Sekolah Menengah Kejuruan (SMK) MATEMATIKA LEMBAR KERJA SISWA PROGRAM LINIER IBROHIM AJI KUSUMA. Pendekatan Sainti k

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "Sekolah Menengah Kejuruan (SMK) MATEMATIKA LEMBAR KERJA SISWA PROGRAM LINIER IBROHIM AJI KUSUMA. Pendekatan Sainti k"

Transkripsi

1 Sekolah Menengah Kejuruan (SMK) MATEMATIKA LEMBAR KERJA SISWA PROGRAM LINIER X IBROHIM AJI KUSUMA Pendekatan Sainti k

2 Buku Guru Nama Kelas No. Absen

3 Matematika Lembar Kerja Siswa Program Linier Kurikulum Tingkat Satuan Pendidikan (KTSP Standar Isi 2006) Berdasarkan Pendekatan Saintifik untuk Siswa SMK Kelas X Penulis Cover Designer Pembimbing Penilai : Ibrohim Aji Kusuma : Ibrohim Aji Kusuma : Drs. Sahid, M.Sc. : Nur Insani, M.Sc. Nur Hadi Waryanto, S.Si., M.Eng. Anis Widiyanti, S.Si. Ukuran buku: 21 x 29,7 cm (A4) LKS ini disusun dan dirancang oleh penulis Dengan menggunakan Microsoft Office Word 2013

4 Standar Kompetensi Menyelesaikan masalah program linier. Kompetensi Dasar Membuat grafik himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linier. Menentukan model matematika dari soal cerita (kalimat verbal). Menentukan nilai optimum dari permasalahan program linier. Menerapkan garis selidik. Tujuan Pembelajaran Siswa mampu membuat grafik himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linier. Siswa mampu menentukan model matematika dari soal cerita (kalimat verbal). Siswa mampu menentukan nilai optimum dari permasalahan program linier menggunakan titik pojok. Siswa mampu menentukan nilai optimum dari permasalahan program linier menggunakan garis selidik. i

5 Kata Pengantar Lembar Kegiatan Siswa (LKS) berbasis Pendekatan Saintifik pada materi Program Linier ini dapat dijadikan sebagai acuan dalam pembelajaran bagi siswa Sekolah Menengah kejuruan (SMK) dan Madrasah Aliyah (MA) kelas X. LKS ini dikemas untuk bisa digunakan sebagai lembar kegiatan agar siswa dapat menemukan konsep-konsep pada materi Program Linier. Agar mudah dipelajari, LKS ini disajikan secara sistematis dengan pendekatan saintifik dan tampilan yang menarik. LKS ini menitikberatkan pada penemuan konsep-konsep dengan kemampuan manipulasi aljabar dan penerapannya dalam persoalan-persoalan nyata di kehidupan sehari-hari. Selain itu, LKS ini memfokuskan pada aktivitas siswa dalam mengkonstruksi sendiri pengetahuannya. Masalah diberikan kepada siswa bertujuan untuk mengetahui sejauh mana pemahaman siswa. Aktivitas kelas bertujuan agar siswa denga aktivitas yang dilakukannya dapat memahami konsep dan mengkonstruksi sendiri pengetahuannya. Latihan bertujuan agar siswa dapat berlatih soal-soal dari mengenai konsep yang sedang dipelajari. Rangkuman berisi ringkasan dari materi yang sedang dipelajari dan masih ada berbagi fitur yang terdapat pada LKS ini. Penyusun meyadari bahwa LKS ini masih memiiki kekurangan. Namun, peyusun berharap LKS ini dapat bermanfaat bagi siswa SMK yang menggunakannya. Kritik dan saran sangat diharapkan guna mengembangkan LKS ini ke arah yang lebih baik lagi. Penyusun, Ibrohim Aji Kusuma ii

6 FITUR LKS Pembuka Pertemuan Pembuka pertemuan berisi topik pembelajaran, kompetensi dasar, indikator, tujuan pembelajaran, petunjuk pembelajaran dan identitas pembelajaran. Judul Sub-Bab D. NILAI OPTIMUM Judul sub-bab menerangkan tentang sub-bab yang akan dipelajari dalam materi program linier. Masalah Masalah digunakan sebagai sarana untuk memfasilitasi peserta didik dalam proses menemukan konsep. iii

7 Ingat Kembali Ingat kembali berfungsi sebagai apersepsi yang membantu peserta didik untuk mengingat materi yang pernah dipelajari. Catatan Catatan bertujuan untuk membantu peserta didik untuk memahami materi yang dipelajari. Aktivitas Kelas Aktivitas kelas menuntun peserta didik agar dapat memahami penyelesaian masalah yang disajikan dan mengkonstruksi sendiri pengetahuannya melalui langkah-langkah yang runtut dan rinci. Latihan Soal Latihan soal bertujuan untuk memberikan penguatan tentang materi yang telah dipelajari serta menambah pemahaman peserta didik tentang materi tersebut. iv

8 Ringkasan Ringkasan berisi kesimpulan umum yang didapat setelah menyelesaikan semua masalah yang disajikan pada LKS Uji Kompetensi Uji kompetensi merupakan bagian yang berisi soal terkait kompetensi pengetahuan materi yang telah dipelajari, hal ini berguna sebagai evaluasi pembelajaran harian. v

9 DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL... i KATA PENGANTAR... ii FITUR LKS...iii DAFTAR ISI... vi PETA KONSEP... vii LKS 1 A PERTIDAKSAMAAN LINIER... 1 LKS 2 B SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINIER LKS 3 C MODEL MATEMATIKA LKS 4 D NILAI OPTIMUM LKS 5 E GARIS SELIDIK DAFTAR PUSTAKA vi

10 ` Peta Konsep Program Linier Prasyarat: Sistem Pertidaksamaan Linier Model Matematika Nilai Optimum: Titik Pojok Nilai Optimum: Garis Selidik MOTIVASI Dalam menjalankan aktivitas produksi dalam suatu perusahaan pastilah tersedia bahan baku, tenaga kerja, sarana produksi dan sebagainya. Seorang pengusaha harus mengkombinasikan semua faktor-faktor tersebut untuk menghasilkan suatu produk yang berkualitas namun paling menguntungkan bagi perusahaannya. Pemahaman yang baik tentang konsep program linier sangat membantunya untuk menyelesaikan permasalahan-permasalahan tersebut. vii

11 viii

12 Pertidaksamaan Linier A Kompetensi Dasar Membuat grafik himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linier. Indikator Pertidaksamaan linier ditentukan daerah penyelesaiannya. Tujuan Pembelajaran Siswa mampu menentukan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan linier. Petunjuk Pembelajaran Berdoalah sebelum mengerjakan LKS. Kerjakanlah LKS dengan jujur, kreatif, teliti dan pantang menyerah. Kerjakanlah LKS dengan baik dan benar. 1

13 A. PERTIDAKSAMAAN LINIER Pada semester sebelumnya, kamu telah mempelajari pertidaksamaan linier baik yang menggunakan satu variabel maupun dua variabel. Kali ini akan kita bahas kembali mengenai pertidaksamaan linier secara lebih detail dengan ditambah grafik daerah penyelesaiannya. Dalam kehidupan sehari-hari, sering kita jumpai kasus yang melibatkan pembatasan suatu hal. Contohnya, batas nilai cukup seorang pelajar agar dinyatakan lulus, lowogan pekerjaan yang mensyaratkan pelamar dengan batas usia tertentu, batas kecepatan maksimal kendaraan pada jalan raya dan sebagainya. Perhatikan masalah berikut! Masalah 1.1 Harga motor Andi lebih mahal daripada harga motor Doni, tetapi lebih murah dibanding harga motor Roni. Harga motor Budi lebih mahal daripada harga motor Doni. Harga motor Budi lebih murah daripada harga motor Andi. Anton berencana mengurutkan harga motor Andi, Budi, Doni, dan Roni berdasarkan harga motor yang lebih mahal. Dapatkah kamu membantu Anton dalam mengatasi permasalahan tersebut? Alternatif Penyelesaian: Pertama, kamu dapat memisalkan variabel-variabelnya sebagai berikut: Harga motor Andi = A Harga motor Doni = D Harga motor Budi = B Harga motor Roni = R Dari penjelasan permasalahan di atas, diperoleh informasi sebagai berikut. a. Motor Andi lebih mahal dibanding motor Doni A > D atau D < A b. Motor Andi lebih murah daripada motor Roni A < R atau R > A c. Motor Budi lebih mahal daripada harga motor Doni B > D atau D < B d. Motor Budi lebih murah daripada motor Andi B < A atau A > B Dengan mengamati pola di atas, yaitu A > D, R > A, B > D, dan A > B atau D < A, A < R, D < B dan B < A Urutan harga motor mereka dari termahal ke termurah adalah R > A > B > D. Jadi, kesimpulannya adalah motor Roni lebih mahal dibanding motor Andi, motor Andi lebih mahal daripada motor Budi dan motor Budi lebih mahal dibanding motor Doni. Diskusi 1 Diskusikan masalah urutan berikut menggunakan caramu sendiri! Pak Anto, Pak Yusuf, dan Pak Doni gemar memancing. Mereka selalu memancing ikan di sungai setiap Sabtu. Suatu hari, setelah mereka selesai memancing, mereka menghitung banyak ikan mereka masing-masing. Banyak ikan yang ditangkap Pak Anto ternyata lebih daripada banyak ikan yang ditangkap Pak Yusuf. Walaupun banyak ikan yang ditangkap Pak Anto dikali dua, juga masih lebih sedikit dibanding dengan tangkapan Pak Yusuf dan Pak Doni. Berdasarkan cerita di atas, dapatkah kamu menentukan urutan mereka berdasarkan banyak ikan yang mereka tangkap? 2

14 Kamu pasti sudah sering menjumpai soal di atas atau sejenisnya. Itulah yang disebut dengan pertidaksamaan linier. Kerjakanlah aktivitas kelas 1.1 dan aktivitas kelas 1.2 supaya kamu lebih memahami pertidaksamaan linier! Aktivitas Kelas 1.1. Pertidaksamaan linier satu variabel. Indikator: Pertidaksamaan linier ditentukan daerah penyelesaiannya. Aktivitas Kelas 1.1 Perhatikan gambar berikut ini! Tulislah panjang, lebar dan tinggi dari kerangka balok tersebut! Panjang = y + 8 cm Lebar Tinggi = y cm = y 5 cm Dari pengamatan yang kamu lakukan, berfikirlah kritis dan ajukan pertanyaanpertanyaan mengenai permasalahan tersebut! Berapa nilai y? Jika panjang kawat yang digunakan untuk membuat kerangka balok tidak lebih dari 156 cm, tentukan nilai y dan gambarlah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan linier tersebut menggunakan garis bilangan! 4p + 4l + 4t 156 4(y + 8) + 4(y) + 4(y 5) 156 4y y + 4y y y 144 y 12 3

15 Tentukan ukuran (panjang, lebar dan tinggi) maksimum dari balok tersebut? Karena y 12 maka, p p 20 l 12 t 12 5 t 7 Dari aktivitas yang kamu lakukan, buatlah kesimpulan menggunakan kata-katamu sendiri! y 12, panjang maksimum adalah 20 cm lebar maksimum adalah 12 cm tinggi maksimum adalah 7 cm Presentasikan dan diskusikan hasil yang kamu dapatkan di depan kelas! Ingat Kembali Pertidaksamaan Linier adalah kalimat terbuka yang variabelnya berderajat satu dengan menggunakan tanda hubung " <, >,, ". Catatan Pertidaksamaan linier yang mengandung satu variabel yang tidak diketahui disebut dengan pertidaksamaan linier satu variabel. Sedangkan pertidaksamaan linier dua variabel adalah pertidaksamaan linier yang mengandung dua variabel yang tidak diketahui. 4

16 Aktivitas Kelas 1.2. Pertidaksamaan linier satu variabel. Indikator: Pertidaksamaan linier ditentukan daerah penyelesaiannya. Aktivitas Kelas 1.2 Perhatikan gambar berikut ini! Tulislah panjang dan lebar persegi panjang tersebut! Panjang = x + 8 cm Lebar = x 2 cm Dari pengamatan yang kamu lakukan, berfikirlah kritis dan ajukan pertanyaanpertanyaan mengenai permasalahan tersebut! Berapa nilai x? Jika keliling persegi panjang tidak lebih dari 50 cm, tentukan nilai x dan gambarlah himpunanan penyelesaian dari pertidaksamaan linier tersebut menggunakan garis bilangan! 2 (p + l) 50 2p + 2l 50 2(x + 7) + 2(x 2) 50 2x x x x 40 x 10 5

17 Tentukan ukuran (panjang, lebar dan tinggi) maksimum dari persegi panjang tersebut? Karena x 10 maka, p p 17 l 10 2 l 8 Dari aktivitas yang kamu lakukan, buatlah kesimpulan menggunakan kata-katamu sendiri! x 10, panjang maksimum adalah 17 cm lebar maksimum adalah 8 cm Presentasikan dan diskusikan hasil yang kamu dapatkan di depan kelas! Kamu telah menyelesaikan aktivitas kelas 1.1 dan aktivitas kelas 1.2. Apa yang kamu ketahui mengenai pertidaksamaan linier? Ada berapa variabel dalam aktivitas-aktivitas tersebut? Nah, karena hanya ada satu variabel, maka disebut dengan pertidaksamaan linier satu variabel. Mudah kan? Bagaimana jika pertidaksamaan liner memiliki dua variabel? Ya, kalian tahu itu disebut dengan pertidaksamaan linier dua variabel. Mari kita lanjutkan tentang pertidaksamaan linier dua variabel. 6

18 Masalah 1.2 Sandi berbelanja di toko peralatan sekolah dengan uang yang dimiliknya sebesar Rp ,00. Harga setiap barang di toko tersebut telah tersedia di daftar harga barang sehingga Sandi dapat memperkirakan peralatan sekolah apa saja yang sanggup ia beli dengan uang yang dimilikinya. Berdasarkan daftar harga, jika Sandi membeli 2 pensil dan 5 buku tulis maka ia masih mendapatkan uang kembalian. Dapatkah kamu memodelkan harga belanjaan Sandi tersebut? Alternatif Penyelesaian: Dengan memisalkan harga satu pensil = x rupiah dan harga satu buku = y rupiah, sehingga jika Sandi membeli 2 pensil dan 5 buku dan mendapatkan uang kembalian, maka permasalahan di atas dapat dimodelkan menjadi 2x + 5y < Kamu dapat menentukan penyelesaian dari pertidaksamaan linier dua variable tersebut menggunakan metode grafik, caranya adalah sebagai berikut. 1. Gambarlah terlebih dahulu garis 2x + 5y < menggunakan langkah-langkah sebagai berikut. a. Ubahlah pertidaksamaan 2x + 5y < menjadi 2x + 5y = b. Carilah titik potong terhadap sumbu x dan sumbu y pada bidang koordinat kartesius, kamu akan mendapatkan titik (6.500,0) dan (0,2.600). Hubungkan kedua titik tersebut seperti pada gambar di bawah ini. Ingat Kembali Titik potong dengan sumbu x, syaratnya adalah y = 0. Titik potong dengan sumbu y, syaratnya adalah x = 0. x y Sehingga, titik potongnya adalah (0, 6.500) dan (2.600, 0)

19 2. Arsirlah daerah yang memenuhi pertidaksamaan tersebut. Gunakan beberapa titik uji untuk menentukannya. Daerah yang diarsir itulah daerah penyelesaiannya Catatan Akan lebih mudah jika kamu menggunakan 0,0 sebagai titik uji. Cobalah! Subtitusikan titik (0,0) pada pertidaksamaan 2x + 5y < (0) + 5(0) < < (Benar) Sehingga daerah penyelesaian dari pertidaksamaan linier dua varibel tersebut seperti terdapat pada gambar dibawah ini Kerjakanlah aktivitas kelas 1.3 supaya kamu lebih memahami pertidaksamaan linier dua variabel! 8

20 Aktivitas Kelas 1.3. Pertidaksamaan linier dua variabel. Indikator: Pertidaksamaan linier ditentukan daerah penyelesaiannya. Mengamati Aktivitas Kelas 1.3 Perhatikan permasalahan berikut! Rp? Rp? Gambar 1.5 Di sebuah toko, Ani membeli permen dan lampu seperti gambar disamping. Ani membayar dengan menyerahkan uang Rp 6.000,00 dan masih mendapatkan kembalian. Jumlah permen yang dibeli Ani adalah 6 Jumlah lampu yang dibeli Ani adalah 2 Menanya Dari pengamatan yang kamu lakukan, berfikirlah kritis dan ajukan pertanyaanpertanyaan mengenai permasalahan tersebut! Bagaimana daerah penyelesaian dari permasalahan tersebut? Berapa harga masing-masing permen dan lampu? Mencoba Buatlah bentuk pertidaksamaan linier dua variabel dari permasalahan tersebut! Misal x = harga permen dan y = harga lampu Model matematikanya menjadi: 6x + 2y < Gambarlah daerah penyelesaiannya! 6x + 2y = X Y

21 Jika harga satu permen adalah Rp500,00. Tentukan harga maksimum dari lampu tersebut! 6x + 2y < (500) + 2y < y < y < y < Jadi, harga maksimum lampu adalah Rp 1.500,00 Mengasosiasi Dari aktivitas mencoba yang kamu lakukan, buatlah kesimpulan menggunakan katakatamu sendiri, bagaimana langkah-langkah menentukan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan linier! Langkah-langkah menentukan penyelesaian pertidaksamaan linier dua variabel menggunakan metode grafik. a. Ubahlah pertidaksamaan linier dua variabel menjadi persamaan linear dua variabel dengan mengubah tanda pertidaksamaan (<, >,, ) menjadi sama dengan =. b. Menentukan titik potong terhadap sumbu x dan sumbu y pada persamaan linear dua variabel. c. Gambarkan ke dalam bidang koordinat kartesius persamaan linear dua variabel tersebut. d. Mengambil sebarang titik uji untuk menentukan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan linier dua variabel. e. Arsirlah daerah yang memenuhi pertidaksamaan linier dua variabel tersebut. Mengkomunikasikan Presentasikan dan diskusikan hasil yang kamu dapatkan di depan kelas! Latihan 1 Gambarlah grafik himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut! x > 5x x + 2y

22 Ringkasan 1. Untuk menentukan penyelesaian pertidaksamaan linear satu variabel, dapat dilakukan dengan cara menyatakan ke dalam pertidaksamaan yang ekuivalen. 2. Untuk menentukan penyelesaian pertidaksamaan linear dua variabel, dapat dilakukan menggunakan metode grafik. 3. Langkah-langkah menentukan penyelesaian pertidaksamaan linier dua variabel menggunakan metode grafik. a. Ubahlah pertidaksamaan linier dua variabel menjadi persamaan linear dua variabel dengan mengubah tanda pertidaksamaan (<, >,, ) menjadi sama dengan =. b. Menentukan titik potong terhadap sumbu x dan sumbu y pada persamaan linear dua variabel. c. Gambarkan ke dalam bidang koordinat kartesius persamaan linear dua variabel tersebut. d. Mengambil sebarang titik uji untuk menentukan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan linier dua variabel. e. Arsirlah daerah yang memenuhi pertidaksamaan linier dua variabel tersebut. 11

