PEMECAHAN MASALAH PROGRAM TAK LINIER INTEGER CAMPURAN TAK KONVEKS DENGAN STRATEGI KENDALA AKTIF

Transkripsi

1 PEMECAHAN MASALAH PROGRAM TAK LINIER INTEGER CAMPURAN TAK KONVEKS DENGAN STRATEGI KENDALA AKTIF DISERTASI Oleh HARDI TAMBUNAN / ILMU MATEMATIKA PROGRAM STUDI DOKTOR ILMU MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2015

2 PEMECAHAN MASALAH PROGRAM TAK LINIER INTEGER CAMPURAN TAK KONVEKS DENGAN STRATEGI KENDALA AKTIF DISERTASI Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Memperoleh Gelar Doktor dalam Program Studi Doktor Ilmu Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara Oleh HARDI TAMBUNAN / Ilmu Matematika PROGRAM STUDI DOKTOR ILMU MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2015

3 Judul Disertasi : PEMECAHAN MASALAH PROGRAM TAK LINIER INTEGER CAMPURAN TAK KONVEKS DENGAN STRATEGI KENDALA AKTIF Nama Mahasiswa : Hardi Tambunan Nomor Induk Mahasiswa : Program Studi : Doktor Ilmu Matematika Menyetujui, Komisi Pembimbing (Prof. Dr. Herman Mawengkang) Promotor (Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc) Co Promotor (Prof. Dr. Tulus, M.Si) Co Promotor Ketua Program Studi Dekan (Prof. Dr. Herman Mawengkang) (Dr. Sutarman, M.Sc) Tanggal lulus : 28 Oktober 2015

4 Telah diuji pada: Tanggal 28 Oktober 2015 PANITIA PENGUJI DISERTASI Ketua : Prof. Dr. Herman Mawengkang Anggota: 1. Prof. Dr. Saib Suwilo, M. Sc 2. Prof. Dr. Tulus, M. Si 3. Prof. Dr. Opim Salim Sitompul, M. Sc 4. Prof. Dr. Anton Abdulbasah Kamil

5 PERNYATAAN Saya menyatakan dengan sebenar - benarnya bahwa segala pernyataan dalam disertasi saya yang berjudul: PEMECAHAN MASALAH PROGRAM TAK LINIER INTEGER CAMPURAN TAK KONVEKS DENGAN STRATEGI KENDALA AKTIF Merupakan gagasan atau hasil penelitian disertasi saya dengan pembimbingan para komisi pembimbing, kecuali yang ditunjukkan rujukannya. Disertasi ini belum pernah diajukan untuk memperoleh gelar pada program sejenis di Perguruan Tinggi lainnya. Semua data dan informasi yang digunakan telah dinyatakan secara jelas dan dapat diperiksa kebenarannya. Medan, 28 Oktober 2015 Penulis, Hardi Tambunan

6 ABSTRAK Program tak linier integer campuran (Mixed integer nonlinear programming (MINLP)) mengacu kepada program matematika dengan variabel kontinu dan diskrit, dan ketidaklineran dalam fungsi objektif dan kendala. Dalam disertasi ini dipaparkan strategi kendala aktif untuk memperoleh solusi integer layak dari suatu kelas pada masalah MINLP tak konveks dengan struktur dan subset variabel terbatas dan diasumsikan variabel diskrit terpisah dari variabel-variabel kontinu. Pemecahan masalah digunakan suatu strategi untuk menge- luarkan variabel nonbasic dari batas-batasnya dengan kombinasi kendala aktif dan konsep variabel superbasic. Strategi ini digunakan untuk mendorong variabel basis non-integer yang tepat bergerak ke sekitar titik-titik integer. Implementasi dari algoritma yang dibuat berhasil untuk tes masalah proses sistem sintesis. Kata Kunci: Program tak Linier, kendala aktif, solusi integer. i

