MODEL EPIDEMI RANTAI MARKOV WAKTU DISKRIT SUSCEPTIBLE INFECTED RECOVERED DENGAN DUA PENYAKIT

Transkripsi

1 MODEL EPIDEMI RANTAI MARKOV WAKTU DISKRIT SUSCEPTIBLE INFECTED RECOVERED DENGAN DUA PENYAKIT Wisnu Wardana, Respatiwulan, dan Hasih Pratiwi Program Studi Matematika FMIPA UNS ABSTRAK. Pola penyebaran penyakit menular dapat digambarkan dalam model matematika. Model matematika telah banyak dikembangkan, salah satunya adalah model susceptible infected recovered SIR). Model epidemi SIR yang mengikuti proses Markov dan ditinjau dalam waktu diskrit disebut model rantai Markov waktu diskrit RMWD) SIR. Model ini dikembangkan menjadi model epidemi RMWD SIR dengan dua penyakit karena terdapat kemungkinan ada lebih dari satu penyakit yang menyebar. Tujuan penelitian ini adalah menurunkan ulang dan menerapkan model epidemi RMWD SIR dengan dua penyakit. Model RMWD SIR dengan dua penyakit berupa probabilitas transisi. Penerapan mengacu pada Kirupaharan dan diperoleh bahwa dalam waktu t = 250 individu susceptible berkurang bersamaan dengan bertambahnya individu infected. Saat individu infected berkurang, individu recovered bertambah. Setelah t = 218 banyaknya individu pada masing-masing kelompok tidak lagi mengalami perubahan. Kata Kunci : model epidemi, rantai Markov waktu diskrit, SIR, dua penyakit 1. Pendahuluan Kesehatan merupakan hal yang sangat penting dalam menunjang aktivitas manusia, tetapi kesehatan manusia bisa terganggu karena serangan penyakit. Penyakit adalah sesuatu yang menyebabkan gangguan pada makhluk hidup. Salah satu jenis penyakit adalah penyakit menular. Penyakit menular disebabkan oleh bakteri, virus, atau jamur melalui kontak antar individu baik secara langsung maupun tidak langsung. Penyebaran penyakit menular yang tidak dapat dikendalikan dalam waktu yang cukup lama dapat menyebabkan epidemi. Menurut Hethcote [4], penyebaran penyakit dapat dinyatakan dengan model epidemi SIR. Kondisi individu dalam suatu populasi pada model SIR dibagi menjadi tiga kelompok, yaitu susceptible S) adalah kelompok individu sehat yang rentan tertular penyakit, infected I) adalah individu yang sudah terinfeksi penyakit, dan recovered R) adalah kelompok individu yang sudah sembuh dan memiliki kekebalan permanen. Setiap individu susceptible dapat terinfeksi oleh penyakit apabila melakukan kontak dengan individu infected. Kemudian individu infected akan mengalami kesembuhan secara alami ataupun dengan bantuan medis menjadi individu recovered. Setelah sembuh, individu ini tidak dapat terinfeksi kembali oleh penyakit yang sama karena mempunyai kekebalan yang permanen. Allen [3] dalam artikelnya menjelaskan model epidemi RMWD SIR. Banyaknya individu susceptible, infected, dan recovered pada suatu populasi merupakan 1

