KARAKTERISTIK MODEL DETERMINISTIK EKIVALEN TERHADAP PROGRAM STOKASTIK CACAH CAMPURAN TAHAP GANDA

Transkripsi

1 KARAKTERISTIK MODEL DETERMINISTIK EKIVALEN TERHADAP PROGRAM STOKASTIK CACAH CAMPURAN TAHAP GANDA T E S I S Oleh: IRVAN /MT SEKOLAH PASCASARJANA UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2007

2 KARAKTERISTIK MODEL DETERMINISTIK EKIVALEN TERHADAP PROGRAM STOKASTIK CACAH CAMPURAN TAHAP GANDA T E S I S Untuk memperoleh Gelar Magister Sains dalam Program Studi Magister Matematika pada Sekolah Pascasarjana Universitas Sumatera Utara Oleh: IRVAN /MT SEKOLAH PASCASARJANA UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2007

3 LEMBAR PENGESAHAN Judul Tesis : Karakteristik Model Deterministik Ekivalen Terhadap Program Stokastik Cacah Campuran Tahap Ganda Nama Mahasiswa : Irvan Nomor Pokok : Program Studi : Matematika Menyetujui, Komisi Pembimbing Prof. Dr. Herman Mawengkang Pembimbing-I Dr. Opim Salim Sitompul, M.Sc Pembimbing-II Prof. Dr. Herman Mawengkang Ketua Program Studi Prof. Dr. Ir. T.Chairun Nisa. B, M.Sc Direktur SPs USU Tanggal lulus: 2 Juli 2007 i

4 Telah diuji pada : Tanggal 2 Juli 2007 PANITIA PENGUJI TESIS Ketua : Prof. Dr. Herman Mawengkang Anggota : Dr. Opim Salim Sitompul, M.Sc Dr. Sutarman, M.Sc Dra. Mardiningsih, M.Si ii

5 ABSTRAK Dunia saat ini di landa oleh adanya kondisi ketidakpastian yang tinggi, namun pengambilan keputusan tetap harus menentukan keputusan, walau dalam kondisi yang demikian. Persoalan keputusan sering diformulasikan sebagai persoalan optimisasi, jadi dalam berbagai situasi, pengambil keputusan ingin menyelesaikan persoalan optimisasi yang tergantung pada parameter yang tak diketahui. Jika ketidakpastian ini tidak diperhitungkan dalam model penyelesaian, kesalahan besar dapat terjadi apabila hal ini diterapkan. Tentu saja, penyelesaian yang diperoleh dari program optimisasi adalah optimal untuk nilai tertentu dari parameter tak pasti tersebut yang terlibat dalam pengambilan keputusan dapat jauh dari optimal atau bahkan tak layak. Perencanaan jangka menengah dan jangka panjang merupakan hal yang esensi terhadap suksesnya bisnis dan manajemen proyek. Dalam hal ini, persoalan dapat di bagi menjadi taha-ganda, biasanya ditinjau dari segi waktu. Karena banyak data yang tak tersedia pada tahap perencanaan, keputusan harus lentur untuk mengantisipasi kejadian yang mungkin terjadi. Program stokastik merupakan alat yang ampuh untuk memodelkan persoalan perencanaan jangka menengah dan jangka panjang, di mana terdapat ketidakpastian dalam data. Namun model tidaklah well defined, karena adanya vektor acak muncul dalam model untuk merepresentasikan ketidakpastian. Pada tesis ini membicarakan tentang memodifikasi program stokastik cacah-campuran tahap-ganda menjadi model deterministik ekivalen. iii

6 ABSTRACT Currently, the world has been uncertainly condition; however the decision maker has to make a decision. These decision problems in general are formulated as an optimization problem; the optimization problem should be solved. If the parameter of the problem are uncertain then we need a tool to solve it, otherwise the result would be bias. Medium to long term planning in busmen are essential for the succeed of a busmen and management project. Stochastic programming is an important tool in medium to long term planning where there are uncertainties in the data. In this thesis, we consider multi-stage mixed integer stochastic programming model. The model is not well defined, since there are random vectors imposed in the model to present the uncertainties, of the model parameter. There fore a revision of the modeling is necessary, leading to so-called deterministic equivalents of the original model. This thesis discusses about how to get the deterministic equivalent model. iv

7 KATA PENGANTAR Tesis ini berjudul Karakteristik Model Deterministik Ekivalen terhadap Program Stokastik Cacah Campuran Tahap Ganda. Tesis ini disusun sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada Program Studi Magister Matematika, Sekolah Pascasarjana, Universitas Sumatera Utara. Dari hasil temuan penelitian ini diharapkan akan memperoleh sebuah model untuk mengubah program stokastik cacah campuran tahap ganda (multi-stage stochastic mixed integer programming) menjadi model deterministik ekivalen. Penulis sangat sadar bahwa tesis ini jauh dari sempurna. Namun harapan penulis, semoga tesis ini bermanfaat bagi para pembaca dan peneliti-peneliti selanjutnya, khususnya penelitian di bidang operasi riset. Saran dan kritik yang bersifat konstruksi sangat diharapkan untuk kesempurnaan hasil penelitian ini. Medan, Juni 2007 Penulis, Irvan v

8 UCAPAN TERIMA KASIH Segenap puja dan puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat, karunia, petunjuk, bimbingan, dan kekuatan lahir dan batik kepada diri penulis, sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis ini tepat pada waktunya. Tesis ini berjudul Karakteristik Model Deterministik Ekivalen terhadap Program Stokastik Cacah Campuran Tahap Ganda. Tesis ini merupakan persyaratan tugas akhir pada Program Studi Matematika SPs Universitas Sumatera Utara. Pada kesempatan yang baik ini, penulis menyampaikan ucapan terimakasih dan penghargaan yang sebesar-besarnya kepada : Rektor Universitas Sumatera Utara Prof. Dr. Chairuddin P. Lubis, DTM&H, Sp.Ak., Direktur Sekolah Pascasarjana Prof. Dr. Ir. T. Chairun Nisa B, M.Sc., ketua Program Studi Magister Matematika SPs Universitas Sumatera Utara Prof. Dr. Herman Mawengkang, sekretaris Program Studi Magister Matematika SPs Universitas Sumatera Utara Dr. Saib Suwilo, M.Sc., yang telah memberikan kesempatan kepada penulis untuk mengikuti Program Studi Magister Matematika di Sekolah Pascasarjana Universitas Sumatera Utara Medan. Penghargaan yang setinggi-tingginya penulis sampaikan kepada Prof. Dr. Herman Mawengkang dan Dr. Opin Salim Sitompul M.Sc., atas bimbingan, bantuan dan perhatian yang diberikan selama penulisan dan penyelesaian tesis ini. Selanjutnya terima kasih yang dalam penulis sampaikan kepada para dosen yaitu: Dr. Saib Suwilo, M.Sc., Dr. Sutarman, M.Sc., Drs. Open Darnius, M.Sc., Drs. Marwan Harahap, M.Eng, Drs. Sawaluddin, MIT., Dra. Mardiningsih, M.Si., dan Dra. Esther Nababan, M.Sc., yang telah banyak memberikan masukan ilmu pengetahuan dalam bidang operasi riset (OR). vi

