Integral Tentu. Bab. Di unduh dari : Bukupaket.com. Kompetensi Dasar Dan Pengalaman Belajar

Transkripsi

1 Bb 5 Itegrl Tetu Kompetesi Dsr D Peglm Beljr Kompetesi Dsr. Meghyti d megmlk gm yg diuty. Meghyti perilku disipli, sikp kerjsm, sikp kritis d cermt dlm bekerj meyelesik mslh kotekstul. Memiliki d meujukk rs igi thu, motivsi iterl, rs seg d tertrik d percy diri dlm melkuk kegit beljr tupu memechk mslh yt.7 Memhmi kosep jumlh Riem d itegrl tetu sutu fugsi deg megguk fugsi-fugsi sederh o-egtif..8 Megguk Teorem Fudmetl Klkulus utuk meemuk hubug tr itegrl dlm itegrl tetu d dlm itegrl tk tetu..7 Megolh dt d membut model fugsi sederh o egtif dri mslh yt sert megiterpretsik mslh dlm gmbr d meyelesik mslh deg meguk kosep d tur itegrl tetu..8 Megjuk mslh yt d megidetiksi sift fudmetl klkulus dlm itegrl tetu fugsi sederh sert meerpky dlm pemech mslh. Peglm Beljr Mellui pembeljr Itegrl Tertetu, sisw memperoleh peglm beljr:. Megproksimsi lus derh deg meguk jumlh poligo-poligo (segi empt).. Meemuk kosep jumlh Riem deg megguk kosep sigm d jumlh poligopoligo.. Medefiisik itegrl tetu megguk kosep jumlh Riem

2 Biogrfi Berhrd Riem Berhrd Riem lhir di Breselez, sebuh des didekt Deberg di Kerj Hover di Jerm. Riem merupk k kedu dri 6 bersudr. Kelurg Riem miski d Riem sert sudr-sudry lemh sert skit-skit. Meskipu hidup dlm kemiski d kekurg gizi, yh Riem berhsil megumpulk d yg cukup utuk megirim putery yg kii berusi 9 thu ke Uiversits Göttige yg terkel itu. Di s, di bertemu utuk pertm Sumber: Dokume Kemdikbud kli Crl Friedrich Guss, yg dijuluki Pger Ilmu Mtemtik, slh seorg mtemtikw terbesr sepjg ms. Bhk smpi sekrg, Guss digologk oleh pr hli mtemtik sebgi slh stu dri ketig mtemtikw plig terkel dlm sejrh: Archimedes, Isc Newto, d Crl Guss. Hidup Riem sigkt, hy 9 thu. I tidk mempuyi wktu utuk meghsilk kry mtemtik sebyk yg dihsilk Cuchy tu Euler. Tetpi kryy meggumk utuk kulits d kedlmy. Mklhmklh mtemtisy meetpk rh bru dlm teori fugsi kompleks meprkrsi studi medlm dri p sekrg yg disebut topologi, d dlm geometri memuli perkembg yg memuck 5 thu kemudi dlm teori Reltivits Eistei. Wlupu Newto d Leibiz keduy mempuyi sutu versi tetg Itergl d megethui tetg Teorem Dsr dri klkulus itergl, Riemlh yg memberi kit defiisi moder tetg Itergl Tetu. Utuk meghormtiy, disebut Itergl Riem. Riem jug dihubugk deg fugsi zet Riem, lem Riem, mipol Riem, teorem pemet Riem, problem Riem-Hilbert, teorem Riem-Roch, persm Cuchy-Riem. Sumber: Beberp hikmh yg mugki bis kit petik, ditr:. Kemiski d kekurg/kelemh fisik buk ls utuk berheti beljr d megejr cit-cit, selm d kemu psti d jl. Nili kry seseorg tidk hy diliht dri kutits belk kre yg tk klh petigy dlh kulits dri kry itu sediri.

3 Pet Kosep Itegrl Itegrl Tktu Tetu Itegrl Tetu Itegrl Riem Jumlh Riem Teorem Fudmetl Klkulus (TFK) Sigm Peerp Itegrl Tetu (Lus Derh)

4 Wter potetil grdiet Subbb 5. Notsi Sigm, Jumlh Riem d Itegrl Tetu Kegit 5.. Meetuk Lus Permuk Du Ayo Megmti Secr lmih tumbuh meglmi kehilg ir mellui pegup. Proses kehilg ir pd tumbuh ii disebut trspirsi. Pd trspirsi, hl yg petig dlh difusi up ir dri udr yg lembb di dlm du ke udr kerig di lur du. Kehilg ir dri du umumy melibtk kekut utuk merik ir ke dlm du dri berks pembuluh yitu pergerk ir dri sistem pembuluh dri kr ke pucuk, d bhk dri th ke kr. Besry up ir yg ditrspirsik dipegruhi oleh beberp fktor, tr li: () Fktor dri dlm tumbuh (jumlh du, lus du, d jumlh stomt); () Fktor lur (suhu, chy, kelembb, d gi). Outside ir Ψ =. to. MP Lef Ψ (ir spces) = 7. MP Lef Ψ (cell wlls) =. MP Xylem sp Mesophyll cells Stom Wter molecule Trspirtio Atmosphere Xylem cells Adhesio Cell wll Truk ylem Ψ =.8 MP Cohesio d dhesio i the ylem Cohesio, by hydroge bodig Root ylem Ψ =.6 MP Soil Ψ =. MP Wter molecule Root hir Soil prticle Wter Wter uptke from soil Perso Eductio, Ic., publishig s Beymi Cummigs. Gmbr 5. Proses Trspirsi Pd Tumbuh Kels XII SMA/MA

5 Berikut pempg slh stu du: Gmbr 5. Pempg sebuh du Kre lus permuk du merupk fktor yg mempegruhi lju trspirsi pd tumbuh, mk iformsi megei ukur lus du bergu utuk megethui lju trspirsi tersebut. Seljuty, coblh d mti gmbr permuk du berikut ii:? Gmbr 5. Du Versi Peempt Du Pd Permuk Kerts berpetk d berkolom Ayo Mey Berdsrk hsil pegmt/membc iformsi tetg pegruh lus du terhdp lju trspirsi sert Gmbr 5., cob d but miiml perty/dug wl/kesimpul wl megei lus du. Upyk perty yg d but memut kt-kt lus derh, membgi/ memprtisi, persegipjg d iliy plig medekti. Kurikulum Mtemtik

6 =+ Ayo Meggli Iformsi + Dri seki byk perty yg d but, mugki d ditry perty-perty berikut:. Bgim cr meghitug lus du tersebut?. Kosep lus p yg bis diterpk utuk meghitug lus bidg secr umum?. Bgim cr memperkirk secr kurt ukur lus derh yg memiliki betuk tk bertur? Utuk megumpulk iformsi yg medukug jwb ts pertyperty yg d juk, cob perhtik gmbr-gmbr berikut ii: Persegipjg Jjrgejg Segitig l t p A = p l p A = p t Gmbr 5. p A = ½ p t Dri Gmbr 5., coblh Ad cermti tetg bgim peetu lus segitig d jjrgejg megguk kosep lus persegipjg. A A A A 5 A A = A + A + A + A + A 5 Gmbr 5. 5 Poligo/segibyk A Dri Gmbr 5.5, coblh mti d butlh kesimpul terkit hubug tr lus segibyk A d lus segitig-segitig A, A,..., A 5. Kels XII SMA/MA

