Transkripsi

1

2

3

4

5 iv Prkt Selmt, kli telh ik ke kels XII Progrm Ilmu Pegethu Sosil (IPS). Tetuy hl ii mejdi kebgg tersediri bgi kli. Semog kli terpcu utuk berpikir lebih dews lgi. Meskipu sudh ik ke kels XII, kli tidk boleh lup. Igt, ttg yg k kli hdpi di kels ii tidklh rig. Kli hrus betul-betul semgt dlm meggpi p yg kli cit-citk. Utuk itu, kli hrus terus rji beljr, gigih, d ptg meyerh. Buku ii k seti membtu kli dlm meggpi cit-cit. Buku ii disusu deg urut peyji sedemiki rup sehigg kli k mers seg utuk medlmiy. Dlm pembeljry, buku ii meutut kli utuk ktif d bertidk sebgi subjek pembeljr. Kli ditutut utuk megostruksi, megeksplorsi, d meemuk sediri kosep-kosep mtemtik sehigg kli k mejdi org yg betul-betul kompete secr mtg, khususy di bidg mtemtik. Di kels XII Progrm IPS ii, kli k mempeljri mterimteri berikut: Itegrl Progrm Lier Mtriks Bris d Deret Peulis berhrp semog buku ii dpt membtu kli dlm mempeljri kosep-kosep mtemtik. Akhiry, semog kli berhsil d sukses. Solo, Februri 008 Peulis

6 Diuduh dri BSE.Mhoi.com v Dftr Isi Prkt... Dftr Isi... iii iv Semester Bb I Itegrl A. Pegerti Itegrl sebgi Ivers Diferesil... B. Itegrl Tk Tetu... C. Itegrl Tertetu... D. Pegitegrl deg Substitusi... 7 E. Itegrl Prsil (Pegy)... 9 F. Peggu Itegrl... Rgkum... 9 Ltih Ulg Hri I... 0 Bb II Progrm Lier A. Sistem Pertidksm Lier Du Vribel... 5 B. Mercg Model Mtemtik yg Berkit deg Progrm Lier... 0 C. Meyelesik Model Mtemtik d Mefsirky... 5 Rgkum Ltih Ulg Hri II Bb III Mtriks A. Pegerti Dsr tetg Mtriks B. Kesm Du Mtriks... 7 C. Opersi pd Mtriks d Sift-Sifty... 7 D. Blik tu Ivers Mtriks E. Meyelesik Sistem Persm Lier... 0 Rgkum Ltih Ulg Hri III... 0 Ltih Ulg Umum Semester...

7 vi Semester Bb IV Bris d Deret A. Notsi Sigm... B. Bris d Deret... 7 C. Deret Khusus d Deret Geometri Tk Berhigg... 9 D. Peggu Bris d Deret E. Deret dlm Hitug Keug Rgkum Ltih Ulg Hri IV Ltih Uji Nsiol... 7 Dftr Pustk Lmpir Glosrium Ideks Subjek Kuci Sol-Sol Terpilih... 89

8 Itegrl Bb I Itegrl Sumber: Ilmu Pegethu Populer, 999 Motivsi Apbil sutu lju perubh fisik diytk dlm sebuh grfik, lus bidg di bwh legkug grfik mempuyi rti khs. Lus itu meytk keseluruh ili yg berd di tr grfik d sumbu medtr tept di bwh grfik. Lus bidg di bwh legkug itu tidk dpt ditetuk deg metode ljbr, tetpi dpt ditetuk deg itegrl tertetu. Tekik utuk meetuk lus bidg di bwh legkug itu disebut pegitegrl. Tuju Pembeljr Setelh mempeljri bb ii, dihrpk kli dpt. mercg tur itegrl tk tetu dri tur turu;. meghitug itegrl tk tetu dri fugsi ljbr;. mejelsk itegrl tetu sebgi lus derh di bidg dtr;. meghitug itegrl tetu deg megguk itegrl tk tetu; 5. meghitug itegrl deg rumus itegrl substitusi; 6. meggmbrk sutu derh yg dibtsi oleh beberp kurv; 7. merumusk itegrl tetu utuk lus sutu derh; 8. meghitug itegrl yg yg meytk lus sutu derh.

9 Mmt Apliksi SMA IPS Pet Kosep Itegrl mempeljri Itegrl Tk Tetu membhs Itegrl Tertetu utuk meetuk Itegrl Fugsi Aljbr Lus Bidg Dtr diselesik deg Rumus Dsr Itegrl Itegrl Substitusi Itegrl Prsil Kt Kuci bts ts bts bwh diferesil diferesibel fugsi primitif itegrl itegrl prsil itegrl tk tetu itegrl tertetu itegr persm kelurg kurv

10 Itegrl Pembhs megei klkulus itegrl ert kity deg klkulus diferesil. Wlupu secr historis klkulus itegrl lebih dhulu ditemuk, dlm mempeljri klkulus ters lebih mudh jik dimuli deg mempeljri klkulus diferesil, kemudi klkulus itegrl. Mteri tetg hitug diferesil perh kli peljri di kels XI. Demiki pul deg mteri limit. Pemhm yg bik tetg mteri-mteri tersebut k sgt membtu dlm mempeljri pokok bhs ii. Secr umum, itegrl dpt dirtik dlm du mcm. Kedu rti itegrl itu dlh sebgi berikut.. Secr ljbr, itegrl merupk ivers opersi pediferesil. Cob igt kembli, p diferesil itu? b. Secr geometri, itegrl meujukk lus sutu derh. Kedu pegerti di ts k kit peljri dlm pembhs itegrl berikut ii. Pembhs itu, tr li pegerti itegrl, itegrl tk tetu, itegrl tertetu, d beberp peggu itegrl. Sebelum mempeljri bb ii, jwblh sol-sol berikut. Uji Prsyrt Kerjk di buku tugs. Dikethui f(x) = x 9x. Tetuk f'(x).. Sebutk sutu fugsi yg turuy dlh fugsi f'(x) = x. Ad berp fugsi?. Gmbrlh kurv f(x) = x d f(x) = x + dlm stu koordit Crtesius. Kemudi, rsirlh derh yg berd di tr kedu kurv itu. Setelh kli mmpu mejwb sol-sol di ts, mri ljutk ke mteri berikut. A. Pegerti Itegrl sebgi Ivers Diferesil Mislk f dlh fugsi turu dri fugsi F yg kotiu pd sutu domi. Utuk setip x terletk pd domi tersebut, berlku df ( x) F'(x) = = f(x) dx Pegerti ii telh kit peljri pd klkulus diferesil. Misly, jik F(x) = x mk F'(x) = f(x) = x F(x) = x mk F'(x) = f(x) = x F(x) = x + mk F'(x) = f(x) = x F(x) = x + c mk F'(x) = f(x) = x (c dlh sutu kostt)

11 Mmt Apliksi SMA IPS Dri keyt tersebut, timbul perty bgimkh meetuk fugsi F sedemiki rup sehigg utuk setip x ggot domi F, berlku F'(x) = f(x)? Sutu opersi yg diguk utuk meetuk fugsi F merupk ivers dri opersi derivtif. Ivers dri opersi derivtif disebut itegrl. Itegrl disebut jug tiderivtif tu tituru. Pd cotoh di ts, jik F(x) dlh itegrl dri f(x) = x, mk F(x) = x + c, deg c sutu kostt rel. B. Itegrl Tk Tetu. Pegerti Itegrl Tk Tetu Itegrl fugsi f(x) ditulis deg otsi f ( x) dx, yitu opersi yg diguk utuk meetuk fugsi F sedemiki rup sehigg dipeuhi df ( x ) = f( x), utuk setip x pd dx domiy. Perhtik kembli subbb A. Pd pembhs itu dijelsk berppu ili sutu kostt, mk turuy dlh ol (0). Oleh kre itu, itegrl dri fugsi f(x) dlh F(x) ditmbh deg sebrg kostt, yitu F(x) + c. Misly, utuk F(x) = x +, mk turuy F'(x) = f(x) = x. Adpu tituru dri x kemugki F(x) = x + tu F(x) = x + 5 tu F(x) = x log. Kostt seperti, 5, d log dpt diytk sebgi c. Deg demiki, diperoleh hubug Tes Mdiri Kerjk di buku tugs Hsil dri (x + x + x+ ) dx =.... x + x + x + c b. x + x + x + x + c c. x + x + x + c d. x + x + x + x + c e. x + 6x + x + c Sol Ebts SMA, 99 f ( x) dx = F( x) + c deg f ( x) dx = otsi dri itegrl tk tetu F(x) + c = fugsi tituru tu fugsi primitif f(x) = fugsi itegr (fugsi yg dicri tituruy) c = kostt. Rumus Itegrl dri f(x) = x, utuk Pd klkulus diferesil, kli telh mempeljri bhw turu dri F ( x) = x dlh f(x) = x, deg F' (x) = f(x). Deg demiki, jik dikethui + + F x = x mk f(x) = ( ) ( + )x = x. +

12 Itegrl 5 + F ( x) = x mk f ( x) = ( + ) x = x. + + Deg megigt bhw opersi itegrl dlh ivers dri opersi diferesil, lkuk kegit berikut. Kegit Kerjk di buku tugs Tuju: Meetuk rumus itegrl f(x) = x d f(x) = x deg memhmi hubug tr f(x) d f'(x). Permslh: Bgim rumus itegrl utuk f(x) = x d f(x) = x? Lgkh-Lgkh:. Cob kli legkpi tbel berikut.. f(x) f'(x) b. f(x) f'(x) x... x... x... x... x... x... x 5... x x... x.... Sekrg pemhm diblik. Amti tbel yg telh kli legkpi. Amti dri f'(x) bru ke f(x). Pol p yg kli dptk? Kesimpul: Kli k meemuk pol dri rumus itegrl fugsi. Jik melkuk kegit di ts, kli dpt meyimpulk sebgi berikut. Itegrl fugsi f(x) = x d f(x) = x dpt ditetuk deg rumus berikut. + x dx = x + c, utuk x dx = x + c, utuk

