PERANCANGAN PROGRAM APLIKASI PENGUJIAN STRUKTUR ALJABAR (GRUP PERIODIK, GRUP APERIODIK, GRUP CAMPURAN, GRUP FAKTOR, DAN SUBGRUP NORMAL)
|
|
- Ida Cahyadi
- 6 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 PERANCANGAN PROGRAM APLIKASI PENGUJIAN STRUKTUR ALJABAR (GRUP PERIODIK, GRUP APERIODIK, GRUP CAMPURAN, GRUP FAKTOR, DAN SUBGRUP NORMAL) Ngarap Imanuel Manik, Drs., M.Kom.; Don Tasman, S.Mia., S.E., S.Si., M.M; Pretty Christyaningrum Turang ABSTRAK Aljabar abstrak atau yang juga dikenal dengan aljabar moderen merupakan salah satu cabang ilmu matematika yang berhubungan dengan kajian kuantitas, hubungan, dan struktur yang terbentuk. Lebih spesifik, aljabar abstrak mempelajari struktur aljabar seperti grup, gelanggang (ring), dan lapangan (fields). Ilmu aljabar abstrak berkembang dengan pesat karena penerapan karakteristik dari bentuk-bentuk struktur aljabar tersebut banyak bermanfaat dalam pengembangan metode penyelesaian masalah yang bersifat abstrak dan sulit direpresentasikan melalui operasi aljabar biasa. Seperti yang telah disebutkan sebelumnya, salah satu yang dipelajari dalam ilmu aljabar abstrak adalah teori grup. Ide dasar munculnya teori grup adalah penyelidikan permutasi dari himpunan berhingga di dalam teori persamaan. Selanjutnya ditemukan bahwa konsep dari suatu grup adalah universal dan konsep grup tersebut muncul dalam berbagai cabang ilmu matematika dan ilmu pengetahuan lainnya. Kata Kunci: Aljabar Abstrak, Aljabar Modern, Grup, Struktur aljabar, Grup Faktor, Grup Periodik, Grup Aperiodik, Grup Campuran, Subgrup Normal. PENDAHULUAN Pada tahun sebelumnya telah dilakukan penelitian tentang teori grup dan merancang program aplikasi pengujian struktur grup khusus (abelian, siklik, dan homorfism dengan menggunakan bahasa pemrograman Delphi (Object Pascal). Karena sekarang ini penelitian mengenai teori grup masih kurang dan jarang ditemukan, maka tercetus keinginan untuk melanjutkan penelitian tersebut serta mengembangkan program aplikasi yang telah tercipta agar lebih efisien dan userfriendly yaitu dengan menambahkan beberapa fitur yang dapat menguji grup khusus lainnya (grup aperiodik, grup periodik, grup campuran, grup faktor, dan subgrup normal). Dalam pengembangan program aplikasi ini, digunakan bahasa pemrograman Java dengan tujuan selain dapat dijalankan pada beberapa platform sistem operasi berbeda, juga dapat dipublikasikan secara bebas alias gratis sehingga memungkinkan programmer atau peneliti lain mengembangkan program aplikasi ini dengan menambahkan fitur yang lebih bermanfaat.
2 PEMBAHASAN Struktur Aljabar Menurut Dr. Kusno Kromodihardjo (1988), yang dimaksud dengan suatu struktur aljabar yaitu suatu himpunan tak hampa yang dilengkapi dengan suatu komposisi biner atau lebih. Misalkan S adalah suatu himpunan yang dilengkapi dengan dua komposisi biner + dan *, maka S menjadi satu struktur aljabar dan diberi notasi (S, +, *). Table Cayley Dibutuhkan suatu alat yang konkret untuk mendefinisikan komposisi biner dalam suatu himpunan khususnya himpunan terhingga yaitu Tabel Cayley. Dengan tabel Cayley, komposisi biner dapat didefinisikan secara analitik (deskriptif) atau secara geometrik. Tabel Cayley adalah daftar yang dirancang oleh Arthur Cayley pada abad ke-19. Tabel 1 Tabel Cayley untuk Operasi Penjumlahan Modulo Dari tabel Cayley di atas, elemen yang dioperasikan adalah elemen di kolom abu-abu kiri dengan operasi + 4 elemen di baris abu-abu atas Kolom putih dan baris putih merupakan hasil biner antara masing-masing elemen pada himpunan. Terlihat bahwa = 0, = 1, = 2, = 1, = 2, = 0 dan seterusnya. Dalam sistem aljabar perlu diperhatikan bahwa operasi + 4 di atas belum tentu berarti operasi penjumlahan yang lazim digunakan dalam aritmatika, namun dapat berarti pengurangan, perkalian, atau lainnya sesuai dengan definisi yang diberikan pengguna. Tabel Cayley banyak digunakan dalam sistem aljabar karena penyusunannya dapat menggambarkan sifat-sifat grup. Sebagai contoh, operasi penjumlahan modulo 4 dari himpunan A = {0,1,2} merupakan grup abelian (komutatif) dengan melihat hasil bahwa hasil produk operasi pada Tabel 2.1 saling simetris terhadap sumbu diagonal utama tabel. Sifat-sifat Operasi Aljabar Menurut Connell (2004), operasi biner pada sistem aljabar memiliki sifat-sifat yang digunakan untuk mengklasifikasikan sistem tersebut.
3 1. Operasi Biner (tertutup) Misalkan A = {2,4,6,8,..} yaitu bilangan asli genap dan dipandang operasi +, yaitu operasi penjumlahan, maka operasi + merupakan operasi biner pada A karena jumlah dua bilangan asli genap selalu merupakan bilangan asli genap dalam A. ( a, b A) a+b A + tertutup 2. Operasi Asosiatif Operasi biner * pada suatu himpunan A bersifat asosiatif jika dan hanya jika untuk setiap a, b, c A berlaku (a*b)*c = a*(b*c). ( a, b, c A) (a*b)*c = a*(b*c) * asosiatif 3. Komutatif Operasi biner * pada suatu himpunan A bersifat komutatif jika dan hanya jika untuk setiap a,b A berlaku sifat a*b = b*a. ( a, b A) a*b = b*a * komutatif 4. Memiliki Elemen Identitas (Unsur Kesatuan) Unsur kesatuan atau elemen identitas adalah suatu elemen yang jika dioperasikan terhadap sembarang elemen tunggal dari sebuah himpunan akan menghasilkan elemen itu sendiri. Pada operasi biner *, suatu elemen e 1 A disebut identitas (unkes) kiri jika untuk semua elemen a A berlaku e 1 *a = a. Sedangkan suatu elemen e 2 A disebut identitas (unkes) kanan jika untuk semua elemen a A berlaku a*e 2 = a. Jika suatu elemen e A merupakan identitas kiri dan sekaligus identitas kanan, maka e disebut elemen identitas. Dalam simbol matematika: e 1 A adalah identitas kiri ( a A) e 1 *a = a e 2 A adalah identitas kanan ( a A) a*e 2 = a ( a A) e*a = a*e = a * memiliki elemen identitas 5. Memiliki Invers Invers suatu elemen adalah elemen yang jika dioperasikan terhadap elemen pertama akan menghasilkan elemen identitas. Pada operasi biner *, suatu elemen e 1 A disebut invers kiri a jika untuk semua elemen a A berlaku e 1 *a = e. Sedangkan suatu elemen e 2 A disebut invers kanan a jika untuk semua elemen a A berlaku a* e 2 = e Jika ada suatu anggota himpunan A yang merupakan invers kiri sekaligus invers kanan elemen a, maka anggota tersebut disebut invers a (simbol a -1 ). Dalam simbol matematika: a -1 A adalah invers kiri ( a A) a -1 *a = e a -1 A adalah invers kanan ( a A) a*a -1 = e ( a A) a -1 *a = a* a -1 = e * memiliki invers dari a Klasifikasi Struktur Aljabar Umum 1. Grupoid
4 Misalkan (A,*) adalah suatu struktur aljabar dan akan disebut grupoid jika operasi * merupakan operasi biner (tertutup). 2. Semigrup Misalkan (A,*) adalah suatu struktur aljabar. (A,*) disebut semigrup jika memenuhi kondisi-kondisi: 1. (A,*) merupakan operasi biner (tertutup) 2. (A,*) merupakan operasi asosiatif 3. Monoid Misalkan (A,*) adalah suatu struktur aljabar. (A,*) disebut monoid jika memenuhi kondisi-kondisi: 1. (A,*) merupakan semigrup 2. (A,*) memiliki elemen identitas 4. Grup Misal (A,*) adalah suatu struktur aljabar. (A,*) disebut grup bila memenuhi kondisikondisi: 1. (A,*) merupakan monoid 2. Setiap elemen dalam A memiliki invers Bentuk-Bentuk Grup Khusus Kategori-kategori seperti yang telah dijelaskan sebelumnya merupakan klasifikasi struktur aljabar secara umum. Kategori-kategori ini dapat dikelompokkan lagi ke dalam kategorikategori khusus berdasarkan sifat yang lebih spesifik. Untuk grup sendiri terdapat beberapa jenis grup khusus yang dapat dilihat dengan menganalisis sifat-sifat tambahan pada sistem aljabarnya. Bentuk-bentuk khusus ini adalah sebagai berikut. A. Grup Komutatif Misalkan (A,*) adalah suatu grup G, maka G disebut grup komutatif atau Abelian, jika a, b G berlaku ab = ba atau dapat dikatakan memenuhi kondisi-kondisi: 1. (A,*) merupakan grup 2. (A,*) bersifat komutatif B. Grup Siklik Suatu grup G disebut siklik jika untuk sejumlah a G sedemikian hingga setiap elemen x G dapat dinyatakan sebagai hasil operasi a dengan dirinya sendiri sebanyak n kali (n berhingg. Elemen a yang bersifat seperti itu disebut sebagai generator. Jika G grup siklik dibangun oleh a, maka ditulis G=(, elemen-elemen tersebut dapat ditulis sebagai a, a, a = e, a, a,... C. Grup Periodik, Aperiodik, dan Campuran Definisi C.1 (i) Tingkat a = minimum { a a N, a x = e} jika himpunan 0 (ii) Tingkat a = 0 (tak hingg jika himpunan = 0 Tingkat suatu unsur dari suatu grup adalah bilangan asli terkecil yang bila dipangkatkan kepada unsur tersebut menghasilkan unsur kesatuan bila bilangan itu ada seperti dijelaskan pada pterhinggernyataan (i). Pernyataan (ii) menunjukkan bila tidak ada satu
