KAJIAN MODEL EPIDEMIK SIS DETERMINISTIK DAN STOKASTIK WAKTU DISKRET DENGAN TOTAL POPULASI TIDAK KONSTAN FRISKA YULIANTIKA SAPUTRI

Transkripsi

1 KAJIAN MODEL EPIDEMIK SIS DETERMINISTIK DAN STOKASTIK WAKTU DISKRET DENGAN TOTAL POPULASI TIDAK KONSTAN FRISKA YULIANTIKA SAPUTRI DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2016

2

3 PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Kajian Model Epidemik SIS Deterministik dan Stokastik Waktu Diskret dengan Total Populasi Tidak Konstan adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini. Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor. Bogor, Agustus 2016 Friska Yuliantika Saputri NIM G

4 ABSTRAK FRISKA YULIANTIKA SAPUTRI. Kajian Model Epidemik SIS Deterministik dan Stokastik Waktu Diskret dengan Total Populasi Tidak Konstan. Dibimbing oleh HADI SUMARNO dan ALI KUSNANTO. Model epidemik SIS merupakan salah satu model penyebaran penyakit menular. Pada model ini, individu yang terinfeksi (infective) dapat menjadi rentan kembali (susceptible). Model epidemik SIS yang dibahas dalam penelitian ini yaitu model deterministik dan stokastik. Pada model stokastik dibandingkan saat total populasi tidak kontan dan konstan. Pada model deterministik diperoleh dua titik tetap yaitu titik tetap bebas penyakit dan titik tetap endemik. Dalam penelitian ini diperoleh bahwa pada model stokastik populasi tidak konstan dengan populasi awal lebih besar dari daya dukung lingkungan, peluang untuk terjadi bebas penyakit lebih besar dibandingkan pada model dengan populasi konstan. Sebaliknya jika populasi awal lebih kecil dari daya dukung lingkungan, peluang untuk terjadinya bebas penyakit lebih besar pada model dengan populasi konstan dibandingkan saat populasinya tidak konstan. Kata kunci : daya dukung lingkungan, model epidemik determinstik, model epidemik stokastik, populasi konstan, populasi tidak konstan, titik tetap. ABSTRACT FRISKA YULIANTIKA SAPUTRI. Study of Deterministic and Stochastic Discrete Time Models on SIS Epidemic Model with Varying Total Population Size. Supervised by HADI SUMARNO and ALI KUSNANTO. SIS epidemic model is one of the infectious disease models. In this model, individuals that are infected (infective) can be susceptible again. SIS epidemic models that are discussed in this study are deterministic and stochastic models. In this stochastic model, we also compared varying total population size and constant population size. SIS deterministic model has two fixed points, namely disease-free fixed point and endemic fixed point. In SIS stochastic model with varying total population size, when the initial population is greater than the carrying capacity, the probability of disease elimination is greater than that in the constant population size model. On the other hand, when the initial population is less than the carrying capacity, the probability of disease elimination is less than that in the constant population size model. Keywords : carrying capacity, constant population size, deterministic epidemic model, fixed point, stochastic epidemic model, varying total population size.

5 KAJIAN MODEL EPIDEMIK SIS DETERMINISTIK DAN STOKASTIK WAKTU DISKRET DENGAN TOTAL POPULASI TIDAK KONSTAN FRISKA YULIANTIKA SAPUTRI Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2016

6

7

8 PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah subhanahu wa ta ala atas segala nikmat, rahmat, karunia, dan pertolongan yang telah diberikan sehingga karya ilmiah yang berjudul Kajian Model Epidemik SIS Deterministik dan Stokastik dengan Total Populasi Tidak Konstan dapat diselesaikan. Penyusunan karya ilmiah ini tidak lepas dari bantuan beberapa pihak. Oleh karena itu, penulis mengucapkan terima kasih kepada: 1 Allah SWT atas segala rahmat dan karunia-nya. 2 Nabi besar Muhammad SAW sebagai nabi akhir zaman. 3 Bapak, Ibu, Tia, dan Tangkas yang penulis sayangi yang selalu memberikan doa, semangat, motivasi dan kasih sayang yang tiada henti. 4 Bapak Dr Ir Hadi Sumarno, MS selaku dosen Pembimbing I, Bapak Drs Ali Kusnanto, MSi selaku dosen Pembimbing II, dan Bapak Dr Paian Sianturi selaku dosen penguji yang telah memberikan ilmu, bimbingan motivasi, dan saran selama penulisan skripsi ini. 5 Bapak Cicing dan Bapak Bekti yang sudah mengurus beasiswa saya di IPB, dan senantiasa memberi motivasi selama saya kuliah di IPB. 6 Sahabat-sahabat SMA (Pik Ipik): Lilik Maslikah, Shinta Cholifah, Habib Hidayatullah, dan Adi Suryana. 7 Sahabat-sahabat (Power Rangers): Krisna Arianti, Ni matul Hasanah, Mufid Rohmatun NH, dan Angga Dwi I. 8 Sahabat-sahabat: Laela Nurahma, Wiwin Widiyanti, Dita Widya, Desna, Hanif, Rina, Jannah, Mira, Laela, Novita R, Asdani M. 9 Teman-teman satu bimbingan: Puput dan Fika yang senantiasa saling mengingatkan, membantu dan memberikan motivasi dalam penyusunan karya ilmiah ini. 10 Teman-teman satu sponsor BUD: Ainur dan Kiki Nawan. 11 Mahasiswa Matematika 49, DPM FMIPA IPB 2013/ 2014 dan 2015/ 2016 atas doa, semangat, serta kebersamaannya selama ini. 12 Semua pihak yang telah membantu dalam penyusunan karya ilmiah ini. Bogor, Agustus 2016 Friska Yuliantika Saputri

9 DAFTAR ISI DAFTAR GAMBAR vi DAFTAR LAMPIRAN vi PENDAHULUAN 1 Latar Belakang 1 Tujuan Penelitian 1 LANDASAN TEORI 2 Titik Tetap 2 Nilai Eigen dan Vektor Eigen 2 Bilangan Reproduksi Dasar 3 Proses Stokastik dan Rantai Markov 3 HASIL DAN PEMBAHASAN 4 Model Epidemik SIS 4 Model Epidemik SIS Deterministik 5 Penentuan Titik Tetap 5 Analisis Kestabilan Titik Tetap 6 Model Epidemik SIS Stokastik 6 Peluang Transisi Model Epidemik SIS Stokastik Populasi Konstan 7 Peluang Wabah Model Epidemik SIS Stokastik Populasi Konstan 8 Peluang Transisi Model Epidemik SIS Stokastik Populasi Tidak Konstan 8 Peluang Wabah Model Epidemik SIS Stokastik Populasi Tidak Konstan 11 Simulasi Numerik 11 SIMPULAN 21 DAFTAR PUSTAKA 21 LAMPIRAN 22 RIWAYAT HIDUP 34

10 13 DAFTAR GAMBAR 1 Bidang solusi model deterministik saat R 0 = 0.825, K = 50, dan t = Sample path model stokastik saat R 0 = 0.825, K = 50, dan t = Bidang solusi model deterministik saat R 0 = 1.4, K = 50, dan t = Sample path model stokastik saat R 0 = 1.4, K = 50, dan t = Bidang solusi model deterministik saat R 0 = 3, K = 50, dan t = Sample path model stokastik saat R 0 = 3, K = 50, dan t = 100 5T 7 Bidang solusi model deterministik saat R 0 = 3, K = 50, dan t = Sample path model stokastik saat R 0 = 3, K = 50, dan t = Bidang solusi model deterministik saat R 0 = 0.825, K = 150, dan t= Sample path model stokastik saat R 0 = 0.825, K = 150, dan t = Bidang solusi model deterministik saat R 0 = 1.4, K = 150, dan t = 1005T Sample path model stokastik saat R 0 = 1.4, K = 150, dan t = Bidang solusi model deterministik saat R 0 = 1.4, K = 150, dan t = T Sample path model stokastik saat R 0 = 1.4, K = 150, dan t = Bidang solusi model deterministik saat R 0 = 3, K = 150, dan t = 1005T Sample path model stokastik saat R 0 = 3, K = 150, dan t = 1005T Bidang solusi model deterministik saat R 0 = 3, K = 150, dan t = Sample path model stokastik saat R 0 = 3, K = 150, dan t = Sample path model stokastik populasi tidak konstan saat N(0) = 30, R 0 = 0.975, dan K = Sample path model stokastik populasi konstan saat N(0) = 30 dan R 0 = Sample path model stokastik populasi tidak konstan saat N(0) = 70, R 0 = 0.975, dan K = Sample path model stokastik populasi konstan saat N(0) = 70 dan R 0 = Sample path model stokastik populasi tidak konstan saat N(0) = 30, R 0 = 1.2, dan K = Sample path model stokastik populasi konstan saat N(0) = 30 dan R 0 = Sample path model stokastik populasi tidak konstan saat N(0) = 70, R 0 = 1.2, dan K = Sample path model stokastik populasi konstan saat N(0) = 70 dan R 0 = Sample path model stokastik populasi tidak konstan saat N(0) = 30, R 0 = 1.3, dan K = Sample path model stokastik populasi konstan saat N(0) = 30 dan R 0 = Sample path model stokastik populasi tidak konstan saat N(0) = 70, R 0 = 1.3, dan K = Sample path model stokastik populasi konstan saat N(0) = 70 dan R 0 =

