MATEMATIKA BISNIS DAN
|
|
- Susanti Kurniawan
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1
2 Bandung Arry Sanjoyo dkk MATEMATIKA BISNIS DAN MANAJEMEN SMK JILID 3 Direktorat Pembinaan Sekolah Menengah Kejuruan Direktorat Jenderal Manajemen Pendidikan Dasar dan Menengah Departemen Pendidikan Nasional
3 Hak Cipta pada Departemen Pendidikan Nasional Dilindungi Undang-undang MATEMATIKA BISNIS DAN MANAJEMEN Untuk SMK JILID 3 Penulis Editor : Bandung Arry Sanjoyo Sri Suprapti Nur Asyiah Dian Winda S : Erna Apriliani Ukuran Buku : 7,6 x 5 cm SAN m SANJOYO, Bandung Arry Matematika Bisnis dan Manajemen untuk SMK Jilid 3 /oleh Bandung Arry Sanjoyo, Sri Suprapti, Nur Asyiah, Dian Winda S ---- Jakarta : Direktorat Pembinaan Sekolah Menengah Kejuruan, Direktorat Jenderal Manajemen Pendidikan Dasar dan Menengah, Departemen Pendidikan Nasional, 008. xii, 6 hlm ISBN : ISBN : Diterbitkan oleh Direktorat Pembinaan Sekolah Menengah Kejuruan Direktorat Jenderal Manajemen Pendidikan Dasar dan Menengah Departemen Pendidikan Nasional Tahun 008
4 KATA SAMBUTAN Puji syukur kami panjatkan kehadirat Allah SWT, berkat rahmat dan karunia Nya, Pemerintah, dalam hal ini, Direktorat Pembinaan Sekolah Menengah Kejuruan Direktorat Jenderal Manajemen Pendidikan Dasar dan Menengah Departemen Pendidikan Nasional, telah melaksanakan kegiatan penulisan buku kejuruan sebagai bentuk dari kegiatan pembelian hak cipta buku teks pelajaran kejuruan bagi siswa SMK. Karena buku-buku pelajaran kejuruan sangat sulit di dapatkan di pasaran. Buku teks pelajaran ini telah melalui proses penilaian oleh Badan Standar Nasional Pendidikan sebagai buku teks pelajaran untuk SMK dan telah dinyatakan memenuhi syarat kelayakan untuk digunakan dalam proses pembelajaran melalui Peraturan Menteri Pendidikan Nasional Nomor 45 Tahun 008 tanggal 5 Agustus 008. Kami menyampaikan penghargaan yang setinggi-tingginya kepada seluruh penulis yang telah berkenan mengalihkan hak cipta karyanya kepada Departemen Pendidikan Nasional untuk digunakan secara luas oleh para pendidik dan peserta didik SMK. Buku teks pelajaran yang telah dialihkan hak ciptanya kepada Departemen Pendidikan Nasional ini, dapat diunduh (download), digandakan, dicetak, dialihmediakan, atau difotokopi oleh masyarakat. Namun untuk penggandaan yang bersifat komersial harga penjualannya harus memenuhi ketentuan yang ditetapkan oleh Pemerintah. Dengan ditayangkan soft copy ini diharapkan akan lebih memudahkan bagi masyarakat khsusnya para pendidik dan peserta didik SMK di seluruh Indonesia maupun sekolah Indonesia yang berada di luar negeri untuk mengakses dan memanfaatkannya sebagai sumber belajar. Kami berharap, semua pihak dapat mendukung kebijakan ini. Kepada para peserta didik kami ucapkan selamat belajar dan semoga dapat memanfaatkan buku ini sebaik-baiknya. Kami menyadari bahwa buku ini masih perlu ditingkatkan mutunya. Oleh karena itu, saran dan kritik sangat kami harapkan. Jakarta, 7 Agustus 008 Direktur Pembinaan SMK
5 iv
6 KATA PENGANTAR Matematika merupakan suatu alat untuk berkomunikasi di bidang ilmu pengetahuan dan teknologi. Dengan matematika kita dapat mengungkapkan gejala gejala alam, sosial, dan teknik dengan suatu ungkapan rumusan matematika yang tidak memuat makna ganda. Bahkan dengan berbantuan matematika kita dapat menyelesaikan permasalahan sosial, ekonomi, manajemen, dan teknik dengan penyelesaian yang akurat dan optimal. Fakta menunjukkan bahwa beberapa pemenang nobel untuk bidang ekonomi atau teknik berasal dari matematikawan. Oleh karena itu, mempelajari dan menguasai matematika dari usia sekolah dasar maupun lanjut merupakan suatu kebutuhan. Buku ini disusun dengan memperhatikan konsep berfikir matematis dan selalu mengaitkannya dalam kehidupan seharihari, khususnya pada permasalahan ekonomi, bisnis, dan manajemen. Pada setiap konsep kecil yang dituangkan dalam suatu sub bab selalu dikaitkan dengan permasalahan sehari hari. Juga pada setiap bab diawali dengan kalimat motivasi, pembuka dan perangsang bagi pembaca untuk mengerti dari awal, kira-kira akan dipakai seperti apa dan dimana. Belajar matematika tidak cukup hanya dengan mengerti konsep saja. Harus disertai dengan banyak latihan olah pikir serupa dengan contoh contoh yang diberikan. Untuk itu, pada setiap akhir sub bab diberikan banyak soal soal sebagai latihan dalam v
7 menguasai konsep dan miningkatkan ketrampilan olah pikir dan penyelesaian permasalahan. Susunan materi di buku ini berpedoman pada silabus dan GBPP yang telah disusun oleh Depdiknas untuk matematika tingkat SMK bidang Bisnis dan Perkantoran. Sehingga rujukan yang dipakai banyak menggunakan buku matematika untuk SMK dan SMA/MA. Namun demikian juga memperhatikan beberapa buku matematika untuk perguruan tinggi maupun buku aplikasi matematika. Dengan harapan bahwa konsep dan aplikasi matematika tidak terabaikan, juga tingkatan penyampaian materi sangat memperhatikan usia sekolah SMK. Banyak kata motivasi dan kalimat definitif diambil dari buku rujukan yang dipakai. Untuk suatu topik gagasan, sering diambil dari gabungan beberapa buku yang kemudian diungkapkan kedalam suatu kalimat yang sekiranya akan mudah dimengerti oleh siswa SMK. Penulis sangat menyadari bahwa buku ini masih jauh dari kesempurnaan. Oleh karena itu, kritik dan saran untuk perbaikan sangat diharapkan oleh penulis. Penulis. vi
8 Diunduh dari BSE.Mahoni.com DAFTAR ISI Halaman KATA SAMBUTAN KATA PENGANTAR DAFTAR ISI iii v vii JILID. SISTEM BILANGAN REAL.. BILANGAN REAL DAN OPERATOR PADA REAL... Bilangan Real... Operasi Pada Bilangan Real 4.. Perbandingan, Skala dan Persen... Perbandingan... Skala Persen 7.3. Operasi Pada Bilangan Berpangkat Bulat Pangkat Bilangan Positif Pangkat Bilangan Negatif Penerapan Operasional Bilangan Berpangkat Bilangan Dalam Bentuk Akar (Irrasional) Operasi Aljabar Pada Bilangan Berbentuk Akar Merasionalkan Penyebut 5.4. Bilangan Berpangkat Rasional Logaritma Pengertian Logaritma Menghitung Logaritma Sifat-Sifat Logaritma vii
9 . PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN 83.. Persamaan Linear 84.. Persamaan Kuadrat Menyelesaikan Persamaan Kuadrat Mencari Hubungan Akar-akar Persamaan Kuadrat Hubungan Antara Akar-akar Persamaan Kuadrat Lainnya..4. Menerapkan Persamaan Kuadrat 8.3. Sistem Persamaan Linear Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Peubah Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Tiga Peubah 49.. Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat Dua Peubah 54.. Pertidaksamaan Pertidaksamaan Linear Satu Peubah Pertidaksamaan Kuadrat Pertidaksamaan Pecah Rasional Menerapkan Pertidaksamaan Kuadrat FUNGSI 77.. Fungsi dan Relasi Jenis-jenis Fungsi 83.. Fungsi Linear Menggambar Grafik Fungsi Linear Persamaan Garis Lurus Yang Melalui Sebuah Titik 9 Dengan Gradien Diketahui.7.3. Penentuan Persamaan Garis Lurus Yang Melalui Dua 9 Titik.7.4. Kedudukan Dua Buah Garis Lurus Invers Fungsi Linear 94.. Fungsi Kuadrat Bentuk Umum Parabola 0 viii
10 .8.. Menentukan Puncak Persamaan Sumbu Simetri 03 Dan Koordinat Fokus Suatu Parabola.3. Aplikasi Untuk Ekonomi JILID 4. PROGRAM LINEAR Keramik Pertidaksamaan Linear Dan Daerah 9 Penyelesaiannya 3... Sistem Pertidaksamaan Linear dan Daerah 8 Penyelesaiannya 3.. Nilai Optimum Dari Daerah Penyelesaian Sistem 48 Pertidaksamaan Linear 3.. Penyelesaian Program Linear Dengan Menggunakan Garis Selidik LOGIKA MATEMATIKA Pernyataan dan Kalimat Terbuka Proposisi Kalimat Terbuka Penghubung Atau Konektif (Connective) Negasi Konjungsi Disjungsi Implikasi (Proposisi Bersyarat) Bimplikasi Tabel Kebenaran Kuantor Universal Dan Kuantor Eksistensial Negasi Dari Pesyaratan Berkuantor Hubungan Invers, Konvers, dan Kontraposisi Dua Buah Pernyataan Majemuk Yang Ekuivalen Silogisme, Modus, Ponens, dan Modus Tollens Silogisme 307 ix
11 4.4.. Modus Ponens Modus Tollens 3 6. FUNGSI Fungsi dan Relasi Jenis-Jenis Fungsi Fungsi Liner Menggambar Grafik Fungsi Liner Persamaan Garis Lurus Yang Melalui Sebuah Titik 33 Dengan Gradien Diketahui Penentuan Persamaan Garis Lurus Yang Melalui Dua 33 Titik 6.3. Fungsi Kuadrat Bentuk Umum Parabola Menentukan Puncak, Persamaan Sumbu Simetri dan 343 Koordinat Fokus Suatu Parabola 6.4. Aplikasi Untuk Ekonomi BARISAN DAN DERET Barisan dan Deret Bilangan Notasi Sigma Barisan dan Deret Aritmatika Barisan dan Deret Geometri 386 JILID 3 8. GEOMETRI BIDANG 397 x 8.. Sudut Keliling Bidang Datar Luas Luas Bidang Datar Dibawah Garis Lengkung Transformasi Geometri Komposisi Transformasi 436
12 9. Peluang Pengertian Dasar Kaidah Pencacahan STATISTIKA Pengertian Dasar Penyajian Data Ukuran Statistik Bagi Data 498. MATEMATIKA KEUANGAN.. Bunga Tunggal dan Bunga Majemuk 59.. Diskonto Bunga Majemuk Nilai Tunai, Nilai Akhir, dan Hari Valuta Rente (Rentetan Modal) Anuitas Metode Saldo Menurun 55 xi
13 xii
14 Bab 8 GEOMETRI BIDANG P ada bab ini akan dibahas bentuk-bentuk bidang dalam ruang dimensi dua, keliling serta luasan dari bidang tersebut, bentuk ini banyak kaitannya dengan kegiatan ekonomi (bisnis dan manajemen) terutama menyangkut luasan dari bidang. Selain itu dikenalkan dua besaran sudut yaitu derajat dan radian serta hubungan antara kedua satuan ukuran ini. 8. Sudut Misalkan kita menggambar dua garis lurus AB dan AC yang berpotongan di titik A (lihat gambar 8.), kedua garis ini membentuk sudut dengan titik sudut A dan dinamakan sudut A dilambangkan dengan: BAC atau dapat juga ditulis sebagai CAB. Garis AB dan AC dinamakan kaki sudut dari sudut BAC. Untuk mengukur besarnya BAC digunakan aturan berlawanan dengan arah jarum jam yang putar kanan, berarti sudut bernilai positip jika arah putar sudut kiri dan 397