5 bilangan asli pun yang dipangkatkan pada suatu unsur a menghasilkan unsur kesatuan maka dikatakan tingkat a tak hingga. Tingkat (atau ordo) dari a diberi notasi t(. Bila ada suatu bilangan asli n a n = e, dapat dikatakan tingkat dari a atau tingkat a terhingga. Bila tidak demikian maka dikatakan tingkat a tak hingga. (Kusno, 1988) Definisi C.2 (Aperiodik, Periodik, dan Campuran) Suatu grup G dinamakan periodik atau berkala jika tingkat setiap unsurnya terhingga dan dinamakan aperiodik jika setiap unsurnya selain unsur kesatuan mempunyai tingkat tak hingga. Akan dinamakan campuran jika sedikitnya mempunyai satu unsur dengan tingkat tak hingga dan satu unsur e dengan tingkat terhingga. Akibat definisi di atas, terbentuk 2 pernyataan (i) Setiap grup terhingga adalah periodik (ii) Jika suatu grup aperiodik atau campuran maka grup tersebut tak hingga Berhadapan dengan itu, grup tak hingga tidak mesti aperiodik. Bisa saja aperiodik, bisa campuran, dan bisa pula periodik. Jadi tak hingga hanya merupakan syarat perlu agar suatu grup aperiodik atau campuran. Istilah aperiodik tidak berarti tidak periodik, bukan ingkaran dari periodik. Tidak periodik berarti bisa aperiodik tetapi bisa pula campuran. Sebaliknya, tidak aperiodik tidak mesti periodik, bisa periodik dan bisa pula campuran. Oleh karenanya istilah aperiodik tidak dapat diganti dengan tak berkala. (Kusno, 1988) D. Subgrup Normal Definisi D.1 (Koset) Di dalam suatu grup G terdapat subgrup H untuk a, b G, dikatakan bahwa a kongruen dengan b modulo H dan ditulis a b mod H, bila dan hanya bila ab H. Relasi a b mod H adalah suatu relasi ekuivalen pada G. Kelas ekuivalen yang memuat a dapat ditulis sebagai bentuk Ha = { ah, h H} disebut koset kanan terhadap subgrup H. Sedangkan Ha = { ah, h H} disebut koset kiri terhadap subgrup H. Unsur a disebut generator dari koset tersebut. Dengan demikian, di dalam grup G untuk setiap subgrup H dari G terdapat himpunan koset kanan K = { Ha a G} dan himpunan koset kiri L = { ah a G}. Definisi D.2 (Subgrup) Himpunan bagian dari suatu grup yang merupakan grup terhadap operasi yang sama, yaitu operasi yang ada dalam grup tersebut dinamakan subgrup. Berikut adalah beberapa teorema mengenai subgrup. Teorema D.1 : Misalkan G adalah sebuah grup dan S suatu himpunan bagian dari G. S dinamakan suatu subgrup dari G jika S merupakan suatu grup terhadap operasi yang ada dalam G. Teorema D.2 : G sebuah grup dan S suatu himpunan bagian dari G yang tak kosong, maka S merupakan suatu grup dari G jika dan hanya jika (i) x dan y S (ii) x S x S Teorema D.3 : G suatu grup dan S G dengan S 0. S suatu subgrup dari G jika dan hanya jika x, y S berlaku xy S. Dari ketiga teorema di atas, jika S adalah subgrup dari G maka dapat dinotasikan H G. Jika H adalah proper subgrup dari G, yaitu H G, maka dituliskan H < G.
6 Definisi D.3 (Subgrup Normal) Misalkan H adalah suatu subgrup dari grup G, subgrup H dikatakan subgrup normal dari G bila gh = Hg untuk semua g G maka dapat dibuktikan bahwa setiap koset kiri dari H dalam G sama dengan koset kanan dari H dalam G. Berikut adalah teorema yang berlaku pada subgrup normal. (i) Subgrup H adalah normal di grup G (ii) Untuk semua g G, g Hg H (iii) Untuk semua g G, E. Grup Faktor (Grup Kuosien) Definisi E.1 (Lagrange) g Hg = H Bila G adalah suatu grup terhingga dan H subgrup dari G, maka G H [ G : H ] / = yaitu order dari subgrup H membagi order dari G. Bukti: Misalkan n adalah order dari G dan k adalah order dari H. Maka setiap koset kanan dari H dalam G mempunyai order sebanyak k juga. Misal r adalah banyak koset kanan yang berlainan dari H dalam G. Koset kanan dari H dalam G membentuk partisi dari G, sehingga G dapat ditulis sebagai gabungan dari koset-koset yang lepas (disjoint) yaitu G = a1h a2h a3h... ar H. Oleh karena koset kanan merupakan partisi dari G maka G = a H + a H a 1 2 r H = H + H H = k + k k = kr Diperoleh n = kr sehingga k membagi n. Definisi E.2 (Grup Faktor) Misalkan N adalah subgrup normal dari grup G, maka himpunan semua koset kanan dari N dalam G (dinotasikan dengan G / N) terhadap operasi perkalian himpunan merupakan suatu grup dan G / N disebut grup faktor. G / N = { an a G}, didefinisikan operasi pada G / N, an. bn = ab dengan unsur an disebut koset-koset dari N. (Fraleigh, 1997) Teorema : Himpunan G / N adalah grup dan disebut grup faktor di bawah operasi perkalian. Operasi perkaliannya didefinisikan a. bn = ab. N Bukti : - Menurut definisi operasi, pada G / N tertutup di bawah operasi perkalian asosiatif ( an. bn). cn = ( ab) N. cn = (( ab) c) N = an(( bc) N) = an( bn. cn). - Unsur identitas adalah koset N sebab an. N = anen = ( ae) N = an dan N = an = en. N = ( e N = an. - Invers dari an adalah a N sebab an. a N = ( aa ) N = en = N Terbukti bahwa G / N adalah grup. F. Homomorfisma Grup Homomorfisma grup merupakan suatu pemetaan pada grup yang memenuhi sifat-sifat tertentu. Berikut akan dibahas homomorfisma grup beserta sifat-sifatnya.
7 Definisi F.1 (Homomorfism Diketahui (G,*) dan ( G', ) merupakan grup. Pemetaan ϕ : G G' disebut homomorfisma jika dan hanya jika untuk setiap a, b G berlaku ϕ ( a * b) = ϕ( ϕ( b). Definisi F.2 - Suatu homomorfisma yang injektif disebut monomorfisma - Suatu homomorfisma yang surjektif disebut epimorfisma - Suatu homomorfisma yang bijektif disebut isomorfisma Definisi F.3 Suatu homorfisma dari suatu grup ke dalam dirinya sendiri dinamakan suatu endomorfisma dan suatu endomorfisma yang dibjektif dinamakan automorfisma. Contoh: + Ambil grup G1 = ( R, xs ) yaitu grup multiplikatif dari himpunan semua bilangan nyata + positif dan grup G2 = ( R, xs ) yaitu grup aditif dari himpunan semua bilangan nyata. + Bangun pemetaan ρ : G1 G2 sebagai berikut: ρ ( x) = log x maka x, y G1 = R akan berlaku ρ ( xy) = log( xy) = log x + log y = ρ( x) + ρ( y). Ini berarti bahwa ρ suatu homomorfisma; selanjutnya ρ injektif dan surjektif, sebab ρ ( x ) = ρ( y) log x = log y x = y; selain itu x' G2 x G1 sedemikian hingga ρ( x ) = x' yaitu bila diambil x = 10 x. Jadi ρ suatu isomorfisma. Lemma F.1 merupakan homomorfisma grup, maka keempat sifat berikut berlaku: (i) Jika e merupakan elemen identitas di G, maka ϕ(e) merupkan elemen identitas e' di G. (ii) Jika a G maka ϕ ( a ) = ϕ( (iii) Jika H merupakan subgrup pada G, maka ϕ(h ) merupakan subgrup pada G. (iv) Jika K merupakan subgrup pada G, maka ϕ ( K' ) merupakan subgrup pada G. Definisi F.4 (Kernel) homomorfisma grup. Himpunan { a G ϕ( = e'} dinamakan kernel ϕ dari dan dinotasikan ker (ϕ ). Lemma F.2 merupakan homomorfisma grup. Pemetaan ϕ merupakan pemetaan injektif jika dan hanya jika ker ( ϕ ) = { e}. Bukti ( ) Menurut Lemma G.1 (i) berakitab ϕ( e ) = e' dan karena ϕ merupakan pemetaan injektif maka hanya elemen e di G yang dipetakan ke elemen e di G. Jadi ker ( ϕ ) = { e}. ( ) Diandaikan pemetaan ϕ bukan pemetaan injektif, yaitu terdapat a, b G dengan a b dan ϕ ( = ϕ( b). Karena ϕ ( = ϕ( b) maka 1 ϕ( ϕ( b) = e. Menurut Lemma G.1 (ii) diperoleh ϕ( a ) ϕ( b) = ϕ( ϕ( b ) = ϕ( ab ) = e'. Karena diketahui ker ( ϕ) = { e} akibatnya ab = e dan dengan kata lain a = b. Muncul
8 kontradiksi dengan pengandaian bahwa a b. Jadi, pengandaian diingkar dan terbukti ϕ merupakan pemetaan injektif. Definisi F.5 (Monomorfism merupakan homomorfisma grup. Pemetaan ϕ disebut monomorfisma grup jika dan hanya jika ϕ suatu pemetaan satu-satu dari G ke G. Dengan kata lain, jika ϕ ( x) = ϕ(y) maka x = y untuk x, y G. Definisi F.6 (Epimorfism merupakan homomorfisma grup. Pemetaan ϕ disebut epimorfisma grup apabila setiap g G' ada g G sehingga ϕ ( g ) = g'. Dengan kata lain, setiap elemen G mempunyai kawan elemen G. Dapat pula dikatakan bahwa homomorfisma ϕ dari G onto G atau disingkat homomorfisma ϕ onto. Definisi F.7 (Isomorfism merupakan homomorfisma grup. Pemetaan ϕ disebut isomorfisma grup jika dan hanya jika ϕ merupakan pemetaan injektif (satu-satu). Grup G dan G dikatakan isomorphic jika ada isomorfisma ϕ dari G ke G dan dinotasikan dengan G G'. Langkah-langkah untuk menunjukkan grup G dan G isomorphic adalah: 1. Definisikan fungsi ϕ dari G ke G. 2. Tunjukkan bahwa ϕ fungsi satu-satu dan pada. 3. Tunjukkan bahwa ϕ homomorfisma. Sedangkan untuk menunjukkan dua grup G dan G tidak isomorphic, pada prinsipnya adalah menunjukkan bahwa tidak ada homomorfisma yang bersifat satu-satu dan pada dari G ke G. Namun tidak mungkin dicoba setiap kemungkinan yang ada, kecuali jika pemetaan satu-satu memang tidak dapat dibuat. Cara praktis untuk menunjukkan dua grup G dan G tidak isomorphic adalah dengan mendapatkan sifat aljabar yang tidak dipenuhi kedua grup. PENUTUPAN Kesimpulan Berdasarkan pengamatan dan pembelajaran terhadap hasil penulisan skripsi ini, dapat diambil beberapa kesimpulan mengenai keakuratan kinerja program, pengembangan, dan kemampuan program untuk memenuhi tujuannya dibuat sebagai berikut. a. Dari analisis dan pengujian terhadap beberapa sampel sistem aljabar, dapat disimpulkan bahwa program pengujian dapat memberikan hasil yang tepat, sesuai dengan sifat-sifat yang telah dideskripsikan pada Bab 2. b. Program aplikasi ini jauh lebih efisien dibandingkan dengan melakukan pengujian secara manual sehingga waktu pengerjaan yang ditempuh lebih singkat. c. Program ini dinilai dapat memenuhi tujuannya yaitu lebih user friendly bila dibandingkan dengan program sebelumnya yang pernah dibuat oleh Andrew Saputra (2010) karena memudahkan pengguna dalam memahami klasifikasi sistem aljabar beserta sifat-sifatnya. Program memberikan penjelasan hasil pengujian secara bertahap, detail, dan jelas.