13 6 Mmt Apliksi SMA IPS. Meetuk Hsil Itegrl Misly f(x) = x. Meurut rumus di ts, diperoleh f ( x) dx = x dx + = x + + c + Dri = f ( x) dx x + + c, klik di kedu rusy sehigg diperoleh f ( x) dx = x + Deg megigt bhw x c, + c = x dx, k kli Tes Mdiri Kerjk di buku tugs Jik f(x) = ( x + ( ) dx, f() =, d f() = 0 mk ili dlh.... d. b. e. c. Sol UMPTN, Kemmpu IPA, 996 peroleh bhw x c = f ( x) dx Deg demiki, diperoleh f ( x) dx = f ( x) dx. Dri uri di ts, kit peroleh f ( x) dx = f ( x) dx Msih igtkh kli deg sift turu yg meytk utuk h(x) = f(x) + g(x) mk turuy h'(x) = f'(x) + g'(x)? Dri sift ii dpt kit ytk bhw ( f' ( x) + g' ( x) ) dx f' ( x) dx + h' ( x) dx = = g' ( x) dx Dri uri di ts, tetu kli megerti bhw ( f ( x) g( x) dx = f ( x) dx + + g( x) dx Hl ii jug berlku utuk td egtif. Oleh kre itu, diperoleh sift itegrl. ( f ( x) g( x) ) dx = f ( x) dx ± ± g( x) dx Deg sift-sift tersebut, rumus-rumus itegrl sutu fugsi lebih mudh diterpk utuk meetuk hsil itegrl sutu fugsi. Cotoh:. Tetuk hsil itegrl fugsi-fugsi berikut.. dx b. dx c. x x dx

14 Itegrl 7 Peyelesi:. dx dx = x + b. x dx = c = x dx + = x + c + = x 5 c 5 + c. x dx = x dx + = + x + c = x. x + c = x x + c. Tetuk hsil itegrl dri sol-sol di bwh ii.. (x x) dx b. ( x x) x dx Peyelesi:. x x) dx ( = x dx x dx = x dx = x x + c x dx b. ( x x) dx = x x x + x dx x ( ) 5 ( = x 6x + 9x ) dx = x.6 x +.9x + c = x x + x + c 7 5

15 8 Mmt Apliksi SMA IPS Ifo Mth: Iformsi Lebih Ljut G.W. Vo Leibiz (66 76) Isc Newto (6 77) Sumber: Gottfried Wilhelm Vo Leibiz (66 76) dlh seorg jeius serb bis yg mmpu merih berek gelr kehormt dlm berbgi bidg, seperti bidg hukum, kegm, keegr, kesstr, logik, metfisik, d filsft spekultif. Di meerbitk klkulus meurut versiy pd thu 68 M. Bersm deg Isc Newto, keduy disebut sebgi tokoh klkulus. Leibiz meciptk lmbg-lmbg mtemtik bku tetg itegrl d diferesil seperti yg kit pki sekrg, yitu lmbg utuk itegrl d "dy " utuk diferesil. dx Sumber: Uji Kompetesi Kerjk di buku tugs. Tetuk hsil itegrl berikut ii. 5. x dx c. dx e. dx x x 0 b. 9x dx d. ( dx x ) 6 f. x dx. Tetuk hsil itegrl berikut ii.. x ( ) dx d. x ( x x)(x x) dx x ( x x) b. dx x e. x( x ) dx (x x ) ( x + 6) c. dx f. dx x x. Tetuk fugsi primitify.. ( + ) x dx, utuk c. x dx, utuk b. dx, utuk d. x x dx, utuk 5. Mislk dikethui fugsi f(x) = x d g(x) = x. Jik (g f) (x) d, tetuk ( g o f )( x) dx. (Igt kembli mteri komposisi fugsi yg telh kli peljri di kels XI) 5. Dikethui fugsi (f g)(x) = (x ) + d g(x) = x. Tetuk f ( x) dx.

16 Itegrl 9 Tes Mdiri Kerjk di buku tugs Ditetuk dy dx = x 0x + d kurv mellui titik (, ) mk persm kurv dlh.... y = x 5x x 5 b. y = x 5x + x 5 c. y = x 5x x 5 d. y = x 5x + x + 5 e. y = x 5x + x + 5 Sol Ebts SMA, 99. Meetuk Persm Kurv Kli tetu telh megethui bhw iterpretsi geometri dri fugsi turu dlh grdie gris siggug pd kurv tersebut. Mislk dikethui fugsi turu sebuh kurv y = dy f(x), yitu = f'(x), utuk setip titik (x, y) d sebuh titik dx pd kurv itu. Jik fugsi turu itu diitegrlk, k diperoleh y = f(x) = f ( x) dx= h( x)+ c. Persm ii merupk persm kelurg kurv yg mempuyi turu dy dx = f( x ). Kelurg kurv dlh semu kurv deg persm yg dpt diperoleh deg cr memberik ili tertetu pd kostt persm itu. Deg meyubstitusik stu titik yg dikethui ke persm kelurg kurv mk k diperoleh ili c sehigg persm kurv yg dimksud dpt ditetuk. Cotoh: Sutu kurv mellui titik (, ). Apbil grdie kurv itu pd setip titik memeuhi hubug dy = ( x ) dx, tetuk persm kurv tersebut. x Peyelesi: dy = ( x ) dx x y = ( x ) dx x = (x ) dx = x + + c x x Deg demiki, persm kelurg kurv tersebut dlh y = x + + c. Kre x kurv yg dimksud mellui titik (, ), kit tetuk ili c terlebih dhulu deg cr meyubstitusik titik tersebut ke persm kelurg kurv itu. y = x + x + c = () + ( ) + c c = Jdi, persm kurvy dlh y = x + x.

17 0 Mmt Apliksi SMA IPS Problem Solvig Fugsi biy mrjil (dlm rtus ribu rupih) utuk memproduksi stu uit brg dc Q + 0 per miggu dlh MC = =. Biy utuk memproduksi uit produk dlh dq 5 tig rtus ribu rupih, tetuk fugsi biy totl per miggu. Peyelesi: Biy totl dpt dicri deg megitegrlk biy mrjily. C(Q) = = 5 Q ( ) dq Q+ 0 dq = 0 5 ( Q + ) + k = Q + Q+ k 5 Dri sol dikethui, C() =. = 5 ( ) + ( ) + k k = 5 Oleh kre itu, rumus fugsi biy totl per miggu dlh C(Q) = 5 Q + Q + 5. Uji Kompetesi Kerjk di buku tugs. Tetuk F(x) jik dikethui sebgi berikut.. F'(x) = x d F() = b. F'(x) = x d F( ) = 0 c. F'(x) = 6x 8x d F() = 6 d. F'(x) = x + 6x d F( ) = 8 e. F'(x) = 5 x d F() = f. F'(x) = m x, F( ) = 6, d F() =. Tetuk persm kurv yg memiliki grdie berikut.. b. c. dy = 0x + d mellui titik (, ) dx dy = x x d mellui titik (, 6) dx dy = dx x d mellui titik (, )

18 Itegrl. Sutu gris meyiggug kurv kudrtis p(x) di titik (, 0). Persm gris siggug itu dlh x. Jik kurv itu mellui titik (, 0), tetuk persm kurv itu.. Dikethui fugsi biy utuk memproduksi Q uit brg dlh C = f(q). Biy dc mrjil didefiisik sebgi MC =. Fugsi biy mrjil utuk memproduksi dq Q uit brg dirumusk deg M C = 6Q + 7 (dlm puluh ribu). Dikethui utuk memproduksi uit brg diperluk biy rupih. Tetuk fugsi biy totly. Berp biy totl yg diperluk utuk memproduksi 5 brg? 5. Misly biy totl yg dikelurk sutu perush utuk memproduksi Q uit brg dirumusk deg C = f(q). Fugsi biy mrjil (dlm jut rupih) utuk memproduksi Q uit brg per periode dlh C'(Q) = 5 Q +. Biy totl utuk memproduksi uit brg dlh 5 fugsi biy totly. jut rupih. Tetuk C. Itegrl Tertetu Tes Mdiri Kerjk di buku tugs NPd tip titik (x, y) sebuh kurv y = f(x) berlku dy = 8x. dx Kurv mellui titik (, 0). Persm kurv itu dlh.... y = x + 9x + 9 b. y = x x + c. y = x x + 7 d. y = x + x + 8 e. y = x x + Sol Ebts SMA, 99. Pegerti Itegrl sebgi Lus Sutu Bidg Dtr Mislk terdpt sutu fugsi f(x) yg kotiu pd itervl [, b]. Derh yg dibtsi oleh y = f(x), sumbu X, gris x =, d x = b dpt digmbrk seperti pd Gmbr.. Y f(x ) f(x ) f(x ) f(x ) y = f(x) O x x x x x x Gmbr. Mislk itervl [, b] dibgi mejdi itervl bgi, deg pjg msig-msig itervl bgi x. Pd msig-msig itervl bgi itu, seljuty ditetuk titiktitik x, x,..., x, seperti pd Gmbr.. Kemudi, dibut x x b X