9 Seluruh rekan-rekan mahasiswa angkatan ke-empat tahun 2005/2006 program studi Magister Matematika SPs Universitas Sumatera Utara atas kerjasama dan kebersamaan dalam mengatasi berbagai masalah yang dihadapi selama perkuliahan, sehingga tugas-tugas bersama dapat diselesaikan dengan baik. Terima kasih saya sampaikan kepada saudari Misiani, S.Si., selaku staf Administrasi program studi Magister Matematika SPs Universitas Sumatera Utara yang telah memberikan pelayanan yang baik kepada penulis. Khususnya kepada Ayahanda Ismail dan Ibunda Wagiyem serta mertua Ibunda Hj. Ummi Kalsum yang telah melimpahkan dukungan finansial, spritual dan material yang tak terhingga kepada penulis, sehingga penulis dapat menyelesaikan pendidikan Magister Sains. Teristimewa penulis mengucapkan terima kasih kepada istri tercinta Rabiah Adawi, S.Pd., M.Hum serta ananda tersayang Alisya Irvi Salsabila dan Jihan Irvi Safirah yang banyak memberikan pengertian dan pengorbanan dari masa kuliah sampai pada penyelesaian tesis ini. Ucapan terima kasih yang terakhir penulis sampaikan kepada seluruh keluarga dari pihak penulis dan pihak istri yang tidak dapat disebutkan satu persatu dalam ucapan terima kasih ini, yang telah memberikan perhatian dan dorongan yang diberikan kepada penulis dalam menyelesaikan tesis ini. Akhirnya penulis hanya dapat memohon kehadirat Allah SWT, semoga jasa semua pihak yang telah membantu penulis dalam penyelesaian tesis ini, mendapat balasan yang setimpal amin. Medan, Juni 2007 Penulis, Irvan vii

10 DAFTAR ISI Halaman LEMBAR PENGESAHAN i ABSTRAK ABSTRACT KATA PENGANTAR UCAPAN TERIMA KASIH DAFTAR ISI iii iv v vi viii BAB 1. PENDAHULUAN Latar Belakang Perumusan Masalah Tujuan Penelitian Kontribusi Penelitian Metodologi Penelitian TINJAUAN PUSTAKA Formulasi Program Stokastik Model dan Analisa Kuantitatif dari Persoalan Stokastik dengan Kendala Berpeluang Deterministik Ekivalen Persoalan Program Stokastik dengan Kendala Berpeluang viii

11 2.4. Model Persoalan Program Stokastik Dua Tahap PROGRAM STOKASTIK Pengertian Program Stokastik Program Stokastik Dua Tahap Pengertian Dasar Program Stokastik Tahap Ganda Ilustrasi Program Stokastik PEMBAHASAN Program Stokastik : Formulasi Umum Formulasi Ekivalen Deterministik Formulasi Deterministi Ekivalen Program Stokastik Cacah Campuran Proses Formulasi KESIMPULAN DAFTAR PUSTAKA ix

12 BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Model program stokastik merupakan formulasi ulang atau perluasan dari masalah optimisasi dengan parameter random (acak). Untuk pembicaraan tentang pendekatan program stokastik integer, perlu dideskripsikan sebuah model yang akan/dapat memberikan sifat-sifat matematika yang relevan. Perhatikan masalah optimasasi berikut. mincx x kendala Ax = b Tx =h x X dimana X R n nonnegatif dan kemungkinan adanya kendala bulat dengan variabel keputusan x. Sebagai tambahan, untuk m 1 kendala deterministik Ax = b, terdapat m kendala Tx =h, dimana parameter T dan h tergantung pada informasi yang hanya tersedia sesudah variabel keputusan x dibuat. Pendekatan program stokastik untuk masalah ini adalah dengan mengasumsikan bahwa ketidakpastian ini dapat dimodelkan oleh variabel random (acak) yang berdistribusi peluangnya diketahui, memformulasi ulang model yang diperoleh dan menjadikan masalah optimisasi agar terdefenisi dengan baik. Sebuah kelas yang penting pada program stokastik dikenal sebagai model 1

13 2 recourse yang diperoleh dengan mengikuti tambahan atau keputusan recourse sesudah pengamatan variabel random (T, h). Model recourse adalah dinamik (berubah-rubah): waktu yang dimodelkan secara diskrit dalam bentuk tahapantahapan, sesuai dengan informasi yang tersedia. Jika semua ketidakpastian tidak diselesaikan, model recourse menjadi dua tahapan yaitu : sekarang dan akan datang. Diberikan variabel keputusan tahap satu x untuk setiap kemungkinan realisasi q, T, h dari q, T, h, ketidaklayakkan h T x dihilangkan untuk meminimalkan biaya oleh pemilihan keputusan tahap kedua sebagai penyelesaian optimal dari masalah tahap kedua minqy y kendala Wy = h Tx y Y dimana q adalah vektor biaya unit recourse (random), matriks recourse W tertentu dengan teknologi tersedia, dan himpunan Y R n 2 + adalah didefinisikan analog dengan X. Akan menggunakan ξ =(q, T, h) untuk menotasikan objek acak yang random dalam masalah ini. Nilai fungsi dari masalah tahap kedua, khususnya biaya recourse minimal sebagai sebuah fungsi dari keputusan tahap pertama x dan realisasi ξ, akan dinotasikan oleh v(x, ξ)); ekspetasi Q(x) := E ξ [v(x, ξ)] menyatakan biaya recourse rata-rata yang berkaitan dengan keputusan tahap pertama x. Sehingga model recourse tahap kedua adalah : mincx + Q(x) x kendala Ax = b x X dimana fungsi tujuan cx + Q(x) menyatakan total biaya rata-rata dari variabel

14 3 keputusan x. 1.2 Perumusan Masalah Perencanaan jangka menengah dan jangka panjang merupakan hal yang esensi terhadap suksesnya bisnis dan manajemen proyek. Dalam hal ini, problem dapat dibagi menjadi tahap-ganda yang biasanya ditinjau dari segi waktu. Karena banyak data yang tak tersedia pada tahap perencanaan, keputusan harus dapat mengantisipasi kejadian yang mungkin. Program stokastik merupakan alat yang ampuh untuk memodelkan persoalan perencanaan jangka menengah dan panjang, dimana terdapat ketidakpastian dalam data. Namun model tidaklah well defined, karena adanya vektor acak yang terdapat dalam model untuk mempresentasikan ketidakpastian. Dengan demikian, perlu dibentuk sebuah model ekivalen deterministik dari model stokastik tersebut. Penelitian ini akan membahas tentang proses pembentukan model deterministik dan karakteristik matematis dari model yang dihasilkan. 1.3 Tujuan Penelitian Mengajukan sebuah model untuk mengubah program stokastik cacah campuran tahap-ganda (Multi-stage Stochastic Mixed-Integer Programming) menjadi model deterministik ekivalen. 1.4 Kontribusi Penelitian Diperolehnya sebuah metode untuk menyelesaikan persoalan keputusan dan perencanaan yang mengandung ketidakpastian yang sering muncul dalam berbagai bidang aplikasi, seperti : energi, finansial, pertanian, lingkungan, dan ekonomi.

15 4 1.5 Metodologi Penelitian Pada tesis ini akan dikaji karakteristik model deterministik ekivalen terhadap program stokastik cacah campuran tahap ganda. Langkah awal dibahas mengenai konsep dasar program stokastik, kemudian stokastik dua tahap yang bertujuan mengeneralisasi program stokastik tahap ganda dengan recourse. Selanjutnya dibahas penentuan model deterministik tahap ganda dan kemudian model program stokastik cacah campuran tahap ganda. Pada bagian akhir dibahas metode pembentukan model deterministik untuk persoalan tahap ganda dengan recourse.

