MODEL EPIDEMI CONTINUOUS TIME MARKOV CHAIN (CTMC) SUSCEPTIBLE INFECTED RECOVERED (SIR)

Transkripsi

1 MODEL EPIDEMI COTIUOUS TIME MARKOV CHAI (CTMC) SUSCEPTIBLE IFECTED RECOVERED (SIR) oleh DETA URVITASARI M1836 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika FAKULTAS MATEMATIKA DA ILMU PEGETAHUA ALAM UIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA 212 i

2 perpustakaan.uns.ac.id ii

3 ABSTRAK Deta urvitasari, 212. MODEL EPIDEMI COTIUOUS TIME MARKOV CHAI (CTMC) SUSCEPTIBLE IFECTED RECOVERED (SIR). Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sebelas Maret. Model epidemi CTMC SIR merupakan salah satu model yang menggambarkan penyebaran penyakit dengan karakteristik, setiap individu sembuh memiliki kekebalan tubuh. Model tersebut menggambarkan transisi individu dari kelompok susceptible ke infected dan dari kelompok infected ke recovered dalam waktu kontinu. Pada penyebaran penyakit, parameter yang sangat berperan adalah β dan γ yang nilainya tidak diketahui secara pasti tetapi dapat diestimasi menggunakan metode maksimum likelihood. Tujuan dari penelitian ini adalah menurunkan ulang model CTMC SIR dengan terlebih dahulu menentukan asumsi, probabilitas transisi, dan matriks probabilitas transisi. Selanjutnya, mengestimasi parameter β dan γ dengan menggunakan metode maksimum likelihood dan menetukan probabilitas berakhir epidemi. Berdasarkan hasil estimasi, diperoleh suatu model yang dapat diterapkan pada penyakit smallpox di igeria. Model yang diperoleh dapat disimulasikan dengan pengambilan nilai awal jumlah individu terinfeksi I() yang berbeda. Sehingga, berdasarkan hasil simulasi diperoleh bahwa pemberian nilai I() yang berbeda dapat berpengaruh terhadap periode infeksi dan jumlah maksimum individu terinfeksi. Kata kunci: CTMC, likelihood, SIR iii

4 ABSTRACT Deta urvitasari, 212. MODEL OF COTIUOUS TIME MARKOV CHAI (CTMC) SUSCEPTIBLE IFECTED RECOVERED (SIR) EPIDEMIC. Faculty of Mathematics and atural Sciences, Sebelas Maret University. Model of CTMC SIR epidemic is one of model that describe the spread of the disease with the charactheristics that individuals who have recovered immune. In the model of CTMC SIR, there are a transition from susceptible to infected and infected to recovered in a continuous time interval. There are parameters that influence the spread of the disease, i.e infection rate and rate of recovery. The value of the parameters are not known exactly, but it can be estimated using the method of maximum likelihood estimation. The aims of the research are to reformed of CTMC SIR model by determined the assumptions, the transition probability, and the transition matrix of CTMC SIR model. Furthemore, the parameters in the model i.e β and γ will be estimated using maximum likelihood estimation and determine probability of the end of epidemic. Based on the estimation results, to illustrate an application of the model is taken to refer the case smallpox in igeria. The model can be simulated by taking some of the number of individuals infected at the time to zero, I(). Based on the graph simulation that the initial values I() can influence the infection period and the maximum number of individuals infected. Key words: CTMC, likelihood, SIR iv

5 MOTO Karena sesungguhnya sesudah kesulitan itu ada kemudahan. Sesungguhnya sesudah kesulitan itu ada kemudahan. (Q.S. Al - Insyirah : 5-6) Being in the right place at the right time. (Bill Gates) Reach your ideal with attention, heart, and spirit. (Penulis) v

6 PERSEMBAHA Karya ini kupersembahkan untuk Ayah, Ibu, dan Prima Bayu Sulistyo. vi

7 KATA PEGATAR Puji syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT, yang telah melimpahkan rahmat dan karunia-ya, sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Penyusunan skripsi ini tidak lepas dari bantuan beberapa pihak, oleh karena itu penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada 1. Bapak Dr. Sutanto, DEA. selaku Dosen Pembimbing I dan Ibu Sri Kuntari, M.Si. selaku Dosen Pembimbing II yang telah memberikan bimbingan dan dukungan dalam penulisan skripsi ini, 2. Ibu Dra. Respatiwulan, M.Si. yang telah memberikan saran dan masukan dalam proses skripsi ini, 3. Ibu Dra. Purnami Widyaningsih, M.App.Sc. yang telah memberikan masukan dalam proses skripsi ini, 4. semua pihak yang turut membantu dalam penulisan skripsi ini. Semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi semua pihak yang membutuhkan. Surakarta, Juli 212 Penulis vii

8 Daftar Isi ABSTRAK iii ABSTRACT iv MOTO v PERSEMBAHA vi KATA PEGATAR vii DAFTAR ISI ix DAFTAR GAMBAR x I PEDAHULUA Latar Belakang Masalah Perumusan Masalah Tujuan Manfaat II LADASA TEORI Tinjauan Pustaka Model Susceptible Infected Recovered (SIR) Model SIR Deterministik Proses Stokastik Proses Markov Metode Estimasi Maksimum Likelihood Embedded Continuous Time Markov Chain Kerangka Pemikiran... commit.... to. user III METODE PEELITIA 1 viii

9 IV PEMBAHASA Model CTMC SIR Estimasi Parameter Probabilitas Berakhir Epidemi Penerapan Kasus V PEUTUP Kesimpulan Saran DAFTAR PUSTAKA 24 ix