7 ABSTRACT Mixed integer nonlinear programming (MINLP) refers to mathematical programming with continuous and discrete variables and nonlinearities in the objective function and constraints. This dissertation has presented active constraints trategy for achieving integer feasible solution from a class of non-convex mixedinteger nonlinear programming problems has a structure characterized by a subset of variables restricted to assume discrete values, which are linear and separable from the continuous variables. Solving the problem used a strategy of releasing nonbasic variables from their bounds, combined with the active constraint and the notion of superbasic variable. This strategy is used to force the appropriate noninteger basic variables to move to their neighbourhood integer points. Successful implementation of these algorithms was achieved on a process system synthesis problem test. Keywords: Non-linear programming, active constraints, integer solution ii

8 KATA PENGANTAR Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Kuasa atas berkat dan anugerah-nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan disertasi dengan judul: Pemecahan Masalah Program Tak Linier Integer Campuran Tak Konveks dengan Strategi Kendala Aktif. Penyelesaian disertasi ini, penulis banyak mendapat arahan, bimbingan dan bantuan dari berbagai pihak baik material maupun moril. Pada kesempatan ini, penulis menyampaikan terimakasih yang tulus dan penghargaan setinggi-tingginya kepada: 1. Bapak Prof. Subhilhar, Ph.D selaku Pejabat Rektor Universitas Sumatera Utara yang telah memberikan kesempatan kepada penulis untuk mengikuti Program Studi Doktor Ilmu Matematika di Fakultas MIPA Universitas Suma- tera Utara. 2. Bapak Dr. Sutarman, M.Sc selaku Dekan Fakultas MIPA Universitas Sumatera Utara yang telah memberi kesempatan kepada saya menjalani pendidikan di Program Studi Doktor Ilmu Matematika. 3. Bapak Prof. Dr. Herman Mawengkang, selaku Promotor dan Ketua Program Studi Doktor Ilmu Matematika, Fakultas MIPA Universitas Sumatera Utara yang dengan ketulusan hati, kesabaran, iklas dan bijaksana dalam memberikan masukan dan arahan sehingga disertasi ini dapat selesai. iii

9 4. Bapak Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc, selaku Co-Promotor dan Sekretaris Program Studi Doktor Ilmu Matematika, Fakultas MIPA Universitas Sumatera Utara, atas ketulusan hati dan kesabaran dalam memberikan masukan dan arahan sehingga dapat menyelesaikan disertasi ini. 5. Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si selaku Co-Promotor, atas ketulusan hati dan kesabaran dalam memberikan masukan dan arahan sehingga dapat menyelesaikan disertasi ini. 6. Bapak Prof. Dr. Opim Salim Sitompul, M.Sc selaku Penguji Luar Komisi atas semua masukan dan arahan mengenai isi disertasi ini. 7. Bapak Prof. Dr. Anton Abdulbasah Kamil selaku Penguji Luar Komisi atas semua masukan dan arahan mengenai isi disertasi ini. 8. Seluruh Staf Pengajar pada Program Studi Doktor Ilmu Matematika Fakultas MIPA Universitas Sumatera Utara yang telah memberikan ilmu yang sangat berharga selama masa perkuliahan. 9. Ibu Misiani, S.Si selaku Staf Administrasi Program Studi Doktor Ilmu Matematika Fakultas MIPA Universitas Sumatera Utara. 10. Buat sahabat-sahabatku mahasiswa angkatan 2010 Program Studi Doktor Ilmu Matematika Fakultas MIPA Universitas Sumatera Utara atas kerja sama yang baik selama perkuliahan. iv

10 Penulis menyampaikan terima kasih dan rasa hormat kepada Ayahanda(Alm.) B.Tambunan dan Ibunda T Br Tobing serta Bapak S. Baringbing dan Ibu S. Br Sitorus yang selalu mendoakan dan memberikan semangat kepada penulis. Secara khusus, penulis menyampaikan terimakasih kepada Istriku tercinta Dra. Rosmiati Baringbing atas doa, pengertian dan dukungannya selama penulis mengikuti kuliah hingga penyelesaian disertasi ini, dan kepada anak-anakku tersayang dan yang kubanggakan; Toman Sony Tambunan, S.E, M.Si/N.L Hutagalung, S.E; Nico Tambunan, S.E; Luna Theresia Tambunan, S.E, M.Si/Leonard P. S Aruan, S.E; Wilson Raja Ganda Tambunan, S.H, M.H, dan Johannes Tuan Mulia Tambunan yang selalu memberi semangat. Akhir kata, semoga disertasi ini bermanfaat untuk pengembangan ilmu pengetahuan. Medan, 28 Oktober 2015 Penulis, Hardi Tambunan v