7 T T T Gmbr 5. 6 Dri Gmbr 5.6, coblh mti d butlh kesimpul tetg hubug tr lus ligkr deg lus segibyk yg meyelimuti ligkr tersebut. Ayo Melr Kembli ke mslh lus pempg du, seljuty perhtik gmbr berikut: Kit ggp du simetris deg tulg du sebgi sumbu simetriy, kemudi potoglh tept pd sumbu simetriy Gmbr 5.7 Berdsrk Gmbr 5.7, p yg bis Ad simpulk terkit lus du wl deg lus du setelh dipotog? Apkh berrti utuk mecri lus du, cukup ditetuk lus sepruh duy, sebgi berikut: Gmbr 5. 8 Pempg Setegh Du Kurikulum Mtemtik 5

8 A A A A A 5 A 6 A 7 A 8 Gmbr 5. 9 Peempt Setegh Du Pd Koordit Krtesius Deg demiki, lus sepruh du bis dihitug deg meghitug jumlh lus semu persegipjg. Apkh lus sepruh du (A du ) sm deg jumlh semu lus persegipjg tersebut (A + A + A + A + A 5 + A 6 + A 7 + A 8 )? Ayo Melr Ketik Ad perhtik jumlh lus-lus persegipjg A + A + A + A + A 5 + A 6 + A 7 + A 8 Perty merik yg bis Ad juk dlh pkh d cr yg prktis tu sigkt peulis betuk jumlh tersebut. Utuk meytk jumlh tersebut dlm betuk yg sederh diguk otsi sigm 8 A, yg berrti kit mejumlhk semu bilg i= i dlm betuk yg diidiksik sebgi ideks i yg merupk bilg bult, muli dri bilg yg ditujukk di bwh d berkhir pd bilg di ts. Cotoh 5. Nytklh betuk jumlh dlm otsi sigm. 6 Kels XII SMA/MA

9 Cotoh 5. Nytklh betuk jumlh deret persegi dlm otsi sigm. Cotoh 5. Bdigklh d simpulk psg ili sigm berikut ii:. ci d i= c i= i i i d i=. ( + b ) i i d i=. ( b ) + i i= i= i i= i= b b i i Mislk bts tiggi du pd Gmbr 5.9 diwkili oleh grfik fugsi f() pd itervl [, ] deg prtisi (bgi) sebyk 8, sehigg diperoleh skets sebgi berikut: f ( ) f ( ) y f() A A A A A 5 A 6 A 7 A { { { { { { { { Gmbr 5. Kurikulum Mtemtik 7

10 Berdsrk iformsi pd Gmbr 5.. Legkpilh isi berikut: A = f ( ) A = f ( )... A =... A =... A 5 =... A 6 =... A 7 =... A 8 =... Berdsrk kosep sigm d jwb d terkit tip-tip lus persegipjg deg pjg f( i ) d lebr i, butlh kesimpul terkit lus totl (keseluruh persegi yg terbetuk). 8 ( ) ( 8) ( ) A + A A = f f = f i i 8 Seljuty ili ( i ) i= f i= i disebut Jumlh Riem fugsi f(), deg i dlh titik wkil pd itervl ke-i d i lebr itervl ke-i d byk subitervl. Cotoh 5. Mislk dikethui sutu fugsi f() = pd itervl [, ], tetuk jumlh Riem deg megguk 6 subitervl sm pjg d titik ujug k subitervl sebgi titik wkil tip-tip subitervl. Altertif Peyelesi Utuk dpt meetuk jumlh Riem fugsi f() = deg 6 subitervl pd selg [, ], perhtik grfik fugsi f() = pd itervl [, ], berikut: 8 Kels XII SMA/MA

11 y Deg demiki didpt, ( ) f = ( ) f ( ) =... f ( ) =... f ( ) =... f ( 5 ) =... f ( 6 ) =... f,5 =,5 Gmbr 5. Kre lebr subitervl sm berrti i =,..., 6 i = = =,5 utuk setip 6 Jdi jumlh Riem dri f() = pd itervl [, ] deg 6 subitervl dlh Kurikulum Mtemtik 9

12 6 f ( i ) i = ( ) ( ) ( ) ( ) ( 5) ( 6) i= ( ) 6 f i = i= Cotoh 5.5 f + f + f + f + f + f Mislk dikethui sutu fugsi f() = pd itervl [, ], tetuk jumlh Riem deg megguk 6 subitervl sm pjg d titik ujug k subitervl sebgi titik wkil tip-tip subitervl. Altertif Peyelesi 5 6 f + f + f + f + f + f = ( ) ( ) ( ) ( ) ( 5) ( 6) ( 5 6 ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =... f + f + f + f + f + f Utuk dpt meetuk jumlh Riem dri f() = deg 6 subitervl pd itervl [, ], deg megguk cr peyelesi pd Cotoh 5., gmbrlh grfik fugsi f() = pd itervl [, ] d 6 persegipjg sebyk 6 deg lebr sm d tiggi persegipjg sebesr ili fugsi pd bts k subitervl berikut: y 5 Gmbr 5. Kels XII SMA/MA

13 Kre pjg subitervl sm berrti i =,..., 6 i = = =,5 utuk setip 6 Jdi jumlh Riem dri f() = pd itervl [, ] deg 6 subitervl dlh 6 i= ( ) f i = f ( ) + f ( ) + f ( ) + f ( ) + f ( 5 ) + ( 6 ) ( 5 6 ) f + f + f + f + f + f = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =... f Cotoh 5.6 Bil diperhtik fugsi pd Cotoh 5.5 merupk fugsi positif (megp?). Sketsk fugsi g() = pd itervl [, ] memki 7 subitervl d titik tegh subitervl sebgi titik wkily, butlh kesimpul tetg hubug tr jumlh Riem deg jumlh lus persegipjg (A i ) yg terbetuk. g() A 5 A 6 A 7 -,5 A A -,5,5,5 A A Gmbr 5. Kurikulum Mtemtik

14 Jumlh Riem dri () = pd itervl [, ] dlh 7 i= ( i ) g = i ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) g + g + g + g + g + g + g = A A Altertif Peyelesi Kembli ke pembhs tetg meetuk lus du yg diwkili oleh lus derh yg dibtsi oleh grfik fugsi f() d sumbu- pd itervl [, ], seperti yg terliht pd gmbr berikut: f() Gmbr 5. perty merik yg bis dijuk dlh pkh jumlh lus semu persegi pjg yg terbetuk sm deg lus sepruh du yg igi dicri? Jik tidk, bgim meghitugy gr iliy sm? Utuk mejwb perty tersebut perhtik gmbr berikut ii: Gmbr Kels XII SMA/MA