10 Daftar Gambar 2.1 Skema Model SIR Pola Penyebaran Jumlah Individu Terinfeksi untuk I() = 1,- I() = 2, dan I() = Pola Penyebaran Jumlah Individu Terinfeksi untuk I() = 1,- I() = 2, dan I() = 5 berdasarkan Probabilitas Berakhir Epidemi 21 x

11 Bab I PEDAHULUA 1.1 Latar Belakang Masalah Kesehatan merupakan faktor terpenting dalam kehidupan manusia. Perubahan cuaca, dan pola hidup serta kondisi lingkungan yang kurang sehat dalam suatu populasi merupakan beberapa faktor yang dapat menyebabkan timbulnya penyakit, baik secara langsung maupun tidak langsung. Penyakit menular yang disebabkan oleh jamur, bakteri maupun virus sudah menjadi masalah umum di berbagai belahan dunia. Penularan suatu penyakit dari satu individu ke individu lain dapat melalui kontak langsung, saluran napas maupun saluran cerna. Epidemi adalah suatu penyakit menular yang berjangkit dalam masyarakat yang jumlah penderitanya meningkat pada waktu dan daerah tertentu. Di Indonesia, epidemi diartikan sebagai wabah, yaitu penyakit menular yang dengan cepat berjangkit di daerah yang luas dan menimbulkan banyak korban. Epidemi tidak hanya menimbulkan tingginya angka kematian tetapi juga dapat mengakibatkan kerugian finansial yang besar. Sehingga, perlu dilakukan pengendalian terhadap penyebaran penyakit. Salah satu langkah awal dalam usaha pengendalian tersebut adalah mempelajari pola penyebaran penyakit. Model matematika merupakan salah satu alat yang dapat digunakan dalam menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan kehidupan manusia. Salah satu penerapannya, yaitu analisis pola penyebaran suatu penyakit. Untuk mengetahui proses penyebaran penyakit, dikenal beberapa model penyebaran penyakit (epidemi), baik ditinjau secara deterministik maupun probabilistik. Seiring perkembangan teknologi, telah banyak penelitian yang dilakukan untuk mengetahui pola penyebaran suatu epidemi dalam suatu populasi. Salah 1

12 satu model epidemi adalah model SIR. Menurut Brauer et al. [4], model SIR merupakan suatu model matematika yang menggambarkan penyebaran epidemi, dengan setiap individu yang telah sembuh dari infeksi mempunyai sistem kekebalan tubuh. Pada model SIR, populasi terbagi dalam tiga kelompok, yaitu susceptible (S), infected (I), dan recovered (R). Kelompok S terdiri dari individu sehat yang belum terinfeksi penyakit tetapi rentan terhadap infeksi, kelompok I terdiri dari individu yang terinfeksi penyakit, dan kelompok R terdiri dari individu yang mempunyai sistem kekebalan tubuh karena telah sembuh dari infeksi penyakit. Dalam kondisi awal, total jumlah popolasi merupakan penjumlahan dari nilai awal dari jumlah individu rentan penyakit, jumlah individu terinfeksi, dan jumlah individu sembuh sehingga dapat dituliskan sebagai = S()+I()+R(). Model SIR dapat ditinjau secara deterministik maupun probabilistik. Pola penyebaran epidemi yang ditinjau secara probabilistik terbagi menjadi tiga model, yaitu DTMC (discrete time markov chain), CTMC (continuous time markov chain), dan SDE (stochastic differential equation). Model DTMC merupakan suatu model penyebaran penyakit dalam selang waktu diskrit, t =, 1, 2,...T. Model tersebut menggambarkan perpindahan individu dari kelompok S ke I dan dari kelompok I ke R yang diambil secara random dalam suatu populasi. Model CTMC merupakan suatu model penyebaran penyakit dalam selang waktu kontinu, t = [, T ). Model tersebut menggambarkan perpindahan individu dari kelompok S ke I dan dari kelompok I ke R yang diambil secara random dalam suatu populasi. Model SDE merupakan suatu model penyebaran penyakit dalam selang waktu kontinu, t = [, T ). Model tersebut menggambarkan perubahan jumlah individu pada kelompok S, I, dan R yang diambil secara random dalam suatu populasi. Menurut Parzen [11], perubahan jumlah individu terinfeksi berkaitan erat dengan probabilitas suatu kejadian. Dengan demikian, penyebaran epidemi suatu penyakit merupakan suatu kejadian random yang bergantung pada waktu dan 2

13 berkaitan dengan probabilitas, atau dapat disebut sebagai suatu proses stokastik. Suatu epidemi diharapkan berhenti sebelum menginfeksi seluruh individu dalam suatu populasi karena berakibat dapat menimbulkan kerugian yang cukup besar. Suatu epidemi dikatakan berhenti apabila tidak ada lagi individu yang terinfeksi. Pada penelitian ini, penulis ingin mengetahui pola penyebaran penyakit tertentu yang ditinjau secara probabilistik. Model yang digunakan adalah model continuous time markov chain (CTMC) susceptible infecected recovered (SIR). Model tersebut mengkaji mengenai perubahan variabel random diskrit, yaitu jumlah individu yang rentan terhadap infeksi (S) dan jumlah individu terinfeksi (I) dalam selang waktu kontinu. 1.2 Perumusan Masalah Berdasarkan latar belakang masalah, diperoleh perumusan masalah 1. bagaimana menurunkan ulang model epidemi CTMC SIR? 2. bagaimana menerapkan dan mensimulasikan model CTMC SIR pada suatu kasus epidemi dengan pengambilan I() yang berbeda? 1.3 Tujuan Tujuan penelitian ini adalah 1. dapat menurunkan ulang model epidemi CTMC SIR, 2. dapat menerapkan dan mensimulasikan model pada suatu kasus epidemi dengan pengambilan I() yang berbeda. 1.4 Manfaat Dari penelitian ini diharapkan dapat menambah pemahaman mengenai penerapan model matematika terhadap pola penyebaran suatu penyakit epidemi. 3

