PROTOKOL PERJANJIAN KUNCI BERDASARKAN MASALAH KONJUGASI ATAS GRUP NON-KOMUTATIF
|
|
|
- Benny Kurnia
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 Prosiding Seminr Nsionl Penelitin, Pendidikn dn Penerpn MIP, Fkults MIP, Universits Negeri Yogykrt, 4 Mei 0 PROTOKOL PERJNJIN KUNCI ERDSRKN MSLH KONJUGSI TS GRUP NON-KOMUTTIF M. Zki Riynto Pendidikn Mtemtik, JPMIP, FKIP Universits hmd Dhln, Yogykrt Emil: zki@mil.ugm.c.id bstrk Protokol perjnjin kunci merupkn sutu skem dlm kriptogrfi yng digunkn untuk mengtsi mslh perjnjin kunci rhsi. Kunci rhsi tersebut digunkn pd proses enkripsi-dekripsi di ntr du pihk yng berkomuniksi. Secr umum, tingkt kemnn dri protokol perjnjin kunci diletkkn pd tingkt kesulitn dri sutu permslhn mtemtis. Slh stu protokol perjnjin kunci yng telh dikenl lus dlh perjnjin kunci Diffie-Hellmn yng didsrkn pd mslh logritm diskrit pd sutu grup siklik. Dlm mklh ini, diperkenlkn sutu protokol perjnjin kunci yng tingkt kemnnny diletkkn pd permslhn konjugsi ts grup non-komuttif. Contoh grup non-komuttif yng digunkn dlm mklh ini dlh grup mtriks invertibel ts lpngn hingg. Selnjutny, diberikn penerpnny pd sistem kriptogrfi Cipher Hill. Kt kunci: kriptogrfi, perjnjin kunci, protokol, teori grup PENDHULUN Perkembngn teknologi informsi dews ini telh berpengruh pd hmpir semu spek kehidupn mnusi, tk terkeculi dlm hl berkomuniksi. Dengn dny internet, komuniksi jrk juh dpt dilkukn dengn cept dn murh. Nmun di sisi lin, ternyt internet tidk terllu mn kren merupkn jlur komuniksi umum yng dpt digunkn oleh sippun sehingg sngt rwn terhdp penydpn. Oleh kren itu, kemnn informsi menjdi fktor utm yng hrus dipenuhi. Slh stu solusiny dlh kriptogrfi. Kriptogrfi dlh sutu ilmu yng mempeljri teknik-teknik mtemtik yng berhubungn dengn spek kemnn informsi, seperti kerhsin dt, kebshn dt, integrits dt, sert utentiksi dt (Menezes dkk, 996). Tetpi tidk semu spek kemnn informsi dpt diselesikn dengn kriptogrfi. Kriptogrfi dpt pul dirtikn sebgi ilmu tu seni untuk menjg kemnn pesn. Ketik sutu pesn dikirim dri sutu tempt ke tempt lin, isi pesn tersebut mungkin dpt disdp oleh pihk lin yng tidk berhk untuk mengethui isi pesn tersebut. Untuk menjg pesn, mk pesn tersebut dpt diubh menjdi sutu kode yng tidk dpt dimengerti oleh pihk lin. Enkripsi dlh sutu proses penyndin yng melkukn perubhn sutu pesn, dri yng dpt dimengerti, disebut dengn plinteks, menjdi sutu kode yng sulit dimengerti, disebut dengn cipherteks. Sedngkn proses kebliknny untuk mengubh cipherteks menjdi plinteks disebut dekripsi. Proses enkripsi dn dekripsi memerlukn sutu meknisme dn kunci tertentu. Sistem kriptogrfi tu sering disebut dengn cipher merupkn sutu sistem tu kumpuln turn-turn yng digunkn untuk melkukn enkripsi dn dekripsi. Sistem kriptogrfi simetris dlh sistem kriptogrfi yng menggunkn kunci enkripsi dn dekripsi yng sm. Sistem ini menghruskn du pihk yng berkomuniksi menyepkti sutu kunci rhsi yng sm sebelum keduny sling berkomuniksi. Kemnn dri sistem ini tergntung pd kunci, membocorkn kunci berrti bhw orng lin yng berhsil mendptkn kunci dpt mendekripsi M-3
2 M Zki Riynto / Protokol Perjnjin Kunci cipherteks. Sistem kriptogrfi ini sering disebut dengn sistem kriptogrfi kunci rhsi, seperti dijelskn pd gmbr berikut ini. Kunci Plinteks Cipherteks Plinteks lice Enkripsi Dekripsi ob Gmbr. Sistem Kriptogrfi Simetris Pd Gmbr di ts, d du pihk yitu lice dn ob yng berkomuniksi secr rhsi menggunkn sistem kriptogrfi simetris. Komuniksi dilkukn mellui jlur komuniksi yng tidk dpt dijmin kemnnny. Untuk dpt melkukn komuniksi secr rhsi, lice dn ob hrus menyetujui sutu kunci rhsi yng sm. kn tetpi, d pihk ketig yitu Eve yng berd di ntr kedu pihk yng berush untuk mendptkn informsi rhsi yng dikirimkn. Contoh sistem kriptogrfi simetris dlh Cipher Hill, ES dn DES. Pd mklh ini hny diberikn penjelesn mengeni Cipher Hill. Untuk penjelsn dri beberp sistem kriptogrfi simetris dpt ditemukn dlm Menezes dkk (996) dn Stinson (006). Cipher Hill merupkn sutu sistem kriptogrfi simetris yng proses enkripsi dn dekripsiny menggunkn opersi mtriks yng didefinisikn ts sutu lpngn hingg. Diberikn F dlh lpngn hingg, didefinisikn himpunn semu mtriks ts F berukurn n n, yitu L n M n ( F ) = M O M ij F, i, j n. n L nn Selnjutny, didefinisikn himpunn semu kunci yitu himpunn semu mtriks di M ( ) invertibel tu yng mempunyi determinn tidk nol, yitu Himpunn ( ) { n } ( F ) M ( F ) ( ) GL = det 0. n Eve n F yng GL n F merupkn grup non-komuttif terhdp opersi perklin mtriks. Himpunn semu plinteks dn cipherteks diberikn dlm vektor kolom yitu p p n F p,..., n = M pn F. Diberikn plinteks P = M F dn kunci p n p n M-3
