POLINOMIAL KOMBINATORIK
|
|
- Fanny Kusuma
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 POLINOMIAL KOMBINATORIK DISERTASI Oleh MARDININGSIH /Ilmu Matematika FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2013
2 POLINOMIAL KOMBINATORIK DISERTASI Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Memperoleh Gelar Doktor dalam Program Studi Doktor Ilmu Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara Oleh MARDININGSIH /Ilmu Matematika FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2013
3 Judul Disertasi : POLINOMIAL KOMBINATORIK Nama Mahasiswa : Mardiningsih Nomor Pokok : Program Studi : Doktor Ilmu Matematika Menyetujui, Komisi Pembimbing (Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc) Promotor (Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc) Co-Promotor (Prof. Dr. Tulus, M.Si) Co-Promotor Ketua Program Studi Dekan (Prof. Dr. Herman Mawengkang) (Dr. Sutarman, M.Sc) Tanggal lulus: 24 Juli 2013
4 Telah diuji pada Tanggal 24 Juli 2013 PANITIA PENGUJI DISERTASI Ketua : Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc Anggota : 1. Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc 2. Prof. Dr. Tulus, M.Si 3. Prof. Dr. Herman Mawengkang 4. Dr. Sutarman, M.Sc 5. Dr. Marwan Ramli, M.Si
5 PERNYATAAN Saya menyatakan dengan sebenar-benarnya bahwa segala pernyataan dalam disertasi saya yang berjudul: POLINOMIAL KOMBINATORIK Merupakan gagasan atau hasil penelitian disertasi saya sendiri dengan pembimbingan para komisi pembimbing, kecuali yang dengan ditunjukkan rujukannya. Disertasi ini belum pernah diajukan untuk memperoleh gelar pada program sejenis di perguruan tinggi lainnya. Semua data dan informasi yang digunakan telah dinyatakan secara jelas dan dapat diperiksa kebenarannya. Medan, Juli 2013 Penulis, Mardiningsih i
6 ABSTRAK Polinomial kombinatorik merupakan masalah optimisasi yang berasal dari masalah kombinatorial yang berbentuk pemrograman polinomial dan integer. Penelitian ini menyajikan syarat agar suatu polinomial kombinatorik mempunyai penyelesaian. Syarat eksistensi (adanya) nilai optimum dapat diperoleh dengan memberikan batasan pada variabel keputusan dan menggunakan sifat-sifat himpunan penyelesaian (polihedra) dari model yang diberikan, dan menggunakan definisi kekonvekan fungsi pada bilangan bulat. Kata kunci: Polinomial kombinatorik, Polihedra, Nilai optimum ii
7 ABSTRACT The combinatoric polynomial comes from optimization problem combinatorial in form the nonlinear and integer programming. This reasearch present a condition such that the combinatoric polynomial has solution. Existence of optimum value will be found by restriction of decision variable and properties of feasible solution set and definition convexity at integer. Through this condition, the optimum value could be known. Keywords: Combinatoric polynomial, Polihedra, Optimum value. iii
8 KATA PENGANTAR Assalamualaikum Wr. Wb. Syukur Alhamdulilah, segala puji bagi Allah atas segala limpahan rahmat dan hidayah-nya sehingga penulis dapat menyelesaikan disertasi yang berjudul Polinomial Kombinatorik. Dalam meyelesaikan disertasi ini penulis telah banyak mendapat bantuan dan bimbingan, baik moril maupun material dari berbagai pihak. Pada kesempatan ini juga dengan segala kerendahan hati, penulis sampaikan ucapan terima kasih kepada: 1. Bapak Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu, DTM&H, MSc(CTM). Sp.A(K) selaku Rektor Universitas Sumatera Utara, yang telah memberikan kesempatan dan bantuan dana kepada penulis untuk mengikuti Program Studi Doktor Ilmu Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Sumatera Utara. 2. Bapak Dr. Sutarman, M.Sc selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara, dan komisi penguji yang telah memberikan kesempatan kepada penulis untuk menjadi peserta Program Doktor Ilmu Matematika angkatan 2009, dan telah memberikan masukan dan saran hingga selesainya disertasi ini. 3. Bapak Prof. Dr. Herman Mawengkang selaku Ketua Program Studi S3 Ilmu Matematika, dan selaku komisi penguji. Atas keiklasan dan kesabaran serta ketulusan hati dalam memberi bimbingan dan dorongan dari awal hingga selesainya disertasi ini. iv
9 4. Bapak, Prof. Dr. Opim Salim Sitompul, M.Sc selaku Promotor, atas ketulusan hati dan keiklasan dalam membimbing dan mendukung dan mengarahkan penulis pada pembahasan isi dan penulisan hingga selesainya disertasi ini. 5. Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si selaku Co-Promotor dengan ketulusan hati dan memberi motivasi, mendukung dan mengarahkan penulis untuk masalah penulisan karya ilmiah serta membimbing penulis dalam menyelesaikan disertasi ini. 6. Bapak Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc selaku Co-Promotor yang atas keiklasan dan ketulusan hati dalam memberi masukan dan arahan, mengenai isi disertasi ini. 7. Bapak Dr. Marwan Ramli, M.Si selaku komisi penguji yang atas keiklasan dan ketulusan hati dalam memberi masukan dan arahan, mengenai isi disertasi ini. 8. Seluruh Staf Pengajar Program Studi S3 Ilmu Matematika dan staf pengajar Departemen Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara. 9. Buat sahabat-sahabatku, dan seluruh teman-teman S-3 Ilmu Matematika yang tidak disebutkan satu persatu, yang memberi semangat dan dorongan dan doanya kepada penulis. 10. Saudari Misiani S.Si dan Staf Administrasi Program Doktor Ilmu Matemav
10 tika serta Staf Administrasi Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara. Secara khusus penulis menyampaikan terimakasih kepada Alm. Ayahanda dan Almh. Ibunda tercinta, yang telah tak terhingga banyaknya mendidik tentang arti hidup dan mendoakan agar penulis berhasil dan manjadi orang yang bermanfaat. Penulis turut menyampaikan penghargaan dan terimakasih tak terhingga yang sangat mendalam kepada suamiku tercinta dan anak-anakku tersayang, juga buat semua kakak-kakak dan adik-adikku yang sangat menyayangiku yang telah memberikan support luar biasa demi keberhasilan pendidikan ini. Akhir kata penulis, semoga pendidikan yang saya peroleh ini bermanfaat untuk kebaikan umat manusia. Sekian maaf dan terimakasih. Medan, Juli 2013 Penulis, Mardiningsih vi
11 RIWAYAT HIDUP Mardiningsih dilahirkan di Medan pada tanggal 5 april 1963, dari Ayah yang bernama Wiryamiharja (Alm) dan Ibu bernama Markonah (almh) sebagai anak bungsu dari delapan bersaudara. Pada tahun 1975 lulus SD Swasta Budisatrya Medan. Pada tahun 1978 lulus SMP Swasta PAB Sampali. Pada tahun 1981 Lulus SMA swasta Josua Medan. Pada tahun 1986 Lulus Sarjana Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara. Pada tahun 1999 memperoleh gelar Master Science pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Bandung. Selanjutnya pada tahun 2009 penulis mengikuti pendidikan S3 program studi Ilmu Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara. Pada tahun 1988, penulis diterima sebagai staf pengajar di FMIPA USU, dan sampai saat ini penulis memperoleh pangkat Lektor Kepala golongan IV/c di Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara. Penulis menikah tanggal 1 Maret 1986, dan sampai saat ini telah dikaruniai Allah SWT dengan tiga orang putra. vii