14 Bab II LADASA TEORI 2.1 Tinjauan Pustaka Salah satu penelitian yang telah membahas mengenai model epidemi yang ditinjau secara probabilistik, yaitu The SIS and SIR stochastic epidemic models revisited oleh Altalejo [1]. Dalam penelitian ini, akan dibahas mengenai penurunan ulang model epidemi SIR ditinjau secara probabilistik dengan menggunakan CTMC (continuous time markov chain) yang merujuk dari Brauer et al. [4]. Selanjutnya, model tersebut diterapkan dalam suatu kasus epidemi dan disimulasikan pada beberapa nilai I() yang berbeda. Untuk menurunkan ulang model CTMC SIR, diuraikan terlebih dahulu beberapa hal yang mendasarinya Model Susceptible Infected Recovered (SIR) Model SIR merupakan suatu model yang menggambarkan pola penyebaran suatu penyakit dari satu individu ke indivu yang lain. Menurut Brauer et al. [4], pada model SIR individu yang sembuh dari infeksi memiliki kekebalan tubuh. Total populasi dari model epidemi SIR terbagi menjadi tiga kelompok, yaitu kelompok susceptible (S), infected (I), dan recovered (R). Kelompok S merupakan kelompok individu sehat dan belum terinfeksi penyakit tetapi rentan terinfeksi, kelompok I merupakan kelompok individu terinfeksi, dan kelompok R merupakan kelompok individu yang telah sembuh dari infeksi. Pada model SIR, penyebaran penyakit terjadi apabila terdapat perpindahan individu dari kelompok S ke I dengan laju penularan sebesar β dan dari kelompok I ke R dengan laju kesembuhan sebesar γ, yang ditunjukkan oleh Gambar (2.1). Setiap individu susceptible akan menjadi terinfeksi apabila berinteraksi dengan individu infected dengan laju penularan sebesar β, sedangkan nilai parameter γ 4

15 Gambar 2.1. Skema Model SIR menunjukkan besarnya laju kesembuhan pada kelompok infected Model SIR Deterministik Model SIR deterministik merupakan salah satu model epidemi yang digunakan untuk mengetahui pola penyebaran suatu penyakit. Asumsi dari model SIR deterministik sebagai berikut 1. populasi tertutup (konstan) dan dalam jumlah yang besar, 2. populasi bercampur homogen sehingga setiap individu mempunyai karakteristik yang sama, 3. tidak memperhatikan faktor kelahiran dan kematian, 4. hanya satu penyakit yang menyebar dalam populasi. Menurut Hethcote [7], jumlah individu pada kelompok S, I, dan R pada waktu t masing - masing dinyatakan sebagai S(t), I(t), dan R(t). Karena diasumsikan bahwa populasi konstan sehingga S(t) + I(t) + R(t) =, dengan merupakan total populasi. Besarnya laju penularan dan laju kesembuhan masingmasing dinyatakan dengan β, dan γ. Apabila setiap individu infected, dengan kemungkinan I berinteraksi dengan individu susceptible dengan laju penularan sebesar β, akan berakibat jumlah individu susceptible berkurang sebesar β IS. Pengurangan sebesar β IS pada kelompok susceptible mengakibatkan penambahan pada kelompok infected. Dikarenakan besarnya laju kesembuhan dinyatakan sebagai γ sehingga kesembuhan pada commit kelompok to user infected sebesar γi. Menurut 5

16 Brauer et al. [4], model SIR deterministik dinyatakan sebagai ds dt = β IS, di dt = β IS γi, dr dt = γi. (2.1) Pada persamaan (2.1), ds dt, di dr, dan dt dt masing - masing menunjukkan perubahan jumlah individu pada kelompok susceptible, infected, dan recovered Proses Stokastik Menurut Taylor dan Karlin [12], proses stokastik merupakan sekumpulan variabel random {X l (y)/l ϵ L, y ϵ Y } dengan L himpunan indeks dan Y ruang sampel. Himpunan indeks L sering dinyatakan sebagai himpunan waktu. Himpunan L dikatakan kontinu apabila L berada pada interval [, L]. Sedangkan, himpunan L dikatakan diskrit apabila L berada pada, 1, 2,..., L. Menurut guyen [9], proses stokastik merupakan kumpulan variabel random yang dinotasikan dengan X l atau X(l), dengan l merupakan indeks yang menjelaskan waktu. Proses stokastik terbagi dalam empat kategori yang berbeda tergantung l atau X l, yaitu 1. discrete processes : l dan X l diskrit, sebagai contoh discrete time markov chain (DTMC), 2. continuous time discrete state processes : (X l ) diskrit tetapi l kontinu pada interval bilangan real R, sebagai contoh (a) poisson process (b) continuous time markov chain (CTMC) (c) queuing processes 3. continuous processes : l dan Xcommit l kontinu, to user 4. discrete time continuous state processes : l diskrit tetapi X l kontinu. 6