3 Prosiding Seminr Nsionl Penelitin, Pendidikn dn Penerpn MIP, Fkults MIP, Universits Negeri Yogykrt, 4 Mei 0 L n K = M O M GLn ( F ). Proses enkripsi diberikn dlm fungsi n L nn L n p c ek ( P) = KP = M O M M = M, n nn p n c L n c n dengn C = M F dlh cipherteks. Proses dekripsi diberikn dlm fungsi c n ( ) dk C K C L n c p = = M O M M = M. n nn c n p L n Untuk contoh dri Cipher Hill kn diberikn pd pembhsn selnjutny mengeni protokol perjnjin kunci. Mislkn lice ingin mengirimkn pesn rhsi berup plinteks P mellui jlur komuniksi yng tidk mn, mk lice hrus menentukn kunci K dn melkukn enkripsi sehingg diperoleh cipherteks C. Kemudin cipheteks C dikirimkn kepd ob. Protokol Perjnjin Kunci pbil lice dn ob menggunkn sistem kriptogrfi simetris, mslh utm yng muncul dlh keduny hrus menyepkti kunci yng sm, pdhl keduny tidk dpt bertemu secr lngsung. pbil kunci K dikirimkn kepd ob, mk pihk Eve dpt mengethui kunci K. Slh stu cr yng dpt digunkn untuk mengtsi mslh ini dlh menggunkn protokol perjnjin kunci (key estblishment protocol). Protokol perjnjin kunci bertujun gr kedu belh pihk dpt menentukn kunci yng sm wlupun dilkukn mellui jlur komuniksi yng tidk mn. Slh stu contoh protokol perjnjin kunci yng pling sederhn dn telh dikenl secr lus dlh protokol perjnjin kunci Diffie-Hellmn yng ditemukn pd thun 976. lice tu ob mempubliksikn sutu grup siklik berhingg G dengn elemen pembngun g G. lice ob. lice memilih secr rhsi. ob memilih secr rhsi b b. lice menghitung g. ob menghitung g 3. lice mengirim 4. lice menerim g kepd ob b g dri ob K = g = g b 5. lice menghitung ( ) b 3. ob mengirim 4. ob menerim b g kepd lice g dri lice 5. ob menghitung ( ) b lice dn ob telh menyepkti kunci rhsi K = K = K K = g = g Gmbr. Skem Protokol Perjnjin Kunci Diffie-Hellmn b M-33
4 M Zki Riynto / Protokol Perjnjin Kunci Kren setip grup siklik merupkn grup komuttif, mk b = b, sehingg diperoleh K = K = K. Mislkn lice dn ob telh berhsil menyepkti kunci rhsi yng sm yitu K. Selnjutny, kunci rhsi K yng telh disepkti digunkn untuk melkukn proses enkripsidekripsi. Di lin pihk, Eve sebgi pihk penyerng hny dpt mengethui nili g, g dn g. b Untuk mendptkn kunci yng telh disepkti lice dn ob, Eve hrus menentukn nili tu b. Dengn kt lin, Eve hrus menyelesikn mslh logritm diskrit pd G, yitu menentukn pbil nili g dn g dikethui. Tingkt kemnn dri protokol perjnjin kunci Diffie-Hellmn didsrkn pd mslh logritm diskrit pd grup siklik. Protokol Perjnjin Kunci dn Mslh Konjugsi Pd protokol perjnjin kunci Diffie-Hellmn digunkn grup siklik yng merupkn grup komuttif. Dlm mklh ini diperkenlkn konsep mengeni protokol perjnjin kunci yng menggunkn grup non-komuttif. Untuk dpt menggunkn grup non-komuttif, protokol perjnjin kunci hrus dpt dikonstruksi menggunkn sutu permslhn mtemtis yng d pd grup non-komuttif, yitu mslh konjugsi yng diberikn sebgi berikut. Diberikn sutu grup G dn w, x G. Mslh konjugsi didefinisikn sebgi permslhn menentukn G sedemikin hingg w = x. Mysnikov dkk (008) telh menyelidiki bhw untuk mencri solusi penyelesinny dibutuhkn perhitungn-perhitungn rekursif dn enumersi pd setip elemen di G. Oleh kren itu, penentun grup G yng nonkomuttif dn order dri G yng besr turut menentukn tingkt kesulitn dlm menyelesikn mslh konjugsi. Mysnikov dkk (008) memberikn skem protokol perjnjin kunci yng didsrkn pd mslh konjugsi ts grup non-komuttif sebgi berikut. lice tu ob mempubliksikn sutu grup non-komuttif G, sutu elemen w G dn H sutu subgrup komuttif dri G lice ob. lice memilih secr rhsi H. lice menghitung x = w. ob memilih secr rhsi b H. ob menghitung y = b wb 3. lice mengirim x kepd ob 3. ob mengirim y kepd lice 4. lice menerim y dri ob 4. ob menerim x dri lice 5. lice menghitung K = y 5. ob menghitung K = b xb lice dn ob telh menyepkti kunci rhsi K = K = K Gmbr 3. Skem Protokol Perjnjin Kunci erdsrkn Mslh Konjugsi ts Grup Non-komuttif (Mysnikov, 008) Dpt ditunjukkn bhw lice dn ob berhsil menyepkti kunci rhsi yng sm. Dikethui, b H dn H merupkn subgrup komuttif dri G, sehingg b = b. Selnjutny, dikethui x y = b wb, diperoleh = w dn ( ) ( ) ( ) ( ) K = y = b wb = b w b = b w b = b wb = b xb = K. erikut ini diberikn sebuh contoh yng sngt sederhn mengeni sistem kriptogrfi Cipher Hill dn protokol perjnjin kunci berdsrkn mslh konjugsi ts sutu grup non-komuttif. Mislkn lice dn ob menggunkn grup non-komuttif { } ( ) M ( ) ( ) GL = det M-34
5 dengn = { } Prosiding Seminr Nsionl Penelitin, Pendidikn dn Penerpn MIP, Fkults MIP, Universits Negeri Yogykrt, 4 Mei 0 9 0,,,...,8 merupkn lpngn hingg. lice ingin mengirimkn pesn rhsi SECRET kepd ob menggunkn sistem kriptogrfi Cipher Hill. pbil lice mengenkripsi pesn tersebut menggunkn sutu kunci dn menghsilkn cipherteks, mk cipherteks yng dikirimkn kepd ob tidk dpt dibuk oleh ob, sebb ob tidk mengethui kunci yng digunkn oleh lice. lice tidk boleh mengirimkn kunci kepd ob, kren d Eve sebgi pihk penyerng yng dpt menydp dn mendptkn ppun yng melewti jlur komuniksi. Oleh kren itu, lice dn ob hrus melkukn sutu perjnjin kunci. Mislkn diberikn dlm gmbr berikut ini. lice tu ob mempubliksikn sutu grup non-komuttif GL ( 9 ), w 3 4 m = GL ( 9 ) dn H = m subgrup komuttif dri GL ( 9 ) lice ob. lice memilih secr rhsi. ob memilih secr rhsi = H b = H 5 3. lice menghitung x = w. ob menghitung y = b wb = = = 3. lice mengirim x kepd ob 4. lice menerim y dri ob 5. lice menghitung K = y = = = 5 3. ob mengirim y kepd lice 4. ob menerim x dri lice 5. ob menghitung K = b xb = = = = = = lice dn ob telh menyepkti kunci rhsi K = K = K = 6 Gmbr 4. Contoh Perhitungn Protokol Perjnjin Kunci M-35
