BAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah

Transkripsi

1 BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Sistem dinamik merupakan formalisasi Matematika untuk menggambarkan konsep-konsep ilmiah dari proses deterministik yang bergantung terhadap waktu (Kuznetsov, 1998). Teori sistem dinamik pertama kali ditemukan oleh Isaac Newton, sekitar abad XVII, untuk memperagakan pergerakan sistem tata surya bersamaan dengan teori gravitasi universalnya. Konsep ini dikenal dengan n-body problem. N-body problem adalah masalah klasik yang memprediksi gerakan dari masingmasing kelompok benda-benda langit yang berinteraksi satu sama lain secara gravitasi (Leimanis dan Minorsky [1958]). Sistem dinamik terdiri dari tiga komponen yaitu waktu, ruang keadaan, dan operator evolusi yang diparameterisasi oleh waktu. Apabila waktu merupakan himpunan bilangan real maka sistem dinamik dikatakan kontinu dan disajikan dalam bentuk sistem persamaan diferensial. Sedangkan apabila waktu merupakan himpunan bilangan bulat maka sistem dinamik tersebut dikatakan diskret. Operator evolusi pada sistem dinamik diskret dikatakan peta (map)(kuznetsov [1998]). Pada umumnya, sistem dinamik yang ditemukan dalam aplikasi Matematika, biasanya tidak hanya bergantung pada variabel, tetapi juga bergantung pada parameter. Seringkali, nilai parameter tersebut tidak diketahui secara pasti. Jika suatu sistem dinamik bergantung terhadap parameter secara kontinu, maka struktur invarian dari sistem dinamik tersebut juga bergantung terhadap parameternya, dan biasanya parameter tersebut mempengaruhi perilaku dari sistem tersebut. Jika perilaku dari sistem tersebut secara kualitatif (secara topologis) berbeda pada dua nilai parameter yang berbeda, maka terjadilah bifurkasi (Adi-Kusumo [2008]). Dua buah medan vektor dari sistem dinamik dikatakan ekuivalen secara to- 1

2 2 pologis jika terdapat suatu homeomorfisma yang memetakan orbit-orbit dari medan vektor pertama ke orbit-orbit medan vektor kedua dengan tetap mempertahankan arah medan vektor tersebut terhadap waktu (Guillemin dan Pollack [1974]). Dalam hal ini, bifurkasi merupakan munculnya potret fase dari suatu sistem dinamik yang tidak ekuivalensi secara topologis akibat variasi parameter (Kuznetsov [1998]). Teori bifurkasi diperkenalkan pada tahun 1890 oleh Henri Poincare seorang profesor di University of Paris, dalam usahanya membuktikan kestabilan sistem tata surya. Istilah bifurkasi secara umum digunakan dalam mempelajari dinamikadinamika non linear yaitu untuk menggambarkan beberapa perubahan perilaku dari sistem dengan beberapa nilai parameter yang bervariasi (Blanchard, dkk [2006]). Berdasarkan penelitian Poincare, seorang Matematikawan bernama E. Hopf menemukan teori bifurkasi yang kemudian dikembangkan lagi oleh Andronov seorang Matematikawan yang berasal dari Rusia pada tahun Bifurkasi yang mereka temukan kemudian disebut bifurkasi Hopf (seringkali juga disebut Bifurkasi Poincare-Andronov-Hopf). Suatu sistem dikatakan mengalami bifurkasi Hopf ditandai dengan munculnya pengali imajiner murni pada linearisasi sistem dinamik kontinu. Bifurkasi Hopf digunakan untuk menentukan eksistensi kurva tertutup dari suatu sistem. Bifurkasi Hopf hanya dapat terjadi pada sistem dinamik berdimensi dua atau lebih (Kuznetsov [1998]). Teori bifurkasi semakin berkembang yaitu ditemukannya bifurkasi Hopf untuk map. Lebih lanjut, munculnya suatu Teorema yang berkaitan dengan bifurkasi Hopf untuk map. Teorema ini merupakan fenomena munculnya bifurkasi Neimark- Sacker karena dibuktikan oleh J. Neimark (Neimark [1959]) dan R. S. Sacker (Sacker [1965]) secara terpisah. Oleh karena itu, bifurkasi ini kemudian dikenal dengan bifurkasi Neimark-Sacker. Bifurkasi Neimark-Sacker berkaitan dengan munculnya pengali imajiner murni pada linearisasi suatu sistem dinamik diskret di sekitar titik tetapnya. Kurva tertutup akan dihasilkan oleh sistem dinamik diskret tersebut setelah melewati nilai bifurkasi (Adi-Kusumo [2008]). Kurva tertutup tersebut disebut limit cycle. Di se-