12 DAFTAR SINGKATAN DAN NOTASI a. R = Himpunan semua bilangan real b. Z = Himpunan bilangan bulat c. Z[x 1,x 2,x 3,...,x n ]=Z[x] adalah himpunan semua polinomial dengan n variabel x 1,...,x n dan koefisien bilangan bulat d. K[x 1,x 2,x 3,...,x n ]=K[x] adalah himpunan semua polinomial dengan n variabel x 1,...,x n dan koefisien field K e. Misalkan suatu field K dan bilangan bulat positif n, didefinisikan suatu ruang Eucledian atas K berdimensi n adalah himpunan K n = {(a 1,...,a n ) a 1,...,a n K} Z n = {(a 1,...,a n ) a 1,...,a n Z} R n = {(a 1,...,a n ) a 1,...,a n R} f. Z + = himpunan bilangan real positif = {x R x 0} g. Z + = himpunan bilangan bulat positif = {x Z x 0} h. Conv (K) = Konveks hull dari K memuat titik-titik interior bilangan bulat yang bukan elemen K i. K n = Graph komplit dengan n verteks j. Himpunan tutup [a, b] ={x R a x b} k. = Himpunan kosong l. adalah himpunan bagian (subset) viii
13 DAFTAR ISI Halaman PERNYATAAN ABSTRAK ABSTRACT KATA PENGANTAR RIWAYAT HIDUP DAFTAR SINGKATAN DAN NOTASI DAFTAR ISI DAFTAR TABEL DAFTAR GAMBAR i ii iii iv vii viii ix xi xii BAB 1 PENDAHULUAN Latar Belakang Tujuan penelitian Manfaat Penelitian Metodologi Penelitian 12 BAB 2 OPTIMISASI KOMBINATORIAL Masalah Model Optimisasi Kombinatorial Beberapa Masalah Optimisasi Kombinatorial Himpunan stabil dan bilangan stabil Hubungan Masalah Kombinatorial dengan Optimisasi Kombinatorial Jaminan Nullstellensatz dan Optimisasi Kombinatorial 19 ix
14 2.5 Definisi dan Notasi 20 BAB 3 KRITERIA KEOPTIMALAN DARI MASALAH OPTIMISASI POLI- NOMIAL Eksistensi Optimisasi Polinomial Pengali Lagrange Syarat Keoptimalan KARUSH-KUHN-TUCKER Kekonvekan Pendekatan Optimisasi Berkendala Metode dasar Variabel superbasic Metode derivatif Arah pencarian Implementasi Ringkasan prosedur 39 BAB 4 POLINOMIAL KOMBINATORIK Definisi dan Notasi Kekonvekan pada Bilangan Bulat 47 BAB 5 EKSISTENSI NILAI OPTIMUM POLINOMIAL KOMBINATORIK Masalah Polinomial Kombinatorik Himpunan Layak (Polihedra) Eksistensi (keberadaan) Nilai Optimum 59 BAB 6 KESIMPULAN DAN PENELITIAN LANJUTAN Kesimpulan Penelitian Lanjutan 62 DAFTAR PUSTAKA 63 x
15 DAFTAR TABEL Nomor Judul Halaman 1.1 Kompleksitas komputasi dengan dimensi fix 10 xi
16 DAFTAR GAMBAR Nomor Judul Halaman 3.1 Masalah partisi pada konstrain dan konsep variabel super basic 33 xii
17 BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Suatu persoalan optimisasi dimulai dengan himpunan variabel bebas atau parameter, dan acapkali mencakup kondisi atau pembatasan terhadap nilai terterima dari variabel. Pembatasan demikian diistilahkan kendala dari persoalan. Komponen penting lainnya dari persoalan optimisasi adalah yang disebut fungsi objektif atau fungsi tujuan, yang tergantung pada variabel-variabel persoalan. Penyelesaian dari persoalan optimisasi adalah himpunan dari nilai-nilai variabel yang memenuhi kendala, sedemikian hingga fungsi objektif mencapai nilai optimal. Bentuk baku secara matematika yang representatif dalam mengungkapkan persoalan optimisasi dan untuk menyelesaikan persoalan adalah, Maksimum f (X) dengan Kendala g i (X) = 0, i =, 2,,m g i (X) 0, i = m +1,m+2,,n (1.1) X =(x 1,x 2, x d ) Fungsi objektif f dan fungsi kendala g i merupakan fungsi bernilai real, X adalah vektor berdimensi d, yakni x i bernilai real untuk setiap i. 1
18 2 Bentuk (1) diatas menyatakan : tentukan nilai demikian untuk larik variabel keputusan X, sehingga fungsi f(x) dimaksimumkan dan fungsi kendala dipenuhi. Bentuk (1) disebut sebagai model program matematika. Dari uraian terdahulu, jelas bahwa untuk menyelesaikan persoalan optimisasi, perlu dihasilkan suatu model. Seringkali dalam pemakaian, variabel keputusan X dipersyaratkan memiliki batas bawah l dan batas atas u dengan l>0 dan u > 0 agar nilai variabel keputusan X diharapkan tidak mengambil nilai 0. Dengan adanya persyaratan tersebut, model (1) sekarang ditambah dalam kendala dengan l X u. Ada masalah optimisasi yang variabel keputusannya dibatasi oleh bilangan bulat (integer) atau biner, masalah optimisasi ini disebut optimisasi kombinatorial. Persoalan optimisasi kombinatorial ini berasal masalah kombinatorial. Masalah kombinatorial adalah suatu masalah yang berhubungan dengan menghitung (counting), sehingga penyelesaian masalah optimisasi kombinatorial adalah bilangan bulat. Dengan bertambahnya persyaratan tersebut, model program matematika dari optimisasi kombinatorial adalah model (1) ditambah syarat pada kendala, yakni X =(x 1,x 2,,x d ),x i bilangan bulat untuk setiap i. Masalah optimisasi kombinatorial dapat diformulasikan dalam bentuk graph dan dalam bentuk program matematika. Suatu masalah optimisasi kombinatorial dalam graph yang mempunyai banyak aplikasi dan telah banyak diteliti secara intensif adalah masalah pewarnaan graph ( Murty, 2003). Masalah pewar-
19 3 naan graph dari suatu graph G =(V,E), adalah persoalan mencari minimum banyaknya warna yang dapat diberikan pada setiap titik pada himpunan V dengan setiap titik diberi satu warna, dengan kendala untuk setiap edge (i, j) E, warna yang digunakan untuk verteks i dan verteks j harus berbeda, permasalahan ini merupakan masalah optimisasi kombinatorial. Suatu graph G adalah suatu network (V,E) dengan V adalah himpunan berhingga titik-titik (verteks ) dan E adalah himpunan garis (edge), setiap edge merupakan pasangan berbeda dari titik-ttik. Jika V mempunyai n titik maka biasanya setiap titik diberi label, 1, 2,, n. Garis yang menghubungkan titik i dan j dinotasikan dengan (i, j). Titik i dan j disebut bertetangga (adjacent) pada graph jika ada garis yang menghubungkan titik i dan titik j. Optimisasi kombinatorial dari masalah pewarnaan graph dapat direpresentasikan sebagai program matematika. Pada suatu graph dengan n buah titik, masalah pencarian warna menggunakan variabel keputusan bilangan bulat antara 1 dan n dan tidak pernah lebih besar dari n. Masalah pewarnaan graph, banyak aplikasinya pada masalah sehari-hari nyata, misalnya: 1. Masalah pembuatan jadwal pertemuan, dengan masalah pencarian minimum banyaknya slots waktu yng diperlukan untk penjadwalan semua pertemuan tanpa terjadi konflik.
20 4 2. Masalah pemberian warna pada pembuatan peta dunia, dengan semua negara harus diberi warna tetapi negara yang bertetangga tidak diperbolehkan mempunyai warna sama. Masalahnya adalah berapa minimum banyaknya warna yang digunaka pada pembuatan sebuah peta. Lovast (1994), merepresentasikan masalah optimisasi kombinatorial dari masalah pencarian minimal banyaknya warna pada suatu graph G(V,E) dengan n buah titik, dengan mendefinisikan suatu variabel keputusan x i untuk i = 1 sampai dengan n, x i = bilangan untuk warna yang digunakan pada titik i. diperoleh program matematika dengan fungsi objektif f adalah fungsi linear, fungsi kendala g i merupakan polinomial, dan k adalah bilangan bulat positif, sebagai berikut: Miminimumkan k Kendala x k i 1 = 0 untuk setiap vertex i V (G) x k i + xk 2 i x j + x k 1 j = 0 untuk setiap edge {i, j} E (G) 1 i n Aplikasi lain dari masalah optimisasi kombinatorial graph, misalnya masalah pemilihan kerja (job assignment problem), dapat diformulasikan sebagai program matematika, dengan fungsi objektif f dan fungsi kendala g i merupakan fungsi linear berharga bilangan bulat (integer).