15 Coblh but kesimpul terkit derh di bwh kurv deg lus seluruh persegi pjg yg dibetuk deg berbgi kodisi (pjg persegipjg mki megecil). Deg megguk hsil kesimpul d, gbugk deg kosep limit tk higg, yki: ( ) lim g Mislk dlm hl ii g() merupk jumlh Riem oleh f() deg subitervl. Butlh kesimpul terkit lus du tu lus derh yg dibtsi oleh grfik fugsi f d sumbu-: Deg demiki lus setegh du tersebut (A du ) dlh: i = ( ) A = lim f du Seljuty ( ) lim f i i disebut Itegrl Tetu fugsi f() pd = f d. itervl [, ], ditulis ( ) i Kurikulum Mtemtik

16 Cotoh 5.7 Mislk diberik sutu fugsi f() =, tetuk itegrl tetu dri f() = pd itervl [, ] tu d Altertif Peyelesi Utuk meetuk itegrl tetu dri fugsi f() = pd itervl [, ], mk yg perlu dilkuk pertm kli dlh meetuk jumlh Riem dri fugsi f() = deg subitervl pd itervl tersebut (megp?) Deg demiki perlu meetpk: pjg msig-msig subitervl d Titik wkil pd msig-msig subitervl ( i ). Pjg msig-msig subitervl ( i ) dibut sm (p boleh berbed? megp dibut sm?), yki: i = =, utuk setip i =,..., Kit bis memilih titik wkily ( i ) dlh titik bts k pd tiptip itervl (p boleh ujug kiri/ tegh-tegh itervl?), sehigg didpt: = = + = + = = = + = + = = =... = = i = = i = =... Jumlh deret ritmtik, deret kudrt d kubik dlm otsi sigm i= i= i= ( + ) i = = i i = = ( + )( + ) 6 ( + ) = = Kels XII SMA/MA

17 Sehigg ili fugsi pd tip-tip titik wkily diperoleh: ( ) ( i) f = f = =... i Deg demiki jumlh Riemy dlh i= ( ) ( ) ( )... i i ( ) f = f + f + + f Kre subitervl sm pjg i = = utuk setip i =,,..., f = f sehigg ( ) ( ) i i i= i= i = f ( ) + f ( ) + + f ( ) = f ( ) + f ( ) f ( ) = ( ) Deg demiki diperoleh jumlh Riem utuk fugsi f() = pd itervl [, ] dlh ( i ) f i =... i= Gmbr 5.6 Jdi itegrl tetu dri f() = pd itervl [, ] tu = ( ) lim f i =... = i d dlh d Kurikulum Mtemtik 5

18 Cotoh 5.8 Deg megguk Jumlh Riem, tetuk lus derh yg dirsir pd gmbr berikut: Gmbr 5.5 Cotoh 5.9 Mislk diberik sutu fugsi f() =, tetuk itegrl tetu dri f() =, pd itervl [, ] tu d. 6 Kels XII SMA/MA

19 Altertif Peyelesi Ad bis megguk lgkh-lgkh peyelesi pd Cotoh 5.7 tu megguk lgkh-lgkh peyelesi sediri. Ad bis muli deg meggmbrk grfik fugsi pd itervl yg diberik, seljuty tetuk ili itegrl tetuy. Cotoh 5. Perhtik derh R yg merupk gbug dri derh R d R yg dirsir pd gmbr berikut: y y = f() R R b c Tetuk lus derh R, R d R d ytk hubug tr tr lus R deg lus totl R d R dlm persm itegrl. Dri hsil megsosisi, butlh kesimpul umum terkit:. Notsi Sigm d Sift-sifty b. Jumlh Riem utuk fugsi f c. Itegrl Tetu utuk fugsi f yg didefiisik pd itervl tutup [, b] d. Lus derh di ts sumbu- d dibtsi oleh grfik fugsi positif f b pd itervl [, b] d ili itegrl tetu f ( ) d. Kurikulum Mtemtik 7

20 Ayo Megomuiksik Tulisklh kesimpul yg Ad dptk terkit jumlh Riem d itegrl tetu utuk fugsi f yg didefiisik pd itervl tutup [, b]. Tukrk tulis tersebut deg tem sebgku/kelompok liy. Secr stu, silhk slig berkometr, meggpi kometr, memberik usul d meyepkti ide-ide yg plig tept. Ltih 5.. Perhtik gmbr berikut: Gmbr. Nytk mslh byky jeruk yg disjik pd Gmbr dlm otsi sigm. b. Tetuk byky jeruk yg disusu di ts kotk seperti yg terliht pd Gmbr. Sumber : Kemedikbud. Tetuk jumlh Riem dri fugsi yg diperlihtk oleh gmbr berikut y y = f() = - +,7,5,7,7,5,5 Gmbr 8 Kels XII SMA/MA

21 . Tetuk jumlh Riem fugsi f() = + pd itervl [, ] deg megguk subitervl deg lebr sm pjg d titik-titik ujug kiri subitervl sebgi titik wkily.. Tetuk jumlh Riem fugsi g() = + pd itervl [, 5] (megguk subitervl deg lebr sm pjg). 5. Tetuk itegrl tetu fugsi f() = pd itervl [, ] tu d. 6. Tetuk itegrl tetu d. 7. Nytk limit berikut sebgi sutu itegrl tetu. lim i= i i b. lim i= + c. lim ( cos( π) + cos( π) + cos( π) cos( π) ) d. lim d b b 8. Tujukk bhw = ( ) 9. Guk defiisi jumlh Riem, utuk meujukk bhw:. f( )d = b. f ( ) d = f ( ) d, > b b b Kurikulum Mtemtik 9

22 Subbb 5. Teorem Fudmetl Klkulus. Ad telh mempeljri tetg itegrl tetu pd subbb sebelumy. Utuk meetuk ili itegrl tetu megguk jumlh Riem, teryt memerluk lgkh yg rumit. Newto d Leibiz telh meemuk cr yg lebih mudh dlm meetuk ili itegrl tetu. Cr tersebut dikel sebgi Teorem Fudmetl Klkulus (TFK). Pd uri berikut, Ad k beljr tetg teorem fudmetl klkulus. Teorem fudmetl klkulus terdiri ts teorem fudmetl klkulus I d teorem fudmetl klkulus II. Teorem ii byk diguk dlm mslh terp, misly mecri lus sutu derh yg dibtsi oleh kurv. Seperti p teorem fudmetl klkulus itu? Silhk Ad peljri dlm uri berikut. Kegit 5.. Teorem Fudmetl Klkulus I Ayo Megmti Cotoh 5. y y = t+ A() t Gmbr 5. Jik A() dituruk, mk diperoleh: A'( ) = + = +. Diberik derh yg dibtsi oleh gris y = t+, t =, t =. Derh yg dirsir membetuk trpesium. Deg megguk rumus lus trpesium didpt, A ( ) = ( + + ) = + Kels XII SMA/MA