17 2.1.4 Proses Markov Menurut Taylor dan Karlin [12] serta Parzen [11], proses stokastik dengan l diskrit {X(l), l =, 1, 2,...} maupun proses stokastik dengan l kontinu {X(l), l } dapat dikatakan sebagai proses Markov, apabila diberikan suatu nilai X l, maka nilai X(m) dengan m > l tidak bergantung pada nilai X(u) dengan u < l. Sehingga, probabilitas bersyarat dari X(l n ) dengan syarat X(l 1 ),..., X(l n 1 ) hanya bergantung pada nilai X(l n 1 ). Jika diberikan suatu nilai tertentu x 1,..., x n, maka probabilitas bersyarat tersebut adalah P [X(l n ) x n X(l 1 ) = x 1,..., X(l n 1 ) = x n 1 ] = P [X(l n ) x n X(l n 1 ) = x n 1 ] Suatu nilai tertentu x dikatakan sebagai suatu state dari proses stokastik {X l,l ϵ L} jika terdapat l dalam L. Sehingga, probabilitas P [x h < X t < x + h] bernilai positif untuk setiap h >. Selanjutnya, himpunan nilai yang mungkin dalam suatu proses stokastik dinamakan ruang state. Suatu ruang state disebut diskrit jika terdiri dari state yang memuat bilangan berhingga (finite) ataupun state yang memuat bilangan countable yang tak berhingga (infinite). Suatu proses Markov yang mempunyai ruang state diskrit dinamakan rantai Markov (Markov chain) Metode Estimasi Maksimum Likelihood Menurut Brauer et al. [4], parameter - parameter pada model CTMC SIR dapat diestimasi dengan menggunakan metode maksimum likelihood. Bain dan Engelhardt [3], memaparkan definisi dari fungsi likelihood sebagai berikut. Definisi Statistik W = w(x 1, X 2,..., X n ) digunakan untuk mengevaluasi nilai dari τ(θ) disebut sebagai estimator dari τ(θ) yang dinotasikan dengan τ( θ) dan suatu observasi dari statistik w = w(x 1, x 2,..., x n ) merupakan nilai estimasi dari τ(θ). Definisi Fungsi likelihood dapat didefinisikan sebagai fungsi kepadatan probabilitas dari n variabel random X 1, X 2,..., X n yang dievaluasi pada titik 7

18 x 1, x 2,..., x n, yaitu f(x 1, x 2,..., x n ). Untuk suatu nilai tertentu x 1, x 2,..., x n, fungsi likelihood adalah fungsi dari θ yang dinotasikan dengan L(θ). Apabila dimisalkan X 1, X 2,..., X n merupakan suatu sampel random dari f(x n, θ), maka L(θ) = f(x 1 ; θ)f(x 2 ; θ)... f(x n ; θ). Definisi Misalkan L(θ) = f(x 1,..., x n ; θ),dengan θ ϵ Ω merupakan fungsi kepadatan probabilitas bersama dari X 1,..., X n. Jika diberikan suatu himpunan observasi (x 1,..., x n ), nilai θ pada Ω dengan L(θ) maksimum disebut estimasi maksimum likelihood dari θ. Sehingga θ merupakan estimator dari θ, dan berlaku f(x 1,..., x n ; θ) = max f(x 1,..., x n ; θ). θϵω Pada Definisi 2.1.3, L(θ) mencapai maksimum apabila d L(θ) =. (2.2) dθ Selanjutnya, jika nilai θ pada L(θ) maksimum, maka nilai loglikelihood dari L(θ) juga maksimum. Sehingga diperoleh d ln L(θ) =. dθ Embedded Continuous Time Markov Chain Menurut ielsen [1], apabila proses transisi terjadi dari state i menuju state j dengan j i, maka probabilitasnya sebesar V ij (h) = P r[x(h) = j \ X(h) i, X() = i] = P ij(h) 1 P ii (h) (2.3) dengan V ij merupakan probabilitas transisi pada embedded markov chain. Menurut Brauer et al. [4] embedded markov chain dapat digunakan dalam proses berakhirnya epidemi. Dalam hal ini, diperlukan perhitungan probabilitas transisi dari state (s, i), dengan s =, 1,..., dan i =, 1,..., s. Pada proses berakhirnya suatu epidemi, embedded markov chain hanya mementingkan probabilitas transisi. 8

19 2.2 Kerangka Pemikiran Berdasarkan tinjauan pustaka, dapat disusun suatu kerangka pemikiran untuk menyelesaikan permasalahan dalam penelitian ini. Pada penyebaran epidemi dalam suatu populasi, setiap individu mempunyai kekebalan tubuh sehingga individu yang telah sembuh tidak dapat terinfeksi kembali dan digambarkan melalui model SIR. Apabila ditinjau secara probabilistik, penyebaran epidemi diartikan sebagai suatu proses stokastik yang dapat digambarkan dalam suatu model, yaitu model epidemi CTMC SIR. Pada model tersebut variabel random yang dikaji adalah variabel random jumlah individu yang rentan terhadap infeksi penyakit S(t) dan jumlah individu terinfeksi I(t) dalam selang waktu kontinu t = [, T ]. Penurunan ulang model CTMC SIR dilakukan dengan menentukan besarnya probabilitas transisi terlebih dahulu. Terdapat parameter laju penularan dan laju kesembuhan yang berpengaruh secara signifikan terhadap penyebaran penyakit. ilai dari kedua parameter tersebut tidak diketahui secara pasti tetapi dapat diestimasi. Pada penelitian ini, metode estimasi parameter yang digunakan adalah metode estimasi maksimum likelihood. Suatu epidemi dikatakan berakhir jika tidak ada individu yang terinfeksi. Dengan kata lain, jumlah individu terinfeksi pada waktu t adalah nol. Selanjutnya, melalui hasil simulasi dapat digambarkan pola penyebaran suatu penyakit. Sebelum melakukan simulasi terhadap model yang diperoleh, terlebih dahulu menentukan asumsi, probabilitas transisi, dan matriks probabilitas transisi untuk menurunkan ulang model CTMC SIR. Selanjutnya, mengestimasi parameter dan menentukan probabilitas berakhir epidemi dengan menggunakan embedded markov chain. Berdasarkan hasil estimasi parameter, diperoleh suatu model yang dapat diterapkan dalam suatu kasus epidemi. 9