19 Mmt Apliksi SMA IPS persegi-persegi pjg deg pjg msig-msig f(x ), f(x ),..., f(x ), d lebry x. Oleh kre itu, diperoleh sebgi berikut. Lus persegi pjg pd itervl pertm = f(x ) x Lus persegi pjg pd itervl kedu = f(x ) x M M Lus persegi pjg pd itervl ke- = f(x ) x + Jumlh lus = f(x ) x + f(x ) x f(x ) x = (( f ( x) + f ( x ) f ( x)) x = f i= ( i x ) x Notsi "" (dibc sigm ) dlh jumlh secr berurut. Kre persegi-persegi pjg itu terletk pd itervl [, b] mk x = d x = b sehigg jumlh lusy dpt ditulis L = f ( x ) x. Kre f(x) kotiu pd itervl [, b], i = i pjg itervl dpt dibut sekecil mugki sehigg utuk mk x 0. Jdi, lus derh itu dlh L= lim f( x ) x. Deg otsi itegrl, jik limit tersebut x 0 i= i d mk rumus lus ii didefiisik secr sederh mejdi b L = f ( x) dx. Deg demiki, kit memperoleh kesimpul sebgi berikut. Jik L dlh lus derh yg dibtsi oleh kurv y = f(x), deg x [, b], sumbu X, gris x =, d gris x = b mk b b L = lim f ( xi ) x tu L = x0 f ( x) dx i = Jdi, itegrl secr geometri dirtik sebgi lus derh yg diytk oleh limit sutu pejumlh. Notsi "" dlh lmbg itegrl yg diperkelk pertm kli oleh Leibiz. Pd gmbr di smpig, lus derh tr kurv y = f(x) d sumbu X pd Y N' M S N M' R f (p) f (p+h) K L O p h (p+h) b () y = f(x) X

20 Itegrl Y S y = f(x) itervl [, b], L(b) = f( x) dx; b R itervl [, p], L(p) = f ( x) dx ; p O b (b) Gmbr. X p+ h itervl [, p + h], L(p + h) = f ( x) dx ; itervl [, ], L() = f ( x) dx = 0. Lus KLM'N < Lus KLMN < Lus KLMN' f(p) h < L(p + h) L(p) < f(p + h) h Jik setip rus dibgi h, diperoleh L ( p + h) L( p) f(p) < < f(p + h). h Agr diperoleh pedekt lus sesugguhy, itervl h dibut sekecil-kecily tu h 0 sehigg L( p + h) L( p) lim f ( p) lim lim f ( p + h) h0 h 0 h h 0 f(p) L'(p) f(p) Jdi, L'(p) = f(p). Kre p pd itervl [, b], utuk p = x diperoleh L'(x) = f(x). x Berrti, L(x) = f ( x) dx. Jik F dlh tituru dri f mk L(x) = F(x) + c. Utuk x = mk L() = F() + c. Kre L() = 0 mk 0 = F() + c c = F(). Utuk x = b mk L(b) = F(b) + c. Kre c = F() mk L(b) = F(b) F(). Jdi, berdsrk uri di ts, lus derh tr kurv y = f(x), gris x =, x = b, d sumbu X (liht Gmbr. (b)) dpt ditetuk deg rumus berikut. b L = b f ( x) dx = [ F ( x)] = F(b) F() Pembhs lebih ljut megei lus derh di bidg dtr yg dibtsi sutu kurv, sumbu X, d du gris sejjr sumbu Y k kit perdlm pd subbb tetg peggu itegrl.

21 Mmt Apliksi SMA IPS. Pegerti Itegrl Tertetu Itegrl tertetu dlh itegrl deg bts-bts itegrsi yg telh ditetuk. Pd pembhs sebelumy, kit telh mempeljri bhw itegrl dpt dirtik sebgi limit sutu jumlh, yitu jik f sutu fugsi itegrble (dpt diitegrlk) pd itervl [, b] = {x x b, x bilg rel} d F merupk tituru dri f mk b b f ( x) dx = [ F ( x)] = F(b) F() Tugs Iformsi Lebih Ljut Kerjk di buku tugs Cob kli cri thu tetg Teorem Dsr Klkulus. Ap isi teorem tersebut? Sip tokoh yg berd di blik teorem tersebut? b Notsi f ( x) dx disebut otsi itegrl tertetu dri f kre ditetuk pd bts-bts itegrsi d b. Utuk bts-bts itegrsi itu, disebut bts bwh itegrsi d b disebut bts ts itegrsi. Cotoh: (. Tetuk ili dri x x ) dx. Peyelesi: ( x x ) dx = x 5 5 x 5 5 = ( ) ( ) ( ) ( ) = 5 5. Tetuk ili yg memeuhi ( x ) dx = 6. Peyelesi: (x ) dx = [ x x] 6 = ( ) ( ) 6 = 0 6 = 0 ( )( + ) = 0 ( ) = 0 tu + = 0 = tu = Jdi, ili yg dimksud dlh = tu =.

22 Itegrl 5 Tes Mdiri Kerjk di buku tugs Nili ( 6x+ )( x) dlh.... d. 7 b. 7 e. 5 c. 7 Sol Ebts SMA, 995 Tes Mdiri Kerjk di buku tugs ( x x ) dx + + =.... d. 0 b. 6 e. 8 c. Sol UAN SMK, 00. Sift-Sift Itegrl Tertetu Sift-sift itegrl tertetu dlh sebgi berikut. b b. c f ( x) dx = c f ( x) dx, deg c = kostt b b. ( f ( x) + g( x)) dx = f ( x) dx + g( x) dx c b b b c. f ( x) dx + f ( x) dx = f ( x) dx, < c < b, deg, b, d c bilg rel b d. f ( x) dx = f ( x) dx b e. f ( x) dx = f ( t) dt c b b Bukti: Sift-sift di ts mudh utuk kli buktik. Oleh krey, di sii hy k dibuktik sift c sj. Mislk F dlh tituru dri f. c b c f( x) dx+ f( x) dx = Fx ( ) + Fx ( ) c [ ] [ ] b b c = [ Fc () F ()]+ Fb () Fc () = F( b) F( ) [ ] b = f ( x) dx... terbukti Cob kli buktik sift-sift liy. Sift-sift ii dpt memudhk kli dlm meetuk ili-ili itegrl pd sutu itervl. Agr kli dpt memhmi sift-sift itegrl di ts, perhtik cotoh berikut. Cotoh: Deg sift-sift itegrl tertetu, crilh hsil dri Peyelesi: 5 5 ( x ) dx + ( x ) dx = ( x ) dx x x x ( x 5 ) dx + ( x ) dx. x x

23 6 Mmt Apliksi SMA IPS Deg demiki, diperoleh 5 ( x ) dx = x x + x 5 = (5) + () + 5 = Uji Kompetesi Kerjk di buku tugs. Deg sift-sift itegrl tertetu, selesiklh sol-sol berikut dx d. x x dx 0 b. x dx e. ( x ) dx x 5 c. x x dx f. (x )(5x + ) dx 0. Hituglh ili dri itegrl berikut.. ( x + 5)( x ) dx + ( x + 5)( x ) dx 0 b. ( x + )( x ) dx ( x + )( x ) dx c. ( x 6x + 8x) dx ( x 6x + 8x) dx 0 d. ( 8x x dx ( 8x x dx 0 ). Tetuk ili dri itegrl berikut. 0. (x x ) dx + ( x x ) dx = 0 ) b. dx x dx = x

24 Itegrl 7 0 c. x ( x + ) dx + x ( x + ) dx = 0 d. ( t t ) dt + ( t t ) dt = 9. Jik x = y, tetuk ili-ili itegrl berikut.. x dy c. y dx 0 b. + ( x x ) dy d. ( y y ) dx 0 0 Tes Mdiri Kerjk di buku tugs Jik x dx = ; 0 0 > 0 b ( x ) dx = ; b > 0 0 mk ili ( + b) = d. 5 b. 5 e. 0 c. 0 Sol UMPTN, 99 Tugs Kretivits Kerjk di buku tugs Diberik fugsi f(x) = x 5x + 6 d g(x) = x. Buktik bhw f(x) g(x) dx = f(x) g(x) dx [f'(x) (g(x) dx)] dx D. Pegitegrl deg Substitusi Beberp betuk itegrl yg rumit dpt dikerjk secr sederh deg melkuk substitusi tertetu ke dlm fugsi yg diitegrlk tersebut. Di tr betuk itegrl yg dpt dikerjk deg substitusi dlh betuk ( f ( x)) d( f ( x)). Cob perhtik betuk x dx. Betuk ii telh kli peljri sebelumy. Bgim jik vribely digti deg fugsi, misly f(x)? Betuk ii k mejdi ( f ( x)) d( f ( x)). Utuk meyelesik sutu itegrl yg dpt disederhk mejdi betuk ( f( x)) d( f( x)), dpt dilkuk substitusi u = f(x). Deg substitusi u = f(x), diperoleh betuk itegrl berikut. + ( f ( x)) d( f ( x)) = u du = u + c + deg u = f(x) d. Perhtik kembli betuk ( f ( x)) d( f ( x)). Mislk dimbil g(x) = x mk ( f ( x)) d( f ( x)) = g ( f ( x)) d( f ( x)). Secr umum, betuk ( f ( x)) d( f ( x)) dpt ditulis sebgi g ( f ( x)) d( f ( x)). Jik dimbil substitusi u = f(x), diperoleh betuk itegrl g ( f ( x)) d( f ( x)) = g ( u) du. Agr kli dpt memhmi pegitegrl betuk ii, perhtik deg sksm cotoh-cotoh berikut.