11 31 Sample path model stokastik populasi tidak konstan saat N(0) = 30, R 0 = 1.375, dan K = Sample path model stokastik populasi konstan saat N(0) = 30 dan R 0 = Sample path model stokastik populasi tidak konstan saat N(0) = 70, R 0 = 1.375, dan K = Sample path model stokastik populasi konstan saat N(0) = 70 dan R 0 = DAFTAR LAMPIRAN 1 Persamaan diferensial model epidemik SIS dengan total populasi tidak konstan 22 2 Penentuan titik tetap 23 3 Penentuan matriks Jacobi dan nilai eigen 23 4 Penentuan peluang bebas penyakit dan peluang wabah 24 5 Program plot bidang solusi model deterministik populasi tidak konstan saat R 0 = 0.825, K = 50, dan t = 100 (Gambar 1) 26 6 Program plot sample path model stokastik populasi tidak konstan saat R 0 = 0.825, K = 50, dan t = 100 (Gambar 2) 27 7 Program plot bidang solusi model deterministik populasi tidak konstan saat R 0 = 1.4, K = 50, dan t = 100 (Gambar 3) 28 8 Program plot sample path model stokastik populasi tidak konstan saat R 0 = 1.4, K = 50, dan t = 100 (Gambar 4) 29 9 Program plot bidang solusi model deterministik populasi tidak konstan saat R 0 = 3, K = 150, dan t = 100 (Gambar 15) Program plot sample path model stokastik populasi tidak konstan saat R 0 = 3, K = 150, dan t = 100 (Gambar 16) Program plot sample path model stokastik populasi tidak konstan saat N(0) = 30, R 0 = 1.2, dan K = 50 (Gambar 23) Program plot sample path model stokastik populasi konstan saat N(0) = 30, dan R 0 = 1.2 (Gambar 24) Program plot sample path model stokastik populasi tidak konstan saat N(0) = 70, R 0 = 1.2, dan K = 50 (Gambar 25) Program plot sample path model stokastik populasi konstan saat N(0) = 70 dan R 0 = 1.2 (Gambar 26) 33

12

13 PENDAHULUAN Latar Belakang Manusia adalah makhluk hidup paling sempurna di dunia ini, dalam kehidupannya sebagai makhluk hidup manusia tidak akan pernah jauh dari berbagai macam penyakit yang tiap waktu mengintai terutama penyakit menular. Untuk penyebarannya sendiri, penyakit menular dapat menular melalui kontak langsung maupun tidak langsung dengan penderita. Perkembangan ilmu pengetahuan dalam bidang kedokteran telah mengembangkan banyak penelitian untuk mencegah penyebaran penyakit menular. Ilmu pengetahuan dalam bidang matematika pun ikut andil dalam mengatasi permasalahan ini yaitu dengan ikut berperan dalam mengembangkan penelitian untuk mencegah terjadinya penyebaran penyakit menular yaitu dengan membentuk suatu model matematika atau yang lebih dikenal dengan model epidemik. Model matematika ini, dapat memberikan penjelasan proses penyebaran penyakit menular. Model ini terdiri dari model deterministik dan model stokastik. Model epidemik yang cukup terkenal baik bersifat deterministik maupun stokastik adalah SIS dan SIR. Model stokastik yang sering digunakan adalah model rantai Markov waktu diskret maupun kontinu. Salah satu model epidemik yang akan dibahas dalam penelitian ini adalah model epidemik SIS (Susceptible Infective Susceptible). Model ini merupakan model penyebaran penyakit dengan individu yang sehat namun rentan (susceptible) terinfeksi suatu penyakit atau terjadi interaksi dengan individu yang sakit (infective) kemudian dengan pengobatan medis atau proses alam individu yang sakit tersebut sembuh, namun setelah sembuh rentan untuk terinfeksi kembali (susceptible). Selama ini, model epidemik SIS yang banyak dikaji adalah model epidemik SIS dengan total populasi konstan atau tertutup, padahal dalam jangka waktu yang panjang ukuran populasi dapat berubah. Oleh karena itu, pada penelitian ini akan dikaji model epidemik SIS dengan total populasi tidak konstan. Tujuan Penelitian Penulisan karya ilmiah ini bertujuan untuk: 1 menganalisis kestabilan model epidemik SIS deterministik dengan total populasi tidak konstan, 2 melakukan simulasi numerik untuk membandingkan model epidemik SIS deterministik dan stokastik dengan total populasi tidak konstan, 3 membandingkan model epidemik SIS stokastik dengan total populasi tidak konstan dan total populasi konstan.

14 2 LANDASAN TEORI Misalkan suatu sistem persamaan diferensial dinyatakan sebagai: dengan x = f(t, x), (1) x 1 (t) f 1 (t, x 1, x 2,, x n ) x = dan f(t, x) =. x n (t) f n (t, x 1, x 2,, x n ) Jika f(t, x) fungsi tak linear pada x 1, x 2,, x n, maka sistem persamaan diferensial (1) disebut sistem persamaan diferensial tak linear. Jika f(t, x) fungsi linear maka sistem persamaan diferensial (1) disebut persamaan diferensial linear. Titik Tetap Misalkan diberikan sistem persamaan diferensial sebagai berikut: x = f(x) maka suatu titik x yang memenuhi f(x ) = 0 disebut titik tetap atau titik kesetimbangan. (Tu 1994) Nilai Eigen dan Vektor Eigen Misalkan A adalah matriks berukuran n n, maka suatu vektor taknol x di R n disebut vektor eigen dari λ disebut nilai eigen dari A jika berlaku: Ax = λx. Vektor x disebut vektor eigen yang bersesuian dengan nilai eigen λ. Nilai eigen dapat dicari dengan menggunakan persamaan berikut: (A λi)x = 0, (2) dengan I adalah matriks identitas. Persamaan (2) memunyai solusi taknol jika dan hanya jika det(a λi) = 0, persamaan tersebut disebut persamaan karakteristik. Selanjutnya untuk melihat kestabilan sistem dapat menggunakan kriteria perilaku kestabilan titik tetap sebagai berikut: 1 stabil, jika a b setiap nilai eigen real adalah negatif (λ i < 0 untuk setiap i), setiap komponen nilai eigen kompleks bagian realnya lebih kecil atau sama dengan nol (Re(λ i ) 0 untuk setiap i),