2 kejadian random dan bergantung pada waktu sehingga disebut proses stokastik. Banyaknya individu susceptible, infected, dan recovered pada waktu t n diasumsikan hanya dipengaruhi oleh banyaknya individu susceptible, infected, dan recovered pada waktu t n 1 sehingga mengikuti proses Markov. Penyebaran penyakit ini ditinjau dalam waktu diskrit. Ackleh dan Allen [1] mengembangkan model RMWD SIR dengan multi penyakit yang menyebar dalam suatu wilayah. Pada penelitian ini dikonstruksikan ulang model epidemi RMWD SIR dengan dua penyakit dan diterapkan model RMWD SIR dengan dua penyakit. 2. Proses Stokastik Banyaknya individu susceptible, infected, dan recovered pada proses penyebaran penyakit dapat dipandang sebagai proses stokastik. Menurut Allen [3], proses stokastik merupakan himpunan dari beberapa variabel random {Xt; h) t T, h H}, dengan T sebagai himpunan waktu dan H ruang sampel. Suatu proses stokastik dikatakan sebagai proses stokastik waktu diskrit jika T =. {0, 1, 2, 3,...}, dan proses stokastik dikatakan sebagai proses stokastik waktu kontinu jika T =. [0, ). Pada model epidemi RMWD SIR, St), It), dan Rt) merupakan banyaknya individu susceptible, infected, dan recovered pada waktu t. 3. Rantai Markov Waktu Diskrit Menurut Parzen [7], suatu proses stokastik dikatakan sebagai proses Markov {Xt), t 0} jika diberikan nilai t 1 < t 2 <...< t n dengan t 1, t 2,..., t n t, maka Xt n ) hanya dipengaruhi oleh Xt n 1 ) atau probabilitas dari beberapa kejadian yang akan datang hanya dipengaruhi oleh kejadian sebelumnya dan tidak dipengaruhi kejadian waktu lampau. Rantai Markov waktu diskrit adalah proses Markov dengan ruang sampel berhingga dan waktu diskrit T = {0, 1, 2, 3,...}. Berikut definisi rantai Markov waktu diskrit dan probabilitas transisi menurut Allen [2]. Definisi 3.1. Suatu proses stokastik dengan waktu diskrit {X t } dikatakan memenuhi sifat Markov jika P {X t = i t X 0 = i 0,..., X t 1 = i t 1 } = P {X t = i t X t 1 = i t 1 }. Proses ini disebut rantai Markov, atau lebih spesifik lagi disebut rantai Markov waktu diskrit. Definisi 3.2. Probabilitas transisi satu langkah dari state i pada waktu t ke state j lada waktu t+1 yang dinyatakan sebagai p ij t) didefinisikan sebagai p ij t) = P {X t+1 = j X t = i},

3 4. Model Epidemi RMWD SIR Model epidemi SIR pertama kali diperkenalkan tahun 1927 oleh Kermack dan McKendrik [5]. Allen [2] pada tahun 2003 menjelaskan tentang lima asumsi model epidemi RMWD SIR yaitu 1) ukuran populasi konstan sebesar N, 2) laju kelahiran sama dengan laju kematian, 3) populasi homogen, 4) individu yang lahir adalah individu sehat yang rentan terhadap penyakit, dan 5) individu yang sudah sembuh mempunyai kekebalan yang permanen. Berdasarkan asumsi ukuran populasi konstan sebesar N, berarti St) + It) + Rt) = N. Jika dimisalkan St) = s dan It) = i, maka St) dan It) mempunyai fungsi probabilitas bersama p s,i) t) = P {St) = s, It) = i}, dengan s, i = 1, 2,..., N dan t = 0, t, 2 t,.... Perubahan banyaknya individu susceptible, infected dan recovered dalam selang waktu t disebut transisi. Dipilih t cukup kecil sehingga dalam selang waktu t paling banyak terjadi satu individu yang bertransisi. Jika perubahan banyaknya individu S pada selang waktu t yaitu y dan perubahan banyaknya individu I pada selang waktu t yaitu z dengan y, z = 1, 0, 1 maka probabilitas transisi dari state s, i) ke state s + y, i + z) adalah p s+y,i+z),s,i) t) = P { S, I) = y, z) St), It)) = s, i)}, dengan S = St + t) St) dan I = It + t) It). Menurut Allen [3], model epidemi RMWD SIR yaitu β i s t, y, z) = 1, 1) N γi t, y, z) = 0, 1) bi t, y, z) = 1, 1) p s+y,i+z),s,i) t) = bn s i) t, y, z) = 1, 0) 1 β i N s t) + γi + bn s) ) ) t, y, z) = 0, 0) 0, yang lain, dengan β adalah laju kontak, b adalah laju kematian yang nilainya sama dengan laju kelahiran, dan γ adalah laju penyembuhan. 5. Hasil dan Pembahasan 5.1. Model Epidemi RMWD SIR dengan Dua Penyakit. Model epidemi RMWD SIR dengan dua penyakit adalah pengembangan dari model RMWD