15 398 Bab 8: Geometri Bidang bernilai negative jika arah putar sudut ke kanan, besar sudut dinyatakan dalam derajat. Jadi besar BAC dinyatakan dengan θ 0. C A θ B Gambar 8.. Garis AB dan garis AC membentuk BAC Ada beberapa nama sudut berdasarkan besar sudut yang dibentuk, pada Gambar 8.. BAC dinamakan sudut lancip karena besar sudut A kurang dari 90 0, jika besar sudut adalah 90 0 maka dinamakan sudut siku-siku dan jika besar sudut lebih dari 90 0 dinamakan sudut tumpul. HUBUNGAN SATUAN PANJANG DENGAN DERAJAT Dua macam satuan yang biasa digunakan untuk menentukan ukuran sudut yaitu radian dan derajad. Pada bagian ini akan dibahas pengertian radian dan hubungan antara derajat dengan radian. Buatlah sebuah lingkaran dengan pusat O dan jari-jari r seperti Gambar 8... Gambar 8.. Besar AOB = radian Misal AB sebuah busur pada lingkaran yang panjangnya sama dengan
16 Bab 8: Geometri Bidang 399 jari-jari lingkaran r. Besar sudut pusat AOB yang menghadap busur AB sebagai satu radian. Karena keliling lingkaran sama dengan π r (nilai π 3,4 ), ini berarti bahwa besar sudut pusat adalah: π radian. Besar sudut lingkaran dengan satu putaran adalah sehingga 0 =. Satuan yang lebih kecil dari derajat adalah menit dan detik, 0 = 60' dan ' = 60". Jadi: radian = π atau π radian =80 0 persamaan tersebut adalah persamaan dasar antara radian dan derajat, oleh karena itu: 80 radian = π '45" 0 = π radian = 0, 0745 radian 80 CONTOH 8.. Berapa besar sudut dalam radian jika diketahui besar sudut dalan derajat adalah 45 0? Jawab. Karena Maka 0 = π radian = 0, 0745 radian, 80 π π 45 0 = 45 radian = radian 0, 7855 radian 80 4
17 400 Bab 8: Geometri Bidang CONTOH 8.. Berapa derajat jika besar sudut:,5 radian? Jawab Karena radian = 57 7'45", π Maka,5radian =,5 7 37'" π CONTOH 8..3 Nyatakan besar sudut: Jawab π 3 dalam derajat! Karena maka radian = 80 0 π, π 3 = = 0 0 CONTOH 8..4 Nyatakan besar sudut Jawab Karena radian = 80 0 π, dalam bentuk π radian Maka = 0 80 π radian = 3π radian
18 Bab 8: Geometri Bidang 40 Latihan Soal 8 -. Konversikan besaran sudut dalam derajat ke dalam radian a c b d Konversikan besaran sudut dalam radian ke dalam derajat a. 6,8 radian c. 9 radian b. 0,34 radian d. radian 3. Ubahlah ke dalam satuan π radian a c b d Ubahlah ke dalam satuan derajat 5 a. π 6 3 b. π 4 c. π 4 7 d. π 3 5. Ubahlah ke dalam satuan π radian a b. -60 o c d
19 40 Bab 8: Geometri Bidang 8. KELILING BIDANG DATAR Keliling suatu bangun datar yang tertutup merupakan jumlah panjang sisi-sisinya, dapat juga dikatakan bahwa keliling suatu bangun datar adalah jarak yang ditempuh bila suatu bangun dikitari sampai kembali ke tempat semula. PERSEGI DAN PERSEGI PANJANG Bangun datar yang berbentuk persegi panjang adalah bangun datar segi empat dengan sudut siku disetiap sudutnya, dimana mempunyai ukuran panjang dan lebar. Sedangkan persegi adalah keadaan khusus dari persegi panjang yaitu ukuran panjang dan lebar adalah sama. Seperti terlihat pada Gambar p l s s Persegi Panjang Persegi Gambar Persegi dan Persegi Panjang Keliling dari persegi panjang adalah jarak yang ditempuh jika mengitari sisi-sisinya dan kembali pada titik awal. Untuk persegi panjang, kelilingnya (K) adalah dua kali panjang (p) ditambah dua kali lebar (l) dan dinyatakan dengan: ( p l) K = p + l = + Untuk persegi, karena panjang sisi-sisiya sama (s) maka keliling persegi dinyatakan dengan: K = s + s = 4s
20 Bab 8: Geometri Bidang 403 CONTOH Hitung keliling persegi panjang dengan panjang 0 satuan dan lebar 5 satuan! Jawab Keliling persegi panjang tersebut adalah: ( p + l) = ( 0 + 5) satuan K = = 70 CONTOH 8.. Hitung keliling persegi dengan panjang sisi-sisinya 0 satuan! Jawab Keliling persegi tersebut adalah: K = 4 s = 4 0 = 80 satuan JAJARAN GENJANG, LAYANG LAYANG DAN TRAPESIUM Bentuk-bentuk segi empat yang lain adalah: Jajaran genjang, Layanglayang dan Trapesium. Jajaran genjang mempunyai dua pasang sisi yang saling sejajar, layang-layang dua pasang sisinya sama panjang sedangkan trapesium hanya memiliki sepasang sisi yang sejajar. Bentuk bangun datar ini diperlihatkan pada Gambar 8.. l l p l p p p n m l l k Jajaran Genjang Layang - Layang Trapesium
21 404 Bab 8: Geometri Bidang Gambar 8.. Bangun datar Jajaran Genjang, Layang-Layang dan Trapesium Keliling dari bangun segi empat ini dengan menghitung jarak yang ditempuh, jika mengitari bangun segi empat ini dan kembali ke titik asal. Dengan demikian keliling untuk masing masing banun segi empat ini adalah : Jajaran genjang: K = ( p + l) Layang-layang : K = ( p + l) Trapesium : K = k + l + m+ n SEGITIGA Perhatikan Gambar 8..3, terlihat pada gambar bahwa persegi panjang yang ditarik sebuah garis yang melalui salah satu diagonalnya maka akan terbentuk bidang datar yang berbentuk segitiga. S S S 3 Gambar 8..3 Segitiga Keliling segitiga dinyatakan dengan menjumlahkan ketiga sisinya: K = S + + S S 3 Terdapat 3 jenis segitiga yaitu: Segitiga siku-siku: salah satu sudutnya siku-siku Segitiga sama kaki: mempunyai dua sisi yang sama panjang Segitiga sama sisi: ketiga sisinya sama panjang
22 Bab 8: Geometri Bidang 405 LINGKARAN Bentuk-bentuk benda yang berupa lingkaran sering anda jumpai dalam kehidupan sehari-hari. Perhatikan bentuk roda kendaraan, jam tangan yang bulat, medali, uang logam merupakan contoh benda-benda yang berbentuk lingkaran. Bentuk Lingkaran diperoleh dengan menentukan tempat kedudukan atau himpunan semua titik-titik yang berjarak tetap terhadap sebuah titik (Gambar 8..4). Titik tetap (x o, y o) tersebut dikatakan Pusat lingkaran dan jarak r tersebut dikatakan jari-jari lingkaran. Gambar 8..4 Keliling sebuah lingkaran sama dengan dua kali π dikalikan dengan jari-jarinya, atau ditulis: K = π r
23 406 Bab 8: Geometri Bidang Latihan Soal 8-. Tentukan keliling dari bangun datar dibawah ini: a. Persegi Panjang dengan panjang = 6 cm, lebar = 3 cm b. Persegi dengan sisi = 4 cm c. Jajajaran genjang panjang = cm, lebar = 8 cm d. Lingkaran dengan jari-jari = 5 cm. Sebuah jendela berbentuk persegi panjang dengan panjang =,4 m dan lebar,8 m. Diatas jendela diberi lengkungan setengah lingkaran. b. Tentukan keliling jendela c. Jika harga bahan Rp ,-/m dan ongkos pembuatan jendela Rp ,-. Tentukan harga jendela tersebut. 3. Sebuah pagar berbentuk seperti gambar dibawah ini, bagian atas pagar diberi hiasan segi tiga sama sisi. 3 m 0,5 m Jika harga bahan Rp ,-/m, ongkos pembuatan Rp ,- tentukan harga pagar. 4. Sebuah taman berbentuk persegi panjang dengan panjang 5 m dan lebar 0 m, keliling taman diberi pagar seperti pada soal 3. Berapa beaya yang dibutukhan untuk memberi pagar taman tersebut. 5 m
24 Bab 8: Geometri Bidang Luas Luas daerah suatu bangun datar, yang selanjutnya disebut luas adalah ukuran yang menunjukkan besarmya permukaan untuk menutup bangun datar tersebut. Luas suatu bangun datar dinyatakan dengan L, yang mana rumus-rumus luas bangun datar yang sudah pernah kita pelajari kita ulas kembali. PERSEGI DAN PERSEGI PANJANG Bangun datar yang berbentuk persegi panjang adalah bangun datar segi empat dengan sudut siku disetiap sudutnya, dimana mempunyai ukuran panjang dan lebar. Sedangkan persegi adalah keadaan khusus dari persegi panjang yaitu ukuran panjang dan lebar adalah sama. Seperti terlihat pada Gambar 8... Luas dari persegi panjang adalah banyaknya besaran turunan yang dapat menutupi permukaan persegi panjang. Kalau panjang dari persegi panjang adalah p satuan dan lebar dari persegi panjang adalah l satuan, maka luas persegi panjang tersebut adalah: L = p l Sedangkan luas dari persegi adalah sisi (s) dikalikan dengan sisi (s) dan dinyatakan dengan: L = s s = s CONTOH 8.3. Tentukan luas dari persegi panjang dengan panjang 8 cm & lebar 4 cm Jawab L = p l = 8cm 4cm = 3 cm
25 408 Bab 8: Geometri Bidang CONTOH 8.3. Tentukan luas dari persegi dengan panjang sisi 4 m Jawab L = s s = 4m 4m = 6 m SEGITIGA Perhatikan Gambar Terlihat pada gambar bahwa Luas segi tiga ABC sama dengan ½ luas persegi panjang ADCF ditambah ½ luas persegi panjang DBFC maka luas segi tiga ABC sama dengan ½ luas persegi panjang ADCE dan DBFC. Sehingga luas segitiga dapat dirumuskan sebagai berikut : E C F L = ( AB) ( CD) A D B Gambar 8.3. Jika panjang alas (AB) segi tiga ABC adalah a dan Panjang dari garis tinggi CD adalah t, maka luas segitiga ABC dapat ditulis: L = a t CONTOH Tentukan luas segitiga yang panjang alasnya 8 cm dan tinggi 4 cm Jawab L = a t = 8cm 4cm = 6 cm
26 Bab 8: Geometri Bidang 409 JAJARAN GENJANG Untuk mendapatkan luas jajaran genjang perhatikan Gambar Buat garis tinggi dari sepasang sisi yang sejajar, potong bentuk segitiga sebelah kanan kemudian tempelkan ke segitiga sebelah kiri, bentuk bangun menjadi persegi panjang.misalkan panjang alas jajaran genjang diketahui a dan tingginya t t t a a Gambar 8.3.Jajaran genjang dan Persegi panjang yang dibentuk dari potongan Segitiga Jajaran genjang Jadi luas jajajaran genjang dinyatakan dengan: L = a t CONTOH Tentukan luas jajaran genjang yang panjang alas 8 cm dan tinggi 4 cm Jawab L = a t = 8cm 4cm = 3 cm
27 40 Bab 8: Geometri Bidang LAYANG LAYANG Luas layang-layang dicari dengan membuat garis diagonal-diagonalnya kemudian memotong salah satu diagonalnya. Dari potongan ini terdapat dua segitiga yang panjang alas sama dengan diagonal dan tinggi dari kedua segitiga sama dengan panjang diagonal yang lain seperti terlihat pada Gambar t d d d t Gambar Layang-layang dipotong menjadi dua segitiga Luas segitiga potongan atas adalah : L atas = d Luas segitiga potongan bawah adalah : L bawah = d Luas layang-layang: L atas + L bawah ( d t ) + ( d t ) = = d ( t + t ) Sedangkan d = t + t Jadi luas layang-layang: L = d d
