KETERKENDALIAN SISTEM BANDUL GANDA

Transkripsi

1 J Sains MIPA, Agustus 8, Vol, No, Hal: 9 - ISSN KETERKENDALIAN SISTEM BANDUL GANDA Amanto* dan La Zakaria Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampung * Alamat korespondensi Otnama@yahoocoid Diterima Juli 8, disetujui untuk diterbitkan 9 September 8 ABSTRACT Simple double pendulum system is a system consisting of two objects and two pieces of strong strand of metal but light The system sway vertical with influenced by earth gravitation There are three main consepts in mathematical system theory, which are : stability, controllability, and observability In this paper we will focus on controllability Given time-invariant differential systems & = A Bu, y = C Du; with n m p R, u R and y R and will be indicated the system by (A,B,C,D) Controllability is completely determined by the matrices A and B and therefore we will discuss the controllability of the pair (B,A) The n system (A,B,C,D) is controllable if and only if the controllability matri, R = [ B AB A B A B] has rank = n In the case of a single output system, R is square matri, then (B,A) is controllable if R is non singular Moreover, we will investigate controllability of simple double pendulum system The result, the system is controllable when the system is given by single and double input functions where m m Keywords: controllability, simple double pendulum, controllability matri, non singular matri PENDAHULUAN Suatu fenomena alam dapat dinyatakan dalam suatu model matematis, yang berupa sistem persamaan diferensial Teori sistem merupakan cabang ilmu matematika yang berfokus pada kajian kontrol input dan output Teori ini telah banyak diterapkan pada bidang teknik, fisika, biologi, dan bidang ilmu lain dan telah dikembangkan secara intensif oleh para ahli teknik teoritis, terutama teori sistem linear atas bilangan real ) Kestabilan merupakan konsep dasar yang penting dalam teori sistem matematis, disamping konsep keterkendalian dan keterobservasian ) Model-model dalam aplikasi matematika pada ilmu rekayasa, fisika, biologi dan lain sebagainya, banyak yang berbentuk sistem persamaan diferensial biasa Perilaku solusi dari sistem seperti itu adalah contoh permasalahan yang dibahas dalam sistem dinamik Sistem kerja pada Tim SAR (Search and Rescue) dan suplai makanan atau amunisi ke barak menggunakan pesawat helikopter merupakan dua contoh sistem kerja yang identik dengan sistem kerja pendulum Dari contoh fenomena terakhir di atas, cara kerja permainan sirkus dan helikopter merupakan contoh sistem kerja yang dapat dikaitkan dengan sistem kerja bandul Sistem kerja bandul tersebutlah yang lalu akan diubah bentuk ke dalam suatu persamaan diferensial Sistem persamaan diferensial dari sistem bandul ganda dikategorikan ke dalam sistem Hamiltonian, karena sistem kerja bandul tersebut terkait dengan konservasi energi Ia bersifat konservatif karena sistem tidak mengalami kehilangan energi seiring berjalannya waktu Dalam pengilustrasiannya, sistem bandul ganda dapat kita gambarkan sebagai sebuah ayunan yang dipasangkan pada ayunan yang lainnya Dengan demikian, sistem ini melibatkan variabel, yaitu dua variabel yang melibatkan panjang dan dua variabel lainnya yang melibatkan massa Secara teori fisika, dalam sistem ini berlaku hukum kekekalan energi Oleh karena itu, bandul ganda memiliki sifat kualitatif Sifat kualitatif pada Sistem Persamaan Diferensial Biasa perlu dipertahankan pada hasil integrasi numerik, karena sifat tersebut sangat berperan penting dalam menganalisa prilaku solusi sistem tersebut Pembahasan terhadap sifat kualitatif sistem meliputi beberapa topik kajian, yaitu kestabilan (stability), keterkendalian (controllability), keterobservasian (observability), dan optimisasi (optimization) Analisis sifat ini perlu dilakukan karena menyangkut keberadaan sistem untuk suatu waktu tertentu Misalnya pada analisis 9 8 FMIPA Universitas Lampung