6 M Zki Riynto / Protokol Perjnjin Kunci 9 Setelh lice dn ob berhsil menyepkti kunci rhsi K =, selnjutny lice kn 6 mengenkripsi pesn SECRET menggunkn Cipher Hill dengn kunci K. Diberikn tbel korespondensi ntr krkter dengn elemen-elemen dri 9 = { 0,,,...,8 } sebgi berikut. Tbel. Korespondensi krkter dengn bilngn 0 C 3 D 4 E 5 F 6 G 7 H 8 I 9 J 0 K L M 3 N 4 O 5 P 6 Q 7 R 8 S 9 T 0 U V W 3 X 4 Y 5 Z 6. 7, 8 - Pesn SECRET dipotong-potong menjdi SE-CR-ET. Menggunkn Tbel dpt diperoleh tig plinteks, mislkn P berkorespondensi dengn SE, P berkorespondensi dengn CR dn P 3 berkorespondensi dengn ET, yitu 8 P =, P 4 = dn P3 = Selnjutny, lice melkukn enkripsi pd ketig plinteks menggunkn kunci K =, 6 yitu ek ( P ) = KP = = ek ( P ) = KP = = ek ( P3 ) = KP3 = = Dri perhitungn di ts, diperoleh cipherteks C 9 4 =, C = dn C3 =. Cipherteks 4 0 C berkorespondensi dengn I, cipherteks C berkorespondensi dengn TE dn C 3 berkorespondensi dengn O. Dengn demikin, lice telh mengenkripsi pesn SECRET menjdi ITEO dn selnjutny dikirimkn kepd ob. M-36
7 Prosiding Seminr Nsionl Penelitin, Pendidikn dn Penerpn MIP, Fkults MIP, Universits Negeri Yogykrt, 4 Mei 0 Mislkn ob telh menerim cipherteks ITEO. Cipherteks ini dipotong-potong menjdi I- 8 TE-O yng berkorespondensi dengn C 9 4 =, C = dn C3 =. ob melkukn 4 0 dekripsi menggunkn kunci yng telh diperoleh dri perjnjin kunci dengn lice, yitu 9 K =. Proses dekripsi dilkukn sebgi berikut dk ( C ) = K C = = = dk ( C ) = K C = = = dk ( C3 ) = K C3 = = = ob berhsil mendptkn plinteks yng dikirimkn oleh lice, yitu P = 4 4 P3 = yng berkorespondensi dengn pesn SECRET. 9 P = dn 7, KESIMPULN Untuk menjg kemnn pengirimn pesn rhsi, pesn dpt dirubh menjdi sutu kode yng tidk dpt dimengerti oleh pihk penydp. Slh crny dlh dengn menggunkn sistem kriptogrfi simetris. Pd sistem kriptogrfi simetris, proses enkripsi dn dekripsi dilkukn menggunkn kunci rhsi yng sm. Oleh kren itu, kedu pihk yng berkomuniksi hrus melkukn kesepktn kunci yng sm. Protokol perjnjin kunci digunkn untuk mengtsi permslhn dlm melkukn kesepktn kunci yng kn digunkn untuk proses enkripsi dn dekripsi. Protokol perjnjin kunci yng selm ini dikenl msih dilkukn ts sutu grup komuttif. Pd grup non-komuttif dpt dikonstruksi sutu protokol perjnjin kunci yng didsrkn pd mslh konjugsi. Tingkt kesulitn dlm menyelesikn mslh konjugsi pd grup non-komuttif menentukn tingkt kemnn dri protokol perjnjin kunci. Oleh kren itu, perlu dilkukn penelitin mengeni metode-metode yng dpt digunkn untuk menyelesikn mslh konjugsi pd grup non-komuttif. Selin itu, jug perlu diteliti grup-grup non-komuttif yng dpt digunkn untuk protokol perjnjin kunci. M-37
8 M Zki Riynto / Protokol Perjnjin Kunci DFTR PUSTK Menezes lfred J., Pul C. vn Oorschot dn Scott. Vnstone, 996, Hndbook of Cryptogrphy, CRC Press, US. pplied Mysnikov lexei, Vldimir Shpilrin dn lexnder Ushkov, 008, Group-bsed Cryptogrphy, irkhuser Verlg, sel Switzerlnd. Stinson Dougls R., 006, Cryptogrphy: Theory nd Prctice Third Edition, Cpmn nd Hll/CRC Press, oc Rton, Florid. M-38
BAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI Bb berikut ini kn disjikn mteri pendukung yng dpt membntu penulis untuk menyelesikn permslhn yng kn dibhs pd bb selnjutny. Adpun mteri pendukungny dlh pengertin mtriks, jenis-jenis
Skew- Semifield dan Beberapa Sifatnya 1
Skew- Semifield dn Beberp Siftny K r y t i Jurusn Pendidikn Mtemtik Fkults Mtemtik dn Ilmu Pengethun Alm Universits Negeri Yogykrt E-mil: ytiuny@yhoo.com Abstrk Sutu field ( lpngn ) F dlh struktur ljbr
Bab a. maka notasi determinan dari matriks A ditulis : det (A) atau. atau A.
Bb DETERMINAN MATRIKS Determinn sutu mtriks dlh sutu fungsi sklr dengn domin mtriks bujur sngkr. Dengn kt lin, determinn merupkn pemetn dengn domin berup mtriks bujur sngkr, sementr kodomin berup sutu
DETERMINAN. Misalkan A adalah suatu matriks persegi. a) Jika A memiliki satu baris atau satu kolom bilangan nol, maka det(a) = 0.
DETERMINAN Fungsi determinn dri sutu mtriks persegi A (dinotsikn dengn det(a) tu A ) didefinisikn sebgi jumlh dri semu hsil kli elementer bertnd dri A. Sementr, ngk tu bilngn dri det(a) disebut determinn
SISTEM BILANGAN REAL. 1. Sifat Aljabar Bilangan Real
SISTEM BILANGAN REAL Dlm terminologi Aljbr Abstrk, sistem bilngn rel disebut dengn field (lpngn) pd opersi penjumlhn dn perklin. Sutu opersi biner bis ditulis dengn sutu psngn terurut (, b) yng unik dri
didefinisikan sebagai bilangan yang dapat ditulis dengan b
1 PENDAHULUAN 1.1 Sistem Bilngn Rel Untuk mempeljri klkulus perlu memhmi hsn tentng system ilngn rel, kren klkulus didsrkn pd system ilngn rel dn siftsiftny. Sistem ilngn yng pling sederhn dlh ilngn sli,
CONTOH SOLUSI BEBERAPA SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA Oleh: Wiworo, S.Si, M.M. 3. Untuk k 2 didefinisikan bahwa a
CONTOH SOLUSI BEBERAPA SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA Oleh: Wiworo, S.Si, M.M. Dikethui bhw,. Untuk k didefinisikn bhw k k k. Tentukn jumlh tk hingg dri. Kit mislkn S S. Dengn demikin kit dpt menuliskn Kedu
PROBLEM SOLVING TERKAIT DENGAN KELAS X SEMESTER 1 PADA STANDAR KOMPETENSI (SK) 1.