23 Lus derh tersebut dpt diytk deg t + dt, sehigg d d A'( ) = + = t dt d d + = + d deg kt li t dt d + = + Cotoh 5. Mislk lus derh pd gmbr di bwh diytk sebgi fugsi F(). y y f(t) = t + t f(t) = t + t F() t t () (b) Gmbr 5. Lus derh yg dibts oleh gris t =. f() t t t = +, sumbu- d Deg memprtisi itervl tersebut mejdi subitervl sm pjg (Gmbr 5..b), pjg subitervl t = =, mk betuk itegrl tetuy dlh: lim ( ) i i = t + t dt = f t t i i = lim f ( ) i = i i = lim ( ) + i = = + lim i i= i= i Kurikulum Mtemtik

24 ( + )(+ ) ( + ) = lim + 6 ( + + ) ( + ) = lim + = lim = + Oleh kre ( ), mk F = t + t dt d d F '( ) = + = t + t dt = + d d Deg kt li d d t + t dt = + Dri Cotoh 5. d Cotoh 5. di ts, diperoleh d d t + dt = + d d d t + t dt = + fudmetl klkulus I.. Hubug iilh yg disebut teorem? Ayo Mey Setelh megmti Cotoh 5., Cotoh 5. cob Ad membut perty. Mugki Ad k berty: Seperti p betuk umum teorem fudmetl klkulus I itu? Sekrg, butlh perty-perty pd tempt berikut ii. Kels XII SMA/MA

25 =+ Ayo Meggli Iformsi + Seperti pkh betuk umum teorem fudmetl klkulus I? Utuk memhmi lebih jels perhtik kembli Cotoh 5. d Cotoh 5. di ts. Dri kedu cotoh tersebut diperoleh kesimpul. d t dt d + = + d d. t + t dt = + Mislk () t+ = f t, mk f( ) = + sehigg d t dt d + = + d f () t dt = f ( ) d Deg cr yg sm, misl t + t= gt (), mk g ( ) = + sehigg d t t dt d + = + d g() t dt = g( ) d Utuk lebih meykik dug Ad, mitlh kepd Guru Ad beberp fugsi yg kotiu di (, b). Mislk (, b), crilh f () t dt dri tiptip fugsi tersebut. Selidikilh, pkh diperoleh kesimpul yg sm deg Cotoh 5. d 5.? Kurikulum Mtemtik

26 Teorem Fudmetl Klkulus I (TFK I) Jik f kotiu pd [, b] d sebrg titik di (, b), mk d d f () t dt = f ( ) Ayo Melr Sebgi seorg peljr yg berfikir logis, tetuy kli tidk percy begitu sj deg sutu peryt. Peryt tersebut hrus dibuktik terlebih dhulu bru dipercy kebery. Sekrg, mrilh kit buktik keber dri teorem fudmetl klkulus I tersebut. Sebelumy perlu diigt kembli tetg sift pembh itervl pd itegrl tetu. jik f dlh fugsi yg teritegrlk pd itervl yg memut, b, d c, mk c b c f ( ) d = f ( ) d + f ( ) d b Bukti Teorem Fudmetl Klkulus I Didefiisik F( ) = f () t dt + h F( + h) = f () t dt Didpt = f ( t) dt + f ( t) dt + h... () + h F( + h) F( ) = f() t dt Mislk m = miimum f() utuk di [, b] M = mksimum f() utuk di [, b] berdsrk gmbr di smpig diperoleh M m y f() + h Sumber: Clculus 9 th y = f(t) t Kels XII SMA/MA

27 + h mh f () t dt Mh mh F( + h) F( ) Mh F( + h) F( ) m M... ( b) () h F( + h) F( ) lim m lim lim M h h h h lim m= f( ) d lim M = f( ), sehigg h h F( + h) F( ) f( ) lim f( ) h h Deg megguk teorem pit didpt F( + h) F( ) lim = f( ) h h Kre F( + h) F( ) d d lim = F( ) = f ( t) dt h h d d d Disimpulk bhw f ( t) dt f () d = Nh, sekrg coblh utuk memberi ls pd persm () d persm () di ts. Ayo Megomuiksik Dri pegmt Ad mellui cotoh d bukti tetg teorem fudmetl klkulus I butlh kesimpul. Tulislh kesimpul yg Ad but pd selembr kerts. Kemudi tukrk kesimpul Ad deg tem yg li. Cermti kesimpul tem Ad, kritisi, tyk d berik sr perbik jik diggp perlu. Kurikulum Mtemtik 5

28 Kegit 5.. Teorem Fudmetl Klkulus II Ayo Megmti Pd subbb sebelumy Ad telh mempeljri itegrl tetu deg megguk jumlh Riem. Utuk meghitug itegrl tetu deg megguk jumlh Riem dibutuhk lgkh yg pjg d gk rumit. Amti deg cermt beberp betuk itegrl tetu berikut dimbil dri subbb sebelumy. Tbel 5... Fugsi d itegrl tetuy. f() b f ( ) d (Deg Jumlh Riem) 9 d = 8 d = d = 8 7 d = F() F() F(b) F(b) F() + C C + C C + + C + C 5 C + C C 9 + C C C 7 Cotoh 5. Tetuk + d. Altertif Peyelesi derh yg dirsir pd gmbr berikut dlh represetsi membetuk trpesium. Lus derh tersebut dlh 7 L = ( + ) = + d yg 6 Kels XII SMA/MA

29 5 y = + Gmbr 5. Nh sekrg k kit cob membut proses yg sm deg Tbel 5... f( ) = +, sehigg F( ) = + + C 5 F() = + + C = + C d F() = + + C = 6 + C 5 7 F() F() = 6 + C + C = Cotoh 5. Tetuk itegrl tetu + d. 5 y = + 5 Gmbr 5.5 Derh yg dirsir pd gmbr di ts dlh represetsi + d. Utuk meghitug + d diguk jumlh Riem. Mislk itervl tersebut diprtisi mejdi subitervl deg lebr subitervl yg sm, i yitu =, sehigg i = + Kurikulum Mtemtik 7

30 i i lim f( i ) = lim i= i= i 8i = lim + + i= 8 = lim i i + + i i = = i= ( + ) 8 ( + )(+ ) = lim = lim = + = Jdi + d = 8 Nh sekrg k kit cob membut proses yg sm deg Tbel 5... f( ) = +, sehigg 5 F() = + + C = + C d F() = C = + C F( ) = + + C F() F() = + C + C = 6? Ayo Mey Setelh megmti deg cermt Tbel 5.. d beberp cotoh di ts, mugki Ad mempuyi dug d perty-perty. Mugki perty Ad sebgi berikut:. Ap hubug tr kolom () deg kolom () pd Tbel 5..?. Adkh keterkit tr turu d itegrl tk tetu pd Tbel 5..? 8 Kels XII SMA/MA