23 12

24 Sistem Pertidaksamaan Linier B Kompetensi Dasar Membuat grafik himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linier. Indikator Sistem pertidaksamaan linier dua variabel ditentukan daerah penyelesaiannya. Tujuan Pembelajaran Siswa mampu menentukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linier dua variabel. Petunjuk Pembelajaran Berdoalah sebelum mengerjakan LKS. Kerjakanlah LKS dengan jujur, kreatif, teliti dan pantang menyerah. Kerjakanlah LKS dengan baik dan benar. 13

25 B. SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINIER Pada pertemuan sebelumnya, kamu telah mempelajari pertidaksamaan linier satu variable dan pertidaksamaan linier dua variabel. Kali ini kita akan membahas sistem pertidaksamaan linier dengan dua variabel serta menggambar daerah penyelesaiannya di bidang koordinat kartesius. Perlu diingat, sistem pertidaksamaan linier dua variabel adalah gabungan dua atau lebih pertidaksamaan linier dua variabel. Sebelum kamu mempelajari materi program linier, kamu perlu untuk memahami sistem pertidaksamaan linier dua variable terlebih dahulu. Masalah 2.1 Perhatikan tabel ongkos perbaikan kendaraan berikut ini! Jenis Motor Bengkel Motor Matic (Rp) Motor Biasa (Rp) Ongkos maksimal (Rp) A B Tentukanlah grafik daerah penyelesaian dari permasalahan tersebut! Alternatif penyelesaian: Pertama, misalkan x = banyaknya motor matik dan y = banyaknya motor biasa. Dari tabel di atas kamu dapat mengubah ongkos perbaikan kendaraan menjadi sistem pertidaksamaan linier sebagai berikut x y dan x y , atau dapat disederhanakan menjadi 2x + y 3 dan x + 2y 4. Kedua, ubahlah pertidaksamaan 2x + y 3 menjadi 2x + y = 3, dan x + 2y 4 menjadi x + 2y = 4. Selanjutnya, carilah titik potong kedua pertidaksamaan tersebut terhadap sumbu x dan sumbu y. 2x + y = 3, x + 2y = 4 x x 0 4 y 3 0 y 2 0 ( 3, 0) dan (0,3) dari 2x + y = 3 serta titik (4,0) dan (0,2) dari x + 2y =

26 Ketiga, gambarlah grafik dari sistem pertidaksamaan linier menggunakan titik potong yang kamu dapatkan. Keempat, dengan menggunakan beberapa titik uji, tentukanlah daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linier dua variabel sebagai berikut. Jadi, daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linier dua variable ditunjukkan seperti pada gambar di atas. Kerjakanlah aktivitas kelas 2.1 dan aktivitas kelas 2.2 supaya kamu lebih memahami bagaimana menggambar daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linier. 15

27 Aktivitas Kelas 2.1. Sistem pertidaksamaan linier dua variabel. Indikator: Sistem pertidaksamaan linier dengan dua variabel ditentukan daerah penyelesaiannya. Aktivitas Kelas 2.1 Perhatikan permasalahan berikut! Seorang penjual jus memiliki 12 buah apel dan 12 buah strawberry. Penjual tersebut ingin membuat dua macam jenis jus hasil pencampuran dua buah tersebut yang dinamakan jus Aberry dan jus Apstra. Komposisi pembuatan jus tersebut disajikan dalam bentuk tabel sebagai berikut. Jenis Jus Buah Jus Aberry Jus Apstra Persediaan (Kg) Apel (Kg) Strawberry (Kg) Berdasarkan informasi yang kamu amati, tentukan: Perbandingan Apel yang dibutuhkan untuk membuat jus Aberry dan jus Apstra adalah 1 : 2. Persediaan Apel sebanyak 12 kg. Perbandingan Strawberry yang dibutuhkan untuk membuat jus Aberry dan jus Apstra adalah 2 : 1. Mengamati Persediaan Strawberry sebanyak 12 kg. Menanya Berfikirlah kritis dan ajukan pertanyaan-pertanyaan yang ada dalam pikiranmu mengenai permasalahan tersebut! Bagaimana daerah penyelesaian dari permasalahan tersebut? 16

28 Mencoba Buatlah bentuk sistem pertidaksamaan linier dari permasalahan tersebut! Misalkan x = Buah Aberry dan y = Buah Apstra. Sehingga permasalahan tersebut dapat kita ubah menjadi: x + 2y 12 2x + y 12 dan x 0, y 0. Gambarlah daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan yang kamu dapatkan! x + 2y = 12 X 0 12 Y 6 0 2x + y = 12 X 0 6 Y

29 Mengasosiasi Dari aktivitas kelas yang kamu lakukan, buatlah kesimpulan menggunakan kata-katamu sendiri, bagaimana langkah-langkah menentukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear dua variabel! Langkah-langkah menentukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear dua variabel. a. Ubahlah sistem pertidaksamaan linier menjadi sistem persamaan dengan mengubah tanda pertidaksamaan (<, >,, ) menjadi sama dengan =. b. Menentukan titik potong terhadap sumbu x dan sumbu y dari sistem persamaan linear. c. Gambarkan ke dalam bidang koordinat Cartesius sistem persamaan tersebut. d. Mengambil sebarang titik uji untuk menentukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linier. e. Arsirlah daerah yang memenuhi sistem pertidaksamaan linier dua variabel tersebut. Mengkomunikasikan Presentasikan dan diskusikan hasil yang kamu dapatkan di depan kelas! 18

30 Aktivitas Kelas 2.2. Sistem pertidaksamaan linier dua variabel. Indikator: Sistem pertidaksamaan linier dengan dua variabel ditentukan daerah penyelesaiannya. Aktivitas Kelas 2.2 Mengamati Perhatikan permasalahan berikut! Rinto diharuskan makan dua tablet vitamin setiap hari. Tablet pertama mengandung 3 unit vitamin B dan 2 unit vitamin C. Sedangkan tablet kedua mengandung 2 unit vitamin B dan 3 unit vitamin C. Dalam sehari Rinto membutuhkan minimum 18 unit vitamin B dan 17 unit vitamin C. Jenis Tablet Vitamin I (unit) II (unit) Kebutuhan (unit) B C Berdasarkan informasi yang kamu amati, tentukan: Perbandingan kandungan vitamin B pada tablet I dan tablet II adalah 3 : 2. Kebutuhan vitamin B sebanyak 18 unit. Perbandingan kandungan vitamin C pada tablet I dan tablet II adalah 2 : 3. Kebutuhan vitamin C sebanyak 17 unit. Menanya Berfikirlah kritis dan ajukan pertanyaan-pertanyaan yang ada dalam pikiranmu mengenai permasalahan tersebut! Bagaimana daerah penyelesaian dari permasalahan tersebut? 19

31 Mencoba Buatlah bentuk sistem pertidaksamaan linier dari permasalahan tersebut! Misalkan x = Tablet I dan y = Tablet II. Sehingga permasalahan tersebut dapat kita ubah menjadi: 3x + 2y 18 2x + 3y 17 dan x 0, y 0. Gambarlah daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan yang kamu dapatkan? 3x + 2y = 18 X 0 6 Y 9 0 2x + 3y = 17 X Y

32 Mengasosiasi Dari aktivitas kelas yang kamu lakukan, buatlah kesimpulan menggunakan kata-katamu sendiri, bagaimana langkah-langkah menentukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear dua variabel! Langkah-langkah menentukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear dua variabel. a. Ubahlah sistem pertidaksamaan linier menjadi sistem persamaan dengan mengubah tanda pertidaksamaan (<, >,, ) menjadi sama dengan =. b. Menentukan titik potong terhadap sumbu x dan sumbu y dari sistem persamaan linear. c. Gambarkan ke dalam bidang koordinat Cartesius sistem persamaan tersebut. d. Mengambil sebarang titik uji untuk menentukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linier. e. Arsirlah daerah yang memenuhi sistem pertidaksamaan linier dua variabel tersebut. Mengkomunikasikan Presentasikan dan diskusikan hasil yang kamu dapatkan di depan kelas! Kamu telah menyelesaikan aktivitas kelas 2.1 dan aktivitas 2.2. Apa yang kamu ketahui tentang sistem pertidaksamaan linier dua variabel? Bagaimana langkah-langkah menentukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linier dua variabel? Latihan 2 Tentukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linier berikut dengan baik dan benar. 1. 4x + y 8; x + 2y 10; x 0; y x + 2y 12; x + 5y 5; x 0; y 0. 21

33 Ringkasan Sistem pertidaksamaan linear adalah himpunan pertidaksamaan linear yang saling terkait dengan koefisien variabelnya bilangan-bilangan real. Sistem pertidaksamaan linear dua variabel adalah suatu sistem pertidaksamaan linear yang memuat dua variabel dengan koefisien bilangan real. Langkah-langkah menentukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear dua variabel. a. Ubahlah sistem pertidaksamaan linier menjadi sistem persamaan dengan mengubah tanda pertidaksamaan (<, >,, ) menjadi sama dengan =. b. Menentukan titik potong terhadap sumbu x dan sumbu y dari sistem persamaan linear. c. Gambarkan ke dalam bidang koordinat Cartesius sistem persamaan tersebut. d. Mengambil sebarang titik uji untuk menentukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linier. e. Arsirlah daerah yang memenuhi sistem pertidaksamaan linier dua variabel tersebut. Tentukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linier berikut! a. x + y 8; 2x + y 10; x 0; y 0. b. 3x + 2y 12; x + 2y 8; x 0; y 0. c. x + 2y 10 0; x + y 7 0; x 0; y 0. d. 2x + y 8; x + y 6; x 0: y 0. e. 6x + 5y 30; 2x + y 8; x 0; y 0. 22

34 Model Matematika C Kompetensi Dasar Menentukan model matematika dari soal cerita (kalimat verbal). Indikator Soal cerita (kalimat verbal) diterjemahkan ke model matematika. Model matematika ditentukan grafik daerah penyelesaiannya. Tujuan Pembelajaran Siswa mampu membuat model matematika dari soal cerita (kalimat verbal) dan menentukan grafik daerah penyelesaiannya. Petunjuk Pembelajaran Berdoalah sebelum mengerjakan LKS. Kerjakanlah LKS dengan jujur, kreatif, teliti dan pantang menyerah. Kerjakanlah LKS dengan baik dan benar. 23

35 C. MODEL MATEMATIKA Setelah kalian memahami cara menentukan daerah penyeleseian dari sistem pertidaksamaan linier, sekarang kita akan memasuki materi utama yaitu program linier. Sering kita jumpai banyak sekali permasalahan sehari-hari dalam bidang industri, perdagangan, pertanian dan sejenisnya yang memiliki hubungan yang sangat erat dengan sistem pertidaksamaan linier. Kita dapat menggunakan penerapan dari sistem pertidaksamaan linier untuk menyelesaikan permasalahan tersebut. Penerapan dari penyelesaian sistem pertidaksamaan linier inilah yang disebut dengan program linier. Definisi Program linier adalah suatu program untuk menyeleseikan permasalahan yang batasan-batasannya berbentuk pertidaksamaan linier. Sebagai contoh permasalahan program linier adalah, dalam produksi, suatu perusahan dengan jumlah bahan yang terbatas dapat menentukan variasi produk apa saja yang akan diproduksi untuk menghasilkan keuntungan yang sebesar-besarnya. Batasan-batasan yang terdapat dalam permasalahan program linier diterjemahkan terlebih dahulu ke dalam bentuk bahasa matematika yang disebut model matematika. Dengan model matematika, kita dapat menentukan penyelesaian dengan mencari nilai optimum (maksimum/minimum) dari permasalahan program linier tersebut. Oleh karena itu, pada LKS ini kamu akan belajar membuat model matematika dari permasalahan program linier. Agar lebih memahami cara membuat model matematika, perhatikan masalah 3.1 kemudian kerjakanlah aktivitas kelas 3.1 sampai aktivitas kelas 3.8! Masalah 3.1 Suatu mesin produksi A menghasilkan 100 unit barang per jam, dan mesin B menghasilkan 150 unit barang per jam. Dalam satu hari dari kedua mesin itu menghasilkan tidak lebih dari unit barang. Jumlah jam kerja dalam satu hari untuk kedua mesin itu tidak lebih dari 20 jam. Misalkan x = jam kerja mesin A dan y = jam kerja mesin B. Buatlah model matematika dari permasalahan tersebut! 24

36 Alternatif penyelesaian: Persoalan di atas dapat dinyatakan dengan tabel sebagai berikut. Jenis Mesin Jam kerja (jam) Produksi (unit) Mesin A x 100x Mesin B y 150y Dalam menyelesaikan permasalahan program linier, kamu harus merubah data tersebut menjadi bentuk pertidaksamaan, sebagaimana berikut. Kapasitas produksi barang tidak lebih dari unit sementara Mesin A dan mesin B masing-masing dapat memproduksi barang sebesar 100 unit dan 150 unit, maka dapat dinyatakan menjadi 100x + 150y (1) Jumlah jam kerja dalam satu hari untuk kedua mesin itu tidak lebih dari 20 jam, maka dapat dinyatakan menjadi x + y 20.. (2) x dan y menyatakan banyaknya mesin, sehingga nilainya tidak mungkin negatif, maka dapat dinyatakan menjadi x 0 dan y 0.. (3) Dari (1), (2) dan (3) dapat disimpulkan menjadi model matematika untuk permasalahan di atas adalah: 100x + 150y 2.600; x + y 20; x 0; y 0. 25

37 Aktivitas Kelas 3.1. Model Matematika. Indikator: Soal cerita (kalimat verbal) diterjemahkan ke model matematika. Model matematika ditentukan grafik daerah penyelesaiannya. Aktivitas Kelas 3.1 Mengamati Perhatikan permasalahan berikut! Seorang pedagang sepatu berencana membeli dua jenis sepatu, sepatu pria dan sepatu wanita. Tiap sepatu terdiri atas 2 merk, merk A dan merk B. Harga beli sepatu ditampilkan pada tabel berikut. Ia akan membelanjakan uangnya paling banyak Rp ,00 untuk sepatu merk A dan Rp ,00 untuk sepatu merk B. Harga (Rp) Merk Sepatu Pria Sepatu Wanita Modal (Rp) A B Berdasarkan informasi yang kamu peroleh, tentukan: Perbandingan harga antara sepatu pria dan wanita yang ber-merk A adalah : Modal untuk membeli sepatu merk A paling banyak adalah Perbandingan harga antara sepatu pria dan wanita yang ber-merk B adalah : Modal untuk membeli sepatu merk B paling banyak adalah Menanya Berfikirlah kritis dan ajukan pertanyaan-pertanyaan yang ada dalam pikiranmu mengenai permasalahan tersebut! Bagaimana model matematika dari permasalahan tersebut? Bagaimana daerah penyelesaian dari permasalahan tersebut? 26

38 Mencoba Buatlah model matematika dari permasalahan tersebut! Misal x = Harga sepatu pria dan y = Harga sepatu wanita Model matematikanya adalah: x y x y x 0; y 0. Gambarlah daerah penyelesaian dari model matematika yang kamu dapatkan! x y = X 0 10 Y 12, x y = X 0 12 Y

39 Mengasosiasi Dari aktivitas kelas yang kamu lakukan, buatlah kesimpulan menggunakan kata-katamu sendiri, bagaimana langkah-langkah mengubah soal cerita atau permasalahan nyata menjadi model matematika! Langkah-langkah mengubah soal cerita atau permasalahan nyata menjadi model matematika. a. Kumpulkan informasi yang didapatkan dari soal cerita/permasalahan. b. Nyatakan informasi yang kamu dapatkan ke dalam tabel agar mudah dipahami. c. Ubahlah informasi tersebut menjadi bentuk pertidaksamaan. d. Tentukanlah model matematikanya. Mengkomunikasikan Presentasikan dan diskusikan hasil yang kamu dapatkan di depan kelas! 28

40 Aktivitas Kelas 3.2. Model Matematika. Indikator: Soal cerita (kalimat verbal) diterjemahkan ke model matematika. Model matematika ditentukan grafik daerah penyelesaiannya. Aktivitas Kelas 3.2 Mengamati Seorang mekanik berencana membuat 2 jenis mesin diesel, mesin A dan mesin B. Dalam membuat mesin A dibutuhkan 1 kg besi super dan 2 kg besi biasa. Sedangkan untuk membuat mesin B dibutuhkan 2 kg besi super dan 1 kg besi biasa seperti yang tertera pada tabel berikut. Persediaan masing-masing besi super dan besi biasa adalah 12 Kg dan 8 Kg. Jenis Besi (Kg) Jenis Mesin Persediaan A B (kg) Super Biasa Berdasarkan informasi yang kamu peroleh, tentukan: Perbandingan besi super yang dibutuhkan untuk membuat mesin A dan mesin B adalah 1 : 2. Persediaan besi super sebesar 12 kg Perbandingan besi biasa yang dibutuhkan untuk membuat mesin A dan mesin B adalah 2 : 1. Persediaan besi biasa sebesar 8 kg Menanya Berfikirlah kritis dan ajukan pertanyaan-pertanyaan yang ada dalam pikiranmu mengenai permasalahan tersebut! Bagaimana model matematika dari permasalahan tersebut? Bagaimana daerah penyelesaian dari permasalahan tersebut? 29

41 Mencoba Buatlah model matematika dari permasalahan tersebut! Misal x = Mesin A dan y = Mesin B Model matematikanya adalah: x + 2y 12 2x + y 8 x 0; y 0. Gambarlah daerah penyelesaian dari model matematika yang kamu dapatkan! x + 2y = 12 X 0 12 Y 6 0 2x + y = 8 X 0 4 Y

42 Mengasosiasi Dari aktivitas kelas yang kamu lakukan, buatlah kesimpulan menggunakan kata-katamu sendiri, bagaimana langkah-langkah mengubah soal cerita atau permasalahan nyata menjadi model matematika! Langkah-langkah mengubah soal cerita atau permasalahan nyata menjadi model matematika. a. Kumpulkan informasi yang didapatkan dari soal cerita/permasalahan. b. Nyatakan informasi yang kamu dapatkan ke dalam tabel agar mudah dipahami. c. Ubahlah informasi tersebut menjadi bentuk pertidaksamaan. d. Tentukanlah model matematikanya. Mengkomunikasikan Presentasikan dan diskusikan hasil yang kamu dapatkan di depan kelas! 31