PROLEM SOLVING TERKIT DENGN KELS X SEMESTER PD STNDR KOMPETENSI (SK). LJR Memechkn mslh yng berkitn dengn bentuk pngkt, kr, dn logritm Oleh: Sigit Tri Guntoro. Du orng berselisih mengeni bnykny psngn bilngn
Kerjakan di buku tugas. Tentukan hasil operasi berikut. a. A 2 d. (A B) (A + B) b. B 2 e. A (B + B t ) c. A B f. A t (A t + B t ) Tes Mandiri
Mmt Apliksi SMA Bhs Dikethui A = Tentukn hsil opersi berikut A c A A b A A d A Dikethui A = Tentukn hsil opersi berikut (A + B) c (B A) b A + AB + B d B BA + A Sol Terbuk Kerjkn di buku tugs Jik X = dn
STRATEGI PENGAJARAN MATEMATIKA UNTUK MENENTUKAN AKAR-AKAR PERSAMAAN KUADRAT
Jurnl Vol II. No., Mret 08, hlm. 9-95 vilble online t www.jurnl.un.c.id/indeks/jmp STRTEGI PENGJRN MTEMTIK UNTUK MENENTUKN KR-KR PERSMN KUDRT Indh Purnm Putri, Symsudhuh, Ihd Hsbiyti 3 Progrm Studi Mgister
BAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI. Mtriks Definisi. (Anton, Howrd. ). Mtriks dlh sutu susunn bilngn berbentuk segi empt. Bilngn-bilngn dlm susunn itu disebut nggot dlm mtriks tersebut. Ukurn (size) sutu mtriks dinytkn
LIMIT FUNGSI DAN KEKONTINUAN
LIMIT FUNGSI DAN KEKONTINUAN RANGKUMAN MATERI Sebelum memsuki mteri, perhtikn himpunn-himpunn berikut: ) Himpunn bilngn sli:,,,4,5,.... b) Himpunn bilngn bult:...,,,0,,,.... p c) Himpunn bilngn rsionl:
matematika PEMINATAN Kelas X FUNGSI LOGARITMA K-13 A. Definisi Fungsi Logaritma
K-3 Kels mtemtik PEMINATAN FUNGSI LOGARITMA Tujun Pembeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun berikut.. Memhmi definisi fungsi logritm.. Dpt menggunkn konsep fungsi logritm dlm menyelesikn
Minggu ke 3 : Lanjutan Matriks
inggu ke : Lnjutn triks Pokok Bhsn Sub Pokok Bhsn Tujun Instruksionl Umum Tujun Instruksionl Khusus : triks :. Trnsformsi Elementer. Trnsformsi Elementer pd bris dn kolom. triks Ekivlen. Rnk triks B. Determinn.
BAB 10. MATRIKS DAN DETERMINAN
Dessy Dwiynti, S.Si, MBA Mtemtik Ekonomi 1 BAB 10. MATRIKS DAN DETERMINAN 1. Pengertin mtriks Mtriks kumpuln bilngn yng disjikn secr tertur dlm bris dn kolom yng membentuk sutu persegi pnjng, sert termut
M A T R I K S. Oleh: Dimas Rahadian AM, S.TP. M.Sc.
M T R I K S Oleh Dims Rhdin M, S.TP. M.Sc Emil rhdindims@yhoo.com JURUSN ILMU DN TEKNOLOGI PNGN UNIVERSITS SEBELS MRET SURKRT DEFINISI... Mtriks dlh susunn bilngn berbentuk jjrn segi empt siku-siku yng
DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS BLOK 2 2
Buletin Ilmih Mth. Stt. dn Terpnny (Bimster) Volume 06, No. 3(2017), hl 193 202. DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS BLOK 2 2 Ilhmsyh, Helmi, Frnsiskus Frn INTISARI Mtriks blok merupkn mtriks persegi yng diblok
1) BENTUK UMUM DAN BAGIAN-BAGIAN PERSAMAAN KUADRAT Bentuk umum persamaan kuadrat adalah seperti di bawah ini:
) BENTUK UMUM DAN BAGIAN-BAGIAN PERSAMAAN KUADRAT Bentuk umum persmn kudrt dlh seperti di bwh ini: b c dengn, b, c bilngn dn riil Dimn, disebut sebgi koefisien dri b disebut sebgi koefisien dri c disebut
A x = b apakah solusi x
MTRIKS INVERSI & SIFT-SIFTNY Bil, x, dlh sklr ilngn rel yng memenuhi x, mk x pil. Sekrng, untuk sistem persmn linier x pkh solusi x dpt diselesikn dengn x? Mtriks Identits Untuk sklr (rel numer dn ), mk.
PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA
K- Kels X mtemtik PEMINATAN PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA Tujun Pembeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun berikut.. Memhmi definisi persmn dn pertidksmn logritm.. Dpt
Integral Tak Wajar. Ayundyah Kesumawati. March 25, Prodi Statistika FMIPA-UII
Kesumwti Prodi Sttistik FMIPA-UII Mrch 25, 205 Sutu integrl tertentu b f (x)dx () diktkn wjr jik i memenuhi du syrt berikut: i. Bts integrsi dn b merupkn bilngn berhingg ii. fungsi f (x) terbts pd intervl
PERTEMUAN - 1 JENIS DAN OPERASI MATRIKS
PERTEMUN - JENIS DN OPERSI MTRIKS Pengertin Mtriks : merupkn sutu lt tu srn yng sngt mpuh untuk menyelesikn model-model liner. Definisi : Mtriks dlh susunn empt persegi pnjng tu bujur sngkr dri bilngn-bilngn
Teorema Dasar Integral Garis
ISBN: 978-979-79-55-9 Teorem Dsr Integrl Gris Erdwti Nurdin Progrm Studi Pendidikn Mtemtik FKIP UIR d_1910@yhoo.com Abstrk Slh stu generlissi integrl tentu (definite integrl) f x dx diperoleh dengn menggnti
matematika WAJIB Kelas X RASIO TRIGONOMETRI Kurikulum 2013 A. Definisi Trigonometri
Kurikulum 0 Kels X mtemtik WAJIB RASIO TRIGONOMETRI Tujun Pembeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun berikut.. Memhmi rsio-rsio trigonometri yng meliputi sinus, kosinus, tngen,
matematika K-13 TEOREMA FAKTOR DAN OPERASI AKAR K e l a s
K-3 mtemtik K e l s XI TEOREMA FAKTOR DAN OPERASI AKAR Tujun Pemeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun erikut.. Memhmi teorem fktor.. Menentukn kr dn fktor liner suku nyk dengn
MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR TIM DOSEN 3 Sistem Persmn Liner Sistem Persmn Liner Su Pokok Bhsn Pendhulun Solusi SPL dengn OBE Solusi SPL dengn Invers mtriks dn Aturn Crmmer SPL Homogen Beerp Apliksi
BAB III METODE METODE DEFUZZYFIKASI
Fuy Logi Metode Metode Deuyiksi BAB III METODE METODE DEFUYFIKASI Seperti yng telh dihs dlm, hw untuk meruh kelurn uy menjdi nili risp mk diperlukn sutu proses yng leih dikenl dengn istilh deuyiksi Dlm
AUTOMATA SEBAGAI MODEL PENGENAL BAHASA
JMP : Volume Nomor Oktober 9 AUTOMATA SEBAGAI MODEL PENGENAL BAHASA Eddy Mrynto Fkults Sins dn Teknik Universits Jenderl Soedirmn Purwokerto Indonesi emil: eddy_mrynto@unsoed.c.id Abstrct. A deterministic
r x = 0. Koefisien-koefisien persamaan yang dihasilkan adalah analitik pada x = 0. Jadi dapat kita gunakan metode deret pangkat.