28 Bab 8: Geometri Bidang 4 CONTOH Tentukan luas layang-layang yang panjang diagonalnya 0 cm dan tinggi 6 cm Jawab L = d d = 0 6 = 30 cm TRAPESIUM Perhatikan Gambar Penghitungan luas trapesium dengan membuat dua garis tinggi dari alas trapesium, bidang dipotong mengikuti garis tinggi, dengan demikian ada dua bidang datar berbentuk segitiga dan satu berbentuk persegi panjang. b c t d L L L 3 a Gambar Trapesium dan Tiga Potongan Luas trapesium adalah jumlahan dari L + L + L L = L = L 3 = c t b t d t L trap = c t b + d t + ( t)
29 4 Bab 8: Geometri Bidang trap = t c + b + d = t c + b + d c d, panjang a = c + b + d t a = ( ) L = t ( a + b) c + d, panjang c + d = a b CONTOH Tentukan luas trapesium dengan tinggi 4 cm, alas 6 cm dan 5 cm. Jawab L = t ( a + b) = 4 ( 6 + 5) = cm trap
30 Bab 8: Geometri Bidang 43 Latihan Soal 8-3. Tentukan luas dari bangun datar dibawah ini: a. Persegi dengan sisi 3 cm b. Persegi panjang dengan panjang 5 cm, lebar cm c. Segi tiga dengan alas 8 cm dan tinggi 7 cm d. Lingkaran dengan jari-jari 6 cm. Tentukan luas tanah pada gambar dibawah ini m 3 m 6 m 8 m 3. Paving dengan ukuran 4 x 8 cm digunakan untuk menutup halaman sekolah yang berukuran 8 x 0 m a. Berapa banyak paving yang dibutuhkan b. Jika harga paving Rp..500,-/buah berapa harga paving seluruhnya. c. Ongkos pemasangan paving Rp ,-/m Berapa beaya yang dibutuhkan d. Agar lebih bagus digunakan paving merah sebanyak m dengan harga Rp. 750,-/buah, berapa harga paving seluruhnya 4. Sebuah teras dari cor berbentuk persegi panjang dan diatasnya diberi setengah lingkaran seperti gambar dibawah, dengan ketebalan 5 cm tiap meter persegi membutuhkan semen 6 kg, harga semen yang berisi 50 kg Rp ,- a. Berapa luas teras b. Berapa kg semen yang dibutuhkan c. Berapa biaya untuk membeli semen m m 4m
31 44 Bab 8: Geometri Bidang 8.4 Luas Bidang Datar Dibawah Garis Lengkung Prinsip untuk mendapatkan luas bidang datar dibawah garis lengkung dengan membagi bidang tersebut menjadi potongan-potongan yang berbentuk persegi panjang atau trapesium, hasil yang didapat merupakan pendekatan luas dari bidang datar tersebut. Terdapat dua cara untuk mendapatkan pendekatan luas bidang datar yaitu: Aturan titik tengah Aturan trapesoida ATURAN TITIK TENGAH Perhatikan Gambar 8.4. Luas bidang datar dibawah garis lengkung dari titik A sampai dengan titik B dibagi menjadi n potongan yang berbentuk persegi panjang dengan lebar yang sama. p p 3 p 4 p p n A l l l l l B Gambar 8.4. Luas dibawah garis lengkung dari titik A sampai titik B dipotong sebanyak n persegi panjang Luas potongan persegi panjang adalah panjang kali lebar, dengan demikian luas bidang datar adalah jumlah dari potongan-potongan luas persegi panjang dan ditulis:
32 Bab 8: Geometri Bidang 45 L L + L + L Ln ( p l) + ( p l) + ( p l) ( p n l) n p l ATURAN TRAPESOIDA i i Pendekatan luas dengan aturan trapesoida, potongan dibawah garis lengkung berbentuk trapesium seperti terlihat pada Gambar Lebar potongan merupakan tinggi trapesium, sehingga luas satu potong trapesium adalah: L = l + ( p p ) 3 p p 3 p 4 p 5 p n- p p n L L L 3 L 4 L n- A l l l l l Gambar 8.4. Luas dibawah garis lengkung dari titik A sampai titik B dipotong sebanyak (n-) Trapesium Luas seluruh dataran dibawah garis lengkung adalah: L L + L + L Ln l ( p + p ) + ( p + p ) ( + ) l p n p n 3 l B
33 46 Bab 8: Geometri Bidang L l ( p + p + p ) 3 p n p n L l [( p + p ) + ( p + p p )] n 3. n Perhatikan rumusan luas aturan trapesoida panjang awal ditambah akhir, panjang ditengah dijumlahkan kemudian dikalikan dengan dua. CONTOH 8.4. Tentukan pendekatan luas pada gambar dibawah dengan menggunakan aturan titik tengah dan trapesoida untuk n = 0, panjang AB = 0 cm dan ukuran panjang (dalam cm) P P P 3 P 4 P 5 P 6 P 7 P 8 P 9 P 0 P 7,6 8, 9,8 0 9,6 8,4 8 8, 8,8 8,6 7,4 p p p 3 p 4 p 5 p 6 p 7 p 8 p 9 p 0 p A B Jawab. n = 0, panjang AB = 0 cm, lebar potongan: 0 cm l = = cm 0
34 Bab 8: Geometri Bidang 47 Aturan Titik Tengah Lebih dahulu menentukan panjang rata-rata setiap potongan luasan untuk potongan ke satu panjang rata-rata adalah: p + p 7,6 + 8, p = = = 7, 9cm Dengan cara yang sama didapat rata-rata panjang semua potongan sebagai berikut: p p p p 3 4 p 5 7,9 9 9,9 9,8 9 8, 8, 8,5 8,7 8 p 6 Jadi pendekatan luas bidang datar adalah: L p 7 p 8 p 9 ( 7, ,9 + 9, , + 8, + 8,5 + 8,7 + 8) 87 = 74cm p 0 Aturan Trapesoida Penghitungan pendekatan luas dengan aturan trapesoida adalah sebagai berikut: L 74, = 74, cm ( 7,6 + 7,4 + ( 8, + 9, ,6 + 8, , + 8,8 + 8,6 ) Hasil pendekatan luas sedikit berbeda hal ini disebabkan pendekatan luas dengan aturan titik tengah potongan bidang datar berbentuk persegi panjang, sedangkan bentuk potongan mendekati bentuk trapesium. Jadi pendekatan luas yang paling baik adalah aturan trapesium.
35 48 Bab 8: Geometri Bidang Latihan Soal 8-4. Tentukan luas daerah gambar dibawah ini, yang mempunyai data pengukuran seperti pada tabel yang diberikan: l i P i ,5 4,5 6,5 6 5,3 5,5 5, 6. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh y =, x 5 dan x sumbu x, ambil n = 0. Tentukan luas daerah dengan mengunakan a. Aturan titik tengah b. Aturan trapesoida 3. Gambar dibawah ini adalah sebuah jendela dengan data pengukuran, dipasang kaca dengan harga kaca Rp..000,-/m. Tentukan harga kaca yang dibutuhkan dengan menggunakan a. Aturan titik tengah b. Aturan trapesoida
36 Bab 8: Geometri Bidang 49 Data pengukuran (cm): t h Gambar dibawah ini adalah sebuah jendela mobil dengan data pengukuran, dipasang kaca dengan harga kaca Rp ,-/m. Tentukan harga kaca yang dibutuhkan dengan menggunakan a. Aturan titik tengah b. Aturan trapesoida Data pengukuran (cm): t h Hitung luas daerah dibawah kurva y=x yang dibatasi oleh garis x=0, x= dan sumbu X dengan pendekatan trapezium jika n=0.(sertai gambar)
37 40 Bab 8: Geometri Bidang 8.5 Transformasi Geometri Transformasi geometri adalah pemindahan obyek bidang datar dari tempat asal ketempat yang lain. Terdapat empat bentuk transformasi geometri yaitu: Translasi (pergeseran) Rotasi (putaran) Refleksi (pencerminan) Dilatasi (Perbesaran atau perkecilan) TRANSLASI Translasi atau pergeseran adalah bentuk transformasi untuk memindahkan suatu obyek pada bidang datar dengan jarak dan arah tertentu. Panjang jarak dan arah pada translasi dinyatakan oleh vektor AB atau a pasangan berurutan. b Suatu translasi dari pemetaan: T Titik ( x y) : R R R (ruang dimensi dua) ke a P, ditranslasikan oleh T = b artinya titik P ( x, y) dipetakan ke titik '( x', y ') hubungan: x' = x + a y' = y + b R didefinisikan oleh P sehingga berlaku
38 Bab 8: Geometri Bidang 4 Hubungan ini mengandung pengertian:. Jika a > 0 maka arah pergeseran kekanan dan jika a < 0 arah pergeseran kekiri.. Jika b > 0 maka arah pergeseran keatas dan jika b < 0 arah pergeseran kebawah. Secara geometri diperlihatkan pada Gambar 8.5. y y y + b y ( x y) P, x P ' ( x', y ') x + a x y y + b ( x y) P, x P ' ( x', y ') x + a x a > 0, b > 0 a > 0, b < 0 Gambar 8.5. Translasi Titik P ( x, y ) ke P '( x', y ') CONTOH 8.5. Tentukan bayangan titik P (, 5) dan ( 3,) Jawab Q oleh translasi T 3 Untuk titik P: P (, 5) P '( +, 5 + 3) = P' ( 4, ) Untuk titik Q: Q( 3,) Q '( 3 +,+ 3) = P' (,4)
39 4 Bab 8: Geometri Bidang CONTOH 8.5. Tentukan hasil translasi dari persamaan parabola y = x oleh translasi T, Gambarkan grafik sebelum dan sesudah translasi. 3 Jawab. Persamaan translasi adalah: x ' = x x = x ' + y ' = y + 3 y = y ' 3 Substitusikan persamaan translasi ke persamaan parabola didapat: y = x y ' 3 = ( x ' + ) y ' = ( x ') + x ' y ' = ( x' ) + x ' + 4 Grafik parabola asal dan hasil translasi diperlihatkan pada gambar 8.5. y ( x' ) + ' + 4 y ' = x y = x y = x + x + - x Gambar 8.5. Grafik Parabola dan hasil Translasi
40 Bab 8: Geometri Bidang 43 Pertama kita gambarkan grafik y = x, grafik ini digeser ke-kiri sejauh satu satuan (gambar garis putus-putus), kemudian dilanjutkan digeser ke-atas sejauh tiga satuan (gambar garis tebal). CONTOH Bayangan titik ( a b, a + b) Tentukan bayangan titik (, a + ) oleh translasi b a adalah titik ( 8, ) b oleh translasi yang sama. Jawab. Bentuk translasi sebagai berikut: a b a + b + a 8 = b a b + a = 8 a b = () a + b + b = a + b =.. () Dari persamaan () dan () didapat a = 3 dan b =, Oleh krena itu titik ( b, a + ) = (,4). Bayangan titik (,4) 3 oleh translasi x 3 = + = y 4 3 Jadi, bayangan titik (,4) adalah: a oleh tranlasi = b 3 adalah (,3)
41 44 Bab 8: Geometri Bidang ROTASI Rotasi adalah bentuk transformasi geometri untuk memindahkan obyek dengan cara pemutaran. Untuk melakukan rotasi diperlukan titik pusat, besar sudut dan arah sudut rotasi. Arah putaran sudut positif berlawanan dengan jarum jam, sebaliknya untuk arah sudut yang negatif putaran searah dengan jarum jam. Gambar memperlihatkan bangun segitiga dirotasikan dengan pusat titik O ( 0,0 ), sudut putar sebesar θ searah jarum jam. O θ Gambar Segitiga dirotasi pusat O sebesar θ searah jarum jam Misalkan titik P ( x, y) diputar dengan titik pusat O( 0,0 ) dengan sudut putar sebesar θ berlawanan arah jarum jam, untuk mendapatkan titik hasil rotasi yaitu titik '( x', y ') P perhatikan Gambar y O y y ' P ' ( x', y ') r P ( x, y) θ x ' α r x x Gambar Rotasi titik P ( x, y) ke P '( x', y ')
42 Bab 8: Geometri Bidang 45 OP = OP = r, x = r cosα, y = rsin α x' = r = r XOP = α, POP ' = θ cos( α + θ ) ( cosα cosθ sin α sin θ ) = r cosα cosθ r sin α sin θ = x cosθ ysin θ y' = r = r sin ( α + θ ) ( sin α cosθ + cosα sin θ ) = r sin α cosθ + r cosα sin θ = y cosθ + xsin θ = xsin θ + ycosθ Jadi, x ' = x cosθ y sin θ y ' = x sin θ + y cosθ Dalam bentuk matriks persamaan diatas dapat dinyatakan sebagai berikut: x' cosθ = y ' sin θ sin θ x cosθ y Bentuk matriks cosθ sin θ sin θ cosθ disebut matriks rotasi R [ O,θ ].
