,) = C-C+C-C = = - Sel (,) Loop (,) (,) (,) (,) = C-C+C-C = = -5 Sel (,) Loop (,) (,) (,) (,) = C-C+C-C = = -4 Karea ij variable o bai udah maka udah optimal Biaya = 5X + X7 + 4X + X9 + X = = = X Rp., = Rp.., Keimpula: Maka pegalokaia uit barag dari pabrik,, ke gudag G, G, G dalam atu bula optimal dega biaya miimal Rp..,. Metode MODI (Modified Ditributio) Merupaka perkembaga dari metode teppig toe, karea peetua egi empat koog yag bia meghemat biaya dilakuka dega proedur yag lebih pati da tepat erta metode ii dapat mecapai hail optimal lebih cepat. Lagkah-lagkah bb:. Iilah tabel pertama dari udut kiri ata kekaa bawah. Meetuka ilai bari da kolom Nilai bari da kolom ditetuka berdaarka peramaa (Ri + Kj = Cij). Bari pertama elalu diberi ilai, da ilai ilai bari-bari yag lai da ilai emua kolom ditetuka berdaarka hail-hail hituga yag telah diperoleh, maka ilai kolom yag dihubugka dega egi empat batu dapat dicari dega rumu Ri + Kj = Cij.. Meghitug Idek erbaika Idek perbaika adalah ilai dari egi empat air (egi empat yag koog), mecariya dega rumu Cij Ri Kj = idek perbaika 4. Memilih titik tolak perubaha Segi empat yag mempuyai idek perbaika egatif berarti bila diberi alokai (diii) aka dapat meguragi jumalh biaya pegagkuta. Bila ilaiya poitif berarti pegiia aka meyebabka keaika biaya pegagkuta. Segi empat yag merupaka titik tolak perubaha adalah egi empat yag idekya bertada egatif dega agka terbear. 5. Memperbaiki alokai Berilah tada poitif (+) pada egi empat yag terpilih. ilihlah atu egi empat terdekat yag ii da ebari, atu egi empat yag ii terdekat da ekolom; berilah tada egatif (-) pada dua

21 egi empat ii. Kemudia pilihlah atu egi empat yag ebari atau ekolom dega egi empat yag bertada egatif (-) tadi, da berilah egi empat ii tada poitif (+). Selajutya pidahkalah alokai dari egi empat yag bertada egatif (-) ke yag bertada poitif (+) ebayak ii terkecila dari egi empat yag bertada egatif (-). 6. Ulagilah lagkah-lagkah terebut diata, mulai lagkah ampai diperoleh biaya teredah. Bila maih ada idek perbaika yag berilai egatif berarti alokai terebut maih dapat diubah utuk meguragi biaya pegagkuta. Bila udah tidak ada idek yag berilai egatif berarti udah optimal. Cotoh: Kita guaka cotoh diata yag udah dikerjaka megguaka metode teppig toe.. Megii table dari udut kiri ata kekaa bawah Aal Tujua G G G Supply a a 9 7 a Demad 6 b b 4 b. Meetuka ilai bari da kolom Rumu : Ri + Kj = Cij Aal Tujua G= G= G=- Supply = a = a = 9 7 a Demad 6 b b 4 b. Meghitug Idek erbaika Rumu : Cij Ri Kj = Idek erbaika Segi Empat Cij Ri - Kj Idek erbaika G 9 G 8 (-) G 9-4 G Memilih titik tolak perubaha Memilih idek perbaika dega ilai egative terbear = -9 = G 5. Memperbaiki alokai Aal Tujua G= G= G=- Supply = a = _ + a = _ a Demad 6 b b 4 b

22 Aal Tujua G G G Supply a a 9 7 a Demad 6 b b 4 b 6. Ulagilah lagkah-lagkah terebut diata, mulai lagkah ampai diperoleh biaya teredah.. Meetuka ilai bari da kolom Rumu : Ri + Kj = Cij Aal G= G=-8 G=- Supply Tujua = a = a = 9 7 a Demad 6 b b 4 b. Meghitug Idek erbaika Rumu : Cij Ri Kj = Idek erbaika Segi Empat Cij Ri - Kj Idek erbaika G (-8) 8 G 8 (-) G 5 4 (-8) 9 G Memilih titik tolak perubaha Memilih idek perbaika dega ilai egative terbear = -4 = G 5. Memperbaiki alokai Aal Tujua = 5 =4 7 - = 9 + Demad 6 b G= G=-8 G=- Supply 8 5 a a 7 - a 4 b b