16 BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA Bentuk dan model operasional dalam proses industri sering dicirikan oleh ketidakpastian pada parameter (Sahinidis, 2004). Salah satu pendekatan untuk persoalan dengan ketidakpastian ini adalah menggunakan program stokastik cacah (Birge dan Louveaux, 1997). Sebagai contoh, Sand dan Engell (2004), dan Engell et.al. (2004) mengajukan program stokastik cacah dua tahap linear untuk penjadwalan online pada perencanaan berbagai produk dibidang industri. Mereka menerapkan algoritma dekomposisi skenario rigorous yang diajukan oleh Care dan Schultz (1999), yang telah membentuk penyelesaian dengan kualitas tinggi dalam waktu perhitungan yang layak. Fokusnya adalah pada pembentukan batas bawah dari penyelesaian optimal yang lebih baik pada pembentukan penyelesaian yang layak. Sebagai alternatif yang lain, Till et.al. (2005) mengusulkan algoritma stokastik untuk menyelesaikan program stokastik cacah linier dua tahap yang didasarkan pada pentahapan dekomposisi menggunakan algoritma evalutionary yang dikombinasi dengan metode pada program matematika. Pada dasarnya, algoritma rigorous melakukan sebuah enumerasi implisit dari semua penyelesaian pada saat stokastik didasarkan pada Randomized Metaheuristics. 2.1 Formulasi Program Stokastik Program stokastik dua-tahap menggambarkan persoalan optimisasi, dalam mana beberapa keputusan mempunyai ketidakpastian dalam parameter model dan sisa keputusan lain yang didapat dengan ketidakpastian dapat direalisasikan. 5

17 6 Apabila ketidakpastian digambarkan oleh skenario ω = 1,, Ω yang berhingga banyaknya dengan peluang π w, program deterministik ekivalen dari masalah optimisasi linier dengan bentuk perluasan yang diajukan oleh Birge dan Louveaux (1997) adalah z = min{c T x + Ω π ω q T x,y ω ωy ω Ax b,t ω x + W ω y ω h ω, ω=1 x X,y ω Y, ω = 1,, Ω} (2.1) Variabel yang ditentukan untuk tahap kesatu dan tahap kedua adalah x dan y ω, yang berada pada himpunan polyhedral X dan Y. Keputusan tahap pertama (kesatuan) x menyatakan keputusan sekarang ini (waktu sekarang) yang diterapkan tanpa memperhatikan perkembangan mendatang dan akan identik (sama) untuk setiap skenario. Himpunan keputusan tahap kedua y ω menyatakan recourse yang pada skenario dan berkaitan dengan realisasi dari q ω,h ω,t ω dan W ω. Tujuannya adalah untuk meminimumkan biaya tahap pertama ditambah biaya tahap kedua yang diharapkan. Persoalan (2.1) dapat dituliskan sebagai bentuk perluasan dari program deterministik ekivalen yang diajukan oleh Birge dan Louveaux (1997) adalah z = min x {c T x + Ω π ω Q ω (x) Ax b,x x} (2.2) ω=1 dimana Q ω (x) adalah fungsi nilai tahap kedua yang didefinisikan oleh Q ω (x) = min {q T mathbfy ω ωy ω W ω y ω h ω T ω x,y ω Y } (2.3) Apabila semua variabel tahap kedua adalah kontinu, yaitu Y R n 2 +, fungsi nilainya adalah fungsi konveks linear sepotong-sepotong pada x. Dalam program stokastik cacah tahap kedua, subset dari variabel tahap kedua adalah subjek untuk persyaratan integrality yaitu Y Z n 2 + R n 2 +. Sehingga fungsi nilainya adalah non-konveks secara umum dan non-differentiable pada x, dan memiliki sifat-sifat yang sama dengan fungsi nilai pada program bilangan cacah seperti yang diajukan

18 7 oleh ((Birge dan Louveaux, 1997), (Care dan Tind, 1998), dan (Nemhauser dan Wolsey, 1999)). Pendekatan yang paling sederhana untuk menyelesaikan persoalan (2.1) adalah memperhatikan (memandang) persamaan tersebut sebagai sebuah program linear cacah campuran monolithic berskala besar dan menggunakan software komersil yang standat, misalnya software CPLEX seperti yang diajukan oleh CPLEX (2002). Matriks kendala pada persoalan (2.1) menunjukkan sebuah karakteristik struktur block-angular (lihat gambar 1) yang diterima dengan pendekatan dekomposisi. Ketika Y R n 2 +, struktur ini bersama dengan sifat-sifat konveksitas dari Q ω (x) dimanfaatkan oleh pendekatan dekomposisi yang sesuai, yang sama dengan metode rigorous L-Shaped seperti yang diajukan oleh Birge dan Louveaux (1997). Ketika tahap kedua mensyaratkan variabel cacah non-konveksitas dari fungsi nilai mencegah secara efisien penggunaan metode ini, untuk kasus secara umum dari cacah campuran tahap pertama dan tahap kedua, dual decomposition algorithm oleh Care dan Shultz (1999) dipertimbangkan untuk menyelesaikan program stokastik cacah linear dua tahap yan diajukan oleh Sahinidis (2004). Penelitian baru mengenai algoritma untuk program stokastik cacah campuran linear dua tahap dapat ditemukan di dalam Louveaux dan Schultz (2003). Gambar 1 :a) Struktur kendala program stokastik dua tahap, b) Dekomposisi skenario, dan c) Dekomposisi dengan tahapan (cara bertahap)

19 8 2.2 Model dan Analisa Kuantitatif dari Persoalan Stokastik dengan Kendala Berpeluang Penyelesaian dari program stokastik dengan masalah kendala berpeluang dapat didefinisikan sebagai deterministik atau vektor acak, bergantung pada deterministik atau probabilistik, karakteristik dari masalah keacakan parameter murni atas strategi campuran. Andaikan terdapat persoalan program stokastik linear dengan kendala berpeluang berikut : maxz = maxcx { } n P a ij x j b i α i ; 0 α i 1, i = 1, 2,, m j=1 x j 0, j = 1, 2,, m (2.4) dimana (a ij ) adalah matriks deterministik, vektor b = (b i ) dan c = (c j ) adalah acak. Persoalan (2.4) dapat direduksi menjadi persoalan program linear deterministik : Max Z = max cx Ax b x 0 dimana c adalah ekspektasi matematika dari vektor c dan vektor b yang ditentukan sebagai berikut : Andaikan ϕ(b 1, b 2,, b m ) adalah distribusi kepadatan bersama dari komponen vektor acak b(w) dan ϕ i (b i ) adalah distribusi kepadatan komponen vektor b(w) yang ke-i, yaitu : ϕ(b i ) = + + (m 1) ϕ(b 1, b 2,, b m ) db k k i

20 9 Jika ϕ i (b i ) diketahui, maka dapat ditentukan b i sehingga akan dipenuhi oleh : + ϕ i (b i )db i = α i ; i = 1, 2,, m (2.5) Jika persamaan (2.5) mempunyai banyak penyelesaian, maka dipilih b i yang merupakan akar terbesar. Sehingga bentuk ( n ) P a ij x j b i α i j=1 akan ekivalen dengan pertidaksamaan n a ij x j b i j=1 dimana b i diperoleh dari persamaan (2.5). Akibatnya program stokastik pada persamaan (2.4) ekivalen dengan persoalan program linear deterministik maxz = max cx ax b (2.6) x 0 dimana c = E(c(w)); b = ( b 1, b 2,, b m ). Pembahasan yang lebih detail mengenai hal di atas dikerjakan oleh Kolbin(1968). Pada pekerjaan yang diajukan oleh Soldatov (1965), Soldatov (1966a), Soldatov (1966b) telah dibahas persoalan maksimisasi fungsi tujuan cx pada himpunan S α yang diasumsikan elemen konstanta matrik A = (a ij ) dan komponen vektor b(w) yang berdistribusi uniform. Ben-Israel (1961) membahas masalah dual untuk persoalan kendala berpeluang miny b P(Y A c) β Y 0