Husn Arifh,M.Sc : Persmn Legendre Emil : husnrifh@uny.c.id Persmn diferensil Legendre (1) 1 x 2 y 2xy + n n + 1 y = 0 Prmeter n pd (1) dlh bilngn rill yng diberikn. Setip penyelesin dri (1) dinmkn fungsi
VEKTOR. 1. Pengertian Vektor adalah besaran yang memiliki besar (nilai) dan arah. Vektor merupakan sebuah ruas garis yang
VEKTOR 1. Pengertin Vektor dlh besrn yng memiliki besr (nili dn rh. Vektor merupkn sebuh rus gris yng P berrh dn memiliki pnjng. Pnjng rus gris tersebut dlh pnjng vektor. Rus gris dri titik P dn berujung
3.1 Permutasi. Secara umum, bilangan-bilangan pada {1, 2,, n} akan mempunyai n! permutasi
BB Determinn . Permutsi Definisi Permutsi: (i) Sutu permutsi dri bilngn-bilngn bult {,,,, n} dlh penyusunn bilngn-bilngn tersebut dengn urutn tnp pengulngn. (ii) Brisn bilngn ( j, j,.., j n ) dimn j i
TURUNAN FUNGSI. LA - WB (Lembar Aktivitas Warga Belajar) MATEMATIKA PAKET C TINGKAT VI DERAJAT MAHIR 2 SETARA KELAS XI
LA - WB (Lembr Aktivits Wrg Beljr) TURUNAN FUNGSI Oleh: Hj. ITA YULIANA, S.Pd, M.Pd MATEMATIKA PAKET C TINGKAT VI DERAJAT MAHIR 2 SETARA KELAS XI Creted By It Yulin 33 Turunn Fungsi Kompetensi Dsr 1. Menggunkn
,, % ,, % -0: 0 -0: 0! 2 % 26, &
PERSAMAAN LINIER GAUSS-SIEDEL METHOD Simultneous Liner Equtions Oleh : Purwnto,S.Si Bentuk Umum x + x + 3 x 3 + + n x n = b Sebuh persmn linier dengn : n peubh : x, x, x 3,, x n n konstnt :,, 3,, n Contoh
1. Pendahuluan. 2. Tinjauan Pustaka
1. Pendhulun Robert Morris lhir di Boston pd tnggl 25 Juli 1932, Robert dlh seorng hli kriptogrfi yng membntu mengembngkn sistem opersi komputer pling mn dn Robert seorng kontributor utm dlm kedu fungsi
Catatan Kuliah 2 Matematika Ekonomi Memahami dan Menganalisa Aljabar Matriks (2)
Cttn Kulih Mtemtik Ekonomi Memhmi dn Mengnlis ljbr Mtriks (). Vektor dn kr Krkteristik pbil dlh mtriks berordo n n dn X dlh vector n, kn dicri sklr λ R yng memenuhi persmn : X λ X tu ( λi) X gr X (solusiny
ANALISIS NUMERIK. Inter polasi. SPL simultan. Akar Persama. linear
ANALISIS NUMERIK Inter polsi SPL simultn Akr Persm n Non liner INTERPOLASI Tujun Interpolsi bergun untuk menksir hrg-hrg tengh ntr titik dt yng sudh tept. Interpolsi mempunyi orde tu derjt. Mcm Interpolsi
Integral Kompleks (Bagian Kesatu)
Integrl Kompleks (Bgin Kestu) Supm Jurusn Mtemtik, FMIPA UGM Yogykrt 55281, INDONESIA Emil:mspomo@yhoo.com, supm@ugm.c.id (Pertemun Minggu XI) Outline 1 Fungsi Bernili Kompleks 2 Lintsn tu Kontur 3 Integrl
DOKUMEN PENDUKUNG KETENTUAN DAN TATA CARA PENGGUNAAN TANDA KESESUAIAN
Jl.Cikini IV No. 15 Jkrt Pust 10330 Telp. 021-31925807, 021-31925808 Fks. 021-31925806 Emil: lspro@kemenperin.go.id Website: http://lspro.kemenperin.go.id DOKUMEN PENDUKUNG KETENTUAN DAN TATA CARA PENGGUNAAN
MATRIKS. Menggunakan konsep matriks, vektor, dan transformasi dalam pemecahan masalah.
MATRIKS Stndr Kompetensi : Menggunkn konsep mtriks, vektor, dn trnsformsi dlm pemechn mslh Kompetensi Dsr : Menggunkn sift-sift dn opersi mtriks untuk menentukn invers mtriks persegi Menggunkn determinn
Rumus Luas Daerah Segi Empat Sembarang? Oleh: Al Jupri Dosen Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Pendidikan Indonesia
Rumus Lus Derh Segi Empt Sembrng? Oleh: Al Jupri Dosen Jurusn Pendidikn Mtemtik Universits Pendidikn Indonesi Kit bisny lebih menyuki brng yng siftny serb gun dn efektif, stu brng untuk berbgi jenis keperlun.
3. LIMIT DAN KEKONTINUAN. INF228 Kalkulus Dasar
. LIMIT DAN KEKONTINUAN INF8 Klkulus Dsr . Limit Fungsi di Stu Titik Pengertin it secr intuisi Perhtikn ungsi Fungsi dits tidk terdeinisi di =, kren di titik tersebut berbentuk 0/0. Tpi msih bis ditnykn
LIMIT DAN KONTINUITAS
LIMIT DAN KONTINUITAS Limit Fungsi di Stu Titik Pengertin it secr intuisi Perhtikn ungsi Fungsi dits tidk terdeinisi di =, kren di titik tersebut berbentuk 0/0. Tpi msih bis ditnykn berp nili jik mendekti
3. LIMIT DAN KEKONTINUAN
. LIMIT DAN KEKONTINUAN . Limit Fungsi di Stu Titik Pengertin it secr intuisi Perhtikn ungsi Fungsi dits tidk terdeinisi di, kren di titik tersebut berbentuk 0/0. Tpi msih bis ditnykn berp nili jik mendekti
RUANG VEKTOR (lanjut..)