21 5 Misalkan T adalah variabel waktu ketika semua pekerjaan telah dilakukan, bentuk program matematika (2) nya adalah: minimumkan T Kendala x ij = t i, (i {1, 2,...n}) j S i x ij 0 (i {1, 2,...n},j S i ) x ij = t i, (j {1, 2,...m}) j S i (1.2) Bilangan t i dan himpunan S i diberikan, variabel x ij dan T akan dicari. Untuk setiap pekerjaan i dan untuk pekerja j adalah verteks, dan jika pekerja j mendapat pekerjaan i diwakili oleh edge {i, j}. Pada pemakaiannya, masalah optimisasi kombinatorial yang telah diuraikan sebelumnya, diperoleh bahwa optimisasi kombinatorial dapat direpresentasikan dalam bentuk program matematika, dan mempunyai beberapa kemungkinan yang terjadi pada fungsi tujuan dan fungsi kendala, yakni: 1. Fungsi tujuan adalah linear dan kendala juga fungsi linear. 2. Fungsi tujuan adalah linear dan kendala polinomial. 3. Fungsi tujuan adalah polinomial dan kendala fungsi linear. 4. Fungsi tujuan adalah polinomial dan kendala juga polinomial, dengan variabel keputusan yang diperbolehkan adalah diskrit, yakni bilangan bulat atau biner.
22 6 Pada penelitian ini, yang akan dikaji adalah masalah optimisasi kombinatorial yang program matematikanya khusus mempunyai fungsi tujuan dan kendala berbentuk polinomial, dan untuk selanjutnya disebut polinomial kombinatorik. Bentuk umum dari polinomial kombinatorik adalah: Maksimumkan f (X) g i (X) = 0, i =1, 2,,m g i (X) 0, i = m +1,m+2,,n (1.3) l X u dengan f,g i Z[x] dan X Z d dan Z d = {(a 1,,a d ) a 1,,a d Z} Z[x] adalah himpunan semua polinomial dengan koefisien integer. Lorea et. al., (2008) memperlihatkan penyelesaian masalah optimisasi kombinatorial suatu graph berdasarkan keberadaan penyelesaian dari polinomial kombinatoriknya. Telah dibuktikan bahwa masalah kombinatorial mempunyai penyelesaian jika dan hanya jika polinomial kombinatoriknya mempunyai penyelesaian. Dari uraian diatas, diperoleh bahwa betapa pentingnya perlu diketahui suatu polinomial kombinatorik mempunyai penyelesaian, tetapi sampai dengan saat ini belum ada yang menjamin bahwa suatu polinomial kombinatorik mempunyai penyelesaian. Tetapi untuk menentukan bahwa polinomial kombinatorik tidak mempunyai penyelesaian sudah ada jaminannya yang disebut jaminan Nullstelensatz (Alon,1999). Oleh karena ini perlu dikaji apa yang menjamin agar suatu polinomial kombinatorik mempunyai penyelesaian.
23 7 Sebelum dilakukan penelitian pencarian syarat keoptimalan (syarat yang harus diberikan agar suatu polinomial kombinatorik (3) mempunyai penyelesaian (terselesaikan). Perlu dikaji beberapa kasus yang sudah diteliti oleh penelitipeneliti sebelumnya. Suatu model (3) mempunyai penyelesaian (terselesaikan) adalah diperolehnya himpunan variabel keputusan (titik bilangan bulat) yang memenuhi semua kendala yang disebut himpunnan layak atau polihedra (P := {x Z n g i (x) 0}) bukan merupakan himpunan kosong, sedemikian hingga fungsi tujuan f mencapai nilai optimum. Ada dua kemungkinan yang terjadi ketika masalah polinomial kombinatorik tidak mempunyai penyelesaian, yaitu misalnya ketika masalahnya infeasible atau polihedranya merupakan himpunan kosong P := {x Z n g i (x) 0} = ) dan f tak terbatas (untuk semua α Zada x P dengan f(x) <α). Polinomial kombinatorik melibatkan sistem pertidaksamaan polinomial dan sekumpulan bilangan bulat, maka perlu analisa lebih lanjut untuk mengidentifikasikan keberadaan titik optimum (penyelesaian). Dalam kasus ini diperlukan penelitian terdahulu tentang asumsi dan metode yang sudah digunakan, pertama pada program matematika dengan fungsi tujuan dan kendala berbentuk polinomial tetapi variable keputusan bilangan real. Untuk fungsi tujuan dan kendala berbentuk polinomial dengan variabel keputusan bilangan real sudah ditemukan syarat agar masalah optimisasi nya mempunyai penyelesaian (Bazarra et al 1993), berdasarkan pernyataan berikut:
24 8 Misalkan (X, ) adalah ruang norm riil S X tak kosong, fungsi f : S Z. Jika S adalah himpunan kompak barisan lemah dan fungsi f semi kontinu bawah lemah, maka ada paling sedikit satu x S dengan f(x ) f(x), untuk semua x S, sehingga masalah optimisasi min f(x) mempunyai paling sedikit satu x x S penyelesaian. Setelah ada jaminan bahwa masalah optimisasi mempunyai penyelesaian, maka penelitian selanjutnya mencari syarat perlu dan syarat cukup untuk mendapatkan nilai optimum. Syarat perlu bahwa f(x) mempunyai relative minimum di x = x, adalah f(x) harus terdefinisi pada suatu interval [a, b] untuk a<x <bdan jika turunan f(x) atau f (f multivariabel) ada pada x = x, maka f(x ) = 0 atau f(x )= 0. Syarat cukup untuk nilai minimum (lokal atau global) dari f(x) jika f (x) = 0,f (x) =0, sampai dengan f (n 1) (x) =0. dan f (n) (x) > 0, untuk n genap, atau matriks Hess pada x = x adalah definit positif. Karena f adalah polinomial maka nilai maksimum f(x) (jika ada) pada polihedranya adalah tidak tunggal, yaitu ada yang merupakan maksimum lokal dan ada yang merupakan maksimum global (nilai optimal), sehingga harus ada yang menjamin bahwa nilai maksimum lokal merupakan nilai maksimum global, yaitu jika fungsi f : S R pada S X dengan asumsi S subset konveks dan f juga fungsi konveks maka maksimum lokal merupakan maksimum global.
25 9 Untuk masalah optimisasi dengan fungsi tujuan f : Z n Z linear dan kendala linear maka nilai minimum nya dijamin ada, jika polihedranya adalah kompak dan konveks, selanjutnya untuk pencarian penyelesaian bilangan bulat, masalah pencarian nilai optimalnya menggunakan metode branch and bound, metode cutting plane dan relaksasi Lagrangian. Pada prosedur relaksasi membutuhkan pengulangan lebih dari n kali (n adalah banyaknya variable), sebelum penyelesaiannya diperoleh.( Lovasz dan Schrijver, 1991). Untuk fungsi tujuan berbentuk polinomial dan kendala berbentuk linear, Lorea, et al (2006) menyajikan kompleksitas dari beberapa masalah untuk pencarian penyelesaian bilangan bulat dari masalah polinomial kombinatorik multi variable dengan program matematikanya, Fungsi tujuan, memaksimumkan f Z[x 1,..., x d ] Kendala Ax b dengan polihedra P = {x Ax b}, adalah matriks berukuran n d dengan n, d Z + dan x vektor berukuran d 1 sehingga b vektor berukuran n d. Algoritma yang disajikan adalah membangun batas atas dan batas bawah untuk mendapatkan nilai optimum global bilangan bulat dari masalah. Memaksimumkan f Z[x 1,..., x d ] pada (x 1,..., x d ) P Z d Awalnya dilakukan untuk f polinomial berderajat empat dan semua kendala linear(polinomial berderajat satu dengan sepuluh variabel, ternyata tidak
26 10 diperoleh penyelesaiannya. Tetapi dengan dua variable diperoleh penyelesaiannya. Adapun hasil penelitiannya disajikan pada tabel kompleksitas dari masalah polinomial kombinatorik dengan beberapa kasus optimisasi pada table 1 berikut: Tabel 1.1 Kompleksitas komputasi dengan dimensi fix Tipe fungsi tujuan Tipe kendala Linear Polinomial konveks Polinomial Linear Polytime Polytime NP-hard Konveks semi aljabar Polytime Polytime NP-hard Polinomial Undecidable Undecidable Undecidable Sumber : Jurnal Mathematics of Operations Research (2006) Michael dan Weismantel, R (2010) telah membahas masalah daerah layak atau polihedra suatu polinomial kombinatorik, khusus dengan fungsi tujuan linear dan kendala sebarang polinomial dengan koefisien bilangan bulat. Beliau juga mendefinisikan masalah kekonvekan suatu fungsi pada bilangan bulat, sebagai perluasan dari definisi kekonvekan pada fungsi kontinu di R, juga mengkaji sifatsifat dari polihedra yang diperoleh. Dari uraian hasil penelitian para peneliti terdahulu, diperoleh suatu masalah yaitu setelah masalah optimisasi kombinatorial direpresentasikan sebagai program matematika yang berbentuk polinomial kombinatorik, dengan bentuk umum polinomial kombinatorik ( 3). Permasalahannya adalah : Syarat apakah yang harus diberikan agar polinomial kombinatorik (3) mempunyai penyelesaian?. 1. Apakah dengan memberi batasan pada variabel keputusan dan syarat pada fungsi kendala agar diperoeh himpunan layak (polihedra)?. 2. Apakah syarat agar terdapat unsur bilangan bulat di polihedra yang menghasilkan nilai optimum fungsi objektif?.