21 10 dimana A adalah matriks deterministik, tetapi penyelesaian Y menyatakan vektor deterministik. Judin (1974) membahas persoalan (2.4) yang diinvestiasi, dengan matriks A = (a ij ) dan komponen elemen vektor b = (b i ) adalah bernilai acak yang berdistribusi normal idependen bersama. 2.3 Deterministik Ekivalen Persoalan Program Stokastik dengan Kendala Berpeluang Kataoka (1963) mengajukan metode penyelesaian untuk masalah maxf P {c(w)x f} = β P {a i x b i (w)} α i ; i = 1, 2,, m (2.7) x 0, w Ω persoalan di atas diselesaikan dengan menggunakan beberapa asumsi, sehingga bentuknya dapat direduksi menjadi persoalan program linear konveks deterministik. Efektifitas dari penggunaan deterministik ekivalen untuk menganalisis persoalan program stikastik dengan kendala berpeluang adalah bergantung pada bentuk ekivalennya yaitu menjadi persoalan program linear atau konveks. Miller dan Wagner (1965) menyelidiki beberapa bentuk persoalan program stokastik dengan kendala berpeluang, dimana deterministik ekivalennya merupakan persoalan program konveks. Kolbin (1968) mengkaji persoalan program stokastik dengan kendala peluang berbentuk maxf 0 (x) P {f i (x) 0} α i ; i = 1, 2,, m (2.8)

22 11 Deterministik ekivalen untuk (2.8) akan berbentuk maxf 0 (x) F ix (g i (x)) = α i, i = 1, 2,, m (2.9) g i (x) 0, i = 1, 2,, m dimana vektor x adalah deterministik dan g(x) = {g i (x),, g m (x)}. Pada kasus fungsi distribusi kontinu deterministik ekivalen untuk (2.8) akan berbentuk max f 0 (x) F 1 ix (α i) 0, i = 1, 2,, m (2.10) Kolbin (1997) juga mengkaji persoalan lain yang berbentuk maxf 0 (x) P {f(x) 0} α (2.11) Deterministik ekivalen untuk (2.11) akan berbentuk max f 0 (x) F x (g(x)) = α (2.12) g(x) 0 dimana vektor x dan g(x) adalah deterministik. Symonds (1967) mengajukan teorema yang berkaitan dengan persamaan (2.11) dan (2.12) yaitu : Teorema 2.1 : Jika kombinasi fungsi distribusi F(x) dari komponen vektor acak f(x) = {f 1 (x),, f m (x)} adalah kontinu terhadap tiap-tiap x, persoalan (2.12) adalah merupakan deterministik ekivalen terhadap persoalan stokastik (2.11). Untuk menyelesaikan persoalan terapan digunakan algoritma komputasi dan program mesin pada beberapa kasus, dimana deterministik ekivalen untuk program stokastik dinyatakan dalam program linear dan program konveks (Kolbin,

23 ). Wessel (1967) memberikan jaminan kasus konveksitas fungsi tujuan dan domain dari definisi untuk persoalan deterministik ekivalen pada bermacam-macam model stokastik. Pendekatan numerik yang lain, program konveks pada ruang Hilbert dapat digunakan untuk penyelesaian program stokastik konveks (Kolbin, 1968). 2.4 Model Persoalan Program Stokastik Dua Tahap Banyak persoalan perencanaan dan manajemen resiko dengan ketidakpastian diselesaikan dengan program stokastik dua tahap. Persoalan stokastik dengan kompensasi perbedaan pada sistem dengan kendala mempunyai banyak aplikasi dari pada program stokastik yang lain (Kolbin, 1968). Penyelesaian program stokastik dua tahap berisi vektor deterministik dan vektor acak. Tahap pertama pada penyelesaian masalah, rencana persiapan deterministik telah dibuat. Vektor acak pada penyelesaian berkaitan untuk rencana perbedaan kompensasi, yang pada umumnya muncul setelah spesifikasi dari parameter pada persoalan tahap kedua. Andaikan terdapat persoalan program matematika berikut (Kolbin, 1968) { } mine w (c(w), X) + min(h, Y (w)) x y kendala A 0 X = B 0 A(w)X + D(w)Y (w) = B(w), w Ω X 0, Y (w) 0 (2.13) dimana H adalah sebuah vektor pinalti yang bergantung pada nilai komponen dari vektor Y (w) yang merupakan kompensasi perbedaan. E adalah notasi dari ekspektasi matematika.

24 13 Teorema 2.2 : Deterministik ekivalen untuk persamaan (2.13) adalah merupakan persoalan program konveks, pernyataan selanjutnya menyediakan teori dasar untuk menkonstruksi pendekatan numerik dari penyelesaian program dua tahap. Sebagai pertimbangan metode penyelesaian persoalan dua tahap kita perlu menggunakan relasi fungsi dasar untuk fungsi konveks F(µ) pada titik µ 0 M, untuk fungsi linear L, jika F(µ)F(µ 0 ) (L, µ, µ 0 ) untuk setiap µ M. Pembahaan dan pembuktian teorema ini dilihat pada Judin (1974) dan Kall (1966) Teorema 2.3 : (Kolbin, 1968) : Fungsi E{C Z (A, B, X 0 )A} = {c(w)z [A(w), B(w), X 0 ]A(w)}dp Ω adalah dasar untuk fungsi objektif dari persoalan deterministik ekivalen pada titik X 0 k. Kall (1966) menyatakan jika ukuran peluang pada ruang A, B adalah kontinu absolut relatif terhadap ukuran lebesque pada ruang A, B dan kondisi tertentu dipenuhi maka fungsi objektif (x) dari persoalan deterministik ekivalen adalah defferensiabel kontinu dimana-mana pada himpunan k untuk keperluan investisi kondisi optimalitas dari rencana x untuk persoalan tahap pertama diperlukan vektor Cx = E[CZ (A, B, X)A] dan bentuk linear L x1 = (C x1, X) = E[C Z (A, B, X)A]X. Judin (1974) telah memformulasi kondisi perlu dari optimalitas pada rencana deterministik X di dalam persoalan program stokastik dua tahap. Kolbin (1968) mengajukan teorema mengenai rencana deterministik untuk persoalan tahap ganda yaitu; Teorema 2.4 : Jika X adalah rencana deterministik untuk persoalan tahap

25 14 ganda maka untuk setiap X k berlaku : L x (X ) L x (X) Selanjutnya diberikan teorema mengenai kondisi cukup dan kondisi perlu untuk optimalitas rencana persoalan program stokastik dua tahap yaitu : Teorema 2.5 : Jika X adalah titik internal dari himpunan k, tetapi sebuah fungsi tujuan (x) dari persoalan deterministik ekivalen terhadap persoalan dua tahap menjadi deffrentiabel pada neighbourhood pada titik X. Maka persoalan dual untuk persoalan tahap kedua mempunyai sebuah penyelesaian Z (Z, B, X ) sedemikian hingga C x = E[C Z (A, B, X )A] = 0 jika dan hanya jika X adalah sebuah penyelesaian persoalan dua tahap. Pembahasan lebih rinci dari teorema ini dapat di lihat pada Judin (1974).