2 J Sains MIPA, Agustus 8, Vol, No keterkendalian sistem, suatu sistem dikatakan terkendali apabila pada keadaan tertentu, katakan untuk suatu waktu tertentu (t >) yang dapat dimulai dari keadaan awal dengan cara mengatur fungsi masukan, pembuat model dapat menginginkan keadaan tertentu pula ) Berdasar latar belakang tersebut di atas permasalahan yang akan diselesaikan dalam penelitian ini adalah mengkaji sifat kualitatif dari sistem Hamiltonian pada bandul ganda Solusi sistem bandul ganda secara teori memiliki sifat kualitatif, karena bandul melibatkan hukum kekekalan energi Karenanya proses penyelesaian sistem bandul ganda harus mempertahankan sifat kualitatifnya Dua sifat yang dapat dicermati langsung dalam bandul ganda adalah Kestabilan dan Keterkendalian Masalah solusi eksak dan kestabilan telah dibahas ) Penyelidikan keterkendalian sistem memiliki prosedur yang berbeda dengan kestabilan sistem Keterkendalian memerlukan fungsi masukan agar sistem tersebut dapat diketahui keterkendaliannya Pada penelitian ini penulis membahas syarat dan sifat keterkendalian sistem bandul ganda Sistem dinamik yang cukup realistis adalah sistem bandul ganda sederhana Sistem bandul ini dapat merepresentasikan sistem kerja tim SAR (Search and Rescue) yang sedang mengupayakan penyelamatan dengan membawa perlengkapan penyelamatan atau korban bencana alam atau kecelakaan dengan menggunakan helikopter Sistem bandul ganda sederhana adalah sistem yang terdiri dari dua benda B dan B dengan massa masing-masing benda adalah m dan m Selain itu benda tersebut masing-masing dihubungkan dengan dua helai kawat yang kuat tapi ringan L dan L dengan panjang masing-masing kawat adalah l dan l Benda B terpasang pada ujung kawat L (ujung kawat L lainnya terpasang mantap pada sebuah bidang) Sementara itu benda B terpasang pada ujung kawat L, di bawah pengaruh gravitasi 5) (ujung kawat L lainnya terpasang mantap pada benda pertama) (lihat Gambar ) L θ l l = l l B m m L θ l B m m m Gambar Sistem Bandul Ganda Sederhana Dari Gambar sistem bandul ganda memiliki (empat) parameter yakni l, l, m, dan m Dengan Dipengaruhi oleh grafitasi bandul gandaberosilasi pada bidang vertikal dengan sudut perpindahan untuk θ Model matematika untuk sistem bandul ganda yang diilustrasikan suatu waktu adalah ( ) t θ dan ( ) t dalam Gambar adalah sebagai berikut 6) : 8 FMIPA Universitas Lampung 9

3 Amanto dan La Zakaria Keterkendalian Sistem Bandul Ganda m m ) l θ m l l θ ( m m ) l gθ, m l l θ m l θ m l gθ () ( = = dengan g adalah kecepatan gravitasi Kajian tentang keterkendalian penting artinya, sebab kita akan tahu bahwa keadaan tertentu dapat dicapai dengan memulai dari keadaan awal dan mengatur fungsi masukan Keterkendalian Sistem Persamaan Diferensial Linier Keterkendalian (controllability) merupakan konsep dasar dalam teori sistem matematis Konsep ini memegang peranan penting dalam desain dan kontrol suatu sistem Misalkan diberikan sistem persamaan diferensial time-invariant: & = A Bu () y = C Du dengan,u dan y adalah fungsi vektor-fungsi vektor yang bernilai real, untuk fungsi y=fungsi keluaran (output) n m p yang tergantung pada R, u R dan y R, u=fungsi masukan (input) Dalam sistem Persamaan () A,B,C,D masing-masing adalah matriks berukuran n n, n m, p n, p m atas lapangan bilangan R Sistem Persamaan () disebut sistem linier kontinu berdimensi n dengan m-masukan dan p-keluaran yang invariant terhadap waktu (elemen-elemen dari matriks A,B,C dan D bebas waktu t) Sistem Persamaan () dengan syarat awal ( ) = yang kemudian ditulis dengan ( t,, u ) dan fungsi keluarannya y ( t,, u ) t At A ( t,, u) = e e ( t s) Bu( s) ds () y( t, t At A, u) = Ce Ce ( t s) Bu( s) ds Du( ) () t Definisi ) (Kerkendalian) Sistem (A,B,C,D) dikatakan terkendali (controllable) jika untuk setiap vektor awal n R dan n n untuk vektor lain R, terdapat t > dan u( t) R sehingga berlaku ( t,, u) = Keadaan tertentu akan tercapai dengan memasukkan syarat awal Dari definisiketerkendalian di atas dapat diinterpretasikan bahwa suatu sistem dikatakan terkendali jika untuk sebarang titik (keadaan) dapat dicapai (reachable) dengan memulai dari titik (keadaan) dan mengatur fungsi masukan u Pada prinsipnya, keterkendalian sistem Persamaan () dapat dikaji dari apa yang dinamakan matriks keterkendalian (controllability matri) n R = [ B AB A B K A B] (5) yang merupakan matriks berukuran n nm yang memuat n blok A j B,j=,,,n- Image dari R dinotasikan dengan Im(R ) adalah himpunan bagian dari R n yang direntang oleh vektor kolom dari R dan dinamakan ruang bagian keterkendalian (controllability subspace) Uji Keterkendalian Untuk memeriksa keterkendalian sistem linear dapat digunakan definisi keterkendalian, tetapi hal ini rumit, karena harus mencari penyelesaian dalam bentuk integral yang kadang-kadang dihadapkan pada bentuk integral yang tidak sederhana Untuk mengatasai masalah ini digunakan teorema uji keterkendalian 9 8 FMIPA Universitas Lampung