4 SIR. Konstruksi model RMWD SIR dengan dua penyakit mengacu pada Allen [3], dengan memberikan asumsi tambahan yaitu terdapat cross immunity. Cross immunity adalah suatu kondisi jika individu sudah terinfeksi suatu penyakit maka individu tersebut tidak bisa terinfeksi oleh penyakit yang lain dalam waktu yang sama. Variabel random pada model RMWD SIR dengan dua penyakit ada tiga, yaitu St) yang menunjukkan banyaknya individu susceptible pada waktu t, I k t) yang menunjukkan banyaknya individu infected oleh penyakit 1 dan 2 pada waktu t, dan Rt) yang menunjukkan banyaknya individu recovered pada waktu t. Ukuran populasi pada model RMWD SIR diasumsikan konstan sehingga total individu pada masing-masing kelompok pada waktu tertentu sama dengan N atau St) + I 1 t) + I 2 t) + Rt) = N. Jika St) = s dan k adalah I k t) = i k, maka probabilitas bersama St) dan I k t) yaitu p s,ik ) t) = P {St) = s, I k t) = i k }, dengan s, i k = 1, 2,..., N dan t = 0, t, 2 t,... Jika perubahan banyaknya individu s pada selang waktu t yaitu y dan perubahan banyaknya individu i k pada selang waktu t yaitu z, maka perpindahan dari state s, i) ke state s + y, i + z) pada selang waktu t mempunyai probabilitas transisi p s+y,ik +z),s,i k ) t) = P {St+ t), I k t+ t)) = s+y, i k +z) St), I k t)) = s, i k )}. Saat individu susceptible terinfeksi oleh penyakit k berarti terjadi transisi dari state s, i k ) ke state s 1, i k + 1). Jika dalam suatu populasi N terdapat i k individu yang terinfeksi penyakit k, maka probabilitas individu infected penyakit k melakukan kontak dengan individu susceptible sebesar i k N. Laju kontak untuk penyakit k dinyatakan sebagai β k. Probabilitas transisi dari state s, i k ) ke state s 1, i k + 1) adalah p s 1,ik +1),s,i k ) t) = β k i k N s t. Saat individu infected penyakit k mengalami kesembuhan, terjadi transisi dari state s, i k ) ke state s, i k 1). Jika γ k diasumsikan sebagai besar laju kesembuhan untuk penyakit k, maka probabilitas transisi dari state s, i k ) ke state s, i k 1) adalah p s,ik 1),s,i k ) t) = γ k i k t. Jika kelompok individu infected terjadi pengurangan, maka terdapat penambahan pada individu susceptible. Berarti terjadi perpindahan dari state s, i k ) ke state s + 1, i k 1). Perpindahan state ini terjadi karena terdapat kematian pada