26 BAB 3 PROGRAM STOKASTIK 3.1 Pengertian Program Stokastik Persoalan keputusan dapat dimodelkan dengan menggunakan program matematik, tujuannya adalah untuk menentukan nilai maksimum atau minimum. Keputusan yang dihasilkan bergantung kepada kendala yang dibatasi oleh sumber dana, persyaratan minimum dan lain-lain. Keputusan dinyatakan oleh variabel berupa bilangan cacah atau nonnegatif. Sebagai contoh dari persoalan data termasuk biaya perunit, rata-rata produksi, penjualan atau kapasitas. Andaikan keputusan dinyatakan dengan variabel (x 1, x 2,, x n ). Sebagai contoh x i menyatakan produksi ke-i dari n produk. Bentuk umum program matematikanya adalah : min Z = f(x) kendala f i (x) b i, i = 1, 2,, n (3.1) x 0, x X dimana X adalah himpunan bilangan real non negatif. Program stokastik adalah sebuah nama yang menyatakan program matematika yang dapat berupa linear, cacah, cacah campuran, non linear dengan menampilkan elemen stokastik pada data. Sehingga program stokastik dapat dinyata bahwa : a. Pada program matematika deterministik, data adalah bilangan-bilangan 15

27 16 yang diketahui. b. Pada program stokastik, data merupakan bilangan tidak pasti yang disajikan sebagai distribusi peluang. Program stokastik adalah merupakan program matematika, dimana beberapa data yang termuat pada tujuan atau kendala mengandung ketidakpastian, ketidakpastian biasanya dicirikan oleh distribusi peluang pada parameter. Walaupun ketidakpastian didefinisikan dengan tepat, tetapi pada prakteknya diberikan beberapa skenario yang spesifik dan distribusi peluang gabungan yang cepat. Ada dua model dalam permasalahan program stokastik, yaitu : 1. Recourse Models (Model Rekursif) 2. Probabilistically Constrained Models (Model Kendala Berpeluang) Dalam persoalan program stokastik adalah membuat sebuah keputusan sekarang dan meminimumkan biaya rata-rata harapan sebagai konsekuensi dari keputusan, paradigma ini dikenal sebagai model recourse. Andaikan x adalah vektor keputusan yang diambil, dan y(w) adalah sebuah vektor keputusan yang menyatakan aksi terbaru atau konsekuensi dari x. Himpunan berbeda yang berisi y akan dipilih dari tiap-tiap hasil yang mungkin dari w. Formulasi dua tahapnya adalah min h 1 (x) + E[h 2 (y(w), w)] kendala g 1 (x) 0,, g m (x) 0 f 1 (x, y(w)) 0, w W.. (3.2) f k (x, y(w)) 0, w W x X, y(w) Y

28 17 dimana himpunan kendala f 1, f 2,, f k, menggambarkan hubungan antara keputusan tahap pertama x dan keputusan tahap kedua y(w). Dicatat bahwa dipersyaratkan tiap-tiap kendala dipenuhi dengan peluang 1, atau untuk setiap w W yang mungkin. Fungsi h 2 merupakan penyelesaian yang sering muncul dari persoalan matematika. Tidak dibutuhkan untuk membuat korelasi yang berubahubah (recourse) untuk keputusan tahap pertama, perlu untuk dibuat korelasi yang terbaik. Untuk persoalan tahap ganda, pengaruh keputusan sekarang akan ditunggu untuk beberapa ketidakpastian yang diselesaikan kembali (direalisasikan), sehingga pembuatan keputusan yang lain didasarkan pada apa yang terjadi. Tujuannya adalah untuk meminimumkan biaya yang diharapkan dari semua keputusan yang diambil. Pada beberapa kasus, dapat digunakan suatu model yang lebih tepat untuk mencoba menentukan sebuah keputusan, yang mana keputusan tersebut dijamin oleh himpunan kendala yang akan dipenuhi oleh sebuah peluang tertentu. Model umum dengan kendala berpeluang disebut probabilistically constrained models yang dirumuskan sebagai berikut : min Z = f(x) kendala P[g 1 (x) 0 g m (x) 0] α h 1 (x) 0 (3.3) h 2 (x) 0 x X 3.2 Program Stokastik Dua Tahap Banyak persoalan perencanaan dan manajemen yang mengandung resiko

29 18 dan ketidakpastian dibahas dan diselesaikan dengan program stokastik dua tahap. Persoalan stokastik dengan kompensasi dari divergensi pada sistem dengan kendala mempunyai aplikasi yang lebih banyak dari pada model program yang lain. Penyelesaian persoalan program stokastik dua tahap berisi vektor acak dan vektor deterministik. Pada tahap pertama, penyelesaian persoalan rencana awal deterministik akan dibuat. Pembentukan rencana awal deterministik dilakukan sebelum kondisi acak dari persoalan ditentukan. Sebuah vektor acak pada penyelesaian persoalan yang sesuai digunakan untuk merencanakan kompensasi divergensi, spesifikasi parameter dari persoalan akan muncul pada tahap kedua. Tujuan dari manager pada persoalan di atas adalah meminimum nilai rata-rata biaya, yang mana tidak hanya termasuk pengeluaran pada tahap perencanaan pendahuluan tetapi juga pada tahap kedua yang diperlukan untuk mengkompensasi pada divergensi di dalam sistem kendala persoalan. Jika persoalan program stokastik dengan model dua tahap dapat diselesaikan maka pemilihan dari rencana awal deterministik akan menjamin keberadaan (eksistensi) vektor acak di dalam kompensasi untuk sistem yang divergen. Andaikan terdapat persoalan berikut : min(c, X) (3.4) A 0 X = B 0 (3.5) AX = B (3.6) X 0 (3.7) dimana C = {c j }, j = 1, 2,, m

30 19 B = (b i ), i = 1, 2,, m B 0 = (b 0 k ), k = 1, 2,, m A 0 = a 0 kj, k = 1, 2,, m, j = 1, 2,, n A = a ij, i = 1, 2,, m; j = 1, 2,, n Andaikan elemen dari matriks A = A(ω), vektor B = B(ω) dan C = C(ω) bernilai acak. Maka untuk proses penyelesaian dari persoalan ( ) akan dibagi menjadi dua tahpan, sebelum pengamatan dari parameter acak pada kondisi dari tahap pertama dipilih rencana non-negatif deterministik X 0 yang memenuhi kondisi (3.5). pada tahap kedua ditentukan spesifikasi ω 0 dari setiap kejadian acak yang bersamaan (sesuai) dengan nilai A(ω 0 ) dan B(ω 0 ). Hitung divergensi B(ω 0 )A(ω 0 )X 0 yang muncul pada kondisi (3.6) setelah realisasi ω 0 Ω. Definisikan vektor kompensasi divergensi Y 0 yang sesuai dengan hubungan berikut D(ω 0 )Y (ω 0 ) = B(ω 0 )A(ω 0 )X 0 (3.8) dimana D = d il, i = 1, 2,, m; l = 1, 2,, n 1 adalah sebuah matriks kompensasi yang berisi elemen acak. Sehingga diasumsikan bahwa realisasi acak ω yang diamati pada tahap kedua tidak bergantung pada pemilihan rencana pendahuluan X 0. Perhatikan persoalan program matematika berikut : Tentukan vektor X berdimensi n dan vektor Y (ω) berdimensi n 1, ω Ω. Yang menghasilkan dengan kendala min X E ω{(c(ω), X) + min(h, Y (ω))} (3.9) Y A 0 X = B 0 (3.10) A(ω)X + D(ω)Y (ω) = B(ω), ω Ω (3.11)

31 20 X 0, Y (ω) 0 (3.12) H adalah vektor penalty yang bergantung pada nilai kompoinen dari vektor Y (ω) yang mana merupakan kompensasi divergensi. E adalah notasi ekspekstasi matematika setelah ditentukan rencana awal X 0, dipilih komponen vektor Y (ω) dengan cara menjamin penalty minimum untuk kompensasi divergensi pada kondisi dari persoalan. Dengan kata lain, setelah ditentukan vektor X 0, perlu menyelesaikan persoalan { } min (H, Y (ω)) D(ω)Y (ω) = Y B(ω)A(ω)X0, Y (ω) 0 (3.13) Persoalan (1.13) akan menpunyai banyak rencana, vektor Y (ω) tidak dapat ditentukan pada tiap ω Ω yang menjamin penemuan kondisi (3.11). Persoalan (3.9)(3.12) dikenal sebagai persoalan program stokastik dua tahap dan persoalan (3.13) adalah persoalan tahap kedua. Model dan pendekatan dari penyelesaian persoalan program stokastik dua tahap dapat digunakan untuk perspektif perencanaan dan operasional manajemen, karena selalu terdapat keacakan yang mempengaruhi yang sudah direncanakan pada sistem manajemen (pelaksanaan). Model dua tahap juga kurang sensentive terhadap perubahan pada parameter dari kondisi persoalan, yang menyebabkan lebih stabil. Akibatnya vektor dapat diterima untuk rencana tahap pertama yang diperlukan untuk setiap ω Ω, terdapat vektor Y 0 sedemikian hingga D(ω)Y (ω) = B(ω)A(ω)X (3.14) Andaikan kendala tambahan yang disebutkan secara implisit pada (3.14) muncul pada tahap kedua dari persoalan yang dihasilkan; dan andaikan kondisi yang ditentukan pada vektor non-negatif X dari persamaan (3.10) sudah ditentukan.