43 Aktivitas Kelas 3.3. Model Matematika. Indikator: Soal cerita (kalimat verbal) diterjemahkan ke model matematika. Model matematika ditentukan grafik daerah penyelesaiannya. Aktivitas Kelas 3.3 Mengamati Perhatikan permasalahan berikut! Sekolah akan menerima kiriman buku dari Pemkot Semarang sebanyak 900 buku. Buku yang nantinya diterima memiliki ukuran yang sama. Buku-buku tersebut rencananya akan ditaruh di rak buku besar dan rak buku kecil. Satu rak buku besar mampu menampung buku sebanyak 300 buku, sedangkan rak buku kecil mampu menampung buku sebanyak 100 buku. Perpustakaan tidak akan memuat lebih dari 5 rak buku besar dan kecil karena alasan kenyamanan pengunjung perpustakaan. Jenis Rak Rak Besar Rak Kecil Kapasitas Buku (buah) Rak (buah) x y 5 Berdasarkan informasi yang kamu peroleh, tentukan: Perbandingan daya tampung rak besar dan rak kecil adalah 300 : 100. Kiriman buku sebanyak 900 buku akan diletakkan di rak besar dan rak kecil. Perbandingan permisalan jumlah rak besar dan rak kecil adalah x : y. Perpustakaan hanya akan menampung tidak lebih dari 5 rak buku. Menanya Berfikirlah kritis dan ajukan pertanyaan-pertanyaan yang ada dalam pikiranmu mengenai permasalahan tersebut! Bagaimana model matematika dari permasalahan tersebut? Bagaimana daerah penyelesaian dari permasalahan tersebut? 32

44 Mencoba Buatlah model matematika dari permasalahan tersebut! Misal x = Banyaknya rak besar dan y = Banyaknya rak kecil Model matematikanya adalah: 300x + 100y 900 x + y 5 x 0; y 0. Gambarlah daerah penyelesaian dari model matematika yang kamu dapatkan! 300x + 100y = 900 X 0 3 Y 9 0 x + y = 5 X 0 5 Y

45 Mengasosiasi Dari aktivitas kelas yang kamu lakukan, buatlah kesimpulan menggunakan kata-katamu sendiri, bagaimana langkah-langkah mengubah soal cerita atau permasalahan nyata menjadi model matematika! Langkah-langkah mengubah soal cerita atau permasalahan nyata menjadi model matematika. a. Kumpulkan informasi yang didapatkan dari soal cerita/permasalahan. b. Nyatakan informasi yang kamu dapatkan ke dalam tabel agar mudah dipahami. c. Ubahlah informasi tersebut menjadi bentuk pertidaksamaan. d. Tentukanlah model matematikanya. Mengkomunikasikan Presentasikan dan diskusikan hasil yang kamu dapatkan di depan kelas! 34

46 Aktivitas Kelas 3.4. Model Matematika. Indikator: Soal cerita (kalimat verbal) diterjemahkan ke model matematika. Model matematika ditentukan grafik daerah penyelesaiannya. Aktivitas Kelas 3.4 Mengamati Seorang mekanik berencana membuat 2 jenis campuran cat mobil, campuran A dan campuran B. Dalam membuat campuran A membutuhkan 1 lt cat merah dan 2 lt cat biru dan 3 lt cat hijau. Sedangkan untuk membuat campuran B membutuhkan 2 lt merah dan 2 lt cat biru dan 2 lt cat hijau seperti yang tertera pada tabel berikut. Jika persediaan cat merah, cat biru dan hijau masing-masing adalah 8 lt, 10 lt dan 12 lt. Bahan cat Jenis Campuran Persediaan (kg) A B (kg) Merah Biru Hijau Berdasarkan informasi yang kamu peroleh, tentukan: Perbandingan kebutuhan cat merah untuk membuat campuran A dan campuran B adalah 1 : 2. Perbandingan kebutuhan cat biru untuk membuat campuran A dan campuran B adalah 2 : 2. Perbandingan kebutuhan cat hijau untuk membuat campuran A dan campuran B adalah 3 : 2. Perbandingan antara persediaan cat merah, cat biru dan cat hijau adalah 8 : 10 : 12. Menanya Berfikirlah kritis dan ajukan pertanyaan-pertanyaan yang ada dalam pikiranmu mengenai permasalahan tersebut! Bagaimana model matematika dari permasalahan tersebut? Bagaimana daerah penyelesaian dari permasalahan tersebut? 35

47 Mencoba Buatlah model matematika dari permasalahan tersebut! Misal x = Campuran A dan y = Campuran B Model matematikanya adalah: x + 2y 8 3x + 2y 12 2x + 2y 10 x 0; y 0. Gambarlah daerah penyelesaian dari model matematika yang kamu dapatkan! x + 2y = 8 X 0 8 Y 4 0 3x + 2y = 12 X 0 4 Y 6 0 2x + 2y = 10 X 0 5 Y

48 Mengasosiasi Dari aktivitas kelas yang kamu lakukan, buatlah kesimpulan menggunakan kata-katamu sendiri, bagaimana langkah-langkah mengubah soal cerita atau permasalahan nyata menjadi model matematika! Langkah-langkah mengubah soal cerita atau permasalahan nyata menjadi model matematika. a. Kumpulkan informasi yang didapatkan dari soal cerita/permasalahan. b. Nyatakan informasi yang kamu dapatkan ke dalam tabel agar mudah dipahami. c. Ubahlah informasi tersebut menjadi bentuk pertidaksamaan. d. Tentukanlah model matematikanya. Mengkomunikasikan Presentasikan dan diskusikan hasil yang kamu dapatkan di depan kelas! 37

49 Aktivitas Kelas 3.5. Model Matematika. Indikator: Soal cerita (kalimat verbal) diterjemahkan ke model matematika. Model matematika ditentukan grafik daerah penyelesaiannya. Aktivitas Kelas 3.5 Mengamati Perhatikan permasalahan berikut! Rinto diharuskan makan dua tablet vitamin setiap hari. Tablet pertama mengandung 3 unit vitamin B dan 2 unit vitamin C. Sedangkan tablet kedua mengandung 2 unit vitamin B dan 3 unit vitamin C. Dalam sehari Rinto membutuhkan minimum 18 unit vitamin B dan 17 unit vitamin C. Jenis Tablet Vitamin I (unit) II (unit) Kebutuhan (unit) B C Berdasarkan informasi yang kamu amati, tentukan: Perbandingan kandungan vitamin B pada tablet I dan tablet II adalah 3 : 2. Kebutuhan vitamin B sebanyak 18 unit. Perbandingan kandungan vitamin C pada tablet I dan tablet II adalah 2 : 3. Kebutuhan vitamin C sebanyak 17 unit. Menanya Berfikirlah kritis dan ajukan pertanyaan-pertanyaan yang ada dalam pikiranmu mengenai permasalahan tersebut! Bagaimana model matematika dari permasalahan tersebut? Bagaimana daerah penyelesaian dari permasalahan tersebut? 38

50 Mencoba Buatlah model matematika dari permasalahan tersebut! Misalkan x = Tablet I dan y = Tablet II. Model matematikanya adalah: 3x + 2y 18 2x + 3y 17 dan x 0, y 0. Gambarlah daerah penyelesaian dari model matematika yang kamu dapatkan! 3x + 2y = 18 X 0 6 Y 9 0 2x + 3y = 17 X Y

51 Mengasosiasi Dari aktivitas kelas yang kamu lakukan, buatlah kesimpulan menggunakan kata-katamu sendiri, bagaimana langkah-langkah mengubah soal cerita atau permasalahan nyata menjadi model matematika! Langkah-langkah mengubah soal cerita atau permasalahan nyata menjadi model matematika. a. Kumpulkan informasi yang didapatkan dari soal cerita/permasalahan. b. Nyatakan informasi yang kamu dapatkan ke dalam tabel agar mudah dipahami. c. Ubahlah informasi tersebut menjadi bentuk pertidaksamaan. d. Tentukanlah model matematikanya. Mengkomunikasikan Presentasikan dan diskusikan hasil yang kamu dapatkan di depan kelas! 40

52 Aktivitas Kelas 3.6. Model Matematika. Indikator: Soal cerita (kalimat verbal) diterjemahkan ke model matematika. Model matematika ditentukan grafik daerah penyelesaiannya. Aktivitas Kelas 3.6 Mengamati Perhatikan permasalahan berikut! Seorang pedagang paling sedikit menyewa 25 kendaraan untuk jenis truk dan colt dengan jumlah yang diangkut minimum 224 karung. Truk dapat mengangkut 14 karung dan colt 8 karung. Jika disajikan dalam bentuk tabel adalah sebagai berikut. Jenis kendaraan Jumlah kendaraan (unit) Kapasitas muatan (karung) Truk x 14x Colt y 8y Berdasarkan informasi yang kamu amati, tentukan: Perbandingan permisalan jumlah Truk dan Colt adalah x : y. Jumlah minimal kendaraan yang dibutuhkan 25 unit. Perbandingan kandungan vitamin C pada tablet I dan tablet II adalah 14x : 8y. Jumlah minimal barang yang perlu diangkut 224 karung. Menanya Berfikirlah kritis dan ajukan pertanyaan-pertanyaan yang ada dalam pikiranmu mengenai permasalahan tersebut! Bagaimana model matematika dari permasalahan tersebut? Bagaimana daerah penyelesaian dari permasalahan tersebut? 41

53 Mencoba Buatlah model matematika dari permasalahan tersebut! Misalkan x = jumlah truk dan y = jumlah colt. Model matematikanya adalah: x + y 25 14x + 8y 224 dan x 0, y 0. Gambarlah daerah penyelesaian dari model matematika yang kamu dapatkan! x + y = 25 X 0 25 Y x + 8y = 224 X 0 16 Y

54 Mengasosiasi Dari aktivitas kelas yang kamu lakukan, buatlah kesimpulan menggunakan kata-katamu sendiri, bagaimana langkah-langkah mengubah soal cerita atau permasalahan nyata menjadi model matematika! Langkah-langkah mengubah soal cerita atau permasalahan nyata menjadi model matematika. a. Kumpulkan informasi yang didapatkan dari soal cerita/permasalahan. b. Nyatakan informasi yang kamu dapatkan ke dalam tabel agar mudah dipahami. c. Ubahlah informasi tersebut menjadi bentuk pertidaksamaan. d. Tentukanlah model matematikanya. Mengkomunikasikan Presentasikan dan diskusikan hasil yang kamu dapatkan di depan kelas! 43

55 Aktivitas Kelas 3.7. Model Matematika. Indikator: Soal cerita (kalimat verbal) diterjemahkan ke model matematika. Model matematika ditentukan grafik daerah penyelesaiannya. Aktivitas Kelas 3.7 Mengamati Seorang peternak mengahadapi suatu masalah sebagai berikut. Agar sehat, setiap sapi harus diberi makanan yang mengandung paling sedikit 27, 21, dan 30 satuan unsur nutrisi jenis A, B, dan C setiap harinya. Dua jenis makanan N dan M diberikan kepada sapi tersebut. Satu kg jenis makanan N mengandung unsur nutrisi jenis A, B, dan C masing-masing sebesar 3, 1, dan 1 satuan. Sedangkan satu kg jenis makanan M mengandung unsur nutrisi jenis A, B, dan C masing-masing sebesar 1, 1, dan 2 satuan. Buatlah model matematika dari permasalahan tersebut. Nutrisi N (satuan) Jenis Makanan M (satuan) Kebutuhan (satuan) A B C Berdasarkan informasi yang kamu amati, tentukan: Perbandingan nutrisi A pada makanan N dan M adalah 3 : 1. Kandungan vitamin A yang dibutuhkan paling sedikit 27 satuan. Perbandingan nutrisi B pada makanan N dan M adalah 1 : 1. Kandungan vitamin B yang dibutuhkan paling sedikit 21 satuan. Perbandingan nutrisi C pada makanan N dan M adalah 1 : 2. Kandungan vitamin C yang dibutuhkan paling sedikit 30 satuan. Menanya Berfikirlah kritis dan ajukan pertanyaan-pertanyaan yang ada dalam pikiranmu mengenai permasalahan tersebut! Bagaimana model matematika dari permasalahan tersebut? Bagaimana daerah penyelesaian dari permasalahan tersebut? 44

56 Mencoba Buatlah model matematika dari permasalahan tersebut! Misalkan x = makanan N dan y = makanan M Model matematikanya adalah: 3x + y 27 x + y 21 x + 2y 30 dan x 0, y 0. Gambarlah daerah penyelesaian dari model matematika yang kamu dapatkan! 3x + y = 27 X 0 9 Y 27 0 x + y = 21 X 0 21 Y 21 0 x + 2y = 30 X 0 30 Y

57 Mengasosiasi Dari aktivitas kelas yang kamu lakukan, buatlah kesimpulan menggunakan kata-katamu sendiri, bagaimana langkah-langkah mengubah soal cerita atau permasalahan nyata menjadi model matematika! Langkah-langkah mengubah soal cerita atau permasalahan nyata menjadi model matematika. a. Kumpulkan informasi yang didapatkan dari soal cerita/permasalahan. b. Nyatakan informasi yang kamu dapatkan ke dalam tabel agar mudah dipahami. c. Ubahlah informasi tersebut menjadi bentuk pertidaksamaan. d. Tentukanlah model matematikanya. Mengkomunikasikan Presentasikan dan diskusikan hasil yang kamu dapatkan di depan kelas! 46

58 Aktivitas Kelas 3.8. Model Matematika. Indikator: Soal cerita (kalimat verbal) diterjemahkan ke model matematika. Model matematika ditentukan grafik daerah penyelesaiannya. Aktivitas Kelas 3.8 Mengamati Perhatikan permasalahan berikut! Seorang pengusaha peternakan ingin mencampur bahan pakan. Tiap hari ternaknya membutuhkan paling sedikit 12 kg unsur A, 1 kg unsur B dan 40 gram unsur C. Bila di pasaran tersedia bahan pakan jenis I tiap kantongnya mengandung 0,6 kg unsur A, 0,02 kg unsur B, dan 0,001 kg unsur C. Sedangkan bahan pakan jenis II tiap kantongnya mengandung 0,2 kg unsur A, 0,05 unsur B, dan 0,005 kg unsur C. Buatlah model matematika dari permasalahan tersebut. Unsur Jenis Makanan I (gram) II (gram) Kebutuhan (gram) A B C Berdasarkan informasi yang kamu amati, tentukan: Perbandingan unsur A pada makanan I dan II adalah 600 : 200. Kandungan unsur A yang dibutuhkan paling sedikit gram. Perbandingan unsur B pada makanan I dan II adalah 20 : 50. Kandungan unsur B yang dibutuhkan paling sedikit 1000 gram. Perbandingan unsur C pada makanan I dan II adalah 1 : 5. Kandungan unsur C yang dibutuhkan paling sedikit 40 gram. Menanya Berfikirlah kritis dan ajukan pertanyaan-pertanyaan yang ada dalam pikiranmu mengenai permasalahan tersebut! Bagaimana model matematika dari permasalahan tersebut? Bagaimana daerah penyelesaian dari permasalahan tersebut? 47

59 Mencoba Buatlah model matematika dari permasalahan tersebut! Misalkan x = makanan I dan y = makanan II Model matematikanya adalah: 600x + 200y x + 50y 1000 x + 5y 40 dan x 0, y 0. Gambarlah daerah penyelesaian dari model matematika yang kamu dapatkan! 600x + 200y = X 0 20 Y x + 50y = 1000 X 0 50 Y 20 0 x + 5y = 40 X 0 40 Y

60 Mengasosiasi Dari aktivitas kelas yang kamu lakukan, buatlah kesimpulan menggunakan kata-katamu sendiri, bagaimana langkah-langkah mengubah soal cerita atau permasalahan nyata menjadi model matematika! Langkah-langkah mengubah soal cerita atau permasalahan nyata menjadi model matematika. a. Kumpulkan informasi yang didapatkan dari soal cerita/permasalahan. b. Nyatakan informasi yang kamu dapatkan ke dalam tabel agar mudah dipahami. c. Ubahlah informasi tersebut menjadi bentuk pertidaksamaan. d. Tentukanlah model matematikanya. Mengkomunikasikan Presentasikan dan diskusikan hasil yang kamu dapatkan di depan kelas! 49

61 Kamu telah menyelesaikan aktivitas kelas 3.1 sampai aktivitas kelas 3.8. Apa yang kamu ketahui mengenai model matematika? Bagaimana langkah-langkah mengubah soal cerita atau permasalahan nyata menjadi model matematika? Latihan 3 Buatlah model matematika dan grafik daerah penyelesaian dari permasalahan berikut. 1. Seorang pedagang buah-buahan menggunakan gerobak untuk menjual apel dan pisang. Harga pembelian apel sebesar Rp10.000,00 per Kg dan pisang sebesar Rp4.000,00 per Kg. Modal yang tersedia tidak lebih dari Rp ,00. Sedangkan muatan gerobaknya tidak lebih dari 400 Kg. 2. Suatu mesin produksi A menghasilkan 120 unit barang per jam, dan mesin B menghasilkan 150 unit barang per jam. Dalam satu hari dari kedua mesin itu menghasilkan tidak lebih dari unit barang, sedangkan jumlah jam kerja dalam satu hari untuk kedua mesin itu tidak lebih dari 25 jam. Ringkasan Langkah-langkah mengubah soal cerita atau permasalahan nyata menjadi model matematika. a. Kumpulkan informasi yang didapatkan dari soal cerita/permasalahan. b. Nyatakan informasi yang kamu dapatkan ke dalam tabel agar mudah dipahami. c. Ubahlah informasi tersebut menjadi bentuk pertidaksamaan. d. Tentukanlah model matematikanya. Langkah-langkah menentukan daerah penyelesaian dari permasalahan program linier. a. Buatlah model matematika/ sistem pertidaksamaan linier dari permasalahan program linier b. Ubahlah sistem pertidaksamaan linier menjadi sistem persamaan dengan mengubah tanda peridaksamaan (<, >,, ) menjadi sama dengan =. c. Menentukan titik potong terhadap sumbu x dan sumbu y dari sistem persamaan linear. d. Gambarkan ke dalam bidang koordinat Cartesius sistem persamaan tersebut. e. Mengambil sebarang titik uji untuk menentukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linier. f. Arsirlah daerah yang memenuhi sistem pertidaksamaan linier tersebut. 50

62 Kerjakanlah soal-soal berikut ini! 1. Seorang pengusaha mebel mempunyai modal Rp ,00 dan 360 lembar papan kayu untuk membuat lemari dan meja. Bahan yang diperlukan untuk membuat sebuah lemari dan sebuah meja masing-masing adalah 20 lembar papan dan 8 lembar papan. Ongkos yang dikeluarkan untuk membuat sebuah lemari dan sebuah meja masingmasing adalah Rp80.000,00 dan Rp40.000,00. Buatlah model matematika dari permasalahan tersebut dan tentukan daerah penyelesaiannya! 2. Sebuah tempat parkir paling banyak hanya dapat ditempati oleh 300 kendaraan yang terdiri dari sedan dan bus. Jika luas rata-rata Sedan 5 m 2 dan Bus 15 m 2, sedangkan luas tempat parkir adalah m2. Buatlah model matematika dari permasalahan tersebut dan tentukan daerah penyelesaiannya! 51