23 Aal Tujua Demad 6 b G G G Supply 8 5 a a 7 a b 4 b 6. Ulagilah lagkah-lagkah terebut diata, mulai lagkah ampai diperoleh biaya teredah.. Meetuka ilai bari da kolom Rumu : Ri + Kj = Cij Aal G= G=-4 G=- Supply Tujua = a = a =6 9 7 a Demad 6 b b 4 b. Meghitug Idek erbaika Rumu : Cij Ri Kj = Idek erbaika Segi Empat Cij Ri - Kj Idek erbaika G (-4) 4 G 8 (-) G 5 4 (-4) 5 G 7 6 (-) 4 Karea Idek erbaika udah memeuhi maka udah optimal Biaya = 5X + X7 + 4X + X9 + X = = = X Rp., = Rp.., Keimpula: Maka pegalokaia uit barag dari pabrik,, ke gudag G, G, G dalam atu bula optimal dega biaya miimal Rp..,. Metode Vogel Approximatio Merupaka metode yag lebih mudah da lebih cepat utuk dapt megatur alokai dari beberapa umber ke beberapa daerah pemaara. Dega lagkah-lagkah:. Suulah kebutuha, kapaita maig-maig umber, da biaya pegagkuta ke dalam matrik.. Carilah perbedaa dari dua biaya terkecil, yaitu biaya terkecil da biaya terkecil kedua utuk tiap bari da kolom pada matrik (Cij).. ilihlah ilai perbedaa-perbedaa yag terbear diatara emua ilai perbedaa pada kolom da bari. 4. Iilah pada alah atu egi empat yag termauk dalam kolomatau bari terpilih, yaitu pada egi empat yag biayaya teredah diatara egi empat lai pada kolom/bari itu. Iiaya ebayak mugki yag bia dilakuka. 5. Hilagka bari/kolom yag udah diii epeuhya (kapaita peuh) ehigga tidak mugki diii lagi. Kemudia perhatika kolom da bari yag belum terii/teralokai.

24 6. Tetuka kembali perbedaa (eliih) biaya pada lagkah ke- utuk kolom da bari yag belum terii. Ulagi lagkah ampai dega lagkah 5, ampai emua bari da kolom epeuhya teralokai. 7. Setelah terii emua, hitug biaya traportaiya. 8. Bila ilai perbedaa biaya ada yag bearya ama, lihatlah egi empat yag mauk dalam kolom maupu bari yag mempuyai ilai terbear. Bila egi empat ii mempuyai biaya teredah diatara egi empat pada bari atau kolomya, maka iika alokai makimum pada egi empat ii. Bila biayaya tidak teredah, maka pilihlah egi empat yag aka diii berdaarka alah atu, bari terpilih atau kolom terpilih. Cotoh: Kita guaka cotoh diata yag udah dikerjaka megguaka metode teppig toe da MODI. Aal Tujua G G G Supply 8 5 a a 9 7 Demad 6 b b 4 b a. Suulah kebutuha, kapaita maig-maig umber, da biaya pegagkuta ke dalam matrik. Tujua Aal Demad erbedaa Kolom Aal Tujua G G G Supply erbedaa Bari iliha : G = 4 Hilagka : Kolom G G G Supply erbedaa Bari Demad erbedaa Kolom 6 4 iliha : G = Hilagka : Kolom G Aal Tujua G 7 9 Supply 5 Demad 6 iliha : G = 5 G = G =

25 Meyuu alokai ke dalam table Aal Tujua G G G Supply a a 9 7 a Demad 6 b b 4 b Meurut metode Vogel' peyeleaia terebut udah optimal, tetapi belum tetu meurut metode yag lai haru diuji terlebih dahulu megguaka metode :. Steppig Stoe a. Meghitug ij Variabel o Bai Sel (,) Loop (,) (,) (,) (,) = C-C+C-C = -9+- = -4 Sel (,) Loop (,) (,) (,) (,) = C-C+C-C = = - Sel (,) Loop (,) (,) (,) (,) = C-C+C-C = = -5 Sel (,) Loop (,) (,) (,) (,) = C-C+C-C = = -4 Karea ij variable o Bai udah memeuhi maka udah optimal. MODI Meetuka ilai bari da kolom Rumu : Ri + Kj = Cij Aal G= G=-4 G=- Supply Tujua = a = a =6 9 7 a Demad 6 b b 4 b. Meghitug Idek erbaika Rumu : Cij Ri Kj = Idek erbaika Segi Empat Cij Ri - Kj Idek erbaika G (-4) 4 G 8 (-) G 5 4 (-4) 5 G 7 6 (-) 4 Karea Idek erbaika udah memeuhi maka udah optimal Biaya = 5X + X7 + 4X + X9 + X