9 d. Waktu kerja yang dibutuhkan program dalam memberikan hasil pengujian sangat singkat, sehingga jauh lebih efisien dibandingkan pengujian secara manual. Program telah diuji dengan beberapa sistem aljabar yang memiliki jumlah elemen bervariasi, dan tidak ditemukan peningkatan waktu yang kasat mata dalam waktu proses program. Ukuran file program kecil dan algoritma program dirancang dengan algoritma-algoritma dasar yang tidak kompleks, sehingga tidak membutuhkan spesifikasi komputer yang tinggi untuk menjalankan program. e. Program ini dinilai dapat menjadi program aplikasi yang dapat dipakai seluruh pengguna dari segala Negara karena menggunakan bahasa Inggris. Saran Secara umum, program aplikasi pengujian struktur aljabar ini telah memenuhi tujuantujuan awal perancangannya. Namun masih terdapat banyak kemungkinan pengembangan dan penyempurnaan yang bisa dilakukan ke depannya. Adapun beberapa saran yang dapat diberikan adalah sebagai berikut. a. Pengembangan program aplikasi pengujian struktur aljabar secara utuh yang mengintegrasikan fitur-fitur pengujian grup pada program yang telah dibuat penulis pada skripsi ini dengan bentuk-bentuk klasifikasi lainnya yang belum terdapat di sini, seperti Ring dan Field khusus. b. Jika tampilan program aplikasi ini didesain lebih visual dengan beraneka ragam warna dan gambar, sebagai contoh menggunakan flash, maka program ini akan lebih menarik pengguna karena seperti diketahui bahwa topik struktur aljabar masih menjadi hal yang cukup kompleks untuk dijelaskan kepada orang awam atau pelajar yang baru pertama kali menyentuh topik ini. c. Pengembangan aplikasi lebih jauh dari pengujian, yakni aplikasi untuk implementasi struktur aljabar dalam melakukan fungsi aljabar yang lebih umum, misalnya kriptografi. DAFTAR PUSTAKA
10 PERANCANGAN PROGRAM APLIKASI PENGUJIAN STRUKTUR ALJABAR (GRUP PERIODIK, GRUP APERIODIK, GRUP CAMPURAN, GRUP FAKTOR, DAN SUBGRUP NORMAL) Ngarap Imanuel Manik, Drs., M.Kom.; Don Tasman, S.Mia., S.E., S.Si., M.M; Pretty Christyaningrum Turang ABSTRACT Abstract algebra, also known as modern algebra, is a branch of mathematic that studies quantitative study, relation, and structures. Specifically, the abstract algebra covers group, ring, and field algebraic structures. The development of abstract algebra has advanced rapidly due to its wide implementation in building abstract problem solving methods, which proves difficult to be represented in normal algebraic operations. As mentioned above, one of the primary topics of abstract algebra study is the group theory. The group theory originates from exploration of the finite set permutation in equation theory. This idea is then found to be universal, allowing the group concept to be accepted in different mathematical studies and even in other fields. Keyword: Abstract Algebra, Modern Algebra, Group, Algebraic Structures, Factor Group, Periodic Group, Aperiodic Group, Mixed Group, Normal Subgroup. INTRODUCTION In the previous year had done research on group theory and application testing program structure designing special group (abelian, cyclic, and homorfism using the Delphi programming language (Object Pascal). Because the current research on group theory is still lacking and rarely found, it sparked a desire to continue research and develop application programs that have been created to be more efficient and userfriendly by adding a few features that can test for other special groups (group aperiodic, periodic group, mixed group, the group factors, and normal subgroups). In this application program development, Java programming language used for purposes other than can be run on several different operating system platforms, also can be published freely or free thus allowing programmers or other researchers to develop an application program by adding more useful features. DISCUSSION Algebraic Structure According to Dr. Kusno Kromodihardjo (1988), which is defined as an algebraic structure, namely a set of vacuum not equipped with a binary composition or more. Suppose S is a set equipped with two binary composition + and *, then S becomes an algebraic structure and given the notation (S, +, *).
11 Cayley Table It takes a concrete tool to define a binary composition in a particular set is a finite set of Cayley Table. With Cayley tables, binary composition defined analytically (descriptive) or geometrically. Cayley table is a list designed by Arthur Cayley in the 19th century. Tabel 1 Cayley Table for Addition Operation Modulo Of the Cayley table above, the element is an element which operated in the left gray column with operation + 4 elements in the gray bar above White columns and white line is the result of a binary between each element in the set. seen that = 0, = 1, = 2, = 1, = 2, = 0 and so on. In algebra system to note that the above operation does not necessarily mean the sum of the commonly used operations in arithmetic, but it could mean subtraction, multiplication, or otherwise in accordance with the definition given user. Table Cayley algebra is widely used in the system because of its formulation to describe the properties of the group. For example, the addition operation modulo 4 of the set A = {0,1,2} is an abelian group (commutative) to see the results that the results of operations in Table 2.1 products each symmetrical about the axis of the main diagonal of the table. Algebraic properties of Operation According to Connell (2004), a binary operation on algebra systems have properties that are used to classify the system. 1. Binary operations (enclosed) Suppose that is an even natural numbers and the + operation is considered, namely the operations of addition, the operation + is a binary operation on A as the sum of two even natural numbers always a natural number is even in A. ( a, b A) a+b + enclosed A 2. Associative Operations Binary operation * on a set A is associative if and only if for every a, b, c A applies (a*b)*c = a*(b* c). ( a, b, c A) (a*b)*c = a*(b*c) * associative
12 3. Commutative Binary operation * on a set A is commutative if and only if for every a,b A true nature of a*b =b*a. ( a, b A) a*b = b*a * commutative 4. Have Element Identity (element Unity) The element of unity or identity element is an element which, when operated on any single element of a set will result in the element itself. In the binary operation *, an element e 1 A so-called identity (unkes) left if for all elements of a A valid e 1 *a = a. While an element e 2 A so-called identity (unkes) right if for all elements of a A valid a*e 2 = a. If an element e A is a left identity and right identity at the same time, then e is called the identity element. In mathematical symbols: e 1 A is a left identity ó ( a A) e 1 *a = a e 2 A is a right identity ó ( a A) a*e 2 = a ( a A) e*a = a*e = a * has the identity element 5. Have Inverse Inverse of an element is the element which, when operated on the first element will produce the identity element. In the binary operation *, an element e 1 A is called a left inverse if for all elements of a A valid e 1 *a = e. While an element e 2 A is called a right inverse if for all elements of a A valid a* e 2 = e If there is a member of the set A which is at once a left inverse right inverse element a, then the member is called the inverse of a (symbol a -1). In mathematical symbols: a -1 A is a left inverse of ó ( a A) a -1 *a = e a -1 A is a right inverse ó ( a A) a*a -1 = e ( a A) a -1 *a = a* a -1 = e * has an inverse of a General classification of algebraic structure 1. Groupoid Let (A, *) is an algebraic structure and will be called if the operation * groupoid is a binary operation (closed) 2. Semigroup Let (A, *) is an algebraic structure. (A, *) is called semigrup if it satisfies the conditions: 1. (A, *) is a binary operation (closed) 2. (A, *) is an associative operation 3. Monoid Let (A, *) is an algebraic structure. (A, *) is called a monoid if it satisfies the conditions: 1. (A, *) is semigroup 2. (A, *) has the identity element 4. Group
13 Suppose (A, *) is an algebraic structure. (A, *) is called a group if it fulfills the conditions: 1. (A, *) is a monoid 2. Each element in A has an inverse Forms of Special Groups Categories as described previously is the classification of algebraic structures in general. These categories can be further grouped into specific categories based on more specific properties. For the group itself, there are several types of special groups which can be seen by analyzing the properties of the system of algebraic addition. These special forms are as follows. A. Commutative Group Let (A, *) is a group G, then G is called commutative or Abelian group, if a, b G apply ab = ba or it can be said to satisfy the conditions: 1. (A, *) is a group 2. (A, *) is commutative B. Cyclic Group A group G is called cyclic if for some a G such that every element x G can be expressed as a result of operations with itself n times (n finite). Elements of such a nature referred to as a generator. If G is built by a cyclic group, then it is written G = (, these elements can be written as a, a, a = e, a, a,... C. Periodic, Aperiodic, and Mixed Group Definition C.1 (i) Level A = minimum { a a N, a x = e} if the set 0 (ii) Level a = 0 (infinity) if the set = 0 The level of an element of a group is the smallest natural number which, when raised to the generating element of the element of unity when the number as described in (i). Statement (ii) indicate the absence of any natural numbers raised to an element of a generating element of unity is said not to level a degree. Levels (or orders) of a given notation t(. If there is a natural number n a n = e, can be said of a level or a level of infinity. Otherwise it is said not to a degree. (Kusno, 1988) Definition C.2 (aperiodic, periodic, and Mixed) A group G is called periodic or regular if every element of the finite and is called aperiodic if every element except the element of unity has infinite degree. Will be called mixed if it has at least one element with infinite levels and an element e with the infinite. Due to the above definition, formed two statements (i) Setiap grup terhingga adalah periodik (ii) Jika suatu grup aperiodik atau campuran maka grup tersebut tak hingga Berhadapan dengan itu, grup tak hingga tidak mesti aperiodik. Bisa saja aperiodik, bisa campuran, dan bisa pula periodik. Jadi tak hingga hanya merupakan syarat perlu agar suatu grup aperiodik atau campuran. Istilah aperiodik tidak berarti tidak periodik, bukan ingkaran dari periodik. Tidak periodik berarti bisa aperiodik tetapi bisa pula campuran.