63 52

64 Nilai Optimum D Kompetensi Dasar Menentukan nilai optimum dari sistem pertidaksamaan linier. Indikator Nilai optimum ditentukan berdasarkan fungsi objektif dalam soal Nilai optimum dari permasalahan program linier ditentukan melalui titik pojok. Tujuan Pembelajaran Siswa mampu menentukan nilai optimum dari permasalahan program linier melalui titik pojok. Petunjuk Pembelajaran Berdoalah sebelum mengerjakan LKS. Kerjakanlah LKS dengan jujur, kreatif, teliti dan pantang menyerah. Kerjakanlah LKS dengan baik dan benar. 53

65 D. NILAI OPTIMUM Pada pertemuan sebelumnya, kamu telah mempelajari secara rinci tentang daerah penyelesaian suatu sistem pertidaksamaan linier dan menentukan model matematika dari permasalahan program linier. Hal ini merupakan syarat mutlak dalam penentuan nilai optimum fungsi objektif dari permasalahan program linier. Menentukan nilai optimum fungsi objektif secara grafik dapat dilakukan dengan dua cara, yaitu: metode titik pojok dan metode garis selidik. Sekarang, kamu akan belajar menentukan nilai optimum fungsi objektif dari permasalahan program linier menggunakan metode titik pojok. Definisi Fungsi objektif atau bentuk objektif dalam program linier dinyatakan dalam bentuk f x, y = ax + by. Fungsi objektif bertujuan untuk menentukan nilai maksimum atau minimum dari permasalahan program linier. Masalah 4.1 Seorang pedagang membeli melon dan jeruk dari seorang petani dengan harga Rp ,00 untuk 1 kg melon dan Rp 4.000,00 untuk 1 kg jeruk. Modal yang dimiliki pedagang tersebut tidak lebih dari Rp ,00. Buah tersebut akan diletakkan di toko yang hanya dapat menampung tidak lebih dari 400 Kg. Jika keuntungan yang didapatkan dari menjual melon dan jeruk masing-masing adalah Rp2.000,00 tiap kg dan Rp1.000,00 tiap kg, berapa keuntungan maksimum yang dapat diperoleh pedagang tersebut? Alternatif penyelesaian: Pertama, ingatlah kembali tentang permodelan matematika yang sudah kamu pelajari. Misal x = banyaknya melon dan y = banyaknya jeruk, permasalahan tersebut dapat dinyatakan dalam tabel sebagai berikut. Melon (kg) Jeruk (kg) Kapasitas/Jumlah Jumlah pembelian (kg) x y 400 Harga (Rp) Keuntungan (Rp) Sehingga model matematika dari permasalahan tersebut adalah: x + y x y x 0 dan y 0. Kedua, fungsi objektif dari permasalahan di atas dapat ditentukan dari keuntungan yang diperoleh pedagang tersebut, sehingga fungsi objektif dari permasalahan diatas adalah f(x, y) = 2.000x y. 54

66 Ketiga, tentukanlah daerah penyelesaian dari permasalahan tersebut seperti pada gambar di bawah ini. Keempat, carilah titik-titik pojok dari daerah penyelesaian permasalahan tersebut. Titik pojok: A(0,400); B(0,0); C(250,0). Karena titik pojok D merupakan titik potong antara persamaan garis x + y = 400 dan x y = maka kamu dapat menggunakan cara eliminasi dan subtitusi. Cara eliminasi: x + y = 400 dan x y = x y = x y = { x y = x y = y = y = 250 Subtitusikan y = 250 ke persamaan garis x + y = 400. Kamu dapatkan x = 150. Jadi D(150,250). Kelima, subtitusikan nilai titik pojok yang kamu dapatkan ke fungsi objektif f(x, y) = 2.000x y. Titik pojok (x, y) f(x, y) = 2.000x y. Optimum A(0,400) 2.000(0) (400) B(0,0) 2.000(0) (0) 0 C(250,0) 2.000(250) (0) D(150,250) 2.000(150) (250) Nilai optimum (maksimum) dari permasalahan tersebut adalah Rp ,00 pada titik D(150,250). Jadi, keuntungan maksimum dari permasalahan tersebut adalah sebesar Rp ,00 dari penjualan 150 kg melon dan 250 kg jeruk. Apa yang kamu ketahui mengenai fungsi objektif dari permasalahan di atas? Dapatkah kamu menentukan nilai optimum dari permasalahan tersebut? Kerjakanlah aktivitas kelas 4.1 sampai aktivitas kelas 4.8 supaya kamu lebih memahami mengenai fungsi objektif dan langkah-langkah menetukan nilai optimum dari permasalahan program linier. 55

67 Aktivitas Kelas 4.1. Nilai optimum. Indikator: Nilai optimum ditentukan berdasarkan fungsi objektif dalam soal. Nilai optimum dari permasalahan program linier ditentukan melalui titik pojok. Mengamati Perhatikan permasalahan berikut: Jenis Minuman Jumlah pembelian (buah) Harga Beli (Rp) Harga Jual (Rp) Minuman A x Minuman B y Seorang pedagang memiliki uang sebesar RP60.000,00 dan ia bermaksud membeli kedua jenis minuman kotak tersebut, tetapi ia tidak mampu membeli lebih dari 150 buah karena keterbatasan tempat yang dimilikinya. Berdasarkan informasi yang kamu dapatkan, tentukan: Perbandingan harga beli minuman A dan minuman B adalah 600 : 300 Modal yang dimiliki sebesar Perbandingan permisalan jumlah minuman A dan minuman B yang dibeli adalah x : y Kapasitas tempatnya adalah 150 Menanya Aktivitas Kelas 4.1 Berfikirlah kritis dan ajukan pertanyaan-pertanyaan yang ada dalam pikiranmu mengenai permasalahan tersebut! Bagaimana model matematika dari permasalahan tersebut? Bagaimana daerah penyelesaian dari permasalahan tersebut? Berapa nilai optimum dari permasalahan tersebut? 56

68 Buatlah model matematika dari permasalahan tersebut! Misal x = Banyaknya minuman A dan y = Banyaknya minuman B Model matematikanya adalah: 600x + 300y , x + y 150, x 0; y 0. Mencoba Fungsi objektifnya adalah f(x, y) =150x +100y Tentukan daerah penyelesaian dari permasalahan tersebut! 600x + 300y = X Y x + y = 150 X Y

69 Carilah nilai optimum dari permasalahan tersebut! Titik pojok: U(0,150); W(100,0); Z(0,0); Karena titik pojok V merupakan titik potong antara persamaan garis x + y = 150 dan 600x + 300y = maka kamu dapat menggunakan cara eliminasi dan subtitusi. Cara eliminasi: x + y = 150 dan 600x + 300y = x + 300y = x + 300y = { 600x + 300y = x + 300y = x = x = 50 Subtitusikan x = 50 ke persamaan garis x + y = 150. Kamu dapatkan y = 100. Jadi V(50,100). Subtitusikan nilai titik pojok yang kamu dapatkan ke fungsi objektif f(x, y) = 150x + 100y. Titik pojok (x, y) f(x, y) = 150x + 100y. Optimum U(0,150) 150(0) + 100(150) W(100,0) 150(100) + 100(0) Z(0,0) 150(0) + 100(0) 0 V(50,100) 150(50) + 100(100) Nilai maksimum dari permasalahan tersebut adalah Rp ,00 pada titik V(50,100). Mengasosiasi Dari aktivitas yang kamu lakukan, buatlah kesimpulan menggunakan kata-katamu sendiri, bagaimana langkah-langkah menetukan nilai optimum dari permasalahan tersebut! Langkah-langkah menentukan nilai optimum (maksimum/minimum) dari permasalahan program linier adalah: a. Ubahlah permasalahan menjadi model matematikanya; b. Tentukan fungsi objektif dari permasalahan yang disajikan; c. Tentukan daerah penyelesaian dari model matematika yang kamu dapatkan; d. Salah satu alternatif penyelesaian, carilah nilai titik pojok dari daerah penyelesaian tersebut; e. Tentukan nilai optimum (maksimum/minimum) menggunakan fungsi objektif dan nilai titik pojok yang kamu dapatkan. Mengkomunikasikan Presentasikan dan diskusikan hasil yang kamu dapatkan di depan kelas! 58

70 Aktivitas Kelas 4.2. Nilai optimum. Indikator: Nilai optimum ditentukan berdasarkan fungsi objektif dalam soal. Nilai optimum dari permasalahan program linier ditentukan melalui titik pojok. Perhatikan permasalahan berikut: Seorang penjual jus memiliki 12 buah apel dan 12 buah strawberry. Penjual tersebut ingin membuat dua macam jenis jus hasil pencampuran dua buah tersebut yang dinamakan jus Aberry dan jus Apstra. Jus Aberry dibuat dari 1 buah apel dan 2 buah strawberry sedangkan jus Apstra dibuat dari 2 buah apel dan 1 buah strawberry. Keuntungan dari penjualan Jus Aberry dan Jus Apstra masing-masing adalah Rp 500,00 dan Rp 400,00. Jika disajikan dalam bentuk tabel, maka menjadi seperti berikut. Jenis Jus Buah Jus Aberry Jus Apstra Persediaan (Kg) Apel (Kg) Strawberry (Kg) Berdasarkan informasi yang kamu dapatkan, tentukan: Perbandingan Apel yang dibutuhkan untuk membuat jus Aberry dan jus Apstra adalah 1 : 2. Persediaan Apel sebanyak 12 kg. Perbandingan Strawberry yang dibutuhkan untuk membuat jus Aberry dan jus Apstra adalah 2 : 1. Mengamati Persediaan Strawberry sebanyak 12 kg. Menanya Aktivitas Kelas 4.2 Berfikirlah kritis dan ajukan pertanyaan-pertanyaan yang ada dalam pikiranmu mengenai permasalahan tersebut! Bagaimana model matematika dari permasalahan tersebut? Bagaimana daerah penyelesaian dari permasalahan tersebut? Berapa nilai optimum dari permasalahan tersebut? 59

71 Buatlah model matematika dari permasalahan tersebut! Misalkan x = Buah Aberry dan y = Buah Apstra. Model matematikanya adalah: x + 2y 12, 2x + y 12, x 0, y 0. Mencoba Fungsi objektifnya adalah f(x, y) = 500x + 400y Tentukan daerah penyelesaian dari permasalahan tersebut! x + 2y = 12 X 0 12 Y 6 0 2x + y = 12 X 0 6 Y

72 Carilah nilai optimum dari permasalahan tersebut! Titik pojok: A(0,6); C(6,0); D(0,0); Karena titik pojok B merupakan titik potong antara persamaan garis x + 2y = 12 dan 2x + y = 12 maka kamu dapat menggunakan cara eliminasi dan subtitusi. Cara eliminasi: 2x + y = 12 dan x + 12y = 12 2x + y = 12 4x + 2y = 24 { x + 2y = 12 x + 2y = 12 3x = 12 x = 4 Subtitusikan x = 4 ke persamaan garis 2x + y = 12. Kamu dapatkan y = 4. Jadi B(4,4). Subtitusikan nilai titik pojok yang kamu dapatkan ke fungsi objektif f(x, y) = 500x + 400y. Titik pojok (x, y) f(x, y) = 500x + 400y. Optimum A(0,6) 500(0) + 400(6) B(4,4) 500(4) + 400(4) C(6,0) 500(6) + 400(0) D(0,0) 500(0) + 400(0) 0 Nilai maksimum dari permasalahan tersebut adalah Rp 3.600,00 pada titik B(4,4). Mengasosiasi Dari aktivitas yang kamu lakukan, buatlah kesimpulan menggunakan kata-katamu sendiri, bagaimana langkah-langkah menetukan nilai optimum dari permasalahan tersebut! Langkah-langkah menentukan nilai optimum (maksimum/minimum) dari permasalahan program linier adalah: a. Ubahlah permasalahan menjadi model matematikanya; b. Tentukan fungsi objektif dari permasalahan yang disajikan; c. Tentukan daerah penyelesaian dari model matematika yang kamu dapatkan; d. Salah satu alternatif penyelesaian, carilah nilai titik pojok dari daerah penyelesaian tersebut; e. Tentukan nilai optimum (maksimum/minimum) menggunakan fungsi objektif dan nilai titik pojok yang kamu dapatkan. Mengkomunikasikan Presentasikan dan diskusikan hasil yang kamu dapatkan di depan kelas! 61

73 Aktivitas Kelas 4.3. Nilai optimum. Indikator: Nilai optimum ditentukan berdasarkan fungsi objektif dalam soal. Nilai optimum dari permasalahan program linier ditentukan melalui titik pojok. Mengamati Perhatikan tabel berikut! Jenis Rak Rak Besar Rak Kecil Kapasitas Daya tampung buku (buah) Banyaknya rak (buah) x y 5 Harga (Rp) Tentukan banyaknya rak buku besar dan rak buku kecil dengan biaya seminimum mungkin namun buku-buku tetap dapat tertampung semua. Berdasarkan informasi yang kamu peroleh, tentukan: Perbandingan daya tampung rak besar dan rak kecil adalah 300: 100. Kiriman buku sebanyak 900 buku akan diletakkan di rak besar dan rak kecil. Perbandingan permisalan jumlah rak besar dan rak kecil adalah x : y. Perpustakaan hanya akan menampung tidak lebih dari 5 rak buku. Menanya Aktivitas Kelas 4.3 Berfikirlah kritis dan ajukan pertanyaan-pertanyaan yang ada dalam pikiranmu mengenai permasalahan tersebut! Bagaimana model matematika dari permasalahan tersebut? Bagaimana daerah penyelesaian dari permasalahan tersebut? Berapa nilai optimum dari permasalahan tersebut? 62

74 Mencoba Buatlah model matematika dari permasalahan tersebut! Misal x = Banyaknya rak besar dan y = Banyaknya rak kecil. Model matematikanya adalah: 300x + 100y 900 x + y 5 x 0; y 0. Fungsi Objektifnya adalah f(x, y) = x y. Tentukan daerah penyelesaian dari permasalahan tersebut! 300x + 100y = 900 X 0 3 Y 9 0 x + y = 5 X 0 5 Y

75 Carilah nilai optimum dari permasalahan tersebut! Titik pojok: M(0,5); O(3,0); P(0,0); Karena titik pojok N merupakan titik potong antara persamaan garis x + y = 5 dan 300x + 100y = 900 maka kamu dapat menggunakan cara eliminasi dan subtitusi. Cara eliminasi: x + y = 5 dan 300x + 100y = x + 100y = 900 { x + y = 5 300x + 100y = x + 100y = x = 400 x = 2 Subtitusikan x = 2 ke persamaan garis x + y = 5. Kamu dapatkan y = 3. Jadi N(2,3). Subtitusikan nilai titik pojok yang kamu dapatkan ke fungsi objektif f(x, y) = x y. Titik pojok (x, y) f(x, y) = x y. Optimum M(0,5) (0) (5) N(2,3) (2) (3) O(3,0) (3) (0) P(0,0) (0) (0) 0 Nilai maksimum dari permasalahan tersebut adalah Rp 3.000,00 pada titik N(2,3). Mengasosiasi Dari aktivitas yang kamu lakukan, buatlah kesimpulan menggunakan kata-katamu sendiri, bagaimana langkah-langkah menetukan nilai optimum dari permasalahan tersebut! Langkah-langkah menentukan nilai optimum (maksimum/minimum) dari permasalahan program linier adalah: a. Ubahlah permasalahan menjadi model matematikanya; b. Tentukan fungsi objektif dari permasalahan yang disajikan; c. Tentukan daerah penyelesaian dari model matematika yang kamu dapatkan; d. Salah satu alternatif penyelesaian, carilah nilai titik pojok dari daerah penyelesaian tersebut; e. Tentukan nilai optimum (maksimum/minimum) menggunakan fungsi objektif dan nilai titik pojok yang kamu dapatkan. Mengkomunikasikan Presentasikan dan diskusikan hasil yang kamu dapatkan di depan kelas! 64

76 Aktivitas Kelas 4.4. Nilai optimum. Indikator: Nilai optimum ditentukan berdasarkan fungsi objektif dalam soal. Nilai optimum dari permasalahan program linier ditentukan melalui titik pojok. Mengamati Seorang mekanik berencana membuat 2 jenis campuran cat mobil, campuran A dan campuran B. Dalam membuat campuran A membutuhkan 1 lt cat merah dan 2 lt cat biru dan 3 lt cat hijau. Sedangkan untuk membuat campuran B membutuhkan 2 lt merah dan 2 lt cat biru dan 2 lt cat hijau seperti yang tertera pada tabel berikut. Jika persediaan cat merah, cat biru dan hijau masing-masing adalah 8 lt, 10 lt dan 12 lt. Siswa mampu menentukan nilai optimum dari sistem pertidaksamaan linier. Setelah dijual keuntungan penjualan campuran A dan B tersebut masing-masing adalah Rp30.000,00 dan Rp50.000,00 Bahan cat Jenis Campuran Persediaan A B (lt) Merah (lt) Biru (lt) Hijau (lt) Keuntungan (Rp) Berdasarkan informasi yang kamu peroleh, tentukan: Perbandingan kebutuhan cat merah untuk membuat campuran A dan campuran B adalah 1 : 2. Perbandingan kebutuhan cat biru untuk membuat campuran A dan campuran B adalah 2 : 2. Perbandingan kebutuhan cat hijau untuk membuat campuran A dan campuran B adalah 3 : 2. Perbandingan antara persediaan cat merah, cat biru dan cat hijau adalah 8 : 10 : 12. Menanya Aktivitas Kelas 4.4 Berfikirlah kritis dan ajukan pertanyaan-pertanyaan yang ada dalam pikiranmu mengenai permasalahan tersebut! Bagaimana model matematika dari permasalahan tersebut? Bagaimana daerah penyelesaian dari permasalahan tersebut? Berapa nilai optimum dari permasalahan tersebut? 65

77 Mencoba Buatlah model matematika dari permasalahan tersebut! Misal x = Campuran A dan y = Campuran B Model matematikanya adalah: x + 2y 8, 3x + 2y 12 2x + 2y 10 x 0; y 0. Fungsi Objektifnya adalah f(x, y) = x y. Tentukan daerah penyelesaian dari permasalahan tersebut! x + 2y = 8 X 0 8 Y 4 0 3x + 2y = 12 X 0 4 Y 6 0 2x + 2y = 10 X 0 5 Y