26 = = = X Rp., = Rp.., Keimpula: Maka pegalokaia uit barag dari pabrik,, ke gudag G, G, G dalam atu bula optimal dega biaya miimal Rp..,.

27 BAB IV Maalah eugaa Maalah peugaa berkaita dega keigia peruahaa dalam medapatka pembagia atau alokai tuga (peugaa) yag optimal, dala arti apabila peugaa terebut berkaita dega keutuga maka bagaimaa alokai tuga atau peugaa terebut dapat memberika keutuga yag makimal, begitu pula ebalikya bila meyagkut biaya. eyeleaia maalah peugaa biaaya dilakuka dega megguaka metode Hugaria yag pada tahu 96 dikembagka oleh eorag ahli matematika berkebagaa Hugaria yag berama D KÖig. Secara umum lagkah-lagkah peyeleaia maalah peugaa yag ormal adalah :. Idetifikai da peyederhaaa maalah dalam betuk tabel peugaa. Utuk kau miimaliai, mecari biaya terkecil utuk etiap bari, da kemudia megguaka biaya terkecil terebut utuk meguragi emua biaya yag ada pada bari yag ama. Sedagka utuk kau makimaliai, mecari ilai tertiggi utuk etiap bari yag kemudia ilai tertiggi terebut dikuragi dega emua ilai yag ada dalam bari terebut.. Mematika emua bari da kolom udah memiliki ilai ol. Apabila maih ada kolom yag belum memiliki ilai ol, maka dicari ilai terkecil pada kolom terebut utuk elajutya diguaka utuk meguragi emua ilai yag ada pada kolom terebut 4. Setelah emua bari da kolom memiliki ilai ol, maka lagkah elajutya adalah mematika atau megecek apakah dalam tabel peugaa terebut, telah berhail ditemuka ilai ol, ebayak umber daya (bia karyawa, mei, alat traportai, atau umber daya laiya) yag juga tercermi dega jumlah bariya. Mialya bila yag aka ditugaka adalah 4 karyawa, maka haru ditemuka ilai ol ebayak 4 buah yag terletak di bari da kolom yag berbeda. Sebaikya dimulai dari bari yag haya memiliki ilai ol. Lagkah ii megaduk arti bahwa etiap karyawa haya dapa ditugaka pada atu pekerjaa aja. 5. Apabila belum, maka lagkah elajutya adalah mearik gari yag meghubugka miimal dua buah ilai ol dalam tabel peugaa terebut. 6. Selajutya, perhatika ilai-ilai yag belum terkea gari. ilih ilai yag palig kecil, kemudia perguaka utuk meguragi ilai-ilai lai yag belum terkea gari, da guaka utuk meambah ilai-ilai yag terkea gari dua kali. 7. Dari hail lagkah ke-6 terebut, apakah ekarag telah berhail ditemuka ilai ol ejumlah atau ebayak umber daya (bia karyawa, mei, alat traportai, atau umber daya laiya) yag juga tercermi dega jumlah bariya. 8. Jika udah, maka maalah peugaa telah optimal, da apabila belum maka perlu diulagi lagkah peyeleaia ke-5 di ata. Sebagai catata, kau peugaa diaggap ormal apabila jum;lah umber daya yag aka ditugaka da jumlah pekerjaa atau tujua adalah ama. Utuk lebih jelaya, perhatika cotoh kau berikut ii. A. Maalah Miimaliai (utuk kau ormal) Sebuah peruahaa memiliki 4 orag karyawa yag haru meyeleaika 4 pekerjaa yag berbeda. Karea ifat pekerjaa da juga ketrampila, karakteritik dari maig- maig karyawa, maka biaya yag timbul dari berbagai alteratif peugaa dari ke-4 karyawa terebut juga berbeda, eperti terlihat dari tabel / matrik peugaa berikut ii : Karyawa ekerjaa I II III IV A B C D Catata : Nilai-ilai dalam tabel terebut dalam rupiah.