15 2 tak stabil, jika a setiap nilai eigen real adalah positif (λ i > 0 untuk setiap i), b setiap komponen nilai eigen kompleks bagian realnya lebih besar dari nol (Re(λ i ) > 0 untuk setiap i), 3 sadel, jika ada perkalian dua buah nilai eigen sembarang adalah negatif (λ i λ j < 0 untuk suatu i dan j). (Perko 1991) Bilangan Reproduksi Dasar Bilangan reproduksi dasar merupakan jumlah rata-rata infeksi sekunder yang disebabkan oleh seorang individu yang terinfeksi masuk ke dalam suatu populasi, dengan semua populasi adalah individu yang rentan. (Edelstein-Keshet 1988) 3 Proses Stokastik dan Rantai Markov Definisi 1 (Proses Stokastik) Proses stokastik X = {X(t), t T} adalah suatu himpunan dari peubah acak (random variable). X(t) merupakan state (keadaan) dari proses pada waktu t. (Allen 2008, Ross 2010) Definisi 2 (Proses Stokastik Waktu Diskret) Proses Stokastik {X n, n = 0,1,2, } dengan ruang state {0,1,2, } disebut Rantai Markov dengan waktu diskret jika untuk setiap n = {0,1,2, } berlaku P(X n+1 = j X n = i, X n 1 = i n 1,., X 1 = i 1, X 0 = i 0 ) = P(X n+1 = j X n = i), untuk semua kemungkinan nilai dari i 0, i 1, i n 1, i, j {0,1,2, }. (Allen 2008, Ross 2010) Definisi 3 (Rantai Markov Homogen) Rantai Markov X n disebut homogen jika P(X n+1 = j X n = i) = P(X 1 = j X 0 = i) = p ij untuk semua n dan semua i, j {0,1,2, }. (Allen 2008, Ross 2010) Definisi 5 (Jalan Acak Sederana) Jalan acak sederhana adalah suatu rantai Markov dengan ruang state himpunan bilangan bulat dan memunyai peluang transisi p i,i+1 = p = 1 p i,i 1 dengan i = 0, ±1, ±2, dengan 0 < p < 1. (Allen 2008, Ross 2010)

16 4 HASIL DAN PEMBAHASAN Model Epidemik SIS Penelitian ini difokuskan pada model epidemik SIS dengan total populasi tidak konstan. Asumsi yang digunakan dalam model ini adalah semua populasi yang baru lahir adalah individu yang sehat namun rentan. Model epidemik SIS merupakan salah satu model penyebaran penyakit, siklus pada model ini adalah individu yang rentan (susceptible) menjadi terinfeksi (infective) kemudian setelah sembuh rentan untuk terinfeksi kembali. Model epidemik SIS dapat diilustrasikan pada diagram kompartemen berikut : IS N βn Susceptible Infective γi β r 1 N S β K r 1 N I K Ada dua kategori individu dalam model tersebut yaitu individu yang rentan (susceptible), terinfeksi (infective). S(t + Δt) = S(t)[1 + f(n) λ(t)δt] + (βδt + γδt)i(t), (3) I(t + Δt) = I(t)[1 + f(n) βδt γδt] + λ(t)δts(t), (4) f(n) = rδt N(t)rΔt K λ(t) = I(t) N(t) (Allen dan Burgin 2000) Persamaan diferensial untuk model pada persamaan (3) dan (4) adalah sebagai berikut (bukti dapat dilihat pada Lampiran 1): ds(t) dt = rs(t) 1 N(t) K I(t) S(t) + (β + γ)i(t) (5) N(t)

17 5 di(t) dt = ri(t) 1 N(t) K I(t) + S(t) (β + γ)i(t) (6) N(t) untuk > 0, β > 0, γ > 0, r > 0, S(0) > 0, I(0) > 0 dan N(t) = S(t) + I(t) dengan S(t) : banyaknya individu yang rentan, I(t) : banyaknya individu yang terinfeksi, N(t) : ukuran total populasi, : laju penularan per unit waktu, β : laju kelahiran per unit waktu, γ : laju pemulihan per unit waktu, r : konstanta laju pertumbuhan per unit waktu, K : daya dukung lingkungan. Model Epidemik SIS Deterministik Penentuan Titik Tetap Karena N(t) = S(t) + I(t) maka dn(t) dt = rn(t) 1 N(t). Titik tetap K untuk model epidemik SIS dengan total populasi tidak konstan dapat diperoleh dengan menentukan ri(t) 1 N(t) K di(t) dt = 0 dan dn(t) dt = 0. I(t) + S(t) (β + γ)i(t) = 0, (7) N(t) rn(t) 1 N(t) = 0. (8) K Berdasarkan persamaan (7) dan (8) diperoleh dua titik tetap (bukti dapat dilihat pada Lampiran 2), yaitu T 1 (I(t), N(t)) = (0, K) (9) T 2 (I(t), N(t)) = K 1 β+γ, K. (10) Kemudian berdasarkan persamaan (7) dan (8) diperoleh matriks Jacobi sebagai berikut: J = r 1 N 2I + K N (β + γ) r I K + r I 2 N 0 r 1 2N. (11) K (Bukti dapat dilihat pada Lampiran 3)

18 6 Analisis Kestabilan Titik Tetap Kestabilan titik tetap T 1 Titik tetap T 1 = (0, K) disubstitusikan ke dalam persamaan (11), sehingga diperoleh matriks Jacobi sebagai berikut: β γ 0 J T1 = 0 r. Nilai eigen ditentukan dari persamaan J T1 λi = 0. Diperoleh nilai eigen λ 1 = r dan λ 2 = β γ = (β + γ) 1 β+γ. (Bukti dapat dilihat pada Lampiran 3) Karena nilai semua parameter yang digunakan adalah positif (r,, β, γ > 0), T 1 = (0, K) akan sadel jika > 1 dan stabil jika < 1 yang β+γ β+γ menunjukkan bahwa tidak terjadi penyebaran penyakit atau I = 0. Kestabilan titik tetap T 2 Titik tetap T 2 (I(t), N(t)) = K 1 β+γ, K disubstitusikan ke dalam persamaan (11), sehingga diperoleh matriks Jacobi sebagai berikut: β+γ β+γ J T2 = + β + γ r(1 ) + r(1 0 r )2 Nilai eigen ditentukan dari persamaan J T2 λi = 0. Diperoleh nilai eigen λ 1 = r dan λ 2 = + β + γ = (β + γ) β+γ 1. (Bukti dapat dilihat pada Lampiran 3) Karena nilai semua parameter yang digunakan adalah positif (r,, β, γ > 0), T 2 (I(t), N(t)) = K 1 β+γ, K akan stabil jika > 1 yang β+γ menunjukkan bahwa terjadi penyebaran penyakit atau I > 0. Dari analisis kestabilan dua titik tetap di atas diperoleh bilangan reproduksi dasar yaitu R 0 =. Titik tetap bebas penyakit akan stabil jika R β+γ 0 < 1 dan titik tetap endemik akan stabil jika R 0 > 1.. Model Epidemik SIS Stokastik Misalkan S(t) dan I(t) dinotasikan sebagai peubah acak diskret untuk banyaknya individu yang sehat namun rentan (susceptible) dan individu yang terinfeksi (infective). Rantai Markov waktu diskret (DTMC) pada model epidemik SIS, t (0, t, 2 t, ), S(t) dan I(t) memenuhi S(t), I(t) {0,1,2,3,, N}.

19 Peluang Transisi Model Epidemik SIS Stokastik Populasi Konstan Model epidemik SIS stokastik ini terdapat satu peubah acak bebas I(t), S(t) = N(t) I(t) dengan N(t) = N adalah total populasi yang konstan sehingga S(t) = N I(t). Misalkan proses stokastik {I(t)} t=0 memiliki fungsi peluang yang dinotasikan sebagai p i (t) = P{I(t) = i}. Proses stokastik memiliki sifat Markov yaitu P{I(t + t) I(0), I( t), I(2 t),, I(t)} = P{I(t + t) I(t)}, dengan peluang transisi pada waktu (t + t) hanya bergantung pada waktu t. Jika I(t) = i dan I(t + t) = j, maka peluang perpindahan dari state i menuju state j dapat dinyatakan p i,j (t, t + t) = P{I(t + t) = j I(t) = i} Berdasarkan peluang transisi model stokastik SIS pada total populasi konstan dan diasumsikan Δt sekecil mungkin sehingga paling banyak terjadi satu kejadian, maka diperoleh beberapa kondisi pada peluang transisinya. Peluang transisi pada model tersebut (Allen dan Burgin 2000) adalah sebagai berikut: 7 i (n i)δt, n (γ + β)iδt, p i,j ( t) = 1 i (n i) + (γ + β)i Δt, n 0, j = i + 1 j = i 1 j = i selainnya, untuk i = 0,1, 2,, N dan i (n i) + (γ + β)i Δt 1. n (Allen dan Burgin 2000) Peluang transisi dari state i ke i + 1 menyatakan bahwa pada selang waktu Δt individu terinfeksi (infective) bertambah. Artinya meningkatnya jumlah individu terinfeksi (infective), dikarenakan individu yang rentan (susceptible) mengalami infeksi. Oleh karena itu, peluang transisi dari perpindahan state tersebut dapat dinyatakan i (n i)δt. n Saat individu bertransisi dari state i ke i 1 pada selang waktu Δt menyatakan bahwa jumlah individu yang terinfeksi (infective) mengalami penurunan. Artinya, pada selang waktu Δt individu yang terinfeksi mengalami pemulihan. Oleh karena itu, peluang transisi dari perpindahan state tersebut dapat dinyatakan (β + γ)iδt.