78 Carilah nilai optimum dari permasalahan tersebut! Titik pojok: Q(0,4); S(3,0); T(0,0); Karena titik pojok R merupakan titik potong antara 3 persamaan garis, cukup pilih 2 yaitu x + 2y = 8 dan 2x + 2y = 10 maka kamu dapat menggunakan cara eliminasi dan subtitusi. Cara eliminasi: x + 2y = 8 dan 2x + 2y = 10 x + 2y = 8 { 2x + 2y = 10 x = 2 x = 2 Subtitusikan x = 2 ke persamaan garis x + 2y = 8. Kamu dapatkan y = 3. Jadi R(2,3). Subtitusikan nilai titik pojok yang kamu dapatkan ke fungsi objektif f(x, y) = x y. Titik pojok (x, y) f(x, y) = x y. Optimum Q(0,4) (0) (4) R(2,3) (2) (3) S(3,0) (3) (0) T(0,0) (0) (0) 0 Nilai maksimum dari permasalahan tersebut adalah Rp ,00 pada titik R(2,3). Mengasosiasi Dari aktivitas yang kamu lakukan, buatlah kesimpulan menggunakan kata-katamu sendiri, bagaimana langkah-langkah menetukan nilai optimum dari permasalahan tersebut! Langkah-langkah menentukan nilai optimum (maksimum/minimum) dari permasalahan program linier adalah: a. Ubahlah permasalahan menjadi model matematikanya; b. Tentukan fungsi objektif dari permasalahan yang disajikan; c. Tentukan daerah penyelesaian dari model matematika yang kamu dapatkan; d. Salah satu alternatif penyelesaian, carilah nilai titik pojok dari daerah penyelesaian tersebut; e. Tentukan nilai optimum (maksimum/minimum) menggunakan fungsi objektif dan nilai titik pojok yang kamu dapatkan. Mengkomunikasikan Presentasikan dan diskusikan hasil yang kamu dapatkan di depan kelas! 67

79 Aktivitas Kelas 4.5. Nilai optimum. Indikator: Nilai optimum ditentukan berdasarkan fungsi objektif dalam soal. Nilai optimum dari permasalahan program linier ditentukan melalui titik pojok. Mengamati Perhatikan permasalahan berikut! Rinto diharuskan makan dua tablet vitamin setiap hari. Tablet pertama mengandung 3 unit vitamin B dan 2 unit vitamin C. Sedangkan tablet kedua mengandung 2 unit vitamin B dan 3 unit vitamin C. Dalam sehari Rinto membutuhkan minimum 18 unit vitamin B dan 17 unit vitamin C. Jika harga tablet pertama Rp 1.500,00 per biji dan harga tablet kedua Rp 1.200,00 per biji. Tentukan pengeluaran paling minimum untuk memenuhi kebutuhan Rinto! Jenis Tablet Vitamin I (unit) II (unit) Kebutuhan (unit) B C Berdasarkan informasi yang kamu amati, tentukan: Perbandingan kandungan vitamin B pada tablet I dan tablet II adalah 3 : 2. Kebutuhan vitamin B minimum sebanyak 18 unit. Perbandingan kandungan vitamin C pada tablet I dan tablet II adalah 2 : 3. Kebutuhan vitamin C minimum sebanyak 17 unit. Menanya Aktivitas Kelas 4.5 Berfikirlah kritis dan ajukan pertanyaan-pertanyaan yang ada dalam pikiranmu mengenai permasalahan tersebut! Bagaimana model matematika dari permasalahan tersebut? Bagaimana daerah penyelesaian dari permasalahan tersebut? Berapa nilai optimum dari permasalahan tersebut? 68

80 Buatlah model matematika dari permasalahan tersebut! Misalkan x = banyaknya tablet I dan y = banyaknya tablet II. Model matematikanya adalah: 3x + 2y 18 2x + 3y 17 Mencoba dan x 0, y 0. Fungsi objektifnya adalah f(x, y) = 1.500x y. Tentukan daerah penyelesaian dari permasalahan tersebut! 3x + 2y = 18 X 0 6 Y 9 0 2x + 3y = 17 X Y

81 Carilah nilai optimum dari permasalahan tersebut! Titik pojok: B(0,9); D(8,5,0); Karena titik pojok C merupakan titik potong antara persamaan garis 3x + 2y = 18 dan 2x + 3y = 17 maka kamu dapat menggunakan cara eliminasi dan subtitusi. Cara eliminasi: 3x + 2y = 18 dan 2x + 3y = 17 x3x + 2y = 18 { 2x + 3y = 17 9x + 6y = 54 4x + 6y = 34 5x = 20 x = 4 Subtitusikan x = 4 ke persamaan garis 3x + 2y = 18. Kamu dapatkan y = 3. Jadi C(4,3). Subtitusikan nilai titik pojok yang kamu dapatkan ke fungsi objektif f(x, y) = 1.500x y. Titik pojok (x, y) f(x, y) = 1.500x y. Optimum B(0,9) 1.500(0) (9) C(4,3) 1.500(4) (3) D(8,5,0) 1.500(8,5) (0) Nilai minimum dari permasalahan tersebut adalah Rp 9.600,00 pada titik C(4,3). Mengasosiasi Dari aktivitas yang kamu lakukan, buatlah kesimpulan menggunakan kata-katamu sendiri, bagaimana langkah-langkah menetukan nilai optimum dari permasalahan tersebut! Langkah-langkah menentukan nilai optimum (maksimum/minimum) dari permasalahan program linier adalah: a. Ubahlah permasalahan menjadi model matematikanya; b. Tentukan fungsi objektif dari permasalahan yang disajikan; c. Tentukan daerah penyelesaian dari model matematika yang kamu dapatkan; d. Salah satu alternatif penyelesaian, carilah nilai titik pojok dari daerah penyelesaian tersebut; e. Tentukan nilai optimum (maksimum/minimum) menggunakan fungsi objektif dan nilai titik pojok yang kamu dapatkan. Mengkomunikasikan Presentasikan dan diskusikan hasil yang kamu dapatkan di depan kelas! 70

82 Aktivitas Kelas 4.6. Nilai optimum. Indikator: Nilai optimum ditentukan berdasarkan fungsi objektif dalam soal. Nilai optimum dari permasalahan program linier ditentukan melalui titik pojok. Mengamati Perhatikan permasalahan berikut! Panitia demo masakan menyediakan dua jenis makanan bergizi berbentuk bubuk untuk peserta. Tiap 400 gram, kedua jenis makanan tersebut mengandung nutrisi seperti tertera pada tabel berikut Makanan Unsur A (gram) B (gram) Protein Lemak 2 4 Para peserta setiap hari paling sedikit memerlukan 15 gram protein dan 4 gram lemak. Apabila harga makanan A Rp per kg dan makanan B Rp per 400 gram. Tentukan harga minimum dari makanan yang telah dihabiskan peserta setiap harinya! Berdasarkan informasi yang kamu amati, tentukan: Perbandingan kandungan protein pada makanan A dan makanan B adalah 15 : 10. Kebutuhan protein paling sedikit 15 gram. Perbandingan kandungan lemak pada makanan A dan makanan B adalah 2 : 4. Kebutuhan lemak paling sedikit 4 unit. Aktivitas Kelas 4.6 Menanya Berfikirlah kritis dan ajukan pertanyaan-pertanyaan yang ada dalam pikiranmu mengenai permasalahan tersebut! Bagaimana model matematika dari permasalahan tersebut? Bagaimana daerah penyelesaian dari permasalahan tersebut? Berapa nilai optimum dari permasalahan tersebut? 71

83 Buatlah model matematika dari permasalahan tersebut! Misalkan x = banyaknya makanan A dan y = banyaknya makanan B Model matematikanya adalah: 15x + 10y 15 2x + 4y 4 Mencoba dan x 0, y 0. Fungsi objektifnya adalah f(x, y) = x y. Tentukan daerah penyelesaian dari permasalahan tersebut! 15x + 10y = 15 X 0 1 Y 1,5 0 2x + 4y = 4 X 0 2 Y

84 Carilah nilai optimum dari permasalahan tersebut! Titik pojok: A(0, 1,5); C(2,0); Karena titik pojok B merupakan titik potong antara persamaan garis 15x + 10y = 15 dan 2x + 4y = 4 maka kamu dapat menggunakan cara eliminasi dan subtitusi. Cara eliminasi: 15x + 10y = 15 dan 2x + 4y = 4 15x + 10y = 15 { 2x + 4y = 4 30x + 20y = 30 10x + 20y = 20 20x = 10 x = 0,5 Subtitusikan x = 0,5 ke persamaan garis 2x + 4y = 4. Kamu dapatkan y = 0,75. Jadi B(0,5, 0,75). Subtitusikan nilai titik pojok yang kamu dapatkan ke fungsi objektif f(x, y) = x y. Titik pojok (x, y) f(x, y) = x y. Optimum A(0, 1,5) (0) (1,5) B(0,5, 0,75) (0,5) (0,75) C(2,0) (2) (0) Nilai minimum dari permasalahan tersebut adalah Rp ,00 pada titik B(0,5, 0,75). Mengasosiasi Dari aktivitas yang kamu lakukan, buatlah kesimpulan menggunakan kata-katamu sendiri, bagaimana langkah-langkah menetukan nilai optimum dari permasalahan tersebut! Langkah-langkah menentukan nilai optimum (maksimum/minimum) dari permasalahan program linier adalah: a. Ubahlah permasalahan menjadi model matematikanya; b. Tentukan fungsi objektif dari permasalahan yang disajikan; c. Tentukan daerah penyelesaian dari model matematika yang kamu dapatkan; d. Salah satu alternatif penyelesaian, carilah nilai titik pojok dari daerah penyelesaian tersebut; e. Tentukan nilai optimum (maksimum/minimum) menggunakan fungsi objektif dan nilai titik pojok yang kamu dapatkan. Mengkomunikasikan Presentasikan dan diskusikan hasil yang kamu dapatkan di depan kelas! 73

85 Aktivitas Kelas 4.7. Nilai optimum. Indikator: Nilai optimum ditentukan berdasarkan fungsi objektif dalam soal. Nilai optimum dari permasalahan program linier ditentukan melalui titik pojok. Mengamati Perhatikan permasalahan berikut! Seorang anak diharuskan mengkonsumsi dua jenis tablet setiap hari. Tablet pertama mengandung 5 unit vitamin A dan 3 unit vitamin B. sedangkan tablet kedua mengandung 10 unit vitamin A dan 1 unit vitamin B. Dalam satu hari anak tersebut memerlukan paling sedikit 20 unit vitamin A dan 5 unit vitamin B. Harga tablet pertama Rp 800,00 per butir dan tablet kedua Rp 400,00 per butir. Jika disajikan dalam bentuk tabel adalah sebagai berikut. Jenis Tablet Vitamin I (unit) II (unit) Kebutuhan (unit) A B Tentukan pengeluaran minimum untuk pembelian tablet per hari! Berdasarkan informasi yang kamu amati, tentukan: Perbandingan kandungan vitamin A pada tablet I dan tablet II adalah 5 : 10. Kebutuhan vitamin A minimum sebanyak 20 unit. Perbandingan kandungan vitamin B pada tablet I dan tablet II adalah 3 : 1. Kebutuhan vitamin B minimum sebanyak 5 unit. Menanya Aktivitas Kelas 4.7 Berfikirlah kritis dan ajukan pertanyaan-pertanyaan yang ada dalam pikiranmu mengenai permasalahan tersebut! Bagaimana model matematika dari permasalahan tersebut? Bagaimana daerah penyelesaian dari permasalahan tersebut? Berapa nilai optimum dari permasalahan tersebut? 74

86 Buatlah model matematika dari permasalahan tersebut! Misalkan x = banyaknya tablet I dan y = banyaknya tablet II Model matematikanya adalah: 5x + 10y 20 3x + y 5 Mencoba dan x 0, y 0. Fungsi objektifnya adalah f(x, y) = 800x + 400y. Tentukan daerah penyelesaian dari permasalahan tersebut! 5x + 10y = 20 X 0 4 Y 2 0 3x + y = 5 X Y

87 Carilah nilai optimum dari permasalahan tersebut! Titik pojok: A(0,5); C(4,0); Karena titik pojok B merupakan titik potong antara persamaan garis 5x + 10y = 20 dan 3x + y = 5 maka kamu dapat menggunakan cara eliminasi dan subtitusi. Cara eliminasi: 5x + 10y = 20 dan 3x + y = 5 5x + 10y = 20 { 3x + 10y = 50 5x + 10y = 20 30x + 10y = 50 25x = 30 x = 1,2 Subtitusikan x = 1,2 ke persamaan garis 5x + 10y = 20. Kamu dapatkan y = 1,4. Jadi B(1,2, 1,4). Subtitusikan nilai titik pojok yang kamu dapatkan ke fungsi objektif f(x, y) = 800x + 400y. Titik pojok (x, y) f(x, y) = 800x + 400y. Optimum A(0, 5) 800(0) + 400(5) B(1,2, 1,4) 800(1,2) + 400(1,4) C(4,0) 800(4) + 400(0) Nilai minimum dari permasalahan tersebut adalah Rp 1.520,00 pada titik B(1,2, 1,4). Mengasosiasi Dari aktivitas yang kamu lakukan, buatlah kesimpulan menggunakan kata-katamu sendiri, bagaimana langkah-langkah menetukan nilai optimum dari permasalahan tersebut! Langkah-langkah menentukan nilai optimum (maksimum/minimum) dari permasalahan program linier adalah: a. Ubahlah permasalahan menjadi model matematikanya; b. Tentukan fungsi objektif dari permasalahan yang disajikan; c. Tentukan daerah penyelesaian dari model matematika yang kamu dapatkan; d. Salah satu alternatif penyelesaian, carilah nilai titik pojok dari daerah penyelesaian tersebut; e. Tentukan nilai optimum (maksimum/minimum) menggunakan fungsi objektif dan nilai titik pojok yang kamu dapatkan. Mengkomunikasikan Presentasikan dan diskusikan hasil yang kamu dapatkan di depan kelas! 76

88 Aktivitas Kelas 4.8. Nilai optimum. Indikator: Nilai optimum ditentukan berdasarkan fungsi objektif dalam soal. Nilai optimum dari permasalahan program linier ditentukan melalui titik pojok. Mengamati Perhatikan permasalahan berikut! Dalam satu minggu tiap orang membutuhkan sedikitnya 32 unit karbohidrat dan 12 unit protein. Makanan A mengandung 8 unit karbohidrat, dan 16 unit protein untuk setiap satu kg. Makanan B mengandung 4 unit karbohidrat dan 4 unit protein untuk setiap satu kg. Jika disajikan dalam bentuk tabel adalah sebagai berikut. Jenis makanan Nutrisi A (unit) B (unit) Kebutuhan (unit) Karbohidrat Protein Berapa jumlah masing-masing makanan yang harus dibeli setiap minggu agar kebutuhan terpenuhi tetapi dengan biaya seminimum mungkin apabila satu kg makanan A harganya Rp ,00 dan satu kg makanan B harganya Rp ,00. Berdasarkan informasi yang kamu amati, tentukan: Perbandingan kandungan karbohidrat pada makanan A dan makanan B adalah 8 : 16. Kebutuhan karbohidrat minimum sebanyak 32 unit. Perbandingan kandungan protein pada makanan A dan makanan B adalah 4 : 4. Kebutuhan protein minimum sebanyak 12 unit. Aktivitas Kelas 4.8 Menanya Berfikirlah kritis dan ajukan pertanyaan-pertanyaan yang ada dalam pikiranmu mengenai permasalahan tersebut! Bagaimana model matematika dari permasalahan tersebut? Bagaimana daerah penyelesaian dari permasalahan tersebut? Berapa nilai optimum dari permasalahan tersebut? 77

89 Buatlah model matematika dari permasalahan tersebut! Misalkan x = banyaknya makanan A dan y = banyaknya makanan B Model matematikanya adalah: 8x + 16y 32 4x + 4y 12 Mencoba dan x 0, y 0. Fungsi objektifnya adalah f(x, y) = x y. Tentukan daerah penyelesaian dari permasalahan tersebut! 8x + 16y = 32 X 0 4 Y 2 0 4x + 4y = 12 X 0 3 Y

90 Carilah nilai optimum dari permasalahan tersebut! Titik pojok: A(0,3); C(4,0); Karena titik pojok B merupakan titik potong antara persamaan garis 8x + 16y = 32 dan 4x + 4y = 12 maka kamu dapat menggunakan cara eliminasi dan subtitusi. Cara eliminasi: 8x + 16y = 32 dan 4x + 4y = 12 { 8x + 16y = 32 4x + 4y = x + 16y = 32 16x + 16y = 48 8x = 16 x = 2 Subtitusikan x = 2 ke persamaan garis 4x + 4y = 12. Kamu dapatkan y = 1. Jadi B(2, 1). Subtitusikan nilai titik pojok yang kamu dapatkan ke fungsi objektif f(x, y) = x y. Titik pojok (x, y) f(x, y) = x y. Optimum A(0, 3) (0) (3) B(2, 1) (2) (1) C(4,0) (4) (0) Nilai minimum dari permasalahan tersebut adalah Rp ,00 pada titik A(0, 3). Mengasosiasi Dari aktivitas yang kamu lakukan, buatlah kesimpulan menggunakan kata-katamu sendiri, bagaimana langkah-langkah menetukan nilai optimum dari permasalahan tersebut! Langkah-langkah menentukan nilai optimum (maksimum/minimum) dari permasalahan program linier adalah: a. Ubahlah permasalahan menjadi model matematikanya; b. Tentukan fungsi objektif dari permasalahan yang disajikan; c. Tentukan daerah penyelesaian dari model matematika yang kamu dapatkan; d. Salah satu alternatif penyelesaian, carilah nilai titik pojok dari daerah penyelesaian tersebut; e. Tentukan nilai optimum (maksimum/minimum) menggunakan fungsi objektif dan nilai titik pojok yang kamu dapatkan. Mengkomunikasikan Presentasikan dan diskusikan hasil yang kamu dapatkan di depan kelas! 79

91 Kamu telah menyelesaikan aktivitas kelas 4.1 sampai aktivitas kelas 4.8. Apa yang kamu ketahui mengenai fungsi objektif dan nilai optimum? Bagaimana langkah-langkah menentukan nilai optimum atau nilai maksimum/minimum dari permasalahan program linier? Latihan 4 Kerjakanlah permasalahan berikut dengan baik dan benar. 1. Dengan persediaan kain polos 20 m dan bergaris 10 m, seorang penjahit akan membuat dua model pakaian jadi. Model 1 memerlukan kain 1 m kain polos dan 1,5 m kain bergaris. Model 2 memerlukan 2 m kain polos dan 0,5 m kain bergaris. Bila pakaian tersebut dijual setiap model 1 memperoleh untung Rp ,00 dan model 2 memperoleh untung Rp ,00. Laba maksimum yang diperoleh adalah Suatu perusahaan ingin mengangkut barang-barang yang sedikitnya terdiri dari 480 kardus dan 352 peti dengan menyewa dua jenis kendaraan yaitu mobil bak kijang dan mobil truk kecil. Sewa mobil untuk mobil bak kijang Rp ,00 dan untuk mobil truk kecil Rp ,00. Jika mobil bak kijang dapat mengangkut sampai 40 kardus dan 16 peti dan untuk truk kecil dapat mengangkut sampai 30 kardus dan 32 peti, tentukan banyaknya mobil bak kijang dan truk kecil yang harus disewa agar biaya pengankutan dapat ditekan sekecil mungkin. Tentukan pula besar biasa minimum tersebut. Ringkasan Fungsi objektif bertujuan untuk menentukan nilai maksimum atau minimum dari permasalahan program linier. Fungsi objektif atau bentuk objektif dalam program linier dinyatakan dalam bentuk f(x, y) = ax + by. Langkah-langkah menentukan nilai optimum (maksimum/minimum) dari permasalahan program linier adalah: a. Ubahlah permasalahan menjadi model matematikanya; b. Tentukan fungsi objektif dari permasalahan yang disajikan; c. Tentukan daerah penyelesaian dari model matematika yang kamu dapatkan; d. Salah satu alternatif penyelesaian, carilah nilai titik pojok dari daerah penyelesaian tersebut; e. Tentukan nilai optimum (maksimum/minimum) menggunakan fungsi objektif dan nilai titik pojok yang kamu dapatkan. 80