25 8 Mmt Apliksi SMA IPS Cotoh: Crilh hsil itegrl (x 7)( x 7x + ) 6 dx. Peyelesi: (x 7)( x 7x + ) 6 dx Mislk u = x 7x +. = ( x 7x + ) (x 7) dx 6 du du = x 7 du = dx du = (x 7) dx dx dx du Sebery lmbg dlh sutu kestu d tidk sm deg du : dx. Nmu, dx du utuk mempermudh perhitug, = x 7 bisy lgsug ditulis du = (x 7) dx dx. Oleh kre itu, 6 ( x 7 x + ) ( x 7) dx = 6 u du = 7 u7 + c = 7 (x 7x + ) 7 + c Deg cr lgsug, diperoleh 6 6 ( x 7x + ) (x 7) dx = ( x 7x + ) d( x 7x + ) = 7 (x 7x + ) 7 + c Uji Kompetesi Kerjk di buku tugs Crilh hsil itegrl berikut.. x 6 (x 6x ) dx ( ) dx 6. x x + 5 dx x ( x+ ) dx x + x+. (0 x) 6 dx 8. ( x ) dx 0. dx 9. ( 6 x) 0 ( x) dx (6x 5 x + ) dx x 5 x + x 0. x x 8 x+ 5 dx

26 Itegrl 9 E. Itegrl Prsil (Pegy) Tes Mdiri Kerjk di buku tugs 5 x x dx = d. b. 0 e. 6 c. Sol SPMB, 006 Tes Mdiri Kerjk di buku tugs x + x dx = b. c d. e Sol Tes STT TEL- KOM, 99 Cotoh: Jik kit mejumpi sol udv, deg u d v dlh fugsifugsi dlm vribel x yg sulit dikerjk, sedgk udvlebih mudh dikerjk mk kit perlu medptk hubug kedu itegrl tersebut utuk memperoleh peyelesi udv. Misly, y = uv, deg u = u(x) d v = v(x) dlh fugsi-fugsi yg diferesibel (dpt didiferesilk) mk y' = u'v + uv'. Dlm otsi Leibiz, hl ii dpt ditulisk sebgi berikut. dy dx = du dx v + u dv dx d( uv) du dv = v + u dx dx dx d(uv) = v du + u dv Jik kedu rus diitegrlk, diperoleh d ( uv) = v du + u dv uv = v du + u dv Dri persm terkhir, diperoleh hubug u dv d v du, yitu u dv = uv v du Pd rumus tersebut, itegrl yg diberik hrus dipish mejdi du bgi, yitu stu bgi dlh fugsi d bgi li (fugsi yg megdug dx) dlh dv. Oleh kre itu, rumus tersebut serig disebut itegrl bgi tu itegrl prsil. Strtegi peggu itegrl prsil dlh sebgi berikut.. Memilih dv yg dpt seger diitegrlk. b. Memilih v du yg lebih mudh dikerjk dripd udv. Tetuk x x dx. Peyelesi: Pilih : Mislk dipilih u = x d dv = x dx. Deg demiki, du = x x = dx x x x x dx d v = x. dx x

27 0 Mmt Apliksi SMA IPS Betuk ii sulit dikerjk sehigg pemisl u d dv yg demiki tidk diguk. Pilih : Mislk dipilih u = x x d dv = dx. du = x x dx d v = x. x x x x dx = x x x x dx x Betuk ii jug sulit dikerjk sehigg pemisl u d dv yg demiki jug tidk diguk. Pilih : Mislk u = x. Deg demiki, du = dx dv = x dx sehigg dv = x dx dv = v = x d(x ) ( x ) d( x ) v = ( x ) Teryt pemisl u d dv seperti ii memudhk betuk itegrl tersebut sehigg dpt kit guk. x x dx = x ( x ) ( x ) dx = x ( x ) ( x ) d ( x ) 5 = x ( x ) ( x ) + c 5 Uji Kompetesi 5 Kerjk di buku tugs Tetuk itegrl-itegrl berikut.. x ( x + ) dx. 8x (x + ) dx 5. 6 xdx x x dx 5. ( x + ). x x dx 6. ( x ) x x dx

28 Itegrl 7. x x dx 9. x x + dx 8. x x dx 0. 8 x dx ( x + ) Diskusi Ikuiri Cob kerjk sol berikut secr berurut deg megguk itegrl prsil.. x x dx. x x dx. x x dx. x x dx Dri keempt sol di ts, pemilih fugsi u mkh yg kli ggp sulit? Megp kli meili demiki? Jelsk. Y - O Gmbr. Y - O Gmbr. F. Peggu Itegrl Di tr peggu itegrl dlh utuk meetuk lus sutu derh. Sebelum membhs lebih ljut tetg peggu itegrl utuk meetuk lus sutu derh, d biky kli mempeljri bgim cr meggmbrk lus sutu derh terlebih dhulu. Cr-cr meggmbr grfik telh kli peljri di kels X, terutm grfik fugsi kudrt. Mislk kli k meggmbr sutu derh yg dibtsi oleh fugsi f(x) = x d sumbu X pd itervl x. Pertm, kmu hrus X meggmbr kurv (grfik) fugsi f(x) = x, x pd bidg Crtesius seperti Gmbr.. Trik gris bts pd itervl (terkecil tu terbesr) sejjr sumbu Y higg memotog kurv f(x) = x. Kemudi, rsir derh yg berd di tr kurv d sumbu X pd itervl yg diberik sehigg diperoleh Gmbr.. Bgim jik derh yg dimksud dibtsi oleh du kurv? Cr meggmbrky pd prisipy sm seperti cr-cr di ts. Nmu, hl yg sgt petig diperhtik dlh titik perpotog kedu kurv. Kli hrus meetuk titik potog kedu kurv itu. Di smpig itu, kli jug hrus memhmi pd itervl m fugsi yg stu memiliki ili X lebih besr dripd fugsi liy. Hl ii petig utuk meetuk lus derh tersebut. f(x) = x f(x) = x

29 Mmt Apliksi SMA IPS Cotoh: Gmbrlh lus derh yg dibtsi oleh kurv f(x) = x d f(x) = x pd itervl 0 x. Peyelesi: Kli tetu sudh dpt meggmbr kedu kurv itu. Titik potog kedu kurv d jik keduy mempuyi titik persekutu. Y Deg meymk kedu fugsi itu diperoleh f(x) = x x = x f(x) = x x x = 0 x(x ) = 0 x = 0 tu x = Utuk x = 0 f(0) = 0 (boleh dimbil dri kedu fugsi itu) Utuk x = f() = O X Jdi, titik potog kedu fugsi dlh (0, 0) d (, ). Secr legkp, lus derh yg dimksud dpt Gmbr.5 digmbrk sebgi derh yg dirsir (liht gmbr di smpig). Pd itervl 0 x, tmpk bhw fugsi f(x) = x lebih besr dripd fugsi f(x) = x. Bgim cr meggmbrk lus derh yg dibtsi du kurv itu pd itervl x? Bgim pul pd itervl x 0? Cob kli kerjk.. Meetuk Lus Derh di Ats Sumbu X tr Kurv y = f(x), Sumbu X, Gris x =, d Gris x = b Kli telh dpt meggmbrk derh-derh yg dibtsi kurv-kurv. Sekrg kit k mecri lus derhderh itu. Di dep telh dibuktik bhw lus derh Y di ts sumbu X yg dibtsi oleh kurv y = f(x), sumbu X, gris x =, d gris x = b dpt ditetuk deg rumus di ts, yitu y = f(x) b L = b f ( x) dx = [ F ( x)] = F(b) F() O Gmbr.6 b X deg F(x) dlh tituru dri f(x). Utuk lebih jelsy, mri kit peljri cotoh berikut.

30 Itegrl Cotoh: Sutu derh dibtsi oleh kurv y = x x, x =, x =, d sumbu X.. Lukislh kurv tersebut d rsir derh yg dimksud. b. Hituglh lus derh itu. Peyelesi:. Deg meggmbrk grfik kurv d gris-gris bts yg diberik terlebih dhulu pd bidg koordit, diperoleh gmbr di smpig. (Derh yg dirsir dlh derh yg dimksud). b. Lusy dpt ditetuk deg megitegrlk y = x x deg bts-bts itegrly muli dri x = smpi x =. Y Gmbr.7 y = x x O X L = ( x x ) dx = [ x x ] = () () () () = (8 9) ( ) = 7 stu lus Uji Kompetesi 6 Kerjk di buku tugs. Lukislh skets grfiky, kemudi rsir derh yg disjik oleh kurv deg otsi itegrl berikut.. x dx c. ( x + ) dx e. dx 0 Y (, ) b. ( x + ) dx d. x dx f. ( 9 x ) dx. Tulislh otsi itegrl yg meytk lus derh yg ditujukk oleh bgi yg dirsir di bwh ii. Y (0, ) (6, ) O 5 Y () X O 5 6 Y (c) X O 5 6 (b) X Gmbr O (d) X