20 8 Saat individu bertransisi dari state i ke i pada selang waktu Δt menyatakan bahwa jumlah individu yang terinfeksi (infective) tidak mengalami perubahan. Oleh karena itu, peluang transisi dari perpindahan state tersebut dapat dinyatakan 1 i (n i)δt + (β + γ)i Δt. n Peluang Wabah Model Epidemik SIS Stokastik Populasi Konstan Jika p dinotasikan sebagai peluang perpindahan state saat individu yang terinfeksi bertambah i i + 1, dan q dinotasikan sebagai peluang perpindahan state saat individu yang terinfeksi berkurang i i 1. P(I(t) = 0) atau peluang individu bebas penyakit dapat dicari menggunakan persamaan berikut: 1, p q P(I(t) = 0) = q 0 p i,. p > q. (12) (Bukti dapat dilihat pada Lampiran 4) Misalkan total populasi awal n 0 besar dan banyaknya individu awal yang terinfeksi i 0 kecil, peluang individu terinfeksi bertambah dan peluang individu yang terinfeksi berkurang masing-masing adalah i n 0 (n 0 i)δt i t dan (γ + β)i t. Dengan menggunakan persamaan (12), didapatkan peluang terjadinya bebas penyakit P(I(t) = 0) adalah sebagai berikut: 1, R 0 1 i0 P(I(t) = 0) γ + β, R 0 > 1, sehingga peluang terjadinya wabah adalah 0, R 0 1 i0 1 P(I(t) = 0) γ + β 1, R 0 > 1. Peluang Transisi Model Epidemik SIS Stokastik Populasi Tidak Konstan Model epidemik SIS stokastik ini terdapat dua peubah acak bebas I(t) dan N(t), dengan N(t) adalah peubah acak untuk total populasi pada waktu t dan S(t) = N(t) I(t). Misalkan fungsi peluang bersama model epidemik SIS stokastik dengan total populasi tidak konstan dinotasikan sebagai p in (t) = P{I(t) = i, N(t) = n}.

21 9 Proses stokastik pada model ini memiliki sifat Markov yaitu P I(t + t), N(t + t) I(0), N(0),, I(t), N(t) = P{I(t + t), N(t + t) I(t), N(t)}, dengan peluang transisi pada waktu (t + t) hanya bergantung pada waktu t. Jika I(t), N(t) = (i, n) dan I(t + t), N(t + t) = (j, k), maka perpindahan dari state (i, n) menuju state (j, k) dapat dinyatakan p (i,n),(j,k) (t, t + t) = P{I(t + t) = j, N(t + t) = k I(t) = i, N(t) = n}. Berdasarkan peluang transisi model stokastik SIS dengan total populasi tidak konstan dan diasumsikan Δt sekecil mungkin sehingga paling banyak terjadi satu kejadian, diperoleh beberapa kondisi pada peluang transisinya. Peluang transisi model epidemik SIS populasi tidak konstan (Allen dan Burgin 2000) dinyatakan sebagai berikut: i n (n i)δt, (n i)(n i)(n i)(n i) γiδt, (n i)(n i) βnδt, (n i)(n i)(n i)(n i)(n i) βδt f(n) i, (n i)(n i)(n i)(n i) p (i,n),(j,k) ( t) = βδt f(n) (n i), (n i)(n i)(n i) 1 i (n i)δt γiδt 2βnΔt + f(n)n, n 0, (n i)(n i) (j, k) = (i + 1, n) (n (j, k) = (i 1, n)( n (j, k) = (i, n + 1) (n (j, k) = (i 1, n 1) (j, k) = (i, n 1) ( (j, k) = (i, n) selainnya, (n i) untuk i n, i, n = 0,1, M dengan f(n) = rδt N(t)rΔt K γiδt + 2βnΔt f(n)n 1. dan i (n i)δt + n Perpindahan state dari (i, n) ke (i + 1, n) menyatakan bahwa pada selang waktu Δt individu terinfeksi (infective) mengalami penambahan, namun jumlah populasinya tetap. Artinya meningkatnya jumlah individu terinfeksi (infective) dikarenakan individu yang rentan (susceptible) mengalami infeksi. Oleh karena itu, peluang transisi dari perpindahan state tersebut dapat dinyatakan sebagai i (n i)δt. n Saat individu bertransisi dari (i, n) ke (i 1, n) menyatakan bahwa pada selang waktu Δt jumlah individu terinfeksi (infective) berkurang dan jumlah populasi tidak mengalami perubahan. Artinya jumlah individu terinfeksi (infective) mengalami penurunan, dikarenakan individu yang terinfeksi sembuh. Oleh karena itu, peluang transisi dari perpindahan state tersebut dapat dinyatakan sebagai γiδt.

22 10 Saat individu bertransisi dari state (i, n) ke (i, n + 1) pada selang waktu Δt menyatakan bahwa jumlah individu yang terinfeksi (infective) tidak mengalami perubahan, namun terjadi peningkatan jumlah populasi. Artinya, pada selang waktu Δt terjadi kelahiran, dan individu yang lahir akan masuk pada kategori individu yang sehat namun rentan (susceptible). Oleh karena itu, peluang transisi dari perpindahan state tersebut dapat dinyatakan sebagai βnδt. Saat individu bertransisi dari state (i, n) ke (i 1, n 1) menyatakan bahwa pada selang waktu Δt jumlah individu yang terinfeksi dan jumlah populasi berkurang. Artinya pada selang waktu Δt terjadi kematian pada invidu yang terinfeksi (infective) yang menyebabkan jumlah populasi mengalami penurunan. Oleh karena itu, peluang transisi dari perpindahan state tersebut dapat dinyatakan βδt f(n) i = β r 1 n iδt. K Saat individu bertransisi dari state (i, n) ke (i, n 1) menyatakan bahwa pada selang waktu Δt, individu yang terinfeksi tidak mengalami perubahan namun jumlah populasinya mengalami penurunan. Artinya pada selang waktu Δt terjadi kematian pada individu yang sehat namun rentan (susceptible), sehingga menyebabkan jumlah populasi mengalami penurunan namun jumlah individu terinfeksi (infective) tetap. Oleh karena itu, peluang transisi dari perpindahan state tersebut dapat dinyatakan βδt f(n) (n i) = β r 1 n (n i). K Saat individu bertransisi dari state (i, n) ke (i, n) menyatakan bahwa pada selang waktu Δt jumlah individu yang terinfeksi maupun jumlah populasi tidak mengalami perubahan. Oleh karena itu, peluang transisi dari perpindahan state tersebut dapat dinyatakan 1 i (n i)δt γiδt 2βnΔt + f(n)n. n Dengan menggunakan sifat Markov dan peluang transisi sebelumnya, peluang p in (t + t) dapat dinyatakan sebagai berikut : (i 1) p in (t + t) = p i 1,n (t) n (i 1) Δt + p n i+1,n (t)γ(i + 1) Δt + p i,n 1 (t)β(n 1)Δt + p i+1,n+1 (t) βδt f(n + 1) (i + 1) + p i,n+1 (t) βδt f(n + 1) (n + 1 i) + p i,n (t) 1 i (n i)δt γiδt 2βnΔt + f(n)n n untuk p 00 (t + t) = p 00 (t), i n M, i, n = 0,1, M dan p in (t) = 0 untuk i, n [0, M].