92 Kerjakanlah soal-soal berikut ini! 1. Sebuah industri kecil memproduksi dua jenis barang (barang A dan barang B) dengan menggunakan dua mesin (mesin M1 dan mesin M2). Satu unit barang A dibuat dengan mengoperasikan mesin M1 selama 2 menit dan mesin M2 selama 4 menit, sedangkan satu unit barang B dibuat dengan mengoperasikan mesin M1 selama 8 menit dan mesin M2 selama 4 menit, Dalam satu hari mesin M1 dan mesin M2 beroperasi tidak lebih dari 8 jam, Keuntungan bersih yang diperoleh dari tiap satu unit barang A adalah Rp250,00 dan tiap unit barang B adalah Rp500,00. Tentukan keuntungan terbesar yang dapat diperoleh industri tersebut. 2. Seorang peternak ayam setiap harinya membutuhkan dua jenis makanan ayam. Makanan jenis I dalam 1 Kg mengadung 9 unit bahan A dan 3 unit bahan B, sedangkan makanan jenis II dalam 1 Kg mengandung 3 unit bahan A dan 18 unit bahan B. Jumlah makanan jenis I dan jenis II setiap harinya masing masing minimal 5 Kg. Harga tiap kilogram makanan jenis I adalah Rp1.000,00 dan makanan jenis II adalah Rp2.000,00. Buatlah model matematika untuk permasalahan program linier tersebut, agar biaya makanan jenis I dan jenis II setiap harinya semurah-murahnya. Berapa kilogram kedua jenis makanan yang diperlukan ayam setiap harinya agar pengeluaran biaya sekecil mungkin? Tentukan besarnya biaya minimum setiap harinya. 81

93 82

94 Garis Selidik E Kompetensi Dasar Menerapkan garis selidik Indikator Garis selidik digambarkan dari fungsi objektif Nilai optimum dari permasalahan program linier ditentukan melalui garis selidik Tujuan Pembelajaran Siswa mampu menentukan nilai optimum dari permasalahan program linier melalui garis selidik Petunjuk Pembelajaran Berdoalah sebelum mengerjakan LKS. Kerjakanlah LKS dengan jujur, kreatif, teliti dan pantang menyerah. Kerjakanlah LKS denga baik dan benar. 83

95 E. GARIS SELIDIK Pada pertemuan sebelumnya, kamu telah mempelajari bagaimana menentukan nilai optimum dari permasalahan program liner menggunakan metode titik pojok. Pada bagian ini, kamu akan mempelajari metode lain dalam menentukan nilai optimum dari permasalahan program linier yaitu metode garis selidik. Definisi Garis selidik adalah suatu garis -garis yang sejajar dengan persamaan fungsi objektif ax + by = k, dimana a, b > 0, k R. Garis selidik berfungsi untuk menyelidiki dan menentukan sejauh mana fungsi objektif maksimum atau minimum. Masalah 5.1 Perhatikan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan berikut! Fungsi objektif: 3x + 2y 2x + y = 12 Gambar 5.1 x + 2y = 18 Tentukan nilai optimum dari daerah penyelesaian di atas! Alternatif penyelesaian: Pertama, Tentukan garis selidik menggunakan fungsi objektif yang diketahui: 3x + 2y Misalkan sebarang bilangan k, sehingga persamaan garis selidiknya menjadi sebagai berikut: 3x + 2y = k. Kedua, pilihlah sebarang k sehingga kamu dapat dengan mudah melukis garis selidiknya. Misal k = 6 sehingga diperoleh garis 3x + 2y = 6. Ketiga, Lukislah garis selidik 3x + 2y = 6. 84

96 Keempat, tentukan titik yang terletak paling jauh dan paling dekat dari titik pangkal yaitu titik B(2,8) dan O(0,0). (Gunakan eliminasi dan subtitusi yang sudah kamu ketahui untuk mendapatkan titik B) Kelima, lukislah garis yang sejajar dengan 3x + 2y = 6 dan melalui titik paling jauh B(2,8) dan titik paling dekat O(0,0) seperti pada gambar dibawah ini. 3x + 2y = 0 3x + 2y = 6 2x + y = 12 x + 2y = 18 3x + 2y = 22 Keenam, titik terjauh B(2,8) adalah titik pada daerah penyelesaian yang menyebabkan fungsi objektif 3x + 2y maksimum. Dan titik terdekat O(0,0) adalah titik pada daerah penyelesaian yang menyebabkan fungsi objektif 3x + 2y minimum. Nilai maksimum fungsi objektif 3x + 2y adalah = 22. Sedangkan nilai minimum fungsi objektif 3x + 2y adalah = 0. Apa yang kamu ketahui mengenai garis selidik pada masalah 5.1 di atas? Bagaimana menentukan nilai optimum (maksimum dan minimum) menggunakan metode garis selidik? Kerjakan aktivitas 5.1 supaya kamu lebih memahami langkah-langkah menentukan nilai optimum (maksimum dan minimum) dari permasalahan program linier menggunakan metode garis selidik. 85

97 Aktivitas Kelas 5.1. Garis Selidik. Indikator: Nilai optimum ditentukan menggunakan garis selidik. Nilai optimum dari permasalahan program linier ditentukan melalui garis selidik. Aktivitas Kelas 5.1 Mengamati Perhatikan daerah penyelesaian pada gambar di samping! Tentukan: Titik terjauh = G(3, 2) Titik terdekat = E(0,0) Garis selidik x + 2y = 2 Fungsi objektif: x + 2y 2x + y 8 x + 3y 9 Menanya Berfikirlah kritis dan ajukan pertanyaan-pertanyaan yang ada dalam pikiranmu mengenai permasalahan tersebut! Berapa nilai optimum dari permasalahan tersebut?. 86

98 Mencoba Lukislah garis-garis selidik dari permasalahan tersebut! Tentukan nilai optimum dari permasalahan tersebut? Nilai maksimum: 3 + 2(2) = 0 Nilai Minimum: 0 + 2(0) = 0 87

99 Mengasosiasi Dari aktivitas kelas yang kamu lakukan, buatlah kesimpulan menggunakan kata-katamu sendiri, bagaimana langkah-langkah menentukan nilai optimum dari permasalahan program linier menggunakan garis selidik! Langkah-langkah menentukan nilai optimum fungsi objektif ax + by pada suatu daerah penyelesaian menggunakan garis selidik adalah sebagai berikut: a. Tentukan garis selidik menggunakan fungsi objektif yang kamu ketahui. Misalkan sebarang bilangan k, sehingga persamaan garis selidiknya menjadi sebagai berikut. ax + by = k. b. Pilihlah sebarang k sehingga kamu dapat dengan mudah melukis garis selidiknya. c. Lukislah garis selidik tersebut. d. Tentukan titik yang terletak paling jauh dan paling dekat dari titik pangkal. e. Lukislah garis yang sejajar dengan persamaan garis selidik dan melalui titik paling jauh dan titik paling dekat. f. Titik terjauh adalah titik pada daerah penyelesaian yang menyebabkan fungsi objektif maksimum. Titik terdekat adalah titik pada daerah penyelesaian yang menyebabkan fungsi objektif minimum. Mengkomunikasikan Presentasikan dan diskusikan hasil yang kamu dapatkan di depan kelas! 88

100 Aktivitas Kelas 5.2. Garis Selidik. Indikator: Nilai optimum ditentukan menggunakan garis selidik. Nilai optimum dari permasalahan program linier ditentukan melalui garis selidik. Aktivitas Kelas 5.1 Mengamati Perhatikan daerah penyelesaian pada gambar di samping! Tentukan: Titik terdekat = B(2,2) Garis selidik 5x + 7y = 35 Fungsi objektif: 5x + 7y x + y 4 x + 2y 6 Menanya Berfikirlah kritis dan ajukan pertanyaan-pertanyaan yang ada dalam pikiranmu mengenai permasalahan tersebut! Berapa nilai optimum dari permasalahan tersebut?. 89

101 Mencoba Lukislah garis-garis selidik dari permasalahan tersebut! Tentukan nilai optimum dari permasalahan tersebut? Nilai minimum: 5(2) + 7(2) = 24 90

Sekolah Menengah Kejuruan (SMK) MATEMATIKA LEMBAR KERJA SISWA PROGRAM LINIER IBROHIM AJI KUSUMA. Pendekatan Sainti k

Sekolah Menengah Kejuruan (SMK) MATEMATIKA LEMBAR KERJA SISWA PROGRAM LINIER IBROHIM AJI KUSUMA. Pendekatan Sainti k Sekolah Menengah Kejuruan (SMK) MATEMATIKA LEMBAR KERJA SISWA PROGRAM LINIER X IBROHIM AJI KUSUMA Pendekatan Sainti k Buku Siswa Nama Kelas No. Absen Matematika Lembar Kerja Siswa Program Linier Kurikulum

Lebih terperinci

PROGRAM LINEAR. Ingat: Langkah-langkah dalam menggambar ax + by = c 1. Buat daftar nilai x dan y pada tabel.

PROGRAM LINEAR. Ingat: Langkah-langkah dalam menggambar ax + by = c 1. Buat daftar nilai x dan y pada tabel. NAMA : KELAS : 1 2 Ingat: Langkah-langkah dalam menggambar ax + by = c 1. Buat daftar nilai x dan y pada tabel. x y PROGRAM LINEAR 2. Tentukan titik potong dengan sumbu X, yaitu saat y = 0. 3. Tentukan

Lebih terperinci

Contoh : Gambarlah daerah x + y 0. Jika daerah tersebut dibatasi untuk nilai-nilai x 0, dan y 0, maka diperoleh gambar seperti berikut.

Contoh : Gambarlah daerah x + y 0. Jika daerah tersebut dibatasi untuk nilai-nilai x 0, dan y 0, maka diperoleh gambar seperti berikut. Setelah mempelajari materi pada kompetensi dasar ini, kalian diharapkan dapat: menjelaskan pengertian program linier, menggambar grafik himpunan penyelesaian pertidaksamaan linier, dan menggambar grafik

Lebih terperinci

Xpedia Matematika Dasar

Xpedia Matematika Dasar Xpedia Matematika Dasar Soal Program Linear Doc. Name: XPMATDAS0999 Doc. Version : 01-09 halaman 1 01. Nilai z = 3x + y maksimum pada x = a dan y = b. Jika x = a dan y = b juga memenuhi pertidaksamaan

Lebih terperinci

02. Nilai maksimum dari 20x + 8y untuk x dan y yang memenuhi x + y 20, 2x + y 48, 0 x 20 dan 0 y 48 adalah. (A) 408 (B) 456 (C) 464 (D) 480 (E) 488

02. Nilai maksimum dari 20x + 8y untuk x dan y yang memenuhi x + y 20, 2x + y 48, 0 x 20 dan 0 y 48 adalah. (A) 408 (B) 456 (C) 464 (D) 480 (E) 488 01. Nilai z = 3x + 2y maksimum pada x = a dan y = b. Jika x = a dan y = b juga memenuhi pertidaksamaan: -2x + y 0 x - 2y 0 dan x + 2y 8, maka a + b =. (A) 2 (B) 1 (C) 2 (D) (E) 6 02. Nilai maksimum dari

Lebih terperinci

Rencana Pelaksanaan Pembelajaran

Rencana Pelaksanaan Pembelajaran Rencana Pelaksanaan Pembelajaran I. Identitas Nama Sekolah : SMK N 1 Bonjol Mata Pelajaran : Matematika Kelas / Semester : x /2 Standar Kompetensi : 5. Memecahkan masalah program linear Kompetensi Dasar

Lebih terperinci

Gambar 1.1 Mesin dan SDM perusahaan

Gambar 1.1 Mesin dan SDM perusahaan BAB I PROGRAM LINEAR Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi bab ini, Anda diharapkan dapat: 1. menyelesaikan sistem pertidaksamaan linear dua variabel, 2. merancang model matematika dari masalah

Lebih terperinci

A. Persamaan Linier Dua

A. Persamaan Linier Dua Apa yang akan Anda Pelajari? Mengenal PLDV dalam berbagai bentuk dan variabel Menentukan himpunan penyelesaian PLDV dan grafiknya Mengenal SPLDV dalam berbagai bentuk dan variabel Menentukan penyelesaian

Lebih terperinci

PROGRAM LINIER. Sumber: Art & Gallery

PROGRAM LINIER. Sumber: Art & Gallery 4 PROGRAM LINIER Sumber: Art & Gallery 114 Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi Standar kompetensi program linier terdiri atas empat kompetensi dasar. Dalam penyajian pada buku ini setiap

Lebih terperinci

Persamaan dan Pertidaksamaan Linear

Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Bab Persamaan dan Pertidaksamaan Linear A. KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR Kompetensi Dasar Setelah mengikuti pembelajaran persamaan dan pertidaksamaan linear, siswa mampu: 1. Menghayati dan mengamalkan

Lebih terperinci

ULANGAN SEMESTER GENAP TAHUN PELAJARAN 2009/2010. Hari, Tanggal : Senin, 17 Mei 2010 Waktu : WIB (120 menit)

ULANGAN SEMESTER GENAP TAHUN PELAJARAN 2009/2010. Hari, Tanggal : Senin, 17 Mei 2010 Waktu : WIB (120 menit) PEMERINTAH KABUPATEN DEMAK DINAS PENDIDIKAN PEMUDA DAN OLAHRAGA SMK NEGERI 1 DEMAK Jalan Sultan Trenggono No. 87 Telp/Fax : (0291) 685519 Demak (Email : smk1dmk@yahoo.com) ULANGAN SEMESTER GENAP TAHUN

Lebih terperinci

PROGRAM LINEAR. sudir15mks

PROGRAM LINEAR. sudir15mks PROGRAM LINEAR A. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel Suatu garis dalam bidang koordinat dapat dinyatakan dengan persamaan yang berbentuk: x a x b a1 1 2 2 Persamaan semacam ini dinamakan persamaan

Lebih terperinci

Program Linear. Bab I

Program Linear. Bab I Program Linear 1 Bab I Program Linear Sumber: Ensiklopedia Pelajar, 1999 Motivasi Setiap pedagang, pengusaha, atau orang yang berkecimpung di bidang usaha pasti menginginkan keuntungan sebanyak-banyaknya

Lebih terperinci

Bab. Program Linear. Di unduh dari: (www.bukupaket.com) Sumber buku : (bse.kemdikbud.go.id)

Bab. Program Linear. Di unduh dari: (www.bukupaket.com) Sumber buku : (bse.kemdikbud.go.id) Bab II Program Linear 51 Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari bab ini, diharapkan kalian dapat 1. menjelaskan sistem pertidaksamaan linear dua variabel dan penyelesaiannya; 2. menentukan fungsi tujuan

Lebih terperinci

MODUL 1 : PROGRAM LINEAR

MODUL 1 : PROGRAM LINEAR MODUL 1 : PROGRAM LINEAR A. Pendahuluan Dalam kehidupan sehari-hari sering dijumpai aplikasi program linear, seperti pembangunan perumahan atau apartemen, pemakaian obat-obatan dalam penyembuhan pasien,

Lebih terperinci

CONTOH SOAL UAN PROGRAM LINIER

CONTOH SOAL UAN PROGRAM LINIER 1. Luas daerah parkir 1.760 m 2. Luas rata rata untuk mobil kecil 4 m 2 dan mobil besar 20 m 2. Daya tampung maksimum hanya 200 kendaraan, biaya parkir mobil kecil Rp 1.000,00/jam dan mobil besar Rp 2.000,00/jam.

Lebih terperinci

Soal No. 2 Daerah yang diarsir pada gambar ialah himpunan penyelesaian suatu sistem pertidaksamaan linear.

Soal No. 2 Daerah yang diarsir pada gambar ialah himpunan penyelesaian suatu sistem pertidaksamaan linear. Soal No. 1 Luas daerah parkir 1.760 m 2. Luas rata-rata untuk mobil kecil 4 m 2 dan mobil besar 20 m 2. Daya tampung maksimum hanya 200 kendaraan. Biaya parkir mobil kecil Rp 1.000,00/jam dan mobil besar

Lebih terperinci

BAB 3 PROGRAM LINEAR 1. MODEL MATEMATIKA

BAB 3 PROGRAM LINEAR 1. MODEL MATEMATIKA BAB 3 PROGRAM LINEAR 1. MODEL MATEMATIKA Masalah 1.1 Sekelompok tani transmigran mendapatkan 10 hektar tanah yang dapat ditanami padi, jagung, dan palawija lain. Karena keterbatasan sumber daya petani

Lebih terperinci

SOAL-SOAL LATIHAN PROGRAM LINEAR UJIAN NASIONAL

SOAL-SOAL LATIHAN PROGRAM LINEAR UJIAN NASIONAL SAL-SAL LATIHAN PRGRAM LINEAR UJIAN NASINAL Peserta didik memiliki kemampuan memahami konsep pada topik program linear. Peserta didik memilki kemampuan mengaplikan konsep kalkulus dalam masalah kontekstual

Lebih terperinci

K13 Revisi Antiremed Kelas 11 Matematika Wajib

K13 Revisi Antiremed Kelas 11 Matematika Wajib K13 Revisi Antiremed Kelas 11 Matematika Wajib Program Linier - Latihan Soal Doc. Name: RK13AR11MATWJB0401 Version : 2016-10 halaman 1 01. Nilai z = 3x + 2y maksimum pada x = a dan y = b. Jika x = a dan

Lebih terperinci

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP)

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP) A. Kompetensi Inti SMK kelas XI : RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP) Satuan Pendidikan : SMK Negeri 1 Klaten Mata Pelajaran : Matematika Kelas/Semester : XI/3 Topik : Program Linier Waktu : 10 45 menit

Lebih terperinci

Program Linear - IPA

Program Linear - IPA Program Linear - IPA Tahun 2005 1. Tanah seluas 10.000 m² akan dibangun rumah tipe A dan tipe B. Untuk rumah tipe A diperlukan 100 m² dan tipe B diperlukan 75 m². Jumlah rumah yang dibangun paling banyak

Lebih terperinci

Persamaan dan Pertidaksamaan Linear

Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Bab Persamaan dan Pertidaksamaan Linear A. KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR Kompetensi Dasar Setelah mengikuti pembelajaran persamaan dan pertidaksamaan linear, siswa mampu: 1. Menghayati dan mengamalkan

Lebih terperinci

a. 16 b. 24 c. 30 d. 36 e Nilai maksimum fungsi sasaran Z = 6x + 8y dari system pertidaksamaan 4x + 2y 60, 2x

a. 16 b. 24 c. 30 d. 36 e Nilai maksimum fungsi sasaran Z = 6x + 8y dari system pertidaksamaan 4x + 2y 60, 2x 1. Luas daerah parkir 1.760 m 2. Luas rata rata untuk mobil kecil 4 m 2 dan mobil besar 20 m 2. Daya tampung maksimum hanya 200 kendaraan, biaya parkir mobil kecil Rp. 1.000,00/jam dan mobil besar Rp.