27 Tujuan penelitian Tujuan penelitian ini adalah menentukan syarat agar polinomial kombinatorik ( ) mempunyai penyelesaian. 1.3 Manfaat Penelitian Karena ada masalah kombinatorial dalam kehidupan nyata yang model matematikanya berbentuk polinomial kombinatorik, maka manfaat dari penelitian ini adalah : 1. Dapat digunakan untuk menentukan penyelesaian dari masalah kombinatorial yang diperoleh berdasarkan pada penyelesaian polinomial kombinatoriknya. 2. Penelitian ini dapat memberikan teori dan teorema baru tentang kondisi keoptimalan dari suatu pemrograman matematika yang disebut Polinomial Kombinatorik. 3. Dengan ditemukan syarat agar polinomial kombinatorik mempunyai penyelesaian (terselesaikan) maka dapat dilanjutkan untuk menentukan metode apa yang sesuai untuk pencarian penyelesaian nya. 4. Dapat diterapkan untuk menyelesaikan masalah hampiran (aproksimasi) atau menemukan algoritma yang efisien dalam mencari nilai optimal dari beberapa masalah kombinatorial yang modelnya berbentuk polinomial kombinatorik
28 Metodologi Penelitian Langkah-langkah yang dilakukan untuk menentukan syarat agar polinomial kombinatorik mempunyai penyelesaian adalah sebagai berikut, 1. Mengkaji masalah polinomial kombinatorik yang mempunyai satu atau dua variabel, karena masalah ini masih dapat direpresentasikan dengan grafik. Mengkaji karakteristik atau situasi apa saja yang terjadi tentang kendala yang berbentuk polinomial, karena dengan kendala berbentuk polinomial akan mempengaruhi keberadaan nilai optimum dari fungsi tujuan yang juga polinomial. Karena fungsi tujuan polinomial mempunyai beberapa lintasan yang mungkin dilalui, yang disebut kountur, atau dapat mempunyai lebih dari satu titik ekstrim, sehingga keberadaan penyelesaiannya yang bergantung pada pengaruh kendala terhadap fungsi objektif perlu dianalisa. Dalam masalah ini diselidiki kemungkinan-kemungkinan yang terjadi tentang kountur dan titik ekstrim dari fungsi objektif himpunan layaknya (polihedra). 2. Melakukan pengkajian tentang polihedra masalah polinomial kombinatorik ( ) dengan satu variabel dan dua variabel dan hubungan nya dengan fungsi tujuannya, yakni dengan mengkaji model, Fungsi Objektif Memaksimumkan f(x) kendala g i (X) 0 i =1, 2,..., m l x u, l, u dan x Z (1.4) l, u > 0
29 13 dengan f,g Z[x], selanjutnya membandingkan dengan jika f,g R[x]. 3. Mengkaji secara umum sifat-sifat polihedra masalah (1) di Z n 4. Pembuktian secara aljabar untuk memperlihatkan bahwa dengan pemberian beberapa syarat maka Polinomial Kombinatorik mempunyai penyelesaian (terselesaikan).
BAB 2 OPTIMISASI KOMBINATORIAL. Masalah optimisasi merupakan suatu proses pencarian varibel bebas yang
BAB 2 OPTIMISASI KOMBINATORIAL 2.1 Masalah Model Optimisasi Kombinatorial Masalah optimisasi merupakan suatu proses pencarian varibel bebas yang memenuhi kondisi atau batasan yang disebut kendala dari
Lebih terperinciPOHON INTERVAL PADA PERSOALAN GRAPH INTERVAL
POHON INTERVAL PADA PERSOALAN GRAPH INTERVAL TESIS Oleh SITI AISYAH 117021046/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2013 POHON INTERVAL PADA PERSOALAN GRAPH
Lebih terperinciPOHON INTERVAL PADA PERSOALAN GRAPH INTERVAL
POHON INTERVAL PADA PERSOALAN GRAPH INTERVAL TESIS Oleh SITI AISYAH 117021046/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2013 POHON INTERVAL PADA PERSOALAN GRAPH
Lebih terperinciBATAS ATAS UNTUK SCRAMBLING INDEX DARI GRAF PRIMITIF
BATAS ATAS UNTUK SCRAMBLING INDEX DARI GRAF PRIMITIF TESIS Oleh SILVIA HARLENI 127021010/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2014 BATAS ATAS UNTUK SCRAMBLING
Lebih terperinciALGORITMA EKSAK UNTUK MENYELESAIKAN PERSOALAN BIN COVERING
ALGORITMA EKSAK UNTUK MENYELESAIKAN PERSOALAN BIN COVERING TESIS Oleh ERI SAPUTRA 097021080/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2012 ALGORITMA EKSAK UNTUK
Lebih terperinciMATRIKS KOVARIANSI DEKOMPOSISI DALAM MODEL GRAF GAUSS TAK BERARAH
MATRIKS KOVARIANSI DEKOMPOSISI DALAM MODEL GRAF GAUSS TAK BERARAH TESIS Oleh DEWI SURYANI HANUM NASUTION 117021014/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2013
Lebih terperinciGENERALISASI METODE PENCABANGAN PADA PROGRAM INTEGER CAMPURAN
GENERALISASI METODE PENCABANGAN PADA PROGRAM INTEGER CAMPURAN TESIS Oleh ALI KADIR LUBIS 117021002/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2013 GENERALISASI METODE
Lebih terperinciEVALUASI NUMERIK DARI METODE APROKSIMASI DALAM PROGRAM STOKASTIK
EVALUASI NUMERIK DARI METODE APROKSIMASI DALAM PROGRAM STOKASTIK TESIS Oleh MUHAMMAD ISMAIL 127021006/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2014 EVALUASI NUMERIK
Lebih terperinciEKSPONEN LOKAL MASUK DUA CYCLE DWIWARNA DENGAN PANJANG SELISIH 2
EKSPONEN LOKAL MASUK DUA CYCLE DWIWARNA DENGAN PANJANG SELISIH 2 TESIS Oleh HARI SUMARDI 127021003/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2014 EKSPONEN LOKAL
Lebih terperinciMETODE PENYELESAIAN UNTUK PERSOALAN PERTIDAKSAMAAN VARIASIONAL DENGAN KENDALA PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN
METODE PENYELESAIAN UNTUK PERSOALAN PERTIDAKSAMAAN VARIASIONAL DENGAN KENDALA PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN TESIS Oleh RUTH MAYASARI SIMANJUNTAK 117021050/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
Lebih terperinciPEMECAHAN MASALAH PROGRAM TAK LINIER INTEGER CAMPURAN TAK KONVEKS DENGAN STRATEGI KENDALA AKTIF
PEMECAHAN MASALAH PROGRAM TAK LINIER INTEGER CAMPURAN TAK KONVEKS DENGAN STRATEGI KENDALA AKTIF DISERTASI Oleh HARDI TAMBUNAN 108110003/ ILMU MATEMATIKA PROGRAM STUDI DOKTOR ILMU MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA
Lebih terperinciMODEL PENJADWALAN GURU MENGGUNAKAN GRAPH COLORING DENGAN ALGORITMA BEE COLONY
MODEL PENJADWALAN GURU MENGGUNAKAN GRAPH COLORING DENGAN ALGORITMA BEE COLONY TESIS Oleh SETIAWAN TANADI 117021027/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2013
Lebih terperinciMETODE SEQUENTIAL QUADRATIC PROGRAMMING (SQP) UNTUK MENYELESAIKAN PERSOALAN NONLINEAR BERKENDALA SKRIPSI YANI
METODE SEQUENTIAL QUADRATIC PROGRAMMING (SQP) UNTUK MENYELESAIKAN PERSOALAN NONLINEAR BERKENDALA SKRIPSI YANI 070803040 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA
Lebih terperinciSTRATEGI KENDALA AKTIF DALAM MENYELESAIKAN PERSOALAN ALIRAN MULTI-KOMODITI
STRATEGI KENDALA AKTIF DALAM MENYELESAIKAN PERSOALAN ALIRAN MULTI-KOMODITI TESIS Oleh ZULHENDRI 107021017/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2012 STRATEGI
Lebih terperinciTRAFFIC ASSIGNMENT PROBLEM DENGAN PERMINTAAN LENTUR
TRAFFIC ASSIGNMENT PROBLEM DENGAN PERMINTAAN LENTUR TESIS Oleh HERLENA 107021014/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2012 TRAFFIC ASSIGNMENT PROBLEM DENGAN
Lebih terperinciMETODE BERBASIS KENDALA AKTIF DALAM MENYELESAIKAN PERSOALAN LOKASI FASILITAS BERKAPASITAS
METODE BERBASIS KENDALA AKTIF DALAM MENYELESAIKAN PERSOALAN LOKASI FASILITAS BERKAPASITAS TESIS Oleh LISBET MARBUN 097021060/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
Lebih terperinciOPTIMISASI DENGAN ADANYA BIG DATA PROBLEM
OPTIMISASI DENGAN ADANYA BIG DATA PROBLEM TESIS Oleh MUHAMMAD HUDA FIRDAUS 147021019/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2016 OPTIMISASI DENGAN ADANYA BIG
Lebih terperinciMETODE BRANCH AND BOUND UNTUK MENYELESAIKAN PROGRAM STOKASTIK INTEGER DENGAN ADANYA RESIKO
METODE BRANCH AND BOUND UNTUK MENYELESAIKAN PROGRAM STOKASTIK INTEGER DENGAN ADANYA RESIKO TESIS Oleh ADIL H. PANGARIBUAN 087021052/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA
Lebih terperinciMODEL PEMILIHAN PORTOFOLIO MENCAKUP UNSUR KETIDAKPASTIAN
MODEL PEMILIHAN PORTOFOLIO MENCAKUP UNSUR KETIDAKPASTIAN TESIS Oleh MUHAMMAD NUR 117021022/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2013 MODEL PEMILIHAN PORTOFOLIO
Lebih terperinciPENGEMBANGAN ALGORITMA ITERATIF UNTUK MINIMISASI FUNGSI NONLINEAR
PENGEMBANGAN ALGORITMA ITERATIF UNTUK MINIMISASI FUNGSI NONLINEAR TESIS Oleh FADHILAH JULI YANTI HARAHAP 127021019/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2014
Lebih terperinciMODIFIKASI BARIS DARI MATRIKS SPARSE FAKTORISASI CHOLESKY
MODIFIKASI BARIS DARI MATRIKS SPARSE FAKTORISASI CHOLESKY TESIS Oleh RAHAWARNI SRI RIZKI 117021028/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2013 MODIFIKASI BARIS
Lebih terperinciMODEL UNTUK KEBERANGKATAN DAN RELOKASI FASILITAS AMBULAN
MODEL UNTUK KEBERANGKATAN DAN RELOKASI FASILITAS AMBULAN TESIS Oleh MUHAMMAD SOFYAN NASUTION 117021016/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2013 MODEL UNTUK
Lebih terperinciPERENCANAAN PRODUKSI DENGAN HASIL DAN PERMINTAAN TAK PASTI
PERENCANAAN PRODUKSI DENGAN HASIL DAN PERMINTAAN TAK PASTI TESIS Oleh MUHAMMAD DALIANI 117021043/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2013 PERENCANAAN PRODUKSI
Lebih terperinciAPROKSIMASI PADA PEMROGRAMAN STOKASTIK LINIER
APROKSIMASI PADA PEMROGRAMAN STOKASTIK LINIER TESIS Oleh LIZA SETYANING PERTIWI 127021022/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2014 APROKSIMASI PADA PEMROGRAMAN
Lebih terperinciMODEL OPTIMISASI KENDALA PELUANG (CHANCE-CONSTRAINED) UNTUK MASALAH JARINGAN DISTRIBUSI AIR
MODEL OPTIMISASI KENDALA PELUANG (CHANCE-CONSTRAINED) UNTUK MASALAH JARINGAN DISTRIBUSI AIR DISERTASI Oleh ASRIN LUBIS 108110001 PROGRAM STUDI DOKTOR ILMU MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN
Lebih terperinciPOLA ANALISIS JARINGAN SOSIAL DINAMIS
POLA ANALISIS JARINGAN SOSIAL DINAMIS TESIS Oleh MONALISA BR SEMBIRING 117021049/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2013 POLA ANALISIS JARINGAN SOSIAL DINAMIS
Lebih terperinciMODEL PERSOALAN PENENTUAN LOKASI KOMPETITIF
MODEL PERSOALAN PENENTUAN LOKASI KOMPETITIF TESIS Oleh DESI VINSENSIA 107021005/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2012 UNIVERSITAS UNIVERSITAS SUMATERA SIMATERA
Lebih terperinciMODEL PERSEDIAAN DENGAN HARGA DAN KUALITAS TERGANTUNG PERMINTAAN
MODEL PERSEDIAAN DENGAN HARGA DAN KUALITAS TERGANTUNG PERMINTAAN TESIS Oleh DAME MELDARIA SIPAHUTAR 127021026/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2014 MODEL
Lebih terperinciMODEL MANAJEMEN PEROLEHAN HOTEL UNTUK MULTIPLE DAY STAY DENGAN ADANYA KETIDAKPASTIAN
MODEL MANAJEMEN PEROLEHAN HOTEL UNTUK MULTIPLE DAY STAY DENGAN ADANYA KETIDAKPASTIAN TESIS Oleh RIMA APRILIA 097021077/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN
Lebih terperinciPENGARUH KESALAHAN PEMBULATAN PADA METODE ITERASI
PENGARUH KESALAHAN PEMBULATAN PADA METODE ITERASI TESIS Oleh TOHOM PAHA MEI BANJARNAHOR 097021074/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2011 PENGARUH KESALAHAN
Lebih terperinciPROGRAM INTEGER UNTUK PERSOALAN PERENCANAAN TERINTEGRASI PRODUKSI DAN DISTRIBUSI PRODUK IKAN DARI BEBERAPA PLANT
PROGRAM INTEGER UNTUK PERSOALAN PERENCANAAN TERINTEGRASI PRODUKSI DAN DISTRIBUSI PRODUK IKAN DARI BEBERAPA PLANT DISERTASI Oleh INTAN SYAHRINI 118110004/Ilmu Matematika FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN
Lebih terperinciRANCANGAN JARINGAN DISTRIBUSI DENGAN POLA BANYAK ASAL KE BANYAK TUJUAN
RANCANGAN JARINGAN DISTRIBUSI DENGAN POLA BANYAK ASAL KE BANYAK TUJUAN TESIS Oleh PUTRI KHAIRIAH NASUTION 097021081/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2012
Lebih terperinciSTRATEGI KOMBINASI UNTUK MENYELESAIKAN QUADRATIC ASSIGNMENT PROBLEM DISERTASI. Oleh
STRATEGI KOMBINASI UNTUK MENYELESAIKAN QUADRATIC ASSIGNMENT PROBLEM DISERTASI Oleh FAIZ AHYANINGSIH 108110008 PROGRAM STUDI DOKTOR ILMU MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS
Lebih terperinciOPTIMASI BERSYARAT DENGAN KENDALA PERSAMAAN MENGGUNAKAN MULTIPLIER LAGRANGE SERTA PENERAPANNYA SKRIPSI SANDRA RIZAL
OPTIMASI BERSYARAT DENGAN KENDALA PERSAMAAN MENGGUNAKAN MULTIPLIER LAGRANGE SERTA PENERAPANNYA SKRIPSI SANDRA RIZAL 060803016 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS
Lebih terperinciPEMILIHAN VARIABEL DAN REDUKSI DIMENSI DALAM REGRESI NONPARAMETRIK BERDIMENSI BESAR
PEMILIHAN VARIABEL DAN REDUKSI DIMENSI DALAM REGRESI NONPARAMETRIK BERDIMENSI BESAR TESIS Oleh EVA YANTI SIREGAR 097021010/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN
Lebih terperinciPENYELESAIAN PROGRAM LINIER STOKASTIK DENGAN MARKOV CHAIN
PENYELESAIAN PROGRAM LINIER STOKASTIK DENGAN MARKOV CHAIN TESIS Oleh HINDRA 107021010/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2013 PENYELESAIAN PROGRAM LINIER