4 J Sains MIPA, Agustus 8, Vol, No yaitu dengan cukup memeriksa matriks keterkendaliannya Cara ini lebih mudah dan merupakan metode modern dalam analisis keterkendalian sistem Teorema ) (Uji Keterkendalian) Sistem ( A, B, C, D) terkendali jika dan hanya jika rank ( R) = n ) Diketahui bahwa rank (R ) = n jika dan hanya jika det (R ) Dengan demikian teorema di atas dapat digunakan untuk memeriksa keterkendalian suatu sistem METODE PENELITIAN Bahan dan Alat Bahan penelitian yang digunakan adalah buku-buku dan jurnal matematika dan analisis komputasi Sedangkan alat yang digunakan adalah seperangkat komputer PC Pentium IV yang berisikan software Mathematica Prosedur Penelitian Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah studi pustaka dan praktik komputasi Langkah-langkah yang di ambil dalam penelitian ini adalah: Mengkaji model matematika sistem persamaan diferensial dari fenomena pendulum ganda (persamaan gerakan) Mengubah model matematika pada gerak pendulum ganda ke dalam sistem persamaan diferensial biasa yang terdiri dari variabel, yaitu m, m, l, dan l dimana m adalah massa benda dan l adalah panjang tali pendulum Mencari matriks keterkendalian dari sistem persamaan diferensial biasa linear yang telah disusun pada n point (b), yaitu : R = [ B AB K A B] Memeriksa keterkendalian pada matriks pada (c) dengan menggunakan rank matriks atau determinan matriks 5 Melakukan analisis atas keterkendalian sistem pada (d) HASIL DAN PEMBAHASAN Pembahasan mengenai persamaan gerak dari sistem Hamiltonian bandul ganda akan dilakukan Tinjau persamaan gerak sistem bandul ganda pada sistem ( ) dan dimisalkan: a = ( m m ) l g, b = ( m m l (6) ) ll, q = ml g, r ml p = m = dengan a, b, p, q dan r > Setelah dimisalkan, sistem () menjadi: b&& θ p&& θ = aθ p&& θ r&& θ = qθ Untuk lebih menyederhanakan sistem, kembali dimisalkan: θ = ; & θ = ; && θ = & ; θ = ; & θ = ;&& θ = & Sehingga Persamaan (7) menjadi: (7) (8) b& p& p& r& = a = q (9) Dari sistem yang sudah disederhanakan di atas, diperoleh sistem persamaan diferensial sebagai berikut: 8 FMIPA Universitas Lampung 9