Lebih terperinci

PEDOMAN WAWANCARA DIALOG AWAL

PEDOMAN WAWANCARA DIALOG AWAL 51 Lampiran 1 PEDOMAN WAWANCARA DIALOG AWAL PENINGKATAN PEMAHAMAN KONSEP MATEMATIKA DENGAN PENERAPAN PEMBELAJARAN MATEMATIKA BERBASIS KONSTRUKTIVISME (PTK Pada Siswa Kelas X Jurusan Teknik Otomotif SMK

Lebih terperinci

1. Fungsi Objektif z = ax + by

1. Fungsi Objektif z = ax + by Nilai Optimum Suatu Fungsi Objektif, Program Linear, Fungsi Objektif, Cara Menentukan, Contoh Soal, Rumus, Pembahasan, Metode Uji Titik Sudut, Metode Garis Selidik, Matematika Nilai Optimum Suatu Fungsi

Lebih terperinci

Tabel 4.1 Data pretest menurut jenis-jenis kesalahan

Tabel 4.1 Data pretest menurut jenis-jenis kesalahan BAB IV HASIL PENELITIAN A. Deskriptif Data Tipe soal 1. Deskriptif Hasil Pretest Teknik yang digunakan untuk memperoleh data adalah menggunakan test-test yang dilakukan yang terdiri dari pretest dan posttest.

Lebih terperinci

SOAL-SOAL LATIHAN UN A35

SOAL-SOAL LATIHAN UN A35 SAL-SAL LATIHAN 1. UN A5 01 Penjahit Hidah Pantes akan membuat pakaian wanita dan pria. Untuk membuat pakaian wanita diperlukan bahan bergaris m dan bahan polos 1 m. Untuk membuat pakaian pria diperlukan

Lebih terperinci

Berdasarkan definisi di atas, maka pertidaksamaan linear dua variabel dapat dinyatakan dalam bentuk:

Berdasarkan definisi di atas, maka pertidaksamaan linear dua variabel dapat dinyatakan dalam bentuk: BAHAN AJAR A. Kompetensi Inti KI 1 : Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya. KI 2: Menghayati dan mengamalkan perilaku jujur, disiplin, tanggungjawab, peduli (gotong royong, kerjasama,

Lebih terperinci

Pilihlah jawaban yang paling tepat! 1. Ordo dari matriks A = adalah. A. 2 x 3 B. 2 x 2 C. 3 x 1 D. 3 x 2 E. 3 x 3

Pilihlah jawaban yang paling tepat! 1. Ordo dari matriks A = adalah. A. 2 x 3 B. 2 x 2 C. 3 x 1 D. 3 x 2 E. 3 x 3 Pilihlah jawaban yang paling tepat!. Ordo dari matriks A = 7 A. x B. x C. x D. x x adalah.. Berikut ini yang termasuk Matriks identitas adalah... A. 7 B. 7 C. D. a b. Diketahui A = dan B = b A. B. C. D..

Lebih terperinci

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP)

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP) RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP) I. Identitas Mata Pelajaran: 1. Nama Sekolah :SMA 6 YOGYAKARTA 2. Kelas : XII 3. Semester : 1 4. Program : IPA 5. Mata Pelajaran : Program Linier 6. Waktu : : 8 JP

Lebih terperinci

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN NO. 01/2

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN NO. 01/2 RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN NO. 01/2 Nama Sekolah : SMK Diponegoro Lebaksiu Mata Pelajaran : Matematika Kelas / Semester : X / 2 Alokasi Waktu : 4 x 45 menit (1 x pertemuan) Standar Kompetensi Kompetensi

Lebih terperinci

A. PENGERTIAN PROGRAM LINEAR

A. PENGERTIAN PROGRAM LINEAR Pertemuan 1 Standar Kompetensi : Menyelesaikan masalah program linier Kompetensi dasar : Membuat grafik himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linier Indikator : Pertidaksamaan linier ditentukan daerah

Lebih terperinci

BAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN. Produk yang dikembangkan adalah perangkat pembelajaran berupa LKS berbasis

BAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN. Produk yang dikembangkan adalah perangkat pembelajaran berupa LKS berbasis BAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN A. Hasil Penelitian Jenis penelitian yang dilakukan merupakan jenis penelitian pengembangan. Produk yang dikembangkan adalah perangkat pembelajaran berupa LKS berbasis

Lebih terperinci

Persamaan dan Pertidaksamaan Linear

Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Bab Persamaan dan Pertidaksamaan Linear A. KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR Kompetensi Dasar Setelah mengikuti pembelajaran ini siswa mampu: 1. menghayati pola hidup disiplin, kritis, bertanggungjawab,

Lebih terperinci

PROGRAM LINEAR. Fattaku Rohman, S.Pd. Kelas XII SMA Titian Teras Jambi

PROGRAM LINEAR. Fattaku Rohman, S.Pd. Kelas XII SMA Titian Teras Jambi PROGRAM LINEAR Fattaku Rohman, S.Pd Kelas XII SMA Titian Teras Jambi Apersepsi Standar Kompetensi & Kompetensi Dasar Materi Uji Kompetensi Apersepsi Setiap orang atau perusahaan pasti menginginkan keuntungan

Lebih terperinci

MAT. 04. Geometri Dimensi Dua

MAT. 04. Geometri Dimensi Dua MAT. 04. Geometri Dimensi Dua i Kode MAT.14 Program Linear BAGIAN PROYEK PENGEMBANGAN KURIKULUM DIREKTORAT PENDIDIKAN MENENGAH KEJURUAN DIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH DEPARTEMEN PENDIDIKAN

Lebih terperinci

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN NO: 1

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN NO: 1 RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN NO: 1 Materi Pokok : Integral Pertemuan Ke- : 1 dan Alokasi Waktu : x pertemuan (4 x 45 menit) Standar Kompetensi : Menggunakan konsep integral dalam pemecahan masalah

Lebih terperinci

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP) Nama Sekolah :... Mata Pelajaran : Matematika Kelas / Program : XII Semester : Ganjil

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP) Nama Sekolah :... Mata Pelajaran : Matematika Kelas / Program : XII Semester : Ganjil RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP) Nama Sekolah :... Mata Pelajaran : Matematika Kelas / Program : XII Semester : Ganjil Standar Kompetensi : 1. Menggunakan konsep integral dalam pemecahan masalah.

Lebih terperinci

PROGRAM LINEAR. LA - WB (Lembar Aktivitas Warga Belajar) MATEMATIKA PAKET C TINGKAT VI DERAJAT MAHIR 2 SETARA KELAS XII

PROGRAM LINEAR. LA - WB (Lembar Aktivitas Warga Belajar) MATEMATIKA PAKET C TINGKAT VI DERAJAT MAHIR 2 SETARA KELAS XII LA - WB (Lembar Aktivitas Warga Belajar) PROGRAM LINEAR Oleh: Hj. ITA YULIANA, S.Pd, M.Pd MATEMATIKA PAKET C TINGKAT VI DERAJAT MAHIR 2 SETARA KELAS XII Created By Ita Yuliana 9 Program Linear Kompetensi

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. Pengembangan kurikulum yang sedang berlangsung sekarang merupakan salah satu

BAB I PENDAHULUAN. Pengembangan kurikulum yang sedang berlangsung sekarang merupakan salah satu BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Pendidikan merupakan objek yang paling dominan dalam menjalani kehidupan manusia dari waktu ke waktu, sebab pendidikan adalah kunci keberhasilan dari suatu

Lebih terperinci

LEMBAR AKTIVITAS SISWA PROGRAM LINEAR

LEMBAR AKTIVITAS SISWA PROGRAM LINEAR LEMBAR AKTIVITAS SISWA PROGRAM LINEAR c) Subtitusikan titik (0,0) kedalam pertidaksamaan. Nama Siswa : Jika hasil benar, maka penyelesaiaannya adalah daerah Kelas : yang memuat titik tersebut. Jika hasil

Lebih terperinci

Tablet I x Tablet II y Batasan Vitamin A 5 10 Minimal 20 Vitamin B 3 1 Minimal 5 Harga/Biji 4 8

Tablet I x Tablet II y Batasan Vitamin A 5 10 Minimal 20 Vitamin B 3 1 Minimal 5 Harga/Biji 4 8 2. Program Linier a. Defenisi Program linier adalah metode untuk mendapatkan penyelesaian optimum dari suatu fungsi sasaran yang mengandung kendala atau batasan yang dapat dibuat dalam bentuk sistem pertidaksamaan

Lebih terperinci

PERTIDAKSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL

PERTIDAKSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL PRGRAM LINEAR Intisari Teori A. PERTIDAKSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL (PtLDV) Suatu pernyataan yang berbentuk a by c 0 (tanda ketidaksamaan dapat diganti dengan, >, atau < ) dengan a dan b tidak semuanya

Lebih terperinci

Program Linear B A B. A. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel. B. Model Matematika. C. Nilai Optimum Suatu Fungsi Objektif

Program Linear B A B. A. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel. B. Model Matematika. C. Nilai Optimum Suatu Fungsi Objektif Program Linear Program Linear B A B 2 A. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel B. Model Matematika C. Nilai Optimum Suatu Fungsi Objektif Sumber: http://blontankpoer.blogsome.com Dalam dunia usaha,

Lebih terperinci

Modul 6 SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL

Modul 6 SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL Standar Kompetensi Modul 6 SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL Memahami dan dapat melakukan operasi bentuk aljabar, persamaan dan pertidaksamaan linear satu variabel, himpunan serta dapat menggunakan

Lebih terperinci

PROGRAM LINIER. x y ( x, y ) 0 1 ( 0, 1 ) 3 0 ( 3, 0 ) Titik uji (0,0): x 3y (0) 3. Benar. Sehingga titik (0,0) termasuk daerah penyelesaian.

PROGRAM LINIER. x y ( x, y ) 0 1 ( 0, 1 ) 3 0 ( 3, 0 ) Titik uji (0,0): x 3y (0) 3. Benar. Sehingga titik (0,0) termasuk daerah penyelesaian. PROGRAM LINIER ). Pengertian program linier Program linier adalah suatu cara ang dapat digunakan untuk memecahkan permasalahan ang berhubungan dengan optimasi linier (nilai maksimum atau nilai minimum).

Lebih terperinci

07/11/2009. By. M. Isral, S.Pd Page 1

07/11/2009. By. M. Isral, S.Pd Page 1 SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL (SPL2V) Standar Kompetensi 2. Memahami sistem persamaan linear dua variabel dan menggunakannya dalam pemecahan masalah. Kompetensi Dasar 2.1 Menyelesaikan sistem persamaan

Lebih terperinci

Model Program Linear dan Daerah Penyelesaian Masalah

Model Program Linear dan Daerah Penyelesaian Masalah MATA4230/MODUL 1 1.1 Modul 1 Model Program Linear dan Daerah Penyelesaian Masalah D PENDAHULUAN Prof. Dr. Djati Kerami i dalam modul pertama ini Anda akan mempelajari penurunan model program linear dari

Lebih terperinci

MODUL 1 : PROGRAM LINEAR

MODUL 1 : PROGRAM LINEAR MODUL 1 : PROGRAM LINEAR E. Kegiatan Belajar 2 PENERAPAN PROGRAM LINEAR 1. K A. Nilai Optimum Fungsi Obyektif Fungsi objektif merupakan fungsi yang menjelaskan tujuan (meminimumkan atau memaksimumkan)

Lebih terperinci

53

53 LAMPIRAN 53 54 55 56 57 RENCANA PELAKSAAN PEMBELAJARAN (RPP) Nama Sekolah : SMP Negeri 1 Sooko Ponorogo Mata Pelajaran : Matematika Kelas / Semester : VIII / 1 Materi Pokok : Persamaan Garis Lurus Alokasi

Lebih terperinci

Siswa dapat menggambar grafik himpunan penyelesaikan sistim pertidaksamaan linier dengan 2 varabel

Siswa dapat menggambar grafik himpunan penyelesaikan sistim pertidaksamaan linier dengan 2 varabel RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP) Nama Sekolah :... Mata Pelajaran : Matematika Kelas/Semester : XI/3 Pertemuan ke : 1,2, dan 3 Alokasi Waktu : 6 x 45 menit Standar Kompetensi : Menyelesaikan program

Lebih terperinci

E-learning matematika, GRATIS

E-learning matematika, GRATIS 1 Penusun Editor : Rifan Nadhifi, S.Si. ; Imam Indra Gunawan, S.Si. : Drs. Keto Susanto, M.Si. M.T. ; Istijab, S.H. M.Hum. Imam Indra Gunawan, S.Si. A. Sistem Pertidaksamaan Linear Pertidaksamaan linear

Lebih terperinci

Oleh: Ibrohim Aji Kusuma NIM

Oleh: Ibrohim Aji Kusuma NIM PENGEMBANGAN LKS BERBASIS PENDEKATAN SAINTIFIK PADA MATERI PROGRAM LINIER UNTUK SMK KELAS X HALAMAN JUDUL SKRIPSI diajukan kepada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta

Lebih terperinci

Contoh Soal Sistem Persamaan Linear Dua Variabel dan Pembahasannya

Contoh Soal Sistem Persamaan Linear Dua Variabel dan Pembahasannya Contoh Soal Sistem Persamaan Linear Dua Variabel dan Pembahasannya Contoh Soal 1 Tentukan penyelesaian dari SPLDV berikut ini dengan metode substitusi: x + y = 8 2x + 3y = 19 Jawab : x + y = 8. (1) 2x

Lebih terperinci

Bab 4. Sistem Persamaan Linier dan Variabel. Standar Kompetensi

Bab 4. Sistem Persamaan Linier dan Variabel. Standar Kompetensi Bab 4 Sistem Persamaan Linier dan Variabel Standar Kompetensi Memahami sistem persamaan linear dua variabel, dan menggunakanna dalam pemecahan masalah Kompetensi Dasar.1 Menelesaikan sistem persamaan linear

Lebih terperinci

MODUL 5 PROGRAM LINEAR

MODUL 5 PROGRAM LINEAR MODUL 5 PROGRAM LINEAR 1 KATA PENGANTAR Modul pembelajaran ini dirancang untuk mengarahkan bagaimana siswa belajar menguasai kompetensi Menerapkan Konsep Program Linear secara mandiri, tanpa mengesampingkan

Lebih terperinci

PROGRAM LINEAR Jenis-jenis soal program linear yang sering diujikan adalah soal-soal tentang :

PROGRAM LINEAR Jenis-jenis soal program linear yang sering diujikan adalah soal-soal tentang : PROGRAM LINEAR Jenis-jenis soal program linear yang sering diujikan adalah soal-soal tentang : 1. Menggambar daerah yang memenuhi 2. Menentukan system pertidaksamaan suatu daerah 3. Menentukan nilai optimum

Lebih terperinci

ANALISIS PENETAPAN KRITERIA KETUNTASAN MINIMAL (KKM)

ANALISIS PENETAPAN KRITERIA KETUNTASAN MINIMAL (KKM) ANALISIS PENETAPAN KRITERIA KETUNTASAN MINIMAL (KKM) Nama Sekolah : SMP... Mata Pelajaran : MATEMATIKA Tahun Pelajaran : 2014/2015 Kelas : VIII (DELAPAN) Nilai Modus SEMESTER I (SATU) / GANJIL KI-1 dan

Lebih terperinci

BAB IV HASIL PENELITIAN

BAB IV HASIL PENELITIAN BAB IV HASIL PENELITIAN A. Deskripsi tempat dan Subyek Penelitian Penelitian ini dilakukan di SMK Negeri 1 Salatiga. Di SMK Negeri 1 Salatiga mempunyai 6 program studi yaitu Administrasi perkantoran, pemasaran,

Lebih terperinci

PEMBAHASAN SOAL UN MATEMATIKA SMK Kelompok Pariwisata, Seni, dan Kerajinan, Teknologi Kerumahtanggaan, Pekerjaan Sosial, dan Administrasi Perkantoran

PEMBAHASAN SOAL UN MATEMATIKA SMK Kelompok Pariwisata, Seni, dan Kerajinan, Teknologi Kerumahtanggaan, Pekerjaan Sosial, dan Administrasi Perkantoran PEMBAHASAN SOAL UN MATEMATIKA SMK Kelompok Pariwisata, Seni, dan Kerajinan, Teknologi Kerumahtanggaan, Pekerjaan Sosial, dan Administrasi Perkantoran TAHUN PELAJARAN 9/ MATEMATIKA PEMBAHAS: UJIAN NASIONAL

Lebih terperinci

SOAL DAN PEMBAHASAN PROGRAM LINEAR KELAS XI IPA/IPS

SOAL DAN PEMBAHASAN PROGRAM LINEAR KELAS XI IPA/IPS SOAL DAN PEMBAHASAN PROGRAM LINEAR KELAS XI IPA/IPS UJI KOMPETENSI 1.1 1. PT Lasin adalah suatu pengembang perumahan di daerah pemukiman baru. PT tersebut memiliki tanah seluas 12.000 meter persegi berencana

Lebih terperinci

PROGRAM LINEAR. Bukti : ax + by = a.b. Pengertian Program Linear : Gunakan persamaan 2 di atas :

PROGRAM LINEAR. Bukti : ax + by = a.b. Pengertian Program Linear : Gunakan persamaan 2 di atas : PROGRAM LINEAR Bukti : + = a + b = a.b b a Pengertian Program Linear : Program Linear adalah bagian ilmu matematika terapan ang digunakan untuk memecahkan masalah optimasi (pemaksimalan atau peminimalan

Lebih terperinci

h t t p : / / m a t e m a t r i c k. b l o g s p o t. c o m

h t t p : / / m a t e m a t r i c k. b l o g s p o t. c o m 1. Dalam permasalahan program linear dikenal dua istilah, yaitu : a. Fungsi Kendala/ pembatas, berupa pertidaksamaan pertidaksamaan linear ax by 0; ax by p; ax by 0; ax by 0 b. Fungsi/ bentuk objektif,

Lebih terperinci

Mata Pelajaran MATEMATIKA Kelas X

Mata Pelajaran MATEMATIKA Kelas X Mata Pelajaran MATEMATIKA Kelas X SEKOLAH MENENGAH ATAS dan MADRASAH ALIYAH PG Matematika Kelas X 37 Bab 1 Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma Nama Sekolah : SMA dan MA Mata Pelajaran : Matematika Kelas

Lebih terperinci

Matematika SMA (Program Studi IPA)

Matematika SMA (Program Studi IPA) Soal Latihan UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 0/0 Disusun Per Indikator Kisi-Kisi UN 0 Matematika SMA (Program Studi IPA) Written By : Team MKKS Jakarta Distributed by : Pak Anang PEMERINTAH PROVINSI DAERAH

Lebih terperinci

BAB III. PROGRAM LINEAR

BAB III. PROGRAM LINEAR BAB III. PROGRAM LINEAR Salah satu pokok bahasan dalam mata pelajaran matematika kelas III IPA semester gasal, menurut Kurikulum 2004 (KBK) SMA / MA, memuat : Kompetensi dasar : Siswa menggunakan dan menghargai

Lebih terperinci

UHAMKA (UNIVERSITAS MUHAMMADYAH FROF. DR. HAMKA) LATIHAN SOAL DAN SOLUSI MATEMATIKA IPS UJIAN AKHIR TAHUN adalah... adalah...