31 . Apkh hsil pd kolom () d kolom (6) pd Tbel 5.. sellu sm utuk sebrg fugsi f()?. Apkh kostt C di kolom () pd Tbel 5.. dpt dibik? Tulislh dug d perty-perty Ad pd kotk berikut: Teorem Fudmetl Klkulus II (TFK II) Jik f kotiu pd [, b] d F tituru f pd [, b], mk b f ( ) d = F ( b ) F ( ) Perlu Ad cermti, bhw TFK II ii berlku pbil f merupk fugsi kotiu pd [, b]. F(b) F() diotsik [ F ] b [ ] f ( ) d = F ( ) = F ( b ) F ( ) Cotoh 5.5 b ( ) b, sehigg TFK II dpt diytk sebgi Guk TFK II utuk meetuk d Altertif Peyelesi d = 8 = = Kurikulum Mtemtik 9

32 Cotoh 5.6 Lus derh yg dibtsi oleh gris + y =, sumbu, gris = d = dpt diytk dlm betuk itegrl tetu d. Lus derh yg terbetuk dlh = = + y = d Gmbr 5.6. Lus derh deg megguk itegrl tetu. Altertif Peyelesi Lus derh pd Gmbr 5.6 di ts teryt dpt dicri deg itegrl tetu d. Hl ii sesui deg lus derh deg megguk rumus lus segitig. Dri Gmbr 5.6 di ts, pjg ls segitig dlh d tiggiy. Sehigg lus segitig tersebut L= t = =. =+ Ayo Meggli Iformsi + Butlh beberp sol tetg itegrl tetu. Tukrk sol yg Ad but deg tem Ad. Kemudi selesik sol yg telh ditukr. Ad dpt megguk itegrl Riem, TFK I d TFK II dlm meyelesik sol. Secr stu, diskusik jwb tip-tip sol. Jik d hl yg tidk Ad megerti, silhk mit btu dri Guru Ad. Kels XII SMA/MA

33 Ayo Melr Ad telh mempeljri Teorem Fudmetl Klkulus I (TFK I). Hl petig d dri TFK I dlh f () t dt f ( ) d =. Sekrg kit guk TFK I. utuk membuktik TFK II. Mislk g( ) = f () t dt. Hl ii berrti g() dlh tituru dri f.... () Oleh kre itu, jik F() dlh tituru li utuk f, F() d g() hy dibedk oleh sutu kostt C, sehigg dpt diytk sebgi: F() = g() + C kibty F ( ) = g ( ) + Cd Fb ( ) = gb ( ) + C... () g( ) = f () t dt = d g( b) = f () t dt... () b Sehigg b Fb ( ) F ( ) = gb ( ) + C ( g ( ) + C) = gb ( ) + C g ( ) C= gb ( ) g ( ) = f( t) dt Diperoleh kesimpul f () t dt = F ( b ) F ( ). b Sekrg berilh ls pd lgkh (), (), d () pd pembukti TFK II. Mislk g( ) = f () t dt, Hl ii berrti [, b] dlh tituru dri f. Alsy : Kurikulum Mtemtik

34 F ( ) = g ( ) + Cd Fb ( ) = gb ( ) + C Alsy : g( ) = f () t dt = d g( b) = f () t dt Alsy : b Ayo Megomuiksik Dri ktivits d pegmt yg telh Ad lkuk, butlh kelompok yg berggotk org. Kemudi tulislh kesimpul tetg teorem fudmetl klkulus II. Tukrk hsil kesimpul Ad deg kelompok li. Amti d cermti kesimpul kelompok li. Kritisi, tyk d beri sr jik diperluk. Kels XII SMA/MA

35 Ltih 5.. Tetuk G'() jik:. ( ) = G t dt b. G( ) = t dt c. G( ) = si t dt d. G( ) = cos t dt. Dikethui fugsi f yg f ( ) = itervl sehigg grfik y = f():. ik b. turu c. cekug ke ts.. Tetuk f jik: u + u du, d. Tetuk. b. c. f () t dt = + 5 f ( t ) dt = si f ( t ) dt = cos. Selidiki, dkh fugsi f yg memeuhi f () t dt = + 5. Tetuk itegrl berikut. π. cos d b. c. d + d Kurikulum Mtemtik

36 6. Jik dikethui p = d d, tetuk p. 7. Tetuk ili b jik dikethui ili b si π + d = + 8. Guk sift ditif pd itegrl tetu utuk meetuk ili:. d b. d c. π π si d 9. Tujukk bhw merupk tituru dri. Guk hsil itu utuk meulisk b d tp betuk itegrl.. Lus derh yg dibtsi oleh y =, sumbu-, sumbu-y d gris = dlh d tersebut.. Tetuk lus derh yg dibtsi oleh fugsi-fugsi Gmbr L = y = d = Kels XII SMA/MA

37 Subbb 5. Peerp Itegrl Tetu Dptkh Ad meghitug lus derh dri bgu berikut? () (b) (c) (d) (e) Gmbr 5.7 Pempg beberp bgu dtr. Dri beberp bgu dtr pd Gmbr 5.7 dptkh Ad meghitug lus derhy? Tetuy sgt mudh utuk meghitug lus derh yg ditujukk Gmbr 5.7., 5.7.b d 5.7.c. Lts bgim meghitug lus derh yg ditujukk Gmbr 5.7.d d 5.7.e? Pd uri sebelumy Ad telh mempeljri bgim cr utuk meetuk lus dri setegh du. Perhtik kembli mslh cr meetuk du berikut ii. Kurikulum Mtemtik 5

38 Gmbr 5.8 Pempg setegh du Utuk meetuk hmpir dri lus du pd Gmbr 5.8 diguk persegi pjg-persegi pjg tu yg lzim disebut prtisi. Agr hmpir dri lus pempg setegh du ii medekti lus sesugguhy, prtisi tersebut dibut sebyk mugki. Sehigg lus pempg setegh du tersebut diytk sebgi A = lim f( ) du i i i = Deg meytk lebr subitervl. Mislk pempg setegh du tersebut dibtsi pd itervl [, b], mk lus pempg du diytk sebgi A du = b f ( ) d Ayo Megmti Cotoh 5.7 Amtilh gmbr gris y = berikut 6 Kels XII SMA/MA

39 y = Gmbr 5.9 Gmbr gris y = Dri Gmbr 5.9 di ts, tetuk lus derh yg dibtsi oleh gris y =, sumbu-, ditr = d = 6 Altertif Peyelesi Apbil dibut skets derh yg terbetuk oleh gris y =, sumbu-, ditr = d = 6 mk diperoleh gmbr berikut ii. y = Gmbr 5. Gmbr derh yg dibtsi y =, sumbu-, ditr = d = 6 Kurikulum Mtemtik 7