3 3 kitar limit cycle terdapat trayektori spiral yang mendekati atau menjauhi limit cycle untuk nilai parameter tertentu. Jika trayektori spiral mendekati limit cycle, maka bifurkasi Neimark-Sacker disebut bifurkasi Neimark-Sacker superkritikal dan jika trayektori spiral menjauhi limit cycle maka disebut bifurkasi Neimark-Sacker subkritikal (Kuznetsov [1998]). Pada sistem dinamik kontinu, limit cycle tersebut akan menggambarkan solusi yang terletak pada suatu torus (Adi-Kusumo [2008]). Oleh karena itu, bifurkasi tersebut disebut juga bifurkasi Torus. Pada tesis ini, akan dibahas tentang bentuk normal dan bentuk generik dari bifurkasi Neimark-Sacker serta aplikasinya Tujuan dan Manfaat Penelitian Tujuan dari penelitian ini adalah untuk mempelajari dan meneliti bentuk normal dan generik Bifurkasi Neimark-Sacker dalam sistem dinamik khususnya sistem dinamik diskret serta aplikasinya Tinjauan Pustaka Penelitian ini merujuk pada beberapa buku dan jurnal. Menurut Kuznetsov [1998] Sistem dinamik merupakan formalisasi Matematika untuk menggambarkan konsep-konsep ilmiah dari proses deterministik yang bergantung terhadap waktu. Lebih lanjut, Leimanis dan Minorsky [1958] menjelaskan asal mulanya pertama kali teori sistem dinamik ditemukan. Dalam penelitiannya Adi-Kusumo [2008] membahas tentang perilaku dari sistem dinamik sangat bergantung pada parameter dan terjadinya bifurkasi akibat variasi dari nilai paramater, sedangkan menurut Blanchard, dkk [2006] istilah bifurkasi digunakan untuk mempelajari dinamikadinamika non linear untuk menggambarkan perubahan perilaku sistem dengan beberapa nilai parameter yang bervariasi. Perkembangan teori bifurkasi kemudian dibahas oleh Kuznetsov [1998] dengan ditemukannya bifurkasi pada sistem dinamik kontinu oleh Henri Poincare, E. Hopf, dan Andronov yang dikenal dengan bifurkasi Poincare-Andronov-Hopf atau sering dikenal dengan bifurkasi Hopf. Lebih lanjut, ditemukanya bifrukasi Hopf untuk map yang ditandai oleh munculnya suatu