43 46 Bab 8: Geometri Bidang CONTOH Diberikan titik-titik A (,4), B( 3,5) dan ( 0, 3) C diputar dengan sudut seperempat putaran berlawanan arah jarum jam, pusat sumbu sumbu putar O. Tentukan bayangannya!. Jawab. Persamaan rotasi dengan θ 0 = 90 dengan pusat sumbu O adalah: 0 0 x' cos90 sin 90 = 0 0 y ' sin 90 cos = = 3 0 Jadi, 3 A '( 4,), B '( 5, 3) dan C ' ( 3,0 ) Sekarang kita bahas jika titik pusat putar bukan O ( 0,0 ), misal ( a b) P,. Penyelesaian masalah ini sama dengan mentranslasikan O ( 0,0 ) ke titik ( a b) x' a = y' b = atau dalam bentuk matriks: P,, sehingga didapat persamaan: ( x a) cosθ ( y b) sin θ ( x a) sin θ + ( y b) cosθ x' a cosθ = y ' b sin θ sin θ x a cosθ y b
44 Bab 8: Geometri Bidang 47 CONTOH Tentukan bayangan dari persamaan parabola sudut putar sebesar Jawab. Pusat rotasi (,0), besar sudut putar persamaan rotasi: x ' = y ' 0 = y = x diputar dengan 0 90 berlawanan arah jarum jam, titik pusat (,0) 0 0 ( x ) cos90 ( y 0) sin ( x ) sin 90 + ( y 0) cos90 x' = + ( x ) 0 ( y) ( x ) ( y)0 y ' = x ' = y y ' = x y = x ' x = y ' berlawanan arah jarum jam, Substitusikan ke persamaan parabola bayangan: y = x didapat persamaan atau ( x ') = ( y ' + ) ( y ') 4 ' x ' = y Jadi bayangan dari persamaan parabola sudut putar sebesar adalah x = y 4y. y = x yang diputar dengan 0 90 berlawanan arah jarum jam, titik pusat (,0)
45 48 Bab 8: Geometri Bidang REFLEKSI (PENCERMINAN) Refleksi (pencerminan) adalah bentuk transformasi geometri yang memindahkan obyek menjadi bayangan seperti di depan cermin. Misal suatu segitiga dicerminkan terhadap garis l, hasil dari pencerminan diperlihatkan pada Gambar l B B ' A A ' C C ' Gambar Segitiga ABC dicerminkan terhadap l Pencerminan titik terhadap sumbu cermin, jarak titik asal ke sumbu cermin sama dengan jarak titik bayangan ke sumbu cermin. Pada koordinat Kartesius, titik ( x y) P, dicerminkan terhadap sumbu x dan sumbu y hasil dari pencerminan diperlihatkan pada Gambar ( x y) P ", y ( x y) P, x Gambar Pencerminan ( x y) P' ( x, y) P, terhadap sumbu koordinat
46 Bab 8: Geometri Bidang 49 Titik P ( x, y) dicerminkan terhadap sumbu x menghasikan P ( x, y) bentuk persamaan hasil pencerminan ini adalah: x ' = x x ' = x + 0 y y ' = y y ' = 0 x y Dinyatakan dalam bentuk persamaan matriks: x' 0 x = y ' 0 y ', 0 Matriks disebut matriks pencerminan terhadap sumbu x. 0 Dengan cara yang sama dapat dicari bentuk-bentuk matriks pencerminan pada sumbu-sumbu cermin yang lain, untuk memudahkan mempelajari pencerminan bentuk-bentuk matriks pencerminan ditulis dalam tabel 8.5. Tabel 8.5. Matriks Transformasi Pencerminan Transformasi Bentuk Matriks Pemetaan Pencerminan terhadap sumbu x Pencerminan terhadap sumbu y Pencerminan terhadap O 0,0 Pusat sumbu ( ) Pencerminan terhadap 0 garis y = x 0 Pencerminan terhadap 0 garis y = x 0 ( x, y) ( x, y) ( x, y) ( x, y) ( x, y) ( x, y) ( x, y) ( y, x) ( x, y) ( y, x)
47 430 Bab 8: Geometri Bidang Selanjutnya, pengembangan pencerminan dengan mengganti sumbu cerminnya. Hasil pencerminan terhadap beberapa sumbu cermin adalah sebagai berikut: Sumbu cermin garis x = h P ( x, y) hasil pencerminan (bayangan) adalah: P '( h x, y) Sumbu cermin garis y = k P ( x, y) hasil pencerminan (bayangan) adalah: P' ( x,k y) Sumbu cermin garis y = mx, bentuk matriks pencerminan: M y = mx = m m + m m m CONTOH Diberikan titik-titik A (,4), B( 3,5) dan ( 0, 3) C. Tentukan bayangannya jika jika dicerminkan terhadap garis y = x Jawab. Matriks pencerminan terhadap garis 0 y = x adalah: 0 Persamaan matriks untuk titik-titik A (,4), B( 3,5) dan C ( 0, 3) x' 0 = y ' = Jadi hasil pencerminan didapat: A '( 4,), B( 5, 3) dan C ( 3,0)
48 Bab 8: Geometri Bidang 43 CONTOH Tentukan bayangan titik ( 3,7 ) jika dicerminkan terhadap garis x y + 3 = 0 Jawab. Ubah persamaan garis x y + 3 = 0 menjadi y = x Garis y = x + 3 diperoleh dari garis y = x ditranslasi oleh T 3 Bayangan ( 3,7 ) dapat dicari dengan langkah-langkah sebagai berikut:. Translasikan titik ( 3,7 ) 0 dengan 3. Tentukan matriks pencerminan garis y = x T diperoleh: ( 3,4 ). = 3 4 M y= x = Cerminkan titik ( 3,4 ) terhadap garis y = x dengan menggunakan matriks pada. diperoleh: x = y Translasikan titik (,0) Jadi hasil refleksi ( 3,7 ) 4 3 = dengan 3 5 ( x, y ) = ( 5,0 ) T diperoleh ( 5,3) terhadap garis y + 3 = 0 x adalah: ( 5,3)
49 43 Bab 8: Geometri Bidang DILATASI Dilatasi adalah bentuk transformasi geometri yang memperbesar atau memperkecil obyek tanpa mengubah bentuk obyek tersebut. Untuk melakukan dilatasi diperlukan pusat dilatasi dan faktor pengali atau skala. Jika skala > maka bentuk obyek diperbesar, sebaliknya jika skal < maka obyek diperkecil. Perhatikan Gambar 8.5.7, suatu titik ( x y) pusat O ( 0,0 ) dengan skala a. P, dilakukan dilatasi dengan y " y y ' y O P ' ( x', y ') x ' ( x y) P, x x " ( x", ") P " y x Gambar Dilatasi titik P ( x, y) a <menghasikan P '( x', y' ), a > menghasikan P "( x", y" ) Persamaan dilatasi dengan pusat O( 0,0 ) dan k skala dinyatakan dalam bentuk: x ' = y ' = k x k y Persamaan matriksnya adalah:
50 Bab 8: Geometri Bidang 433 k Matriks 0 x' k 0 x = y ' 0 k y 0 disebut matriks dilatasi D [ O, k] k Untuk dilatasi dengan pusat ( a b) [ P k] D, bentuk persamaannya adalah: x' = a + k y' = b + k ( x a) ( y b) Persamaan dalam bentuk matriks adalah: x' a k 0 x a = + y ' b 0 k y b P, dengan skala k dan ditulis CONTOH Tentukan bayangan titik ( 6,8) oleh dilatasi: a. D [ O, ] b. Jawab D O, a. Titik ( 6,8) dilatasi D [ O, ] dilatasi didapat: x' 0 6 = = y ' Jadi, hasil dilatasi (,6), gunakan persaman matriks
51 434 Bab 8: Geometri Bidang b. Titik ( 6,8) dilatasi dilatasi didapat: D O,, gunakan persaman matriks x' = y ' = 8 4 Jadi, hasil dilatasi ( 3,4) CONTOH Tentukan bayangan dari persegi ABCD dengan titik sudut A (,), B (,), C (, ) dan (, ) pusat titik C dengan skala Jawab. Bentuk dilatasi adalah: D [ C,] D jika dilakukan dilatasi dengan Persamaan matriks dilatasi untuk titik-titik: A (,), (,) C (, ) dan (, ) D adalah: x' 0 + = + y ' = = Titik-titik hasil dilatasi: A '( 6,6), B '(,6), ' (, ) ( 6, ) D '. B, C dan
52 Bab 8: Geometri Bidang 435 Latihan Soal 8-5. Diberikan koordinat titik segi tiga (0,0), (,0) dan (,3). Tentukan koordinat titik segi tiga jika dikenakan transformasi: a. Translasi: T = 4 3 b. Translasi: T = c. Rotasi titik pusat O dengan d. Rotasi titik pusat O dengan 0 θ = 60 0 θ = 40 e. Refleksi (pencerminan) terhadap titik O, sumbu x dan sumbu y f. Refleksi (pencerminan) terhadap garis y = x, y = -x dan x = g. Dilatasi dengan titik pusat O dan faktor skala: 3 dan / m. Titik A(,-4) dengan translasi T = menjadi A (-,) tentukan n m dan n 3. Diberikan persamaan parabola y = x +, tentukan persamaan yang sesuai dan sket grafik jika ditransformasikan dengan: a. Translasi: T = b. Rotasi titik pusat O dengan c. Rotasi titik pusat P(0,) dengan 0 θ = 90 θ 0 = 80 d. Refleksi (pencerminan) terhadap titik O, sumbu x dan sumbu y 4. Tentukan matriks refleksi terhadap garis x = h dan y = k
53 436 Bab 8: Geometri Bidang 8.6 KOMPOSISI TRANSFORMASI Kita dapat melakukan beberapa transformasi, misal pertama suatu obyek ditranslasi dengan T kemudian dilanjutkan translasi yang kedua dengan T yang dinyatakan dengan ( T o ) ( y) T x,, bentuk ini dinamakan komposisi dua translasi. Bentuk komposisi transformasi yang lain dengan menggabungkan bentuk-bentuk transformasi yang telah dipelajari pada subbab 8.5. KOMPOSISI TRANSLASI Misal diberikan translasi translasi T dan T dinyatakan: a c a + c T o = + = b d b + d ( ) T c a c + a T o = + = d b d + b ( ) T a c T = dan T b =, komposisi dua d Karena jumlah bilangan bersifat komutatif, maka: ( T o T ) = ( T o T ) Catatan ( T o T ) artinya obyek ditranslasi oleh T dilanjutkan dengan T ( T ot ) artinya obyek ditranslasi oleh T dilanjutkan dengan T Walaupun memberi hasil yang sama tetapi penekanan pada urutan pengerjaan translasi.
54 Bab 8: Geometri Bidang 437 KOMPOSISI ROTASI Misalkan titik P ( x, y) dilakukan rotasi oleh [ O,θ ] dilanjutkan dengan [ O ] dengan R dinyatakan: R,θ, komposisi rotasi dari R kemudian R dilanjutkan ( R o R ) ( y) x, = cosθ sin θ cosθ sin θ cosθ sin θ sin θ cosθ x y cosθ cosθ sin θ sin θ cosθ sin θ sin θ cosθ = x sin θ cosθ + cosθ sin θ sin θ sin θ + cosθ cosθ y cos θ = sin θ ( + θ ) sin ( θ + θ ) ( + ) ( + ) θ cos θ θ x y Jadi, merotasikan suatu obyek menggunakan komposisi rotasi berarti merotasikan obyek tersebut dengan jumlah sudut masing-masing rotasi. Secara geometri diperlihatkan pada gambar 8.6. P " θ P ' O θ P Gambar 8.6. Komposisi Rotasi
55 438 Bab 8: Geometri Bidang Titik P dirotasikan pusat O besar sudut θ didapat P ' dilanjutkan rotasi pusat O besar sudut θ didapat P" atau dapat dilakukan dengan pusat O dengan besar sudut rotasi θ + θ. KOMPOSISI REFLEKSI (PENCERMINAN) Misalkan titik ( x y) kemudian dilanjutkan dengan y P, dilakukan refleksi terhadap garis x = k dilanjutkan dengan M dinyatakan: ( M o M ) ( y) x, = M ([ M ]( x, y ) = M ( k x, y) = ( h ( k x), y) = ( ( h k) + x, y) x = h, komposisi refleksi dari M Secara geometri hasil dari komposisi ( M o M ) ( y) x, terhadap garis x = k dilanjutkan dengan x = h diperlihatkan pada gambar ( x y) P, ( k x y) P ', ( ( h k) x y) P " +, x x = k x = h Gambar 8.6. Komposisi Refleksi terhadap dua garis sejajar
56 Bab 8: Geometri Bidang 439 Bagaimana jika titik ( x y) P, direfleksikan terhadap sumbu koordinat, untuk itu perhatikan gambar dibawah ini. Titik P ( x, y) direfleksikan terhadap sumbu y menghasilkan P ( x, y) ' dilanjutkan terhadap sumbu x menghasilkan P "( x, y). Bagaimana jika P ( x, y) direfleksikan terhadap sumbu x dilanjutkan sumbu y, dicoba sendiri sebagai latihan. y ( x y) P ', ( x y) P, x P" ( x, y) Gambar Refleksi terhadap sumbu y dilanjutkan sumbu x KOMPOSISI LEBIH DARI DUA TRANSFORMASI Setelah kita mengerti komposisi dua transformasi, untuk mempelajari komposisi lebih dari dua transformasi sangatlah mudah. Hal penting untuk diingat adalah operasi transformasi mana yang lebih dahulu dikerjakan dan bentuk serta operasi dari matrik transformasi. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh dibawah ini.
57 440 Bab 8: Geometri Bidang CONTOH 8.6. P ditranslasikan terhadap T =, dilanjutkan rotasi Titik (,3) dengan titik pusat O dengan terhadap sumbu x. 0 θ = 90, selanjutnya direfleksikan Jawab Urutan dan hasil transformasi adalah: M sumbu x o R 0 [ ] o T (,3), 90 = O [ ] (,3) = M sumbu x o R 0 [, 90 ] ot O [ ] + = M sumbu x o R 0 [ O,90 ] 5 = [ ] [ ] M o R sumbu x 0 O, 90 0 = [ ] M M sumbu x o 5 o = [ ] sumbu x 0 5 = 0 5 = Jadi titik P (,3) hasil dari tiga transformasi berurutan: ( 5, )
58 Bab 8: Geometri Bidang 44 Latihan Soal 8-6. Carilah nilai p dan q dalam masing-masing persamaan berikut ini a. 3 p + = 4 q 6 b. p 4 = 3 q 4 c. p p + = q 3 q. Carilah peta dari titik dan transformasi yang ditentukan dibawah ini a. Titik (, - 4) oleh pencerminan berturutan terhadap garis x = 3 kemudian terhadap garis x = 7 b. Titik (-3, ) oleh pencerminan berturutan terhadap garis y = kemudian terhadap garis y = 5 c. Jika (5, ) (, ) oleh pencerminan berturutan terhadap x = 4, kemudian x = h, carilah h 3. Misalkan refleksi terhadap sumbu x adalah X dan refleksi terhdapa garis y = x adalah M a. Berilah transformasi tunggal yang ekuivalen dengan M o X, dan tulislah peta dari P ( a, b) b. Tulislah matriks A dan yang berkaitan dengan X dan M, dan periksa apakah BA merupakan matriks yang berkaitan dengan M o X c. Periksa apakah AB = BA
59 44 Bab 8: Geometri Bidang 4. Carilah matriks yang berkaitan dengan pencerminan terhadap sumbu y dilanjutkan dengan setengah putaran terhadap pusat. Periksa hasilnya secara geometri Perlihatkan bahwa matriks 4 3 memberikan transformasi yang sama dengan dilatasi [ O,5] dilanjutkan dengan rotasi sebesar suatu sudut lancip θ terhadap pusat, dimana tan θ = 3. Apakah 4 transformasi-transformasi dalam komposisi tersebut bersifat komutatif?. 8.7 PENERAPAN GEOMETRI DIMENSI DUA Penerapan dalam kehidupan sehari-hari perlu diperhatikan kondisi yang ada di Lapangan, penghitungan yang eksak harus dibulatkan keatas. Contoh pada pemasangan keramik untuk lantai rumah kurang 3 buah, kita tidak bisa membeli keramik hanya 3 buah tetapi harus satu dos, demikian juga dalam perhitungan yang lain. CONTOH 8.7. Perhatikan denah rumah dibawah ini ukuran dalam m, lantai rumah akan dipasang keramik yang berukuran 30 x 30 cm. Satu dos berisi 0 buah keramik, harga satu dos keramik Rp ,-. Ongkos pemasangan Rp ,- per m. Tentukan Beaya yang dibutuhkan!.