40 Jik dimti derh yg terbetuk pd Gmbr 5. dlh segitig sikusiku deg pjg ls 6 stu d tiggi stu. Deg megguk tur lus segitig diperoleh Lus = t = 6 = 9 Jdi lus derh yg dibtsi oleh gris y=, =, = 6 d sumbu- dlh 9 stu lus. Mugki Ad berty-ty, Apkh kosep prtisi d itegrl tetu dpt diguk pd mslh ii? Utuk mejwb perty tersebut, mtilh gmbr-gmbr berikut. y = y = () Gmbr 5.. Derh yg dibtsi (b) y =, sumbu-, di tr = d = 6 Derh pd Gmbr 5. () diprtisi mejdi subitervl deg pjg sm d pd Gmbr 5. (b) derh diprtisi mejdi 5 subitervl deg lebr sm. Jik prtisi ii diperbyk smpi tk higg subitervl, mk lus derh yg dibtsi oleh gris diytk sebgi berikut: y=, =, = 6 d sumbu- dpt Oleh kre Lus = lim ( i) i = = f y d... () i 6 y =, mk persm () dpt diytk sebgi 8 Kels XII SMA/MA

41 Lus = 6 6 d = = 6 = 9 = 9 Setelh megkji uri di ts, pkh Ad telh meemuk jwb dri perty pkh kosep prtisi d itegrl tetu dpt diguk utuk meetuk lus derh yg dibtsi gris y=, =, = 6 d sumbu-? Cotoh 5.8 Pemilik rumh igi meggti bgi ts dri pitu rumhy deg megguk kc bergmbr. Bgi ts pitu tersebut diytk dlm fugsi = +, grfik dri bgi 9 y ts pitu rumh ditujukk pd Gmbr.5 berikut. Biy utuk pembut d pemsg kc bergmbr dlh Rp5. per meter persegi. Jik d 6 pitu di rumhy, berp biy yg hrus dikelurk oleh pemilik rumh tersebut? f() = dm () (b) Gmbr 5.. Represetsi grfik bgi ts du pitu Kurikulum Mtemtik 9

42 Altertif Peyelesi Dri Gmbr 5. b dpt dikethui derh yg terbetuk dlh derh yg dibtsi oleh kurv = +, ditr =, = d sumbu-. 9 f( ) Bgim cr meetuk lus derh tersebut? Cob Ad fikirk sejek. Seperti pd cotoh sebelumy, utuk meetuk lus derh yg dibtsi kurv f( ) = +, ditr =, = d sumbu- dlh deg 9 memprtisi derh tersebut kemudi megguk itegrl tetu. f() = Gmbr 5. Prtisi derh dibtsi = +, ditr =, = d sumbu- 9 f( ) Jik derh tersebut diprtisi smpi tk higg byky subitervl, mk lus derh dpt diytk sebgi: Lus = f i i f d... () i lim ( ) = ( ) = Deg = meytk pjg subitervl. Oleh kre = +, mk lus derhy dlh: 9 f( ) Lus = ( ) f d = = = = + d Kels XII SMA/MA

43 Jdi lus bgi ts utuk stu pitu dlh dm =, m. Sehigg lus bgi ts utuk 6 pitu dlh 6, =,9. Oleh kre biy pembut d pemsg kc Rp5./m mk totl biy yg dikelurk dlh,9 5. = 96. Jdi totl biy yg dikelurk utuk pembut d pemsg kc dlh Rp96.,. Cotoh 5.9 Pd Cotoh 5.7 d 5.8 grfik fugsi yg diberik berd di ts sumbu-. Bgim jik grfik yg diberik berd di bwh sumbu-? Utuk lebih jelsy, crilh lus derh yg dibtsi oleh y =, =, = d sumbu-. Altertif Peyelesi - Lus derh yg dibtsi oleh y = d sumbu diytk dlm gmbr di smpig. Derh yg terbetuk di bwh sumbu-. Jik derh tersebut diprtisi smpi tk higg byk subitervl, mk lus derh tersebut diytk sebgi y = - - Lus = lim hi i i = Gmbr 5. Deg h i merupk tiggi dri tip-tip subitervl d i meytk pjg prtisi. Oleh kre sumbu- dlh gris y =, h i dpt diytk sebgi h i = f( i ). Deg demiki Lus = lim h = lim f( ) = lim f( ) = yd i i i i i i i= i= i= Kurikulum Mtemtik 5

44 Oleh kre y =, mk lus derhy dlh Lus = d = = Jdi lus derh yg dibtsi oleh y =, =, = d sumbu dlh stu lus. Cotoh 5. Diberik fugsi y =. Tetuk lus derh yg dibtsi oleh y =, gris = d = sert sumbu-. Altertif Peyelesi Mugki Ad berfikir utuk meetuk lus derh yg dimksud dlh Lus = d. Deg megguk Teorem Fudmetl Klkulus II, mk k diperoleh: d = = = Sehigg lusy dlh, hl ii tidk sesui deg keyt. Ad hrus berhti-hti meytk lus deg itegrl tetu. Setidky butlh grfik dri fugsi yg dikethui, kemudi tetuk lus derh yg dimksud d guk tekik potog(prtisi), hmpiri d itegrlk. Lus derh yg dibtsi oleh y =, gris = d = sert sumbu- diytk dlm derh yg dirsir dri grfik berikut: 5 Kels XII SMA/MA

45 y = Lus derh dibgi mejdi du bgi, A d A. Derh A berd di ts sumbu-, sehigg lusy A A - lim ( ) A = f i i = d i = Derh A berd di bwh sumbu-, sehigg lusy lim ( ) A = f i i = d i = Lus derh keseluruh dlh lus A Gmbr 5.5 ditmbh deg A. Jdi lus derh yg dibtsi oleh y =, gris = d = sert sumbu- dlh stu lus. Cotoh 5. Terdpt sutu grfik yg meggmbrk hubug tr kecept deg wktu. Kecept v pd sumbu-y sedgk wktu t pd sumbu-. Dikethui sutu fugsi v () t t = + m/s yg tergmbr pd grfik. Hituglh perubh posisi pd selg wktu t = higg t =. 5 5 v v t = t + 5 Altertif Peyelesi t Dlm fisik, perubh posisi diytk sebgi s, deg s = v dt. Represetsi Gmbr 5.6 dri perubh posisi pd selg wktu t = higg t = dlh derh yg dirsir pd grfik di smpig. Perubh posisi pd selg wktu t = higg t = dlh Kurikulum Mtemtik 5

46 ( ) ( ) t + dt = t + t = + + = Jdi perubh posisi pd selg wktu t = higg t = dlh meter. Cotoh 5. Tetuk lus derh yg dibtsi oleh gris g() =, kurv f() =, sumbu-, sumbu-y, d gris =. Altertif Peyelesi f() = g() = - Gmbr 5.7 Derh yg dirsir merupk derh yg dibtsi oleh gris g() =, kurv f() =, sumbu-, sumbu-y, d gris =. Utuk meghitug lus derhy tidk bis deg megguk stu betuk itegrl tetu, k tetpi du betuk itegrl tetu. (megp y? Cob liht kembli derh pd gmbr d berfikirlh). Lus derh dibgi mejdi du, yitu lus derh pd itervl [, ] disebut A d lus derh pd itervl [, ] disebut A. Sehigg lus keseluruhy dlh A = A + A = d + d = + 5 = + = 6 Jdi lus derhy dlh 5 6 stu lus. 5 Kels XII SMA/MA