5 kelompok individu infected, karena ukuran populasi diasumsikan konstan berarti terdapat satu kelahiran pada kelompok individu susceptible. Jika b k adalah laju kematian, maka probabilitas transisi dari state s, i k ) ke state s+1, i k 1) adalah p s+1,ik 1),s,i k ) t) = b k i k t. Jika terdapat satu kelahiran maka terjadi perpindahan dari state s, i k ) ke state s + 1, i k ). Ukuran populasi konstan berarti terdapat satu kematian, dalam hal ini kematian terjadi pada kelompok individu recovered. Jika laju kelahiran yang nilainya sama dengan laju kematian dinyatakan sebagai b k, maka probabilitas transisi dari state s, i k ) ke state s + 1, i k ) adalah p s+1,ik ),s,i k ) t) = b k N s i k ) t. Jika tidak terjadi perubahan banyaknya individu pada masing-masing kelompok dalam selang waktu t, maka tidak terjadi perpindahan state. Probabilitas transisi dari state s, i k ) ke state s, i k ) adalah i 1 p s,ik ),s,i k ) t) = 1 β 1 N s t+β i 2 2 N s t+ γ 1 i 1 +b 1 N s)+γ 2 i 2 +b 2 N s) ) ) t. Jadi, model RMWD SIR dengan dua penyakit adalah i β kn k s t, y, z) = 1, 1) p s+y,ik +z),s,i k ) t) = γ k i k t, y, z) = 0, 1) b k i k t, y, z) = 1, 1) b k N s i k ) t, y, z) = 1, 0) i 1 β 1N i 1 s t + β 2N 2 s t+ γ1 i 1 + b 1 N s) + γ 2 i 2 + b 2 N s) ) t), y, z) = 0, 0) 0, yang lain. 5.1) 5.2. Penerapan. Pada penerapan model epidemi RMWD SIR ini nilai parameter yang diberikan mengacu pada Kirupaharan [6]. Terdapat dua penyakit menyebar dalam suatu populasi dan dapat dimodelkan dengan model epidemi SIR. Diasumsikan terdapat cross immunity sehingga satu individu tidak bisa terkena dua penyakit pada waktu yang sama. Ukuran populasi N =100, nilai awal I 1 0) = I 2 0) = 1 dan S0) = 98, laju kontak β 1 = 0.01, β 2 = 0.01, laju penyembuhan penyakit γ 1 = 0.005, γ 2 = , dan laju kelahiran serta laju kematian untuk kedua penyakit b 1 = b 2 = 0. Dari penyelesaian model 5.1) dengan parameter dan nilai awal tersebut diperoleh nilai probabilitas transisi. Dengan diketahuinya probabilitas transisi, diketahui pula transisi yang terjadi dari state s, i k ) ke state s + y, i k + z) sehingga diperoleh banyaknya individu susceptible, infected, dan recovered pada waktu t. Banyaknya individu susceptible, infected,

6 dan recovered untuk t yang lebih besar ditentukan dengan menggunakan algoritme Allen [2] yang telah dimodifikasi. Banyaknya individu susceptible, infected, dan recovered dalam 250 satuan waktu pertama ditunjukkan pada Gambar 1. Gambar 1. Banyaknya individu susceptible, infected, dan recovered dalam 250 satuan waktu pertama pada model RMWD SIR dengan dua penyakit Banyaknya individu susceptible yang ditunjukkan dengan grafik berwarna biru mengalami penurunan karena terinfeksi penyakit satu dan penyakit dua. Penurunan individu susceptible dari nilai awal sebanyak 98 menjadi 16 individu pada t = 218. Bersamaan dengan penurunan banyaknya individu susceptible, banyaknya individu infected penyakit satu dan individu infected penyakit dua mengalami kenaikan. Banyaknya individu yang terinfeksi penyakit satu yang digambarkan dengan grafik berwarna merah mengalami kenaikan dari nilai awal sampai ke puncak epidemi pada t = 112 sebanyak 26 individu, setelah itu kembali menurun hingga tidak ada lagi yang terinfeksi penyakit satu pada waktu t = 218. Individu yang terinfeksi penyakit dua digambarkan dengan grafik berwarna ungu naik dari nilai awal 1 menjadi 11 individu saat t = 158, setelah itu menurun dan kembali mengalami kenaikan menjadi 11 saat t = 183 kemudian turun menjadi 0 saat t = 215. Sedangkan banyaknya individu recovered yang ditunjukkan dengan grafik berwarna hijau mengalami kenaikan dari nilai awal 0 menjadi 84 individu saat t = 218. Banyaknya individu yang terinfeksi penyakit satu sebanyak 0 saat t = 218 dan banyaknya individu yang terinfeksi penyakit dua sebanyak 0 saat t =