23 Peluang Wabah Model Epidemik SIS Stokastik Populasi Tidak Konstan Misalkan total populasi awal n 0 besar dan banyaknya individu awal yang terinfeksi i 0 kecil, peluang individu terinfeksi bertambah dan peluang individu yang terinfeksi berkurang masing-masing adalah i (n n 0 i)δt i t dan γ + β r 1 n 0 i t. 0 Dengan menggunakan persamaan (12), didapatkan peluang terjadinya bebas penyakit untuk model epidemik SIS dengan total populasi tidak konstan adalah P(I(t) = 0) 1, R 0 + ε 1 γ+β r 1 n 0 K sehingga peluang terjadinya wabah untuk model ini adalah i 0, R 0 + ε > 1,, (13) 0, R 0 + ε 1 1 P(I(t) = 0) 1 γ+β r 1 n 0 K 0 i, R 0 + ε > 1,, (14) dengan ε = r γ+β 1 n 0 K. Pada model epidemik SIS populasi tidak konstan ketika total populasi awal lebih besar dari daya dukung lingkungan atau n 0 > K, peluang untuk terjadinya bebas penyakit lebih besar dibandingkan model epidemik SIS populasi konstan yang dapat dilihat pada persamaan 13. Karena apabila n 0 semakin besar dengan nilai K tetap, maka nilai ε akan semakin kecil yang mengakibatkan peluang untuk terjadinya bebas penyakit juga besar. Berbeda ketika total populasi awal lebih kecil dari daya dukung lingkungan atau n 0 < K, peluang untuk terjadi bebas penyakit lebih kecil dibandingkan model epidemik SIS populasi konstan. Karena apabila n 0 semakin kecil dengan nilai K tetap, maka nilai ε akan semakin besar yang mengakibatkan peluang untuk terjadinya bebas penyakit kecil. Simulasi Numerik Pada karya ilmiah ini dilakukan simulasi numerik pada model epidemik SIS deterministik dan model epidemik SIS stokastik saat populasi tidak konstan. Selain itu akan dibandingkan model epidemik SIS stokastsik saat populasi tidak konstan dan populasi konstan. Pada simulasi numerik ini, digunakan beberapa nilai yang berbeda. Beberapa nilai parameter tetap yang digunakan adalah β = 0.4, γ = 0.4, r = Saat membandingkan model deterministik dan stokastik, digunakan N(0) = 100 dan I(0) = 20 serta dua nilai daya dukung lingkungan yang berbeda yaitu saat daya dukung lingkungan sebesar 50 dan 150. Kemudian untuk membandingkan model epidemik SIS stokastik populasi tidak konstan maupun populasi konstan digunakan dua nilai awal total populasi yang berbeda, masing-masing adalah N(0) = 30 dan N(0) = 70. Pada gambar-gambar berikut, N menyatakan total populasi dan I menyatakan individu yang terinfeksi. K 11

24 12 Kasus 1 Pada kasus ini akan dilihat perbedaan model epidemik SIS deterministik dan stokastik populasi tidak konstan saat R 0 = Jumlah awal individu yang terinfeksi I(0) = 20 dan nilai awal total populasi N(0) = 100. Kemudian digunakan nilai parameter = 0.66 dan K = 50. Gambar 1 Bidang solusi model deterministik saat R 0 = 0.825, K = 50, dan t = 100 Gambar 2 Sample path model stokastik saat R 0 = 0.825, K = 50, dan t = 100 Saat R 0 = pada model epidemik SIS deterministik populasi tidak konstan terjadi kestabilan bebas penyakit yang terlihat pada Gambar 1. Jumlah individu terinfeksi mengalami penurunan dari 20 hingga mengalami kepunahan, Begitu juga pada model epidemik SIS stokastik populasi tidak konstan yang diperlihatkan pada Gambar 2. Kasus 2 Pada kasus ini akan dilihat perbedaan model epidemik SIS deterministik dan stokastik populasi tidak konstan saat R 0 = 1.4. Jumlah awal individu yang terinfeksi I(0) = 20 dan nilai awal total populasi N(0) = 100. Kemudian digunakan nilai parameter = 1.12 dan K = 50. Gambar 3 Bidang solusi model deterministik saat R 0 = 1.4, K = 50, dan t = 100 Gambar 4 Sample path model stokastik saat R 0 = 1.4, K = 50, dan t = 100

25 Saat R 0 = 1.4 pada model epidemik SIS deterministik terjadi kestabilan endemik yang terlihat pada Gambar 3. Namun pada model stokastik terjadi kestabilan bebas penyakit yang terlihat pada Gambar 4, hal ini dikarenakan adanya peluang terjadinya bebas penyakit sebesar Kasus 3 Pada kasus ini akan dilihat perbedaan model epidemik SIS deterministik dan stokastik populasi tidak konstan saat R 0 = 3. Jumlah awal individu yang terinfeksi I(0) = 20 dan nilai awal total populasi N(0) = 100. Kemudian digunakan nilai parameter = 2.4 dan K = Gambar 5 Bidang solusi model deterministik saat R 0 = 3, K = 50, dan t = 100 Gambar 6 Sample path model stokastik saat R 0 = 3, K = 50, dan t = 100 Gambar 7 Bidang solusi model deterministik saat R 0 = 3, K = 50, dan t = Gambar 8 Sample path model stokastik saat R 0 = 3, K = 50, dan t = 50000

26 14 Saat R 0 = 3 pada model epidemik SIS deterministik terjadi kestabilan endemik yang terlihat pada Gambar 5. Begitu juga pada model epidemik SIS stokastik yang terlihat pada Gambar 6. Apabila interval waktu diperbesar hingga dengan parameter yang sama, diperoleh Gambar 7 dan Gambar 8 yang memerlihatkan bahwa kedua model saat R 0 = 3 tetap mengalami kestabilan endemik. Namun pada model epidemik SIS stokastik ada kemungkinan untuk terjadi bebas penyakit, dengan memperbesar interval waktu pada Gambar 8. Pada kasus ini peluang terjadinya bebas penyakit sebesar Kasus 4 Pada kasus ini akan dilihat perbedaan model epidemik SIS deterministik dan stokastik populasi tidak konstan saat R 0 = Jumlah awal individu yang terinfeksi I(0) = 20 dan nilai awal total populasi N(0) = 100. Kemudian digunakan nilai parameter = 0.66 dan K = 150. Gambar 9 Bidang solusi model deterministik saat R 0 = 0.825, K = 150, dan t = 100 Gambar 10 Sample path model stokastik saat R 0 = 0.825, K = 150, dan t = 100 Saat R 0 = pada model epidemik SIS deterministik dengan K = 150 terjadi kestabilan bebas penyakit yang terlihat pada Gambar 9. Jumlah individu yang terinfeksi mengalami penurunan dari 20 hingga mengalami kepunahan. Begitu juga pada model epidemik SIS stokastik terjadi kestabilan bebas penyakit yang diperlihatkan pada Gambar 10. Kasus 5 Pada kasus ini akan dilihat perbedaan model epidemik SIS deterministik dan stokastik populasi tidak konstan saat R 0 = 1.4. Jumlah awal individu yang terinfeksi I(0) = 20 dan nilai awal total populasi N(0) = 100. Kemudian digunakan nilai parameter = 1.12 dan K = 150.