28 Dari kau peugaa terebut di ata, peyeleaiaya adalah : Lagkah Mecari biaya terkecil utuk etiap bari, da kemudia megguaka biaya terkecil terebut utuk meguragi emua biaya yag ada pada bari yag ama. Dega lagkah ii hail yag diperoleh adalah : Lagkah Mematika emua bari da kolom udah memiliki ilai ol. Da teryata maih ada kolom yag belum memiliki ilai ol, yaki kolom. Dega demikia perlu dicari ilai terkecil pada kolom terebut utuk elajutya diguaka utuk meguragi emua ilai yag ada pada kolom terebut, ehigga aka mejadi : Nah, ekarag etiap bari da kolom udah memiliki ilai ol, maka lagkah elajutya adalah : Lagkah Lagkah elajutya adalah mematika atau megecek apakah dalam tabel peugaa terebut, telah berhail ditemuka ilai ol, ebayak umber daya (bia karyawa, mei, alat traportai, atau umber daya laiya) yag juga tercermi dega jumlah bariya. Mialya bila yag aka ditugaka adalah 4 karyawa, maka haru ditemuka ilai ol ebayak 4 buah yag terletak di bari da kolom yag berbeda. Sebaikya dimulai dari bari yag haya memiliki ilai ol. Lagkah ii megaduk arti bahwa etiap karyawa haya dapa ditugaka pada atu pekerjaa aja. erhatika! Dari matrik di ata teryata ilai ol yag ditemuka dalam bari da, mekipu berbeda bari amu maih berada dalam kolom yag ama, ehigga dapat dipatika maalah belum optimal da perlu dilajutka ke lagkah berikutya. Lagkah 4 Karea belum optimal maka lagkah elajutya adalah mearik gari yag meghubugka miimal dua buah ilai ol dalam tabel peugaa terebut, eperti terlihat pada tabel atau matrik berikut ii : Dari lagkah di ata terlihat bahwa gari yag berhail dibuat adalah tiga, dega meyiaka beberapa ilai yag tidak terkea gari. Lagkah 5 Selajutya, perhatika ilai-ilai yag belum terkea gari. ilih ilai yag palig kecil (dari tabel di ata adalah ilai ), kemudia ilai terebut diperguaka utuk meguragi ilaiilai lai yag belum terkea gari, da guaka utuk meambah ilai-ilai yag terkea gari dua kali. Dega lagkah ii hailya adalah :

29 erhatika! emua ilai yag tidak terkea gari ilaiya aka berkurag ebear ilai terkecil dari ilai yag belum terkea gari ebelumya. Semetara itu ilai 5 da pada kolom aka bertambah, karea kedua ilai terebut terkea gari dua kali. Lagkah 6 Dari hail lagkah di ata terebut, apakah ekarag telah berhail ditemuka ilai ol ejumlah atau ebayak umber daya (bia karyawa, mei, alat traportai, atau umber daya laiya) yag juga tercermi dega jumlah bariya (mulai dari bari yag haya memiliki ilai ol)? Dari tabel atau matrik di ata teryata telah berhail ditemuka 4 ilai ol ( ejumlah karyawa yag aka ditugaka), yag berada di bari da kolom yag berbeda Dari hail di ata dapat dikataka bahwa kau peugaa terebut telah optimal, dega alokai peugaa ebagai berikut : Karyawa A ditugaka megerjaka pekerjaa III dega biaya Rp 8,- Karyawa B ditugaka megerjaka pekerjaa I dega biaya Rp 4,- Karyawa C ditugaka megerjaka pekerjaa II dega biaya Rp,- Karyawa D ditugaka megerjaka pekerjaa IV dega biaya Rp 6, Total biaya Rp 68,- Dega demikia dapat diimpulka bahwa dega metode Hugaria, kau peugaa dalam peruahaa di ata dapat dieleaika dega biaya optimal ebear Rp 68,- B. Maalah Maximaliai (utuk kau ormal) Sebuah peruahaa memiliki 5 orag karyawa yag haru meyeleaika 5 pekerjaa yag berbeda. Karea ifat pekerjaa da juga ketrampila, karakteritik dari maig- maig karyawa, produktifita atau keutuga yag timbul dari berbagai alteratif peugaa dari ke-5 karyawa terebut juga berbeda, eperti terlihat dari tabel / matrik peugaa berikut ii : ekerjaa Karyawa I II III IV V A B C D E Catata : Nilai-ilai dalam tabel terebut dalam rupiah. Dari kau peugaa terebut di ata, peyeleaiaya adalah : Lagkah Mecari produktifita atau keutuga terbear utuk etiap bari, da kemudia ilai