14 Sebaliknya, tidak aperiodik tidak mesti periodik, bisa periodik dan bisa pula campuran. Oleh karenanya istilah aperiodik tidak dapat diganti dengan tak berkala. (Kusno, 1988) D. Subgrup Normal Definisi D.1 (Koset) Di dalam suatu grup G terdapat subgrup H untuk a, b G, dikatakan bahwa a kongruen dengan b modulo H dan ditulis a b mod H, bila dan hanya bila ab H. Relasi a b mod H adalah suatu relasi ekuivalen pada G. Kelas ekuivalen yang memuat a dapat ditulis sebagai bentuk Ha = { ah, h H} disebut koset kanan terhadap subgrup H. Sedangkan Ha = { ah, h H} disebut koset kiri terhadap subgrup H. Unsur a disebut generator dari koset tersebut. Dengan demikian, di dalam grup G untuk setiap subgrup H dari G terdapat himpunan koset kanan K = { Ha a G} dan himpunan koset kiri L = { ah a G}. Definisi D.2 (Subgrup) Himpunan bagian dari suatu grup yang merupakan grup terhadap operasi yang sama, yaitu operasi yang ada dalam grup tersebut dinamakan subgrup. Berikut adalah beberapa teorema mengenai subgrup. Teorema D.1 : Misalkan G adalah sebuah grup dan S suatu himpunan bagian dari G. S dinamakan suatu subgrup dari G jika S merupakan suatu grup terhadap operasi yang ada dalam G. Teorema D.2 : G sebuah grup dan S suatu himpunan bagian dari G yang tak kosong, maka S merupakan suatu grup dari G jika dan hanya jika (i) x dan y S (ii) x S x S Teorema D.3 : G suatu grup dan S G dengan S 0. S suatu subgrup dari G jika dan hanya jika x, y S berlaku xy S. Dari ketiga teorema di atas, jika S adalah subgrup dari G maka dapat dinotasikan H G. Jika H adalah proper subgrup dari G, yaitu H G, maka dituliskan H < G. Definisi D.3 (Subgrup Normal) Misalkan H adalah suatu subgrup dari grup G, subgrup H dikatakan subgrup normal dari G bila gh = Hg untuk semua g G maka dapat dibuktikan bahwa setiap koset kiri dari H dalam G sama dengan koset kanan dari H dalam G. Berikut adalah teorema yang berlaku pada subgrup normal. (i) Subgrup H adalah normal di grup G (ii) Untuk semua g G, g Hg H (iii) Untuk semua g G, E. Grup Faktor (Grup Kuosien) Definisi E.1 (Lagrange) g Hg = H Bila G adalah suatu grup terhingga dan H subgrup dari G, maka G H [ G : H ] / = yaitu order dari subgrup H membagi order dari G. Bukti: Misalkan n adalah order dari G dan k adalah order dari H. Maka setiap koset kanan dari H dalam G mempunyai order sebanyak k juga. Misal r adalah banyak koset kanan yang berlainan dari H dalam G. Koset kanan dari H dalam G membentuk partisi dari G,
15 sehingga G dapat ditulis sebagai gabungan dari koset-koset yang lepas (disjoint) yaitu G = a1h a2h a3h... ar H. Oleh karena koset kanan merupakan partisi dari G maka G = a1h + a2h ar H = H + H H = k + k k = kr Diperoleh n = kr sehingga k membagi n. Definisi E.2 (Grup Faktor) Misalkan N adalah subgrup normal dari grup G, maka himpunan semua koset kanan dari N dalam G (dinotasikan dengan G / N) terhadap operasi perkalian himpunan merupakan suatu grup dan G / N disebut grup faktor. G / N = { an a G}, didefinisikan operasi pada G / N, an. bn = ab dengan unsur an disebut koset-koset dari N. (Fraleigh, 1997) Teorema : Himpunan G / N adalah grup dan disebut grup faktor di bawah operasi perkalian. Operasi perkaliannya didefinisikan a. bn = ab. N Bukti : - Menurut definisi operasi, pada G / N tertutup di bawah operasi perkalian asosiatif ( an. bn). cn = ( ab) N. cn = (( ab) c) N = an(( bc) N) = an( bn. cn). - Unsur identitas adalah koset N sebab an. N = anen = ( ae) N = an dan N = an = en. N = ( e N = an. - Invers dari an adalah a N sebab an. a N = ( aa ) N = en = N Terbukti bahwa G / N adalah grup. F. Homomorfisma Grup Homomorfisma grup merupakan suatu pemetaan pada grup yang memenuhi sifat-sifat tertentu. Berikut akan dibahas homomorfisma grup beserta sifat-sifatnya. Definisi F.1 (Homomorfism Diketahui (G,*) dan ( G', ) merupakan grup. Pemetaan ϕ : G G' disebut homomorfisma jika dan hanya jika untuk setiap a, b G berlaku ϕ ( a * b) = ϕ( ϕ( b). Definisi F.2 - Suatu homomorfisma yang injektif disebut monomorfisma - Suatu homomorfisma yang surjektif disebut epimorfisma - Suatu homomorfisma yang bijektif disebut isomorfisma Definisi F.3 Suatu homorfisma dari suatu grup ke dalam dirinya sendiri dinamakan suatu endomorfisma dan suatu endomorfisma yang dibjektif dinamakan automorfisma. Contoh: + Ambil grup G1 = ( R, xs ) yaitu grup multiplikatif dari himpunan semua bilangan nyata + positif dan grup G2 = ( R, xs ) yaitu grup aditif dari himpunan semua bilangan nyata. + Bangun pemetaan ρ : G1 G2 sebagai berikut: ρ ( x) = log x maka x, y G1 = R akan berlaku ρ ( xy) = log( xy) = log x + log y = ρ( x) + ρ( y). Ini berarti bahwa ρ suatu
16 homomorfisma; selanjutnya ρ injektif dan surjektif, sebab ρ ( x ) = ρ( y) log x = log y x = y; selain itu x' G2 x G1 sedemikian hingga ρ( x ) = x' yaitu bila diambil x = 10 x. Jadi ρ suatu isomorfisma. Lemma F.1 merupakan homomorfisma grup, maka keempat sifat berikut berlaku: (i) Jika e merupakan elemen identitas di G, maka ϕ(e) merupkan elemen identitas e' di G. (ii) Jika a G maka ϕ ( a ) = ϕ( (iii) Jika H merupakan subgrup pada G, maka ϕ(h ) merupakan subgrup pada G. (iv) Jika K merupakan subgrup pada G, maka ϕ ( K' ) merupakan subgrup pada G. Definisi F.4 (Kernel) homomorfisma grup. Himpunan { a G ϕ( = e'} dinamakan kernel ϕ dari dan dinotasikan ker (ϕ ). Lemma F.2 merupakan homomorfisma grup. Pemetaan ϕ merupakan pemetaan injektif jika dan hanya jika ker ( ϕ ) = { e}. Bukti ( ) Menurut Lemma G.1 (i) berakitab ϕ( e ) = e' dan karena ϕ merupakan pemetaan injektif maka hanya elemen e di G yang dipetakan ke elemen e di G. Jadi ker ( ϕ ) = { e}. ( ) Diandaikan pemetaan ϕ bukan pemetaan injektif, yaitu terdapat a, b G dengan a b dan ϕ ( = ϕ( b). Karena ϕ ( = ϕ( b) maka 1 ϕ( ϕ( b) = e. Menurut Lemma G.1 (ii) diperoleh ϕ( a ) ϕ( b) = ϕ( ϕ( b ) = ϕ( ab ) = e'. Karena diketahui ker ( ϕ) = { e} akibatnya ab = e dan dengan kata lain a = b. Muncul kontradiksi dengan pengandaian bahwa a b. Jadi, pengandaian diingkar dan terbukti ϕ merupakan pemetaan injektif. Definisi F.5 (Monomorfism merupakan homomorfisma grup. Pemetaan ϕ disebut monomorfisma grup jika dan hanya jika ϕ suatu pemetaan satu-satu dari G ke G. Dengan kata lain, jika ϕ ( x) = ϕ(y) maka x = y untuk x, y G. Definisi F.6 (Epimorfism merupakan homomorfisma grup. Pemetaan ϕ disebut epimorfisma grup apabila setiap g G' ada g G sehingga ϕ ( g ) = g'. Dengan kata lain, setiap elemen G mempunyai kawan elemen G. Dapat pula dikatakan bahwa homomorfisma ϕ dari G onto G atau disingkat homomorfisma ϕ onto. Definisi F.7 (Isomorfism merupakan homomorfisma grup. Pemetaan ϕ disebut isomorfisma grup jika dan hanya jika ϕ merupakan pemetaan injektif (satu-satu). Grup G dan G dikatakan isomorphic jika ada isomorfisma ϕ dari G ke G dan
17 dinotasikan dengan G G'. Langkah-langkah untuk menunjukkan grup G dan G isomorphic adalah: 1. Definisikan fungsi ϕ dari G ke G. 2. Tunjukkan bahwa ϕ fungsi satu-satu dan pada. 3. Tunjukkan bahwa ϕ homomorfisma. Sedangkan untuk menunjukkan dua grup G dan G tidak isomorphic, pada prinsipnya adalah menunjukkan bahwa tidak ada homomorfisma yang bersifat satu-satu dan pada dari G ke G. Namun tidak mungkin dicoba setiap kemungkinan yang ada, kecuali jika pemetaan satu-satu memang tidak dapat dibuat. Cara praktis untuk menunjukkan dua grup G dan G tidak isomorphic adalah dengan mendapatkan sifat aljabar yang tidak dipenuhi kedua grup. CLOSURE Conclusion Based on observations and studies of the writing of this thesis, several conclusions can be drawn regarding the accuracy of program performance, development, and ability to meet program objectives are made as follows. a. From the analysis and testing against some sample system algebra, can concluded that the testing program can provide exact results, in accordance with properties that have been described on Chapter 2. b. Application program this far more efficient than with do testing manually so that time workmanship to be taken more brief. c. The program assessed can meet goal that is more user friendly when than with the previous program that had be made by Andrew Saputra (2010) as facilitate users in understand classification system algebra along its properties. The program provides explanation result testing in Gradually, detail, and clear. d. Time work required in the program provide result testing very short, so far more efficient than testing manually. The program has been tested with some system algebra which has number element varied, and not found enhancement a visible eye in time the program. Size small program file and program algorithm is designed with algorithms base that is not complex, so not require specification high computer to run the program. e. The program assessed can application program that can be used all users of all countries because of use language England. Suggestion In general, the algebraic structure of the test application program has met its design goals early. But still there are many possibilities of development and refinement that can be done in the future. As for some suggestions that can be given is as follows. a. Development of application program testing structure algebra in that integrates the whole features testing group the program has be made author on thesis this with forms classification others who have not there in Here, as Ring and Field special. b. If appearance of the application program this designed more visual with the a wide range color and images, as example use flash, then this program will more interesting users because
18 as unknown that topic structure algebra still be it is quite complex to explain to the layman or the student who ru ba first touched this topic. c. Development application more far of testing, namely application to implementation structure algebra in do function algebra is more common, for example cryptography. REFERENCES Anonymous. (2004). Guide to The Software Engineering Body of Knowledge (SWEBOK). The Institute of Electrical and Electronics Engineers, Inc. Beachy, John A. (2000). Abstract Algebra: A Study Guide for Beginners. Northern Illinois University. Clart, W.Edwin. (2001). Elementary Abstract Algebra. Department of Mathematics University of South Florida. Connell, E. H. (2004). Elements of Abstract and Linear Algebra. University of Miami. Durbin, John R. (2002). Modern Algebra : An Introduction 3 rd ed. Singapore; John Wiley & Sons, Inc. Gosling, James and Joy, Bill and Steele, Guy and Bracha, Gillad. (2005). The Java Language Specification Third Edition. Addison Wesley. java.sun.com/docs/books/jls/download/langspec-3.0.pdf IEEE Xplore - Software Engineering, IEEE Transactions on. Judson, Thomas W. (2010). Abstract Algebra : Theory and Applications. USA : Stephen F. Austin State University. Kromodihardjo, Dr. Kusno. (1988). Struktur Aljabar. Jakarta; Penerbit Karunika, Universitas Terbuka. Lang, S. (1993). Algebra. USA; Wesley Publishing Company. M.P, Drs. Sukirman. (1999). Aljabar Abstrak. Jakarta; Universitas Terbuka, Depdikbud.