32 21 Andaikan himpunan K 1 = {X : A 0 = B 0, X 0} didefinisikan oleh kendala yang sudah ditentukan tetapi K 2 = {X : ω Ω, Y 0, A(ω)X = B(ω)D(ω)Y (ω)} didefinisikan oleh kendala yang dihasilkan. Maka himpunan K = K 1 K 2 adalah himpunan vektor X yang layak memenuhi persoalan (3.9)- (3.12). Jika X K, maka vektor X memenuhi kendala yang sudah ditentukan A 0 X = B, X 0 dan sampoai itu, persoalan tahap kedua (3.6) akan memiliki banyak rencana. Untuk perhitungan lanjutan diperlukan hasil berikut : Teorema 3.1. Himpunan K dengan vektor X pada persoalan program stokastik dua tahap adalah konveks. Bukti : K = K 1 K 2 tetapi K 1 = {X : A 0 = B 0, X 0} adalah konveks. Definisikan untuk ω Ω yang ditentukan pada himpunan K 2ω = {X Y (ω) 0} sedemikian hingga A(ω)X = B(ω)D(ω)Y (ω) adalah konveks. Hal ini menyatakan bahwa K 2 = ω Ω K 2ω dan K = K 1 K 2 adalah himpunan konveks sebagi pertolongan himpunan konveks. 3.3 Pengertian Dasar Program Stokastik Tahap Ganda Persoalan program stokastik dinamik digeneralisasi oleh kasus dua tahap. Banyak persoalan praktis yang berupa perencanaan, perancangan dan manajemen tidak dapat digambarkan dengan bantuan model statis. Untuk model bertujuan, metode program stokastik tahap ganda seringkali digunakan. Model program stokastik tahap ganda dan metode untuk realisasi secukupnya bergantung pada informasi mengenai nilai parameter di dalam kondisi persoalan, dimana memiliki waktu untuk membuat keputusan selanjutnya. Persoalan dinamik dari tiap-tiap

33 22 tahap berurutan disyaratkan untuk melengkapi kompensasi divergensi yang dikondisikan oleh kondisi realisasi persoalan dan oleh pembuatan keputusan tercepat dari tahap sebelumnya. Pada masalah yang lain, disyaratkan bahwa tiap-tiap tahap peluang yang memenuhi kendala tidak melebih nilai tertentu yang diberikan sebelumnya atas ekspektasi matematika pada fungsi dari divergensi di dalam kondisi yang dibatasi oleh bilangan yang diberikan atau nilai dari fungsi pada parameter acak yang direalisasikan pada tahap sebelumnya. Persoalan dinamik akan memiliki salah satu bentuk yaitu : tidak dapat dikondisikan, kondisi probabilistik atau kendala statistik. Untuk persoalan dinamik dengan kendala tidak dapat dikondisikan, karakteristik keputusan adalah membuat pada basis informasi mengenai distribusi yang dikombinasikan oleh parameter acak dari kondisi pada semua tahapan. Pada persoalan dinamik dengan kondisi dua kasus kendala dapat dibedakan menjadi : (a) momen pembuatan keputusan hanya realisasi dari parameter acak pada tahap sebelumnya yang diperkirakan diketahui dan (b) momen pembuatan keputusan melengkapi informasi yang tersedia mengenai realisasi parameter acak yang dinyatakan dengan tahapan, tetapi nilai dari parameter acak pada tahapan berurutan tidak diketahui. Penyelesaian optimal untuk persoalan program stokastik dinamik dapat diperoleh dengan strategi murni atau campuran. Pada komponen kasus akhir dari penyelesaian atau karakteristik statistik dari distribusi yang memberikan penyelesaian akan bergantung pada nilai parameter acak di dalam kondisi persoalan, yang direalisasikan oleh momen pembuatan keputuan Untuk perhitungan selanjutnya dalam analisis persoalan program stokastik tahap ganda, didefinisikan konsep yang diberikan berikut ini. Andaikan terdapat

34 23 tahap ke-i yaitu Ω i, i = 0, 1,, n untuk beberapa ruang kejadian elementer ω i, dimana Ω 0 berisi satu elemen ω 0. Andaikan Ω k adalah descartian product Ω i, i = 1, 2,, k, ω k = (ω 1,, ω k ), Ω n = Ω dan andaikan pada Ω diberikan ukuran probabilistik p yang didefinisikan dengan cara : jika A Ω k maka p k (A) = p(a Ω k+1 Ω n ). Diperkenalkan ruang probabilistik (Ω, Σ, P) dengan Σ berkaitan dengan σ-algebra, definisikan P k sebagai kondisi ukuran probabilistik pada Ω k. Untuk sembarang A Ω k, B Ω k 1. P k (A ω k 1 B) = P k(a B) P k (Ω k B) X k dinyatakan sebagai descartian product X i, untuk setiap i = 1, 2,, k; dan X k = (x 1,, x k ) X k, X n X dimana X 0, X 1,, X n adalah barisan himpunan dari struktur sembarang X k X k, k = 0, 1,, n dan himpunan X termasuk satu titik X 0. Andaikan m k diberikan sebagai fungsi vektor pada ϕ k (ω k,x k ) berdimensi untuk setiap ω k Ω k, X k X k, k = 1,, n dan juga untuk setiap ω Ω pada himpunan X fungsi ϕ 0 (ω n, X n ). Masukkan himpunan acak G 0 k = G0 k (ωk ) dan i=1 b k (ω k 1 )m k fungsi vektor B k dinyatakan sebagai ruang Banach yang termasuk pada fungsi vektor berdimensi b k (ω k 1 ) k m i. Akhirnya, E ωk (U(ω k ) ω k 1 ) menyatakan kondisi ekspektasi matematika U(ω k ) dibawah perkiraan realisasi ω k 1 yang diketahui. Andaikan dibahas model berbeda pada persoalan program stokastik tahap ganda dengan menggunakan notasi yang diperkenalkan di atas. Andaikan terdapat persoalan program stokastik tahap ganda : E ϕ0 = (ω n, X n ) inf (3.15)

35 24 E ϕk = (ω k, X k ) b k (3.16) X k G k, k = 1, 2,, n (3.17) Untuk memformulasi persoalan secara lengkap, diperlukan titik luar apakah kendala yang tidak dapat dikondisikan atau kondisional, apakah penyelesaian persoalan ditentukan dengan strategi murni atau strategi campuran, dan di dalam kelas fungsi yang terukur atau distribusi yang akan mendapatkan penyelesaian. Persoalan praktisnya akan bergantung pada makna isi, penyelesaian pada tiaptiap tahap dapat dihitung sebagai vektor deterministik atau sebagai rule-function pada penyelesaian dari realisasi dan parameter acak yang diobservasi dari kondisi, atau sebagai distribusi menentukan distribusi kontinu X k dengan perkiraan informasi yang diperlukan mengenai nilai yang direalisasikan data initial acak yang diperoleh model konkrit untuk persoalan dan struktur informasinya ditentukan oleh keputusan selanjutnya. Di dalam syarat-syarat yang diajukan oleh Ermolyev (1970), hasil-hasil persoalan stokastik tahap ganda dari rangkaian tipe -pengamatan - keputusan - pengamatan - - keputusan Keputusan - pengamatan - keputusan - - keputusan Andaikan dibahas bermacam-macam model persoalan program stokastik tahap ganda yang menggunakan klasifikasi yang diberikan oleh Judin (1972). Persoalan stokastik tahap ganda dengan kendala yang tidak dapat dikondisikan adalah ϕ(ω n, X n )df ω n,xn inf (3.18) Ω n X n ϕ k (ω k, X k )df ω k,x k (3.19) Ω k X k X k G k, k = 1, 2,, n (3.20)