47 Cotoh 5. Tetuk lus derh yg dibtsi oleh y = + d y =. Altertif Peyelesi Lus derh yg dibtsi oleh y = + d y = ditujukk pd derh yg dirsir pd gmbr dismpig. Cob Ad mti deg cermt gmbr di smpig. Mugki Ad k berty, berp bts itervl utuk gmbr yg dirsir? Bts itervl ii hrus dikethui terlebih dhulu. Ii berrti hrus dicri bsis dri titik potog du kurv tersebut. Meetuk bsis titik potog y = - y= y Gmbr = = ( ) = = tu = Jdi bts itervl derh yg dirsir dlh [, ], sehigg lus derh tersebut ( ) ( ) L = + d = 8 = = d = y = - + Jdi lus derh yg dibtsi oleh stu lus. y = + d y = dlh Kurikulum Mtemtik 55

48 Cotoh 5. Tetuk lus derh yg dibtsi oleh kurv y =, gris y =, y = d sumbu-y. Altertif Peyelesi Lus derh yg dibtsi oleh kurv y =, gris y =, y = d sumbu-y ditujukk pd gmbr 5.9. berikut: R y y = y = y = b c Gmbr 5.9 Lus derh yg dibts y =, y =, y = d sumbu-y Jik dimti dri Gmbr 5.9 b d 5.9 c, d du cr utuk membut prtisi, yitu memprtisi derh deg horisotl (medtr) d vertikl (tegk). Diprtisi secr horisotl (Gmbr 5.9 b) Mislk lus stu prtisi R, mk R y y (megp?), sehigg R = y dy (megp btsy smpi?) 6 R = y dy = y y = Diprtisi secr vertikl (Gmbr 5.9 c) Mislk lus stu prtisi R, mk R ( ) (megp?), sehigg d (megp btsy smpi?) R = R = d = = = 56 Kels XII SMA/MA

49 Jdi lus derh yg dibtsi oleh kurv y =, gris y =, y = d sumbu-y dlh 6 stu lus. Cotoh 5. ii meujukk bhw utuk meetuk lus derh dpt dilkuk du cr memprtisi, memprtisi secr horisotl d vertikl. Tetuy dlm memprtisi derh utuk meetuk lus, dipilih m yg lebih prktis. Berdsrk ltertif peyelesi Cotoh 5., disimpulk bhw utuk memprtisi derh lebih prktis megguk prtisi secr horizotl. Cotoh 5.5 Sutu tgki yg terisi peuh dpt meyimp ir sebyk liter. Tgki tersebut bocor deg lju kebocor V'( t) = t, deg t dlm jm d V dlm liter. Berp liter jumlh ir yg kelur tr d jm st kebocor terjdi? Berp lm wktu yg dibutuhk gr tgki kosog? Altertif Peyelesi Mislk V(t) dlh jumlh ir yg kelur kre bocor. Jumlh ir yg bocor tr d jm dlh V ( ) V ( ) V '( t) dt t dt = = t t = = ( ) ( 5) = 5 = 5 Jdi jumlh ir yg kelur kre bocor tr d jm dlh 5 liter. St tgki kosog, berrti jumlh ir yg kelur dlh liter, sehigg wktu yg dibutuhk dlh: Vt ( ) = t t = t t+ = t t+ = ( t )( t ) = t = Jdi dibutuhk wktu jm gr tgki tersebut kosog. Kurikulum Mtemtik 57

50 Cotoh 5.6 Dlm bidg ekoomi, fugsi biy mrgil (MC) dirumusk sebgi d MC = TC, deg TC fugsi biy totl. Dikethui MC = Q +, jik dq brg diproduksi 5 uit, biy totly, tetuk fugsi biy totly. Altertif Peyelesi Oleh kre d MC = TC, mk TC = MC dq dq, sehigg TC = MC dq = Q + dq = Q + Q + c Utuk produksi 5 uit, biy totly, sehigg Q = (5) c c = 5 5 c = 5 TC Q Q = Jdi fugsi biy totl yg dimksud dlh Q + Q+ 5 Cotoh 5.7 Fugsi kecept dri sutu objek dlh V ( t) jik t =. Aggp jik t 6 objek berd pd titik (, ) pd st t =, crilh posisi objek pd st t = 5? Altertif Peyelesi ds Oleh kre Vt () =, deg s posisi mk s = V () t dt dt, sehigg posisi bed pd st t = 5 dlh: 58 Kels XII SMA/MA

51 5 6 6 [ ] s = V ( t) dt = dt + dt = + = + 8 = 6 Jdi posisi objek pd st t = 5 dlh 6 stu? Ayo Mey Ad telh megmti d mecermti peggu itegrl tetu dlm cotoh 5.7 smpi deg 5.5. Cotoh-cotoh tersebut terkit deg lus derh yg dibtsi oleh kurv. Tetuy selm megmti cotoh tersebut d hl yg igi Ad tyk. Mugki sj slh stu dri perty Ad sebgi berikut:. Bgim meetuk lus derh yg terletk di bwh sumbu-?. Jik diberik fugsi f(), g(), gris = d = b, bgim meetuk lus derh yg dibtsi oleh f(), g(), gris = d = b?. Bgim meetuk bts itervl dri sutu derh yg terbetuk dri du kurv? Nh, silhk tulis perty Ad pd kotk berikut: Kurikulum Mtemtik 59

52 =+ Ayo Meggli Iformsi + Amti lus derh yg disjik dlm gmbr-gmbr berikut. y y = f () y y = f () R () b (b) b Gmbr 5. Lus derh di ts sumbu- Mislk derh yg terbetuk pd Gmbr 5. diprtisi secr vertikl deg pjg subitervl d titik smpel pd prtisi. Kre titik smpel, mk tiggi prtisi dlh f( ). Mislk A meytk lus prtisi, mk: A f( ). Sehigg lus derh pd Gmbr 5. dlh: Lus R = d... Utuk meetuk lus derh di bwh sumbu-, lgkhy serup deg meetuk lus derh di ts sumbu-. Perhtik Gmbr 5. berikut: y b y b R y = f () Gmbr 5.. Lus derh di bwh sumbu- y = f () 6 Kels XII SMA/MA