19
BAB 2 LANDASAN TEORI. struktur aljabar yaitu suatu himpunan tak hampa yang dilengkapi dengan suatu
BAB 2 LANDASAN TEORI 2. Struktur Aljabar 2.. Definisi Struktur Aljabar Menurut Dr. Kusno Kromodihardjo (988), yang dimaksud dengan suatu struktur aljabar yaitu suatu himpunan tak hampa yang dilengkapi
Lebih terperinciBAB 4 IMPLEMENTASI DAN EVALUASI PROGRAM. pengujian struktur aljabar, yaitu implementasi sistem tersebut dan juga evaluasi dari
BAB 4 IMPLEMENTASI DAN EVALUASI PROGRAM Pada bab 4 ini akan dijelaskan mengenai hasil dari rancangan program aplikasi pengujian struktur aljabar, yaitu implementasi sistem tersebut dan juga evaluasi dari
Lebih terperinciBAB 1 PENDAHULUAN. satu cabang ilmu matematika yang berhubungan dengan kajian kuantitas, hubungan, dan
BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Aljabar abstrak atau yang juga dikenal dengan aljabar moderen merupakan salah satu cabang ilmu matematika yang berhubungan dengan kajian kuantitas, hubungan, dan struktur
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diuraikan mengenai konsep teori grup, teorema lagrange dan
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diuraikan mengenai konsep teori grup, teorema lagrange dan autokomutator yang akan digunakan dalam penelitian. Pada bagian pertama ini akan dibahas tentang teori
Lebih terperinciRING FUZZY DAN SIFAT-SIFATNYA FUZZY RING AND ITS PROPERTIES
J. Sains Dasar 2016 5(1) 28-39 RING FUZZY DAN SIFAT-SIFATNYA FUZZY RING AND ITS PROPERTIES Rifki Chandra Utama * dan Karyati Jurusan Pendidikan Matematika, FMIPA, Universitas Negeri Yogyakarta *email:
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
6 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Fungsi Definisi A.1 Diberikan A dan B adalah dua himpunan yang tidak kosong. Suatu cara atau aturan yang memasangkan atau mengaitkan setiap elemen dari himpunan A dengan tepat
Lebih terperinciPERANCANGAN PIRANTI LUNAK PENGUJIAN STRUKTUR ALJABAR GRUP KHUSUS (ABELIAN, SIKLIK & HOMOMORFISMA)
PERANCANGAN PIRANTI LUNAK PENGUJIAN STRUKTUR ALJABAR GRUP KHUSUS (ABELIAN, SIKLIK & HOMOMORFISMA) Ngarap Im Manik; Andrew Saputra Jurusan Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Bina Nusantara,
Lebih terperinciBAB 4 IMPLEMENTASI DAN EVALUASI RAM 953 MB DDR. Hard disk 160 GB. Mouse Logitech. Professional Service Pack 3. Development Kit 6 Update 2
BAB 4 IMPLEMENTASI DAN EVALUASI 4.1 Spesifikasi Perangkat Keras Spesifikasi dari perangkat keras yang digunakan dalam perancangan program adalah sebagai berikut. Processor Intel Pentium Dual-Core CPU T4400
Lebih terperinciRANCANGAN PEMBUATAN PROGRAM PENGUJIAN STRUKTUR MATEMATIKA RING DAN FIELD
RANCANGAN PEMBUATAN PROGRAM PENGUJIAN STRUKTUR MATEMATIKA RING DAN FIELD Don Tasman 1 ; Ngarap Im Manik 2 ABSTRACT Along with the growth of human being thought and technology everything also becomes quickly.
Lebih terperinciTeorema Cayley-Hamilton pada Matriks atas Ring Komutatif
Teorema Cayley-Hamilton pada Matriks atas Ring Komutatif Joko Harianto 1, Nana Fitria 2, Puguh Wahyu Prasetyo 3, Vika Yugi Kurniawan 4 Jurusan Matematika, Universitas Gadjah Mada, Yogyakarta Indonesia
Lebih terperinciKriteria Struktur Aljabar Modul Noetherian dan Gelanggang Noetherian
Kriteria Struktur Aljabar Modul Noetherian dan Gelanggang Noetherian Rio Yohanes 1, Nora Hariadi 2, Kiki Ariyanti Sugeng 3 Departemen Matematika, FMIPA UI, Kampus UI Depok, 16424, Indonesia rio.yohanes@sci.ui.ac.id,
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
4 BAB II TINJAUAN PUSTAKA Untuk mencapai tujuan penulisan penelitian diperlukan beberapa pengertian dan teori yang berkaitan dengan pembahasan. Dalam subbab ini akan diberikan beberapa teori berupa definisi,
Lebih terperinciSTRUKTUR ALJABAR 1. Kristiana Wijaya
STRUKTUR ALJABAR 1 Kristiana Wijaya i ii Daftar Isi Judul Daftar Isi i iii 1 Himpunan 1 2 Partisi dan Relasi Ekuivalen 3 3 Grup 6 4 Koset Dan Teorema Lagrange, Homomorphisma Grup Dan Grup Faktor 11 Indeks
Lebih terperinciSTRUKTUR ALJABAR. Sistem aljabar (S, ) merupakan semigrup, jika 1. Himpunan S tertutup terhadap operasi. 2. Operasi bersifat asosiatif.
STRUKTUR ALJABAR SEMIGRUP Sistem aljabar (S, ) merupakan semigrup, jika 1. Himpunan S tertutup terhadap operasi. 2. Operasi bersifat asosiatif. Contoh 1 (Z, +) merupakan sebuah semigrup. Contoh 2 Misalkan
Lebih terperinciKeberlakuan Teorema pada Beberapa Struktur Aljabar
PRISMA 1 (2018) https://journal.unnes.ac.id/sju/index.php/prisma/ Keberlakuan Teorema pada Beberapa Struktur Aljabar Mashuri, Kristina Wijayanti, Rahayu Budhiati Veronica, Isnarto Jurusan Matenmatika FMIPA
Lebih terperinciUNNES Journal of Mathematics
UJM 6 (1) 2017 UNNES Journal of Mathematics http://journal.unnes.ac.id/sju/index.php/ujm STRUKTUR DAN SIFAT-SIFAT K-ALJABAR Deni Nugroho, Rahayu Budhiati Veronica, dan Mashuri Jurusan Matematika, FMIPA,
Lebih terperinciGELANGGANG ARTIN. Kata Kunci: Artin ring, prim ideal, maximal ideal, nilradikal.