5 Amanto dan La Zakaria Keterkendalian Sistem Bandul Ganda & = θ ' = ar pq ar pq & = θ " = θ θ = p br p br p br p br & = θ ' = ap bq ap bq & = θ " = θ θ = p br p br p br p br Dalam bentuk matriks, sistem Persamaan (9) menjadi: T ar T T ap p br p br pq = & = =, & =, &, & bq p br p br atau & = A Bu & & A = Bu & & T () () Pada sistem gerak bandul ganda akan diberikan masukan pada tiap variabel ar pq p br p br & = Bu () ap bq p br p br Dengan & ar pq & p br p br & =, A =,, = dan B adalah matriks dari fungsi & & ap bq p br p br masukan (u) yang akan diberikan terhadap variabel Berikut ini akan ditinjau kasus fungsi masukan, yaitu diberikan satu dan dua fungsi masukan (u) pada sistem gerak bandul ganda Kasus : a Diberikan satu masukan pada variable 9 8 FMIPA Universitas Lampung

6 J Sains MIPA, Agustus 8, Vol, No B = ( u) = ar pq ar p br p br p br AB = = ap bq ap p br p br p br ar pq p br p br ar ar pq p br p br p br A B = = ap bq ap p br p br p br ap bq p br p br ar pq p br p br a r ap q arpq pbq ( p br) ( p br)( p br) ( p br) ( p br)( p br) A B= ap p br a pr apbq ap q b q ( p br)( p br) ( p br) ( p br)( p br) ( p br) a r ap q ( p br) ( p br)( p br) = a pr apbq ( p br)( p br) ( p br) Matriks keterkendaliannya: R = [ B AB A B A B] Berdasarkan teorema uji keterkendalian, untuk mengetahui suatu sistem linier terkendali atau tidak adalah apabila rank matriks keterkendaliannya sama dengan banyaknya variabel bebas dalam sistem persamaan (rank( R ) = n), atau dengan kata lain determinan matriks keterkendaliannya tidak sama dengan nol 8 FMIPA Universitas Lampung 95

7 Amanto dan La Zakaria Keterkendalian Sistem Bandul Ganda Matriks keterkendalian yang pertama adalah R yang berukuran ar p br ar a r ap q p br ( p br) ( p br)( p br) R = ap p br ap a pr apbq p br ( p br)( p br) ( p br) a p q Determinan matriks R yakni: ; p br ( p br) Karena det, berarti bahwa saat diberikan satu fungsi masukan terhadap variabel, sistem linier untuk matriks R terkendali b Diberikan satu masukan pada variabel, yaitu B = ( u) = Maka sistem akan terkendali c Diberikan satu masukan pada variabel B = ( u) = Maka sistem terkendali d Diberikan masukan pada variabel B = ( u) = Maka sistem akan terkendali Kasus : Selanjutnya akan diberikan dua fungsi masukan (u) terhadap dua variabel dari,, dan secara bersamaan, matriks keterkendalian yang dapat dibentuk dari C adalah enam buah a Diberikan masukan pada fungsi dan 96 8 FMIPA Universitas Lampung

8 J Sains MIPA, Agustus 8, Vol, No B = ( u5) = Maka sistem akan terkendali jika p ( a b)( q r) atau pada saat nilai l l m ( g l )( g l )( m m ) b Diberikan masukan pada fungsi dan B = ( u6) = Maka sistem akan terkendali untuk ( b p) q a( p r) atau pada saat nilai g l l m m Sistem pasti terkendali karena g l l m m pasti memiliki nilai c Diberikan masukan pada fungsi dan B = ( u 7 ) = Maka sistem akan terkendali jika g l ( m m ) ( l l ) m l ( l l ) m l l m m g l m d Diberikan masukan pada fungsi dan ( ) ( ( ) ) m B = ( u8) = Maka sistem akan terkendali jika g l ( m m ) ( l l ) m l ( l l ) m g l l m m m g l m l l m m e Diberikan masukan pada fungsi dan B = ( u 9 ) = ( ) ( )( ( )) m Sistem akan terkendali jika ( b p) q a( p r) atau pada saat g l l m m Sistem pasti terkendali karena g l l m m pasti memiliki nilai f Diberikan masukan pada fungsi dan 8 FMIPA Universitas Lampung 97