60 Bab 8: Geometri Bidang Jawab 0 0 m 4 m = 9m Luas lantai adalah: ( ) ( ) cm 0 = 9000 cm dos keramik luasnya adalah: ( ) 9m Kebutuhan keramik: = 0, dos, dibulatkan 03 dos. 0,9m Beaya yang dibutuhkan:. Pembelian keramik: 03 x Rp ,- = Rp ,-. Ongkos Pemasangan: 9 x Rp ,- = Rp ,- Total beaya yang dibutuhkan = Rp ,- Contoh 8.7. Sebuah taman yang berukuran 5 m x 0 m diberi pagar yang berbentuk seperti gambar dibawah ini. Bahan pagar dibuat dari besi dengan harga Rp ,-/m. Tentukan harga bahan yang dibutuhkan.
61 444 Bab 8: Geometri Bidang 3 m 0,5 m 5 m Panjang besi Vertikal (warna biru) = 3 m x 0 = 30 m Horisontal (warna merah muda) = 5 m x = 0 m Segitiga = 3 x 0,5 m x 9 = 3,5 m Lingkaran = 9 x x 3,4 x 0,5 m = 8, 6 m Jumlah = 8,76 m Ukuran pagar taman = 5 m x 0 m Bahan yang dibutuhkan untuk panjang taman: 3 x 8,76 m = 45,8 m Bahan yang dibutuhkan untuk lebar taman : x 8,76 m = 63,5 m Total bahan yang dibutuhkan = 408,8 m Harga bahan Rp ,- Harga bahan seluruhnya adalah: Rp ,- x 408,8 m = Rp ,-
62 Bab 8: Geometri Bidang 445 Latihan Soal 8-7. Tepi-tepi jalan pada gambar dibawah ini dibangun trotoar terbuat dari paving berukuran 0 cm x 4 cm, harga paving Rp ,-/m, ongkos pemasangan Rp ,-/m. Tentukan total beaya yang dibutuhkan km Trotoar 3 m 0,8 km Trotoar km 3 m. Anggaran yang tersedia untuk pembangunan jaringan pipa air sebesar Rp ,-, pipa yang digunakan berukuran dim dengan panjang 6 m, harga satu lonjor pipa Rp ,-, harga sambungan pipa Rp ,-/buah. Ongkos pemasangan pipa setiap 0 lonjor Rp ,-. Berapa m panjang pipa air yang terpasang. 3. Dinding sebuah hotel dengan luas m dilakukan pengecatan, galon cat berisi 5 kg cukup digunakan untuk mengecat 5 m. Berapa galon cat yang dibutuhkan. 4. Lantai sebuah lobi hotel berukuran 0 m x 8 m akan dipasang keramik berukuran 40 cm x 40 cm, dos keramik berisi 6 keramik, berapa dos keramik yang dibutuhkan.
63 446 Bab 8: Geometri Bidang
64 Bab 9 P ELUANG H itung peluang mula-mula dikenal pada abad ke-7 yang bermula dari permainan sebuah dadu yang dilempar. Peluang (kemungkinan) dari permukaan dadu yang tampak ketika dilempar, diamati dan dihitung, perhitungan inilah yang disebut ilmu hitung peluang yang kemudian sangat barmanfaat bagi ilmu yang lain,misalnya pada matematika melahirkan ilmu statistic. 9. PENGERTIAN DASAR Ruang Sampel adalah himpunan semua kemungkinan hasil suatu percobaan, biasanya dilambangkan dengan S. Kejadian adalah suatu himpunan bagian dari ruang sampel. Kejadian dapat terdiri dari satu titik sampel yang disebut kejadian sederhana, sedangkan kejadian majemuk adalah gabungan beberapa kejadian sederhana. Ruang nol 447
65 448 Bab 9: Peluang adalah himpunan bagian ruang sampel yang tidak mengandung satupun anggota. Titik sampel adalah setiap elemen dari ruang sampel. CONTOH 9.. Pada percobaan pelemparan sebuah dadu, kemungkinan hasil percobaannya adalah: Jika ditinjau dari angka yang muncul maka ruang sampelnya adalah S = {,,3,4,5,6} Jika ditinjau dari keadaan angkanya maka ruang sampelnya adalah S = {genap, gasal} CONTOH 9.. Pada percobaan pengambilan sebuah kartu bridge, kemungkinan hasil percobaannya adalah Jika ditinjau dari jenis kartu maka ruang sampelnya adalah S = {?,?,?,? } Jika ditinjau dari warna kartu maka ruang sampelnya adalah S = {Merah, Hitam} Irisan Dua kejadian ( A I B ) adalah kejadian yang mengandung semua unsur persekutuan kejadian A dan B. Kejadian saling terpisah (saling asing) adalah dua kejadian yang tidak memiliki unsur persekutuan, A I B = φ. Gabungan dua kejadian ( A B) adalah kejadian yang mencakup semua unsur atau anggota A atau B atau keduanya. Komplemen suatu kejadian ( A ') adalah himpunan semua anggota S yang bukan anggota A.
66 Bab 9: Peluang 449 CONTOH 9..3 Percobaan pelemparan buah mata dadu, kemungkinan hasil percobaannya adalah S = {(,),(,),(,3),(,4),(,5),(,6),(,),(,),(,3),(,4),(,5),(,6) (3,),(3,),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,),(4,),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,),(5,),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,),(6,),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)} Jika A adalah kejadian munculnya dadu dengan jumlah mata dadu sama dengan maka A = { }, kejadian mustahil Jika B adalah kejadian munculnya dadu dengan jumlah mata dadu sama dengan 7 maka B = {(,6),(,5),(3,4),(4,3),(5,),(5,)} Jika C adalah kejadian munculnya dadu dengan jumlah mata dadu sama dengan maka C = {(5,6),(6,5)} Jika D adalah kejadian munculnya mata dadu pertama adalah 5 maka D = {(5,), (5,), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6)} Irisan kejadian A dan B adalah A B = { } Irisan kejadian B dan C adalah B C = { } Irisan kejadian C dan D adalah C D = { ( 5,6)} Gabungan kejadian A dan B adalah A B = {(,6),(,5),(3,4),(4,3),(5,),(5,)} = B
67 450 Bab 9: Peluang Gabungan kejadian B dan C adalah B C = {(,6),(,5),(3,4),(4,3),(5,),(5,),(5,6),(6,5)} Gabungan kejadian C dan D adalah C D = {(5,6),(6,5), (5,), (5,), (5,3), (5,4), (5,5)} 9. KAIDAH PENCACAHAN Untuk menentukan jumlah titik sampel yang ada dalam ruang sampel diperlukan prinsip dasar menghitung, diantaranya ka idah penggandaan, permutasi dan kombinasi. Ada dua aturan dasar untuk menghitung jumlah anggota dari suatu himpunan,. Aturan penjumlahan, yaitu jika ada n benda yang berbeda dihimpunan pertama dan n benda dihimpunan kedua dan kedua himpunan saling asing (tidak beririsan), maka total anggota dikedua himpunan adalah n +n.. Aturan perkalian, akan dijelaskan dalam dalil dan dalil. CONTOH 9.. : Ekskul Basket SMK mempunyai anggota 65 orang siswa dan Ekskul Karate mempunyai anggota 45 orang siswa, jika tidak ada siswa yang merangkap kedua ekskul, maka jumlah anggota kedua ekskul adalah = FAKTORIAL Hasil kali dari bilangan-bilangan bulat positif dari sampai dengan n, yaitu..3.4 (n-). (n-).n
68 Bab 9: Peluang 45 sering digunakan dalam matematika yang diberi notasi n! (dibaca n faktorial). n! = n.(n-).(n-). 3..! = 0! = CONTOH 9.. 4! = = 4 6! = 6.5! = = PRINSIP DASAR MENGHITUNG DENGAN DIAGRAM POHON Dalam percobaan sederhana, sebuah diagram pohon dapat digunakan dalam perhitungan ruang sampel. Misalnya pada percobaan pelemparan sebuah uang 3 kali. Himpunan hasil yang mungkin dapat diperoleh oleh seluruh garis yang ditunjukkan dalam diagram pohon berikut, Lemparan Lemparan Lemparan Pertama Kedua Ketiga G G G A A G A A G A G A G A
69 45 Bab 9: Peluang Karena dalam setiap percobaan ada kemungkinan hasil suatu percobaan dari 3 kali percobaan, maka dalam ruang sample ada sebanyak 3 = 8 buah titik sampel. Jadi S = {GGG, GGA, GAG, GAA, AGG, AGA, AAG, AAA}. CONTOH 9..4 Jika dari kota A menuju kota B ada 3 jalan yaitu (p,q,r) sedangkan dari kota B ke kota C ada jalan yaitu (a,b) maka dari kota A ke kota C dapat melalui 3 x = 6 jalan yang berbeda, yaitu S = {(p,a),(p,b),(q,a),(q,b),(r,a),(r,b)} DALIL KAIDAH PENGGANDAAN Bila suatu operasi dapat dilakukan dalam n cara dan bila untuk setiap cara tersebut operasi kedua dapat dilakukan dalam n cara maka kedua operasi itu secara bersama-sama dapat dilakukan dalam n.n cara. CONTOH 9..3 Bila sepasang dadu dilemparkan sekali, berapa banyak titik sampel dalam ruang sampelnya? Penyelesaian : Jika sepasang dadu dilemparkan satu kali maka dadu pertama akan muncul 6 cara sedangkan dadu kedua.akan muncul 6 cara juga Dengan demikian, sepasang dadu tersebut dapat terjadi dalam (6)(6) = 36 cara.
70 Bab 9: Peluang 453 DALIL KAIDAH PENGGANDAAN UMUM Bila suatu operasi dapat dilakukan dalam n cara bila untuk setiap cara tersebut operasi kedua dapat dilakukan dalam n cara, bila untuk setiap pasangan dua cara yang pertama dapat dilakukan dalam n 3 cara pada operasi ke tiga, demikian seterusnya, maka k- operasi dalam urutan tersebut dapat dilakukan dalam n n n 3 n k cara. CONTOH 9..5 Berapa macam menu makan siang yang terdiri atas sayur, lauk dan buah yang dapat dipilih dari 4 macam sayur, 3 macam lauk dan 5 macam buah? Penyelesaian : Banyak macam menu makan siang ada sebanyak (4)(3)(5) = 60 macam. CONTOH 9..6 Diketahui empat angka,,5,8, tentukan banyak semua bilangan yang dapat dibuat dari angka tersebut yang terdiri dari a. angka b. angka tetapi tidak boleh ada yang sama. Penyelesaian : a. Untuk mempermudah sediakan dua kotak yang akan diisi jumlah kemungkinan tiap tahap, yaitu letak angka puluhan dan angka satuan 4 4 = 6 Kotak pertama adalah posisi angka puluhan, dimana ada 4 kemungkinan, kotak kedua posisi angka satuan juga ada 4 kemungkinan, jadi jumlah kemungkinannya adalah 4 x 4 = 6.