Jurnal Matematika UNAND Vol. 2 No. 2 Hal. 108 114 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND GELANGGANG ARTIN IMELDA FAUZIAH, NOVA NOLIZA BAKAR, ZULAKMAL Program Studi Matematika, Fakultas Matematika
Lebih terperinciBAB II KERANGKA TEORITIS. komposisi biner atau lebih dan bersifat tertutup. A = {x / x bilangan asli} dengan operasi +
5 BAB II KERANGKA TEORITIS 2.1 Struktur Aljabar Struktur aljabar adalah salah satu mata kuliah dalam jurusan matematika yang mempelajari tentang himpunan (sets), proposisi, kuantor, relasi, fungsi, bilangan,
Lebih terperinciPENGANTAR PADA TEORI GRUP DAN RING
Handout MK Aljabar Abstract PENGANTAR PADA TEORI GRUP DAN RING Disusun oleh : Drs. Antonius Cahya Prihandoko, M.App.Sc, Ph.D e-mail: antoniuscp.ilkom@unej.ac.id Staf Pengajar Pada Program Studi Sistem
Lebih terperinciBAB 3 ANALISIS DAN PERANCANGAN PROGRAM. Untuk membuat sistem perlu dilakukan analisa sistem tersebut sehingga dapat
BAB 3 ANALISIS DAN PERANCANGAN PROGRAM 3.1 Analisis Sistem Untuk membuat sistem perlu dilakukan analisa sistem tersebut sehingga dapat diketahui tahapan dan proses yang dibutuhkan sistem agar program (perangkat
Lebih terperinciPERANCANGAN PIRANTI LUNAK PENGUJIAN STRUKTUR ALJABAR GRUP KHUSUS (ABELIAN, SIKLIK & HOMOMORFISMA)
PERANCANGAN PIRANTI LUNAK PENGUJIAN STRUKTUR ALJABAR GRUP KHUSUS (ABELIAN, SIKLIK & HOMOMORFISMA) Ngarap Im Manik Jurusan.Matematika FST-BINUS University Jl.K.H Syahdan 9, Jakarta Barat, Indonesia email
Lebih terperinciPENGEMBANGAN PROGRAM APLIKASI PENGUJIAN STRUKTUR ALJABAR (INTEGRAL DOMAIN, FINITE FIELD, SUBFIELD)
PENGEMBANGAN PROGRAM APLIKASI PENGUJIAN STRUKTUR ALJABAR (INTEGRAL DOMAIN, FINITE FIELD, SUBFIELD) Muhammad Taufiq Zulfikar Universitas Bina Nusantara, Jl. Kebon Jeruk Raya No.27 Jakarta, 081282678484,
Lebih terperinciPIRANTI LUNAK PENGUJIAN STRUKTUR MATEMATIKA GRUP, RING, FIELD BERBASIS OSP (Open Source Program)
PIRANTI LUNAK PENGUJIAN STRUKTUR MATEMATIKA GRUP, RING, FIELD BERBASIS OSP (Open Source Program) Ngarap Im Manik; Don Tasman Mathematics and Statistics Department, School of Computer Science, Binus University
Lebih terperinciGRUP HINGGA NILPOTENT. Patma dan Hery Susanto Universitas Negeri Malang
GRUP HINGGA NILPOTENT Patma dan Hery Susanto Universitas Negeri Malang Email: afatmaahmad@yahoo.com Abstract: Group is one of topics in abstract algebra. Group is a non empty set G together with a binary
Lebih terperinciPembagi Bersama Terbesar Matriks Polinomial
Vol. 11, No. 1, 63-70, Juli 2014 Pembagi Bersama Terbesar Matriks Polinomial Indramayanti Syam 1,*, Nur Erawaty 2, Muhammad Zakir 3 ABSTRAK Teori bilangan adalah cabang ilmu Matematika yang mempelajari
Lebih terperinciIsomorfisma dari Gelanggang Polinom Miring Kompleks ke Gelanggang Quaternion Riil
Vol. 1, No. 1, 1-8, Juli 015 Isomorfisma dari Gelanggang Polinom Miring Kompleks ke Gelanggang Quaternion Riil Amir Kamal Amir 1 Abstrak Misalkan R adalah suatu gelanggang dengan identitas 1, adalah suatu
Lebih terperinciGRAF PANGKAT PADA SEMIGRUP. Nur Hidayatul Ilmiah. Dr. Agung Lukito, M.S.
GRAF PANGKAT PADA SEMIGRUP Nur Hidayatul Ilmiah Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Surabaya. mia_ilmiah99@yahoo.com Dr. Agung Lukito, M.S. Jurusan Matematika,
Lebih terperinciProduk Cartesius Semipgrup Smarandache
Jurnal Matematika Vol. 2 No. 2, Desember 2012. ISSN : 1693-1394 Produk Cartesius Semipgrup Smarandache Yuliyanti Dian Pratiwi Sekolah Tinggi Teknik Wiworotomo Purwokerto e-mail: dianhilal@gmail.com Abstract:
Lebih terperinciKONSTRUKSI HOMOMORFISMA PADA GRUP BERHINGGA
KONSTRUKSI HOMOMORFISMA PADA GRUP BERHINGGA I Ketut Suastika Pend. Matematika Univ. Kanjuruhan Malang Suastika_cipi@yahoo.co.id Abstrak Pada tulisan ini, penulis mencoba mengkonstruksi homomorfisma grup
Lebih terperinciKarakteristik Koproduk Grup Hingga
Jurnal Matematika Integratif ISSN 1412-6184 Vol. 9 No. 2, Oktober 2013 pp. 31-37 Karakteristik Koproduk Grup Hingga Edi Kurniadi, Stanley P.Dewanto, Alit Kartiwa Jurusan Matematika FMIPA Universitas Padjadjaran
Lebih terperinciSEMIGRUP BEBAS DAN MONOID BEBAS PADA HIMPUNAN WORD. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Univeritas Riau Kampus Bina Widya Indonesia
SEMIGRUP BEBS DN MONOID BEBS PD HIMPUNN WORD Novia Yumitha Sarie, Sri Gemawati, Rolan Pane Mahasiswa Program S Matematika Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan lam Univeritas
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI. aljabar merupakan suatu himpunan beserta dengan operasi-operasi pada himpunan
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Sistem dan Struktur Aljabar Menurut Jong Jek Siang, 2002:436 (seperti dikutip Manik, 2011:2), sistem aljabar merupakan suatu himpunan beserta dengan operasi-operasi pada himpunan
Lebih terperinciTEOREMA BURNSIDE DAN POLYA UNTUK MENENTUKAN POLA PEWARNAAN GRUP PERMUTASI
TEOREMA BURNSIDE DAN POLYA UNTUK MENENTUKAN POLA PEWARNAAN GRUP PERMUTASI Disusun Oleh : Nur Cholilah J2A 003 040 Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Memperoleh Gelar Sarjana Program Strata Satu (S1)
Lebih terperinciRestia Sarasworo Citra 1, Suryoto 2. Jurusan Matematika FMIPA UNDIP Jl. Prof. H. Soedarto, S. H, Tembalang, Semarang Jurusan Matematika FMIPA UNDIP
ENDOMORFISMA DARI BCH-AJABAR Restia Sarasworo Citra 1 Suryoto 1 Jurusan Matematika FMIPA UNDIP Jl. Prof. H. Soedarto S. H Tembalang Semarang Jurusan Matematika FMIPA UNDIP Abstract. BCH-algebras is an
Lebih terperinciII. KONSEP DASAR GRUP. abstrak (abstract algebra). Sistem aljabar (algebraic system) terdiri dari suatu
II KONSEP DASAR GRUP Suatu cabang matematika yang mempelajari struktur aljabar dinamakan aljabar abstrak abstract algebra Sistem aljabar algebraic system terdiri dari suatu himpunan obyek satu atau lebih
Lebih terperinciSUBGRUP C-NORMAL DAN SUBRING H R -MAX
SUBGRUP C-NORMAL DAN SUBRING H R -MAX Kristi Utomo 1, Nikken Prima Puspita 2, R. Heru Tjahjana 3, Jurusan Matematika FSM Universitas Diponegoro Jl. Prof. H. Soedarto, S.H. Tembalang Semarang kristiu24@gmail.com
Lebih terperinciRencana Perkuliahan. Kelas : A, B, C, D. SKS/JS : 3/3 : Yus Mochamad Cholily
Rencana Perkuliahan Jurusan : Matematika Mata Kuliah : Struktur Aljabar Semester : IV (empat) Kelas : A, B, C, D. SKS/JS : 3/3 Pengajar : Yus Mochamad Cholily 1. Pendahuluan. Struktur Aljabar atau dikenal
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI. yang menghubungkan dua himpunan yang terpisah, yakni daerah asal (domain) dan
BAB LANDASAN TEORI. Fungsi.. Definisi dan Notasi Fungsi Menurut Bertrand Russell (967), fungsi didefinisikan sebagai pemetaan yang menghubungkan dua himpunan yang terpisah, yakni daerah asal (domain) dan
Lebih terperinciAKAR-AKAR POLINOMIAL SEPARABLE SEBAGAI PEMBENTUK PERLUASAN NORMAL PADA RING MODULO
AKAR-AKAR POLINOMIAL SEPARABLE SEBAGAI PEMBENTUK PERLUASAN NORMAL PADA RING MODULO Saropah Mahasiswa Jurusan Matematika UIN Maulana Malik Ibrahim Malang e-mail: haforas@rocketmail.com ABSTRAK Salah satu
Lebih terperinciPembagi Bersama Terbesar Matriks Polinomial Indramayanti Syam 1,*, Nur Erawaty 2, Muhammad Zakir 3
Pembagi Bersama Terbesar Matriks Polinomial Indramayanti Syam 1,*, Nur Erawaty 2, Muhammad Zakir 3 1 Program Studi Matematika, Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas
Lebih terperinciDAFTAR ISI. HALAMAN JUDUL... i HALAMAN PERSETUJUAN... II HALAMAN PENGESAHAN... III KATA PENGANTAR... IV DAFTAR ISI... V BAB I PENDAHULUAN...
DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL... i HALAMAN PERSETUJUAN... II HALAMAN PENGESAHAN... III KATA PENGANTAR... IV DAFTAR ISI... V BAB I PENDAHULUAN... 1 A. LATAR BELAKANG MASALAH... 1 B. PEMBATASAN MASALAH... 2 C.