7 yang berarti setelah t = 218 tidak ada lagi individu infected yang dapat menginfeksi individu susceptible. Karena perubahan banyaknya individu pada masingmasing kelompok dipengaruhi oleh individu infected dan sudah tidak ada lagi individu infected yang menyebar dalam populasi, maka banyaknya individu pada masing-masing kelompok individu tidak lagi mengalami perubahan. Dari Gambar 1 dapat dilihat jika setiap individu infected mengalami kenaikan maka banyaknya individu susceptible mengalami penurunan. Jika individu infected mengalami penurunan maka banyaknya individu recovered akan mengalami kenaikan. Artinya perubahan banyaknya individu pada masing-masing kelompok dipengaruhi oleh individu infected. Untuk mempermudah mengamati perubahan banyaknya individu, ditampilkan tabel perubahan individu selama 10 satuan waktu pertama yang dapat dilihat pada Tabel 1. Tabel 1. Perubahan banyaknya individu S, I 1, I 2, dan R selama 10 satuan waktu pertama t S I 1 I 2 R Dari Tabel 1 dapat dilihat perubahan banyaknya individu infected dari I 2 1) = 1 ke I 2 2) = 2, artinya dalam selang waktu t = 1 terjadi satu transisi yaitu terdapat satu individu susceptible terinfeksi penyakit dua. Dengan dihitung menggunakan model 5.1), probabilitas transisi dari I 2 1) = 1 ke I 2 2) = 2 sebesar Saat t = 5 banyaknya individu I 2 = 2 dan banyaknya individu R = 1, sedangkan pada saat t = 6 banyaknya individu I 2 = 1 dan banyaknya individu R = 2. Berarti dalam selang waktu t terdapat satu transisi yaitu individu I 2 mengalami kesembuhan. Probabilitas transisi dari I 2 5) = 2 ke I 2 6) = 1 dihitung dengan menggunakan model 5.1) sebesar Dengan cara yang sama dapat dihitung probabilitas transisi untuk setiap waktu

8 berikut. 6. Kesimpulan Dari pembahasan yang telah dilakukan, dapat diambil kesimpulan sebagai 1) Model epidemi RMWD SIR dengan dua penyakit yaitu i β kn k s t, y, z) = 1, 1) p s+y,ik +z),s,i k ) t) = γ k i k t, y, z) = 0, 1) b k i k t, y, z) = 1, 1) b k N s i k ) t, y, z) = 1, 0) i 1 β 1N i 1 s t + β 2N 2 s t+ γ1 i 1 + b 1 N s) + γ 2 i 2 + b 2 N s) ) t), y, z) = 0, 0) 0, yang lain. 2) Penerapan yang mengacu pada Kirupaharan menunjukkan individu susceptible mengalami penurunan seiring dengan bertambahnya jumlah individu infected. Saat individu infected mengalami penurunan, individu recovered mengalami kenaikan. Epidemi untuk penyakit satu berakhir pada t = 218 sedangkan epidemi untuk penyakit dua berakhir pada t = 215. Setelah epidemi kedua penyakit berakhir, banyaknya individu pada masing-masing kelompok tidak lagi mengalami perubahan. Daftar Pustaka 1. Ackleh, A.S. and L.J.S. Allen, Competitive Exclusion in SIS and SIR Epidemic Models with Total Cross Immunity and Density-Dependent Host Mortality, Discrete and Continuous Dynamical System ), Allen, L. J. S., An Introduction to Stochastic Processes with Applications to Biology, Prentice Hall, Upper Saddle River, New Jersey, Allen, L. J. S., An Introduction to Stochastic Epidemic Models, Texas Tech University, Texas, Hethcote, H. W., The Mathematics of Infectious Diseases, SIAM Review ), Kermack, W. O. and A. G. McKendrick, A Contribution to the Mathematical Theory of Epidemics, Proceeding of the Royal Society of London, Series A, Containing Papers of a Mathematical and Physical Character ), Kirupaharan, N., Deterministic and Stochastic Epidemic Models with Multiple Pathogens, A Dissertation in Mathematics, Texas Tech University, Texas, Parzen, E., Stochastic Process, Holden-Day,Inc., United States of America,