20 Bab III METODE PEELITIA Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah studi literatur, yaitu dengan cara mempelajari materi dari berbagai referensi antara lain buku - buku, artikel ilmiah, dan jurnal - jurnal yang sesuai dengan tujuan penelitian. Adapun langkah - langkah yang ditempuh dalam mencapai tujuan penelitian adalah 1. menurunkan ulang model CTMC SIR yang terdiri dari (a) menentukan asumsi model CTMC SIR, (b) menentukan probabilitas transisi individu susceptible (S) dan individu infected (I), (c) menentukan matriks probabilitas transisi pada individu susceptible (S) dan individu infected (I). 2. mengestimasi nilai parameter yang berpengaruh terhadap penyebaran suatu penyakit dengan menggunakan metode maksimum likelihood, 3. menentukan probabilitas berakhir epidemi dengan embedded markov chain, 4. menerapkan model pada suatu kasus epidemi dengan simulasi untuk nilai I() yang berbeda, 5. memberikan interpretasi terhadap hasil simulasi. 1

21 Bab IV PEMBAHASA 4.1 Model CTMC SIR Pada bagian ini penurunan ulang dari model Continuous Time Markov Chain (CTMC) SIR mengacu pada Brauer et al. [4]. Menurut Brauer et al. [4], model CTMC SIR merupakan suatu fungsi probabilitas jumlah individu yang rentan terhadap infeksi dan jumlah individu terinfeksi pada waktu ke t. Hal ini dikarenakan terdapat dua variabel random independen, {S(t), I(t)} dan dapat dinyatakan sebagai R(t) = S(t) I(t). Sehingga, proses epidemi SIR dapat dipandang bivariat. Misalkan S(t) dan I(t) masing - masing merupakan jumlah individu yang rentan terhadap infeksi dan jumlah individu terinfeksi pada waktu t, maka fungsi probabilitas bersama diberikan p (s,i) = P rob[s(t) = s, I(t) = i] dengan t = [, T ], s = 1, 2,...,, dan i = 1, 2,...,. Selain itu, S dan I dipandang sebagai variabel random yang masing - masing dinyatakan dalam suatu sampel random s dan i. Perpindahan dari individu rentan ke individu terinfeksi disebut transisi. Dalam penelitian ini, dimungkinkan hanya ada satu individu yang bertransisi pada selang waktu yang sangat kecil. Sehingga, pada setiap waktu dalam interval t = [, T ], terjadi perubahan jumlah individu S, I, dan R yang dapat dinyatakan dalam suatu probabilitas. Jumlah individu yang rentan terhadap infeksi maupun jumlah indivdu terinfeksi dapat berubah setiap waktu dalam interval waktu t = [, T ]. Probabilitas berpindahnya jumlah individu rentan infeksi dari sejumlah s menjadi s + k dan berpindahnya jumlah individu terinfeksi dari sejumlah i menjadi i+j pada selang 11

22 waktu tertentu adalah p (s+k,i+j),(s,i) ( t) = P rob{( S, I) = (k, j) S(t), I(t)) = (s, i)} (4.1) Menurut Trapman [13], asumsi yang digunakan dalam penurunan model epidemi CTMC SIR adalah 1. penyakit menyebar pada suatu populasi yang tertutup sehingga tidak ada individu yang migrasi (masuk dan keluar) dari populasi tersebut, 2. pada kondisi awal terdapat m jumlah susceptible dan m jumlah infected, 3. populasi bercampur homogen, 4. model tidak memperhatikan faktor kelahiran dan kematian sehingga transisi pada kelompok S, I, dan R hanya melibatkan laju penularan dan laju kesembuhan, 5. setiap individu merupakan kelompok recovered jika periode infeksi pada kelompok infected berakhir, 6. hanya terdapat satu individu yang bertransisi dari s ke s + k dan dari i ke i + j pada selang waktu yang sangat kecil, 7. hanya terdapat satu penyakit yang menyebar dalam populasi tersebut. Berdasarkan asumsi ke enam, transisi terjadi pada selang waktu yang sangat kecil sehingga dimungkinkan hanya terdapat satu individu yang bertransisi, yaitu dari state (s, i) ke state (s 1, i + 1), dari state (s, i) ke (s, i 1), dan dari state (s, i) ke (s, i). Pada saat individu bertransisi dari (s, i) ke (s 1, i + 1) berarti jumlah individu sehat (S) berkurang satu, sedangkan jumlah individu terinfeksi (I) bertambah satu. Dengan demikian, terjadi transisi satu individu dari kelompok S ke kelompok I yang berakibat terjadi infeksi baru (penularan penyakit dari individu I ke individu S) melalui suatu interaksi. Jika β menyatakan besarnya laju penularan, I(t) menyatakan jumlah individu terinfeksi pada waktu t, S(t) menyatakan jumlah individu rentan terhadap 12

