ANALISIS PERUBAHAN BENTUK PERMUKAAN KUADRAT MENGGUNAKAN DIAGONALISASI MATRIKS SKRIPSI ARDIANSYAH

Transkripsi

1 ANALISIS PERUBAHAN BENTUK PERMUKAAN KUADRAT MENGGUNAKAN DIAGONALISASI MATRIKS SKRIPSI ARDIANSYAH DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2015

2 ANALISIS PERUBAHAN BENTUK PERMUKAAN KUADRAT MENGGUNAKAN DIAGONALISASI MATRIKS SKRIPSI Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains ARDIANSYAH DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2015

3 PERSETUJUAN Judul : Analisis Perubahan Bentuk Permukaan Kuadrat Menggunakan Diagonalisasi Matriks Kategori : Skripsi Nama : Ardiansyah Nomor Induk Mahasiswa : Program Studi : Sarjana (S1) Matematika Departemen : Matematika Fakultas : Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA) Universitas Sumatera Utara Disetujui di Medan, April 2015 Komisi Pembimbing : Pembimbing 2, Pembimbing 1, Dr. Sawaluddin, M.IT Dr. Mardiningsih, M.Si NIP NIP Disetujui oleh: Departemen Matematika FMIPA USU Ketua, Prof. Dr. Tulus, M.Si. NIP i

4 PERNYATAAN ANALISIS PERUBAHAN BENTUK PERMUKAAN KUADRAT MENGGUNAKAN DIAGONALISASI MATRIKS SKRIPSI Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri. Kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya. Medan, April 2015 ARDIANSYAH ii

5 PENGHARGAAN Puji dan syukur penulis kepada Allah SWT yang Maha Pemurah dan Maha Penyayang atas rahmat dan karunianya, dan yang telah memberi kekuatan sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini dengan judul Analisis Perubahan Bentuk Umum Permukaan Kuadrat Menjadi Bentuk Standar dengan Menggunakan Diagonalisasi Matriks. Shalawat serta salam juga disampaikan kepada Nabi Muhammad SAW, keluarganya, para sahabat, tabiin, dan setiap orang yang mengikuti mereka sampai hari akhir nanti. Pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada Ibu Dr. Mardiningsih, M.Si dan Bapak Dr. Sawaluddin, M.IT selaku dosen pembimbing yang telah banyak membantu, meluangkan waktu, dan memberi dukungan, ilmu pengetahuan, motivasi, dan nasihat kepada penulis. Terima kasih juga kepada Bapak Dr. Pasukat Sembiring, M.Si dan Ibu Dr. Elly Rosmaini, M.Si selaku dosen penguji yang telah memberikan banyak masukan, saran, dan dukungan yang baik dalam menyelesaikan skripsi ini. Terima Kasih juga kepada Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si dan Ibu Dr. Mardiningsih, M.Si, selaku Ketua dan Sekretaris Departemen Matematika di FMIPA USU, Bapak Dr. Sutarman, M.Sc selaku Dekan FMIPA USU, Pembantu Dekan FMIPA USU, seluruh Staf Pengajar Departemen Matematika FMIPA USU, serta pegawai FMIPA USU atas ilmu pengetahuan, waktu, nasihat, dan motivasi yang diberikan selama masa perkuliahan. Mudah-mudahan Allah SWT senantiasa memuliakan dan meninggikan derajat mereka. Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada Ummi Syahniar, Bapak Syahrani, Kakanda Rika Rosary, Kakanda Tri Suci Juli Yati, serta Adinda Haryati Ifani, Dede Febrina, dan Tria Susenita atas doa dan dukungan yang senantiasa diberikan sampai saat ini. Mudah-mudahan keberkahan dan keridhoannya senantiasa melimpahi kita semua. Teruntuk Shohib dan shohibiyah seperjuangan (Syahrial, Andi, Abdul, Abdullah, Fadhil, Adam, Riki, Syaipul, Asrul, Mbak Mul, Elsa, Sanah, Fika, Ami, Irma, Zati, Fitri, Ida, Siska dan lainnya), keluarga UKMI Al Falak, keluarga BKB Adzkia, sahabat-sahabat di kelas Murni 2010, Komutatif 2010, IM3, serta rekanrekan lainnya yang tidak dapat disebutkan satu-persatu, terima kasih atas semua dukungan dan pengalaman bersama yang begitu menyenangkan. Mudah-mudahan Allah SWT memberikan keberkahan dan balasan atas jasa-jasa yang telah diberikan. Penulis menyadari masih banyak kekurangan dari penyusunan skripsi ini. Oleh karena itu, saran dan kritik yang membangun tetap penulis nantikan demi perbaikan pada tulisan ini ataupun yang lain di masa yang akan datang. Harapan iii

6 penulis, mudah-mudahan skripsi ini dapat bermanfaat sebagai tambahan pengetahuan bagi pembaca dan semua pihak yang membutuhkan. Medan, April 2015 Penulis Ardiansyah iv