4 4 Teorema yang dibuktikan secara terpisah oleh Neimark [1959] dan Sacker [1965], bifurkasi ini kemudian dikenal dengan bifurkasi Neimark-Sacker. Teori-teori yang digunakan dalam penelitian ini telah dikemukan oleh banyak ahli, diantaranya Rudin [1976] membahas tentang definisi fungsi diferensiabel kontinu dan penjelasan hubungan antara fungsi diferensiabel dengan fungsi kontinu juga turunan parsialnya. Kemudian definisi fungsi diferensiabel kontinu pada suatu domain di R n serta syarat perlu dan cukup suatu fungsi dikatakan diferensiabel kontinu yang diberikan oleh Perko [1991]. Pada subbab berikutnya, definisi ruang metrik, ruang metrik lengkap dan ruang metrik kompak oleh Royden [1987].Selanjutnya, pada subbab berikutnya dibahas definisi tentang sistem dinamik,sistem dinamik diskret dan kontinu, dan sistem dinamik disktet yang invertibel yang diberikan oleh Kuznetsov [1998]. Lebih lanjut, subbab yang membahas tentang sistem persamaan diferensial, definisi solusi sistem persamaan diferensial diberikan oleh Perko [1991]. Terkait dengan solusi sistem persamaan diferensial diperlukan Teorema eksistensi suatu solusi sistem persamaan diferensial yang diberikan oleh Arrowsmith [1992] dan ketunggalan suatu solusi sistem persamaan diferensial oleh Perko [1991] serta definisi Lipschitz yang diberikan oleh Ross Ross [1984]. Selain itu, diberikan pula definisi titik ekuilibrium dan titik tetap dan kriteria masing-masing titik ekuilibrium dan titik tetap yang diberikan oleh Olsder [1994] dan Hale dan Kocak [1970] Sebelum membahas variabel dan fungsi kompleks yang definisinya diberikan oleh Rudin [1976] dan Churchill [1974] akan dibahas tentang linearisasi persamaan diferensial non linear yang terdiri dari definisi matriks Jacobian oleh Perko [1991], definisi titik tetap hiperbolik oleh Wiggins [2003], definisi nilai eigen dan persamaan karakteristik oleh Anton [2000], definisi orbit, orbit periodik, fase potret, limit cycle, yang diberikan oleh Kuznetsov [1998], dan definisi solusi periodik oleh Wiggins [2003]. Selanjutnya diberikan definisi himpunan invarian yang diberikan oleh Wiggins [2003], dan yang terakhir definisi bifurkasi serta titik bifurkasi yang diberikan oleh Kuznetsov [1998].

5 Metode Penelitian Metode yang dilakukan dalam menyusun tesis ini adalah studi literatur dengan dilakukan pengkajian, klasifikasi, serta tinjauan terhadap buku pendukung yang relevan. Tesis ini mengupas teori tentang bifurkasi Neimark-Sacker yang dibahas oleh Kuznetsov (2008) dan ditambahkan beberapa contoh aplikasinya. Langkah awal dalam meneliti bentuk normal bifurkasi Neimark-Sacker adalah dengan membaca teori yang berkaitan dengan bifurkasi Neimark-Sacker. Selanjutnya, dicari titik tetap dari sistem yang diberikan. Setelah diperoleh titik tetap, kemudian dilakukan linearisasi di sekitar titik tetap sehingga diperoleh suatu persamaan karakteristik. Berdasarkan persamaan karakteristik tersebut, dilakukan analisis kestabilan dan analisis bifurkasi dengan mentransformasi sistem ke bentuk polar. Kemudian dibentuk order tinggi pada sistem yang diberikan untuk mengeneralisasi bentuk normal bifurkasi Neimark-Sacker ke bentuk generik dan selanjutnya akan dibahas tentang aplikasi dari bifurkasi Neimark-Sacker Sistematika Penulisan Sistematika penulisan tesis ini adalah sebagai berikut BAB I PENDAHULUAN Pada bab ini dibahas mengenai latar belakang masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian, tinjauan pustaka, metode penelitian, dan sistematika penulisan. BAB II DASAR TEORI Pada bab ini membahas dasar-dasar yang menjadi landasan pada bab selanjutnya, meliputi fungsi diferensiabel kontinu, kekompakan di ruang metrik, sistem dinamik, sistem persamaan diferensial, linearisasi persamaan diferensial non linear, himpunan invarian, teori bifurkasi, dan fungsi kompleks. BAB III BIFURKASI NEIMARK-SACKER DALAM SISTEM DINAMIK DAN APLIKASINYA Pada bab ini membahas tentang bentuk normal dan generik bifurkasi Neimark- Sacker serta aplikasinya selanjutnya akan ditentukan titik tetap dan kestabilan dari

6 6 sistem yang mengalami bifurkasi Neimark-Sacker berdasarkan parameter tertentu. BAB IV PENUTUP Memuat kesimpulan dan arah penelitian lanjutan.