31 Mmt Apliksi SMA IPS. Tetuk lus derh yg dirsir pd sol omor.. Tetuk lus derh yg dibtsi oleh kurv-kurv di bwh ii.. y = 6 x, sumbu X, gris x =, d gris x = b. y = 8 x, sumbu X, gris x =, d gris x = c. y = x, sumbu X, d gris x = d. y = x +, sumbu X, gris x =, d gris x = e. y = x x +, sumbu X, gris x =, d gris x = 5 5. Tetuk lus derh yg dibtsi oleh sumbu X deg kurv-kurv berikut.. y = x x d. y = + x x b. y = 6 x e. y = x + 6x 8 c. y = x f. y = ( x)(x ). Lus Derh Gbug: Di Ats d di Bwh Sumbu X Utuk meetuk lus derh yg dibtsi oleh kurv y = f(x), sumbu X, gris x =, d x = b seperti pd Gmbr.9 dilkuk deg lisis sebgi berikut. Y Utuk c < x b ili f(x) > 0 sehigg b x= c f ( x) x > 0. Hl ii berrti f ( x) dx > 0. Pd itervl x < c, f(x) berili egtif tu f(x) < 0 sehigg f ( x) x < 0. c c x= Hl itu berrti f ( x) dx < 0. Adpu pd titik c, f(x) berili ol tu f(c) = 0. Lus derh yg dibtsi oleh kurv y = f(x), sumbu X, gris x =, d gris x = b, seperti pd Gmbr.0 dlh sebgi berikut. Lus = Lus derh di bwh sumbu X + Lus derh di ts sumbu X c Kit telh megethui bhw f ( x) dx berili egtif, sedgk lus sutu derh tidk mugki berili egtif. c Utuk itu, f ( x) dx perlu diubh tdy sehigg iliy mejdi positif. Hl itu dilkuk deg cr memblik bts itegrly tu membubuhk td egtif dri betuk ite- b c O Y O x f(x) c Gmbr.9 c f(x) x Gmbr.0 b b y = f(x) Tes Mdiri y = f(x) X Kerjk di buku tugs Lus derh yg dibtsi oleh kurv y = x, gris x =, gris x =, d sumbu X dlh stu lus b. 5 stu lus c. stu lus d. 6 stu lus e. stu lus Sol UN SMK, 00 X

32 Itegrl 5 c grl semul sehigg diperoleh f ( x) dx tu c Deg demiki, lus derh yg dimksud dlh c L = f ( x) dx + f ( x) dx tu L = f ( x) dx + b c c b c f ( x) dx. f ( x) dx Cotoh: Tetuk lus derh yg dirsir pd Gmbr. deg megguk itegrl. Peyelesi: Kre L terletk di bwh sumbu X (berili egtif), L diberi td egtif (gr mejdi positif). Oleh kre itu, lus derh yg dicri dlh sebgi berikut. Lus = L + ( L ) = L L L = ( x 5x + ) dx ( x 5x + ) dx 0 = (x x + ) dx + (x 5x ) dx Y 5 O L L Gmbr. y = x 5x + X = x 5 x + x 0 + x 5 x + x = 5 () () + () 0 [ ] = = = 6 = Jdi, lus derh yg dimksud dlh 6 stu lus () () + () () () + () Diskusi Berpikir Kritis Mislk diberik sutu fugsi f, pd itervl x c mk f(x) 0 d pd itervl c < x d mk f(x) > 0. Ap yg terjdi jik kli megguk rumus d f( x) dx utuk mecri lus tr kurv d sumbu X? Megp demiki? Lgkh p yg kli mbil?

33 6 Mmt Apliksi SMA IPS Uji Kompetesi 7 Kerjk di buku tugs. Tetuk lus derh yg dirsir berikut. Y y = x Y y = x x O 5 - X - O 5 - X () Gmbr. (b) Utuk sol omor 8, tetuk lus derh yg dibtsi oleh kurv-kurv berikut d sumbu X pd itervl yg diberik.. y = x 7x + 0; [0, ]. y = x 5; [ 5, 5]. y = x 5x; [0, 5] 5. y = x (x ); [0, ] 6. y = x(x + )(x ); [, ] 7. y = x(x + x 6); [, ] 8. y = x 9x; [, ] 9. Tetuk lus derh yg dibtsi kurv y = x, sumbu X, gris x =, d gris x =. 0. Gmbrlh kurv y = x 8x + 5, kemudi tetuk lus derh yg dibtsi oleh kurv tersebut, gris x =, gris x = 7, d sumbu X.. Lus Derh yg Dibtsi Du Kurv Mislk terdpt kurv y = f(x) d y = g(x), deg f(x) > g(x) pd itervl < x < b, seperti pd Gmbr.. Lus derh yg dibtsi oleh kurv y = f(x) d y = g(x) dri x = smpi x = b dpt dihitug deg cr berikut. Lus L dlh lus derh di bwh kurv y = f(x) dri titik ke b dikurgi lus derh di bwh kurv y = g(x) dri titik ke b. L = lus derh ABCD lus derh ABFE Y O C y = f(x) D L y = g(x) F E A B b X Gmbr.

34 Itegrl 7 Cotoh: b = b f ( x) dx g ( x) dx = ( f ( x) g( x)) dx Jdi, lus derh itu dlh b L = ( f ( x) g( x)) dx Hituglh lus derh yg dibtsi oleh kurv y = x x d y = 6x x. Peyelesi: Perpotog tr kedu kurv tersebut dlh x x = 6x x x 8x = 0 x(x ) = 0 x = 0 tu x = Utuk x = 0 mk ili y = 0. Utuk x = mk ili y = 8. Oleh kre itu, titik perpotog tr kedu kurv itu dlh (0, 0) d (, 8) sehigg bts itegrly dlh x = 0 higg x =. b L = ((6x x ) ( x x)) dx 0 = ( 8x x dx = 0 ) x x 0 = ( ) ( ) 0 [ ] Y y = x x L O X = 6 Gmbr. y = 6x x = Jdi, lus derhy dlh stu lus.

35 8 Mmt Apliksi SMA IPS Sol Terbuk Kerjk di buku tugs. Perhtik gmbr di smpig. Tetuk lus derh yg dirsir. Y 9 y = 9 6 y = x + 6x. Y o X y = x + x Gmbr.5 y = x O X Gmbr.6 Perhtik gmbr di ts. Tetuk lus derh yg dirsir. Uji Kompetesi 8 Kerjk di buku tugs Hituglh lus derh yg dibtsi oleh kurv-kurv berikut (omor 9).. y = x d y = x. y = x d y = x Y. y = x d y = x 5. y = x x d y = x x 5. y = x d y = x x 6. y = 7 x d y = x x + 7. y = (x ) d y = 0 x 8. y = d y = x 9. y = x, y = 8x x, d sumbu X 0. Gmbr di smpig dlh sisi smpig dri sebuh jembt. Legkug jembt mempuyi persm y = x. Berpkh lus sisi smpig jembt itu (derh yg dirsir)? O Gmbr.7 y = x X

36 Itegrl 9 Tugs Iformsi Lebih Ljut Kerjk di buku tugs Utuk membh wws kli tetg mteri itegrl, crilh iformsi yg berhubug deg peggu itegrl (tokoh, mteri, tekik pegitegrl) di berbgi sumber (perpustk, iteret, mupu buku-buku peujg). Refleksi Setelh mempeljri itegrl, tetu kli thu bhw lus sutu derh bidg dtr yg memiliki betuk tertur dpt ditetuk lusy. Meurut kli, pkh hy itu kegu itegrl? Seberp serig kli megguk pliksi mteri ii? Rgkum. Betuk f ( x) dx = F(x) + c dimk itegrl tk tetu dri f(x).. Beberp rumus itegrl tk tetu dlh sebgi berikut.. dx = x + c b. dx = x + c, utuk kostt + c. x dx = x + c, utuk + + d. x dx = x + c, utuk + ( f ( x) + g( x)) dx = f ( x) dx + g( x) dx e. f. f ( x) dx = f ( x) dx. Jik F dlh tituru dri f, lus derh di ts yg dibtsi oleh kurv y = f(x), sumbu X, x =, d x = b dlh b b L = f( x) dx F( x) = F(b) F().. Sift-sift itegrl tertetu b. f x) dx = c b b = [ ] c ( f ( x) dx, utuk c = kostt. b. ( f ( x) + g( x)) dx = f ( x) dx + b b g( x) dx

37 0 Mmt Apliksi SMA IPS b c. f ( x) dx + f ( x) dx = b d. f ( x) dx = b e. f ( x) dx = c b b b f ( x) dx f ( t) dt c f ( x) dx 5. Lus derh yg dibtsi oleh du kurv Jik f(x) g(x) > 0 pd domi [, b] mk lus derh yg dibtsi oleh y = f(x), y = g(x), gris x =, d gris x = b dlh b L = ( f ( x) g( x)) dx Ltih Ulg Hri I Kerjk di buku tugs I. Pilihlh jwb yg tept. dx. 0 =... x. x 9 + c 9 b. x c + c. x 9 c 9 + d. x c + e. x c +. (9 x + x + )(78 x + ) dx =.... (9x + x + ) + c b. (9x + x + ) + c c. 78x + x + c d. 9x + x + x + c e. (9x + x + x)(78x + ) + c. 9 x ( x + 9 ) dx =.... ( x + 9) + c b. c. d. e. ( x + 9) + c ( x + 9) + c 5 ( x + 9) + c 9 ( x + ) + c. df ( x) Dikethui dx = x + b, F(0) = + F( ), d F() F(0) = 5. Nili + b = d. b. 6 e. c. 5. Grdie sutu kurv diytk deg dy m = = (x ). Jik kurv tersebut dx mellui titik A(, 0), persm kurv itu dlh...