30 terebut dikuragi dega emua ilai produktifita yag ada pada bari yag ama. Dega lagkah ii hail yag diperoleh adalah : Lagkah Mematika emua bari da kolom udah memiliki ilai ol. Da teryata maih ada kolom yag belum memiliki ilai ol, yaki kolom. Dega demikia perlu dicari ilai terkecil pada kolom terebut utuk elajutya diguaka utuk meguragi emua ilai yag ada pada kolom terebut, ehigga aka mejadi : Nah, ekarag etiap bari da kolom udah memiliki ilai ol, maka lagkah elajutya adalah : Lagkah Lagkah elajutya adalah mematika atau megecek apakah dalam tabel peugaa terebut, telah berhail ditemuka ilai ol, ebayak umber daya (bia karyawa, mei, alat traportai, atau umber daya laiya) yag juga tercermi dega jumlah bariya. Mialya bila yag aka ditugaka adalah 5 karyawa, maka haru ditemuka ilai ol ebayak 5 buah yag terletak di bari da kolom yag berbeda. Sebaikya dimulai dari bari yag haya memiliki ilai ol. Lagkah ii megaduk arti bahwa etiap karyawa haya dapa ditugaka pada atu pekerjaa aja. erhatika! Dari matrik di ata teryata ilai ol yag ditemuka dalam bari da, mekipu berbeda bari amu maih berada dalam kolom yag ama, ehigga dapat dipatika maalah belum optimal da perlu dilajutka ke lagkah berikutya. Lagkah 4 Karea belum optimal maka lagkah elajutya adalah mearik gari yag meghubugka miimal dua buah ilai ol dalam tabel peugaa terebut, eperti terlihat pada tabel atau matrik berikut ii : Dari lagkah di ata terlihat bahwa gari yag berhail dibuat adalah empat, dega meyiaka beberapa ilai yag tidak terkea gari. Lagkah 5 Selajutya, perhatika ilai-ilai yag belum terkea gari. ilih ilai yag palig kecil (dari tabel di ata adalah ilai ), kemudia ilai terebut diperguaka utuk meguragi ilai-ilai lai yag belum terkea gari, da guaka utuk meambah ilaiilai yag terkea gari dua kali. Dega lagkah ii hailya adalah : 5 4 4

31 erhatika! emua ilai yag tidak terkea gari ilaiya aka berkurag ebear () atau ilai terkecil dari ilai yag belum terkea gari ebelumya. Semetara itu ilai, 5 da pada kolom 5 aka bertambah, karea kedua ilai terebut terkea gari dua kali. Lagkah 6 Dari hail lagkah di ata terebut, apakah ekarag telah berhail ditemuka ilai ol ejumlah atau ebayak umber daya (bia karyawa, mei, alat traportai, atau umber daya laiya) yag juga tercermi dega jumlah bariya (mulai dari bari yag haya memiliki ilai ol à yaki bari ke-5)? Dari tabel atau matrik di ata teryata telah berhail ditemuka 5 ilai ol ( ejumlah karyawa yag aka ditugaka), yag berada di bari da kolom yag berbeda Dari hail di ata dapat dikataka bahwa kau peugaa terebut telah optimal, dega alokai peugaa ebagai berikut : Karyawa A ditugaka megerjaka pekerjaa II dega biaya Rp,- Karyawa B ditugaka megerjaka pekerjaa I dega biaya Rp 4,- Karyawa C ditugaka megerjaka pekerjaa V dega biaya Rp,- Karyawa D ditugaka megerjaka pekerjaa IV dega biaya Rp 6,- Karyawa C ditugaka megerjaka pekerjaa III dega biaya Rp 4, Total biaya Rp 68,- Namu demikia, alteratif lai dari peugaa di ata dapat dipilih eperti terlihat pada tabel berikut ii : Karyawa A ditugaka megerjaka pekerjaa V dega biaya Rp 5,- Karyawa B ditugaka megerjaka pekerjaa IV dega biaya Rp 5,- Karyawa C ditugaka megerjaka pekerjaa I dega biaya Rp 9,- Karyawa D ditugaka megerjaka pekerjaa II dega biaya Rp 5,- Karyawa C ditugaka megerjaka pekerjaa III dega biaya Rp 4, Total biaya Rp 68,- Dega demikia dapat diimpulka bahwa dega metode Hugaria, kau peugaa dalam peruahaa di ata dapat dieleaika dega biaya optimal ebear Rp 68,- Catata : Dalam praktek ehari-hari, tidak emua maalah peugaa memiliki matrix biaya atau keutuga eperti dalam dua cotoh kau di ata. Ada kalaya eorag karyawa mialya, tidak dapat dialokaika atau ditugaka utuk ebuah pekerjaa tertetu (karea alaa, uia, jei kelami, ketrampila yag tidak memadai, kodii fiik, atau karea ebab