Lebih terperinciMATHunesa Jurnal Ilmiah Matematika Volume 2 No.6 Tahun 2017 ISSN
MATHunesa Jurnal Ilmiah Matematika Volume 2 No.6 Tahun 2017 ISSN 2301-9115 GRAF TOTAL SUATU MODUL BERDASARKAN SUBMODUL SINGULER Dian Ambarsari (S1 Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,
Lebih terperinciIDEAL DIFERENSIAL DAN HOMOMORFISMA DIFERENSIAL. Na imah Hijriati, Saman Abdurrahman, Thresye
DEAL DFEENSAL DAN HOMOMOFSMA DFEENSAL Na imah Hijriati, Saman Abdurrahman, Thresye Program Studi Matematika Universitas Lambung Mangkurat l. end. A. Yani Km. 36 Kampus Unlam Banjarbaru Email : imah_math@yahoo.co.id
Lebih terperinciK-ALJABAR. Iswati dan Suryoto Jurusan Matematika FMIPA UNDIP Jl. Prof. H. Soedarto, S.H, Semarang 50275
K-ALJABAR Iswati Suryoto Jurusan Matematika FMIPA UNDIP Jl Prof H Soedarto, SH, Semarang 50275 ABSTRAK -aljabar adalah suatu struktur aljabar yang dibangun atas suatu grup sehingga sifat-sifat yang berlaku
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. A. Latar Belakang. Struktur aljabar merupakan salah satu bidang kajian dalam matematika
1 BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Struktur aljabar merupakan salah satu bidang kajian dalam matematika yang dikembangkan untuk menunjang pemahaman mengenai struktur bilangan. Struktur atau sistem aljabar
Lebih terperinciPERLUASAN DARI RING REGULAR
PERLUASAN DARI RING REGULAR Devi Anastasia Shinta 1, YD. Sumanto 2, Djuwandi 3 1,2,3 Jurusan Matematika FSM Universitas Diponegoro Jl. Prof. H. Soedarto, S.H., Tembalang, Semarang fue_anastasia@yahoo.com
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
BAB II TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini dituliskan beberapa aspek teoritis sebagai landasan teori dalam penelitian ini yaitu teori bilangan, bilangan bulat modulo?, struktur aljabar dan masalah logaritma
Lebih terperinciPERBEDAAN SIFAT KOSET DAN KOSET SMARANDACHE TUGAS AKHIR
ERBEDAAN SIFAT KOSET DAN KOSET SMARANDACE TUGAS AKIR Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains pada Jurusan Matematika oleh : NIKI OKTAFIANA 00087 FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
Lebih terperinciANTI SUBGRUP FUZZY. Kata Kunci: Lower level subset, Anti subgrup fuzzy, Lower Level Subgrup.
ANTI SUBGRUP FUZZY Ahmad Yasir, Saman Abdurrahman, Nurul Huda Program Studi Matematika Fakultas MIPA Universitas Lambung Mangkurat Email: Ahmad.yasir.syahti@gmail.com ABSTRAK Subgrup yaitu himpunan bagian
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
BAB II TINJAUAN PUSTAKA Pada bagian ini dipaparkan dasar-dasar yang akan digunakan pada bagian pembahasan dari skripsi ini. Tinjauan yang dilakukan dengan memaparkan definisi mengenai himpunan fuzzy, struktur
Lebih terperinciTujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengidentifikasi dan mengenal sifat-sifat dasar suatu Grup
BAB 3 DASAR DASAR GRUP Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengidentifikasi dan mengenal sifat-sifat dasar suatu Grup Tujuan Instruksional Khusus : Setelah diberikan
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pengkajian pertama, diulas tentang definisi grup yang merupakan bentuk dasar
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Grup Pengkajian pertama, diulas tentang definisi grup yang merupakan bentuk dasar dari suatu ring dan modul. Definisi 2.1.1 Diberikan himpunan dan operasi biner disebut grup yang
Lebih terperinciSTRUKTUR ALJABAR: RING
STRUKTUR ALJABAR: RING BAHAN AJAR Oleh: Rippi Maya Program Studi Magister Pendidikan Matematika Sekolah Tinggi Keguruan dan Ilmu Pendidikan (STKIP) SILIWANGI - Bandung 2016 1 Pada grup telah dipelajari
Lebih terperinciDiagonalisasi Matriks Segitiga Atas Ring komutatif Dengan Elemen Satuan
Diagonalisasi Matriks Segitiga Atas Ring komutatif Dengan Elemen Satuan Fitri Aryani 1, Rahmadani 2 Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Suska Riau e-mail: khodijah_fitri@uin-suskaacid Abstrak
Lebih terperinciII. LANDASAN TEORI. Dalam bab ini akan didiskusikan unsur tak terdefinisi, aksioma-aksioma, istilahistilah,
3 II. LANDASAN TEORI Dalam bab ini akan didiskusikan unsur tak terdefinisi, aksioma-aksioma, istilahistilah, definisi-definisi dan teorema-teorema yang berhubungan dengan penelitian ini. 2.1 Geometri Insidensi
Lebih terperinciPENGEMBANGAN PROGRAM APLIKASI PENGUJIAN ALJABAR ABSTRAK (RING dan TURUNANNYA, FIELD, IDEAL) BERBASIS OPEN SOURCE
PENGEMBANGAN PROGRAM APLIKASI PENGUJIAN ALJABAR ABSTRAK (RING dan TURUNANNYA, FIELD, IDEAL) BERBASIS OPEN SOURCE Fransisca Fortunatadewi Binus University, Jakarta, DKI Jakarta, Indonesia Dibimbing oleh:
Lebih terperinciIDEAL PRIMA DAN IDEAL MAKSIMAL PADA GELANGGANG POLINOMIAL PRIME IDEAL AND MAXIMAL IDEAL IN A POLYNOMIAL RING
IDEAL PRIMA DAN IDEAL MAKSIMAL PADA GELANGGANG POLINOMIAL Qharnida Khariani, Amir Kamal Amir dan Nur Erawati Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Hasanuddin (UNHAS)
Lebih terperinciBAB 2 KONSEP DASAR 2.1 HIMPUNAN DAN FUNGSI
BAB 2 KONSEP DASAR Pada bab 2 ini, penulis akan memperkenalkan himpunan, fungsi dan sejumlah konsep awal yang terkait dengan semigrup, dimana sebagian besar akan sangat diperlukan hingga bagian akhir dari
Lebih terperinciSEKILAS TENTANG KONSEP. dengan grup faktor, dan masih banyak lagi. Oleh karenanya sebelum
Bab I. Sekilas Tentang Konsep Dasar Grup antonius cp 2 1. Tertutup, yakni jika diambil sebarang dua elemen dalam G maka hasil operasinya juga akan merupakan elemen G dan hasil tersebut adalah tunggal.
Lebih terperinciBeberapa Sifat Ideal Bersih-N
JURNAL FOURIER Oktober 216, Vol. 5, No. 2, 65-7 ISSN 2252-763X; E-ISSN 2541-5239 Beberapa Sifat Ideal Bersih-N Uha Isnaini dan Indah Emilia Wijayanti Jurusan Matematika FMIPA UGM, Yogyakarta, Sekip Utara,
Lebih terperinciMODUL DAN KEUJUDAN BASIS PADA MODUL BEBAS
MODUL DAN KEUJUDAN BASIS PADA MODUL BEBAS MODULES AND BASES OF FREE MODULES Dian Mardiani Pendidikan Matematika, STKIP Garut Garut, Indonesia Alfid51@yahoo.com Abstrak Penelitian ini membahas beberapa
Lebih terperinciI. PENDAHULUAN. Aljabar dapat didefinisikan sebagai manipulasi dari simbol-simbol. Secara historis
1 I. PENDAHULUAN 1.2 Latar Belakang dan Masalah Aljabar dapat didefinisikan sebagai manipulasi dari simbol-simbol. Secara historis aljabar dibagi menjadi dua periode waktu, dengan batas waktu sekitar tahun
Lebih terperinciRencana Perkuliahan. Kelas : A, B, C, D. SKS/JS : 3/3 : Yus Mochamad Cholily
Rencana Perkuliahan Jurusan : Matematika Mata Kuliah : Struktur Aljabar Semester : IV (empat) Kelas : A, B, C, D. SKS/JS : 3/3 Pengajar : Yus Mochamad Cholily 1. Pendahuluan. Struktur Aljabar atau dikenal
Lebih terperinciBAB III. Standard Kompetensi. 3. Mahasiswa dapat menjelaskan pengertian homomorfisma ring dan menggunakannya dalam kehidupan sehari-hari.
BAB III Standard Kompetensi 3. Mahasiswa dapat menjelaskan pengertian homomorfisma ring menggunakannya dalam kehidupan sehari-hari. Kompetensi Dasar: Mahasiswa diharapkan dapat 3.1 Menyebutkan definisi
Lebih terperinciSIFAT-SIFAT LANJUT NEUTROSOFIK MODUL. Jl. Prof. H. Soedarto, SH, Tembalang, Semarang 50275
SIFAT-SIFAT LANJUT NEUTROSOFIK MODUL 1 Suryoto, 2 Bambang Irawanto, 3 Nikken Prima Puspita 1, 2, 3 Departemen Matematika Fakultas Sains dan Matematika Universitas Diponegoro Jl. Prof. H. Soedarto, SH,
Lebih terperinciGRUP NON-ABELIAN YANG ABELIAN SECARA GRAFIS SKRIPSI
GRUP NON-ABELIAN YANG ABELIAN SECARA GRAFIS SKRIPSI MICHELLE PURWAGANI PROGRAM STUDI S-1 MATEMATIKA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS AIRLANGGA 2012 i GRUP NON-ABELIAN YANG
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Ada beberapa materi yang terdapat pada aljabar abstrak, salah satu materi
1 BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Ada beberapa materi yang terdapat pada aljabar abstrak, salah satu materi tersebut adalah modul. Untuk membahas pengertian tentang suatu modul harus dimengerti lebih
Lebih terperinciDIMENSI PARTISI SUBGRAF TERINDUKSI PADA GRAF TOTAL ATAS RING KOMUTATIF
Prosiding Seminar Nasional Pendidikan Sains Tahun 2014 Inovasi Pendidikan Sains dalam Menyongsong Pelaksanaan Kurikulum 2013 Surabaya 18 Januari 2014 DIMENSI PARTISI SUBGRAF TERINDUKSI PADA GRAF TOTAL
Lebih terperinciSYARAT PERLU LAPANGAN PEMISAH. Bambang Irawanto Jurusan Matematika FMIPA UNDIP. Abstact. Keywords : extension fields, elemen algebra
JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol 4 No 2, 65-70, Agustus 2001, ISSN : 1410-8518 SYARAT PERLU LAPANGAN PEMISAH Bambang Irawanto Jurusan Matematika FMIPA UNDIP Abstact Field is integral domain and is a
Lebih terperinciKARAKTERISTIK KOPRODUK GRUP HINGGA
KARAKTERISTIK KOPRODUK GRUP HINGGA Edi Kurniadi, Stanley P. Dewanto, Alit Kartiwa Jurusan Matematika FMIPA Universitas Padjadjaran Jalan Raya Bandung Sumedang Km 21 Jatinangor 45363 E-mail: edikrnd@gmail.com;
Lebih terperinciTIF APPLIED MATH 1 (MATEMATIKA TERAPAN 1) Week 3 SET THEORY (Continued)
TIF 21101 APPLIED MATH 1 (MATEMATIKA TERAPAN 1) Week 3 SET THEORY (Continued) OBJECTIVES: 1. Subset and superset relation 2. Cardinality & Power of Set 3. Algebra Law of Sets 4. Inclusion 5. Cartesian
Lebih terperinciKeterkaitan Grup Spesial Uniter dengan Grup Spesial Ortogonal
Jurnal Matematika Integratif Volume 12 No. 2, Oktober 2016, pp. 117-124 p-issn:1412-6184, e-issn:2549-903 doi:10.24198/jmi.v12.n2.11928.117-124 Keterkaitan Grup Spesial Uniter dengan Grup Spesial Ortogonal
Lebih terperinciUNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA F A K U L T A S M I P A
Fakultas : FMIPA Program Studi : Pendidikan Matematika Mata Kuliah/Kode : Aljabar Abstrak I, MAT 309 Jumlah SKS : Teori=3 sks; Praktek= Semester : Genap Mata Kuliah Prasyarat/kode : Teori Bilangan, MAT
Lebih terperinciStruktur Aljabar I. Pada bab ini disajikan tentang pengertian. grup, sifat-sifat dasar grup, ordo grup dan elemennya, dan konsep
GRUP Bab ini merupakan awal dari bagian pertama materi utama perkuliahan Struktur Aljabar I. Pada bab ini disajikan tentang pengertian grup, sifat-sifat dasar grup, ordo grup dan elemennya, dan konsep
Lebih terperinciGRUP SIKLIK, GRUP PERMUTASI, HOMOMORFISMA
GRUP SIKLIK, GRUP PERMUTASI, HOMOMORFISMA Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengenal dan mengaplikasikan sifat-sifat Grup Siklik, Grup Permutasi dan Homomorfisma
Lebih terperinci0,1,2,3,4. (e) Perhatikan jawabmu pada (a) (d). Tuliskan kembali sifat-sifat yang kamu temukan dalam. 5. a b c d
1 Pada grup telah dipelajari himpunan dengan satu operasi. Sekarang akan dipelajari himpunan dengan dua operasi. Ilustrasi 1.1 Perhatikan himpunan 0,1,2,3,4. (a) Apakah grup terhadap operasi penjumlahan?