38 Itegrl. y = (x ) + 6 b. y = (x ) 6 c. y = (x ) 6 d. y = (x ) + 6 e. y = (x ) ( ) dx x x. b. c =... d.,5 e. 7. Jik f(x) = x + b, f ( x) dx =, d f ( x) dx = 5 mk ili + b =.... b. c. 5 d. e. 8. Lus derh yg dibtsi oleh kurv y = x 6x + 8x d sumbu X dlh.... b. 6 c. 8 d. 0 e. 9. Lus derh yg dibtsi oleh kurv y = x d y = x dlh d. b. 7 c. 0 e. 0. Lus derh yg dibtsi oleh kurv y = x + x, sumbu X, d gris x = dlh d. 8 b. e. c.. Lus derh yg dirsir pd gmbr di bwh dlh b. c. d. 5 6 e.. Lus derh yg dibtsi gris y = x d kurv y = dpt diytk + x sebgi itegrl tertetu, yitu... x. dx x d. 0 x + dx + x x b. dx + x 0 0 e. x + x dx x c. dx 0 + x. Lus derh yg dibtsi oleh kurv y = x d y = x + dlh d. 6 b. c O Y e y = x x + X

39 Mmt Apliksi SMA IPS. Lus derh yg dibtsi oleh kurv x = y d y = x dlh d b. e. 8 7 c Lus derh yg dibtsi oleh kurv y = x d y = dri x = smpi x = dlh... stu lus.. b. c. d. 5 e. 6 II. Jwblh perty-perty berikut deg ber.. Hituglh itegrl berikut. 5. Mislk sutu pbrik memproduksi Q ( x + )( x ) uit brg meghbisk biy yg. dx x bersesui deg fugsi C(Q). Biy mrjil dlh besry biy tmbh b. yg hrus dikelurk pbrik kre si x si x dx dy pembh uit brg yg. Tetuk persm sutu kurv yg diproduksi. Secr mtemtis, biy memiliki persm grdie dy dc = x mrjil dirumusk deg MC =. dx dq d mellui titik A(9, 8).. Tetuk lus derh yg dibtsi oleh Jik dikethui M C = 7 Q + (dlm kurv y = 9 x d y = x +. rtus ribu), tetuk rumus fugsi. Tetuk lus derh yg dibtsi oleh biy totly. kurv y = x, y = x, d y = di kudr I.

40 Progrm Lier Bb II Progrm Lier Sumber: Esiklopedi Peljr, 999 Motivsi Setip pedgg, pegush, tu org yg berkecimpug di bidg ush psti megigik keutug sebyk-byky terhdp p yg diupyky. Slh stu cr yg dpt ditempuh dlh meek biy produksi higg sekecil-kecily. Deg meyederhk beberp fktor yg berpegruh pd proses tersebut, pedgg tu pegush dpt membetuk sutu model mtemtik. Progrm lier merupk slh stu metode yg dpt diguk utuk meyelesik model mtemtik sederh. Tuju Pembeljr Setelh mempeljri bb ii, dihrpk kli dpt. meetuk peyelesi sistem pertidksm lier du vribel;. meetuk fugsi tuju (fugsi objektif) besert kedl yg hrus dipeuhi dlm mslh progrm lier;. meggmbrk kedl sebgi derh di bidg yg memeuhi sistem pertidksm lier;. meetuk ili optimum dri fugsi tuju sebgi peyelesi dri progrm lier; 5. mefsirk ili optimum yg diperoleh sebgi peyelesi progrm lier.

41 Mmt Apliksi SMA IPS Pet Kosep Progrm Lier mempeljri Sistem Pertidksm Lier membhs Meetuk Nili Optimum Sutu Fugsi Objektif deg metode Himpu Peyelesi Sistem Pertidksm Lier Du Vribel deg Grfik Progrm Lier d Model Mtemtik Uji Titik Sudut Gris Selidik Kt Kuci fugsi objektif fugsi kedl model mtemtik progrm lier pertidksm sistem pertidksm lier ili mksimum ili miimum ili optiml optimsi

42 Progrm Lier 5 Progrm lier sebgi bgi dri mtemtik byk diguk dlm berbgi bidg, tr li dlm bidg ekoomi, perti, d perdgg. Deg megguk progrm lier, seseorg dpt meghitug keutug mksimum tu biy miimum. Hl itu sgt bergtug pd pembts tu kedl, yitu sumber dy yg tersedi. Dlm mempeljri progrm lier, kit perlu megigt kembli cr meetuk himpu peyelesi pertidksm lier du vribel deg megguk grfik. Oleh kre itu, kit wli pembhs ii deg megulg kembli cr meetuk himpu peyelesi sistem pertidksm lier du vribel. Setelh hl ii kit phmi deg bik, kit ljutk pembicr ii deg membhs pegerti progrm lier d model mtemtik, meetuk ili optimum betuk objektif, sert meyelesik sol-sol progrm lier. Sebelum mempeljri bb ii, d biky kli jwb solsol berikut. Uji Prsyrt Kerjk di buku tugs. Gmbrlh grfik yg meytk himpu peyelesi dri:. 6x + 5y < x 6y = 5 b. { 5x + y = 6. Tetuk himpu peyelesi sistem persm lier 5x y = { 6x + y = 7 deg metode substitusi d metode elimisi.. Ade membeli buku d sebuh bolpoi di Toko Permt Ibu. Ade hrus membyr Rp7.000,00. Di toko yg sm Ri membeli sebuh buku d du bolpoi. Ri hrus membyr Rp.000,00. Berp hrg buku di toko Permt Ibu? Berp pul hrg bolpoi? Setelh kli mmpu mejwb sol-sol di ts, mri kit ljutk ke mteri berikut. A. Sistem Pertidksm Lier Du Vribel Sistem pertidksm lier du vribel dlh sutu sistem (gbug du tu lebih) pertidksm lier yg memut du vribel. Himpu peyelesi dri sistem pertidksm lier du vribel merupk iris tu iterseksi dri himpu peyelesi pertidksm lier yg terdpt pd sistem

43 6 Mmt Apliksi SMA IPS pertidksm itu. Dlm betuk grfik pd bidg koordit, himpu peyelesi itu berup derh yg dibtsi oleh grisgris dri sistem persm liery. Perhtik cotoh-cotoh berikut. Cotoh:. Gmbrlh himpu peyelesi pertidksm lier berikut pd bidg Crtesius. (R dlh himpu bilg rel). x + y 6, deg x, y R b. x + y <, deg x, y R Peyelesi: Sebelum meetuk derh peyelesiy, kit perlu melukis bts-bts derhy, yki grfik x + y = 6 d grfik x + y =. Kre bts yg dimksud berbetuk lier, dpt dipstik bhw btsbts derhy berup gris-gris lurus. Jdi, utuk melukisy cukup ditetuk titik ggoty, kemudi meghubugky mejdi sebuh gris lurus. Du titik ggoty yg mudh dihitug dlh titik potog gris itu deg sumbu X d sumbu Y. Skem perhitugy dpt diliht pd tbel berikut. Tbel. x 0... y... 0 (x, y) (0,...) (..., 0). x + y 6, deg x, y R Bts derh peyelesiy dlh grfik x + y = 6. Titik potog grfik deg sumbu X, syrty y = 0. Berrti, x + (0) = 6 x = 6 x =. Oleh kre itu, titik potog grfik deg sumbu X dlh (, 0). Titik potog grfik deg sumbu Y, syrty x = 0. Berrti, (0) + y = 6 y = 6 y =. Oleh kre itu, titik potog grfik deg sumbu Y dlh (0, ). Jdi, isi tbel selegkpy dlh sebgi berikut. Tbel. x 0 y 0 (x, y) (0, ) (, 0) Grfik x + y = 6 dpt diperoleh deg membut gris yg meghubugk titik (, 0) d (0, ) seperti pd gmbr berikut.

44 Progrm Lier 7 Y Y O (0, ) (, 0) x + y = 6 X O (0, ) x + y 6 Gmbr. Gmbr. Pd Gmbr., tmpk bhw gris x + y = 6 membgi bidg Crtesius mejdi du derh, yitu derh di sebelh k (ts) gris d derh di sebelh kiri (bwh) gris itu. Utuk meetuk derh yg memeuhi pertidksm x + y 6, kit mbil sembrg titik utuk diselidiki, misly titik (0, 0). Kit substitusik (0, 0) pd pertidksm x + y 6 (0) + (0) 6 sehigg diperoleh 0 6. Berdsrk substitusi itu terliht bhw pertidksm 0 6 Kethuilh berili slh. Berrti, titik (0, 0) tidk berd pd derh peyelesi x + Pd buku ii, kit tetpk bhw derh himpu peyelesi y 6. Kre derh yg dimit pertidksm dlh derh yg dlh x + y > 6, titik-titik yg bersih (yg tidk dirsir), sedgk derh yg diberi rsir buk derh peyelesi. Jdi, derh berd pd gris x + y = 6 termsuk merupk derh himpu peyelesi. peyelesiy dlh derh yg tidk dirsir, seperti pd Gmbr.. b. x + y <, deg x, y R Titik potog grfik x + y = deg sumbu koordit Tbel. x 0 y 0 (x, y) (0, ) (, 0) Jdi, titik potogy dlh (0, ) d (, 0). Grfiky dlh sebgi berikut. (, 0) X Y Y (0, ) (0, ) (, 0) (, 0) O x + y = X O x + y < X Gmbr. Gmbr.