23 infeksi pada waktu t, dan menyatakan total populasi. Menurut Hethcote [6] βi(t) merupakan rata-rata jumlah penularan setiap individu susceptible dengan individu infected tiap satuan waktu. Sehingga, menurut Brauer et al. [4], besarnya probabilitas transisi dari state (s, i) ke state (s 1, i + 1) dalam selang waktu t adalah β is t + o( t) (4.2) dengan o( t) menunjukkan suatu nilai probabilitas yang sangat kecil dan tidak dapat dinyatakan dengan pasti. Pada saat jumlah individu bertransisi dari (s, i) ke (s, i 1), berarti jumlah individu terinfeksi berkurang satu. Hal ini disebabkan adanya perpindahan satu individu dari kelompok I ke kelompok R dengan laju kesembuhan sebesar γ. Sehingga, besarnya probabilitas transisi dari state (s, i) ke state (s, i 1) dalam selang waktu t adalah γi t + o( t). (4.3) Selain itu, saat jumlah individu bertransisi dari state (s, i) ke state (s, i), berarti tidak ada penambahan maupun pengurangan jumlah individu sehat dan individu terinfeksi. Dengan kata lain, tidak ada perpindahan satu individu dari kelompok S dan kelompok I. Sehingga, besarnya probabilitas transisi dari state (s, i) ke (s, i) adalah 1 (β is + γi ) t + o ( t). (4.4) Pada selang waktu yang sangat kecil, dimungkinkan hanya terdapat satu individu yang bertransisi. Dari suatu state ke state lainnya, kemungkinan jumlah individu yang bertransisi lebih dari atau sama dengan dua individu ( 2) sangatlah kecil. Oleh sebab itu, besarnya probabilitas transisi dengan jumlah individu yang bertransisi lebih dari sama dengan dua dalam selang waktu t adalah o ( t). (4.5) 13

24 Persamaan (4.2), (4.3), (4.4), dan (4.5) dapat dituliskan ulang dalam suatu sistem persamaan probabilitas transisi yang dinyatakan sebagai β is t + o( t), (k,j)=(-1,1); γi t + o( t), (k,j)=(,-1); p (s+k,i+j),(s,i) ( t) = 1 βis t γi t + o( t), (k,j)=(,); o( t), yang lain. (4.6) Persamaan (4.6) dapat dinyatakan dalam suatu matriks probabilitas transisi yang memuat besarnya probabilitas perpindahan individu dari state (s, i) menuju state (s+k, i+j). Matriks tersebut dimulai dari (k, j) = (, ) dan berakhir pada (k, j) = (, ). Jika P ( t) merupakan matriks probabilitas transisi pada selang waktu t, berdasarkan persamaan (4.6) dapat dituliskan sebagai berikut 1 1 Β is Γi Β is Γi P t 1 Β is Γi Γi Β is 1 Β is Γi Γi Β is Γi 1 Γi Jika dimisalkan bahwa matriks P ( t) dengan ukuran 2 x 2 memuat partisi yang menunjukkan transisi individu dari kelompok S, I, dan R dengan A 1 = 1 β is γi β is γi 1 β is γi γi β is,..., 1 Β is Γi Β is Γi A 1 Β is Γi commit to Β is Γi user Γi 1 Γi. 14

25 Sehingga, matriks P ( t) dapat dituliskan sebagai 1 A 1 P ( t) = A A 4.2 Estimasi Parameter Parameter pada model CTMC SIR dapat diestimasi dengan menggunakan metode maksimum likelihood. Dalam suatu rantai markov, fungsi likelihood merupakan hasil kali dari semua probabilitas yang mungkin. Pada model CTMC SIR dalam penelitian ini, terdapat tiga transisi yang mungkin, yaitu dari state (s, i) ke (s 1, i + 1), state (s, i) ke (s, i 1), dan state (s, i) ke (s, i) sehingga fungsi likelihood diberikan dalam persamaan (4.7) L = s,i p (s,i),(s 1,i+1) p (s,i),(s,i 1) p (s,i),(s,i). (4.7) Probabilitas transisi untuk transisi dari state (s, i) ke (s 1, i + 1), (s, i 1), dan (s, i) dalam selang waktu [, T ] masing-masing dinyatakan sebagai γi(t)dt, dan 1 βi(t)s(t) γi(t)dt. βi(t)s(t) T L(β, γ) = dt γi(t)dt 1 βi(t)s(t) γi(t)dt ( βi(t)s(t) exp + γi(t) + 1 βi(t)s(t) ) γi(t)dt. βi(t)s(t) dt, Menurut Clancy dan O eill [5], fungsi likelihood pada model epidemi dipengaruhi oleh fungsi kedatangan. Menurut Kypraios [8], suatu epidemi merupakan proses poisson dengan waktu antar kedatangan berdistribusi eksponensial sehingga dapat dinyatakan sebagai 15