UHAMKA (UNIVERSITAS MUHAMMADYAH FROF. DR. HAMKA) LATIHAN SOAL DAN SOLUSI MATEMATIKA IPS UJIAN AKHIR TAHUN adalah... adalah... UHAMKA (UNIVERSITAS MUHAMMADYAH FROF. DR. HAMKA) LATIHAN SOAL DAN SOLUSI MATEMATIKA IPS UJIAN AKHIR TAHUN 0. Bentuk sederhana dari A. B. 6 a b 6 6 a b 6 a C. 8 D. b 6 a 9 b 6 a E. 8 b Solusi: [E] a b 0

Lebih terperinci

RPP dan Silabus SMA Kelas X Kurikulum 2013

RPP dan Silabus SMA Kelas X Kurikulum 2013 RPP dan Silabus SMA Kelas X Kurikulum 2013 Disusun Oleh : 1. Nikmah Nurvicalesti (06121408007) 2. Ellin Juniarti (06121408012) 3. Rizki Septa Wiratna (06121408015) 4. Indah Oktriani (06121408018) Dasar

Lebih terperinci

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP ) Mata Pelajaran : Matematika Satuan Pendidikan : SMA Kelas/ Semester : X/ Ganjil Alokasi Waktu : 2 x 45 menit

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP ) Mata Pelajaran : Matematika Satuan Pendidikan : SMA Kelas/ Semester : X/ Ganjil Alokasi Waktu : 2 x 45 menit RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP ) Mata Pelajaran : Matematika Satuan Pendidikan : SMA Kelas/ Semester : X/ Ganjil Alokasi Waktu : 2 x 45 menit I. Standar Kompetensi 1.1 Memecahkan masalah yang berkaitan

Lebih terperinci

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel Bab Sistem Persamaan Linear Dua Variabel Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari bab ini siswa diharapkan mampu: Menyebutkan perbedaan persamaan linear dua variabel dan sistem persamaan linear dua variabel;

Lebih terperinci

ISBN : (No. jil lengkap) ISBN : Harga Eceran Tertinggi: Rp10.021,-

ISBN : (No. jil lengkap) ISBN : Harga Eceran Tertinggi: Rp10.021,- ISBN : 978-979-068-858- (No. jil lengkap) ISBN : 978-979-068-863-6 PUSAT PERBUKUAN Departemen Pendidikan Nasional Harga Eceran Tertinggi: Rp0.0,- i Khazanah Matematika 3 untuk Kelas XII SMA dan MA Program

Lebih terperinci

UJIAN NASIONAL TAHUN 2009/2010 MATEMATIKA (E-4.2) SMK

UJIAN NASIONAL TAHUN 2009/2010 MATEMATIKA (E-4.2) SMK UJIAN NASIONAL TAHUN 009/00 MATEMATIKA (E-.) SMK Kelompok Pariwisata, Seni, dan Kerajinan, Teknologi Kerumahtanggaan, Pekerjaan Sosial, dan Administrasi Perkantoran (P UTAMA). Konveksi milik Bu Nina mengerjakan

Lebih terperinci

UHAMKA (UNIVERSITAS MUHAMMADYAH FROF. DR. HAMKA) LATIHAN SOAL DAN SOLUSI MATEMATIKA IPS UJIAN AKHIR TAHUN adalah... adalah...

UHAMKA (UNIVERSITAS MUHAMMADYAH FROF. DR. HAMKA) LATIHAN SOAL DAN SOLUSI MATEMATIKA IPS UJIAN AKHIR TAHUN adalah... adalah... UHAMKA (UNIVERSITAS MUHAMMADYAH FROF. DR. HAMKA) LATIHAN SOAL DAN SOLUSI MATEMATIKA IPS UJIAN AKHIR TAHUN 0. Bentuk sederhana dari 6 A. a b B. 6 6 a b 6 a 8 b 6 9 a b 6 a E. b 8. Bentuk sederhana dari

Lebih terperinci

BAB IV DESKRIPSI DAN ANALISIS DATA. A. Deskripsi Proses Pengembangan Perangakat Pembelajaran. 1. Deskripsi Waktu Pengembangan Perangkat Pembelajaran

BAB IV DESKRIPSI DAN ANALISIS DATA. A. Deskripsi Proses Pengembangan Perangakat Pembelajaran. 1. Deskripsi Waktu Pengembangan Perangkat Pembelajaran 89 BAB IV DESKRIPSI DAN ANALISIS DATA A. Deskripsi Proses Pengembangan Perangakat Pembelajaran 1. Deskripsi Waktu Pengembangan Perangkat Pembelajaran Penelitian ini merupakan penelitian pengembangan perangkat

Lebih terperinci

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP ) Mata Pelajaran : Matematika Satuan Pendidikan : SMA Kelas/ Semester : X/ Ganjil Alokasi Waktu : 2 x 45 menit

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP ) Mata Pelajaran : Matematika Satuan Pendidikan : SMA Kelas/ Semester : X/ Ganjil Alokasi Waktu : 2 x 45 menit RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP ) Mata Pelajaran : Matematika Satuan Pendidikan : SMA Kelas/ Semester : X/ Ganjil Alokasi Waktu : x 45 menit I. Standar Kompetensi 1.1 Memecahkan masalah yang berkaitan

Lebih terperinci

UJIAN NASIONAL MATEMATIKA 2009 TEKNOLOGI

UJIAN NASIONAL MATEMATIKA 2009 TEKNOLOGI 1. Harga 1 lusin pensil 2B adalah Rp. 2.000. Jika 1 pensil dijual lagi seharga Rp. 2.500 dan semua pensil telah terjual maka persentase keuntungannya adalah. a. 10% d. 25% b. 15% e. 30% c. 20% Harga beli

Lebih terperinci

BAB II PERSAMAAN KUADRAT DAN FUNGSI KUADRAT

BAB II PERSAMAAN KUADRAT DAN FUNGSI KUADRAT BAB II PERSAMAAN KUADRAT DAN FUNGSI KUADRAT 1. Menentukan koefisien persamaan kuadrat 2. Jenis-jenis akar persamaan kuadrat 3. Menyusun persamaan kuadrat yang akarnya diketahui 4. Fungsi kuadrat dan grafiknya

Lebih terperinci

2 sama dengan... 5, x R adalah.

2 sama dengan... 5, x R adalah. . Menjelang hari raya, sebuah toko M memberikan diskon % untuk setiap pembelian barang. Jika Rini membayar pada kasir sebesar Rp 7.00,00, maka harga barang yang dibeli Rini sebelum dikenakan diskon adalah...

Lebih terperinci

Lampiran 1. Daftar Terjemah DAFTAR TERJEMAH. NO BAB KUTIPAN HAL. TERJEMAH 1. I Q.S. al Mujaadilah ayat 11:

Lampiran 1. Daftar Terjemah DAFTAR TERJEMAH. NO BAB KUTIPAN HAL. TERJEMAH 1. I Q.S. al Mujaadilah ayat 11: 11 Lampiran 1. Daftar Terjemah DAFTAR TERJEMAH NO BAB KUTIPAN HAL. TERJEMAH 1. I Q.S. al Mujaadilah ayat 11: 1 niscaya Allah akan meninggikan orangorang yang beriman di antaramu dan orang-orang yang diberi

Lebih terperinci

B. Fungsi Sasaran dan Kendala dalam Program Linier

B. Fungsi Sasaran dan Kendala dalam Program Linier Peta Konsep Jurnal PetaKonsep Daftar Hadir MateriB SoalLatihan2 Materi Umum PROGRAM LINIER Kelas XI, Semester 3 B. Fungsi Sasaran dan Kendala dalam Program Linier Sistem Pertidaksamaan Linier Fungsi Sasaran

Lebih terperinci

2 - x. 5. Persamaan garis k yang sejajar dengan garis l : x 3y + 6 = 0 dan melalui titik (3, 2) adalah

2 - x. 5. Persamaan garis k yang sejajar dengan garis l : x 3y + 6 = 0 dan melalui titik (3, 2) adalah . Dari sebidang tanah diketahui 0 % dari luas tanah digunakan untuk mendirikan rumah, ½ % dari sisanya untuk taman dan sisanya tanah kosong. Jika luas tanah kosong 45 m, maka luas taman adalah.. 4 m m.

Lebih terperinci

RPP METODE PEMBELAJARAN RME BENTUK SOAL HOT PADA MATERI PERTIDAKSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL

RPP METODE PEMBELAJARAN RME BENTUK SOAL HOT PADA MATERI PERTIDAKSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL RPP METODE PEMBELAJARAN RME BENTUK SOAL HOT PADA MATERI PERTIDAKSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL Disusun guna memenuhi tugas pribadi mata kuliah Metode Pembelajaran Matematika Dosen Pengampu: Dr. Sugiman Disusun

Lebih terperinci

BAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN. Jenis penelitian yang dilakukan adalah Research and Development (R&D)

BAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN. Jenis penelitian yang dilakukan adalah Research and Development (R&D) BAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN A. Hasil Pengembangan Jenis penelitian yang dilakukan adalah Research and Development (R&D) dengan produk yang dikembangkan berupa perangkat pembelajaran berbasis

Lebih terperinci

ULANGAN UMUM MADRASAH ALIYAH SEMESTER GANJIL TAHUN PELAJARAN MATEMATIKA XII BAHASA

ULANGAN UMUM MADRASAH ALIYAH SEMESTER GANJIL TAHUN PELAJARAN MATEMATIKA XII BAHASA ULANGAN UMUM MADRASAH ALIYAH SEMESTER GANJIL TAHUN PELAJARAN 29-21 MATEMATIKA XII BAHASA Hari / tanggal :... Desember 29 Waktu : 12 menit Pilih salah satu jawaban ang benar dengan memberi tanda silang

Lebih terperinci

SOAL LATIHAN UN MATEMATIKA IPS 00. Negasi dari pernyataan Matematika tidak mengasyikkan dan membosankan adalah. Matematika mengasyikkan atau membosankan Matematika mengasyikkan atau tidak membosankan Matematika

Lebih terperinci

Silabus dan Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP)

Silabus dan Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP) Siswanto MODEL Silabus dan Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP) MATEMATIKA INOVATIF Konsep dan Aplikasinya 3A untuk Kelas XII SMA dan MA Semester 1 Program Ilmu Pengetahuan Alam Berdasarkan Permendiknas

Lebih terperinci

PEMERINTAH PROVINSI JAWA BARAT DINAS PENDIDIKAN SMK NEGERI 1 BALONGAN

PEMERINTAH PROVINSI JAWA BARAT DINAS PENDIDIKAN SMK NEGERI 1 BALONGAN PEMERINTAH PROVINSI JAWA BARAT DINAS PENDIDIKAN SMK NEGERI BALONGAN RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN Kode. Dok PBM.0 Edisi/Revisi A/0 Tanggal 7 Juli 207 Halaman dari RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP)

Lebih terperinci

TRY OUT UJIAN NASIONAL

TRY OUT UJIAN NASIONAL PEMERINTAH PROVINSI DAERAH KHUSUS IBUKOTA JAKARTA DINAS PENDIDIKAN MUSYAWARAH KERJA KEPALA SEKOLAH SMA Sekretariat : SMA Negeri 0 Jakarta Jalan Bulungan No. C, Jakarta Selatan - Telepon (0), Fax (0) TRY

Lebih terperinci

PROGRAM LINIER. SOAL LATIHAN 01 A. Sistem Pertidaksamaan Linier Dua Variabel

PROGRAM LINIER. SOAL LATIHAN 01 A. Sistem Pertidaksamaan Linier Dua Variabel PROGRAM LINIER SOAL LATIHAN 01 A. Sistem Pertidaksamaan Linier Dua Variabel 01. Lukislah daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan : 3x + y 6 3x + 5y 15 02. Lukislah daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan

Lebih terperinci

Explore. Your Potency From Now. Modul Belajar Kompetensi Program Linear Oleh Syaiful Hamzah Nasution. Pengertian Program Linear

Explore. Your Potency From Now. Modul Belajar Kompetensi Program Linear Oleh Syaiful Hamzah Nasution. Pengertian Program Linear Modul Belajar Kompetensi Program Linear Oleh Syaiful Hamzah Nasution Explore. Your Potency From Now. Pengertian Program Linear Fungsi Objektif dan Kendala pada Program Linear Model Matematika dan Nilai

Lebih terperinci

8. Nilai x dari persamaan 2x = 1x 2 1 adalah Nilai x dari persamaan 4x ( x + 8 ) = 2(x 3 ) adalah

8. Nilai x dari persamaan 2x = 1x 2 1 adalah Nilai x dari persamaan 4x ( x + 8 ) = 2(x 3 ) adalah Contoh Soal Pertidaksamaan Linear Satu Variabel 1. Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaaan 2x + 5 < 6 2. Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaaan 5x 10 > 7 3. Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaaan

Lebih terperinci

SMK N 1 Demak Jurusan Multimedia Kelas X Semester 1

SMK N 1 Demak Jurusan Multimedia Kelas X Semester 1 SOAL LATIHAN ULANGAN SEMESTER GASAL KELAS X MM BAB SISTEM BILANGAN REAL Himpunan-Himpunan Bilangan pada Sistem Bilangan Real. Bilangan-bilangan berikut adalah irasional, kecuali... 4 7. Bilangan-bilangan

Lebih terperinci

MATEMATIKA. Sesi PROGRAM LINEAR CONTOH SOAL A. BENTUK UMUM PERTIDAKSAMAAN LINEAR B. MENGGAMBAR DAERAH PERTIDAKSAMAAN. ax + by c

MATEMATIKA. Sesi PROGRAM LINEAR CONTOH SOAL A. BENTUK UMUM PERTIDAKSAMAAN LINEAR B. MENGGAMBAR DAERAH PERTIDAKSAMAAN. ax + by c MATEMATIKA KELAS XII - KURIKULUM GABUNGAN 07 Sesi N PROGRAM LINEAR A. BENTUK UMUM PERTIDAKSAMAAN LINEAR a + b c CONTOH SOAL 1. Ubahlah 4-4 kedalam bentuk umumna 4 - -4 B. MENGGAMBAR DAERAH PERTIDAKSAMAAN

Lebih terperinci

Bab. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel. Pengertian SPLDV Penyelesaian SPLDV Penerapan SPLDV

Bab. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel. Pengertian SPLDV Penyelesaian SPLDV Penerapan SPLDV Bab Sumb er: Science Encylopedia, 1997 Sistem Persamaan Linear Dua Variabel Harga 3 buku tulis dan pensil adalah Rp13.00,00, sedangkan harga 5 buku tulis dan pensil adalah Rp15.000,00. Dapatkah kamu menghitung

Lebih terperinci

LAMPIRAN LAMPIRAN 92

LAMPIRAN LAMPIRAN 92 LAMPIRAN LAMPIRAN 92 LAMPIRAN A A1 Analisis Kurikulum 93 ANALISIS KURIKULUM NAMA SEKOLAH : SMK PIRI 3 YOGYAKARTA MATA PELAJARAN : MATEMATIKA KELAS / SEMESTER : X / 2 (Dua) STANDAR KOMPETENSI : 1. Menyelesaikan

Lebih terperinci

SOAL-SOAL dan PEMBAHASAN UN MATEMATIKA SMA/MA IPS TAHUN PELAJARAN 2011/2012

SOAL-SOAL dan PEMBAHASAN UN MATEMATIKA SMA/MA IPS TAHUN PELAJARAN 2011/2012 SOAL-SOAL dan PEMBAHASAN UN MATEMATIKA SMA/MA IPS TAHUN PELAJARAN 2011/2012 1. Ingkaran pernyataan: Petani panen beras atau harga beras murah. A. Petani panen beras dan harga beras mahal B. Petani panen

Lebih terperinci

Aisyah Purnama Dewi. MATEMATIKA WAJIB UNTUK SMA/MA Kelas X Semester 1 EDISI GURU. (Disertai Kunci Jawaban) Berbasis Teori Variasi

Aisyah Purnama Dewi. MATEMATIKA WAJIB UNTUK SMA/MA Kelas X Semester 1 EDISI GURU. (Disertai Kunci Jawaban) Berbasis Teori Variasi Aisyah Purnama Dewi Berbasis Teori Variasi MATEMATIKA WAJIB UNTUK SMA/MA Kelas X Semester 1 EDISI GURU 1 (Disertai Kunci Jawaban) LEMBAR KEGIATAN SISWA (LKS) SISTEM PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR

Lebih terperinci

PROGRAM LINEAR 2 SMA SANTA ANGELA. Contoh Soal :

PROGRAM LINEAR 2 SMA SANTA ANGELA. Contoh Soal : 1 SMA SANTA ANGELA PROGRAM LINEAR Standar kompetensi : Menyelesaikan masalah program linear Kompetensi Dasar : Menyelesaikan sistem pertidaksamaan linear dua variabel. Menyelesaikan masalah program linear.

Lebih terperinci

PROGRAM LINEAR. A. Persamaan Garis Lurus. (x 2, y 2 ) y 2. (0, a) y 1. (x 1, y 1 ) (b, 0) X. x 1

PROGRAM LINEAR. A. Persamaan Garis Lurus. (x 2, y 2 ) y 2. (0, a) y 1. (x 1, y 1 ) (b, 0) X. x 1 PROGRAM LINEAR A. Persamaan Garis Lurus y 1 (x 1, y 1 ) y 2 y 1 (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) a (0, a) 0 x 1 x 1 0 x 2 (b, 0) 0 b a. Persamaan garis yang bergradien m dan melalui titik (x 1, y 1 ) adalah: y

Lebih terperinci