Lebih terperinciPENDEKATAN ALGORITMA PEMROGRAMAN DINAMIK DALAM MENYELESAIKAN PERSOALAN KNAPSACK 0/1 SKRIPSI SRI RAHAYU
PENDEKATAN ALGORITMA PEMROGRAMAN DINAMIK DALAM MENYELESAIKAN PERSOALAN KNAPSACK 0/1 SKRIPSI SRI RAHAYU 060823001 PROGRAM STUDI SARJANA MATEMATIKA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN
Lebih terperinciMODEL OPTIMASI UNTUK PERSOALAN PERSEDIAAN DETERMINISTIK DENGAN ADANYA BACKORDER PARSIAL
MODEL OPTIMASI UNTUK PERSOALAN PERSEDIAAN DETERMINISTIK DENGAN ADANYA BACKORDER PARSIAL TESIS Oleh ERWINA AZIZAH HASIBUAN 127021028/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA
Lebih terperinciESTIMASI BIAS MENGGUNAKAN BOOTSTRAP DAN JACKKNIFE
ESTIMASI BIAS MENGGUNAKAN BOOTSTRAP DAN JACKKNIFE TESIS Oleh SAFRINA SEMBIRING 127021030/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2014 ESTIMASI BIAS MENGGUNAKAN
Lebih terperinciMODEL PERSOALAN RUTE TERBUKA KENDARAAN DENGAN KETERBATASAN WAKTU DAN ADANYA PERSINGGAHAN
MODEL PERSOALAN RUTE TERBUKA KENDARAAN DENGAN KETERBATASAN WAKTU DAN ADANYA PERSINGGAHAN TESIS Oleh AGHNI SYAHMARANI 107021008/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
Lebih terperinciMODEL PENENTUAN HARGA DAN UKURAN LOT UNTUK PRODUK MUSIMAN
MODEL PENENTUAN HARGA DAN UKURAN LOT UNTUK PRODUK MUSIMAN TESIS Oleh PUJI MULIATI 127021025/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2014 MODEL PENENTUAN HARGA
Lebih terperinciPERANAN FUNGSI OBJEKTIF LINIER DALAM METODE BARRIER
PERANAN FUNGSI OBJEKTIF LINIER DALAM METODE BARRIER TESIS Oleh DAME IFA SIHOMBING 117021023/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM PROGRAM STUDI MAGISTER MATEMATIKA UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
Lebih terperinciPERENCANAAN PEMUATAN CARGO CONTAINER DENGAN PERMINTAAN STOKASTIK
PERENCANAAN PEMUATAN CARGO CONTAINER DENGAN PERMINTAAN STOKASTIK TESIS Oleh LOIDE NAIBORHU 087021061/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2010 PERENCANAAN PEMUATAN
Lebih terperinciESTIMASI BAYES UNTUK PARAMETER PARETO DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI LIKELIHOOD
ESTIMASI BAYES UNTUK PARAMETER PARETO DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI LIKELIHOOD TESIS Oleh JEMONO 117021005/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2013 ESTIMASI BAYES
Lebih terperinciPENYELESAIAN PROGRAM BILANGAN BULAT CAMPURAN DUA KRITERIA DENGAN MENGGUNAKAN METODE BRANCH AND CUT SKRIPSI TAUFIK HIDAYAT RITONGA
PENYELESAIAN PROGRAM BILANGAN BULAT CAMPURAN DUA KRITERIA DENGAN MENGGUNAKAN METODE BRANCH AND CUT SKRIPSI TAUFIK HIDAYAT RITONGA 110803028 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dijelaskan mengenai teori teori yang berhubungan dengan pembahasan ini sehingga dapat dijadikan sebagai landasan berpikir dan akan mempermudah dalam hal pembahasan
Lebih terperinciMODEL MANAJEMEN ASSET-LIABILITY UNTUK DANA PENSIUN DENGAN ADANYA KETIDAKPASTIAN
MODEL MANAJEMEN ASSET-LIABILITY UNTUK DANA PENSIUN DENGAN ADANYA KETIDAKPASTIAN TESIS Oleh NOVIANTI 107021013/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2012 MODEL
Lebih terperinciPENGEMBANGAN METODE PENCARIAN LAYAK SEKITAR UNTUK MENYELESAIKAN PENJADWALAN PREFERENSI
PENGEMBANGAN METODE PENCARIAN LAYAK SEKITAR UNTUK MENYELESAIKAN PENJADWALAN PREFERENSI TESIS Oleh TAN KIM HEK 097021073/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN
Lebih terperinciMETODE PENGALI LAGRANGE DAN APLIKASINYA DALAM BIDANG EKONOMI SKRIPSI RAHMAD HIDAYAT
METODE PENGALI LAGRANGE DAN APLIKASINYA DALAM BIDANG EKONOMI SKRIPSI RAHMAD HIDAYAT 110803018 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2015 METODE
Lebih terperinciBAB II KAJIAN PUSTAKA. pemrograman nonlinear, fungsi konveks dan konkaf, pengali lagrange, dan
BAB II KAJIAN PUSTAKA Kajian pustaka pada bab ini akan membahas tentang pengertian dan penjelasan yang berkaitan dengan fungsi, turunan parsial, pemrograman linear, pemrograman nonlinear, fungsi konveks
Lebih terperinciBAB II KAJIAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan landasan teori tentang optimasi, fungsi, turunan,
BAB II KAJIAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan landasan teori tentang optimasi, fungsi, turunan, pemrograman linear, metode simpleks, teorema dualitas, pemrograman nonlinear, persyaratan karush kuhn
Lebih terperinciPENGAMBILAN KEPUTUSAN SOCIOSCIENTIFIC DALAM MATA PELAJARAN SAINS DI SEKOLAH MENENGAH UMUM
PENGAMBILAN KEPUTUSAN SOCIOSCIENTIFIC DALAM MATA PELAJARAN SAINS DI SEKOLAH MENENGAH UMUM TESIS Oleh HARIYANTO 127021023/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN
Lebih terperinciMETODE BRANCH AND BOUND UNTUK PENJADWALAN PROYEK DENGAN GENERALIZED PRECEDENCE RELATIONS SKRIPSI JENNI PARULIANA
METODE BRANCH AND BOUND UNTUK PENJADWALAN PROYEK DENGAN GENERALIZED PRECEDENCE RELATIONS SKRIPSI JENNI PARULIANA 070803029 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS
Lebih terperinciMODEL EPIDEMI SIRS DENGAN TIME DELAY
MODEL EPIDEMI SIRS DENGAN TIME DELAY TESIS Oleh FERDINAND SINUHAJI 127021034/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2014 MODEL EPIDEMI SIRS DENGAN TIME DELAY
Lebih terperinciBUKTI DEDUKTIF FORMAL DALAM GEOMETRI DAN IMPLIKASINYA DALAM PENGAJARAN
BUKTI DEDUKTIF FORMAL DALAM GEOMETRI DAN IMPLIKASINYA DALAM PENGAJARAN TESIS Oleh KHAIRANI HASIBUAN 117021032/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2013 BUKTI
Lebih terperinciPENENTUAN PARAMETER PENTING DALAM PENYEBARAN MALARIA MELALUI ANALISIS SENSITIVITAS MODEL MATEMATIKA
PENENTUAN PARAMETER PENTING DALAM PENYEBARAN MALARIA MELALUI ANALISIS SENSITIVITAS MODEL MATEMATIKA TESIS Oleh RIKA AFRIANTI 117021008/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA
Lebih terperinciMETODE UNTUK MENENTUKAN KONSENSUS RANKING PROBLEM
METODE UNTUK MENENTUKAN KONSENSUS RANKING PROBLEM TESIS Oleh GIM TARIGAN 087021016/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2011 METODE UNTUK MENENTUKAN KONSENSUS
Lebih terperinciDISTRIBUSI MARKOV-BINOMIAL NEGATIF
DISTRIBUSI MARKOV-BINOMIAL NEGATIF TESIS Oleh RINA WIDYASARI 107021009/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2012 DISTRIBUSI MARKOV-BINOMIAL NEGATIF T E S I
Lebih terperinciPENDEKATAN PROGRAM STOKASTIK DUA TAHAP MULTI OBJEKTIF UNTUK DESAIN RANTAI SUPLAI DENGAN MEMPERTIMBANGKAN RISIKO KEUANGAN