RUANG VEKTOR (Vector Spce) dn Rung Bgin (Subspce) 8/0/009 budi murtiys ums surkrt RUANG VEKTOR (VECTOR SPACE) Dikethui himpunn V dengn u, v, w V dn opersi i(+)b berlku dintr nggot-nggot t V. Dikethui Field
Aljabar Linear Elementer
ljbr Liner Elementer M3 3 SKS Silbus : Bb I Mtriks dn Opersiny Bb II Determinn Mtriks Bb III Sistem Persmn Liner Bb IV Vektor di Bidng dn di Rung Bb V Rung Vektor Bb VI Rung Hsil Kli Dlm Bb VII Trnsformsi
Aljabar Linear Elementer
ljbr Liner Elementer M SKS Silbus : Bb I Mtriks dn Opersiny Bb II Determinn Mtriks Bb III Sistem Persmn Liner Bb IV Vektor di Bidng dn di Rung Bb V Rung Vektor Bb VI Rung Hsil Kli Dlm Bb VII Trnsformsi
FISIKA BESARAN VEKTOR
K-3 Kels X FISIKA BESARAN VEKTOR TUJUAN PEMBELAJARAN Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun berikut.. Memhmi pengertin besrn vektor.. Mengusi konsep penjumlhn vektor dengn berbgi metode.
1. Pendahuluan. 2. Tinjauan Pustaka
1. Pendhulun Sebuh kerhsin informsi sngtlh penting dlm lynn emil, dengn dny isu yng memberithukn tentng Ntionl Security Agency (NSA) yng menydp lirn informsi penggun sngt merugikn beberp pihk. Contoh yng
VEKTOR. Adri Priadana. ilkomadri.com
VEKTOR Adri Pridn ilkomdri.com Pengertin Dlm Fisik dikenl du buh besrn, yitu 1. Besrn Sklr. Besrn Vektor Pengertin Besrn Sklr dlh sutu besrn yng hny mempunyi nili dn dinytkn dengn sutu bilngn tunggl diserti
BAB ALJABAR MARIX Dlm pokok bhsn ini kn disjikn dsr-dsr opersi ljbr mtrix yng berhubungn dengn nlisis struktur dengn menggunkn metode mtrix kekkun (stiffness method)... Pengertin Mtrix Mtrix merupkn sutu
BAB I. MATRIKS BAB II. DETERMINAN BAB III. INVERS MATRIKS BAB IV. PENYELESAIAN PERSAMAAN LINEAR SIMULTAN
DFTR ISI BB I. MTRIKS BB II. DETERMINN BB III. INVERS MTRIKS BB IV. PENYELESIN PERSMN LINER SIMULTN BB I. MTRIKS Mtriks erup sekelompok ilngn yng disusun empt persegi dn ditsi tnd terdiri dri ris dn kolom
15. INTEGRAL SEBAGAI LIMIT
15. INTEGRAL SEBAGAI LIMIT 15.1 Jumlh Riemnn Dlm kulih Klkulus pd thun pertm, integrl Riemnn bisny diperkenlkn sebgi limit dri jumlh Riemnn, tidk mellui integrl Riemnn ts dn integrl Riemnn bwh. Hl ini
MATRIKS. Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ
MTRIKS gustin Prdjningsih, M.Si. Jurusn Mtemtik FMIP UNEJ tinprdj.mth@gmil.com DEFINISI MTRIKS Sutu dftr bilngn-bilngn rel tu kompleks terdiri ts m bris dn n kolom, m dn n bilngn bult positip disebut mtriks
3. LIMIT DAN KEKONTINUAN
3. LIMIT DAN KEKONTINUAN 1 3.1 Limit Fungsi di Stu Titik Pengertin it secr intuisi Perhtikn ungsi 1 1 Fungsi dits tidk terdeinisi di =1, kren di titik tersebut berbentuk 0/0. Tpi msih bis ditnykn berp
Matriks. Pengertian. Lambang Matrik
triks Pengertin Definisi: trik dlh susunn bilngn tu fungsi yng diletkkn ts bris dn kolom sert dipit oleh du kurung siku. Bilngn tu fungsi tersebut disebut entri tu elemen mtrik. mbng mtrik dilmbngkn dengn
Konstruksi Super Matriks Simetris Persegi Latin
SEMINR NSIONL MTEMTIK DN PENDIDIKN MTEMTIK UNY Konstruksi Super Mtriks Simetris Persegi Ltin T - Hendr Krtik Progrm Studi Pendidikn Mtemtik, Universits Singperbngs Krwng, Jln. H.S. Ronggowluyo Telukjmbe
III. LIMIT DAN KEKONTINUAN
KALKULUS I MUG1A4 PROGRAM PERKULIAHAN DASAR DAN UMUM PPDU TELKOM UNIVERSITY III. LIMIT DAN KEKONTINUAN 3.1 Limit Fungsi di Stu Titik Pengertin it secr intuisi Perhtikn ungsi 1 1 Fungsi dits tidk terdeinisi
Materi IX A. Pendahuluan
Mteri IX Tujun :. Mhsisw dpt memhmi vektor. Mhsisw mmpu mengunkn vektor dlm persoln sederhn 3. Mhsisw mengimplementsikn konsep vektor pd rngkin listrik. Pendhulun Sudh menjdi kesepktn umum hw untuk menentukn
6. Himpunan Fungsi Ortogonal
6. Himpunn Fungsi Ortogonl Mislkn f periodik dengn periode, dn mulus bgin demi bgin pd [ π, π]. Jik S f N (θ) = N n= N c ne inθ, n =,, 2,..., dlh jumlh prsil dri deret Fourier f, mk kit telh menunjukkn
SIFAT-SIFAT LOGARITMA
K- Kels X mtemtik PEMINATAN SIFAT-SIFAT LOGARITMA Tujun Pembeljrn Setelh memeljri mteri ini, kmu dihrkn memiliki kemmun berikut.. Memhmi definisi logritm.. Dt menentukn nili logritm dengn menggunkn tbel
MODEL POTENSIAL 1 DIMENSI
MODEL POTENSIAL 1 DIMENSI 1. Sumur Potensil Tk Berhingg Kit tinju prtikel bermss m dengn energi positif, berd dlm sumur potensil stu dimensi dengn dinding potensil tk berhingg dn potensil didlmny nol,
ALJABAR LINIER DAN MATRIKS MATRIKS (DETERMINAN, INVERS, TRANSPOSE)
ALJABAR LINIER DAN MATRIKS MATRIKS (DETERMINAN, INVERS, TRANSPOSE) Mcm Mtriks Mtriks Nol () Mtriks yng semu entriny nol. Ex: Mtriks Identits (I) Mtriks persegi dengn entri pd digonl utmny dn pd tempt lin.
Materi V. Determianan dinotasikan berupa pembatas dua gris lurus,
Mteri V Tujun : 1. Mhsisw dpt mengenli determinn.. Mhsisw dpt merubh persmn linier menjdi persmn determinn.. Mhsisw menelesikn determinn ordo du. Mhsisw mmpu menelesikn determinn ordo tig. Mhsisw mengethui
RUMUS HERON DAN RUMUS BRAHMAGUPTA
RUMUS HERON DAN RUMUS BRAHMAGUPTA Sumrdyono, M.Pd. Topik lus bngun dtr telh dipeljri sejk di Sekolh Dsr hingg SMA. Bil di SD, dipeljri lus segitig dn beberp bngun segiempt mk di SMP dipeljri lebih lnjut
IAH IAAH I H HAAH xaah I A b x2ah x23h I A 3 x23b H 2
GRMMR CONTEXT-FREE DN PRING entuk umum produksi CFG dlh :, V N, (V N V T )* nlisis sintks dlh penelusurn seuh klimt (tu sentensil) smpi pd simol wl grmmr. nlisis sintks dpt dilkukn mellui derivsi tu prsing.
