ESTIMASI MATRIKS KOVARIANSI BERUKURAN BESAR DAN JARANG (SPARSE)

Transkripsi

1 ESTIMASI MATRIKS KOVARIANSI BERUKURAN BESAR DAN JARANG (SPARSE) TESIS Oleh HENDRA CIPTA /MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2013

2 ESTIMASI MATRIKS KOVARIANSI BERUKURAN BESAR DAN JARANG (SPARSE) T E S I S Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam Program Studi Magister Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara Oleh HENDRA CIPTA /MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2013

3 Judul Tesis : ESTIMASI MATRIKS KOVARIANSI BERUKURAN BESAR DAN JARANG (SPARSE) Nama Mahasiswa : Hendra Cipta Nomor Pokok : Program Studi : Magister Matematika Menyetujui, Komisi Pembimbing (Dr. Sutarman, M.Sc) Ketua (Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc) Anggota Ketua Program Studi Dekan (Prof. Dr. Herman Mawengkang) (Dr. Sutarman, M.Sc) Tanggal lulus: 17 Desember 2013

4 Telah diuji pada Tanggal: 17 Desember 2013 PANITIA PENGUJI TESIS Ketua : Dr. Sutarman, M.Sc Anggota : 1. Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc 2. Prof. Dr. Herman Mawengkang 3. Dr. Erna Budhiarti, M.IT

5 PERNYATAAN ESTIMASI MATRIKS KOVARIANSI BERUKURAN BESAR DAN JARANG (SPARSE) TESIS Saya mengakui bahwa tesis ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing dituliskan sumbernya. Medan, 20 Januari 2014 Penulis, Hendra Cipta i

6 ABSTRAK Estimasi matriks kovariansi berukuran besar dan jarang (sparse) didasarkan pada kemungkinan penalti ketika variabel-variabel mempunyai sebuah aturan awal. Dengan menggunakan dekomposisi cholesky pada inversnya, sebuah bentuk faktor cholesky dengan memilih penambahan sisi untuk setiap baris pada faktor cholesky menggunakan berbagai metode antara lain Lasso penalty method, banding dan adaptive banding. Sebuah iterasi Dynamic Weighted Lasso (DWL) algorithm digunakan untuk memecahkan masalah pada estimasi matriks berukuran besar dan jarang ini dimana estimatornya membandingkan hasil estimasi untuk mendapatkan hasil yang lebih baik. Kata kunci : Matriks kovariansi, Estimasi matriks kovariansi jarang, Faktor cholesky. ii

7 ABSTRACT Estimating sparse covariance based on penalized likelihood with penalty when the variables have a natural ordering. Using cholesky decomposition on the inverse, a banded structure on the cholesky factor, and select the bandwidth adaptively for each row of the cholesky factor such as Lasso penalty method, banding and adaptive banding. An iterative Dynamic Weighted Lasso (DWL) algorithm use for solving estimation of large and sparse which the estimators compare the estimation result for obtain the best result. Keyword : Covariance matrix, Estimation of sparse covariance matrix, Cholesky factor. iii

8 KATA PENGANTAR Puji syukur kepada Allah SWT yang selalu memberikan rahmat dan hidayat yang luar biasa sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis dengan judul: ESTIMASI MATRIKS KOVARIANSI BERUKURAN BESAR DAN JARANG (SPARSE). Penulis menyampaikan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada : Bapak Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu, DTM&H, M.Sc(CTM), Sp.A(K) selaku Rektor Universitas Sumatera Utara. Bapak Dr. Sutarman, M.Sc, Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara, yang telah memberikan kesempatan kepada penulis untuk mengikuti Program Magister Matematika di FMIPA Universitas Sumatera Utara, yang juga sebagai pembimbing I, dan banyak memberikan bimbingan dan arahan dalam menyelesaikan tesis ini. Bapak Prof. Dr. Herman Mawengkang, Ketua Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara sekaligus pembanding I yang telah memberikan bimbingan, arahan dan ilmu pengetahuan dalam menyelesaikan tesis ini. Bapak Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc, selaku pembimbing II atas saran dan bantuannya untuk kesempurnaan penulisan tesis ini. Ibu Dr. Erna Budhiarti, M.IT, selaku pembanding II yang memberikan saran dan kritik dalam penyempurnaan tesis ini. Bapak / Ibu Dosen Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara yang telah memberikan ilmunya selama masa perkuliahan. Ibu Misiani, S.Si, staf administrasi Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara yang banyak membantu proses administrasi. Ucapan terimakasih juga penulis sampaikan kepada : Ayah dan Ibunda tercinta, Abdullah dan Rohani dan Abangdaku Efal Khairil, S.Kep yang telah memberikan motivasi dan dukungan baik moril maupun materil selama penulis dalam pendidikan dan penyelesaian tesis ini. iv