7 ANALISIS PERUBAHAN BENTUK PERMUKAAN KUADRAT MENGGUNAKAN DIAGONALISASI MATRIKS ABSTRAK Perubahan bentuk pada permukaan kuadrat adalah perubahan bentuk umum persamaan dengan bentuk ax by cz dxy exz fyz gx hy iz j 0 di mana a, b, c, d, e, f tidak semua bernilai nol dan a, b, c, d, e, f, g, h, i, j R disebut persamaan kuadrat di dalam variabel atau disebut juga permukaan kuadrat, menjadi salah satu bentuk standar yaitu elipsoid, kerucut eliptik, hiperboloid satu lembar, hiperboloid dua lembar, paraboloid eliptik atau paraboloid hiperbolik yang ekuivalen terhadap bentuk umum tersebut. Diagonalisasi matriks adalah salah satu metode yang dipakai untuk mengubah dan mengidentifikasikan bentuk standar suatu permukaan kuadrat. Kemudian software MAPLE akan memberikan visualisasi perubahan grafiknya. x, y, z Kata Kunci: perubahan bentuk, bentuk standar, ekuivalen, diagonalisasi matriks, visualisasi v

8 ANALYSIS OF CHANGE FORM ON QUADRIC SURFACES USING MATRIX DIAGONALIZATION ABSTRACT Change form on quadric surfaces is changing of general form equation which form ax by cz dxy exz fyz gx hy iz j 0 where a, b, c, d, e, f are not all zero and a, b, c, d, e, f, g, h, i, j R called quadratic equation in the variables or called quadric surfaces, be one of the standart forms are ellipsoid, eliptic cone, hyperboloid of one sheet, hyperboloid of two sheet, elliptic paraboloid or hyperbolic paraboloid which equivalent to general form. Matrix diagonalization is one method used to changing and identity the standart form of a quadric surface. Then MAPLE software will give graph change visualization. x, y, z Key words: change form, standart form, equivalently, matrix diagonalization, visualization vi

9 DAFTAR ISI PERSETUJUAN PERNYATAAN PENGHARGAAN ABSTRAK ABSTRACT DAFTAR ISI DAFTAR GAMBAR DAFTAR SINGKATAN Halaman i ii iii v vi vii ix x BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Perumusan Masalah Batasan Masalah Tujuan Penelitian Manfaat Penelitian Tinjauan Pustaka Metodologi Penelitian Diagram Konsep 8 BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Transpose, Invers dan Determinan Matriks Sistem Persamaan Linier Homogen Ruang Vektor dengan Ruang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal dan Matriks Ortogonal Basis Ortonormal Matriks Ortogonal Ekuivalensi Bentuk Kuadrat Nilai Eigen, Vektor Eigen dan Ruang Eigen Diagonalisasi Matriks dan Diagonalisasi Ortogonal 22 BAB 3 BENTUK STANDAR PERMUKAAN KUADRAT 3.1 Elipsoid Kerucut Eliptik Hiperboloid Satu Lembar Hiperboloid Dua Lembar Paraboloid Eliptik Paraboloid Hiperbolik 45 BAB 4 PERUBAHAN BENTUK PADA PERMUKAAN KUADRAT 4.1 Permukaan Kuadrat yang Ditranslasi Permukaan Kuadrat yang Dirotasi Permukaan Kuadrat yang Ditranslasi dan Dirotasi 63 vii

10 BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN 5.1 Kesimpulan Saran 69 DAFTAR PUSTAKA 71 viii

11 DAFTAR GAMBAR Nomor Judul Halaman Gambar 1.1 Enam bentuk standar permukaan kuadrat Irisan kerucut Lingkaran Elips Hiperbola Parabola x y z Elipsoid: A B C Elipsoid: 4x y 9z x y z Kerucut eliptik: A B C Kerucut eliptik: 2x 8y 9z 0 37 x y z 3.5 Hiperboloid satu lembar: 1 39 A B C 3.6 Hiperboloid satu lembar: 6x 3y 2z x y z 3.7 Hiperboloid dua lembar: 1 41 A B C 3.8 Hiperboloid dua lembar: 2x 3y z x y Paraboloid eliptik : z 2 A B Paraboloid eliptik: x 2 16y 2 4z x y Paraboloid hiperbolik: z 2 A B Paraboloid hiperbolik: 2x 2y z Grafik yang dirotasikan dan ditranslasikan Hiperboloid dua lembar: 3x 3y z 42x Paraboloid hiperbolik: 7x 3y 126x 72 y z Hiperboloid satu lembar: 5x 11y 2z 16xy 20xz 4yz Elipsoid: 4x 4y 4z 4xy 4xz 4yz Kerucut eliptik: 10x 25y 10z 40xz 20 2x 50y 20 2z ix

12 DAFTAR SINGKATAN R : Himpunan bilangan riil x : Suatu vektor : Suatu variabel : Suatu konstanta : Suatu Matriks [aij] : Matriks dengan entri-entrinya : Transpose matriks A k : Suatu skalar I : Matriks identitas 1 A : Invers matriks A : Minor baris ke-i dan kolom ke-j x a A A T M ij C ij A : Kofaktor baris ke-i dan kolom ke-j : Determinan matriks A <u,v> : Hasil kali dalam V : Ruang hasil kali dalam u : Vektor norm S : Himpunan vektor yang ortogonal n R : Himpunan vektor yang berimensi-n i : Suatu nilai eigen ~ : Ekuivalensi x