PENDEKATAN PROGRAM STOKASTIK DUA TAHAP MULTI OBJEKTIF UNTUK DESAIN RANTAI SUPLAI DENGAN MEMPERTIMBANGKAN RISIKO KEUANGAN TESIS Oleh SITI FATIMAH SIHOTANG 127021035/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN
Lebih terperinciANALISIS KELOMPOK HIRARKI UNTUK PERBANDINGAN MULTI SAMPEL
ANALISIS KELOMPOK HIRARKI UNTUK PERBANDINGAN MULTI SAMPEL TESIS Oleh ELFITRA 127021012/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2014 ANALISIS KELOMPOK HIRARKI UNTUK
Lebih terperinciBAB 2 OPTIMISASI KOMBINATORIAL
BAB 2 OPTIMISASI KOMBINATORIAL Optimisasi kombinatorial merupakan suatu cara yang digunakan untuk mencari semua kemungkinan nilai real dari suatu fungsi objektif. Proses pencarian dapat dilakukan dengan
Lebih terperinciPERBANDINGAN WAKTU EKSEKUSI ALGORITMA DSATUR
PERBANDINGAN WAKTU EKSEKUSI ALGORITMA DSATUR DAN ALGORITMA PEWARNAAN HEURISTIK TABU SEARCH PADA PEWARNAAN GRAF TESIS JUNIDAR 117038020 PROGRAM STUDI S2 TEKNIK INFORMATIKA FAKULTAS ILMU KOMPUTER DAN TEKNOLOGI
Lebih terperinciPENDEKATAN PROGRAM TUJUAN GANDA UNTUK MENYELESAIKAN PERMASALAHAN FUZZY TRANSPORTASI SKRIPSI RISTYA PUSPITASARI
PENDEKATAN PROGRAM TUJUAN GANDA UNTUK MENYELESAIKAN PERMASALAHAN FUZZY TRANSPORTASI SKRIPSI RISTYA PUSPITASARI 070803013 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS
Lebih terperinciESTIMASI MATRIKS KOVARIANSI BERUKURAN BESAR DAN JARANG (SPARSE)
ESTIMASI MATRIKS KOVARIANSI BERUKURAN BESAR DAN JARANG (SPARSE) TESIS Oleh HENDRA CIPTA 117021040/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2013 ESTIMASI MATRIKS
Lebih terperinciOPTIMISASI MODEL DISTRIBUSI SUPER-FLEKSIBEL DALAM MANAJEMEN RANTAI PASOKAN
OPTIMISASI MODEL DISTRIBUSI SUPER-FLEKSIBEL DALAM MANAJEMEN RANTAI PASOKAN DISERTASI Oleh Ronsen Purba 108110005 PROGRAM STUDI DOKTOR ILMU MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITRAS
Lebih terperinciREPRESENTASI POHON DARI GRAF KORDAL BIPARTISI
REPRESENTASI POHON DARI GRAF KORDAL BIPARTISI TESIS Oleh DIAN YULIS WULANDARI 137021031/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2015 REPRESENTASI POHON DARI GRAF
Lebih terperinciMODEL TRANSMISI PENYAKIT DENGAN KETERGANTUNGAN DEMOGRAFI
MODEL TRANSMISI PENYAKIT DENGAN KETERGANTUNGAN DEMOGRAFI TESIS Oleh ARIE CANDRA PANJAITAN 127021020/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2014 MODEL TRANSMISI
Lebih terperinciPERBANDINGAN METODE SIMPLEKS DENGAN ALGORITMA TITIK INTERIOR DALAM PENYELESAIAN MASALAH PROGRAM LINIER SKRIPSI AGUSTINA ANGGREINI SITORUS
PERBANDINGAN METODE SIMPLEKS DENGAN ALGORITMA TITIK INTERIOR DALAM PENYELESAIAN MASALAH PROGRAM LINIER SKRIPSI AGUSTINA ANGGREINI SITORUS 120803060 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN
Lebih terperinciBAB II KAJIAN PUSTAKA
BAB II KAJIAN PUSTAKA A. Efektivitas Efektivitas berasal dari kata efektif, yang merupakan kata serapan dari bahasa Inggris yaitu effective yang artinya berhasil. Menurut kamus ilmiah popular, efektivitas
Lebih terperinciBAB 2 KAJIAN PUSTAKA. Menurut Asghar (2000), secara garis besar masalah optimisasi terbagi dalam beberapa tipe berikut:
BAB 2 KAJIAN PUSTAKA 2.1 Masalah Optimisasi dan Program Non Linier Menurut Asghar (2000), secara garis besar masalah optimisasi terbagi dalam beberapa tipe berikut: 1. Masalah optimisasi tanpa kendala.
Lebih terperinciGRAF BIPARTISI LENGKAP BERLABEL DALAM MENYELESAIKAN MASALAH PENUGASAN SKRIPSI RONAL GOMAR PURBA
GRAF BIPARTISI LENGKAP BERLABEL DALAM MENYELESAIKAN MASALAH PENUGASAN SKRIPSI RONAL GOMAR PURBA 040803061 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
Lebih terperinciSISTEM PENGELOLAAN LINGKUNGAN DENGAN ADANYA KETIDAKPASTIAN
SISTEM PENGELOLAAN LINGKUNGAN DENGAN ADANYA KETIDAKPASTIAN TESIS Oleh ARDIANTA 087021012/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2011 SISTEM PENGELOLAAN LINGKUNGAN
Lebih terperinciESTIMASI VARIANSI DALAM SAMPLING MULTI TAHAP
ESTIMASI VARIANSI DALAM SAMPLING MULTI TAHAP TESIS Oleh HUSOR SITANGGANG 117021003/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2013 ESTIMASI VARIANSI DALAM SAMPLING
Lebih terperinciANALISIS KARAKTERISTIK FUNGSI LAGRANGE DALAM MENYELESAIKAN PERMASALAHAN OPTIMASI BERKENDALA SKRIPSI THERESIA M. MANIK
ANALISIS KARAKTERISTIK FUNGSI LAGRANGE DALAM MENYELESAIKAN PERMASALAHAN OPTIMASI BERKENDALA SKRIPSI THERESIA M. MANIK 120803069 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSTITAS
Lebih terperinciESTIMASI HETEROSKEDASTIS TAK LINEAR MODEL DERET WAKTU
ESTIMASI HETEROSKEDASTIS TAK LINEAR MODEL DERET WAKTU TESIS Oleh SINDAK SITUMORANG 097021069/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2011 ESTIMASI HETERODKEDASTIS
Lebih terperinciOPTIMALISASI PERENCANAAN ENERGI BERKELANJUTAN
OPTIMALISASI PERENCANAAN ENERGI BERKELANJUTAN TESIS Oleh AWALUDIN FITRA 117021019/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2013 OPTIMALISASI PERENCANAAN ENERGI
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI Pada bab ini akan diuraikan mengenai teori dan terminologi graph, yaitu bentukbentuk khusus suatu graph dan juga akan diuraikan penjelasan mengenai shortest path. 2.1 Konsep Dasar
Lebih terperinciANALISIS ALGORITMA C4.5 DAN FUZZY SUGENO UNTUK OPTIMASI RULE BASE FUZZY TESIS VERI ILHADI
ANALISIS ALGORITMA C4.5 DAN FUZZY SUGENO UNTUK OPTIMASI RULE BASE FUZZY TESIS VERI ILHADI 147038067 PROGRAM STUDI S2 TEKNIK INFORMATIKA FAKULTAS ILMU KOMPUTER DAN TEKNOLOGI INFORMASI UNIVERSITAS SUMATERA
Lebih terperinciBAB 2 PROGRAM LINIER DAN TAK LINIER. Program linier (Linear programming) adalah suatu masalah matematika
BAB 2 PROGRAM LINIER DAN TAK LINIER 2.1 Program Linier Program linier (Linear programming) adalah suatu masalah matematika yang mempunyai fungsi objektif dan kendala berbentuk linier untuk meminimalkan
Lebih terperinciPERMASALAHAN P-HUB MEDIAN DENGAN LINTASAN TERPENDEK SKRIPSI RAJA DAVID PASARIBU
PERMASALAHAN P-HUB MEDIAN DENGAN LINTASAN TERPENDEK SKRIPSI RAJA DAVID PASARIBU 080803039 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM MEDAN 2012 PERMASALAHAN P-HUB MEDIAN DENGAN
Lebih terperinciREPRESENTASI ALGORITMA KUHN-MUNKRES PADA GRAF BIPARTIT UNTUK MENYELESAIKAN OPTIMAL ASSIGNMENT PROBLEM SKRIPSI DESNI RAHMALINA.