9 Amanto dan La Zakaria Keterkendalian Sistem Bandul Ganda B = ( u ) = Untuk mengetahui keterkendalian pada sistem bandul ganda, diberikan satu contoh berikut ini: Contoh untuk Kasus a : Diketahui m = 975kg, m = 5kg, l = 6m, l = 6m, g = 9 8m dan s ( ) 5, (), () rad θ = rad θ = rad θ =, θ () rad sec = Dengan sec mensubstitusikan nilai-nilai tersebut di atas ke dalam Pers (), didapatkan a = 6, b =, p = 8, q = 6, dan r = 8 Dari nilai-nilai tersebut dapat ditentukan nilai determinan untuk R Dalam bentuk matriks: T T T T = = & =, & = 8, &, & Sehingga 5 8 A = ar p br ar a r ap q p br ( p br) ( p br)( p br) R = ap p br ap a pr apbq p br ( p br)( p br) ( p br) dengan a = ( m m ) l g = 6 b = ( m m p = m l l q = m l ) l = 8 g = 6 = r = ml = 8 Substitusi nilai di atas ke dalam determinan R a p q = ( p br) ( 8 8) =, FMIPA Universitas Lampung

10 J Sains MIPA, Agustus 8, Vol, No Karena determinan yang dihasilkan dari sistem ini tidak sama dengan nol, maka sistem dapat dikendalikan pada saat diberikan masukan seperti di atas Kemudian akan diperlihatkan keterkendalian sistem bandul ganda melalui gambar Gambar-gambar berikut merupakan visualisasi dari keterkendalian sistem bandul ganda dengan satu fungsi masukan (u ); dengan nilai τ =, ; dan banyaknya iterasi (N) adalah Gambar berikut adalah Poincare keterkendalian sistem antara θ dan p Gambar menunjukkan Poincare keterkendalian sistem pada saat diberikan masukan pada θ, nilai θ berada pada,, sedangkan p berada pada,75 YS ;t ; N p q Gambar Poincare keterkendalian sistem antara θ dan p Gambar berikut adalah visusalisasi keterkendalian sistem antara θ dan θ YS ;t ; N q q Gambar Hubungan keterkendalian sistem antara θ dan θ Gambar menunjukkan keterkendalian sistem pada saat diberikan masukan pada θ, ternyata sistem terkendali untuk θ berada pada,, sedangkan θ bernilai,, 8 FMIPA Universitas Lampung 99

11 Amanto dan La Zakaria Keterkendalian Sistem Bandul Ganda Gambar berikut adalah visusalisasi keterkendalian sistem antara θ dan p Gambar menunjukkan keterkendalian sistem pada saat diberikan masukan pada p, ternyata sistem terkendali untuk p bernilai,75 sedangkan θ berada pada,, YS ;t ; N q p Gambar Hubungan keterkendalian sistem antara θ dan p KESIMPULAN Sifat keterkendalian sistem bandul ganda dapat diketahui melalui i matriks keterkendalian dari sistem PDB linear yang terbentuk dengan menggunakan teorema uji keterkendalian sistem Sistem bandul ganda yang dapat merepresentasikan sistem kerja Tim SAR dan suplai makanan atau amunisi ke barak menggunakan Helikopter merupakan sistem yang terkendali baik dengan satu fungsi masukan maupun dua fungsi masukan UCAPAN TERIMAKASIH Penelitian ini dapat dilaksananakan dengan baik berdasarkan bantuan dana dari Hibah Penelitian (Research Grant) yang diprogramkan Program Hibah Kompetisi (PHK) A Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampung Oleh karena itu, penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada pengelola PHK A Jurusan Matematika atas segala bantuan yang telah diberikan DAFTAR PUSTAKA Amanto, 5 Analisis Keterobservasian Sistem Gerak Kereta Sederhana Dengan Dua Pendulum Terbalik J Sains Tek, () : Cobb, JD 98 Controllability, observability and duality in singular syastem IEEE Trans Aut Control, AC-9 () : 76 8 Olsder, GJ 99 Mathematical Systems Theory First Edition Delftse Uitgevers Maatschappij, Delft, Netherlands Amanto dan La Zakaria, 7 Solusi Eksak dan Kestabilan Sistem Bandul Ganda Jurnal Sains MIPA, Edisi Khusus () : 5 Shinbrot 99 Chaos in a double pendulum Am J Phys 6 (6) : Giordano dan Weir 99 Differential Equations A Modeling Approach Addison-Wesley, Publishing Company 8 FMIPA Universitas Lampung