26 Dalam hal ini, fungsi log-likelihood dapat dinyatakan sebagai ( βi(t)s(t) T ) ( βi(t)s(t) T ln(l(β, γ)) = ln dt dt + ln γi(t)dt ( ( + ln 1 βi(t)s(t) ) γi(t)dt ( 1 βi(t)s(t) γi(t)dt Persamaan maksimum likelihood dapat diperoleh dengan memaksimumkan fungsi log-likelihood. Dalam hal ini, memaksimumkan fungsi log-likelihood terjadi ketika turunan parsial fungsi tersebut terhadap suatu parameter sama dengan nol. Parameter-parameter pada model CTMC SIR adalah β dan γ. Fungsi loglikelihood untuk parameter β dikatakan maksimum apabila ) γi(t)dt )). ln(l(β, γ)) β = sehingga diperoleh (( + (( ( 1 βi(t)s(t) dt 1 T β + 1 ) I(t)S(t) T dt 1 βi(t)s(t) γi(t)dt ) I(t)S(t) dt ( I(t)S(t) dt + I(t)S(t) dt Dari persamaan (4.8) diperoleh 2β ( 1 βi(t)s(t) 1 β = I(t)S(t) dt = T γ I(t)S(t) ) I(t)S(t) dt + = ) )) I(t)S(t) dt γi(t)dt I(t)S(t) dt ) 1 β I(t)S(t) γi(t)dt I(t)dt. Fungsi loglikelihood untuk parameter γ dikatakan maksimum apabila = (4.8) (4.9) ln(l(β, commit γ) to ) user = γ sehingga diperoleh 16

27 ( 1 T ) T + γi(t)dt I(t)dt I(t)dt ( ) ( 1 T + 1 βi(t)s(t) γi(t)dt I(t)dt ( T γ I(t)dt I(t)dt I(t)dt T 1 βi(t)s(t) 1 γ I(t)dt 1 β I(t)S(t) γi(t)dt Dari persamaan (4.1) diperoleh γ = T β 2 ) ( I(t)dt I(t)S(t) dt γi(t)dt ) + ) I(t)dt = I(t)dt = = (4.1) I(t)dt (4.11) Dengan mensubstitusi persamaan (4.11) pada persamaan (4.9) akan diperoleh estimasi dari β yang dinyatakan 2β 2β 4β 3β I(t)S(t) dt =T I(t)S(t) dt =T ( T 2 ( T I(t)S(t) dt =2T T + β I(t)S(t) dt =T. I(t)S(t) I(t)dt 2 I(t)S(t) ) I(t)dt ) I(t)S(t) dt Sehingga diperoleh estimasi laju penularan (β) yang dinyatakan pada persamaan (4.12) T β = 3 T (4.12) I(t)S(t)dt. Dengan cara yang sama, yaitu mensubstitusikan persamaan (4.12) pada 17

28 persamaan (4.11) akan diperoleh estimasi untuk parameter γ yang dinyatakan ( ) T I(t)S(t) T dt 3 T γ = I(t)S(t)dt 2 I(t)dt γ = T T 3 2 I(t)dt 2T γ = 6 I(t)dt. Sehingga diperoleh estimasi laju kesembuhan (γ) yang dinyatakan pada persamaan (4.13) γ = 3 T I(t)dt. (4.13) 4.3 Probabilitas Berakhir Epidemi Menurut Brauer et al. [4], pada model epidemi SIR stokastik terdapat suatu distribusi yang berkaitan dengan berakhirnya epidemi. Suatu epidemi dikatakan berakhir apabila tidak ada individu yang terinfeksi atau nilai I(t) =. Probabilitas berakhirnya epidemi merujuk pada persamaan (2.3). Dalam hal ini, probabilitas transisi yang berkaitan dengan berakhirnya suatu epidemi adalah β is dan γi yang masing - masing menyatakan transisi dari (s, i) ke (s 1, i + 1) dan (s, i) ke (s, i 1). Sehingga besarnya probabilitas berakhirnya epidemi dinyatakan sebagai dan γi p s = γi + ( ) βis γ = γ + ( ) βs 1 p s = = βis γi + ( ) βis βs γ + ( βs ). (4.14) (4.15) Persamaan (4.14) dan (4.15) masing- masing menunjukkan probabilitas kesembuhan dari individu infected dan commit probabilitas to user terinfeksi (penularan) pada individu susceptible. 18

29 4.4 Penerapan Kasus Menurut Hethcote [7], smallpox merupakan salah satu contoh penyakit dengan tipe penyebarannya adalah SIR. Smallpox merupakan suatu penyakit yang ditularkan dari satu individu ke individu lain melalui perantara virus. Pada penerapan kasus dalam penelitian ini, data yang digunakan adalah data smallpox di igeria yang merujuk pada Andersson [2]. Pada kasus tersebut, diketahui total jumlah populasi sebesar = 12 dan periode terinfeksi T = 83. Besarnya laju penularan dan laju kesembuhan diestimasi menggunakan metode maksimum likelihood karena nilai dari kedua parameter tersebut tidak diketahui dengan pasti. Hasil estimasi masing - masing parameter tersebut sebesar β =, 158 dan γ =, 129. Berdasarkan persamaan (4.6), model penyebaran smallpox dinyatakan sebagai p (s+k,i+j),(s,i) ( t) =,158 is t + o( t), (k,j)=(-1,1); 12, 129i t + o( t), (k,j)=(,-1); 1,158is t, 129i t + o( t), (k,j)=(,); 12 o( t), yang lain. Selanjutnya, hasil simulasi model menggunakan program yang merujuk pada Brauer et al. [4], dengan algoritma sebagai berikut 1. memasukkan nilai laju penularan, laju kesembuhan, jumlah total populasi, lama periode infeksi, dan jumlah awal individu terinfeksi, 2. memasukkan nilai awal dari jumlah individu terinfeksi dan variabel waktu, 3. membangkitkan data random berdistribusi uniform (,1), 4. mencari besarnya probabilitas jumlah individu terinfeksi terhadap jumlah individu yang bertransisi, 5. menentukan waktu pada saat commit (j + 1) to dengan user j = 1, 2,... menggunakan data random pada langkah ke tiga, 19