36 25 Pemilihan beberapa kelas yang paling menarik untuk aplikasi dari sejumlah struktur informasi yang merupakan persyaratan persoalan program tahap ganda dengan kendala kondisional. Model kongkrit dari (3.15) - (3.17) pada kasus persoalan dengan kendala kondisional, diselesaikan dengan strategi campuran adalah: ϕ 0 (ω n, X n )df ω n,xn inf (3.21) Ω n X n Ω k X k ϕ k (ω k, X k )df ω k ωdf ω k ω k 1 b k(ω k 1 ) (3.22) X k G k (ω k ), k = 1, 2,, n (3.23) Penyelesaian persoalan akan menjadi himpunan fungsi distribusi F X k ωk. Biasanya untuk mengatakan persoalan diselesaikan dengan distribusi yang ditentukan kemudian jika F X k ω k didefinisikan setelah realisasi dan pengamatan parameter acak ω k, distribusi yang ditentukan kemudian bergantung pada X k 1 dan ω k. Dikatakan bahwa persoalan yang diselesaikan dengan distribusi yang ditentukan sebelumnya, jika F X k ω k didefinisikan setelah realisasi dan pengamatan ωk 1 tetapi sebelum pengamatan ω k, distribusi yang ditentukan sebelumnya bergantung pada X k 1 dan ω k 1. Jika persoalan tahap ganda dengan kendala kondisional diselesaikan dengan strategi murni, model konkrit (3.15) (3.17) akan menjadi : ϕ 0 (ω n, X n )df ω n inf (3.24) Ω n X n ϕ k (ω k, X k )df ω k ω k 1 b k (ω k 1 ) (3.25) Ω k X k X k G k (ω k ), k = 1, 2,, n (3.26) Fungsi X k dari parameter acak yang direalisasikan dan diamati pada kondisi dari persoalan merupakan penyelesaian. Persoalan diselesaikan dengan aturan yang ditentukan kemudian jika keputusan dibuat setelah realisasi dan pengamatan ω k ;

37 26 aturan-aturan yang ditentukan kemudian untuk penyelesaian sedemikian hingga X k = X k (ω k ). Dikatakan bahwa persoalan diselesaikan dengan aturan yang ditentukan sebelumnya jika keputusan dibuat setelah realisasi dan pengamatan ω k 1, tetapi sebelum pengamatan ω k. Pada kasus aturan sebelumnya : X k = X k (ω k 1 ) Biasanya, persoalan (3.21) (3.23) atau (3.24) (3.26) dikenal sebagai persoalan stokastik tahap ganda dengan rigid model, jika kondisi (3.22) atau (3.25) tidak dihadirkan, keputusan tiap-tiap tahap dibuat setelah observasi kondisi dan keputusan pada tahap sebelumnya. Relasi tertentu yang dimiliki antara determinasi domain untuk persoalan dengan kendala yang tidak dapat dikondisikan dan kendala yang dapat dikondisikan. Pernyataan berikut akan menggeneralisasi hasil yang diperoleh, yang telah dikerjakan oleh Eismer (1971) untuk persoalan stokastik tahap ganda parsial linear. Pernyataan yang berikut diambil dari Judin (1974). Andaikan U adalah himpunan penyelesaian yang layak untuk persoalan stokastik tahap ganda dengan kendala yang tidak dapat dikondisikan U = {X k G i G n Eϕ k (ω k, X k ) b k, k = 1, 2,, n Dan V [b n (ω n 1 )] adalah himpunan penyelesaian (aturan penyelesaian, distribusi sebelum atau sesudah penyelesaian) pada persoalan dengan kendala kondisional. Teorema 3.2. Himpunan U dan V adalah terhubung oleh relasi U = {X n V [ b n (ω n 1 )] E b k (ω k 1 = b k, k = 1, 2,, n}

38 27 Bukti : Ṽ = {X n V [ b n (ω n 1 )] E b k (ω k 1 ) = b k, k = 1, 2,, n}. Andaikan X n Ṽ. Yang menyatakan bahwa E ω kϕ k (ω k, X k ) = E ω k 1{E ω kϕ k (ω k, X k ) ω k 1 } E ω k 1 b k (ω k 1 ) = b k ; k = 1, 2,, n karena X n U. Andaikan X n U, definisikan bk (ω k 1 ) = E ω k{ϕ k (ω k, X k ) ω k 1 + {b k E ω kϕ k (ω k, X k )} E ω k{ϕ k (ω k, X k ) ω k 1, k = 1, 2,, n Dengan definisi b k (ω n 1 ) didapatkan E ω k 1 b k (ω k 1 ) = b k. Sehingga X n Ṽ. Akibat. Dengan fungsi sama ϕ k (ω k, X k ) dan himpunan G k, k = 1, 2,, n, domain penyelesaian layak dari persoalan (3.18) (3.20) dan (3.21) (3.23) atau (3.24) (3.26) (bergantung pada persoalan yang diselesaikan dengan strategi campuran atau strategi murni) bersamaan bentunya jika dan hanya jika Eb k (ω k 1 ) = b k. Pernyataan di atas menyebabkan kemungkinan untuk memformulasi ulang hasil kualitatif dan seringkali juga menghitung metode yang dikerjakan untuk persoalan dengan kelas tertentu dan untuk investigasi konstruktif pada persoalan kelas lain. Relasi antara distribusi penyelesaian dan aturan penyelesaian sangat menarik. Jika fungsi ϕ 0 adalah konveks dan komponen fungsi vektor ϕ k adalah konkaf pada X dengan tiap-tiap ω, maka nilai optimal dari fungsi objektif yang dicapai pada distribusi penyelesaian dapat dicapai juga dengan aturan penyelesaian. Konveksitas dari ω 0 dan ω k tidak menghabiskan kondisi dengan strategi optimal murni dan strategi campuran yang didefinisikan menyatu dan nilai sama dari fungsi

39 28 tujuan. Nilai fungsi tujuan untuk aturan optimal sebelumnya pada persoalan stokastik tahap ganda di dalam rigid model dengan nilai fungsi tujuan didistribusi penyelesaian optimal sebelumnya. Pernyataan lebih tegas untuk aturan penyelesaian sesudahnya dan distribusi penyelesaian diberikan berikut. Teorema 3.3. (a) Andaikan ukuran probabilistik F ω di dalam Ω Ω n adalah kontinu (b) andaikan terdapat fungsi positif G 0 (ω) dan G k (ω k ) berkendala atas menurut module ϕ 0 (ω n, X n ) dan semua komponen ϕ k (ω k, X k ). Maka penyelesai aturan optimal sesudahnya untuk persoalan stokastik tahap ganda didefinisikan oleh nilai yang sama pada fungsi tujuan sebagai distribusi penyelesaian optimal sesudahnya. Teorema 3.3 untuk persoalan stokastik satu tahap telah dibuktikan oleh Judin (1972). Persoalan program stokastik tahap ganda dengan kendala kondisional dapat disubstitusikan untuk sistem persamaan yang memenuhi pemisahan tahapan. Andaikan akan dibahas persoalan (3.24)-(3.26) yang diselesaikan dengan strategi murni (dengan penyelesaian sebelum aturan penyelesaian sesudahnya). Untuk definisi domain pada persoalan tahap ke-i berkaitan dengan himpunan : K i = {X i G 0 {y i+1 G 0 i+1,, y n G 0 n}; E ω i[ϕ i (ω I, X i ) ω i 1 ] b i (ω i 1 ), E ω i+s[ϕ i (ω i+s, x I, y i+1,, y i+s ) ω i+s 1 ] b i+s (ω i+s 1 ), (3.27) jika ω i+s 1,, ω n 1, s = 1, 2,, n 1}