27 15 Gambar 11 Bidang solusi model deterministik saat R 0 = 1.4, K = 150, dan t = 100 Gambar 12 Sample path model stokastik saat R 0 = 1.4, K = 150, dan t = 100 Gambar 13 Bidang solusi model deterministik saat R 0 = 1.4, K = 150, dan t = Gambar 14 Sample path model stokastik saat R 0 = 1.4, K = 150, dan t = Saat R 0 = 1.4 pada model epidemik SIS deterministik populasi tidak konstan terjadi kestabilan endemik yang dapat dilihat pada Gambar 11. Begitu juga pada model epidemik SIS stokastik populasi tidak konstan pada Gambar 12 yang terjadi kestabilan endemik. Apabila interval waktu diperbesar hingga dengan parameter yang sama diperoleh Gambar 13 dan Gambar 14 yang memerlihatkan dua kondisi yang berbeda, pada model deterministik terjadi kestabilan endemik sebaliknya pada model stokastik mengalami kestabilan bebas penyakit. Peluang terjadinya bebas penyakit model epidemik SIS stokatik pada kasus ini adalah

28 16 Kasus 6 Pada kasus ini akan dilihat perbedaan model epidemik SIS deterministik dan stokastik populasi tidak konstan saat R 0 = 3. Jumlah awal individu yang terinfeksi I(0) = 20 dan nilai awal total populasi N(0) = 100. Kemudian digunakan nilai parameter = 1.12 dan K = 150. Gambar 15 Bidang solusi model deterministik saat R 0 = 3, K = 150, dan t = 100 Gambar 16 Sample path model stokastik saat R 0 = 3, K = 150, dan t = 100 Gambar 17 Bidang solusi model deterministik saat R 0 = 3, K = 150, dan t = Gambar 18 Sample path model stokastik saat R 0 = 3, K = 150, dan t = Saat R 0 = 3 pada model epidemik SIS deterministik dengan total populasi tidak konstan terjadi kestabilan endemik yang terlihat pada Gambar 13. Begitu juga pada model epidemik SIS stokastik pada Gambar 14 yang terjadi kestabilan endemik. Apabila interval waktu diperbesar hingga diperoleh Gambar 15 dan Gambar 16 yang memerlihatkan bahwa kedua model saat R 0 = 3 terjadi kestabilan endemik. Namun pada model stokastik ada kemungkinan untuk terjadinya bebas penyakit, dengan memperbesar interval waktu pada Gambar 18. Pada kasus ini peluang terjadinya bebas penyakit sebesar

29 Kasus 7 Pada kasus ini akan dilihat perbedaan model epidemik SIS stokastik populasi tidak konstan dan populasi konstan saat R 0 = Jumlah awal individu yang terinfeksi I(0) = 5, nilai awal total populasi N(0) = 30 dan N(0) = 70. Nilai parameter = 0.78 dan K = Gambar 19 Sample path model stokastik populasi tidak konstan saat N(0) = 30, R 0 = 0.975, dan K = 50 Gambar 20 Sample path model stokastik populasi konstan saat N(0) = 30 dan R 0 = Gambar 21 Sample path model stokastik populasi tidak konstan saat N(0) = 70, R 0 = 0.975, dan K = 50 Gambar 22 Sample path model stokastik populasi konstan saat N(0) = 70 dan R 0 = Pada Gambar 19 dan Gambar 20 terlihat bahwa keduanya terjadi kestabilan bebas penyakit. Namun terlihat perbedaan bahwa model epidemik SIS stokastik populasi konstan lebih cepat terjadi kestabilan bebas penyakit dibandingkan model epidemik SIS stokastik populasi tidak konstan, untuk N(0) = 30 lebih kecil dari daya dukung lingkungan. Berbeda ketika N(0) = 70 lebih besar dari daya dukung lingkungan, model populasi tidak konstan lebih cepat terjadi bebas penyakit dibandingkan pada model ketika populasinya konstan yang diperlihatkan Gambar 21 dan Gambar 22. Hal ini dikarenakan peluang bebas penyakit pada masing-masing model, saat total populasinya konstan peluang terjadinya bebas penyakit adalah 1.13, namun karena maksimum nilai suatu

30 18 peluang adalah 1.0 maka peluang terjadinya bebas penyakit saat populasinya konstan adalah 1. Peluang terjadinya bebas penyakit pada model populasi tidak konstan ketika N(0) = 30 dan N(0) = 70 masing-masing adalah dan , namun karena maksimum nilai suatu peluang adalah satu maka peluang terjadinya bebas penyakit saat N(0) = 70 adalah 1. Kasus 8 Pada kasus ini akan dilihat perbedaan model epidemik SIS stokastik populasi tidak konstan dan populasi konstan saat R 0 = 1.2. Jumlah awal individu yang terinfeksi I(0) = 5 dan nilai awal populasi awal N(0) = 30 dan N(0) = 70. Nilai parameter = 0.96 dan K = 50. Gambar 23 Sample path model stokastik populasi tidak konstan saat N(0) = 30, R 0 = 1.2 dan K = 50 Gambar 24 Sample path model stokastik populasi konstan saat N(0) = 30 dan R 0 = 1.2 Gambar 25 Sample path model stokastik populasi tidak konstan saat N(0) = 70, R 0 = 1.2, dan K = 50 Gambar 26 Sample path model stokastik populasi konstan saat N(0) = 70 dan R 0 = 1.2 Pada Gambar 23 dan Gambar 24 terlihat bahwa keduanya terjadi kestabilan bebas penyakit. Namun terlihat perbedaan bahwa model epidemik SIS stokastik populasi konstan lebih cepat mengalami kestabilan bebas penyakit dibandingkan model epidemik SIS stokastik populasi tidak konstan, untuk N(0) = 30 lebih kecil dari daya dukung lingkungan. Berbeda ketika N(0) = 70 lebih besar dari daya dukung lingkungan, pada model epidemik SIS populasi tidak

31 konstan lebih cepat terjadi bebas penyakit dibandingkan populasi konstan yang diperlihatkan Gambar 25 dan Gambar 26. Hal ini dikarenakan peluang bebas penyakit pada masing-masing model. Saat total populasinya konstan peluang terjadinya bebas penyakit adalah Berbeda pada model epidemik SIS populasi tidak konstan, peluang terjadinya bebas penyakit ketika N(0) = 30 dan N(0) = 70 masing-masing adalah dan Kasus 9 Pada kasus ini akan dilihat perbedaan model epidemik SIS stokastik populasi tidak konstan dan populasi konstan saat R 0 = 1.3. Jumlah awal individu yang terinfeksi I(0) = 5 dan nilai awal populasi awal N(0) = 30 dan N(0) = 70. Nilai parameter = 1.04 dan K = Gambar 27 Sample path model stokastik populasi tidak konstan saat N(0) = 30, R 0 = 1.3, dan K = 50 Gambar 28 Sample path model stokastik populasi konstan saat N(0) = 30 dan R 0 = 1.3 Gambar 29 Sample path model stokastik populasi tidak konstan saat N(0) = 70, R 0 = 1.3, dan K = 50 Gambar 30 Sample path model stokastik populasi konstan saat N(0) = 70 dan R 0 = 1.3

32 20 Pada Gambar 27 dan Gambar 28 terlihat bahwa keduanya terjadi bebas penyakit, model epidemik SIS stokastik populasi konstan lebih cepat terjadi kestabilan bebas penyakit dibandingkan model epidemik SIS stokastik populasi tidak konstan saat N(0) = 30 lebih kecil dari daya dukung lingkungannya. Berbeda ketika N(0) = 70 lebih besar dari daya dukung lingkungannya, pada model populasi tidak konstan lebih cepat terjadi bebas penyakit dibandingkan model populasi konstan yang diperlihatkan Gambar 29 dan Gambar 30. Hal ini dikarenakan peluang bebas penyakit pada masing-masing model, untuk model dengan total populasi konstan peluang terjadinya bebas penyakit pada kasus ini adalah Peluang terjadinya bebas penyakit saat N(0) = 30 dan N(0) = 70 masing-masing adalah dan Kasus 10 Pada kasus ini akan dilihat perbedaan model epidemik SIS stokastik populasi tidak konstan dan populasi konstan saat R 0 = Jumlah awal individu yang terinfeksi I(0) = 5 dan nilai awal populasi awal N(0) = 30 dan N(0) = 70. Nilai parameter = 1.1 dan K = 50. Gambar 31 Sample path model stokastik populasi tidak konstan saat (0) = 30, R 0 = 1.375, dan K = 50 Gambar 32 Sample path model stokastik populasi konstan saat N(0) = 30 dan R 0 = Gambar 33 Sample path model stokastik populasi tidak konstan saat N(0) = 70, R 0 = 1.375, dan K = 50 Gambar 34 Sample path model stokastik populasi konstan saat N(0) = 70 dan R 0 = 1.375