Lebih terperinciDiktat Kuliah. Oleh:
Diktat Kuliah TEORI GRUP Oleh: Dr. Adi Setiawan UNIVERSITAS KRISTEN SATYA WACANA SALATIGA 2015 Kata Pengantar Aljabar abstrak atau struktur aljabar merupakan suatu mata kuliah yang menjadi kurikulum nasional
Lebih terperinciBAB 1 OPERASI PADA HIMPUNAN BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI
BAB 1 OPERASI PADA HIMPUNAN Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat menggunakan operasi pada himpunan untuk memecahkan masalah dan mengidentifikasi suatu himpunan
Lebih terperinciRING FAKTOR DAN HOMOMORFISMA
BAB 8 RING FAKTOR DAN HOMOMORFISMA Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengenal dan mengaplikasikan sifat-sifat Ring Faktor dan Homomorfisma Ring Tujuan Instruksional
Lebih terperinciTujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengenal dan mengaplikasikan sifat-sifat dari Grup Faktor
BAB 5 GRUP FAKTOR Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengenal dan mengaplikasikan sifat-sifat dari Grup Faktor Tujuan Instruksional Khusus : Setelah diberikan
Lebih terperinciNEUTROSOFIK MODUL DAN SIFAT-SIFATNYA. Jl. Prof. H. Soedarto, SH, Tembalang, Semarang 50275
NEUTROSOFIK MODUL DAN SIFAT-SIFATNYA Suryoto 1, Bambang Irawanto 2, Nikken Prima Puspita 3 1,2,3 Jurusan Matematika FSM Universitas Diponegoro Jl. Prof. H. Soedarto, SH, Tembalang, Semarang 5275 1 suryoto_math@undip.ac.id
Lebih terperinciURUTAN PARSIAL PADA SEMIGRUP DAN PADA KELAS- KELAS DARI SUATU SEMIGRUP
URUTAN PARSIAL PADA SEMIGRUP DAN PADA KELAS- KELAS DARI SUATU SEMIGRUP Irtrianta Pasangka 1, Drs. Y.D Sumanto, M.Si 2, Drs. Harjito, M.Kom 3 Jurusan Matematika FSM Universitas Diponegoro Jl. Prof. H. Soedarto,
Lebih terperinciSTRUKTUR ALJABAR 1. Winita Sulandari FMIPA UNS
STRUKTUR ALJABAR 1 Winita Sulandari FMIPA UNS Pengantar Struktur Aljabar Sistem Matematika terdiri dari Satu atau beberapa himpunan Satu atau beberapa operasi yg bekerja pada himpunan di atas Operasi-operasi
Lebih terperinciSEMI-HOMOMORFISMA BCK-ALJABAR. Deffyana Prastya A. 1 dan Suryoto 2. Program Studi Matematika FMIPA UNDIP Jl. Prof. Soedarto, SH, Semarang, 50275
SEMI-HOMOMORFISMA BCK-ALJABAR Deffyana Prastya A. 1 dan Suryoto 2 1,2 Program Studi Matematika FMIPA UNDIP Jl. Prof. Soedarto, SH, Semarang, 50275 Abstract. A BCK-algebra is one of the algebraic structure
Lebih terperinciAUTOMORFISMA PARSIAL GRAF WARNA CAYLEY YANG DIBANGUN OLEH SUATU GRUPOID
AUTOMORFISMA PARSIAL GRAF WARNA CAYLEY YANG DIBANGUN OLEH SUATU GRUPOID SKRIPSI Oleh : Bety Dian Kristina Ningrum J2A 005 010 PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
5 BAB 2 LANDASAN TEORI Struktur Aljabar Struktur aljabar adalah ilmu yang mempelajari suatu sistem aljabar dengan satu atau lebih operasi biner yang diberlakukan pada sistem aljabar tersebut. Struktur
Lebih terperinciTEORI GRUP SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ALJABAR & ANALISIS
TEORI GRUP SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ALJABAR & ANALISIS UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2010 2 KATA PENGANTAR Bismillahirrahmanirrahim Segala puji bagi Allah Rabb semesta alam. Shalawat serta
Lebih terperinciTesting Algebraic Structures Using A Computer Program
ISSN 2356-4393 Testing Algebraic Structures Using A Computer Program Ricky Aditya 1), Muhammad Taufiq Zulfikar 2), Ngarap Imanuel Manik 3) Department of Mathematics and Statistics, BINUS University, Jalan
Lebih terperinci2 G R U P. 1 Struktur Aljabar Grup Aswad 2013 Blog: aswhat.wordpress.com
2 G R U P Struktur aljabar adalah suatu himpunan tak kosong S yang dilengkapi dengan satu atau lebih operasi biner. Jika himpunan S dilengkapi dengan satu operasi biner * maka struktur aljabar tersebut
Lebih terperinciG a a = e = a a. b. Berdasarkan Contoh 1.2 bagian b diperoleh himpunan semua bilangan bulat Z. merupakan grup terhadap penjumlahan bilangan.
2. Grup Definisi 1.3 Suatu grup < G, > adalah himpunan tak-kosong G bersama-sama dengan operasi biner pada G sehingga memenuhi aksioma- aksioma berikut: a. operasi biner bersifat asosiatif, yaitu a, b,
Lebih terperinciK-ALJABAR. Jl. Prof. H. Soedarto, S.H, Semarang 50275
K-ALJABAR Iswati 1 Suryoto 2 1,2 Jurusan Matematika FMIPA UNDIP Jl Prof H Soedarto, SH, Semarang 50275 Abstract K-algebra is an algebra structure built on a group so that characters of a group will apply
Lebih terperinciJurusan Pendidikan Matematika
DESKRIPSI MATA KULIAH : STRUKTUR ALJABAR I KODE MK : MT 400 Mata kuliah ini dimaksudkan agar mahasiswa memahami konsep-konsep struktur aljabar (aljabar modern). Materinya mencakup: aljabar himpunan, pemetaan
Lebih terperinciPemrograman Lanjut. Interface
Pemrograman Lanjut Interface PTIIK - 2014 2 Objectives Interfaces Defining an Interface How a class implements an interface Public interfaces Implementing multiple interfaces Extending an interface 3 Introduction
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
BAB II TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini dituliskan beberapa aspek teoritis berupa definisi teorema sifat-sifat yang berhubungan dengan teori bilangan integer modulo aljabar abstrak masalah logaritma diskret
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini diberikan beberapa definisi mengenai teori grup yang mendukung. ke. Untuk setiap, dinotasikan sebagai di
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini diberikan beberapa definisi mengenai teori grup yang mendukung proses penelitian. 2.1 Teori Grup Definisi 2.1.1 Operasi Biner Suatu operasi biner pada suatu himpunan adalah
Lebih terperinciAntonius C. Prihandoko
Antonius C. Prihandoko Didanai oleh Proyek DIA-BERMUTU 2009 PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA Jurusan Pendidikan MIPA Fakultas Keguruan Dan Ilmu Pendidikan Universitas Jember Prakata Puji syukur ke hadirat
Lebih terperinciBAB 6 RING (GELANGGANG) BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI
BAB 6 RING (GELANGGANG) Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengenal dan mengaplikasikan sifat-sifat suatu Ring, Integral Domain dan Field Tujuan Instruksional
Lebih terperinciJURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 4. No. 2, 65-70, Agustus 2001, ISSN : SYARAT PERLU LAPANGAN PEMISAH
JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol 4 No 2, 65-70, Agustus 2001, ISSN : 1410-8518 SYARAT PERLU LAPANGAN PEMISAH Bambang Irawanto Jurusan Matematika FMIPA UNDIP Abstact Field is integral domain and is a
Lebih terperinciDESKRIPSI MATA KULIAH : STRUKTUR ALJABAR I
DESKRIPSI MATA KULIAH : STRUKTUR ALJABAR I (MAA523/3 SKS) Mata kuliah ini dimaksudkan agar mahasiswa memahami konsep-konsep struktur aljabar (aljabar modern). Materinya mencakup: aljabar himpunan, pemetaan
Lebih terperinciMATHunesa Jurnal Ilmiah Matematika Volume 2 No.6 Tahun 2017 ISSN
MATHunesa Jurnal Ilmiah Matematika Volume 2 No.6 Tahun 2017 ISSN 2301-9115 RGD ALJABAR Dika Anggun Nandaningrum (S1 Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Surabaya)
Lebih terperinci