HUBUNGAN SATUAN PANJANG DENGAN DERAJAT
GEOMETRI BIDANG Pada bab ini akan dibahas bentuk-bentuk bidang dalam ruang dimensi dua, keliling serta luasan dari bidang tersebut, bentuk ini banyak kaitannya dengan kegiatan ekonomi (bisnis dan manajemen)
Lebih terperinciMATEMATIKA BISNIS DAN MANAJEMEN JILID 3
Bandung Arry Sanjoyo, dkk. MATEMATIKA BISNIS DAN MANAJEMEN JILID 3 SMK Direktorat Pembinaan Sekolah Menengah Kejuruan Direktorat Jenderal Manajemen Pendidikan Dasar dan Menengah Departemen Pendidikan Nasional
Lebih terperinciDURASI PEMELAJARAN KURIKULUM SMK EDISI 2004
DESKRIPSI PEMELAJARAN MATA DIKLAT TUJUAN : MATEMATIKA : Melatih berfikir dan bernalar secara logis dan kritis serta mengembangkan aktifitas kreatif dalam memecahkan masalah dan mengkomunikasikan ide/gagasan
Lebih terperinciSILABUS ALOKASI WAKTU T M P S P D SUMBER BELAJAR MATERI PEMBELAJARAN KOMPETENSI DASAR INDIKATOR MODEL KURIKULUM TINGKAT SATUAN PENDIDIKAN
SILABUS KELAS / SEMESTER : X / 1 STANDAR : Memecahkan masalah berkaitan dengan konsep operasi bilangan riil KODE : D.9 : 44 x 45 menit 1. Menerapkan operasi pada bilangan riil Dua atau lebih bilangan bulat
Lebih terperinciDESKRIPSI PEMELAJARAN
DESKRIPSI PEMELAJARAN MATA DIKLAT : Matematika TUJUAN : Melatih berfikir dan bernalar secara logis dan kritis serta mengembangkan aktifitas kreatif dalam memecahkan masalah dan mengkomunikasikan ide/gagasan
Lebih terperinciMatematika Semester IV
F U N G S I KOMPETENSI DASAR Mendeskripsikan perbedaan konsep relasi dan fungsi Menerapkan konsep fungsi linear Menggambar fungsi kuadrat Menerapkan konsep fungsi kuadrat Menerapkan konsep fungsi trigonometri
Lebih terperinciDESKRIPSI PEMELAJARAN - MATEMATIKA
DESKRIPSI PEMELAJARAN MATA DIKLAT : MATEMATIKA TUJUAN : Melatih berfikir dan bernalar secara logis dan kritis serta mengembangkan aktifitas kreatif dalam memecahkan masalah dan mengkomunikasikan ide/gagasan
Lebih terperinciSILABUS KEGIATAN PEMBELAJARAN
SILABUS NAMA SEKOLAH : SMK NEGERI 1 SURABAYA MATA PELAJARAN : MATEMATIKA BISMEN KELAS / SEMESTER : X / 1 STANDAR : Memecahkan masalah berkaitan dengan konsep operasi bilangan riil KODE : D.9 : 36 x 45
Lebih terperinciSilabus. Kegiatan Pembelajaran Instrumen
NAMA SEKOLAH : MATA PELAJARAN : Matematika KELAS : XI STANDAR KOMPETENSI : Menerapkan logika matematka dalam pemecahan masalah yang berkaitan dengan pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor KODE KOMPETENSI
Lebih terperinciKISI-KISI SOAL UJIAN SEKOLAH SEKOLAH MENENGAH KEJURUAN (SMK)
0 KISI-KISI UJIAN SEKOLAH SEKOLAH MENENGAH KEJURUAN (SMK) MATA PELAJARAN : MATEMATIKA KELAS : XII KELOMPOK : TEKNOLOGI, PERTANIAN DAN KESEHATAN BENTUK & JMl : PILIHAN GANDA = 35 DAN URAIAN = 5 WAKTU :
Lebih terperinciSILABUS MATA PELAJARAN MATEMATIKA
SILABUS MATEMATIKA SMK PROGRAM KEAHLIAN BISNIS MANAGEMEN SILABUS MATA PELAJARAN MATEMATIKA SEKOLAH MENEGAH KEJURUAN SMK WIJAYA PUTRA Program Keahlian : Akuntansi, Multimedia, Teknik Kendaraan Ringan STATUS
Lebih terperinciKISI KISI LOMBA KOMPETENSI SISWA SMK TINGKAT PROVINSI JAWA TIMUR 2014
LKS SMK 214 Bidang : Matematika Teknologi KISI KISI LOMBA KOMPETENSI SISWA SMK TINGKAT PROVINSI JAWA TIMUR 214 1 Memecahkan masalah berkaitan dengan konsep aljabar memaham, mengaplikasikan, menganalisai
Lebih terperinciDURASI PEMELAJARAN KURIKULUM SMK EDISI 2004
DESKRIPSI PEMELAJARAN MATA DIKLAT TUJUAN : MATEMATIKA : Melatih berfikir dan bernalar secara logis dan kritis serta mengembangkan aktifitas kreatif dalam memecahkan masalah dan mengkomunikasikan ide/gagasan
Lebih terperinciMATEMATIKA BISNIS DAN
Bandung Arry Sanjoyo dkk MATEMATIKA BISNIS DAN MANAJEMEN SMK JILID 1 Direktorat Pembinaan Sekolah Menengah Kejuruan Direktorat Jenderal Manajemen Pendidikan Dasar dan Menengah Departemen Pendidikan Nasional
Lebih terperinci22. MATEMATIKA SMA/MA (PROGRAM IPA)
22. MATEMATIKA SMA/MA (PROGRAM IPA) NO. 1. Memahami pernyataan dalam matematika dan ingkarannya, menentukan nilai kebenaran pernyataan majemuk serta menggunakan prinsip logika matematika dalam pemecahan
Lebih terperinciDURASI PEMELAJARAN KURIKULUM SMK EDISI 2004
DESKRIPSI PEMELAJARAN MATA DIKLAT TUJUAN : MATEMATIKA : Melatih berfikir dan bernalar secara logis dan kritis serta mengembangkan aktifitas kreatif dalam memecahkan masalah dan mengkomunikasikan ide/gagasan
Lebih terperinciBIDANG MATEMATIKA TEKNOLOGI DAN MATEMATIKA NON-TEKNOLOGI
BIDANG MATEMATIKA TEKNOLOGI DAN MATEMATIKA NON-TEKNOLOGI JENIS SOAL TULIS KOMPUTER JENIS SOAL : TULIS PILIHAN GANDA 20 S0AL ISIAN SINGKAT 10 SOAL ESSAY 10 SOAL SESI 1 120 MENIT SESI 2 90 MENIT JENIS SOAL
Lebih terperinciDURASI PEMELAJARAN KURIKULUM SMK EDISI 2004
DESKRIPSI PEMELAJARAN MATA DIKLAT TUJUAN : MATEMATIKA : Melatih berfikir dan bernalar secara logis dan kritis serta mengembangkan aktifitas kreatif dalam memecahkan masalah dan mengkomunikasikan ide/gagasan
Lebih terperinciMATEMATIKA BISNIS DAN MANAJEMEN
Bandung Arry Sanjoyo dkk MATEMATIKA BISNIS DAN MANAJEMEN SMK JILID Direktorat Pembinaan Sekolah Menengah Kejuruan Direktorat Jenderal Manajemen Pendidikan Dasar dan Menengah Departemen Pendidikan Nasional
Lebih terperinciKISI-KISI PENULISAN SOAL UJIAN SEKOLAH SEKOLAH MENENGAH KEJURUAN (SMK) DINAS PENDIDIKAN PROVINSI DKI JAKARTA MATA PELAJARAN : MATEMATIKA
KISI-KISI PENLISAN JIAN SEKOLAH SEKOLAH MENENGAH KEJRAN (SMK) MATA PELAJARAN : MATEMATIKA KELAS : XII KELOMPOK : TEKLOGI, PERTANIAN DAN KESEHATAN KRIKLM : KTSP & JML : PILIHAN GANDA = 40, RAIAN = 5 BTIR
Lebih terperinciSILABUS ALOKASI WAKTU TM PS PI SUMBER BELAJAR KOMPETENSI DASAR INDIKATOR MATERI PEMBELAJARAN KEGIATAN PEMBELAJARAN PENILAIAN
SILABUS KELAS / SEMESTER : X / 1 STANDAR : Memecahkan masalah berkaitan dengan konsep operasi bilangan riil KODE : D.20 : 40 x 45 menit 1. Menerapkan operasi pada bilangan riil PEMAN KEGIATAN PEMAN Mengoperasikan
Lebih terperinciB. Tujuan Mata pelajaran Matematika bertujuan agar peserta didik memiliki kemampuan sebagai berikut.
49. Mata Pelajaran Matematika Kelompok Seni, Pariwisata, Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Teknologi Kerumahtanggaan untuk Sekolah Menengah Kejuruan (SMK)/Madrasah Aliyah Kejuruan (MAK) A. Latar Belakang
Lebih terperinci51. Mata Pelajaran Matematika Kelompok Teknologi, Kesehatan dan Pertanian untuk Sekolah Menengah Kejuruan (SMK)/Madrasah Aliyah Kejuruan (MAK) A.
51. Mata Pelajaran Matematika Kelompok Teknologi, Kesehatan dan Pertanian untuk Sekolah Menengah Kejuruan (SMK)/Madrasah Aliyah Kejuruan (MAK) A. Latar Belakang Matematika merupakan ilmu universal yang
Lebih terperinciMATERI PELAJARAN MATEMATIKA SMA KELAS X BAB I: BENTUK PANGKAT, AKAR, DAN LOGARITMA. 1.1 Pangkat Bulat. A. Pangkat Bulat Positif
MATERI PELAJARAN MATEMATIKA SMA KELAS X BAB I: BENTUK PANGKAT, AKAR, DAN LOGARITMA 1.1 Pangkat Bulat A. Pangkat Bulat Positif B. Pangkat Bulat Negatif dan Nol C. Notasi Ilmiah D. Sifat-Sifat Bilangan Berpangkat
Lebih terperinciUJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 2007/2008
UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 007/008 PANDUAN MATERI MATEMATIKA Kelompok Teknologi, Kesehatan, dan Pertanian PUSAT PENILAIAN PENDIDIKAN BALITBANG DEPDIKNAS Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan BALITBANG
Lebih terperinci50. Mata Pelajaran Matematika Kelompok Akuntansi dan Pertanian untuk Sekolah Menengah Kejuruan (SMK)/Madrasah Aliyah Kejuruan (MAK) A.
50. Mata Pelajaran Matematika Kelompok Akuntansi dan Pertanian untuk Sekolah Menengah Kejuruan (SMK)/Madrasah Aliyah Kejuruan (MAK) A. Latar Belakang Matematika merupakan ilmu universal yang mendasari
Lebih terperinciF/751/WKS1/ SMK NEGERI 2 WONOGIRI KISI-KISI PEMBUATAN SOAL UJIAN SEMESTER GASAL TAHUN PELAJARAN 2011/2012
SMK NEGERI 2 WONOGIRI KISI-KISI PEMBUATAN SOAL UJIAN SEMESTER GASAL TAHUN PELAJARAN 2011/2012 F/751/WKS1/6 01 07-07-2010 Mata Pelajaran/ Kompetensi : Matematika Tingkat : 3 Program Studi Keahlian : Semua
Lebih terperinciMATEMATIKA 2 Untuk SMK/MAK Kelas XI
i Hak Cipta pada Departemen Pendidikan Nasional Dilindungi Undang-undang Hak Cipta Buku ini telah dibeli oleh Departemen Pendidikan Nasional dari Penerbit PT Galaxy Puspa Mega MAHIR MATEMATIKA 2 Untuk
Lebih terperinciISTIYANTO.COM. memenuhi persamaan itu adalah B. 4 4 C. 4 1 PERBANDINGAN KISI-KISI UN 2009 DAN 2010 SMA IPA
PERBANDINGAN KISI-KISI UN 009 DAN 00 SMA IPA Materi Logika Matematika Kemampuan yang diuji UN 009 UN 00 Menentukan negasi pernyataan yang diperoleh dari penarikan kesimpulan Menentukan negasi pernyataan
Lebih terperinciUJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 2006/2007
UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 006/007 PANDUAN MATERI SMA DAN MA M A T E M A T I K A PROGRAM STUDI IPA PUSAT PENILAIAN PENDIDIKAN BALITBANG DEPDIKNAS KATA PENGANTAR Dalam rangka sosialisasi kebijakan dan
Lebih terperinciSoal UN 2009 Materi KISI UN 2010 Prediksi UN 2010
PREDIKSI UN 00 SMA IPA BAG. (Berdasar buku terbitan Istiyanto: Bank Soal Matematika-Gagas Media) Logika Matematika Soal UN 009 Materi KISI UN 00 Prediksi UN 00 Menentukan negasi pernyataan yang diperoleh
Lebih terperinci1. BARISAN ARITMATIKA
MATEMATIKA DASAR ARITMATIKA BARISAN ARITMATIKA 1. BARISAN ARITMATIKA Sering disebut barisan hitung, adalah barisan bilangan yang setiap sukunya diperoleh dari suku sebelumnya dengan menambah atau mengurangi
Lebih terperinciSILABUS INDIKATOR MATERI PEMBELAJARAN KEGIATAN PEMBELAJARAN PENILAIAN KHARAKTER
SILABUS NAMA SEKOLAH : SMK Negeri 1 Surabaya MATA PELAJARAN : MATEMATIKA (Kelompok Teknologi Informasi) KELAS / SEMESTER : X / 1 STANDAR : Memecahkan masalah berkaitan dengan konsep operasi bilangan riil
Lebih terperinciBANK SOAL MATEMATIKA IPS
BANK SOAL MATEMATIKA IPS Tim Guru Matematika SMAN 1 Kendari KENDARI 2013 1. Bentuk sederhana dari adalah... A. B. E. Jawaban : E Bentuk sederhana dari : 2. Nilai x yang memenuhi persamaan adalah... A.