33 Pada Gambar 31 dan Gambar 32 terlihat bahwa keduanya terjadi kestabilan bebas penyakit. Namun terlihat perbedaan bahwa model epidemik SIS stokastik populasi konstan lebih cepat terjadi kestabilan bebas penyakit dibandingkan model epidemik SIS stokastik populasi tidak konstan saat N(0) = 30 lebih kecil dari daya dukung lingkungannya. Berbeda ketika N(0) = 70 lebih besar dari daya dukung lingkungannya, pada model epidemik SIS stokastik populasi tidak konstan lebih cepat terjadi bebas penyakit dibandingkan ketika populasinya konstan yang diperlihatkan Gambar 33 dan Gambar 34. Hal ini dikarenakan peluang bebas penyakit pada masing-masing model, untuk model dengan total populasi konstan peluang terjadinya bebas penyakit pada kasus ini adalah Berbeda pada model epidemik SIS populasi tidak konstan, peluang terjadinya bebas penyakit saat N(0) = 30 dan N(0) = 70 masing-masing adalah dan SIMPULAN 21 Berdasarkan hasil pembahasan, dapat disimpulkan bahwa diperoleh dua titik tetap yaitu titik tetap bebas penyakit dan titik tetap endemik. Berdasarkan kestabilan kedua titik tetap diperoleh bilangan reproduksi dasar R 0. Untuk waktu yang relatif besar terdapat perbedaan kesetimbangan yang mungkin terjadi antara model epidemik SIS deterministik dan stokastik. Selain itu terdapat perbedaan perilaku antara model SIS stokastik populasi tidak konstan dengan populasi konstan, yaitu kemungkinan untuk terjadi kestabilan bebas penyakit lebih cepat terjadi pada model populasi tidak konstan ketika populasi awal lebih besar dari daya dukung lingkungan dibandingkan pada model populasi konstan. Hal berbeda terjadi ketika total populasi awal lebih kecil dari daya dukung lingkungan, kemungkinan untuk terjadi kestabilan bebas penyakit lebih cepat terjadi pada model dengan populasi konstan dibandingkan pada model dengan total populasi tidak konstan. DAFTAR PUSTAKA Allen LJS An Introduction to Stochastic Processes with Applications to Biology. Texas (US): Department of Mathematics and Statistics, Texas Tech University. Allen LJS, Burgin AM Comparison of Deterministic and Stochastic SIS and SIR Models in Discrete Time. Mathematical Bioscience. 163(200):1-33. Edelstein-Keshet, L Mathematical Model in Biology. New York (US): Random House. Perko L Differential Equations and Dynamical System, Texts in Applied Mathematics, vol. 7. New York (US): Springer Publishing. Ross SM Introduction to Probability Models Ninth Edition. California (US): University of California. Tu PNV Dynamical System, An Introduction with Application in Economics and Biology. Heidelberg (DE): Springer-Verlag.

34 22 Lampiran 1 Persamaan diferensial model epidemik SIS dengan total populasi tidak konstan Model Epidemik SIS Model SIS deterministik mempunyai bentuk: Persamaan (3): S(t + t) = S(t) F N(t) I(t)Δt + (βδt + γδt)i(t) N(t) S(t + t) = S(t) 1 + f N(t) I(t)Δt + (βδt + γδt)i(t) N(t) S(t + t) = S(t) 1 + r t 1 N(t) K I(t)Δt + (βδt + γδt)i(t) N(t) S(t + t) = S(t) + r t 1 N(t) S(t) I(t)ΔtS(t) + (βδt + γδt)i(t) K N(t) S(t + t) S(t) = r t 1 N(t) S(t) I(t)ΔtS(t) + (βδt + γδt)i(t) K N(t) lim t 0 S(t + t) S(t) = r 1 N(t) S(t) t K S(t + t) S(t) = lim r 1 N(t) S(t) t t 0 K S (t) = r 1 N(t) S(t) K I(t)S(t) + (β + γ)i(t) N(t) I(t)S(t) + (β + γ)i(t) N(t) I(t)S(t) + (β + γ)i(t) N(t) Persamaan (4): I(t + t) = I(t) F N(t) βδt γδt + N(t) I(t)ΔtS(t) I(t + t) = I(t) 1 + f N(t) βδt γδt + N(t) I(t)ΔtS(t) I(t + t) = I(t) 1 + r t 1 N(t) βδt γδt + K N(t) I(t)ΔtS(t) I(t + t) = I(t) + r t 1 N(t) I(t) (βδt + γδt)i(t) + K N(t) I(t)ΔtS(t) I(t + t) I(t) = r t 1 N(t) I(t) (βδt + γδt)i(t) + K N(t) I(t)ΔtS(t) I(t + t) I(t) = r 1 N(t) I(t) (β + γ)i(t) + t K N(t) I(t)S(t) I(t + t) I(t) lim = lim r 1 N(t) I(t) (β + γ)i(t) + t 0 t t 0 K N(t) I(t)S(t) I (t) = r 1 N(t) I(t) (β + γ)i(t) + I(t)S(t) K N(t)

35 23 Lampiran 2 Penentuan titik tetap Penentuan Titik Tetap Karena S(t) + I(t) = N(t), maka titik tetap dapat dicari hanya dengan menentukan di(t) = 0 dan dn(t) = 0 dt dt Program mencari titik tetap (* N: Total Populasi, Y: Individu yang terinfeksi *) f1[y_,n_]:=r Y (1-N/K)-( Y (N-Y))/N+(β+γ) Y; f2[y_,n_]:=r N (1-N/K); sol=fullsimplify[solve[{f1[y,n] 0,f2[Y,N] 0},{Y,N}]] K( β γ) {{Y, N K}, {Y 0, N K}} Sehingga didapat titik tetap (I(t), N(t)) = (0, K) dan (I(t), N(t)) = K 1 β+γ, K Lampiran 3 Penentuan matriks Jacobi dan nilai eigen Matriks Jacobi Misalkan f 1 (I, N)merupakan persamaan diferensial dari individu yang terinfeksi, sedangkan f 2 (I, N)merupakan persamaan diferensial dari seluruh total populasi, sehingga dapat ditulis sebagai berikut : f 1 (N, I) = ri(t) 1 N(t) I(t) + S(t) (β + γ)i(t) K N(t) f 2 (N, I) = rn(t) 1 N(t) K J merupakan matriks Jacobi dengan f 1 f 1 J = I N f 2 f 2 Substitusikan nilai f 1 I, f 1, f 2 N I J = I N dan f 2 ke matriks Jacobi J sehingga diperoleh N r 1 N 2I + K N (β + γ) r I K + r I 2 N 0 r 1 2N K

36 24 Penetuan Nilai Eigen dari Titik Tetap Nilai eigen untuk T 1 = I(t), N(t) = (0, K) Dengan persamaan karakteristik J λi = 0, maka Solve[((-β-γ-λ) (-r-λ))-0==0,λ] {{λ->-r},{λ->-β-γ }} β γ λ 0 0 r λ = 0 Nilai eigen untukt 2 = I(t), N(t) = K 1 β+γ, K Dengan persamaan karakteristik J λi = 0, maka β + γ β + γ + β + γ λ r(1 ) + r(1 0 r λ Solve[(-+β+γ-λ)(-r-λ)==0,λ] {{λ->-r},{λ->-+β+γ }} )2 = 0 Lampiran 4 Penentuan peluang bebas penyakit dan peluang wabah Misalkan p adalah peluang individu terinfeksi bertambah i i + 1, dan q = 1 p adalah peluang individu terinfeksi berkurang i i 1 dengan P i = pp i+1 + qp i 1, i = 1,2,3,, N 1 pp i+1 P i + qp i 1 = 0 (15) P i adalah peluang saat state i, i = 0,1,2, N. Untuk menyelesaikan persamaan (15) diperlukan kondisi yaitu P 0 = 1 dan P N = 0. Misalkan P i = λ i 0, subtitusikan λ i ke persamaan (15), didapatkan persamaan karakteristik pλ i+1 λ i + qλ i 1 = 0, (16) Karena λ i 0, persamaan karakteristik (16) disederhanakan menjadi pλ qλ = 0, Sehingga akar-akar persamaannya adalah nilai eigen dari λ 1,2 = 1 ± 1 4pq 2p Ekspresi untuk nilai-nilai eigennya dapat disederhanakan dengan melihat kondisi bahwa (p + q) 2 = 1 1 = p 2 + 2pq + q 2