11 RIWAYAT HIDUP Hardi Tambunan, Lahir di Tarutung pada tanggal 23 Juni Pendidikan dasar diselesaikan dari Sekolah Dasar Negeri Pardomuan-Aceh Tenggara pada tahun Kemudian melanjutkan ke SMP HKBP Lawe Desky, Aceh Tenggara dan lulus tahun Pendidikan Sekolah Menengah Atas lulus tahun 1976 dari SMA Tarutung, Tapanuli Utara. Selanjutnya, menempuh Pendidikan Tinggi di Institut Keguruan dan Ilmu Pendidikan (IKIP) Medan dan lulus Sarjana Muda Pendidikan Matematika tahun 1980 dan Sarjana Pendidikan Matematika lulus tahun Pada tahun 1999 memperoleh gelar Magister Pendidikan matematika dari Institut Keguruan dan Ilmu Pendidikan (IKIP) Surabaya. Studi S-3 dimulai tahun 2010 pada Program Studi Doktor Ilmu Matematika Fakultas MIPA Universitas Sumatera Utara. Pengangkatan pertama sebagai dosen pegawai negeri sipil yang dipekerjakan di Perguruan Tinggi Swasta melalui Kopertis Wilayah I dimulai tahun Saat ini bertugas sebagai dosen di Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Universitaa Quality, Medan. vi

12 DAFTAR ISI Halaman ABSTRAK 1 ABSTRACT 1 KATA PENGANTAR 1 RIWAYAT HIDUP 1 DAFTAR ISI 1 BAB 1 PENDAHULUAN Latar Belakang Perumusan Masalah Tujuan Penelitian Manfaat Penelitian 9 BAB 2 PROGRAM LINIER DAN TAK LINIER Program Linier Metode Pemecahan Metode Grafik Metode Simpleks Metode Reduced Gradient Program Tak Linier Program Konveks Program Tak Konveks Metode Pemecahan Line Search Trust Region 32 vii

13 2.4.3 Penalty and Augmented Lagrangian Active Set 33 BAB 3 PROGRAM LINIER INTEGER CAMPURAN Program Linier Integer Metode Pemecahan Cabang dan Batas Pemotongan Bidang Neighbourhood Search Program Linier Integer Campuran 42 BAB 4 PROGRAM TAK LINIER INTEGER CAMPURAN Model Program Tak Linier Integer Campuran Metode Pemecahan Cabang dan Batas Generalized Benders Decomposition Outer Approximation Extended Cutting Plane Hybrid algorithm Feasibility Pump Relaksasi Berdasarkan Heuristik 60 BAB 5 PROGRAM TAK LINER INTEGER CAMPURAN TAK KONVEKS Model Program Tak Linier Integer Campuran Tak Konveks Metode Pemecahan Cabang dan Batas 68 viii

14 5.2.2 Feasibility Pump Under Cover Heuristic RECIPE 80 BAB 6 STRATEGI KENDALA AKTIF Variabel Superbasic Kendala Kendala Aktif 91 BAB 7 PEMECAHAN MASALAH PROGRAM TAK LINER INTEGER CAMPURAN TAK KONVEKS DENGAN STRATEGI KENDALA AKTIF Pemecahan Masalah Pemecahan Masalah Program Tak Linier Strategi Kendala Aktif Algoritma Pemecahan Masalah Konvergensi Algoritma Pemecahan Masalah Mencari Solusi Integer Pendekatan Dasar Strategi Kendala Aktif Algoritma Mencari Solusi Integer Konvergensi Algoritma Mencari Solusi Integer Hasil Komputasi 119 BAB 8 KESIMPULAN Kesimpulan Penelitian Lanjutan 123 DAFTAR PUSTAKA 124 ix