Lebih terperinciSumber:
Transformasi angun Datar Geometri transformasi adalah teori ang menunjukkan bagaimana bangun-bangun berubah kedudukan dan ukuranna menurut aturan tertentu. Contoh transformasi matematis ang paling umum
Lebih terperinciANALISIS KRITERIA KETUNTASAN MINIMAL (KKM) SMK DIPONEGORO LEBAKSIU TAHUN PELAJARAN 2012/2013
Kompetensi Keahlian : TKR dan Farmasi Kelas : X Semester : 1 ANALISIS KRITERIA KETUNTASAN MINIMAL () SMK DIPONEGORO LEBAKSIU TAHUN PELAJARAN 2012/2013 Standar Kompetensi Kompetensi Dasar Indikator Memecahkan
Lebih terperinciSILABUS ALOKASI WAKTU T M P S P I SUMBER BELAJAR MATERI PEMBELAJARAN KOMPETENSI DASAR INDIKATOR. Kuis Tes lisan Tes tertulis Pengamatan Penugasan
SILABUS KELAS / SEMESTER : X / 1 STANDAR : Memecahkan masalah berkaitan dengan konsep operasi bilangan riil KODE : D.1 : 57 x 45 menit 1. Menerapkan operasi pada bilangan riil Dua atau lebih bilangan bulat
Lebih terperinciPENGEMBANGAN SILABUS TAHUN PELAJARAN 2012/2013
PENGEMBANGAN SILABUS TAHUN PELAJARAN 01/013 NAMA SEKOLAH : SMK DIPONEGORO LEBAKSIU MATA PELAJARAN : MATEMATIKA KELAS / SEMESTER : X / 1 STANDAR KOMPETENSI : MEMECAHKAN MASALAH BERKAITAN DENGAN KONSEP OPERASI
Lebih terperinciBAB 21 TRANSFORMASI GEOMETRI 1. TRANSLASI ( PERGESERAN) Contoh : Latihan 1.
TRANSFORMASI GEOMETRI BAB Suatu transformasi bidang adalah suatu pemetaan dari bidang Kartesius ke bidang yang lain atau T : R R (x,y) ( x', y') Jenis-jenis transformasi antara lain : Transformasi Isometri
Lebih terperinciUJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 2007/2008
UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 007/008 PANDUAN MATERI SMA DAN MA M A T E M A T I K A PROGRAM STUDI IPA PUSAT PENILAIAN PENDIDIKAN BALITBANG DEPDIKNAS KATA PENGANTAR Dalam rangka sosialisasi kebijakan dan
Lebih terperinciSilabus. Kegiatan Pembelajaran Instrume n. - Menentukan nilai. Tugas individu. (sinus, cosinus, tangen, cosecan, secan, dan
Silabus Nama Sekolah Mata Pelajaran Kelas / Program Semester : SMK : MATEMATIKA : XI / TEKNOLOGI, KESEHATAN, DAN PERTANIAN : GANJIL Standar Kompetensi:7. Menerapkan perbandingan, fungsi,, dan identitas
Lebih terperinciKISI-KISI SOAL UJIAN SEKOLAH TAHUN PELAJARAN 2014/2015
KISI-KISI SOAL UJIAN SEKOLAH TAHUN PELAJARAN 2014/2015 Mata Pelajaran : Matematika Alokasi Waktu : 120 menit Kelas : XII IPA Penyusun Standar Kompetensi Kompetensi Dasar Indikator Materi No Soal Menggunakan
Lebih terperinciGAMBARAN UMUM SMA/MA. Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan BALITBANG DEPDIKNAS 1
GAMBARAN UMUM Pada ujian nasional tahun pelajaran 006/007, bentuk tes Matematika tingkat berupa tes tertulis dengan bentuk soal pilihan ganda, sebanyak 0 soal dengan alokasi waktu 0 menit. Acuan yang digunakan
Lebih terperinciSILABUS. Menyimak pemahaman tentang bentuk pangkat, akar dan logaritma beserta keterkaitannya
SILABUS Nama Sekolah : SMA Mata Pelajaran : MATEMATIKA Kelas/Program : X Semester : 1 STANDAR KOMPETENSI: 1. Memecahkan masalah yang berkaitan dengan bentuk pangkat, akar, dan logaritma. KOMPETENSI DASAR
Lebih terperinciKISI - KISI SOAL UJIAN SEKOLAH TAHUN PELAJARAN 2010/2011
YAYASAN INSAN INDONESIA MANDIRI SEKOLAH MENENGAH KEJURUAN SMK WIJAYA PUTRA Kompetensi Keahlian : Akuntansi, Multimedia, Teknik Kendaraan Ringan STATUS : TERAKREDITASI A Jalan Raya Benowo 1-3, (031) 7413061,
Lebih terperinciEvaluasi Belajar Tahap Akhir Nasional Tahun 1986 Matematika
Evaluasi Belajar Tahap Akhir Nasional Tahun 986 Matematika EBTANAS-SMP-86-0 Himpunan faktor persekutuan dari dan 0 {,,, 6} {,, 6} {, } {6} EBTANAS-SMP-86-0 Bilangan 0,0000 jika ditulis dalam bentuk baku.0
Lebih terperinciRENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN
Kelas / Semester : X / 1 Pertemuan Ke : 1-5 Alokasi : 10 x 45 Menit Standar Kompetensi : Memecahkan masalah berkaitan dengan konsep operasi bilangan real Kompetensi Dasar : Menerapkan operasi pada bilangan
Lebih terperinciMATEMATIKA EBTANAS TAHUN 1992
MATEMATIKA EBTANAS TAHUN 99 EBT-SMP-9-0 Diketahui: A = {m, a, d, i, u, n} dan B = {m, a, n, a, d, o} Diagram Venn dari kedua himpunan di atas A. m a d o a m o i e e I d u a a u n e m i d o m i d a u n
Lebih terperinci1. Sebuah kawat yang panjangnya 10 meter akan dibuat bangun yang berbentuk 3 persegi panjang kongruen seperti pada gambar di bawah.
1. Sebuah kawat yang panjangnya 10 meter akan dibuat bangun yang berbentuk 3 persegi panjang kongruen seperti pada gambar di bawah. Luas maksimum daerah yang dibatasi oleh kawat tersebut adalah... 3,00
Lebih terperinciKARTU SOAL UJIAN NASIONAL MADRASAH ALIYAH NEGERI PANGKALPINANG
Jumlah 50 Bentuk Pilihan Ganda Standar Kompetensi : Menggunakan logika matematika dalam pemecahan masalah yang berkaitan dengan pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor Kompetensi Dasar : Menggunakan
Lebih terperinciRingkasan Materi Soal-soal dan Pembahasan MATEMATIKA. SD Kelas 4, 5, 6
Ringkasan Materi Soal-soal dan Pembahasan MATEMATIKA SD Kelas 4, 5, 6 1 Matematika A. Operasi Hitung Bilangan... 3 B. Bilangan Ribuan... 5 C. Perkalian dan Pembagian Bilangan... 6 D. Kelipatan dan Faktor
Lebih terperinciKISI KISI US Diberikan pernyataan majemuk berkuantor, ingkaran dari pernyataan tersebut majemuk atau pernyataan majemuk berkuantor
KISI KISI US 2014 NO BAB INDIKATOR JENIS SOAL Menentukan penarikan Diketahui buah premis (ada bentuk ekuivalen) menarik kesimpulan dari buah 1 kesimpulan dari beberapa premis premis Menentukan ingkaran
Lebih terperinciUJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 2006/2007
UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 2006/2007 PANDUAN MATERI MATEMATIKA Kelompok Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akuntansi (Bisnis dan Manajemen) PUSAT PENILAIAN PENDIDIKAN BALITBANG DEPDIKNAS Hak Cipta
Lebih terperinciKelompok : SMK Tingkat : XII ( Duabelas ) Bidang Keahlian : Ti, Kes, Sos Hari/Tanggal : Prog. Keahlian : Ti, Kes, Sos W a k t u : 0
Kelompok : SMK Tingkat : XII ( Duabelas ) Bidang Keahlian : Ti, Kes, Sos Hari/Tanggal : Prog. Keahlian : Ti, Kes, Sos W a k t u : 0 PETUNJUK UMUM :. Isikan identitas Anda ke dalam Lembar Jawaban Komputer
Lebih terperinciMATEMATIKA. Sekolah Menengah Kejuruan (SMK) Kelas XI. To ali. Kelompok Penjualan dan Akuntansi. Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional
i MATEMATIKA Sekolah Menengah Kejuruan (SMK) Kelas XI Kelompok Penjualan dan Akuntansi To ali Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional ii Hak Cipta pada Departemen Pendidikan Nasional Dilindungi
Lebih terperinciSoal-soal dan Pembahasan UN Matematika SMP/MTs Tahun Pelajaran 2005/2006
Soal-soal dan Pembahasan UN Matematika SMP/MTs Tahun Pelajaran 2005/2006 1. Pada acara bakti sosial, Ani mendapat tugas membagikan 30 kg gula pasir secara merata kepada kelompok masyarakat yang tertimpa
Lebih terperinciSoal-soal dan Pembahasan UN Matematika SMP/MTs Tahun Pelajaran 2004/2005
Soal-soal dan Pembahasan UN Matematika SMP/MTs Tahun Pelajaran 2004/2005 1. Perhatikan himpunan di bawah ini! A = {bilangan prima kurang dari 11} B = { 1 < 11, bilangan ganjil} C = {semua faktor dari 12}
Lebih terperinciSilabus dan Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP)
Siswanto MODEL Silabus dan Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP) for Grade X of Senior High School and Islamic Senior High School Berdasarkan Permendiknas Nomor 22 Tahun 2006 tentang Standar Isi dan Permendiknas
Lebih terperinci8. Nilai x yang memenuhi 2 log 2 (4x -
1. Agar F(x) = (p - 2) x² - 2 (2p - 3) x + 5p - 6 bernilai positif untuk semua x, maka batas-batas nilai p p > l 2 < p < 3 p > 3 1 < p < 2 p < 1 atau p > 2 2. Fungsi kuadrat yang mempunyai nilai maksimum
Lebih terperinciPEMBAHASAN UN SMA TAHUN PELAJARAN 2009/2010 MATEMATIKA PROGRAM STUDI IPA
PEMBAHASAN UN SMA TAHUN PELAJARAN 009/00 MATEMATIKA PROGRAM STUDI IPA PEMBAHAS :. Sigit Tri Guntoro, M.Si.. Jakim Wiyoto, S.Si. 3. Marfuah, M.T. 4. Rohmitawati, S.Si. PPPPTK MATEMATIKA 00 . Perhatikan
Lebih terperinciPREDIKSI UN 2012 MATEMATIKA SMP
Dibuat untuk persiapan menghadapi UN 2012 PREDIKSI UN 2012 MATEMATIKA SMP Lengkap dengan kisi-kisi dan pembahasan Mungkin (tidak) JITU 12 1. Menghitung hasil operasi tambah, kurang, kali dan bagi pada
Lebih terperinciTabel 1. Rata-rata Nilai Ujian Nasional Secara Nasional
Rekap Nilai Ujian Nasional tahun 2011 Pada tahun 2011 rata-rata nilai matematika 7.31, nilai terendah 0.25, nilai tertinggi 10, dengan standar deviasi sebesar 1.57. Secara rinci perolehan nilai Ujian Nasional
Lebih terperinciSilabus. Tugas individu, tugas kelompok, kuis.