45 8 Mmt Apliksi SMA IPS Kit selidiki titik (0, 0) deg meyubstitusiky pd pertidksm x + y < sehigg diperoleh 0 + (0) < 0 <. Terliht bhw pertidksm 0 < ber. Berrti, titik (0, 0) berd pd derh peyelesi x + y <, sedgk gris x + y = tidk memeuhi pertidksm sehigg digmbr putus-putus. Jdi, derh peyelesiy dlh derh yg tidk dirsir, seperti terliht pd Gmbr... Gmbrlh pd bidg Crtesius, himpu peyelesi dri sistem pertidksm berikut, utuk x, y R.. { x + y x + y b. { x, y 0 x + y 7 x + y Peyelesi:. Sistem pertidksm x + y d x + y, deg x, y R Titik-titik potog gris x + y = d x + y = deg sumbu koordit Utuk x + y = Utuk x + y = Tbel. Tbel.5 x 0 y 0 (x, y) (0, ) (, 0) x 0 y 0 (x, y) (0, ) (, 0) Y (0, ) O (0, ) (, ) (, 0) x + y = Gmbr.5 (, 0) x + y = X Keterg: Peyelesi pertidksm x + y dlh derh di sebelh kiri gris x + y = (yg dirsir di sebelh k). Peyelesi pertidksm x + y dlh derh di sebelh kiri gris x + y = (yg dirsir di sebelh k). Titik potog gris x + y = d x + y = x + y = x + y = x = Berrti, x + y = + y = y =. Jdi, titik potogy dlh (, ). Deg demiki, himpu peyelesi sistem pertidksm x + y, x + y, utuk x, y R dlh derh yg tidk dirsir (bersih), seperti terliht pd Gmbr.5. b. Sistem pertidksm: x, y 0, x + y 7, x + y Titik-titik potog gris x + y = 7 d x + y = deg sumbu koordit

46 Progrm Lier 9 Utuk x + y = 7 Utuk x + y = Tbel.6 Tbel.7 x 0 7 x 0 6 y 7 0 y 8 0 (x, y) (0, 7) (7, 0) (x, y) (0, 8) (6, 0) Y C(0, 7) O (0, 8) B(, ) Gmbr.6 A(6, 0) x + y = (7, 0) X x + y = 7 Keterg: Peyelesi x 0 dlh derh di sebelh k sumbu Y. Peyelesi y 0 dlh derh di sebelh ts sumbu X. Peyelesi pertidksm x + y 7 dlh derh di sebelh kiri gris x + y = 7. Peyelesi pertidksm x + y dlh derh di sebelh kiri gris x + y =. Titik potog tr gris x + y = 7 d x + y = x + y = 7 x + y = x + y = x + y = x = x = Berrti, x + y = 7 + y = 7 y =. Jdi, koordit titik potogy dlh (, ). Deg demiki, himpu peyelesi sistem pertidksm: x 0, y 0, x + y 7, x + y, deg x, y R dlh derh segi empt OABC yg tidk dirsir, seperti terliht pd Gmbr.6. Tugs Kretivits Kerjk di buku tugs Deg cr-cr yg telh kli peljri, cob gmbrlh derh peyelesi { x + y < 0 x y > 0 y = Ad berp titik yg termsuk dlm himpu peyelesi? Titik mkh itu?

47 0 Mmt Apliksi SMA IPS Uji Kompetesi Kerjk di buku tugs. Gmbrlh himpu peyelesi pertidksm lier berikut pd bidg Crtesius.. x + 5y < 5 d. 5x y > 0 g. 6x + 5y 0 b. x 6y > e. x + 5y > 0 h. 8x 6y 8 c. x + y < f. x y > 8. Gmbrlh himpu peyelesi sistem pertidksm lier berikut pd bidg Crtesius.. x y d. x + y 8 f. x + y 0 { { { { { 8x + 0 y 55 x 5y 0 6 x y 0 b. x + 8y 60 x + 5y 5 x 0, y 0 x + y 60 x 0, y 0 x 0,y 0 e. x + y 0 c. x + y x + y 0 x y y 5x + y 5 x, y 0 x 0, y 0 { B. Mercg Model Mtemtik yg Berkit deg Progrm Lier Mtemtik mempuyi kit yg ert deg persolpersol rel yg terjdi di tegh kehidup kit. Persolpersol seperti ii di try dpt diselesik mellui progrm lier. Progrm lier dlh sutu metode tu progrm utuk memechk mslh optimsi yg megdug kedl-kedl tu bts-bts yg dpt diterjemhk dlm betuk sistem pertidksm lier. Peyelesi dri sistem pertidksm lier ii dpt disjik dlm derh himpu peyelesi. Di tr beberp peyelesi yg terdpt dlm derh peyelesi, terdpt stu peyelesi terbik yg disebut peyelesi optimum. Jdi, tuju progrm lier dlh mecri peyelesi optimum yg dpt berup ili mksimum tu ili miimum dri sutu fugsi. Fugsi tersebut dimk fugsi ssr. Fugsi ssr disebut jug fugsi tuju tu fugsi objektif. Utuk dpt meyelesik progrm lier, terlebih dhulu kit hrus meerjemhk persol (kedl-kedl tu btsbts yg terdpt dlm mslh progrm lier) ke dlm bhs mtemtik yg disebut model mtemtik. Jdi, model mtemtik dlh sutu rumus mtemtik (berup persm, pertidksm, tu fugsi) yg diperoleh dri hsil pefsir tu terjemh sutu mslh progrm lier ke dlm bhs mtemtik. Model mtemtik yg bik memut bgi-bgi yg diperluk. Utuk lebih jelsy, lkuk kegit berikut. Tes Mdiri Kerjk di buku tugs Sebuh kpl pesir dpt mempug 50 org peumpg. setip peumpg kels utm boleh membw 60 kg bgsi d peumpg kels ekoomi 0 kg. Kpl itu hy dpt membw kg bgsi. Jik byk peumpg kels utm dlh x d byk peumpg kels ekoomi dlh y mk sistem pertidksm yg hrus dipeuhi dlh.... x + y 50, x + y 800, x 0, y 0 b. x + y 50, x + y 00, x 0, y 0 c. x + y 50, x + y 00, x 0, y 0 d. x + y 50, x + y 00, x 0, y 0 e. x + y 50, x + y 800, x 0, y 0 Sol Ebts SMA, 996

48 Progrm Lier Kegit Kerjk di buku tugs Disjik permslh berikut. Seorg tukg mebel membut kursi d mej. Setidktidky hrus diproduksi 500 mebel, yg terdiri ts kursi d mej. Pegerj kursi memerluk wktu jm, sedgk pegerj mej memerluk wktu 5 jm. Wktu yg tersedi.500 jm. Hrg jul ecer kursi Rp75.000,00 d mej Rp5.000,00. Bgim model mtemtiky? Tuju: Membetuk model mtemtik dri permslh tersebut. Permslh: Bgim model mtemtik dri permslh tersebut? Lgkh-Lgkh:. Mislk x = byk kursi d y = byk mej.. Tulislh pertidksm lier du vribel utuk jumlh mebel yg diproduksi. Perhtik kedl bhw plig sedikit hrus diproduksi mebel sebyk 500 buh.... x +...y 500. Tulislh pertidksm lier utuk wktu totl produksi. Perhtik kedl bhw wktu totl produksi dlh.500 jm.... x +...y.500. Tulis jug du kedl liy, yitu tip jeis mebel tidk mugki egtif d Tulislh peryt utuk fugsi tuju jik pbrik megigik memperoleh pedpt kotor plig besr. Fugsi tuju z =...x +...y 6. Simpulk model mtemtik yg kli peroleh. Kedl: {... x +... y x +... y d... 0 Fugsi objektif: memksimumk z =...x +...y Kesimpul: Dri lgkh-lgkh di ts k diperoleh model mtemtik: Fugsi objektif: memksimumk z = x y Kedl: { x + y 500 x + 5y.500 x 0; y 0 Setelh melkuk kegit di ts, tetu kli mmpu memhmi cotoh-cotoh berikut deg mudh.

49 Mmt Apliksi SMA IPS Cotoh:. Lus sutu lh prkir dlh 00 m. Lus rt-rt stu mobil d stu bus msig-msig dlh 8 m d m. Lh prkir tersebut hy memut plig byk 0 kedr. Butlh model mtemtik dri persol tersebut deg memislk mobil yg sedg diprkir sebyk x d bus sebyk y. Peyelesi: Dri keterg tersebut, diperoleh hubug sebgi berikut.. 8x + y 00 x + y 0 Kre x d y msig-msig meujukk byky mobil d bus, x d y berup bilg cch. Jdi, model mtemtik persol tersebut dlh { 8x + y 00 x + y 0 x 0, y 0 x, y C. Sutu idustri rumh tgg memproduksi du jeis roti, yitu roti jeis A d roti jeis B. Roti jeis A memerluk 50 g tepug d 50 g meteg. Roti jeis B memerluk 75 g tepug d 75 g meteg. Byky tepug yg tersedi dlh,5 kg, sedgk byky meteg yg tersedi dlh,5 kg. Pemilik idustri rumh tgg itu igi membut kedu jeis roti tersebut sebykbyky. Butlh model mtemtik dri mslh tersebut. Peyelesi: Mislk byky roti jeis A dlh x d roti jeis B dlh y. Keterg pd sol di ts dpt dirgkum dlm tbel berikut. Tbel.8 Roti Jeis A Roti Jeis B Mksimum Tepug (grm) 50x 75y.50 Meteg (grm) 50x 75y.50 Byky tepug yg diguk utuk membut kedu jeis roti tersebut dlh (50x + 75y) g, sedgk byky tepug yg tersedi dlh.50 g sehigg diperoleh hubug 50x + 75y.50 tu x + y 0... () Byky meteg yg diguk utuk membut kedu jeis roti tersebut dlh (50x + 75y) g, sedgk byky meteg yg tersedi dlh.50 g sehigg diperoleh hubug 50x + 75y.50 tu x + y () Kre x d y msig-msig meytk byky roti, x 0 d y 0... () Nili-ili x d y berup bilg cch. Kre permslhy dlh bgim membut kedu jeis roti sebykbyky (memksimumk), fugsi objektif tu fugsi ssry dlh meetuk x + y mksimum.