53 Mislk derh yg terbetuk pd Gmbr 5. diprtisi secr vertikl deg lebr prtisi d titik smpel pd prtisi. Kre titik smpel, mk tiggi prtisi dlh f( ) = f( ) (igt, sumbu- sm rtiy deg y = ). Mislk A meytk lus prtisi, mk: A f( ). Sehigg lus derh pd Gmbr 5. dlh: Lus R = d... Sekrg bgim utuk meetuk lus derh yg dibetuk dri du kurv seperti Gmbr 5. berikut? y y = f () R b Gmbr 5.. Lus derh yg dibtsi oleh du kurv Mislk derh yg terbetuk pd Gmbr 5. diprtisi secr vertikl deg lebr prtisi d titik wkil pd prtisi. Kre titik smpel, mk tiggi prtisi dlh... Mislk A meytk lus prtisi, mk: A... Sehigg lus derh pd Gmbr 5. dlh: Lus R = d... Kurikulum Mtemtik 6

54 Ayo Melr Ad telh mempeljri beberp cotoh tetg meetuk lus derh yg dibtsi oleh kurv deg megguk itegrl tetu. Lkuk lis dri beberp cotoh di ts, kemudi coblh utuk membut prosedur meetuk lus derh yg dibtsi oleh kurv. Beberp perty berikut mugki membtu Ad dlm membut prosedur meetuk lus derh.. Apkh sebiky perlu membut skets derh yg k dicri lusy?. Derh yg k dicri lusy terletk di ts tu di bwh sumbu-?. Apkh bts itervl sudh d? Jik belum d bgim mecriy?. Jik memprtisi derh yg k ditetuk lusy, sebiky memprtisi secr horisotl tu vertikl? 5. Bgim memodelk betuk itegrl tetu utuk meetuk lus derh? Bersm deg tem Ad, tulislh prosedur yg kli but. Ayo Megomuiksik Pertukrk prosedur meetuk lus derh yg Ad but deg tem yg li. Amti d cermti deg seksm prosedur meetuk lus derh yg dibut oleh tem Ad. Secr stu, berilh msuk tu sr perbik kepd Ad. Kemudi mitlh pedpt tem Ad tetg prosedur meetuk lus yg telh Ad but. 6 Kels XII SMA/MA

55 Ltih 5.. Crilh lus derh yg dibtsi oleh gris-gris y =, d y = deg. megguk rumus lus derh yg dipeljri di geometri b. megguk itegrl.. Crilh lus derh yg dibtsi oleh kurv y = 8, d gris-gris y =, d y =... Gmbrlh grfik fugsi y = si(), π d rsirlh derh yg dibtsi oleh sumbu- d grfik fugsi y b. Seorg sisw meghitug lus derh pd butir () sebgi berikut: Lus = π si( ) d = [ cos( ) ] π = cos(π) ( cos()) = ( ) =. Ber tu slh pekerj sisw tersebut? Beri ls dri jwb Ad.. Gmbr berikut meujukk grfik fugsi f. Dikethui lus derh A =,, lus derh B =,5, lus derh C =,7, d lus derh D =,. Hituglh itegrl berikut berdsrk gmbr d yg dikethui b () f ( ) d, (b) f ( ) d, (c) b c f ( ) d, (d) f ( ) d d c Kurikulum Mtemtik 6

56 y A b B c D d C Gmbr 5. Crilh lus derh yg dibtsi oleh prbol y = deg sumbu. 6. Crilh lus derh yg dibtsi oleh prbol y = + 8 5, gris siggug prbol yg mellui puck prbol, d sumbu-sumbu koordit. 7. Crilh lus derh yg dibtsi oleh prbol y = +, d gris yg mellui titik (, 5) d (, 8). 8. Crilh lus derh yg dibtsi oleh prbol y = + d gris siggug-gris siggug prbol yg mellui titik (, ). 9. Dikethui gris siggug prbol y = + + pd titik = membetuk sudut π deg sumbu-. Crilh lus derh yg dibtsi oleh gris y = + d prbol tersebut.. Diberik gmbr grfik fugsi y = ( ) d gris y = c. L meytk derh yg dibtsi oleh kedu grfik tersebut. Sedgk L meytk derh yg dibtsi oleh kedu grfik tersebut d sumbu-y. Tetuk ili c sehigg lus derh L = kli lus derh L. L L y = ( - ) y = c Gmbr 6 Kels XII SMA/MA

57 . Diberik gmbr grfik y = d y =. L meytk derh yg dibtsi oleh kedu grfik tersebut. Sedgk L meytk derh yg dibtsi oleh grfik y =, y =, d sumbu-y. L meytk derh yg dibtsi oleh grfik y =, =, d sumbu-. Tetuk lus derh L deg pegitegrl terhdp:. vribel b. vribel y. y = y - L L L y - Gmbr - Kerjk sol yg sm terhdp L d L... Gmbrlh sutu derh yg dibtsi oleh kurv y = d gris y = 9. b. Tetuk koordit titik potog tr kurv y = d gris y = c, < c < 9, yg diytk dlm c. c. Jik gris horizotl y = c membgi derh pd sol () sehigg perbdig lus derh yg dibtsi oleh kurv y =, y = 9, y = c deg lus derh yg dibtsi oleh kurv y = c, y = dlh :, mk tetuklh ili c... Gmbrlh derh yg dibtsi oleh kurv y = d y = b. Hituglh lus derh pd sol () deg (i). Megguk pegitegrl terhdp vribel (ii). Megguk pegitegrl terhdp vribel y.. Gmbrlh kurv y = si- d y = cos- deg π pd digrm yg sm. b. Crilh lus derh di kudr I yg dibtsi oleh sumbu-y, y = si-, y = cos-. c. Crilh lus derh di kudr I yg dibtsi oleh sumbu-, kurv y = cos-, d kurv y = si-, Kurikulum Mtemtik 65

58 5. Nytk msig-msig limit berikut sebgi sutu itegrl. lim ( cos( π) + cos( π) + cos( π) cos( π) ) b. lim Dikethui fugsi f() =. Gmbrlh grfik fugsi f utuk,. b. Pk Budi meghitug ili itegrl d sebgi berikut d = = = = ( ) = =. Meurut pedptmu, ber tu slhkh pekerj Pk Budi? Jelsk jwbmu! (Petujuk : guk gmbr pd ()) 7. Crilh semu ili positif yg memeuhi persm ( ) d = Crilh semu ili di itervl [, π] yg memeuhi persm Sol-sol Pegy cos d = si α. π 9. Crilh ili-ili A, B, d C sedemiki sehigg fugsi f() = A + B + C memeuhi f () =, f() + f () =, f ( ) d = Kels XII SMA/MA

59 . Crilh ili-ili A, B, d C sedemiki sehigg fugsi f() = A + B + C memeuhi f( ) =, f () =, d ( + ) f ( ) d + =.. Crilh semu ili yg memeuhi pertidksm ( + ) d > 5.. Tetuk d. Dikethui fugsi f yg didefiisik sebgi berikut,, f() = +, < Tetuk () f ( ) d, (b). Perhtik gmbr grfik fugsi f berikut f ( ) d Berdsrk gmbr di ts, urutklh ili f ( ) d, f ( ) d, f ( ) d, d 5 f ( ) d, muli dri ili terkecil smpi deg ili terbesr. Kurikulum Mtemtik 67