37 25 1 4pq = p 2 2pq + q 2 = (p q) 2. Sederhanakan 1 4pq = p q, sehingga didapatkan hasil 1 ± (p q) λ 1,2 = 2p 1 + p q p + q + p q λ 1 = = = 1 2p 2p 1 p q p + q p + q λ 2 = = = q 2p 2p p Solusi umum persamaan diferensial didapat P i = c 1 + c 2 q p i, (17) karena P 0 = 1 dan P N = 0, didapat P 0 = c 1 + c 2 = 1 dan P N = c 1 + c 2 q p N = 0, kemudian dengan metode eliminasi didapatkan nilai untuk c 1 = q p N q p N 1 dan c 2 = 1 1 q p N Subtitusikan nilai c 1 dan c 2 ke persamaan (17), sehingga didapat hasil q p N q p i P i = q p N 1 apabila N, maka peluang bebas penyakit adalah 1, p q P(I(t) = 0) q i p 0, p > q

38 26 Lampiran 5 Program plot bidang solusi model deterministik populasi tidak konstan saat R 0 = 0.825, K = 50, dan t = 100 (Gambar 1) (*Keterangan Y:Individu yang terinfeksi, H:Total Populasi*)Manipulate[Module[{plt1,plt2,plt3,sol,Y0=YY0,H0=HH0},sol=NDSolve[{Y'[ t]==y[t]r(1 - H[t]/K)+( \[Alpha] Y[t] (H[t]-Y[t]))/H[t]-Y[t](\[Beta]+\[Gamma]),H'[t]==r H[t](1- H[t]/K),Y[t/;t<=0]==Y0,H[t/;t<=0]==H0},{Y[t],H[t]},{t,0,10000}];plt1=ParametricPlot[ {t,y[t]}/.sol,{t,0,100},plotrange->all, AspectRatio->0.75, PlotStyle- >{RGBColor[1,0,0], Thickness[0.01]},AxesLabel->{t, Individu}]; plt3=parametricplot[{t,h[t]}/.sol,{t,0,100},plotrange->all, AspectRatio->0.75, PlotStyle->{RGBColor[0,0,0], Thickness[0.01]}]; plt2=streamplot[{y r(1 -H/K)+( \[Alpha] Y (H-Y))/H-Y(\[Beta]+\[Gamma]),r H(1-H/K)},{Y,0,10000},{H,0,10000},{ {Style[Row[{Style["Y",Italic],"(",Style["t",Italic],")"}],14],None}, {Style[Row[{Style["H",Italic],"(",Style["t",Italic],")"}],14],Style[Row[{Style["The phase portrait of system",bold]}],14]}},streampoints-> 50]; Show[plt1,plt3,ImageSize-> {450,400}]], Style["Persamaan differensial :",Bold], Style["Overscript[Y,.]= Y[t]r(1 - H[t]/K)+( \[Alpha] Y[t] (H[t]-Y[t]))/H[t]- Y[t](\[Beta]+\[Gamma])",Bold], Style["Overscript[H,.] = r H[t](1-H[t]/K) ",Bold], Delimiter, Style["parameters",Bold,10], {{r,0.25,"r"},0,50,.01,imagesize->small,appearance->"labeled"}, {{\[Alpha],0.66,"\[Alpha]"},0,50,.01,ImageSize->Small,Appearance->"Labeled"}, {{\[Beta],0.4,"\[Beta]"},0,50,.01,ImageSize->Small,Appearance->"Labeled"}, {{\[Gamma],0.4,"\[Gamma]"},0,50,.01,ImageSize->Small,Appearance- >"Labeled"}, {{K,50,"K"},0,10000,.01,ImageSize->Small,Appearance->"Labeled"}, Delimiter, Style["initial conditions",bold,10],{{yy0,20,"subscript[y, 0]"},0,10000,.01,ImageSize->Small,Appearance->"Labeled"},{{HH0,100,"Subscript[H, 0]"},0,1000,.01,ImageSize->Small,Appearance->"Labeled"}, ControlPlacement-> Left,SynchronousUpdating->False]

39 Lampiran 6 Program plot sample path model stokastik populasi tidak konstan saat R 0 = 0.825, K = 50, dan t = 100 (Gambar 2) 27 library(adaptivetau) init.values = c( N = 100, I = 20) transitions = list( c(i = +1), c(i = -1), c(n = +1), c(n = -1, I = -1), c(n = -1) ) SISrateF <- function(x, p, t) { return(c( params$alpha*(x["n"]-x["i"])*x["i"]/(x["n"]), params$gamma*x["i"], params$beta*x["n"], (params$beta-params$intrin+(params$intrin*x["n"]/params$k))*x["i"], (params$beta-params$intrin+(params$intrin*x["n"]/params$k))*(x["n"]- x["i"]))) } params = list(beta=0.4, gamma=0.4,alpha=0.66,intrin=0.25,k=50) set.seed(45) r=ssa.adaptivetau(init.values, transitions, SISrateF, params, tf=100) matplot(r[,"time"], r[,c("n","i")], type='l', xlab='time', ylab='individuals') legend("topright", legend=c("n","i"), lty=1:2, col=1:2)

40 28 Lampiran 7 Program plot bidang solusi model deterministik populasi tidak konstan saat R 0 = 1.4, K = 50, dan t = 100 (Gambar 3) (*Keterangan Y:Individu yang terinfeksi, H:Total Populasi*)Manipulate[Module[{plt1,plt2,plt3,sol,Y0=YY0,H0=HH0},sol=NDSolve[{ Y'[t]==Y[t]r(1 - H[t]/K)+( \[Alpha] Y[t] (H[t]-Y[t]))/H[t]- Y[t](\[Beta]+\[Gamma]),H'[t]==r H[t](1- H[t]/K),Y[t/;t<=0]==Y0,H[t/;t<=0]==H0},{Y[t],H[t]},{t,0,10000}];plt1=ParametricPl ot[{t,y[t]}/.sol,{t,0,100},plotrange->all, AspectRatio->0.75, PlotStyle- >{RGBColor[1,0,0], Thickness[0.01]},AxesLabel->{t, Individu}]; plt3=parametricplot[{t,h[t]}/.sol,{t,0,100},plotrange->all, AspectRatio->0.75, PlotStyle->{RGBColor[0,0,0], Thickness[0.01]}]; plt2=streamplot[{y r(1 -H/K)+( \[Alpha] Y (H-Y))/H-Y(\[Beta]+\[Gamma]),r H(1- H/K)},{Y,0,10000},{H,0,10000},{ {Style[Row[{Style["Y",Italic],"(",Style["t",Italic],")"}],14],None}, {Style[Row[{Style["H",Italic],"(",Style["t",Italic],")"}],14],Style[Row[{Style["The phase portrait of system",bold]}],14]}},streampoints-> 50]; Show[plt1,plt3,ImageSize-> {450,400}]], Style["Persamaan differensial :",Bold], Style["Overscript[Y,.]= Y[t]r(1 - H[t]/K)+( \[Alpha] Y[t] (H[t]-Y[t]))/H[t]- Y[t](\[Beta]+\[Gamma])",Bold], Style["Overscript[H,.] = r H[t](1-H[t]/K) ",Bold], Delimiter, Style["parameters",Bold,10], {{r,0.25,"r"},0,50,.01,imagesize->small,appearance->"labeled"}, {{\[Alpha],1.12,"\[Alpha]"},0,50,.01,ImageSize->Small,Appearance->"Labeled"}, {{\[Beta],0.4,"\[Beta]"},0,50,.01,ImageSize->Small,Appearance->"Labeled"}, {{\[Gamma],0.4,"\[Gamma]"},0,50,.01,ImageSize->Small,Appearance->"Labeled"}, {{K,50,"K"},0,10000,.01,ImageSize->Small,Appearance->"Labeled"}, Delimiter, Style["initial conditions",bold,10],{{yy0,20,"subscript[y, 0]"},0,1000,.01,ImageSize->Small,Appearance- >"Labeled"},{{HH0,100,"Subscript[H, 0]"},0,1000,.01,ImageSize- >Small,Appearance->"Labeled"}, ControlPlacement-> Left,SynchronousUpdating->False]