BAB II PANGKAT, AKAR DAN LOGARITMA
BAB II PANGKAT, AKAR DAN LOGARITMA ILUSTRASI Sony kn membeli sebuh motor secr kredit, ketentun yng ditwrkn oleh perushn lesing dlh, ung muk sebesr Rp.500.000,00 dn ngsurn perbulnny sebesr Rp 365.000,00
Universitas Esa Unggul
ALJABAR LINIER DAN MATRIKS BHAN KULIAH DRA SURYARI PURNAMA, MM Universits Es Unggul Minggu I Mtriks Pokok Bhsn Sub Pokok Bhsn Tujun Instruksionl Umum Tujun Instruksionl Khusus : Pendhulun Mtriks : A. Pengertin
Two-Stage Nested Design
Mteri #13 TIN309 DESAIN EKSPERIMEN Two-Stge Nested Design Nested design dlh slh stu ksus dri desin multi fktor dimn level dri slh stu fktor (misl: fktor B) serup tpi tidk identik untuk setip level yng
MENENTUKAN AKAR-AKAR PERSAMAAN PANGKAT EMPAT. Supriyono Jurusan Pendidikan Matematika FKIP Universitas Muhammadiyah Purworejo.
MENENTUKAN AKAR-AKAR PERSAMAAN PANGKAT EMPAT Supriyono Jurusn Pendidikn Mtemtik FKIP Universits Muhmmdiyh Purworejo Abstrk Tulisn ini terdiri bgin yitu () bgin pendhulun yng membhs bentuk umum persmn pngkt
CHAPTER 1 EXPONENTS, ROOTS, AND LOGARITHMS
CHAPTER EXPONENTS, ROOTS, AND LOGARITHMS Indiktor (penunjuk): Mengubh bentuk pngkt negtif ke pngkt positif dn seblikny. (4 jp) A. EXPONENTS. Definition (ketentun): Positive Integers Exponents n = x x...
BAB III MATRIKS
BB III MTRIKS PENGERTIN MTRIKS Pengertin Mtriks Mtriks dlh susunn bilngn-bilngn ng berbentuk persegi tu persegi pnjng ng ditur dlm bris dn kolom Bentuk Umum Mtriks : i m i m i m j j j ij mj n n n in mn
Menerapkan konsep vektor dalam pemecahan masalah. Menerapkan konsep vektor pada bangun ruang
VEKTOR PADA BIDANG SK : Menerpkn konsep vektor dlm pemechn mslh KD : Menerpkn konsep vektor pd bidng dtr Menerpkn konsep vektor pd bngun rung TUJUAN PELATIHAN: Pesert memiliki kemmpun untuk mengembngkn
MA3231 Analisis Real
MA3231 Anlisis Rel Hendr Gunwn* *http://hgunwn82.wordpress.com Anlysis nd Geometry Group Bndung Institute of Technology Bndung, INDONESIA Progrm Studi S1 Mtemtik ITB, Semester II 2016/2017 HG* (*ITB Bndung)
Tujuan Pembelajaran. ) pada hiperbola yang berpusat di (0, 0). 2. Dapat menentukan persamaan garis singgung di titik (x 1
K-3 mtemtik K e l s XI IRISAN KERUCUT: GARIS SINGGUNG PADA HIPERBOLA Tujun Pemeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun erikut.. Dpt menentukn persmn gris singgung di titik (, ) pd
METODE PENELITIAN. Penelitian dilaksanakan pada bulan Oktober sampai dengan November 2011
III. METODE PENELITIAN 3.1. Tempt dn Wktu Penelitin Penelitin dilksnkn pd buln Oktober smpi dengn November 2011 bertempt di Lbortorium Rekys Bioproses dn Psc Pnen, Jurusn Teknik Pertnin, Fkults Pertnin,
BAB I PENDAHULUAN. l y. l x. Sumber : Teori dan Analisis Pelat (Szilard, 1989:14) Gambar 1.1.Rasio panjang dan lebar pelat. Universitas Sumatera Utara
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Ltr Belkng Perkemngn perencnn konstruksi ngunn ertingkt eerp thun elkngn ini cukup erkemng pest, hl ini memuktikn hw mnusi segi pelku utm erush mendptkn konsep perencnn leih mn, nymn,
Matriks yang mempunyai jumlah baris sama dengan jumlah kolomnya disebut matriks bujur sangkar (square matrix). contoh :
TRIKS. PENGERTIN triks dlh sutu deretn elemen yng mementuk empt persegi pnjng, terdiri dri m ris dn n kolom. Elemen terseut dpt erentuk koefisien, ilngn tu simul. triks yng mempunyi m ris dn n kolom diseut
Aljabar Linear. Pertemuan 12_14 Aljabar Vektor (Perkalian vektor)
Aljbr Liner Pertemun 12_14 Aljbr Vektor (Perklin vektor) Pembhsn Perklin vektor dengn sklr Rung vektor Perklin Vektor dengn Vektor: Dot Product - Model dot product - Sift dot product Pendhulun Penmbhn
det DEFINISI Jika A 0 disebut matriks non singular
DETERINAN DEFINISI Untuk setip mtriks persegi (bujur sngkr), d stu bilngn tertentu yng disebut determinn Determinn dlh jumlh semu hsil kli elementer bertnd dri sutu mtriks bujur sngkr. Disimbolkn dengn:
BAHAN AJAR MATEMATIKA UMUM KELAS XI MATERI POKOK : OPERASI MATRIKS
BAHAN AJAR MATEMATIKA UMUM KELAS XI MATERI POKOK : OPERASI MATRIKS Mtriks A dn mtriks B diktkn sm (A = B), jik dn hny jik: 1. Ordo mtriks A sm dengn ordo mtriks B 2. Setip elemen yng seletk pd mtriks A
IRISAN KERUCUT: PERSAMAAN ELIPS. Tujuan Pembelajaran
K-13 mtemtik K e l s I IRISAN KERUCUT: PERSAMAAN ELIPS Tujun Pemeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun erikut. 1. Memhmi definisi elips.. Memhmi unsur-unsur elips. 3. Memhmi eksentrisits
BEBERAPA SIFAT QUASI-IDEAL MINIMAL PADA RING TRANSFORMASI LINEAR V, W,
BEBERAPA SIFAT QUASI-IDEAL MINIMAL PADA RING TRANSFORMASI LINEAR V,,, K r y t i Jurusn Pendidin Mtemti Fults Mtemti dn Ilmu Pengethun Alm Uniersits Negeri Yogyrt e-mil : ytiuny@yhoo.com Abstr Misln R dlh
BAB 7. LIMIT DAN LAJU PERUBAHAN
BAB 7. LIMIT DAN LAJU PERUBAHAN 7. LIMIT FUNGSI 7.. Limit fungsi di sutu titik Menggmbrkn perilku fungsi jik peubhn mendekti sutu titik Illustrsi: Dikethui f( ) f(), 3,30,0 3,030,00 3,003 3 f() = f() 3,000?