40 29 G 0 i menyatakan proyeksi G i terhadap hyper-plane dari kordinat yang didefinisikan oleh komponen vektor Xi. Persyaratan keberadaan dari vektor y i+s, s = 1, 2,, n i yang memenuhi kondisi (3.27) adalah ekivalen terhadap keberadaan kendala di dalam persoalan dua tahap. Kondisi dukup dan perlu untuk menyelesaikan persoalan (3.24)-(3.26) adalah kondisi K i Φ (fungsi objektif (3.24) dengan asumsi berkendala). Jika disamping K 1 Φ, K i Φ, i = 2, 3,, n. Fungsi tujuan dari persoalan Q i (X i ) pada tahap ke i mengatakan kondisional ekspektasi matematika ϕ 0 (ω n, X n ) pada asumsi semua tahapan sebelum tahap ke i, himpunan ω i 1 merupakan parameter yang direalisasikan dengan kondisi persoalan dan komponen keputusan himpunan X i 1, dan sesudah tahapan ke i keputusan optimal berikutnya :Xi+1,, X n : Q i (X i ) = E ω n ω i 1(ωn, X i 1, X i, X i+1,, Xn (3.28) Sejauh ini, definisi penyelesaian aturan optimal pada tahap ke i dari persoalan stokastik tahap ganda direduksi untuk menyelesaikan persoalan program matematika berikut inf Q i (X i ) (3.29) X i X i Aturan sesudahnya untuk penyelesaian adalah : X i = X i (ω i ), y i+s = y i+s (ω i+s ); s = 1, 2,, n i, dan aturan sebelumnya untuk penyelesaian adalah : X i = X i (ω i 1 ); y i+s = y i+s (ω i+s 1 ); s = 1, 2,, n i Jika fungsi tujuan dapat dipisahkan, yaitu ϕ 0 (ω n, X n ) = n ϕ 0j (ω j, X j ) kita mempunyai dimana j=1 Q i (X i ) = E ω i ω i 1{ϕ 0(ω i, X i ) + Q i+1(ω i, X i )} Q i(ω i 1, X i 1 ) = inf X i K i E ω i ω i 1{ϕ 0(ω i, X i ) + Q i+1(ω i, X i )}, i = 1, 2,, n 1

41 30 dengan i = n Q n (ωn 1, X n 1 ) = inf X i K i E ω i ω i 1ϕ 0n(ω n, X n ) Analog dengan persoalan pemisahan tahapan untuk persoalan stokastik tahap ganda dengan strategi campuran yang dikonstruksikan. 3.4 Ilustrasi Program Stokastik Banyak persoalan keputusan praktis dapat dimodelkan sebagai program linear berikut : min {c 1 x 1 + c 2 x c n x n } kendala a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2.. a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m x 1, x 2,, x n 0 (3.30) dengan menggunakan notasi matriks-vektor, formulasi dari persoalan (3.30) dapat dituliskan sebagai : min kendala c T x Ax = b (3.31) x 0 aplikasi dari persoalan di atas dapat ditemukan pada produksi industri, transportasi, agriculture, energi, ekologi, keteknikan dan banyak lagi. Pada persoalan (3.30), koefisien c j (misalnya faktor harga), a ij (misalnya produktivitas) dan b i (misalnya kapasitas) diasumsikan bernilai real yang sudah ditetapkan dan akan menentukan nilai optimal dengan variabel keputusan x j, yang memenuhi kendala yang diberikan.

42 31 Model (3.30) hanya dapat menyediakan representasi layak dari persoalan real ketika fungsi disyaratkan (misalnya fungsi biaya atau fungsi produksi) linear pada variabel keputusan. Jika kondisi secara substansial dilanggar, sebagai contoh karena biaya marginal meningkat atau penurunan keuntungan marginal dari produksi, dapat digunakan bentuk model yang lebih umum dari persoalan yaitu : min g 0 (x) kendala g i (x) 0, i = 1,, m (3.32) x X R n bentuk persoalan (3.32) sering dikenal sebagai persoalan program matematika. Dapat dipahami bahwa himpunan X adalah sebuah fungsi g i : R n R, i = 0, 1, 2,, m yang diberikan oleh proses pemodelan. Kebergantungan pada sifat-sifat pada persoalan yang mendefinisikan fungsi g i dan himpuman X, program (3.32) dikenal sebagai : (a) Linear, jika himpunan X adalah polyhedral konveks dan fungsi g i, untuk setiap i = 0, 1,, m adalah linear. (b) Nonlinear, jika paling sedikit satu fungsi g i, i = 0, 1,, m adalah nonlinear atau X tidak himpunan polyhedral konveks; program nonlinear dapat dibagi lagi menjadi program : (b1) Konveks, jika X {x g i (x) 0, i = 0, 1,, m} adalah himpunan konveks dan g0 adalah fungsi konveks (secara khusus jika fungsi g i, i = 0, 1,, m adalah konveks dan X adalah himpunan konveks) (b2) nonkonveks, jika salah satu X {x g i (x) 0, i = 0, 1,, m} adalah tidak himpunan konveks atau fungsi tujuan g 0 adalah tidak konveks

43 32 Kasus (b2) di atas dibicarakan juga pada optimisasi global. Kelas spesial lain dari persoalan dikenal sebagai program bilangan cacah (campuran), yang muncul akibat disyaratkannya himpunan X (paling sedikit beberapa) variabel x j, j = 1,, n hanya mengambil nilai cacah. Selama empat dekade terakhir, perkembangan metode komputasi untuk menyelesaikan program matematika sangat menggembirakan, dan persoalan berskala besar dapat diselesaikan dengan efisien dan realibilitas yang tinggi. Banyaknya situasi pemodel yang sering muncul karena ketidakpastian (tidak pantas) pada asumsi bahwa koefisien c j, a ij, b i atau fungsi g i (dan himpunan X) pada persamaan (3.30) dan (3.32) ditetapkan sebagai deterministik. Sebagai gantinya produktivitas yang akan datang dalam suatu persoalan produksi, aliran kedalam yang menuju resorvoir yang terhubung ke stasiun Hydropower, kebutuhan pada bermacam-macam titik (node) dalam jaringan transportasi dan seterusnya, seringkali lebih tepat dimodelkan sebagai parameter yang mengandung ketidakpastian, dimana lebih baik dikarakteristik dengan distribusi peluang. Ketidakpastian dari nilai realisasi tidak selalu dapat digantikan oleh nilai rata-rata atau beberapa estimasi lain (yang ditetapkan) selama proses pemodelan. Karena itu, kebergantungan pada situasi praktis pada persoalan (3.30) dan (3.32) tidak selalu mendapatkan model yang tepat untuk menggambarkan persoalan yang akan diselesaikan. Sebelum masuk ke model yang lebih umum dari program stokastik, akan digunakan persoalan produksi melalui ilustrasi berikut. Andaikan terdapat persoalan berikut : Dari dua bahan mentah yaitu bahan 1 dan bahan 2, dapat dihasilkan dua produksi berbeda yaitu prod 1 dan prod 2. biaya produksi perunit dari bahan mentah dinyatakan sebagai unit biaya pada bahan mentah c = (c bahan1, c bahan2 ) T, kebu-