30 6. mendefinisikan proses iterasi, yaitu membandingkan besarnya probabilitas transisi dari S ke I dan dari I ke R yang berpengaruh terhadap jumlah individu terinfeksi. Sehingga, diperoleh grafik perubahan jumlah individu terinfeksi dalam selang waktu t. Hasil simulasi model epidemi tersebut dapt ditunjukkan pada Gambar (4.1). 8 7 Jumlah Individu Terinfeksi Hari Gambar 4.1. Pola Penyebaran Jumlah Individu Terinfeksi untuk I() = 1, I() = 2, dan I() = 5 Berdasarkan Gambar (4.1) terlihat bahwa terdapat tiga pola penyebaran yang ditunjukkan oleh garis berwarna merah, biru dan hijau. Garis merah menunjukkan pola penyebaran saat I() = 1, garis biru menunjukkan pola penyebaran saat I() = 2, dan garis hijau menunjukkan pola penyebaran saat I() = 5. Sehingga, diperoleh jumlah maksimum individu terinfeksi berturut - turut adalah satu, dua, dan enam. Selain itu, diperoleh lamanya periode infeksi 2

31 berturut - turut adalah lima, sebelas, dan dua puluh delapan. Selanjutnya, dengan menggunakan probabilitas berakhir epidemi pada persamaan (4.15) diperoleh simulasi terhadap individu terinfeksi yang ditunjukkan dengan Gambar (4.2). Keterangan pada Gambar (4.2) merujuk pada Gambar Gambar 4.2. Pola Penyebaran Jumlah Individu Terinfeksi untuk I() = 1, I() = 2, dan I() = 5 berdasarkan Probabilitas Berakhir Epidemi (4.1) dengan jumlah maksimum individu terinfeksi berturut - turut adalah dua, enam, dan lima belas. Selain itu, lama periode infeksi berturut - turut adalah lima, empat puluh, dan delapan puluh. Oleh karena itu, berdasarkan hasil simulasi pada Gambar (4.1) dan (4.2) diperoleh bahwa semakin besar nilai awal yang diberikan pada jumlah individu terinfeksi, maka semakin lama periode berakhirnya infeksi. Selain itu, semakin besar nilai awal yang diberikan pada commit jumlah to user individu terinfeksi, maka semakin besar jumlah maksimum individu terinfeksi. 21

32 Bab V PEUTUP 5.1 Kesimpulan Dari hasil pembahasan diperoleh kesimpulan sebagai berikut 1. Model CTMC SIR dinyatakan sebagai β is t + o( t), (k,j)=(-1,1); γi t + o( t), p (s+k,i+j),(s,i) ( t) = 1 βis t γi t + o( t), (k,j)=(,); o( t), (k,j)=(,-1); yang lain. 2. Dengan metode estimasi maksimum likelihood diperoleh hasil estimasi terhadap parameter yang berpengaruh pada penyebaran penyakit, yaitu (a) estimasi terhadap parameter laju penularan sebesar T β = 3 T I(t)S(t)dt, (b) estimasi terhadap parameter laju kesembuhan sebesar γ = T 3 I(t)dt. 3. Berdasarkan grafik hasil simulasi pola penyebaran penyakit smallpox, diperoleh bahwa pemberian nilai awal jumlah individu terinfeksi (I()) dapat mempengaruhi lamanya periode infeksi dan jumlah maksimum individu terinfeksi. 22

33 5.2 Saran Pada penelitian ini hanya membahas mengenai model epidemi CTMC SIR yang dipengaruhi parameter laju penularan dan laju kesembuhan dalam populasi konstan. Oleh karena itu, model tersebut dapat dikembangkan dengan mempertimbangkan besarnya laju kelahiran dan kematian dalam populasi yang tidak konstan. 23

34 Daftar Pustaka [1] Altalejo, J., The SIS and SIR Stochastic Epidemic Models Revisited, Faculty of Mathematics, University Complutense of Madrid, Spain, 211. [2] Andersson, H. and Tom Britton, Stochastic Epidemic Model and Their Statistical Analysis, Group Financial Risk Control, Swedbank, Sweden, 2. [3] Bain, L. J. and M. Engelhardt, Introduction to Probability and Mathematical Statistics, 2 ed., Duxbury Press Belmont California, [4] Brauer, F., P. Driessche, and J. Wu, Mathematical Epidemiology, Springer, Februari 28. [5] Clancy, D. and Philip D. O eill, Bayesian Estimation of The Basic Reproduction umber in Stochastic Epidemic Models, Department of Mathematical Sciences, University of Liverpool, University of othingham, United Kingdom, 28. [6] Hetchote, H. W., The Mathematics of Infectious Disease, Journal of Siam Review 42 (2), no. 4, [7] Hethcote, H. W., The Basic Epidemiology Models: Models, Expressions for R Parameter Estimation, and Applications, Journal of Master Review 9 (25), [8] Kypraios, T., A ote Maximum Likelihood Estimation of The Initial umber of Susceptible in the General Stochastic commit to Epidemic user Model, Journal of Statistics and Probability Letters 19 (29), no. 18,

35 [9] guyen, V. M., Mathematical Modeling and Simulation, 21. [1] ielsen, S. F., Continuous Time Homogeneous Markov Chains, University of Copenhagen, Department of Mathematical Sciences, 29. [11] Parzen, E., Stochastic Processes, Holden-Day,Inc. United States of America, [12] Taylor, H. M. and S. Karlin, An Introduction to Stochastic Modeling, received ed., Academic Press, United States of America, [13] Trapman, J. P., On Stochastic Models For the Spread of Infections, Print Partners Ipkamp, Enschede,