Silabus Nama Sekolah : SMK Mata Pelajaran : MATEMATIKA Kelas / Program : X / TEKNOLOGI, KESEHATAN, DAN PERTANIAN Semester : GANJIL Sandar Kompetensi: 1. Memecahkan masalah berkaitan dengan konsep operasi
Lebih terperinciC. 9 orang B. 7 orang
1. Dari 42 siswa kelas IA, 24 siswa mengikuti ekstra kurikuler pramuka, 17 siswa mengikuti ekstrakurikuler PMR, dan 8 siswa tidak mengikuti kedua ekstrakurikuler tersebut. Banyak siswa yang mengikuti kedua
Lebih terperinciAktif Menggunakan Matematika
i Hak Cipta pada Departemen Pendidikan Nasional Dilindungi Undang-undang Hak Cipta Buku ini dibeli oleh Departemen Pendidikan Nasional dari Penerbit PT. Visindo Media Persada Aktif Menggunakan Matematika
Lebih terperinciLATIHAN SOAL PROFESIONAL
LATIHAN SOAL PROFESIONAL 1. Jika 7 x = 8; maka 7 +x =. A. 686 B. 512 C. 4 D. 256 E. 178 7 x = 2 (7 x ) = 2 7 x = 2 7 x+ = 7. 7 x = 7. 2 = 4. 2 = 686 2. Panjang sisi miring segitiga siku-siku sama kaki
Lebih terperinciKURIKULUM TINGKAT SATUAN PENDIDIKAN (KTSP)
KURIKULUM TINGKAT SATUAN PENDIDIKAN (KTSP) PERANGKAT PEMBELAJARAN PROGRAM TAHUNAN ( PROTA ) Mata Pelajaran : Matematika Program : Umum Satuan Pendidikan : SMA / MA Kelas/Semester : X / 1 Nama Guru NIP/NIK
Lebih terperinciSOAL-SOAL dan PEMBAHASAN UN MATEMATIKA SMA/MA IPA TAHUN PELAJARAN 2011/2012
SOAL-SOAL dan PEMBAHASAN UN MATEMATIKA SMA/MA IPA TAHUN PELAJARAN 0/0. Akar-akar persamaan kuadrat x +ax - 40 adalah p dan q. Jika p - pq + q 8a, maka nilai a... A. -8 B. -4 C. 4 D. 6 E. 8 BAB III Persamaan
Lebih terperinciBilangan Real. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Bilangan Real S PENDAHULUAN Drs. Soemoenar emesta pembicaraan Kalkulus adalah himpunan bilangan real. Jadi jika akan belajar kalkulus harus paham terlebih dahulu tentang bilangan real. Bagaimanakah
Lebih terperinciSTANDAR KOMPETENSI. 5. Menggunakan konsep matriks, vektor, dan transformasi dalam pemecahan masalah KOMPETENSI DASAR
STANDAR KOMPETENSI 5. Menggunakan konsep matriks, vektor, dan transformasi dalam pemecahan masalah KOMPETENSI DASAR 5.1 Menggunakan sifat-sifat dan operasi matriks untuk menunjukkan bahwa suatu matriks
Lebih terperinciOSN Guru Matematika SMA (Olimpiade Sains Nasional)
ocsz Pembahasan Soal OSN Guru 2012 OLIMPIADE SAINS NASIONAL KHUSUS GURU MATEMATIKA SMA OSN Guru Matematika SMA (Olimpiade Sains Nasional) Disusun oleh: Pak Anang Halaman 2 dari 26 PEMBAHASAN SOAL OLIMPIADE
Lebih terperinciPROGRAM PEMBELAJARAN KELAS VII SEMESTER I. Mata Pelajaran : Matematika
PROGRAM PEMBELAJARAN KELAS VII SEMESTER I Mata Pelajaran : Matematika 191 PROGRAM SEMESTER TAHUN PELAJARAN 20 / 20 Nama Sekolah : Kelas/ Semester : VII/1 Mata Pelajaran : Matematika Aspek : BILANGAN Standar
Lebih terperinciDari gambar jaring-jaring kubus di atas bujur sangkar nomor 6 sebagai alas, yang menjadi tutup kubus adalah bujur sangkar... A. 1
1. Diketahui : A = { m, a, d, i, u, n } dan B = { m, e, n, a, d, o } Diagram Venn dari kedua himpunan di atas adalah... D. A B = {m, n, a, d} 2. Jika P = bilangan prima yang kurang dari Q = bilangan ganjil
Lebih terperinciUJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 2007/2008
UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 2007/2008 PANDUAN MATERI MATEMATIKA Program Keahlian Akuntansi dan Penjualan PUSAT PENILAIAN PENDIDIKAN BALITBANG DEPDIKNAS Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan BALITBANG
Lebih terperinciJika persegi panjang ABCD di atas diketahui OA = 26 cm, maka panjang BO adalah... A. 78 cm. C. 26 cm B. 52 cm. D. 13 cm Kunci : C Penyelesaian :
1. Jika persegi panjang ABCD di atas diketahui OA = 26 cm, maka panjang BO adalah... A. 78 cm C. 26 cm B. 52 cm D. 13 cm 2. Gambar disamping adalah persegi panjang. Salah satu sifat persegi panjang adalah
Lebih terperinciBAB II PERSAMAAN KUADRAT DAN FUNGSI KUADRAT
BAB II PERSAMAAN KUADRAT DAN FUNGSI KUADRAT 1. Menentukan koefisien persamaan kuadrat 2. Jenis-jenis akar persamaan kuadrat 3. Menyusun persamaan kuadrat yang akarnya diketahui 4. Fungsi kuadrat dan grafiknya
Lebih terperinciMODUL MATEMATIKA SMA IPA Kelas 11
SMA IPA Kelas DEFINISI Transformasi merupakan pemetaan titik, garis atau bidang ke titik, garis atau bidang lain pada bidang yang sama. Misalkan transformasi T memetakan titik P (, y) ke titik P(, y) dan
Lebih terperinciPembahasan Soal UN Matematika SMP Tahun Ajaran 2010/2011 Paket 12
Pembahasan Soal UN Matematika SMP Tahun Ajaran 2010/2011 Paket 12 Tim Pembahas : Th. Widyantini Untung Trisna Suwaji Wiworo Choirul Listiani Estina Ekawati Nur Amini Mustajab PPPPTK Matematika Yogyakarta
Lebih terperinciMATEMATIKA. Sesi TRANSFORMASI 2 CONTOH SOAL A. ROTASI
MATEMATIKA KELAS XII IPA - KURIKULUM GABUNGAN 14 Sesi NGAN TRANSFORMASI A. ROTASI Rotasi adalah memindahkan posisi suatu titik (, y) dengan cara dirotasikan pada titik tertentu sebesar sudut tertentu.
Lebih terperinciPEMBAHASAN UN SMA TAHUN PELAJARAN 2009/2010 MATEMATIKA PROGRAM STUDY IPA
PEMBAHASAN UN SMA TAHUN PELAJARAN 009/010 MATEMATIKA PROGRAM STUDY IPA PEMBAHAS : 1. Sigit Tri Guntoro, M.Si.. Jakim Wiyoto, S.Si. 3. Marfuah, M.T. 4. Rohmitawati, S.Si. PPPPTK MATEMATIKA 010 1. Perhatikan
Lebih terperinciSOAL DAN PEMBAHASAN UJIAN NASIONAL SMA/MA IPA TAHUN PELAJARAN 2007/2008
SOAL DAN PEMBAHASAN UJIAN NASIONAL SMA/MA IPA TAHUN PELAJARAN 7/8. Diketahui premis premis : () Jika Badu rajin belajar dan patuh pada orang tua, maka Ayah membelikan bola basket () Ayah tidak membelikan
Lebih terperinciKURIKULUM TINGKAT SATUAN PENDIDIKAN (KTSP)
KURIKULUM TINGKAT SATUAN PENDIDIKAN (KTSP) PERANGKAT PEMBELAJARAN PROGRAM SEMESTER Mata Pelajaran : Matematika Satuan Pendidikan : SMA / MA Kelas/Semester : X / 1 Nama Guru NIP/NIK Sekolah : : : 275 PROGRAM
Lebih terperinciMATEMATIKA DASAR 16. Jika maka Jawab : E 17. Diketahui premis-premis sebagai berikut : 1) Jika maka 2) atau Jika adalah peubah pada himpunan bilangan real, nilai yang memenuhi agar kesimpulan dari kedua
Lebih terperinciMATEMATIKA DASAR TAHUN 1987
MATEMATIKA DASAR TAHUN 987 MD-87-0 Garis singgung pada kurva y di titik potong nya dengan sumbu yang absisnya positif mempunyai gradien 0 MD-87-0 Titik potong garis y + dengan parabola y + ialah P (5,
Lebih terperinciCONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN PERSIAPAN UN 2014
CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN PERSIAPAN UN 04 DISUSUN OLEH AHMAD THOHIR MA FUTUHIYAH JEKETRO GUBUG GROBOGAN JATENG KATA PENGANTAR Tulisan yang sangat sederhana ini berisi kisi-kisi UN 0 disertai contoh soal
Lebih terperinciC34 MATEMATIKA. Pak Anang. Rabu, 18 April 2012 ( ) Pembahasan soal oleh
DOKUMEN NEGARA C MATEMATIKA SMA/MA IPA MATEMATIKA SMA/MA IPA Pak Anang http://pakhttp://pak-anang.blogspot.com MATEMATIKA Rabu, 8 April 0 (08.00 0.00) A-MAT-ZD-M9-0/0 Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan-BALITBANG-KEMDIKBUD
Lebih terperinciD46 MATEMATIKA. Pak Anang MATEMATIKA SMA/MA IPA. Rabu, 18 April 2012 ( )
SANGAT RAHASIA D Pembahasan soal oleh http://pak-anang.blogspot.com Pak Anang http://pak-anang.blogspot.com MATEMATIKA Rabu, 8 April 0 (08.00 0.00) A-MAT-ZD-M0-0/0 SANGAT RAHASIA Pembahasan soal oleh http://pak-anang.blogspot.com
Lebih terperinciKUMPULAN SOAL SOAL. SOAL PILIHAN GANDA A. Berilah tanda silang (X) paad huruf a, b, c, d, e sesuai dengan pilihan jawaban yang paling tepat!
KUMPULAN SOAL SOAL APROKSIMASI KESALAHAN SOAL PILIHAN GANDA A. Berilah tanda silang (X) paad huruf a, b, c, d, e sesuai dengan pilihan jawaban ang paling tepat!. Banakna angka sinifikan dari bilangan,
Lebih terperinciMatematika Proyek Perintis I Tahun 1979
Matematika Proyek Perintis I Tahun 979 MA-79-0 Irisan himpunan : A = { x x < } dan himpunan B = { x < x < 8 } ialah himpunan A. { x x < 8 } { x x < } { x < x < 8 } { x < x < } { x < x } MA-79-0 Apabila
Lebih terperinciTRY OUT UJIAN NASIONAL TAH SMA/MA PROGRAM STUDI IPA MATEMATIKA
DOKUMEN SEKOLAH MATEMATIKA SMA/MA IPA PAKET NAMA : NO.PESERTA : TRY OUT UJIAN NASIONAL TAH TAHUN UN PELAJARAN 0/0 SMA/MA PROGRAM STUDI IPA MATEMATIKA PUSPENDIK SMAYANI SMA ISLAM AHMAD YANI BATANG 0 TRY
Lebih terperinciTRY OUT UJIAN NASIONAL TAH SMA/MA PROGRAM STUDI IPA MATEMATIKA
DOKUMEN SEKOLAH MATEMATIKA SMA/MA IPA PAKET NAMA : NO.PESERTA : TRY OUT UJIAN NASIONAL TAH TAHUN UN PELAJARAN 0/0 SMA/MA PROGRAM STUDI IPA MATEMATIKA PUSPENDIK SMAYANI SMA ISLAM AHMAD YANI BATANG 0 TRY
Lebih terperinciSMA / MA IPA Mata Pelajaran : Matematika
Latihan Soal UN 00 Paket Sekolah Menengah Atas / Madrasah Aliyah IPA SMA / MA IPA Mata Pelajaran : Matematika Dalam UN berlaku Petunjuk Umum seperti ini :. Isikan identitas Anda ke dalam Lembar Jawaban
Lebih terperinciDINAS PENDIDIKAN KOTA BEKASI TAHUN PELAJARAN 2013/2014 LEMBAR SOAL
DINAS PENDIDIKAN KOTA BEKASI TAHUN PELAJARAN 0/0 LEMBAR SOAL Mata Pelajaran : Matematika Jenjang : SMA/MA Program Studi : IPA Hari/Tanggal : Jam : PETUNJUK UMUM. Isilah lembar jawaban tes uji coba Ujian
Lebih terperinciKISI-KISI LOGIC WAR. SK KD Indikator. Menentukan nilai kebenaran dari suatu pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor
KISI-KISI LOGIC WAR SK KD Indikator Menentukan nilai kebenaran dari suatu berkuantor membedakan mana pernyataan dan yang bukan pernyataan Menggunakan prinsip logika matematika yang berkaitan dengan berkuantor
Lebih terperinciLingkaran. A. Persamaan Lingkaran B. Persamaan Garis Singgung Lingkaran
Bab Sumber: www.panebiancod.com Setelah mempelajari bab ini, Anda harus mampu merumuskan persamaan lingkaran dan menggunakannya dalam pemecahan masalah; menentukan persamaan garis singgung pada lingkaran
Lebih terperinciE59 MATEMATIKA. Pak Anang. Rabu, 18 April 2012 ( ) Pembahasan soal oleh
DOKUMEN NEGARA SANGAT RAHASIA Pembahasan soal oleh http://pak-anang.blogspot.com E9 MATEMATIKA SMA/MA IPA MATEMATIKA SMA/MA IPA Pak Anang http://pakhttp://pak-anang.blogspot.com MATEMATIKA Rabu, 8 April
Lebih terperinciC. y = 2x - 10 D. y = 2x + 10
1. Diantara himpunan berikut yang merupakan himpunan kosong adalah... A. { bilangan cacah antara 19 dan 20 } B. { bilangan genap yang habis dibagi bilangan ganjil } C. { bilangan kelipatan 3 yang bukan
Lebih terperinci02. Jika. 0, maka nilai x + y =... 3 = A. 14 B. 16 C. 18 D. 20 E. 21. ; a dan b bilangan bulat, maka a + b =... A. 3 B. 2 C. 2 D. 3 E.
PILIHLAH JAWABAN YANG PALING TEPAT 0. Diketahui : Premis : Jika laut berombak besar, maka nelayan tidak berlayar Premis : Jika nelayan tidak berlayar, maka tidak ada ikan di pasar. Negasi dari kesimpulan
Lebih terperinciSOAL UN DAN PENYELESAIANNYA 2008
1. Ingkaran dari pernyataan, "Beberapa bilangan prima adalah bilangan genap." adalah... Semua bilangan prima adalah bilangan genap Semua bilangan prima bukan bilangan genap Beberapa bilangan prima bukan
Lebih terperinciSoal dan Pembahasan UN Matematika Program IPA 2008
Soal dan Pembahasan UN Matematika Program IPA 2008. Diketahui premis premis : () Jika hari hujan, maka udara dingin. (2) Jika udara dingin, maka ibu memakai baju hangat. (3) Ibu tidak memakai baju hangat
Lebih terperinci