A. Kompetensi Dasar : Menyelesaikan sistem persamaan linear. B. Materi : 1. Sistem Persamaan Linear dan Matriks 2. Determinan
(Oleh: Winit Sulndri, M.Si) A. Kompetensi Dsr : Menyelesikn sistem persmn liner B. Mteri :. Sistem Persmn Liner dn Mtriks. Determinn C. Indiktor :. Mendefinisikn persmn liner dn sistem persmn liner. Mengenl
MATRIKS Definisi: Matriks Susunan persegi panjang dari bilangan-bilangan yang diatur dalam baris dan kolom. Matriks ditulis sebagai berikut (1)...
MATRIKS Definisi: Mtriks Susunn persegi pnjng dri ilngn-ilngn yng ditur dlm ris dn kolom. Mtriks ditulis segi erikut ()... m... m... n... n......... mn Susunn dits diseut mtriks m x n kren memiliki m ris
INTEGRAL. Bogor, Departemen Matematika FMIPA IPB. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 45
INTEGRAL Deprtemen Mtemtik FMIPA IPB Bogor, 2012 (Deprtemen Mtemtik FMIPA IPB) Klkulus I Bogor, 2012 1 / 45 Topik Bhsn 1 Pendhulun 2 Anti-turunn 3 Lus di Bwh Kurv 4 Integrl Tentu 5 Teorem Dsr Klkulus 6
A. PENGERTIAN B. DETERMINAN MATRIKS
ATRIKS A. PENGERTIAN triks dlh sutu deretn elemen yng mementuk empt persegi pnjng, terdiri dri m ris dn n kolom. Elemen terseut dpt erentuk koefisien, ilngn tu simul. triks yng mempunyi m ris dn n kolom
Bab. Vektor. A. Vektor B. Perkalian Vektor. Hasil yang harus Anda capai: menerapkan konsep besaran Fisika dan pengukurannya.
2 Sumer: Dsr-Dsr Foto Jurnlistik, 2003 esrn yng memiliki esr dn rh diseut esrn vektor. Keceptn merupkn slh stu esrn vektor. Vektor Hsil yng hrus nd cpi: menerpkn konsep esrn Fisik dn pengukurnny. Setelh
ANALISIS DISPARITAS INPUT PEMBANGUNAN, 2010
BADAN PUSAT STATISTIK ANALISIS DISPARITAS INPUT PEMBANGUNAN, 2010 ABSTRAKSI Ltr belkng: 1. Pelksnn Otonomi Derh msih bnyk ditemukn permslhn kibt perbedn ltr belkng demogrfi, geogrfi, infrstruktur, ekonomi,
7. Ruang L 2 (a, b) f(x) 2 dx < }.
7. Rung L (, b) Rung L (, b) didefinisikn sebgi rung semu fungsi f yng kudrtny terintegrlkn pd [, b], ykni L (, b) := {f : b f(x) dx < }. Rung ini menckup fungsi-fungsi f yng tk terbts pd [, b] tetpi f
Bab 3 M M 3.1 PENDAHULUAN
B SISTEM PERSAMAAN LINEAR Pd gin ini kn dijelskn tentng sistem persmn liner (SPL) dn r menentukn solusiny. SPL nyk digunkn untuk memodelkn eerp mslh rel, mislny: mslh rngkin listrik, jringn komputer, model
MODEL SIR (SUSCEPTIBLES, INFECTION, RECOVERY) UNTUK PENYEBARAN WABAH PENYAKIT PADA SUATU POPULASI TERTUTUP
MODEL IR (UCEPTIBLE, INFECTION, RECOVERY) UNTUK PENYEBARAN WABAH PENYAKIT PADA UATU POPULAI TERTUTUP Dosen Pengmpu : Dr Lin Aryti DIUUN OLEH: Nm : Muh Zki Riynto Nim : 2/56792/PA/8944 Progrm tudi : Mtemtik
kimia HIDROLISIS K e l a s Kurikulum 2013 A. Definisi, Jenis, dan Mekanisme Hidrolisis
urikulum 2013 kimi e l s XI HIDROLISIS Tujun Pemeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun erikut. 1. Memhmi definisi, jenis, dn meknisme hidrolisis. 2. Memhmi sift-sift dn ph lrutn
BAB II LANDASAN TEORI. himpunan bilangan bulat dan diberi simbol dengan hurup besar B. Anggota
BB II LNDSN EORI. Bilngn Bult Himpunn bilngn bilngn {..,-,-,-,,,,,..} disebut himpunn bilngn bult dn diberi simbol dengn hurup besr B. nggot nggot dri {-,-,-,..} disebut bilngn bilngn bult negtif. Definisi
MATEMATIKA DASAR. Bab Bilangan Irasional dan Logaritma. Drs. Sumardi Hs., M.Sc. Modul ke: 02Fakultas FASILKOM. Program Studi Teknik Informatika
MATEMATIKA DASAR Modul ke: 0Fkults FASILKOM Progrm Studi Teknik Informtik Bb Bilngn Irsionl dn Logritm Drs. Sumrdi Hs., M.Sc. Bgin Isi Bilngn Irsionl - Berbgi bentuk kr dn opersiny Logritm - Sift-sift
Vektor di R 2 dan R 3
Vektor di R dn R Pengertin Vektor dlh besrn yng mempunyi besr dn rh Vektor digmbrkn oleh rus gris yng dilengkpi dengn nk pnh vektor dimuli dri titik wl (initil point) dn dikhiri oleh titik khir (terminl
12. LUAS DAERAH DAN INTEGRAL
12. LUAS DAERAH DAN INTEGRAL 12.1 Lus Derh di Bwh Kurv Mslh menentukn lus derh (dn volume rung) telh dipeljri sejk er Pythgors dn Zeno, pd thun 500-n SM. Konsep integrl (yng terkit ert dengn lus derh)
matematika K-13 IRISAN KERUCUT: PERSAMAAN HIPERBOLA K e l a s A. Definisi Hiperbola Tujuan Pembelajaran
K-13 mtemtik K e l s I IRISAN KERUCUT: PERSAMAAN HIPERBLA Tujun Pemeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun erikut. 1. Memhmi definisi dn unsur-unsur hiperol.. Dpt menentukn persmn
Suku banyak. Akar-akar rasional dari
Suku nyk Algoritm pemgin suku nyk menentukn Teorem sis dn teorem fktor terdiri dri Pengertin dn nili suku nyk Hsil gi dn sis pemgin suku nyk Penggunn teorem sis Penggunn teorem fktor Derjd suku nyk pd
MODEL MATEMATIKA SIR
MODEL MATEMATKA R (UCEPTBLE, NFECTON, RECOVERY UNTUK PENYEBARAN WABAH PENYAKT PADA UATU POPULA TERTUTUP Muhmd Zki Riynto NM: 2/56792/PA/8944 E-mil: zki@milugmcid http://zkimthwebid Dosen Pembimbing: Dr