32 laiya). Dega demikia karyawa dega keterbataa eperti itu tidak dapat dipakaka megerjaka ebuah pekerjaa yag memag tidak mugki bagiya. Utuk megatai hal emacam ii, maka dalam proe peyeleaiaya, perlu ditambahka ebuah bilaga yag agat bear, da diebut dega bilaga M (utuk maalah miimaliai) da M (utuk maalah maximaliai). roe peyeleaia elajutya dapat dilakuka dega cara yag ama eperti pada kau peugaa yag ormal, haya aja pada keptua optimalya aka dihidari meugaka karyawa pada tuga yag memiliki bilaga M atau M terebut.

33 BAB V ROGRAM DINAMIK rogram diamik adalah tekik matematik yag dapat diterapka pada berbagai jei peroala. edekata program diamik meliputi optimiai proe keputua multitahap, yaitu membagi uatu perola kedalam tahap-tahap atau ub-problem da kemudia meyeleaika ub-problem itu ecara beruruta ampai peroala awal akhirya dapat dieleaika. eroala Stagecoach Jei peroala yag dapat dieleaika megguaka program diamik alah atuya peroala adalah tagecoach, merupaka peroala utuk meetuka rute optimal melalui jariga. ada jama dahulu, eorag pedagag yag bertempat tiggal dipatai timur Amerika Serikat aka melakuka perjalaa ke patai barat dega kereta tigkat. Harga aurai perjalaa perjalaa aka mecermika rute yag palig ama. Yaitu maki murah poli maki ama ruteya. Tujua kita adalah mecari rute yag palig ama dari tate i dalam tahap ampai tate j dalam tahap 5. Nomer dalam ligkara meyajika tate maa yag dapat ia lalui. Bilaga pada aak paah dari atu tate ke tate laiya bereuaia dega harga poli. Cij meyataka harga poli dari tate i ke tate j. Diketahui: C=4 C5= C5=6 C46= C58=4 C= C6=9 C6=7 C47=8 C59=8 C4= C7= C68= C78=5 C8,=8 C9,=4 C69=6 C79= Tahap Tahap Tahap Tahap 4 Tahap 5 Maalahya adalah meetuka rute yag palig ama dari tate ampai tate. Ii ama aja dega meetuka rute yag memiimumka harga poli. Utuk meyeleaika maalah diata diperluka lagkah-lagkah bb: Lagkah Kita mulai dega megadaika bahwa pedagag telah ampai pada tahap 4. Mialka utuk emetara ia berada dalam tate 8. Maakah jala termurah utuk mecapai tate, karea haya terdapat atu rute, maka biaya termurah dari tate 8 ke tate adalah 8 uit. Mialka f4(8)=8 meyataka biaya miimum, da mialka d4(8)= meyatakatate berikut dimaa ia haru pergi dari tate 8. Tetapi mialka dalam tage 4 ia berada dalam tate 9, biaya miimum dari tate 9 ke adalah f4(9)=4 da d4(9)=. Jadi, bila ia ampai pada tate 8 atau 9 dalam tage 4, keputua terbaik adalah pergi ke tate karea ii hayalah atu-atuya rute. Tabel dibawah meyajika keeluruha hail diata. X 8 9 f4(x) 8 4 d4(x) Tabel Keputua Optimal Tahap 4-5