9 Rekan-rekan mahasiswa Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara khususnya angkatan genap reguler tahun 2011, dan semua pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu pada tesis ini. Semoga Allah SWT membalas segala kebaikan dan bantuan yang telah diberikan. Medan, 20 Januari 2014 Penulis, Hendra Cipta v

10 RIWAYAT HIDUP Hendra Cipta lahir di Tanjung Pura, Kabupaten Langkat pada tanggal 2 Juli 1989, merupakan anak kedua dari dua bersaudara dengan ayah Abdullah dan ibunda Rohani. Penulis menyelesaikan pendidikan Sekolah Dasar di SD Negeri Tanjung Pura tahun 2001, MIS Jamaiyah Mahmudiyah Tanjung Pura tahun 2002, MTsN Tanjung Pura tahun 2004, dan MAN-2 Tanjung Pura pada tahun Pada tahun 2007 penulis melanjutkan pendidikan sarjana Strata-1 pada Fakultas Tarbiyah jurusan pendidikan matematika di IAIN Sumatera Utara Medan dan memperoleh gelar Sarjana Pendidikan pada tahun Pada bulan Februari 2012 penulis melanjutkan studi pada Program Studi Magister Matematika di FMIPA Universitas Sumatera Utara. Pada bulan Juni 2012 penulis menjadi staf pengajar di SMK Namira Tech Nusantara Medan dan bimbingan belajar Primagama Amal Medan sampai sekarang. vi

11 DAFTAR ISI Halaman PERNYATAAN ABSTRAK ABSTRACT KATA PENGANTAR RIWAYAT HIDUP DAFTAR ISI DAFTAR TABEL DAFTAR GAMBAR i ii iii iv vi vii ix x BAB 1 PENDAHULUAN Latar Belakang Rumusan Masalah Tujuan Penelitian Manfaat Penelitian 3 BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 4 BAB 3 ESTIMASI MATRIKS KOVARIANSI Analisis Multivariat Matriks data multivariat Vektor rata-rata Varians kovariansi Matriks Kovariansi Matriks Jarang (Sparse Matrix) Estimasi Matriks Kovariansi Estimasi Matriks Presisi Jarang 12 vii

12 3.5.1 Algoritma dasar iterasi pembobotan L 1 -likelihood Aturan kondisi matriks berukuran besar dan jarang Sifat-sifat estimasi matriks presisi jarang Sifat-sifat estimasi invers matriks korelasi jarang Estimasi Matriks Kovariansi Berukuran Jarang Sifat-sifat estimasi matriks kovariansi jarang Sifat-sifat estimasi matriks korelasi jarang 19 BAB 4 METODE ESTIMASI MATRIKS KOVARIANSI Metode-metode Estimasi Banding cholesky factor Banding dan adaptive banding Estimasi Faktor Cholesky Faktor cholesky Estimasi faktor cholesky berukuran jarang Estimasi faktor cholesky berukuran normal jarang Analisis Hasil Aplikasi 32 BAB 5 KESIMPULAN 34 DAFTAR PUSTAKA 35 viii

13 DAFTAR TABEL Nomor Judul Halaman 4.1 Simulasi data multivariat Simulasi multivariat t 3 untuk model 1, 2, 3 dengan mendeskripsikan bahwa nilai masuk seperti pada tabel Nilai nol pada faktor cholesky (%) Nilai nol pada 1 (%) 31 ix

14 DAFTAR GAMBAR Nomor Judul Halaman 4.1 Heatmap plots dari persentase nol pada setiap lokasi dalam inversnya (lebih dari 50 replika) untuk s, p = 30. Warna hitam mempersentasikan 100% dan warna putih 0% persen Intensitas pasien yang mengalami kanker kantung kemih dengan tidak mengalami 33 x