50 Progrm Lier Mislk fugsi ssry z mk z = x + y. Pertidksm () smpi deg () merupk kedl (pembts) sehigg model mtemtik tersebut dpt ditulis sebgi berikut. Fugsi objektif: meetuk ili mksimum z = x + y Kedl: { x + y 0 x + y 50 x 0, y 0 x, y C Problem Solvig Seorg pedgg es mejul du jeis es krim, yitu jeis I d jeis II. Hrg beli es krim jeis I dlh Rp700,00 per bugkus d es krim jeis II Rp600,00 per bugkus. Modl yg dimiliki pedgg tersebut Rp68.000,00, sedgk termos es yg diguk utuk mejul es tidk dpt memut lebih dri 00 bugkus es krim. Keutug es krim jeis I dlh Rp00,00 per bugkus d jeis II dlh Rp00,00 per bugkus. Pejul es itu igi memperoleh keutug sebyk-byky. Butlh model mtemtik dri persol tersebut. Peyelesi: Mislk byky es krim jeis I dlh x d jeis II dlh y sehigg dri persol di ts, dpt dibut tbel persol berikut. Tbel.9 Es Krim Jeis I Es Krim Jeis II Mksimum Byky Es Krim x y 00 Hrg Beli Per Bugkus 700x 600y Kre termos es dpt memut tidk lebih dri 00 bugkus, sedgk byky es krim jeis I d II dlh (x + y) bugkus, diperoleh hubug x + y () Modl yg dimiliki Rp68.000, sedgk ug yg diperluk utuk membeli kedu jeis es krim dlh (700x + 600y), diperoleh hubug 700x + 600y tu 7x + 6y () Kre x d y meytk byky es krim mk x 0 d y 0... () Nili-ili x d y dlh bilg cch. Kre permslhy dlh meetuk keutug mksimum yg dihrpk oleh pedgg es, fugsi objektify dlh meetuk ili mksimum z = 00x + 00y. Model mtemtiky dlh sebgi berikut. Fugsi objektif: meetuk ili mksimum z = 00x + 00y Kedl: { x + y 00 7x + 6y.680 x 0, y 0 x, y C

51 Mmt Apliksi SMA IPS Uji Kompetesi Kerjk di buku tugs. Dikethui jumlh du bilg oegtif x d y tidk lebih dri 5, sedgk kli bilg x ditmbh kli bilg y tidk lebih dri 75. Butlh model mtemtik dri persol tersebut.. Seorg pedgg buh mejul buh mgg d buh jeruk yg ditemptk dlm stu kerjg. Dy tmpug kerjg itu tidk lebih dri.000 buh. Hrg stu buh mgg d stu buh jeruk msig-msig Rp500,00 d Rp.000,00. Apbil seluruh buh terjul, ug yg i peroleh tidk lebih dri Rp ,00. Jik byky buh mgg d buh jeruk msig-msig dlh x d y, butlh model mtemtik dri persol tersebut.. Hrg krcis dlm sutu gedug pertujuk dibedk mejdi du kelompok umur, yitu k-k d dews yg msig-msig sehrg Rp.500,00 d Rp5.000,00. Jik krcis terjul hbis, ug yg terkumpul seluruhy tidk lebih dri Rp5.000,00, sedgk dy tmpug gedug tersebut plig byk.000 org. Apbil x d y msig-msig meytk byky k-k d org dews yg megujugi sutu pertujuk di gedug tersebut, tetuk model mtemtik dri permslh tersebut.. Seorg k yg membeli 8 buku tulis d 5 pesil hrus membyr Rp8.500,00. Ak yg li membeli buku tulis d 6 pesil hrus membyr Rp.000,00. Jik hrg stu buku tulis d stu pesil msig-msig x d y, butlh model mtemtik utuk persol tersebut. 5. Sutu pbrik mi memproduksi jeis mi, yitu jeis I d II. Keutug setip mi jeis I dlh Rp.000,00, sedgk jeis II Rp5.000,00. Mi jeis I memerluk wktu 6 jm utuk membut bh-bhy, jm utuk memsg, d 5 jm utuk megepk. Mi jeis II memerluk wktu jm utuk membut bhy, 6 jm utuk memsg, d 5 jm utuk megepk. Sutu pes sedg dikerjk pbrik itu deg loksi wktu 5 jm utuk membut bh-bhy, 8 jm utuk memsg, d 50 jm utuk megepk. Pbrik tersebut berhrp utuk medptk keutug mksimum dri pes tersebut. Butlh model mtemtik dri persol tersebut. 6. Seorg hli perti igi mecmpur du jeis pupuk deg memberik 5 g klium krbot, 0 g itrt, d g fosft semiiml mugki pd sutu tkr. Stu tkr pupuk merek I yg hrgy Rp75.000,00 per bugkus memerluk g klium krbot, g itrt, d g fosft. Pupuk merek II hrgy Rp60.000,00 per bugkus memerluk g klium krbot, 5 g itrt, d g fosft. Butlh model mtemtik dri persol tersebut gr pegelury sekecil mugki.

52 Progrm Lier 5 Sol Terbuk Kerjk di buku tugs. Sutu perush mebel megerjk proses fiishig model mej, yitu model klsik d moder. Mej model klsik memerluk wktu jm utuk megmpels d jm utuk mewri. Mej model moder memerluk wktu jm utuk megmpels d jm utuk mewri. Perush tersebut memiliki wktu utuk megerjk pes selm 60 jm utuk megmpels d 80 jm utuk mewr. Perush tersebut berhrp utuk medptk keutug sebesr-besry dri pejul mej tersebut. Jik keutug pejul msig-msig mej model klsik d moder dlh Rp50.000,00 d Rp80.000,00 per mej, butlh model mtemtik dri persol tersebut.. Seorg peterk megigik terky medptk plig sedikit g zt besi d 8 g vitmi setip hri. Stu tkr jgug memberik g zt besi d 5 g vitmi, sedgk stu tkr pdi-pdi memberik g zt besi d g vitmi. Peterk itu igi mecmpur bh mk tersebut utuk medptk biy yg semurhmurhy. Jik hrg jgug Rp.500,00 per bugkus d hrg pdi-pdi Rp.500,00 per bugkus, butlh model mtemtik dri persol tersebut. Tes Mdiri Kerjk di buku tugs Himpu peyelesi dri sistem pertidksm x + y 0 x + y 0 { x 0; y 0 terletk pd derh berbetuk.... trpesium b. persegi pjg c. segitig d. segi empt e. segi lim Sol PPI, 98 C. Meyelesik Model Mtemtik d Mefsirky Kli telh mmpu mercg model mtemtik yg berkit deg mslh progrm lier. Model itu tidk k byk berrti jik kli tidk meyelesik permslh yg timbul dri model itu. Meyelesik model itu sm hly meetuk ili optimum (mksimum/miimum) dri fugsi objektify, kemudi mefsirky pd persol semul.. Fugsi Objektif x + by Utuk memhmi pegerti betuk objektif x + by, perhtik kembli model mtemtik pd cotoh-cotoh yg telh kit peljri di ts.. Sistem pertidksm lier du vribel { x + y 0 x + y 50 x 0, y 0, deg x, y C Fugsi objektif: memksimumk z = x + y

53 6 Mmt Apliksi SMA IPS b. Sistem pertidksm lier du vribel { x + y 00 x + y.0 x 0, y 0, deg x, y C Fugsi objektif: memksimumk z = 5x + 0y Deg memerhtik kedu model mtemtik pd cotoh di ts, kit kethui bhw tuju yg hedk dicpi dlm sutu model mtemtik diytk dlm betuk persm z = x + by. Betuk x + by yg hedk dioptimumk (dimksimumk tu dimiimumk) tersebut dimk fugsi objektif. Deg kt li, fugsi objektif dlm progrm lier dlh fugsi z = x + by yg hedk ditetuk ili optimumy.. Meetuk Nili Optimum Fugsi Objektif Setelh kit memhmi pegerti model mtemtik d fugsi objektif, kit dpt megethui tuju yg hedk dicpi dri persol progrm lier, yitu meetuk ili optimum sutu fugsi objektif. Lgkh-lgkh utuk meyelesik persol progrm lier secr umum dlh. meerjemhk tu merumusk permslh ke dlm model mtemtik;. meyelesik sistem pertidksm yg merupk kedl tu pembts;. mecri peyelesi optimum (mksimum tu miimum);. mejwb permslh. Berkit deg hl tersebut, kit dpt megguk metode grfik yg terdiri ts du mcm cr, yitu metode uji titik sudut d metode gris selidik. Tes Mdiri Kerjk di buku tugs Nili miimum dri z = x + 6y yg memeuhi syrt { x + y 0 x + y 0 x + y 0 x 0 y 0 dlh d. 0 b. 0 e. 0 c. 0 Sol UMPTN, 00. Metode Uji Titik Sudut Deg metode ii, ili optimum dri betuk objektif z = x + by ditetuk deg meghitug ili-ili z = x + by pd setip titik sudut (titik verteks) yg terdpt pd derh himpu peyelesi pertidksm lier du vribel. Beberp ili yg diperoleh itu, kemudi dibdigk. Nili yg plig besr merupk ili mksimum dri z = x + by, sedgk ili yg plig kecil merupk ili miimum dri z = x + by. Utuk lebih memhmi cr meetuk ili optimum fugsi objektif deg uji titik sudut, perhtik cotohcotoh berikut.