REPRESENTASI ALGORITMA KUHN-MUNKRES PADA GRAF BIPARTIT UNTUK MENYELESAIKAN OPTIMAL ASSIGNMENT PROBLEM SKRIPSI DESNI RAHMALINA. P 070823014 PROGRAM STUDI SARJANA MATEMATIKA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS
Lebih terperinciPENDETEKSIAN DAN PENCEGAHAN DEADLOCK PADA SISTEM OPERASI MENGGUNAKAN PENDEKATAN GRAPH ALOKASI SUMBER DAYA SKRIPSI. Oleh : NENNA IRSA SYAHPUTRI
PENDETEKSIAN DAN PENCEGAHAN DEADLOCK PADA SISTEM OPERASI MENGGUNAKAN PENDEKATAN GRAPH ALOKASI SUMBER DAYA SKRIPSI Oleh : NENNA IRSA SYAHPUTRI 050803029 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU
Lebih terperinciOPTIMASI (Pemrograman Non Linear)
OPTIMASI (Pemrograman Non Linear) 3 SKS PILIHAN Arrival Rince Putri, 013 1 Silabus I. Pendahuluan 1. Perkuliahan: Silabus, Referensi, Penilaian. Pengantar Optimasi 3. Riview Differential Calculus II. Dasar-Dasar
Lebih terperinciFUNGSI QUASI-LIKELIHOOD UNTUK PENAKSIRAN PARAMETER DALAM DISTRIBUSI PARETO
FUNGSI QUASI-LIKELIHOOD UNTUK PENAKSIRAN PARAMETER DALAM DISTRIBUSI PARETO TESIS Oleh AGUS BUDIANTO 087021076/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2010 FUNGSI
Lebih terperinciBAB 1 PENDAHULUAN. Persoalan lintasan terpanjang (longest path) merupakan persoalan dalam mencari
BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Persoalan lintasan terpanjang (longest path) merupakan persoalan dalam mencari lintasan sederhana terpanjang maksimum dalam suatu graph yang diberikan. Lintasan terpanjang
Lebih terperinciOPTIMALISASI HASIL PRODUKSI DENGAN METODE KUHN TUCKER PADA PABRIK ROTI WN SKRIPSI ANTA DIKA KARO-KARO
OPTIMALISASI HASIL PRODUKSI DENGAN METODE KUHN TUCKER PADA PABRIK ROTI WN SKRIPSI ANTA DIKA KARO-KARO 110803035 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA
Lebih terperinciRESIKO OPERASIONAL DALAM BIDANG ASURANSI
RESIKO OPERASIONAL DALAM BIDANG ASURANSI TESIS Oleh AMSAL LOVIANSI 127021032/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2014 RESIKO OPERASIONAL DALAM BIDANG ASURANSI
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA. operasi yang mampu menyelesaikan masalah optimasi sejak diperkenalkan di
BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Pemrograman Linier (Linear Programming) Pemrograman linier (linear programming) merupakan salah satu teknik riset operasi yang mampu menyelesaikan masalah optimasi sejak diperkenalkan
Lebih terperinciPROYEKSI PERTUMBUHAN PENDUDUK KABUPATEN PADANG LAWAS TAHUN 2013 TUGAS AKHIR TONGKU HASIBUAN
PROYEKSI PERTUMBUHAN PENDUDUK KABUPATEN PADANG LAWAS TAHUN 2013 TUGAS AKHIR TONGKU HASIBUAN 072407015 PROGRAM STUDI DIPLOMA III STATISTIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA
Lebih terperinciBAB 2 TINJAUAN PUSTAKA. ini sehingga dapat dijadikan sebagai landasan berpikir dan akan mempermudah. dalam hal pembahasan hasil utama berikutnya.
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan dijelaskan mengenai teori-teori yang berhubungan dengan pembahasan ini sehingga dapat dijadikan sebagai landasan berpikir dan akan mempermudah dalam hal pembahasan
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Pemrograman Non Linier Pemrograman Non linier merupakan pemrograman dengan fungsi tujuannya saja atau bersama dengan fungsi kendala berbentuk non linier yaitu pangkat dari variabelnya
Lebih terperinciPROGRAM APLIKASI UNTUK MENGETAHUI KERUSAKAN PADA SEPEDA MOTOR DAN PENANGANANNYA TUGAS AKHIR TENANG CARLES RINALDI SILITONGA
PROGRAM APLIKASI UNTUK MENGETAHUI KERUSAKAN PADA SEPEDA MOTOR DAN PENANGANANNYA TUGAS AKHIR TENANG CARLES RINALDI SILITONGA 072406049 PROGRAM STUDI D-III ILMU KOMPUTER FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN
Lebih terperinciBAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang
BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Zaman yang semakin berkembang membuat persoalan semakin kompleks, tidak terkecuali persoalan yang melibatkan persoalan matematika. Dalam pemecahannya, matematika memegang
Lebih terperinciOPTIMASI BIAYA PRODUKSI PADA HOME INDUSTRY SUSU KEDELAI MENGGUNAKAN PENDEKATAN PENGALI LAGRANGE DAN PEMROGRAMAN KUADRATIK TUGAS AKHIR SKRIPSI
OPTIMASI BIAYA PRODUKSI PADA HOME INDUSTRY SUSU KEDELAI MENGGUNAKAN PENDEKATAN PENGALI LAGRANGE DAN PEMROGRAMAN KUADRATIK TUGAS AKHIR SKRIPSI Diajukan kepada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Lebih terperinciIMPLEMENTASI ALGORITMA CLARKE AND WRIGHT S SAVINGS DALAM MENYELESAIKAN CAPACITATED VEHICLE ROUTING PROBLEM (CVRP) SKRIPSI DONNA DAMANIK
IMPLEMENTASI ALGORITMA CLARKE AND WRIGHT S SAVINGS DALAM MENYELESAIKAN CAPACITATED VEHICLE ROUTING PROBLEM (CVRP) SKRIPSI DONNA DAMANIK 110803063 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN
Lebih terperinciSCRAMBLING INDEX DARI KELAS DIGRAF HAMILTON DWIWARNA DENGAN N TITIK GANJIL SKRIPSI MERRYANTY LESTARI P
SCRAMBLING INDEX DARI KELAS DIGRAF HAMILTON DWIWARNA DENGAN N TITIK GANJIL SKRIPSI MERRYANTY LESTARI P 110803067 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA
Lebih terperinciMASALAH RANK MATRIKS DAN GRAPH ABDUL FATHIR
TUGAS AKHIR II MASALAH RANK MATRIKS DAN GRAPH ABDUL FATHIR 020803041 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2008 MASALAH RANK MATRIKS DAN GRAPH
Lebih terperinciPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
METODE TITIK-INTERIOR PADA PEMROGRAMAN KUADRATIK KONVEKS Skripsi Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika Oleh: Fenny Basuki NIM: 831143 PROGRAM
Lebih terperinciMetode Simpleks (Simplex Method) Materi Bahasan
Metode Simpleks (Simplex Method) Kuliah 03 TI2231 Penelitian Operasional I 1 Materi Bahasan 1 Rumusan Pemrograman linier dalam bentuk baku 2 Pemecahan sistem persamaan linier 3 Prinsip-prinsip metode simpleks
Lebih terperinciPENERAPAN METODE BRANCH AND BOUND DALAM PENYELESAIAN MASALAH PADA INTEGER PROGRAMMING
Jurnal Manajemen Informatika dan Teknik Komputer Volume, Nomor, Oktober 05 PENERAPAN METODE BRANCH AND BOUND DALAM PENYELESAIAN MASALAH PADA INTEGER PROGRAMMING Havid Syafwan Program Studi Manajemen Informatika
Lebih terperinci